Este documento explica os conceitos básicos de matrizes, incluindo sua definição, tipos, operações e propriedades. As matrizes são representadas por conjuntos de números organizados em linhas e colunas. O documento descreve matrizes simétricas, diagonais, escalares, entre outras, e como realizar operações como multiplicação, transposição e inversão de matrizes.
Apostila de Cálculo Diferencial e Integral IJones Fagundes
O documento descreve os conjuntos dos números reais, racionais e irracionais. Define o que são números racionais e irracionais e dá exemplos de cada um. Também explica a reta real e como se relacionam os números nela, além de apresentar as operações básicas com números reais.
Este documento fornece um caderno de questões de matemática para o 3o bimestre do 2o ano do ensino médio. Contém 11 questões sobre álgebra, incluindo sistemas de equações, matrizes e probabilidades. O caderno inclui instruções para os alunos e um gabarito com as respostas detalhadas.
Este documento trata sobre matrizes, definindo suas propriedades e operações básicas. Explica que uma matriz é um conjunto de números organizados em linhas e colunas e apresenta exemplos de diferentes tipos de matrizes como triangulares, simétricas e diagonais. Também descreve como realizar operações como soma, produto e inversa de matrizes.
1. O documento é uma ficha de trabalho de Matemática do 12o ano contendo 9 questões sobre números complexos. 2. As questões abordam escrita de números complexos na forma trigonométrica e algébrica, cálculo de raízes e resolução de equações. 3. Há também uma questão sobre vértices de um hexágono regular no plano complexo.
1) A resolução de equações complexas e determinação de números imaginários puros.
2) Cálculo de conjugados e operações com números complexos.
3) Expressar números complexos na forma a + bi.
1) O conjunto solução da equação 1 1 3 3 x x − + = , com U = R – {0} é {-3, 3}.
2) A solução da equação 1 3 4 1 2 4 3 3 x x + = + é x = 3.
3) A solução da equação 2 3 1 2 1 1 1 x x x + = − + − , com U = R – {–1, 1} é o conjunto {x ∈ R | x ≠ –1, 1}.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, tipos, operações e exemplos. Resume os principais conceitos de matrizes como tabelas com linhas e colunas para organizar dados, indicando elementos individuais e realizando operações como soma, subtração e multiplicação.
Este documento apresenta uma atividade de matemática para crianças com caça-palavras e operações aritméticas. A atividade pede para encontrar números em um diagrama e depois realizar cálculos como soma, subtração, multiplicação e divisão, escrevendo os resultados por extenso em uma cruzadinha.
Apostila de Cálculo Diferencial e Integral IJones Fagundes
O documento descreve os conjuntos dos números reais, racionais e irracionais. Define o que são números racionais e irracionais e dá exemplos de cada um. Também explica a reta real e como se relacionam os números nela, além de apresentar as operações básicas com números reais.
Este documento fornece um caderno de questões de matemática para o 3o bimestre do 2o ano do ensino médio. Contém 11 questões sobre álgebra, incluindo sistemas de equações, matrizes e probabilidades. O caderno inclui instruções para os alunos e um gabarito com as respostas detalhadas.
Este documento trata sobre matrizes, definindo suas propriedades e operações básicas. Explica que uma matriz é um conjunto de números organizados em linhas e colunas e apresenta exemplos de diferentes tipos de matrizes como triangulares, simétricas e diagonais. Também descreve como realizar operações como soma, produto e inversa de matrizes.
1. O documento é uma ficha de trabalho de Matemática do 12o ano contendo 9 questões sobre números complexos. 2. As questões abordam escrita de números complexos na forma trigonométrica e algébrica, cálculo de raízes e resolução de equações. 3. Há também uma questão sobre vértices de um hexágono regular no plano complexo.
1) A resolução de equações complexas e determinação de números imaginários puros.
2) Cálculo de conjugados e operações com números complexos.
3) Expressar números complexos na forma a + bi.
1) O conjunto solução da equação 1 1 3 3 x x − + = , com U = R – {0} é {-3, 3}.
2) A solução da equação 1 3 4 1 2 4 3 3 x x + = + é x = 3.
3) A solução da equação 2 3 1 2 1 1 1 x x x + = − + − , com U = R – {–1, 1} é o conjunto {x ∈ R | x ≠ –1, 1}.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, tipos, operações e exemplos. Resume os principais conceitos de matrizes como tabelas com linhas e colunas para organizar dados, indicando elementos individuais e realizando operações como soma, subtração e multiplicação.
Este documento apresenta uma atividade de matemática para crianças com caça-palavras e operações aritméticas. A atividade pede para encontrar números em um diagrama e depois realizar cálculos como soma, subtração, multiplicação e divisão, escrevendo os resultados por extenso em uma cruzadinha.
Resolução da lista ii inequações e sistema de inequaçõesluisresponde
(1) O documento apresenta 12 questões sobre resolução de inequações e desigualdades. (2) As questões envolvem encontrar intervalos de valores, soluções inteiras e positivas e a menor quantidade possível de uma variável dada restrições. (3) Os resumos fornecem apenas as informações essenciais para entender o tipo de problema e resultado de cada questão sem repetir os detalhes matemáticos.
www.AulasParticulares.Info - Matemática - Exercício de Semelhança de TriânguloAulasParticularesInfo
1. O documento apresenta exercícios sobre semelhança de triângulos, envolvendo determinar medidas desconhecidas a partir de proporções e propriedades de triângulos semelhantes.
