Este documento apresenta um trabalho de conclusão de curso sobre uma introdução ao mercado de opções. O trabalho explica o que são opções e como funcionam, apresenta um exemplo prático de como uma pessoa poderia usar opções de compra de dólar para se proteger da variação cambial antes de uma viagem aos EUA, e deduz a fórmula Black-Scholes para precificação de opções.

1. 1
Universidade de São Paulo
Instituto de Matemática e Estatística
Bacharelado em Matemática Aplicada e Computacional
BRUNO F. FORTUNA
Trabalho de Conclusão de Curso
Uma introdução ao mercado de opções.

2. 2
BRUNO F. FORTUNA
Trabalho de conclusão de curso
Uma introdução ao mercado de opções.
Trabalho de conclusão de curso apresentado como requisito a obter o grau de
BACHAREL em Matemática Aplicada e Computacional do Instituto de Matemática e
Estatística da Universidade de São Paulo – USP.
Orientador: Roberto Masaishi Santos Yoshikawa
IME – USP
Co-Orientador: Alexandre Megiorin Roma
IME – USP (Docente)

3. 3

4. 4
Agradecimentos
Em primeiro lugar, agradeço imensamente ao meu orientador, Roberto
Masaishi, que me ajudou com muita paciência no trabalho - sem ele teria sido, com
toda a certeza, mais difícil finalizar o projeto, e, também, ao meu co-orientador,
Alexandre Roma, que aceitou com prazer em participar do projeto como professor
responsável do IME-USP.
Gostaria de agradecer ao meu anjo da guarda, também namorada e futura
mulher Nicole (já que, conforme combinado com a minha querida sogra, Dona Fátima,
casaríamos assim que eu me formasse...), por todo o apoio, força, fé e esperança e,
mesmo depois de todo esse tempo, acreditou em mim e nunca me deixou desistir.
Com toda a certeza não poderia me esquecer da pressão, aliada à esperança,
dos meus pais em finalizar esse trabalho e a graduação. Pai, eu sei que demorou mas,
o “quase acabando” está chegando ao fim e seu filho será, finalmente, um Bacharel
em Matemática Aplicada pela USP.
Por fim, agradeço gentilmente a Professora Sônia e a Leny, da sessão de alunos,
por terem me ajudado e esclarecido certas dúvidas durante o curso.

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Resumo
Esse trabalho irá abranger uma introdução ao mercado de opções, com alguns
detalhes e mecanismos dessa indústria, mostrando quão importante pode ser a
utilização desse instrumento para fins de redução de risco, também chamado de
hedge, e, posteriormente, a dedução da fórmula de Black & Scholes, desenvolvida para
o apreçamento de opções e a solução da mesma. Na prática, mostraremos
detalhadamente como chegar na equação de Black & Scholes e resolve-la, de forma a
obter uma solução exata.
Há por fim, ainda, um apêndice com a transformação da equação de Black &
Scholes na Equação do Calor, também uma maneira, computacionalmente mais fácil,
de se obter o preço das opções.

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Sumário
1. Glossário................................................................................................................................ 7
2. Introdução............................................................................................................................. 8
2.1. Exemplo......................................................................................................................... 8
2.2. Problema....................................................................................................................... 8
2.3. Solução.......................................................................................................................... 9
3. Opções................................................................................................................................. 14
3.1. Parâmetros necessários para o apreçamento............................................................. 14
3.2. Exemplo de Mercados................................................................................................. 15
4. Dedução do Modelo Black-Scholes..................................................................................... 17
4.1. Modelo de 1 período................................................................................................... 17
4.2. Modelo Binomial......................................................................................................... 19
4.3. Modelagem contínua de preços ................................................................................. 21
4.4. Retorno Logarítmico.................................................................................................... 23
4.5. A formula de Black-Scholes......................................................................................... 26
5. Conclusão ............................................................................................................................ 31
Apêndice...................................................................................................................................... 32
1. Transformando o modelo Black-Scholes na Equação do Calor........................................... 32

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1. Glossário
Arbitragem: Compra e venda de um mesmo ativo com o objetivo de ganho sobre a
diferença dos preços.
Ative base / Ativo Objeto: Ativo influente na opção em questão.
Call: Opção de compra sobre um ativo.
Exercício: direito pertencente ao comprador da opção, podendo ser o tempo para o
exercício (vencimento) ou o valor de exercício (strike).
Hedge: Proteção sobre um determinado risco.
Liquidez: quantidade de negócios sobre um ativo.
Opção In-The-Money: Opção em situação de exercício.
Opção Out-Of-The-Money: Opção em situação de não exercício, ou seja, vai virar pó.
Passivo: Dívida ou risco sobre um ativo.
Posição a Descoberto: Tomar um ativo emprestado sem possui-lo ou sem montar um
hedge.
Prêmio: Valor das opções.
Put: Opção de venda sobre um ativo.
Retorno do Ativo: Rentabilidade ou rendimento de um ativo.
Stress: Termo utilizado em momentos de tensão, ou muita volatilidade, no mercado.
Strike: Valor de exercício do ativo objeto.
Taxa Básica de Juros (CDI): Taxa de juros interbancária praticada no Brasil, utilizada
como parâmetro para investimentos sem risco.
Volatilidade: Comportamento do ativo, podendo ser representado pelo desvio padrão
dos retornos, EWMA, dentre outros métodos.

