O documento apresenta uma aula sobre derivativos, abordando conceitos como: o que são derivativos e seus tipos principais como contratos a termo, futuros, swaps e opções; o modelo de Black-Scholes para avaliação de opções; e noções como volatilidade implícita e letras gregas.

1. Aula 3
Derivativos
Prof. José Valentim Machado Vicente, D.Sc.
jose.valentim@gmail.com

2. Aula 3 2
Conteúdo da Aula
 O que é um derivativo?
 Contratos a Termo e Futuro
 Swap
 Opções
 Modelo de Black & Scholes
 Volatilidade Implícita
 Letras Gregas

3. Aula 3 3
O que é um derivativo?
 Derivativo é um ativo cujo payoff (valor) depende (ou deriva) do
valor de mercado de um outro ativo (subjacente).
 Mais geralmente, um ativo contingente é um ativo cujo payoff
depende da realização de alguma variável aleatória subjacente
(bilhetes de loteria, políticas de seguro, “derivativos do tempo").
 Derivativos são negociados tanto em mercados de balcão como
em bolsas de valores.
 Os termos de um contrato de balcão são resultados da
negociação direta entre as partes, portanto são muito flexíveis.
Em contraste, os termos de um contrato de bolsa são
padronizados pela própria bolsa.

4. Aula 3 4
Tipos de Derivativos
 Principais tipos de derivativos:
 Contratos a termo
 Contratos Futuros
 Swaps
 Opções

5. Aula 3 5
Contratos a Termo
 Um contrato a termo é um acordo de compra:
 de uma quantidade específica de um determinado ativo.
 em uma data futura (data de entrega (delivery))
 a um preço específico (preço de entrega)
 O comprador de um contrato a termo é detentor de uma posição
comprada (long) e o vendedor é detentor de uma posição
vendida (short).
 O preço a termo é normalmente determinado de modo que o
valor do contrato seja zero na data de assinatura (não custa nada
ficar comprado ou vendido).

6. Aula 3 6
Contrato a Termo
 O ativo subjacente é, geralmente, um título, uma ação, um
índice, uma moeda, ou uma commodity.
 Notação:
 Data de entrega: T
 Preço do ativo subjacente na data t (spot price): St
 Preço a termo para um contrato assinado em t: Gt,T
 Na data de entrega, GT,T = ST (convergência).
 O ganho na data T de uma posição comprada na data t será:
ST − Gt,T

7. Aula 3 7
Contratos Futuro
 Mesma definição dos contratos a termo, com duas importantes
exceções:
 Enquanto os contratos a termo são negociados através de
dealers em mercados de balcão (OTC), contratos futuros são
negociados em bolsas de valores. Os contratos futuros são
padronizados e mais líquidos.
 Contratos futuros são “marcados a mercado”. O ganho com
contratos a termo GT,T − Gt,T é realizado no vencimento do
contrato e os contratos futuros são marcados diariamente.
Isto é, no fim de cada dia de negociação t, o detentor de uma
posição comprada tem o seguinte payoff Ft,T − Ft-1,T
(paga/recebe do detentor de uma posição vendida).

8. Aula 3 8
Avaliando os Contratos a Termo
 Considere as hipóteses de mercado perfeito de capitais:
 Não há custo de transação;
 Não há a cobrança de impostos;
 Não há restrição a vendas a descoberto;
 Não há restrições a liquidez.
 Considere a seguinte notação:
 St = Preço do ativo subjacente em t;
 rt,T = taxa de juros livre de risco em t com prazo T – t.

9. Aula 3 9
Avaliando os Contratos a Termo
 Por não arbitragem, o preço a termo na data t é :
 Suponha agora que o ativo subjacente pague dividendos durante
a vida do contrato a termo. Seja Dt,T o valor em t dos dividendos
a serem pagos entre t e T. Nesse caso, por não arbitragem temos
 Se o dividendo é pago continuamente a uma taxa contínua q,
então:
.
)(
,
,
t
tTr
Tt SeG Tt −
=
( ).,
)(
,
,
Ttt
tTr
Tt DSeG Tt
−=
−
.
))((
,
,
t
tTqr
Tt SeG Tt −−
=