2. São resolvidos exercícios que envolvem calcular medidas de lados, ângulos e razões de semelhança a partir de dados fornecidos sobre triângulos semelhantes.
3. Propriedades como ângulos correspondentes iguais e proporcionalidade de lados são usadas para resolver as questões.
1. O documento apresenta definições e propriedades de matrizes, incluindo matrizes especiais como matrizes quadradas, nulas, colunas, linhas, diagonais, identidade, triangulares e simétricas. Também apresenta operações com matrizes como adição, multiplicação por escalar, transposta e multiplicação.
2. Introduz sistemas lineares escritos como equações matriciais AX=B e define a matriz ampliada associada ao sistema. Exemplifica um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas.
3. Apresenta operações
O documento discute potenciação de números inteiros, explicando como calcular potências com bases positivas e negativas. É mostrado que quando a base é negativa, se o expoente for par a potência será positiva, e se for ímpar será negativa. Propriedades como produto de potências da mesma base também são abordadas.
O documento apresenta três problemas matemáticos relacionados a conjuntos, progressões aritméticas e equações. O primeiro problema trata de conjuntos e progressões aritméticas, o segundo de subconjuntos e o terceiro de equações complexas e soma de quadrados.
O documento discute princípios de contagem, números binomiais e o binômio de Newton. Apresenta exemplos de como aplicar o princípio da adição, multiplicação e casas dos pombos para contar possibilidades. Também mostra como calcular números binomiais e expandir expressões usando o binômio de Newton.
Este documento apresenta um livro de fichas de avaliação e remediação em Matemática para o 6o ano de escolaridade. Inclui fichas sobre números naturais, potências, figuras geométricas, volumes e áreas, números racionais e isometrias.
Este documento apresenta um livro de fichas de avaliação e remediação em Matemática para o 6o ano de escolaridade. Inclui fichas sobre números naturais, potências, figuras geométricas, volumes e isometrias.
Esta ficha de trabalho apresenta exercícios sobre sistemas de equações do primeiro e segundo grau com uma e duas incógnitas. Os alunos devem ser capazes de representar graficamente sistemas lineares, resolver sistemas algebraicamente e verificar se pares ordenados são soluções de sistemas. Inclui também problemas de modelização matemática envolvendo sistemas de equações.
O documento apresenta os principais tópicos sobre o software MATLAB, incluindo definição e aplicações do MATLAB, ambiente de trabalho, variáveis, operadores matemáticos, matrizes, sistemas lineares, polinômios, cálculo diferencial e integral e equações diferenciais.
Este documento apresenta 15 questões sobre sistemas de equações e problemas matemáticos. As questões abordam tópicos como determinação de conjuntos solução, resolução de equações com números racionais e inteiros, classificação de sistemas como determinados, indeterminados ou impossíveis, e resolução de problemas envolvendo proporções e sistemas de equações. Resoluções completas são fornecidas para cada uma das questões.
O documento apresenta várias fórmulas matemáticas curiosas que formam padrões numéricos simétricos. Também propõe uma fórmula onde letras do alfabeto representam números que somam percentagens, sugerindo que trabalho duro e conhecimento levam a 98% e 96%, enquanto atitude significa 100%, e amor à vida ultrapassa os 100%. O objetivo é demonstrar que o amor pode levar alguém para além dos limites.
O documento apresenta várias fórmulas matemáticas curiosas e argumenta que o amor pode levar alguém para além dos limites usando uma fórmula numérica para representar palavras-chave. Promove a ideia de que enquanto o trabalho duro e o conhecimento nos levam à perfeição, é o amor à vida que nos leva para além dos 100%.
1) O documento apresenta uma revisão dos conceitos de potenciação, incluindo potências com expoentes inteiros, fracionários e negativos. 2) Também revisa equações exponenciais, apresentando exemplos de resolução. 3) Por fim, fornece exercícios sobre potenciação e equações exponenciais para o estudante praticar os conceitos apresentados.
O documento apresenta resoluções de várias questões de matemática, incluindo problemas envolvendo progressões aritméticas, relações trigonométricas, equações logarítmicas e raízes cúbicas de números complexos.
O documento apresenta o método de mapa de Karnaugh para simplificação de circuitos digitais. O mapa de Karnaugh permite representar visualmente a tabela-verdade de uma função lógica e agrupar termos para reduzir o tamanho e a complexidade do circuito resultante. Exemplos demonstram como preencher o mapa para diferentes números de variáveis e como simplificar expressões lógicas usando esse método.
1) O documento é um sumário de um livro didático de matemática do 9o ano do ensino fundamental.
2) O sumário lista 11 capítulos sobre radiciais, equações de 2o grau, funções e geometria.
3) Os capítulos abordam tópicos como radiciação, operações com radicais, equações do 2o grau, sistemas de equações, funções polinomiais e trigonométricas, semelhança de triângulos e polígonos regulares.
O documento apresenta uma introdução ao software MATLAB, abordando conceitos básicos, operações com matrizes, polinômios, cálculo diferencial e integral e equações diferenciais. É descrito o ambiente de trabalho do MATLAB, com explicações sobre variáveis, operadores matemáticos, funções trigonométricas, exponenciais e funções para resolução de sistemas lineares e cálculo de determinantes, raízes de polinômios e limites, derivadas, integrais e equações diferenciais.
1) O documento discute sistemas de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas, apresentando exemplos resolvidos passo a passo.
2) São mostrados vários exemplos numéricos de sistemas de duas equações, com a resolução de cada um por meio do método de substituição.