8. 8
2. Introdução
O mercado financeiro possui muitos instrumentos, mais comumente
denominados ativos, com diversos mecanismos e objetivos.
Neste estudo, vamos abordar um instrumento derivativo que, entre outros
objetivos, pode ser utilizado como proteção e é chamado de opção.
Opções são direitos da compra ou venda sobre outros ativos (como ações,
commodities – ouro, soja, algodão, etc. – entre outros), que também são negociados
no mercado. Essas opções são divididas em opção de compra (call) e opção de venda
(put), onde o investidor ou uma empresa, adquirem o direito de compra ou venda de
um determinado ativo a um preço fixado em uma data futura.
Existem dois tipos de opção, europeias e americanas. As opções europeias
somente podem ser exercidas no vencimento, enquanto as americanas, a qualquer
momento até o vencimento.
Aproveitando a nossa atual conjuntura econômica e a situação do Brasil onde o
gasto do brasileiro em dólares é cada vez maior (a emissão de passaportes atingiu
recorde no ano de 2013), vamos exemplificar utilizando um cidadão que pretende
viajar aos Estados Unidos num futuro próximo e está receoso com a valorização da
moeda estrangeira.
2.1. Exemplo
Fica claro observar que o gasto desse cidadão brasileiro, o qual vamos apelidar
de Cauã, será diretamente afetado pela variação da cotação Dólar/Real, uma vez que
embora os preços das passagens aéreas emitidas por empresas brasileiras sejam
mostrados em reais, são corrigidos efetivamente pelo Dólar. Além disso, o restante dos
gastos será no país de destino, onde Cauã poderá utilizar cartão de crédito, com
cotação do dólar próxima ao dólar turismo, ou terá que levar dólares em espécie,
também ficando exposto a essa variação cambial. Há outras formas de pagamento
como cartões pré-pagos ou travellers check, mas, atualmente, com a recente alta do
IOF (imposto sobre operações financeiras) para 6.38%, acabam saindo mais caro que
das outras duas formas citadas.
2.2. Problema
Suponha que em dezembro de 2013 Cauã esteja planejando sua viagem para os
Estados Unidos em Agosto de 2014. Apesar de já ter conseguido comprar suas

9. 9
passagens, ele lembra-se que os gastos na viagem serão em dólares, onde terá que
pagar a estadia, alimentação, locomoção, etc., além de também precisar levar alguma
quantia de dólares em espécie comprados já no Brasil.
Talvez se o cenário econômico atual estivesse favorável, com uma perspectiva
de melhora para mercados emergentes como o Brasil, tudo seria mais fácil, dado que o
Real tenderia a se valorizar frente ao Dólar e os gastos no exterior para brasileiros
seriam menores. Entretanto, não é o que temos visto e surge uma desconfiança de que
o Real irá no movimento contrário, tornando os gastos no exterior maiores, uma vez
que a relação Dólar/Real aumentará. Podemos dizer então que Cauã, assim como
todos que possuem dívidas em Dólar, está com um passivo atrelado (indexado) ao
Dólar.
É aí que entra a possibilidade do uso de uma opção de compra.
2.3. Solução
A primeira solução seria comprar dólares a vista, na cotação atual. Entretanto,
Cauã pode, simplesmente, não ter dinheiro disponível. Dessa forma, uma segunda
solução para acabar com esse “passivo” em Dólar seria comprar calls de Dólar.
Em uma call (opção de compra), o comprador tem o direito de exercer a
compra do ativo base, no caso o Dólar, por um valor denominado strike, já pré-
estabelecido. As opções desse determinado ativo base se diferenciarão por seu
vencimento e strike. Estes fatores determinarão o prêmio da opção, que é
simplesmente o quanto ela custa em uma data específica.
Então supondo que em dezembro de 2013 Cauã, com medo de que o dólar
suba de seu patamar atual, que é de R$2.10, para algo bem mais alto que isso,
comprometendo assim sua viagem, decide ir no mercado de opções cotar algumas
calls de dólar e encontra uma com vencimento em Agosto de 2014 e strike a R$2.20,
sendo negociadas a R$0.10 (veremos o cálculo e a importância disso em seguida) e
decide comprar 5000 opções, tendo assim um custo total de 5000 x 0.10 = R$500,00. A
partir de então, podemos dizer que Cauã montou um hedge para sua dívida em
dólares, originada pelo orçamento de sua futura viagem.
Como funciona uma opção no seu vencimento? Devemos primeiro supor que,
na prática, há dois cenários possíveis. O primeiro seria a cotação do dólar subir,
conforme temido, e alcançar, por exemplo, R$2.50. Da mesma forma, no segundo
cenário, vamos supor que a cotação se manteve, ou até caiu, e ficou abaixo de R$2.10.
Então, no primeiro cenário, temos o seguinte:

