O documento discute a avaliação de opções de compra, onde o valor da opção depende do preço atual do ativo subjacente, dos valores futuros possíveis do ativo, e da taxa de juros, mas não da probabilidade dos valores futuros. A solução envolve construir uma carteira com o ativo e empréstimo que replicam o fluxo de caixa da opção, de modo que não haja arbitragem.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE:
QUESTÕES PUC-RIO - ECONOMIA NA LISTA
Claudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Um dos problemas mais interessantes de economia (ou, mais precisamente,
de finanças) e que é 100% "on-topic" na lista PUC-RIO (na minha opinião) é o
da avaliação de uma opção de compra. Eu acho "on-topic" porque, entre outras
coisas, o IMPA oferece um curso de mestrado em métodos matemáticos para
finanças, que trata principalmente da avaliação de derivativos (dos quais as
opções são um exemplo importante).
Introdução

3. PROBLEMA
A versão mais básica do problema é ilustrada pelo seguinte exemplo:
Hoje, você compra por R$ 100 um bilhete de uma loteria que, daqui a um ano,
vai pagar R$ 200 com probabilidade p ou R$ 50 com probabilidade 1-p.
Supondo que você pode aplicar ou tomar emprestado reais a 20% ao ano,
quanto você pagaria hoje pelo direito (mas não a obrigação) de comprar um
dado bilhete, 1 minuto após o sorteio (mas antes do pagamento do prêmio),
por R$150 ?
Isso significa que se o bilhete pagar R$200, o seu lucro terá sido de R$50.
Caso contrário, seu lucro terá sido zero (você não terá prejuízo, pois tem o
direito mas não a obrigação de adquirir o bilhete e, naturalmente, não vai
comprar por R$150 um bilhete que só vale R$50).

4. A pergunta interessante é:
A resposta depende de p?
Dica:
Suponha que você pode comprar frações de bilhete.
Em geral, se o bilhete vale hoje S e, daqui a um ano, vai valer H com
probabilidade p e L com probabilidade 1-p, e se você aplica ou toma
emprestado reais a uma taxa de juros de i, quanto você paga pelo direito de
adquirir um bilhete, logo após o sorteio, pelo preço de K?

5. SOLUÇÃO
OK. Então aqui vai, já com desculpas pelo meio-off-topic.
Consideremos o caso de uma opção de compra com 1 ano de prazo, preço de
exercício = K, sobre um ativo que hoje vale S e, daqui a um ano, vai valer:
H, com probabilidade p ou L, com probabilidade 1-p (L < H)
Isso significa que a opção dá a seu titular o direito de adquirir o ativo pelo
preço K dentro de 1 ano - o caso de interesse é, naturalmente, quando L < K <
H.
Ou seja, se daqui a um ano o ativo valer H, o titular receberá H - K (ele
exercerá a opção, adquirindo o ativo por K e, imediatamente, poderá vender o
ativo no mercado, recebendo H - se ele resolver não ficar com o ativo, ele
estará correndo um outro risco, o qual não tem nada a ver com a opção). Mas
se o ativo valer H, ele não receberá nem pagará nada.

6. Para não haver arbitragem (ou seja, lucro garantido com risco zero - algo que
não pode acontecer num mercado verdadeiramente eficiente, coisa que
nenhum é de fato!), a seguinte relação deve ser satisfeita: L < S(1+i) < H, onde i
= taxa de juros (suposta constante ao longo do ano).
Pergunta pra você: Por que essa relação deve valer?
Nesse caso, talvez o mais surpreendente é que o valor da opção não depende
de p.
O que depende de p, dados H e L, é justamente o preço a vista S.
Supondo que o mercado é avesso a risco (o que me parece razoável), a
seguinte relação deve prevalecer: S < (H*p + L*(1-p))/(1+i)

7. (H*p + L*(1-p))/S - 1 > i = taxa de juros de uma aplicação sem risco
No entanto, o mercado, se for eficiente, só exige prêmio de risco (ou seja, uma
rentabilidade acima da taxa de juros sem risco) de um dado ativo quando este
risco não for diversificável.
No caso das opções, o risco é totalmente diversificável, uma vez que é possível
construir uma carteira de investimentos composta do ativo-objeto da opção e
de um empréstimo, cujo fluxo de caixa é exatamente igual ao do ativo. Logo,
para não haver arbitragem a carteira deve valer a mesma coisa que a opção.
Assim, um investidor que vende a opção e compra esta carteira não terão
risco algum e, portanto, não deveria ter lucro algum.

8. O valor da opção é fácil de calcular:
Na data inicial, o investidor vende a opção de compra, arrecadando C, toma
um empréstimo de B reais a juro i, e compra n unidades do ativo-objeto.
Logo, seu fluxo de caixa é igual a C + B - n*S
Na data final:
1) se o ativo valer H, o investidor pagará H - K ao comprador da opção, B*(1+i)
ao banco, e receberá n*H pelo ativo
2) se o ativo valer L, o investidor não pagará nada ao comprador da opção,
pagará B*(1+i) ao banco e receberá n*L pelo ativo.
(estou supondo que L < K < H)
Se quisermos zerar o fluxo de caixa na data final, teremos que escolher n e B
de modo que: n*H - (H-K) - B*(1+i) = 0 e n*L - B*(1+i) = 0.

9. Resolvendo para n e B, obtemos:
n = (H - K)/(H - L) e B = ((H - K)/(H - L))*L/(1+i)
Se o fluxo de caixa no fim for zero em qualquer cenário, então o fluxo de caixa
inicial será também 0, ou seja, dados n e B soluções do sistema acima,
teremos:
C = n*S - B = ((H - K)/(H - L))*(S - L/(1+i))
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200511/msg00011.html