3) As equações são representadas graficamente nos diferentes quadrantes do plano cartesiano.
Este documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales. Presenta diferentes tipos como las separables, exactas, homogéneas y de Bernoulli, y describe los pasos para resolver cada tipo. También incluye ejemplos resueltos de cada uno para ilustrar los métodos.
1) Apolonio de Perga estudió las curvas canónicas en el siglo III a.C., las cuales son la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola obtenidas al cortar un cono con un plano.
2) Las ecuaciones canonizadas de estas curvas son función de la distancia entre un punto y un foco o directriz.
3) La elipse y hipérbola tienen dos focos mientras que la parábola tiene un foco y la circunferencia ninguno.
Resolução da lista ii inequações e sistema de inequaçõesluisresponde
(1) O documento apresenta 12 questões sobre resolução de inequações e desigualdades. (2) As questões envolvem encontrar intervalos de valores, soluções inteiras e positivas e a menor quantidade possível de uma variável dada restrições. (3) Os resumos fornecem apenas as informações essenciais para entender o tipo de problema e resultado de cada questão sem repetir os detalhes matemáticos.
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1. O documento apresenta exercícios sobre semelhança de triângulos, envolvendo determinar medidas desconhecidas a partir de proporções e propriedades de triângulos semelhantes.
2. São resolvidos exercícios que envolvem calcular medidas de lados, ângulos e razões de semelhança a partir de dados fornecidos sobre triângulos semelhantes.
3. Propriedades como ângulos correspondentes iguais e proporcionalidade de lados são usadas para resolver as questões.
1. O documento apresenta definições e propriedades de matrizes, incluindo matrizes especiais como matrizes quadradas, nulas, colunas, linhas, diagonais, identidade, triangulares e simétricas. Também apresenta operações com matrizes como adição, multiplicação por escalar, transposta e multiplicação.
2. Introduz sistemas lineares escritos como equações matriciais AX=B e define a matriz ampliada associada ao sistema. Exemplifica um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas.
3. Apresenta operações
O documento discute potenciação de números inteiros, explicando como calcular potências com bases positivas e negativas. É mostrado que quando a base é negativa, se o expoente for par a potência será positiva, e se for ímpar será negativa. Propriedades como produto de potências da mesma base também são abordadas.
O documento apresenta três problemas matemáticos relacionados a conjuntos, progressões aritméticas e equações. O primeiro problema trata de conjuntos e progressões aritméticas, o segundo de subconjuntos e o terceiro de equações complexas e soma de quadrados.
O documento discute princípios de contagem, números binomiais e o binômio de Newton. Apresenta exemplos de como aplicar o princípio da adição, multiplicação e casas dos pombos para contar possibilidades. Também mostra como calcular números binomiais e expandir expressões usando o binômio de Newton.
Este documento apresenta um livro de fichas de avaliação e remediação em Matemática para o 6o ano de escolaridade. Inclui fichas sobre números naturais, potências, figuras geométricas, volumes e áreas, números racionais e isometrias.
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Esta ficha de trabalho apresenta exercícios sobre sistemas de equações do primeiro e segundo grau com uma e duas incógnitas. Os alunos devem ser capazes de representar graficamente sistemas lineares, resolver sistemas algebraicamente e verificar se pares ordenados são soluções de sistemas. Inclui também problemas de modelização matemática envolvendo sistemas de equações.
O documento apresenta os principais tópicos sobre o software MATLAB, incluindo definição e aplicações do MATLAB, ambiente de trabalho, variáveis, operadores matemáticos, matrizes, sistemas lineares, polinômios, cálculo diferencial e integral e equações diferenciais.
Este documento apresenta 15 questões sobre sistemas de equações e problemas matemáticos. As questões abordam tópicos como determinação de conjuntos solução, resolução de equações com números racionais e inteiros, classificação de sistemas como determinados, indeterminados ou impossíveis, e resolução de problemas envolvendo proporções e sistemas de equações. Resoluções completas são fornecidas para cada uma das questões.
O documento apresenta várias fórmulas matemáticas curiosas que formam padrões numéricos simétricos. Também propõe uma fórmula onde letras do alfabeto representam números que somam percentagens, sugerindo que trabalho duro e conhecimento levam a 98% e 96%, enquanto atitude significa 100%, e amor à vida ultrapassa os 100%. O objetivo é demonstrar que o amor pode levar alguém para além dos limites.
O documento apresenta várias fórmulas matemáticas curiosas e argumenta que o amor pode levar alguém para além dos limites usando uma fórmula numérica para representar palavras-chave. Promove a ideia de que enquanto o trabalho duro e o conhecimento nos levam à perfeição, é o amor à vida que nos leva para além dos 100%.
1) O documento apresenta uma revisão dos conceitos de potenciação, incluindo potências com expoentes inteiros, fracionários e negativos. 2) Também revisa equações exponenciais, apresentando exemplos de resolução. 3) Por fim, fornece exercícios sobre potenciação e equações exponenciais para o estudante praticar os conceitos apresentados.
O documento apresenta resoluções de várias questões de matemática, incluindo problemas envolvendo progressões aritméticas, relações trigonométricas, equações logarítmicas e raízes cúbicas de números complexos.
O documento apresenta o método de mapa de Karnaugh para simplificação de circuitos digitais. O mapa de Karnaugh permite representar visualmente a tabela-verdade de uma função lógica e agrupar termos para reduzir o tamanho e a complexidade do circuito resultante. Exemplos demonstram como preencher o mapa para diferentes números de variáveis e como simplificar expressões lógicas usando esse método.