10. 10
Logo, Cauã ganhou ou, se preferir, economizou R$1mil reais com o seu hedge.
Devemos esclarecer como seria no segundo cenário, ou seja, se o dólar
estivesse abaixo de R$2.10.
Neste cenário, Cauã continuaria com o direito de comprar dólares pelo valor de
strike da opção mas ele decide não fazê-lo, já que pagaria R$2.20. Nesse caso, dizemos
que a opção virou “pó” (o direito de exercer a opção não vale a pena) e o orçamento
de Cauã, na compra dos mesmos 5000 dólares seria 5000 x 2.10 + 500. Um total de
R$11mil.
Analisando as possibilidades acima, vemos que a operação garantiu a Cauã um
valor limitado para o Dólar, permitindo a ele um controle melhor sobre o orçamento
de sua viagem, além do fato de o lucro poder ser infinito.
Vamos ilustrar um payoff da opção para esclarecer e melhorar nossas
conclusões.
Cotação atual Dólar/Real: R$ 2.50
Strike: R$ 2.20
Prêmio: R$ 0.10
Quantidade: 5000
Total gasto com a compra das opções: 5000 x 0.10 = R$ 500
Total exercendo as opções: 5000 x (2.50 - 2.20) - 500 = R$ 1.000
Cotação atual Dólar/Real: R$ 2.10
Strike: R$ 2.20
Prêmio: R$ 0.10
Quantidade: 5000
Total gasto com a compra das opções: 5000 x 0.10 = R$ 500
Total caso exerca as opções: 5000 x (2.10 - 2.20) - 500 = -R$ 1.000
Total caso não exerca as opções: 5000 x 0 - 500 = -R$ 500

11. 11
No eixo X temos o preço do dólar no vencimento, enquanto no eixo Y temos o
lucro líquido da operação.
Primeiro temos a seguinte análise:
Conforme colocamos anteriormente, é possível notar que o prejuízo está
limitado a R$500.00, ou seja, o valor gasto na compra das opções. Deste ponto em
diante, Dólar > Strike, a opção vale a pena ser exercida, como veremos em seguida.
-1.000,00
-500,00
0,00
500,00
1.000,00
1.500,00
2.000,00
2.500,00
1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70
L
u
c
r
o
Preço do dólar no vencimento
Payoff Call Dólar Strike = 2.20
-1.000,00
-500,00
0,00
500,00
1.000,00
1.500,00
2.000,00
2.500,00
1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70
L
u
c
r
o
Preço do dólar no vencimento
Payoff Call Dólar Strike = 2.20
A partir daqui opção vale a pena:
(Dólar = Strike)
Qualquer valor para o Dólar menor
que 2.20 não vale a pena exercer a
opção e o prejuízo será sempre o valor
gasto com a compra das opções.

12. 12
Se Prêmio = Dólar – Strike, o prejuízo já é nulo e o comprador da opção
recuperou o valor gasto nos prêmios e, daí em diante, já será contabilizado lucro,
conforme nos mostra o gráfico abaixo.
E concluímos que, uma vez que o dólar não possui limitadores, claro que
desconsiderando todos os fatores econômicos, o lucro tende ao infinito, conforme o
valor do dólar no vencimento aumenta.
-1.000,00
-500,00
0,00
500,00
1.000,00
1.500,00
2.000,00
2.500,00
1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70
L
u
c
r
o
Preço do dólar no vencimento
Payoff Call Dólar Strike = 2.20
Lucro = Prejuízo = Zero: (Dólar – Strike = Prêmio)
Nesse ponto o Lucro com as opções é 0.10,
mesmo valor gasto na compra, logo, não há
prejuízo nem lucro.
-1.000,00
-500,00
0,00
500,00
1.000,00
1.500,00
2.000,00
2.500,00
1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70
L
u
c
r
o
Preço do dólar no vencimento
Payoff Call Dólar Strike = 2.20
Dólar > Strike + Prêmio: Conforme citamos
anteriormente, uma vez que o Dólar não
possui limitador, o lucro pode ser infinito
desconsiderando, é claro, todos os
aspectos econômicos.

13. 13
A operação, apresentada de modo simplificado usando uma situação do dia-a-
dia é, na verdade, realizada por grandes corporações e investidores. As empresas,
dependentes de matéria prima ou com dívidas em moeda estrangeira, utilizam as
opções para controle de seus orçamentos e proteção de patrimônio.
Já investidores utilizam as opções tanto para proteção de investimentos quanto
especulação. Em termos de especulação, os investidores vislumbram ganhos
expressivos com opções, uma vez que variações nos preços dos ativos base, mesmo
em menor escala, geram variações significativas nos prêmios das opções. Desta forma,
investidores procuram opções baratas no mercado, com a esperança de que com o
andamento dos valores negociados em bolsa de valores para os ativos base, tais
prêmios tornem-se interessantes, e acabam revendendo a opção.