10. Aula 3 10
Avaliando os Contratos a Termo
 No caso em que o ativo subjacente é uma moeda estrangeira, a
variável S é o preço da moeda estrangeira. A moeda estrangeira
proporciona a seu detentor um rendimento conhecido a uma taxa
igual a taxa de juros na moeda estrangeira Logo o preço do
contrato a termo sobre a moeda estrangeira é
.
))((
,
,,
t
tTrr
Tt SeG
f
TtTt −−
=
.,
f
Ttr

11. Aula 3 11
Swap
 Um Swap é um acordo de balcão para troca de duas séries de
fluxos de caixa, sobre um determinado período de tempo, que
dependem do valor de mercado de um ou mais ativos. Os termos
dos contratos são normalmente escolhidos de modo que o valor
do contrato na data de assinatura é zero.
 No Brasil, os swaps possuem as seguintes características:
 Podem ser registrados na BMF ou CETIP.
 O acerto financeiro da diferença entre os indexadores
aplicados sobre o principal ocorre geralmente no vencimento
do contrato.

12. Aula 3 12
Tipos de Swaps
 Swap de taxa de juros - “plain vanilla”: troca de pagamentos de
juros a uma taxa fixa por pagamentos de juros a uma taxa
flutuante, sobre o mesmo notional.
 Swap de moedas: troca de séries de pagamentos (principal e
juros) denominados em uma moeda por séries de pagamentos
(principal e juros) em outra moeda.
 Swap de commodities: troca de fluxos de caixa baseados em
valores futuros de commodities por séries de pagamento fixas.
 Swap de ações : troca de pagamento do retorno de um índice de
ações aplicado sobre um notional por um pagamento de um
retorno fixo ou flutuante sobre o mesmo notional (aumento ou
diminuição da exposição ao índice).

13. Aula 3 13
Opções
 Uma Opção é um derivativo que dá a seu detentor escolha(s)
futuras que afetam os fluxos de caixa da posição.
 Opção de compra (Call): dá a seu detentor o direito, mas não
a obrigação de comprar um ativo especificado (subjacente)
em (ou até) uma determinada data (vencimento) por um
preço pré-especificado (preço de exercício - strike).
 Opção de venda (Put): dá a seu detentor o direito, mas não a
obrigação de vender um ativo especificado(subjacente) em
(ou até) uma determinada data (vencimento) por um preço
pré-especificado (preço de exercício - strike).
 O ativo subjacente pode ser um título, uma ação, um índice, uma
moeda estrangeira, uma commodity, ou um outro derivativo.

14. Aula 3 14
Opções
 Opções que só podem ser exercidas no vencimento são
chamadas Opções Européias. Opções que só podem ser
exercidas a qualquer tempo até o vencimento são chamadas
Opções Americanas.
 Considere uma opção européia com data de vencimento T, preço
de exercício K sobre um ativo com spot ST. O payoff no
vencimento de uma posição comprada nessa opção é:
Máx[ST − K,0]

15. Aula 3 15
Modelo BS
 No modelo BS, assumiremos que o preço do ativo objeto segue
um MBG. Isso significa que o preço da ativo obedece a seguinte
EDE:
 Esta indica como o preço da ação evolui ao longo do tempo: ele
depende de uma componente determinística que gera um
rendimento contínuo à taxa µ, e mais um termo estocástico que
depende do movimento browniano, e devido à volatilidade
constante, apresenta distribuição normal.
tttt dWSdtSdS σµ +=

16. Aula 3 16
Modelo BS
 O preço da ação segue um movimento browniano geométrico.
 Vendas a descoberto são permitidas.
 Não há custos de transações ou taxas.
 Não há pagamentos de dividendos durante a existência do
derivativo.
 Transações podem ser realizadas continuamente.
 A taxa de juros básica é constante e a mesma para todos os
prazos de maturação.
 Assumindo-se ausência de arbitragens obtemos o preço justo dos
derivativos.