1) O documento é um sumário de um livro didático de matemática do 9o ano do ensino fundamental.
2) O sumário lista 11 capítulos sobre radiciais, equações de 2o grau, funções e geometria.
3) Os capítulos abordam tópicos como radiciação, operações com radicais, equações do 2o grau, sistemas de equações, funções polinomiais e trigonométricas, semelhança de triângulos e polígonos regulares.
O documento apresenta uma introdução ao software MATLAB, abordando conceitos básicos, operações com matrizes, polinômios, cálculo diferencial e integral e equações diferenciais. É descrito o ambiente de trabalho do MATLAB, com explicações sobre variáveis, operadores matemáticos, funções trigonométricas, exponenciais e funções para resolução de sistemas lineares e cálculo de determinantes, raízes de polinômios e limites, derivadas, integrais e equações diferenciais.
1) O documento discute sistemas de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas, apresentando exemplos resolvidos passo a passo.
2) São mostrados vários exemplos numéricos de sistemas de duas equações, com a resolução de cada um por meio do método de substituição.
3) As equações são representadas graficamente nos diferentes quadrantes do plano cartesiano.
Este documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales. Presenta diferentes tipos como las separables, exactas, homogéneas y de Bernoulli, y describe los pasos para resolver cada tipo. También incluye ejemplos resueltos de cada uno para ilustrar los métodos.
1) Apolonio de Perga estudió las curvas canónicas en el siglo III a.C., las cuales son la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola obtenidas al cortar un cono con un plano.
2) Las ecuaciones canonizadas de estas curvas son función de la distancia entre un punto y un foco o directriz.
3) La elipse y hipérbola tienen dos focos mientras que la parábola tiene un foco y la circunferencia ninguno.
1) Se describen las ecuaciones que definen rectas y planos en el espacio tridimensional, incluyendo ecuaciones vectoriales, paramétricas e implícitas. 2) Se explican métodos para determinar la posición relativa de dos rectas o de un plano y una recta basados en estudiar la dependencia lineal de sus vectores directores y normales. 3) También se analiza la posición relativa de dos planos mediante el rango de la matriz formada por sus coeficientes.
1) El documento contiene información sobre vectores, operaciones con vectores, producto escalar, rectas y ecuaciones vectoriales, paramétricas y explícitas de rectas. 2) También incluye conceptos como dependencia e independencia lineal de vectores, ángulo entre rectas, bisectriz de un segmento y de un ángulo. 3) Finalmente, presenta la ecuación general de una circunferencia.
1. Un documento describe diferentes tipos de sucesiones matemáticas como sucesiones aritméticas, geométricas y sus propiedades. 2. Se definen conceptos como tero general, diferencia, razón y se explican sus características. 3. También se introducen series matemáticas y criterios para determinar la convergencia o divergencia de una serie.
1) El documento presenta definiciones y propiedades de los logaritmos, incluyendo demostraciones de identidades logarítmicas.
2) Se resuelven varios ejercicios utilizando propiedades de logaritmos para simplificar expresiones logarítmicas.
3) Los logaritmos están definidos para bases mayores que cero y el dominio de definición depende de la base del logaritmo.
El documento explica los conceptos básicos de los números complejos, incluyendo diferentes formas de escribirlos y propiedades como el módulo y argumento. También describe varias transformaciones complejas como traslación, rotación, homotecia y similitud directa, dando las fórmulas correspondientes a cada una. Finalmente, muestra ejemplos de cálculo del argumento de un número complejo.
El documento explica conceptos básicos de trigonometría. Define las funciones trigonométricas principales (seno, coseno y tangente) y cómo se aplican en triángulos rectángulos y no rectángulos. También cubre identidades trigonométricas, conversiones entre grados y radianes, y cómo resolver ecuaciones trigonométricas.
Este documento presenta una guía sobre funciones y sus propiedades. Explica conceptos como dominio, continuidad, derivabilidad, asintotas, puntos críticos, concavidad, y cómo construir una curva a partir de estos elementos. También incluye una tabla de derivadas de funciones comunes.
El documento explica conceptos básicos sobre límites de funciones como su definición, diferentes tipos de límites (límites laterales, límites en un punto) y métodos para calcular límites como aplicar fórmulas o la regla de l'Hôpital. También cubre continuidad, derivabilidad y algunas propiedades de estas como que una función continua en un punto es derivable en ese punto.
Este documento presenta fórmulas y conceptos clave para resolver integrales definidas. Explica cómo utilizar sustituciones trigonométricas, cambios de variable y tablas de integrales para calcular integrales definidas de funciones. También incluye ejemplos de cómo aplicar estas técnicas para integrar funciones elementales como seno, coseno y exponenciales.
El documento describe las cuatro curvas cánonicas (elipse, hipérbola, parábola y circunferencia) obtenidas al cortar un cono circular recto con un plano. Explica que una elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante, y deduce su ecuación canónica. Igualmente describe las hipérbolas, parábolas y deduce sus ecuaciones canónicas respectivas.
El documento presenta fórmulas trigonométricas útiles para resolver integrales definidas, incluyendo fórmulas para seno de suma y diferencia, coseno de suma y diferencia, y tangente de suma y diferencia. También presenta identidades para seno al cuadrado, coseno al cuadrado y seno-coseno.