14. 14
3. Opções
Entraremos agora no âmbito do apreçamento das opções.
3.1. Parâmetros necessários para o apreçamento
Inicialmente, seis parâmetros devem ser levados em conta no cálculo do prêmio:
 O preço atual do ativo objeto;
 Comportamento do ativo objeto;
 Preço de exercício (strike);
 Taxa de juros básica vigente;
 Prazo de exercício (tempo até o vencimento);
 Os dividendos esperados durante o tempo de vida da opção;
Esses parâmetros são necessários para que possamos estimar os possíveis
valores do ativo objeto ao longo do tempo de vida da opção até seu vencimento, como
veremos mais pra frente. Note que um dos parâmetros é uma fonte de incerteza
altíssima, o comportamento do ativo objeto. Uma chave para sair bem sucedido das
operações com opções é conhecer com exatidão esse comportamento. Como isso é
praticamente impossível, há meios para se estimar esse comportamento, mesmo que
de uma forma precária, como veremos a seguir.
Já no caso da Taxa de juros básica, o mercado usualmente utiliza a taxa CDI,
que é uma taxa que acompanha a taxa de juros do governo e é utilizada para se
corrigir empréstimos entre instituições financeiras atuantes no Brasil.
Uma hipótese importante a se tomar, e que de fato existe na prática, é o
conceito de "não-arbitragem". A arbitragem se dá nas oportunidades de compra e
venda de um mesmo ativo, ou similares em alguns casos, por preços diferentes, o que
possibilitaria que um negociador obtivesse um lucro numa operação casada, sem
sequer possuir o ativo objeto. Na prática, um exemplo de arbitragem seriam os
importadores que enxergam uma oportunidade ao comprar um produto fora do país e
mesmo com a conversão de moeda, mais impostos, consegue vender esse produto
com certo lucro. Isso nos mostra que se um produto custa R$100.00 em um local X e
R$120.00 em um local Y, há uma arbitragem de preços. No mercado financeiro, como

15. 15
grande maioria das transações são on-line, existem mecanismos que impedem esse
processo. Se uma determinada ação começa a ser negociada em um curto espaço de
tempo com um considerado intervalo de preços, a Bolsa de Valores (responsável pelo
pregão) pode intervir e colocar esta ação em Leilão, ou seja, irá encontrar o preço justo
de acordo com a sua oferta e demanda.
A hipótese de não-arbitragem no mercado irá nos assegurar que casos como o
exemplo citado acima não ocorrerão.
3.2. Exemplo de Mercados
Mostraremos agora alguns exemplos de opções e a importância do
apreçamento. Entretanto, gostaria de expor que nem sempre o preço justo (ou
calculado) é o que vemos na prática.
O mercado financeiro é extremamente especulativo e as opções, por exemplo,
podem ser negociadas em preços longe dos justos, principalmente, em momentos de
tensão. Outro fator que pode distorcer os preços é a falta de liquidez1
. Até por este
motivo, utilizaremos como exemplo, a partir daqui, uma opção de dólar com bastante
liquidez, evitando imprecisões na nossa análise.
É claro que a partir de um determinado momento, talvez com condições
normais de mercado - em momentos de não stress - os preços tendem a convergir
para o seu preço justo e, daí, a importância de se calcular o prêmio das opções
diariamente. Dessa forma, exibiremos neste trabalho, apenas exemplos muito
negociados pela Bovespa.
Exemplo de prêmios de calls de PETR4, no pregão de 31/01/2014, onde o valor do
ativo-base era R$14.70:
OPÇÃO STRIKE VENCIMENTO PRÊMIO
PETRB12 12.00 17-fev-14 2.72
PETRB14 14.00 17-fev-14 0.97
PETRB16 16.00 17-fev-14 0.11
PETRB18 18.00 17-fev-14 0.01
PETRB20 20.00 17-fev-14 Sem Liquidez
PETRC14 14.00 17-mar-14 1.21
PETRD14 14.00 22-abr-14 1.45
1
Liquidez: refere-se a quantidade de negociações de um ativo, ou seja, quanto mais oferta e procura,
mais negócios serão realizados e, assim, dizemos que esse ativo é líquido.

16. 16
Note que o prêmio é um valor que procura refletir a diferença entre o preço da
ação e seu strike. De fato, o prêmio deve refletir quão distante o preço do dólar
poderá estar acima do strike no vencimento da opção.
Se o preço atual é muito maior que o preço de exercício, a opção de compra
torna-se muito atraente, embora obviamente cara, pois o investidor terá a expectativa
de exercer a opção comprando o ativo objeto por um preço baixo e a revendendo no
mercado por um preço maior. A expectativa é de que mesmo que haja uma queda no
preço do dólar, ainda assim poderá ser maior que o preço de exercício. No mercado,
chama-se este caso de uma opção in the money.
Opostamente, se o preço de exercício é mais alto que o atual, a opção não é
atraente (a não ser que o ativo possua alguma tendência exagerada de alta) e assim
será mais barata que uma opção in the money e essa poderá ser chamada de opção
out of the money.
A análise acima é muito simples, uma vez que não foram considerados muitos
parâmetros. De qualquer forma, isso nos leva à seguinte estimativa inicial do prêmio
para uma call:
( ) ( ) , (1)
onde ( ) é o prêmio em , ( ) é o valor do ativo objeto em e é o strike. Com
isso, se o preço de mercado for menor que o strike, a opção valerá zero, ou em termos
financeiros e como já falamos antes, virará pó.
Para as puts, há uma forma análoga:
( ) ( ) , (2)
onde ( ) é o prêmio da opção.