17. Aula 3 17
Modelo BS
 Preço da call européia
 Para o preço da put, basta usar a paridade:
( )
( )
( )tTdd
tT
tTr
K
S
d
dNKedNSc
t
tTr
tt
−−=
−
−





++





=
−= −−
σ
σ
σ
12
2
1
2
)(
1
2
1
ln
)()(
tt
tTr
t SpKec +=+ −− )(

18. Aula 3 18
Moneyness
 O moneyness é uma medida do grau de probabilidade de uma
opção ter um payoff positivo no vencimento.
 Uma opção é dita out-of-the-money (fora do dinheiro) quando
sua probabilidade de exercício é baixa. Para uma call significa
que o preço do ativo à vista está muito abaixo do strike, já para
uma put acontece o contrário, isto é, o preço do ativo à vista está
muito acima do strike.
 Uma opção é dita in-the-money (dentro do dinheiro) quando o
seu exercício é mais provável do que o seu não-exercício. Uma
call in-the-money ocorre se o preço do ativo à vista estiver muito
acima do strike. Uma put in-the-money ocorre quando o preço
do ativo à vista estiver muito abaixo do strike.

19. Aula 3 19
Moneyness
 Por fim, uma opção é dita at-the-money (no dinheiro) quando as
chances de exercício e de não-exercício são aproximadamente
iguais. Tanto para call como para a put isso acontece se o preço
do ativo à vista estiver próximo ao do strike.
 O moneyness pode ser definido de várias formas:

1
)(
d
KeS
KS
tTr −−
−

20. Aula 3 20
Volatilidade Implícita
 Para um preço spot St, strike K, taxa de juros r e vencimento T,
existe uma relação única entre volatilidade e preço de uma call
européia.
 Em particular, para qualquer preço ct (positivo e menor que St),
existe um único nível de volatilidade σ tal que:
ct = BS(St, K, r, T – t, σ)
 Essa volatilidade é chamada de volatilidade implícita.
 Qualquer divergência entre preços de mercado e preços teóricos
podem ser devido a hipóteses incorretas do modelo ou
ineficiências de mercado.

21. Aula 3 21
Volatilidade Implícita

22. Aula 3 22
Letras Gregas
 O efeito da variação dos fatores que afetam o prêmio da opção é
chamado de medida de sensibilidade ou letras gregas.
 A sensibilidade de uma opção a um dado fator de risco é igual a
derivada parcial da fórmula de Black & Scholes em relação a
esse fator.
 Principal letra grega é o delta = sensibilidade do preço de uma
opção a variações no preço do ativo objeto. Para opções de
compra
).( 1dN=∆

23. Aula 3 23
Letras Gregas
Medida Taxa de Variação ou Sensibilidade
Delta () do prêmio relativo a variações no ativo objeto
Gama () do delta relativo a variações no ativo objeto
Teta () do prêmio relativo a variações no tempo
Vega () do prêmio relativo a variações na volatilidade do ativo objeto
Rhô () do prêmio relativo a variações na taxa de juros

24. Aula 3 24
Superfícies de Volatilidade
 É relação em determinado instante entre volatilidade implícita
de calls (sobre um mesmo ativo objeto), prazo de vencimento e
strike (ou o moneyness). É uma superfície no espaço
tridimensional.
 Se o modelo de BS fosse verdadeiro essa superfície seria flat e
constante. Na prática essas superfícies não são flats e variam
estocasticamente.
 Os traders monitoram os movimentos da superfície de
volatilidade bem de perto. Todos os dias os traders estimam
superfícies de volatilidade para diferentes ativos a partir dos
preços das opções.

25. Aula 3 25
Superfícies de Volatilidade
 Alguns pontos da superfície de volatilidade podem ser estimados
diretamente porque correspondem a opções negociadas
ativamente.
 Outros pontos da superfície são obtidos geralmente por
interpolação. Essa interpolação é feita muitas das vezes via
splines cúbicas.

26. Aula 3 26
Superfícies de Volatilidade

27. Aula 3 27
BS para Ativos com Dividendos
 Fórmula de BS com dividendos contínuos
 Quando os dividendos são pagos em instantes discretos, pode-se
descontá-los a valor presente, subtrair do preço inicial da ação, e
aplicar a fórmula de BS.
( )
( )
( )tTdd
tT
tTqr
K
S
d
dNKedNeSc
t
tTrtTq
tt
−−=
−
−





+−+





=
−= −−−−
σ
σ
σ
12
2
1
2
)(
1
)(
2
1
ln
)()(

28. Aula 3 28
Leitura
 Hull, J. Options, Futures and Other Derivatives, 2006.
 Caps. 1, 3, 6, 8, 12, 13, 14, 15 e 23.