El documento presenta diferentes conceptos geométricos como rectas, planos y sus posiciones relativas. Define los elementos que caracterizan una recta y un plano, como puntos y vectores directores. Explica cómo estudiar la posición relativa de dos rectas mediante la dependencia lineal de sus vectores directores. Luego, analiza la posición relativa de una recta y un plano, y de dos o más planos, a través del rango de las matrices formadas por sus ecuaciones.
Limites continuidad-derivabilidad con + de 50 ejercicios resueltos BanhakeiaMateo Banhakeia
Este documento presenta los pasos para calcular límites de funciones. Explica conceptos como la continuidad, derivabilidad y el teorema de L'Hôpital para determinar límites indeterminados. Además, incluye fórmulas para calcular límites de funciones racionales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y otras.
Estudio de funciones con + de 30 ejercicios resueltos BanhakeiaMateo Banhakeia
Este documento resume los conceptos fundamentales del estudio de funciones, incluyendo el dominio de definición, la simetría, la continuidad, la derivabilidad, los cortes con los ejes, las asintotas, la monotonía, los puntos críticos, la concavidad y los puntos de inflexión. También incluye una tabla de derivadas que es importante memorizar.
Este documento presenta información sobre números complejos. Introduce conceptos como módulo, argumento, formas polares, trigonométricas y exponenciales de expresar números complejos. También incluye ejemplos y ejercicios sobre cálculos con números complejos.
1. El documento presenta información sobre conceptos trigonométricos como seno, coseno, tangente y cotangente y teoremas como el de Pitágoras y el seno. 2. Incluye fórmulas trigonométricas, propiedades de los ángulos y ejemplos de cómo resolver ecuaciones trigonométricas. 3. Cubre una amplia gama de temas matemáticos relacionados con la trigonometría.
El documento presenta varios conceptos y demostraciones matemáticas. Se define el logaritmo y se demuestran varias propiedades como que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores y que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos. También se plantean y resuelven ejercicios relacionados con ecuaciones y desigualdades logarítmicas.
Dados dos puntos A y B, se define el vector que va de A a B. La suma de un vector y un punto da como resultado otro punto, y la suma de dos vectores da como resultado otro vector. El producto de un escalar por un vector también es un vector. Se describen propiedades del producto escalar como la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
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X
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Se llama Matriz a un conjunto de numeros colocados entre parentesis en forma de filas y columnas
y son presentadas en letras mayusculas como se ve abajo
a
a
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a
a
a
a
a
a
a
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a
a
a
a
a
a
M siendo
n numero de columnas
m numero de filas
Decimos que la ension de M M m n numero de filas numero de columnas
a la matriz M de ension m n se le llama tambien matriz M de orden m n M
m n se suele poner en la parte erior derecha de la parentesis de la matriz
su forma abreviada es a
siendo a un elemento cualesquiera de la matriz que esta en la fila i y columna j
ejemplo es una matriz de de orden
filas y columnas
ya que tiene
Matriz Fila es una matriz que tiene solamente una fila ejemplo
Matriz columna es una matriz que tiene solamente una columna ejemplo
Matriz Rec gular es una matriz que su numero de filas es diferente a numeros de columnas
Ejemplo
Matriz cuadrada es una matriz que su numero de filas es igual a numeros de columnas
Ejemplo A aqui A B aqui B
toda Matriz cuadrada esta constituida por dos diagonales
diagonal principal es la que esta definida por a color morado
diagonal segundaria es la que esta definida por a
siendo i j n siendo n de la matriz color verde
n
m
1 3 4 2
2 3 1 5
2 4
2 4
2 3 1 4 5
6
2
4
1
1 2 2
2 1 5
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Matriz Simetrica es una matriz cuadrada que debe de cumplirse a a
Ejemplo
Matriz antiSimetrica es una matriz cuadrada que debe de cumplirse a a
Ejemplo
Matriz diagonal es una matriz cuadrada que debe de cumplirse que todos los elementos que
no es en la diagonal principal son ceros
Ejemplo
Matriz Escalar es una matriz cuadrada que debe de cumplirse que todos los elementos que
pertenecen a la diagonal principal son iguales y el resto son ceros
Ejemplo
Matriz unidad o identidad es una matriz cuadrada que debe de cumplirse a
Ejemplo
Matriz triangular erior todos los elementos que se encuentran debajo de la diagonal
principal son ceros
Ejemplo
Matriz triangular erior todos los elementos que se encuentran encima de la diagonal
principal son ceros
Ejemplo
la matriz diagonal es a la vez una matriz triangular erior y erior
Igualdad de Matrices
Sean dos matrices A y B A B a b
A B
Matriz Traspuesta
se representa por M o bien por M y se lee Matriz traspuesta
si la matriz M es de orden m n su traspuesta M es de orden n m
es decir se ercambia las filas por columnas o columnas por filas
Observacion si M M a a M es una matriz simetrica
Ejemplo M M
Propiedades de la Matriz Traspuesta
A A A B A B A A A B B A
1
2
2
4
1
2
3
2
4
5
3
5
7
1
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1
8
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dim
a
a
Propiedades de
Antes de nada las matrices deben de tener las mismas ensiones
sean las matrices A B y C
A B a b A B C A B C
Opuesto de A es A Matriz nula es O todos sus elementos son ceros
ejemplo de matriz opuesta y matriz O
A A O
Producto de un numero real por una matriz
A A B A B
sean y dos numeros reales
A A A A A
Producto de Matrices