17. 17
4. Dedução do Modelo Black-Scholes
No início dos anos 70, Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton
revolucionaram o apreçamento das opções desenvolvendo o que ficou conhecido
como o modelo de Black-Scholes. O Modelo foi pivô no crescimento desse mercado e
sucesso na engenharia financeira entre 1980 e 1990. Mais tarde, em 1997, a
importância do modelo deu a Myron Scholes e Robert Merton o prêmio Nobel de
economia, onde Fischer Black, falecido em 1995, também fora lembrado.
Neste capítulo deduziremos o modelo de Black-Scholes, desde o modelo de um
período, passando para o modelo binomial, modelo contínuo e, por fim, retorno
logarítmico, até transformar o Modelo Black-Scholes na equação do calor.
4.1. Modelo de 1 período
Considere que o dólar num instante vale R$2.10. Suponha que sabemos que
para um instante , o dólar pode ter apenas dois caminhos com
probabilidades iguais: subir para R$2.60 ou cair para R$1.90.
Assim, se emitirmos uma opção em com strike R$2.20 e vencimento em
, em a opção poderá valer R$0,40 se a dólar subir para R$2.60 ou
R$0.00, caso contrário.
Agora, nosso objetivo é montar uma carteira hipotética de forma que em
essa carteira valha o mesmo que a opção. Para tal, tomaremos uma quantidade B de
dinheiro emprestado a taxa básica de juros e uma quantidade de dólar de forma que
isso aconteça.
Vamos supor que a taxa básica de juros seja de 10% por período. Logo,
queremos que:
{
Subtraindo uma equação da outra temos:
50%
50%
R$2.60
R$1.90
0

18. 18
Consequentemente:
Assim, nossa carteira é composta em por dólares comprados a
de dinheiro emprestado à taxa de juros básica. Logo, em , nossa
carteira hipotética vale:
_________________________________________
Note que montamos a carteira hipotética de forma que ela refletisse o
comportamento da opção em . Assim, esperamos que ela reflita o comportamento
em ( refere-se a ). Logo, o valor R$0.21 pode ser considerado o valor da opção
em .
Vale observar que, em nossas contas, a probabilidade de 50% de subida ou
descida do dólar não entrou em nenhum momento no cálculo do preço da opção em
. O que de fato influenciou no prêmio foi a amplitude (R$1.90 - R$2.60). Efetuando
os cálculos, poderíamos ver que uma amplitude menor reduziria o prêmio da opção e
uma maior o aumentaria.
Isso indica que uma boa estimativa da volatilidade do preço de um ativo objeto
é fundamental para o bom apreçamento da opção.
Podemos encontrar uma expressão para e . Sejam , o preço do ativo
objeto em , , o preço em exercício da opção, e , a taxa de juros básica por período.
Se tal ativo pode subir para ( ) com probabilidade e cair para ( )
com probabilidade ( ) e
( ) (3)
( ) (4)
são os prêmios possíveis em , então:
{
( ) ( )
( ) ( )
Logo,
( )
( )

19. 19
e
{ ( ) } ( )
( ) ( )
( )
Aqui é necessário impor uma condição de não-arbitragem: . Se
então podemos tomar quantidade qualquer de dinheiro emprestado e comprar
o ativo objeto, pois o lucro será certo. Se então vendemos o ativo objeto (a
descoberto) e emprestamos a mesma quantidade para obter lucro.
Para obtermos o prêmio da opção em fazemos:
O que nos dá:
[( ) ( ) ]
Note que, se definimos:
temos, então:
Ou seja,
( ) ( )
Isto é, representa uma espécia de probabilidade e seria um valor esperado
em descontando a taxa de juros.
4.2. Modelo Binomial
O modelo binomial estende a análise que fizemos anteriormente para diversos
períodos, não apenas o posterior a . Na prática, se estamos a dias do vencimento
da opção, vamos simulando dia a dia o comportamento do preço do ativo objeto até

20. 20
seu vencimento. Então, no vencimento, calculamos o preço das opções. Em seguida,
vamos voltando na simulação calculando os prêmios no instante anterior através da
expressão (7). Esse modelo nos diz que o preço do ativo objeto segue um processo
binomial onde o preço em um instante pode ir para o valor ( ) com
probabilidade e para ( ) com probabilidade , onde .
O processo pode ser ilustrado da seguinte forma:
3,60
3,10
2,60 2,90
2,10 2,40
1,90 2,20
1,70
1,50
Então aqui, simulamos o ativo objeto, dólar, como no modelo binomial, mas
expandindo até , com o mesmo subindo R$0.50 ou caindo R$0.20.
Dessa forma em (fim da simulação) conhecemos o preço das opções, com
strike R$2.10, onde se o dólar valer R$3.60, o prêmio da opção será R$1.50, e se valer
R$2.90, ela valerá R$0.80, conforme ilustraremos a seguir com os prêmios em
vermelho.

21. 21
3,60 1,50
0,73
3,10 1,19
0,66
2,60 0,86 2,90 0,80
0,59 0,63
2,10 0,56 2,40 0,49
0,56
1,90 0,27 2,20 0,10
0,53
1,70 0,05
1,50 0,00
Dessa forma, conseguimos achar o preço da opção em , quando o dólar
custava R$3.10, e assim sucessivamente, até encontrarmos o preço da opção em ,
custando R$0.56, valor que desejávamos encontrar.
4.3. Modelagem contínua de preços
Como vimos no modelo binomial, nossa hipótese é que, de um período para
outro, os preços assumem possibilidades finitas de variação. De fato, essa é uma
hipótese extremamente simplificadora, uma vez que a dinâmica do mercado gera
muito mais possibilidades do que 2, 3, 10 ou 20 preços diferentes.
Isto nos sugere que é necessária uma abordagem contínua para a dinâmica dos
preços dos ativos.
Para tal, fazemos duas observações importantes:
- Há um fator de pseudo-aleatoriedade na variação dos preços dos ativos. O
preço não depende de características físicas, biológicas ou algo que possa ter um
comportamento bem definido por algum processo matemático justamente pela
presença da vontade "humana" no processo. Porém é possível estabelecermos
determinadas tendências (ainda que por curtos períodos de tempo) no seu
comportamento;

22. 22
- Informação passada sobre essa variação é de pouca (ou nenhuma) validade na
tentativa de previsão. Podemos utilizar informação recente numa tentativa de
previsão de tendência, mas dados "velhos" podem servir apenas para pesquisas,
pessoas que escrevem textos sobre mercado financeiro e esotéricos das análises
técnicas para previsão do mercado de ações;
A alternativa para a modelagem de uma variável com essas características é a
utilização de um "processo estocástico". Um processo comumente usado em finanças
é o processo de Wiener ou movimento Browniano. Suas características:
1. Futuro não depende do passado;
2. Variações em um instante são independentes de variações ocorridas em
outros momentos;
3. Variações tem distribuição normal com variação proporcional ao intervalo de
tempo considerado;
O processo de Wiener em tempo contínuo pode ser descrito por:
√
Onde é um processo de Wiener, é variável aleatória com distribuição
normal N(0,1) e é variação infinitesimal do tempo.
Observe que:
( ) ( √ ) √ ( ) (8)
( ) ( √ ) (√ ) ( ) (9)
Agora, queremos usar o processo de Wiener para descrever uma variação
do preço de um determinado ativo. Digamos que temos a informação que segue
uma tendência . No caso, representa uma média de variação do preço por
unidade de tempo . Essa média pode ser obtida tomando-se a variação (retorno) dos
preços dos ativos de alguns dias anteriores ao período que estamos considerando.
Resumindo:
Porém, de acordo com as observações anteriores, precisamos adicionar o fator
de aleatoriedade em . Para isso, adicionamos à tendência o processo de Wiener
multiplicado por um fator de amplificação que será tomado como a volatilidade da
variação do preço do ativo objeto, representado por :

23. 23
A fórmula acima dos diz que segue uma tendência com variações a seu
redor dadas por .
Uma aproximação para seria tomarmos a discretização
√ .
Note que, como há uma variável aleatória, , é impossível estabelecer uma
trajetória única para a variação . O que se faz muitas vezes, principalmente na área
de análise de risco, é simular diversas possibilidades para o percurso de através de
algum gerador de número aleatórios e obter uma distribuição de possibilidades.
Voltando à variável , note que ela representa a variação do preço da ação (ou
retorno do ativo). Propositalmente ela foi escrita com minúsculo, pois não
representa a variação absoluta do preço e sim a variação relativa. Para voltarmos a
variável original , precisamos colocar:
Assim, obtemos:
√ ( )
4.4. Retorno Logarítmico
A forma de cálculo do retorno de um ativo é dada por:
onde é o retorno em e é o preço do ativo em . Esse é o chamado retorno
discreto.
Em finanças, porém, é comum utilizarmos o retorno contínuo, representado
por:
( )
São muitas as razões, entre elas:

24. 24
1. Para intervalos de tempo pequenos a aproximação é boa, pois a variação
deve ser pequena
( )
2. O cálculo de um retorno de dois períodos é calculado simplesmente pela
soma dos retornos de cada período:
( ) ( ) ( ) ( )
3. Se um ativo de um período tem retorno e no período seguinte retorno
ele volta exatamente ao mesmo patamar.
Isso é muito importante numa tentativa de previsão de tendência. Uma média
zero de retornos contínuos nos diz que o preço do ativo deve ficar no mesmo patamar.
Já no caso de retornos discretos, isso não é verdade. Imagine que um ativo pode
alternar por 20 dias retornos de +3% e -3%. Se o preço inicial dele era de R$100.00,
após 20 dias será de:
( ) ( )
o que dá uma perda de quase 1%. Obviamente isso ainda representa um leve desvio
do esperado, mas mostra que uma distorção maior pode provocar problemas.
Mesmo para intervalos grandes, o retorno contínuo pode ser usado desde que
seja respeitada a forma de correção do preço do ativo. Se um ativo teve retorno
discreto de 3% em , seu preço em deve ser dado por:
( )
Já se 3% é um retorno contínuo, então teremos:
( ).
Como última observação, vamos discutir brevemente sobre a distribuição de .
Não será tratado aqui, mas, conforme BELITSKY [1], pode se mostrar que a variável
tem distribuição normal com média e variança . Note que se estivermos
trabalhando com o retorno contínuo, então teremos (de forma grosseira):
( )
Assim poderemos assumir como hipótese que nosso retorno contínuo possui
uma distribuição próxima a normal. Para ações com bastante liquidez na bolsa, por