A B existe si y solo si el numero de columnas de A coincide con el numero de filas de B
Deben ser iguales para que pueda realizarse
el producto de matrices
veamos como es el producto de matrices con un ejemplo para entenderlo
Ejemplo Sean dos matrices A y B
Propiedades de producto de matrices
A B B A A B O A O o B O
A B C A B C A B C A C B C
k A B k A B k A I I A A I es la matriz unidad
A B C
1 2
3 4
1
4
2
3
2
3
5
5
1
1
4
2
3
2
3
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0
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1
1 2
3 4
5 6
5 4 4 2 28 5 7 4 3 47 5 1 4 5 25
2 4 3 2 14 2 7 3 3 23 2 1 3 5 17
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X
X
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ij
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2 3
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det min
det min
det min
dim tan
up
sin
S
E
s
e dice que una matriz A es invertible inversible si y solo si existe una matriz B tal que
A B B A I
en tal caso a la matriz B se le llama matriz inversa de A y se designa por A es decir que
A A A A I
xiste matriz inversa solamente para matrices cuadradas
Matriz regular es cuadrada y su er ante es
se dice que A es una matriz regular esto significa que A es una matriz cuadrada apartir
de la cual podemos obtener una matriz inversa
Ejercicio
Sea A halla su inversa
Sea B
a
c
b
d
la inversa de A A B I
a
c
b
d
b d
a c a c
b d d b
a c
a c a a a c b d b b b d
asi que la inversa de A es B
El er ante de una matriz cuadrada A es un numero real y se designa de la forma A
como se calcula el er ante de una matriz
Regla de Laplace
Desarrollo por la fila i de la matriz A
A a A siendo A la matriz la matriz de ension n resul te
al rimir la fila i y la columna j veamos una matriz de X para entenderlo
a
a
a
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a
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a
a
a
a
a
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a
a
a
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a
a
a
a
Desarrollo por la fila j de la matriz A
A a A
Observacion lo mejor es desarrollar por fila o columna que tenga ceros para un rapido calculo
Ejemplo
X
X
X
X X X X
X
X
X X X X
X
X
Propiedades
A B A B A A A B A B
A A A A k A k A
se dice que A es regular A A es gular A
0
2
1
1
1
2
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det min
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det min
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sup
Metodo de sarrus para resolver er antes de orden vea las imagenes de abajo
TERMINOS POSITIVOS TERMINOS NEGATIVOS
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
un er ante que tiene dos filas o dos columnas iguales es nulo
un er ante es nulo si los elementos de una fila o columna son proporcionales
a los elementos de una paralela a ella
si se cambian entre si dos filas o dos columnas alterar el orden relativo de los elementos
de cada una el valor absoluto del er ante no varia pero cambia de signo
Ejemplo
A
x y z
x y z
x y z
a
a
a
b
b
b
x
x
x
a
a
a
b
b
b
y
y
y
a
a
a
b
b
b
z
z
z
a
a
a
b
b
b
Matriz Adjunta
La matriz adjunta de A se denota como adjA
adj A A siendo A la matriz de ension n resul te
al rimir la fila i y la columna j veamos un ejemplo para entenderlo mejor
sea la matriz A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
adjA
a
a
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a
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a
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i j
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2
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dim
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det
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Matriz Inversa
La matriz inversa de A se designa por A y cumple A A A A I matriz unidad
Matriz adjunta se designa por adjA A A matriz traspuesta se designa por A A
A A
adjA
A
adj A
recuerda que adjA A
donde A es la matriz que se obtiene al e inar la fila i y la columna j de la matriz A
Matriz Ortogonal
Una matriz cuadrada A se llama ortogonal si A A A o bien
El rango de una matriz es la ension de la mayor submatriz cuadrada cuyo
er ante es dist o de cero y es designado por rango de A RagA rgA
Ejercicio calcula el rango de la matriz A
la matriz A no es una matriz cuadrada asi que buscaremos una submatriz dentro de A
A de aqui la mayor submatriz que podemos despejar es de X
asi que rango de A rgA
la submatriz cuadrada su
Ejercicio calcula el rango de la matriz A
la matriz A es cuadrada por seguiente hallemos su
rag de A es erior a
la mayor submatriz A puede ser basta en coger una de ellas y vemos que es
sea esa submatriz su asi que rgA
ax
a x
a x
by
b y
b y
cz d
c z d
c z d
dos matrices
de aqui despejaremos
A
a
a
a
b
b
b
c d
c d
c d
ampliada
se llama matriz
A
a
a
a
b
b
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c
c
c
coeficiente
se llama matriz
Si A
x A
d
d
d
b
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1 2
sup
Metodo de Gauss
Este metodo consiste en transformar la matriz coeficiente en matriz triangular erior
sea la matriz A
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
d
d
d
d
Paso es anular c usando c diagonal principal
Paso es anular b y b usando b diagonal principal
Paso es anular a a y a usando a diagonal principal
para entenderlo vea el ejercicio de abajo
Ejercicio
x y z
x y z
x y z
A
z z
y z y z y
x y z x y z
Solucion del sistema es x y z
Metodo de Gauss Jordan
Este metodo consiste en transformar la matriz coeficiente en matriz Diagonal
sea la matriz A
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
d
d
d
d
Paso es anular b usando b a la diagonal principal
Paso es anular c y c usando c a la diagonal principal
Paso es anular d d y d usando d a la diagonal principal
Paso es anular c usando c diagonal principal
Paso es anular b y b usando b diagonal principal