25. 25
exemplo, essa hipótese é até bem satisfeita. Veja esse exemplo com a distribuição dos
retornos da ação PETROBRAS PN:
0
100
200
300
400
500
600
700
<-8%
-7%a-6%
-5%a-4%
-3%a-2%
-1%a0%
1%a2%
3%a4%
5%a6%
7%a8%
>8%
Frequência(emdias)
Retornos
Distribuição dos retornos contínuos da ação PETR4
entre 2007 e 2014

26. 26
4.5. A formula de Black-Scholes
Para a sequência do trabalho, vamos citar brevemente o lema de Itô. Segundo
BELITSKY [1],
Lema 1 (Itô) Seja ( ) duas vezes diferenciável, onde é um processo de Itô,
isto é,
( ) ( )
onde dz é o processo de Wiener, então,
[ ( ) ( ) ] ( )
Imediatamente associamos a nossa variável para obter:
,
ou seja,
( ) e ( ) .
Estamos interessados em usar como a função ( ) que dá o preço de
uma opção em . Nesse caso teríamos:
[ ]
Note que para a aplicação da fórmula acima precisamos na verdade de várias
hipóteses:
1. só depende de e . Outros parâmetros ( ) são constantes e dados
pelo mercado.
2. Posições a descoberto são permitidas.
3. Os retornos dos ativos seguem uma distribuição normal. Isso foi necessário
para usarmos a descrição de .
4. Não-arbitragem para garantir que o preço de mercado é o preço do modelo.
Obviamente existem outras hipóteses de mercado que foram removidas para a
aplicação do modelo (imposto, margens de garantia, existência de liquidez, etc.).

27. 27
O apreçamento da opção será feito seguindo a mesma ideia do modelo
binomial. Criaremos uma carteira (P) que contém uma opção com prêmio , uma
quantidade do ativo objeto e uma quantidade de dinheiro emprestado a taxa de
juros constante. Agora será importante escrever:
( )
( )
( )
Assim, o valor da carteira em cada instante de tempo é:
( ) ( ) ( ) ( )
A diferencial de será:
Note que como a taxa de juros é constante, então2
:
Agora, substituindo obtemos:
[ ( ) ] ( )
Note que a condição de não arbitragem implica para todos os instantes
de tempo. Se em algum instante de tempo , é possível fazer o mesmo que foi
feito no modelo binomial para se obter lucro.
Para garantir que , em primeiro lugar, teremos que eliminar o efeito
aleatório causado por .
Para isto, fazemos:
Finalmente, para obtermos
( )
2
Para garantir que todos os tipos de retornos sejam contínuos, precisaremos que ( ),
onde é a taxa básica de juros ao ano

28. 28
Então, trocando e na equação de e igualando 0, obtemos, abaixo, a
equação conhecida como Black-Scholes,
( )
Para opções de compra europeia, precisamos das seguintes condições de
contorno ( é o tempo de exercício):
{
( )
( ) [ ]
( )
[ ]
A primeira opção simplesmente nos diz que no vencimento a opção vale a
diferença entre o preço de mercado e o exercício. A segunda nos diz que a opção não
vale nada se o preço do ativo objeto zerar em algum instante (claramente é uma
restrição artificial). A última nos diz que o preço justo da opção é exatamente o valor
do ativo objeto se o preço do mesmo subir muito. Na prática, mostra que se o preço
de exercício for muito menor que o de mercado, comprar a ação ou a opção da no
mesmo.
Resolver a EDP com as condições de contorno dadas é possível. Conforme HULL
[2], pode-se mostrar que a solução é:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
onde,
( ) ( ) ( )
√
( ) ( ) ( )
√
e
( )
√
∫
A expressão acima é obtida de acordo com as condições de contorno
apresentadas. Entretanto, poderia ser interessante resolver a equação de Black-
Scholes através de um método numérico. Caso precisemos alterar alguma condição de
contorno ou até incorporar algum termo na equação, as fórmulas anteriores podem
não mais servir.

29. 29
Outra questão importante é que, para cada valor de e , ao aplicarmos a
fórmula precisaríamos calcular numericamente duas integrais impróprias, gerando um
custo computacional razoável. Se conseguirmos um método de resolução mais
econômico, poderemos ganhar um tempo considerável no processo de precificação de
uma carteira com uma grande quantidade de opções diferentes.
Na tabela abaixo, podemos observar alguns exemplos de preços de opções
praticadas pelo mercado e pela fórmula de Black-Scholes:
Opção Strike Vencimento Mercado Black-Scholes
PETRB15 15,00 17-fev-14 0,38 0,39
PETRB45 15,50 17-fev-14 0,21 0,21
PETRB16 16,00 17-fev-14 0,12 0,11
PETRB46 16,50 17-fev-14 0,06 0,05
PETRB17 17,00 17-fev-14 0,02 0,03
PETRB47 17,50 17-fev-14 0,01 0,02
PETRB18 18,00 17-fev-14 0,01 0,01
PETRB19 19,00 17-fev-14 0,00 0,01
PETRC44 14,50 17-mar-14 0,91 0,89
PETRC45 15,84 17-mar-14 0,35 0,32
PETRC16 16,00 17-mar-14 0,52 0,51
PETRC46 16,50 17-mar-14 0,21 0,21
Fonte: Aditus Consultoria Financeira
Se aplicarmos o modelo no exemplo de dólar que demos no início, podemos
substituir os parâmetros e obteremos:
( )
Fonte: BACEN
Assim,