Paso es anular a a y a usando a diagonal principal
para entenderlo vea el ejercicio de abajo
Ejercicio
x y z
x y z
x y z
A
z
y
x
z
y
x
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1
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2
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2
2
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cambiar F por F
cambiar F por F
F dividir
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F F
F F
F F
F F
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2
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Teorema de Rouche
Sea un sistema de ecuaciones con la matriz coeficiente A y la matriz ampliada A
Si rgA rgA n de incognitas
es decir que tiene una unica solucion
sistema de ecuaciones es compatible y er ado
Si rgA rgA n de incognitas
es decir que tiene initas solucion
sistema de ecuaciones es compatible y in er ado
Si rgA rgA
es decir que no tiene soluciones
sistema de ecuaciones es incompatible
Para Diagonalizar una matriz A se sigue los seguientes pasos
Hallar el polinomio caracteristico P A I siendo I de misma ension que A
Hallar valores propios llamado tambien auto valor para ello resolver P
buscando los valores de si
solucion triple multiplicidad a ebraica M A
solucion doble multiplicidad a ebraica M A
solucion simple multiplicidad a ebraica M A
Hallar vectores propios llamado tambien auto vectores
para cada valor de calculamos
A I v vector nulo de aqui hallaremos v
A P D P imaginamos que en el apartado y hemos hallado dos valores propios
y dos vectores propios con v v v v v v
P
v
v
v
v
D
y se pone en la segunda columna de la matriz D
entonces se pone en la primera columna de la matriz D
y v se pone en la segunda columna en la matriz P
si v se pone en la primera columna en la matriz P
hay que conservar orden
una matriz simetrica siempre es diagonizable
Una matriz es diagonizable si el n de auto vectores coincide con su multiplicidad a ebraica
para entenderlo mejor vea el ejercicio que hay mas adelante
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Ejercicio
dadas las matrices A B y C calcula
a k A siendo k b A B C c A C A B d A A B B C C
e A B f A B g A B
Respuesta
a recuerda A a asi que k A k
k
k
k
k
b recuerda A B a b asi que A B C
A B C
c recuerda para calcular el producto de dos matrices deben de coincidir el n de columnas
de la primera con el n de filas de la segunda
A C A B A B C
A C
A B
A C A B
d A A B B C C
A A
B B
C C
A A B B C C
A A B B C C
e A B
f A B recuerda que A B B A
A B A AB B por que A B A AB BA B
A B A B A B
g A B
A B A B A B
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Ejercicio
a Calcula si es posible el producto de las tres matrices
b son iguales las dos matrices y justifica la respuesta
c dadas las matrices A y B
compueba que A B A B y k A k A y A B B A
Respuesta
a para poder calcular el producto de matrices deben de coincidir las columnas de la con las filas
de la
como se ve en las bases cumple con el requisito asi que calculemos
b recuerda A B a b
A B
las matrices y no son iguales ya que X y X
c A B Comprobar que A B A B y k A k A
A B A B
A A B B
A B A B
comprobar que k A k A
k A k
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k
k
k
k
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k A
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k k A
Comprobar que A B B A
A B
A B en los apartados de arriba A B
B A
en conclusion A B B A
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Ejercicio
se considera la matriz A
x
x
x
a calcula los valores de x para los que no existe la inversa de A
b para x calcule si es posible A
Respuesta
recuerda una matriz que no es cuadrada no tiene inversa
una matriz si su er ante es cero entonces la matriz no tiene inversa
la inversa de A es A A
adjA
a la matriz A para que no exista su inversa su A
x
x
x
x x x x x x x x x
asi que los valores de x para los cuales no exista la inversa de A son y
b si x A y por el apartado a podemos asegurar que A existe
A A
adjA
adjA
A asi que A
Ejercicio
a dada la matriz A
a
a
halla el valor de a para que A O
b dada la matriz M calcula la matriz M M
Respuesta
a A
a
a
A O
a
a
a
a
a a
a
a
a
a
b M M adjM M
M M M M
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Ejercicio
Sean las matrices A y B
a calcula A B A B
b er a la matriz X tal que A B X I
Respuesta
a A B A B
A B A B
b sea C A B hallemos C C
adjC
C adjC C
A B X I C X I multiplicando por C cuidado aqui
en la igualdad se pone derecha derecha o bien izquierda izquierda nunca mezclar
C C X C I X C I X C
Ejercicio
Sean las matrices A B y C
a Calcule A I B
b halla B calcule si es posible B A
c Calcule la matriz X que verifica A X B C
Respuesta
a A I B
b B B A
c A X B C I primero calculemos A A
adjA
adjA y A
A asi que I A A X A B A C X A C A B
A C A B
X
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Ejercicio
a Dada la matriz A prueba que A I O y calcula A
b Dada la matriz B calcula B
c Sea C calcula C
Respuesta
a A
A A A I A I O
A A A A A I A A
b B hallemos B
B B B I
asi que B B I I
c C C C C C
observando que el elemento a cambia en
C a
C a
C a
asi que podemos deducir que C si es verdad debe de cumplirse C
veamos si se verifica C C C queda demostrado
en conclusion C
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Ejercicio
Dada la matriz A calcula su potencia enesima
Respuesta
A A A A
A A A A A A A A A A A A A A
ai que podemos deducir que A A de ser asi debe de cumplirse que A A
veamos si se verifica A A A A A A A queda demostrado
en conclusion A A
Ejercicio
a Hallar la potencia enesima de A
b Hallar la potencia enesima de B
Respuesta
a A A A A A
A A A se observa que A A
A A se puede deducir que A
para que sea verdad debe de cuplirse que A A A
queda demostrado
en conclusion la forma general de A
b B B B B
B B B B esto nos hace pensar que B
n
para que sea verdad debe de cuplirse que B B B
n n
B
n
queda demostrado en conclusion la forma general de B
n
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B B B B B B
n
n n
n n
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Ejercicio
a Hallar la potencia enesima de la matriz A
b Hallar la potencia enesima de la matriz B
Respuesta
a A A A A
A A A
se observa que a y a son exactamente igual que la potencia mientras a es de la forma
n n
asi que A n
n n
n
ahora veamos si se cumple tambien con A
A A A n
n n
n
n
n n
n n
A n
n n
n n
n
n n n
n
n
n n
n
queda demostrado asi que la forma general de A n
n n
n
b B B B B B
e observa que a es igual que la potencia y a es mientras a es
asi que B
n
veamos si cumple con B B B
n
n n
queda demostrado luego B
n
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potencia potencia
n n
n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n n
n
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Ejercicio
Resuelse el sistema de ecuaciones utilizando Gauss Jordan
x y z
x y z
x y z
Respuesta x y z
F
F
F
F F F
F F F
F F F
F
i estuvieramos resolviendo por Gauss nos paramos aqui y a resolver
que seria
x y
y
z
z
z z
y
x y
z
y
x
z
y
x
pero nos piden de resolver por Gauss Jordan asi que seguimos
F
F F F
F F F
F F F
x
y
z
x
y
z
Ejercicio
Resuelse por Gauss Jordan
x y z
x y z
x y z
Respuesta x y z
F
F
F
F F F
F F F
F F F
F
F
F F F
F F F
F F F
x
y
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x
y
z
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0
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1
6
22
5
2 6
5 22
5 5
22 25 3
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5
3
2 3 5 6
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3
2
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Ejercicio
Estudiar segun los valores de a el sistema de ecuaciones
x y z a
y z
x z
y z a
Respuesta
Matriz de coeficientes A Matriz Ampliada A
a
a
al ser A una matriz cuadrada calculemos su aplicando la regla de laplace y escogiendo
la columna con mas ceros para facil calculo
A
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a
a
a
a
a
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a a a a a
a a a A a
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Para a A rgA ahora veamos cual es el rango de A que lo imo
que puede llegar es a escogiendo la submatriz C
C rgA
Por conseguiente para a
rgA
rgA
rgA rgA sistema incompatible no tiene solucion
Para a A que el rgA
que hay que escoger una submatriz de A que puede ser la C y C rgA
por conseguiente rgA rgA n de incognitas sistema compatible tiene una unica solucion
para hallar esa solucion utilizaremos el metodo de cramer ojo trabajaremos con C
y z
x z
y z
x C y C
z C solucion x y z
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Ejercicio
estudia el sistema de ecuaciones
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Respuesta
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rango de A ya que esta
A es de ension X que
asi que calculemos A a a a a a a a a a
a a a a a asi que A a a
Para a a A rgA y de la matriz ampliada sacamos una submatriz A
rgA rgA n de incognitas sistema compatible una unica solucion
usando Cramer x A
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Para a a S
x
x
x
y
y
y
z
z
z
A A
A cogemos uno de orden X para ver si es no hay asi que rgA y lo mismo pasa
con A luego rgA rgA n de incognitas sistema incompatible initas soluciones
S x y z
z
y
x
Para a a S
x
x
x
y
y
y
z
z
z
A A
A escogiendo la submatriz
rgA ahora escogemos de A la submatriz rgA
Por ultimo rgA rgA sistema incompatible no hay solucion
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Ejercicio
Diagonalizar la matriz A
Respuesta
calcular el polinomio caracteristico P
P A I
calcular los valores propios para ello resolver P
solucion simple multiplicidad a ebraica M A
solucion doble multiplicidad a ebraica M A
calcular los vectores propios para ello se utiliza A I v y despejar v
Para
A I
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y
z x y z
y y
x y z
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y
x z
y
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el auto espacio asociado a es E x y z y z x
x y z x x x es el auto vector asociado al valor propio
Para
A I fila fila se e ina fila
fila son ceros se puede e inar
x
y
z
x y z y x z
el auto espacio asociado a es E x y z y x z
x y z x x z z x z son los auto vectores asociados a
en conclusion para M A n de auto vectores
M A n de auto vectores
A es Diagonizable
asi que A P D P siendo P verticalmente
en la matriz P se colocan los auto vestores
D princial los valores propios el resto ceros
en la matriz D se colocan en la diagonal
y ya sabemos como calcular P P
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Ejercicio
diagonalizar la matriz A
Respuesta
calcular el polinomio caracteristico P
P A I
calcular los valores propios para ello resolver P
solucion simple multiplicidad a ebraica M A
solucion doble multiplicidad a ebraica M A
calcular los vectores propios para ello se utiliza A I v q y despejar v
Para
A I fila fila se puede e inar una de ellas
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x y z
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el auto espacio asociado a es E x y z x z y z
x y z z z z para no trabajar con fracciones cogeremos un vector
paralelo a es el auto vector asociado al valor propio
Para
A I fila fila y fila fila
se pueden e inar fila y fila ya que
x
y
z
y z y z
el auto espacio asociado a es E x y z y z
x y z x z z x z son los auto vectores asociados a
en conclusion para M A n de auto vectores
M A n de auto vectores
A es Diagonizable
A es diagonizable P P tal que A P D P
asi que P verticalmente
en la matriz P se colocan los auto vestores
D princial los valores propios el resto ceros
en la matriz D se colocan en la diagonal
y ya sabemos como calcular P P
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