30. 30
( ) ( ( )) ( )
√
( ) ( ( )) ( )
√
( ) ( )
( ) ( )
Portanto, chegamos ao seguinte resultado do modelo e, consequentemente, o
prêmio da opção conforme queríamos.
( ) ( )

31. 31
5. Conclusão
Após uma breve introdução ao mercado de opções, destacando importantes
riscos que podem ser reduzidos com o seu uso, além de diversos exemplos e formas de
aplicação, apresentamos, aqui, a equação de Black-Scholes, de extrema importância no
mercado financeiro por permitir a estimativa do prêmio de opções.
A importância desta fórmula vai além de meras oportunidades de lucro no
mercado. O dia-a-dia dos analistas financeiros, consultores e profissionais de bancos e
gestoras de recursos requer o cálculo intensivo do preço justo de ativos, incluindo aí as
opções. São obrigações desses profissionais acompanhar suas posições de
investimento e tomar medidas cabíveis quando o instrumento deixa de ser
interessante ou uma nova oportunidade aparece.
A fórmula de Black-Scholes trouxe ao mercado financeiro uma estimativa
precisa do prêmio justo das opções. Principalmente, porque as decisões do dia-a-dia
podem agora ser baseadas em fórmulas concretas e, com isso, viabilizando a
construção de sistemas de cálculo de grandes proporções.
Mostramos, inclusive, a transformação da equação de Black-Scholes na
Equação do Calor, dando possibilidade para análise e resolução da equação por meios
analíticos ou numéricos.

32. 32
Apêndice
Podemos ainda utilizar uma transformação que pode ser muito útil
computacionalmente, além de já existem vários métodos numéricos e materiais
acadêmicos prontos.
1. Transformando o modelo Black-Scholes na Equação do Calor
Vamos examinar uma transformação que será muito útil para uma possível
implementação computacional da solução da equação de Black-Scholes.
Digamos que o preço de um ativo é dado por:
Essa transformação é razoável, pois assume todos os valores reais
estritamente positivos.
Com isso:
e,
( )
Portanto,
[ ]
Com isso, a equação (11) torna-se:
[ ]
[ ]
[ ]

33. 33
Fazendo
obtemos:
( ) ( )
Agora tome a transformação:
( )
Onde T é o tempo de exercício da opção. A nova variável pode ser entendida
como o tempo até o vencimento da opção (ou prazo) multiplicado por uma constante.
Com isso, o tempo na equação Black-Scholes passa a ser visto na ordem inversa
ao sentido normal, fazendo com que seja visto como uma espécie de "tempo inicial"
para o processo. Assim,
Dessa forma, (13) torna-se:
( ) ( )
Finalmente se escrevermos:
( ) ( )
( ) ( )
onde ( ) ( ) ( ( ) ) , então:
{ ( ) ( )
}
{ ( ) [ ( ) ( )
]}
{ ( ) ( ) ( )
}
{ ( ) ( ) ( ) ( )
}

34. 34
{ ( ( ) ) ( )
}
Assim (14) torna-se:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ( ) ) ( )
De onde temos,
( ) ( )
Assim resolvemos a equação para e encontramos aplicando a
transformação (15). Para as condições de contorno teremos:
(a) ( ) ( ) ( ) , onde ( ).
(b) ( ) ( )
(c)
( ) ( )
.
Note que ( ) ( )
( ) ( )
( )
Com isto,
( ) ( )
( )
Agora,
( )
( )
( ) ( ( ) )
( )
A única chance do limite acima ir para zero é se:
( )
Finalmente,

35. 35
( ) ( )
( ) ( )
( )
Desta forma, um meio de se resolver a Equação de Black-Scholes é transformá-
la na equação do Calor, usar um método conhecido para resolvê-la e, então, voltar
para o modelo inicial. Pode-se, assim, usar soluções analíticas conhecidas ou métodos
numéricos.

36. 36
Referências
[1] BELITSKY, Vladimir, Métodos Probabilísticos em Precificação de Derivativos. 14º
SINAPE, Caxambu, 2000.
[2] HULL, John C., Options, Futures and Other Derivatives, 4th Edition.
[3] SHAW, William T., Modelling Financial Derivatives with Mathematics. Cambridge
University Press, 1998.
[4] VARGA, Gyorgy, Notas de Aula: Cálculo de Preço de Opção de Compra para o
Mercado Brasileiro. Fundação Getúlio Vargas, São Paulo, 1997.
[5] CAPISNKI, M. & ZASTAWNIAK, T., Mathematics for finance, An introduction to
Financial Engineering, Springer 2003.
[6] JIANG, L., Mathematical Modeling and Methods of Option Pricing, World Scientific,
2005.