Transformadores teo 2014 (1)

PEA
EPUSP
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ENERGIA E AUTOMAÇÃO
PEA-2211
INTRODUÇÃO À ELETROMECÂNICA E À AUTOMAÇÃO
TRANSFORMADORES
Teoria
2014

1
Transformadores
Teoria – Parte I
OBJETIVOS
• Apresentar ao aluno a definição de transformador e sua importância
• Apresentar seu princípio de funcionamento
• Introduzir o modelo de um transformador ideal
• Apresentar o modelo de um transformador real (linear!) e seu circuito equivalente
• Apresentar a metodologia experimental de determinação de parâmetros de circuito equivalente
• Apresentar as características de desempenho de transformadores: conceitos de regulação e
rendimento
MOTIVAÇÃO
O estudo de transformadores permite compreender como a energia elétrica pode ser transportada de um
circuito elétrico a outro através do acoplamento de um campo magnético variável no tempo, estando os
dois circuitos isolados eletricamente.
Além de transferir energia, esse dispositivo permite transformar (abaixar ou elevar) tensões, correntes e
impedâncias.
TÓPICOS
• Introdução
o Lei de Faraday e indução
o Lei de Lenz
o F.E.M. variacional e a ação transformadora
• Transformadores
o O Transformador ideal
o O Transformador ideal em regime permanente senoidal
• Valores Nominais e Dados de Placa
1. INTRODUÇÃO
1.1 Lei de Faraday e indução
A principal diferença entre campos variáveis e não variáveis no tempo está no processo de indução. Um

PEA2211PEA2211PEA2211PEA2211 ---- 2012012012014444 Transformadores – Teoria
2
campo variável no tempo produz um campo elétrico, ou uma força eletromotriz, f.e.m. que, por sua vez,
induz corrente elétrica em materiais condutores. Essa indução é fundamental no funcionamento dos
transformadores.
Há basicamente dois mecanismos de indução: um é devido a um fluxo magnético variável no tempo; o
outro é devido ao movimento de um campo magnético. Vamos nos concentrar no primeiro caso que
constitui a base do funcionamento de um transformador.
Essa lei foi formulada em 1831 por Michael Faraday após uma série de experimentos. Faraday observou
que ao se mover um condutor formando um laço fechado, ou seja, uma espira em curto circuito, através de
um campo magnético produzido por um ímã, ou vice-versa (movendo-se um ímã, enquanto a espira
permanece estacionária), flui uma corrente pelo condutor. Essa corrente não é devida a nenhuma fonte
externa, mas sim, induzida no condutor pela variação do campo magnético. Faraday também descobriu
que essa corrente era proporcional à taxa de variação no tempo do fluxo magnético.
Na verdade essa corrente é devida a uma tensão induzida no condutor, tensão essa chamada de força
eletromotriz induzida, ou f.e.m. A f.e.m. produzida nesse experimento pode ser escrita como:
f.e.m.
d
dt
φ
= − ,
sendo φ o fluxo através da espira condutora. A situação física é mostrada na Fig 1. Em geral o condutor é
uma bobina de mais de uma espira; então uma forma mais geral para a f.e.m., e(t), é dada por:
( ) [V]
d
e t N
dt
φ
= − , (1)
sendo N o número total de espiras da bobina.
v
S
N
++++
−−−−
i
parado
(a)
parado
S
N
++++
−−−−
i
v
(b)
Fig. 1 – Representação esquemática do fenômeno de indução – Lei de Faraday.
1.2 Lei de Lenz
Na equação (1) o sinal negativo indica que: se o fluxo magnético que atravessa a bobina aumenta, a f.e.m.
produz uma corrente cujo fluxo se opõe ao aumento do fluxo que atravessa a bobina; se o fluxo diminui, a
f.e.m. produz corrente que aumenta o fluxo que atravessa a bobina. Esse processo é ilustrado na Fig. 2.

3
i2
bobina 1
i1+∆i
B1+∆B
bobina 2
e2
−−−−
++++
i2 =0
bobina 1
i1 cte.
B1 cte.
bobina 2
(a)
(b)
bobina 2
i2
B2
e2
(c)
Fig. 2 – Representação da Lei de Lenz. (a) Fluxo gerado por uma corrente constante na bobina 1 de uma espira; (b) F.e.m.
induzida numa bobina 2 devido à variação de fluxo produzido por 1; (c) Fluxo na bobina 2, devido à corrente em 2, que se opõe
ao fluxo indutor de 1.
Usando a regra da mão direita para determinar o sentido do fluxo gerado pela corrente i1 da bobina 1, um
aumento na corrente ocasiona um aumento no fluxo através das bobinas 1 e 2. A bobina 1 é então a fonte
de fluxo. A f.e.m. é gerada na bobina 2, mas como essa bobina está em circuito aberto não há corrente nela
e, portanto, nenhum fluxo devido a essa bobina.
Agora considere a situação da figura 2.b onde, novamente usando a regra da mão direita, um aumento no
fluxo devido à bobina 1 produz uma f.e.m. negativa na bobina 2. Isso corresponde à Lei de Faraday. Essa
f.e.m. induzida, mostrada na Fig. 2.c, pode ser vista como uma fonte de um fluxo que está na direção
oposta ao fluxo da figura 2a. Então, a f.e.m. induzida produz um fluxo que se opõe ao fluxo que gerou a
f.e.m.
Essa relação entre f.e.m. induzida e acoplamento de fluxo magnético é definida pela Lei de Lenz, como
segue:
“A direção da f.e.m. é tal que o fluxo gerado pela corrente induzida se opõe à mudança no fluxo.”
Como conseqüência direta da Lei de Lenz, o fluxo acoplado a um circuito tende a manter seu valor
(magnitude e direção) anterior, resistindo a toda mudança. Embora a Lei de Faraday trate da f.e.m. num
circuito, independentemente do fato desse circuito estar aberto ou fechado, a aplicação da Lei de Lenz
pressupõe a existência de uma corrente e, portanto, um circuito fechado.
O significado do sinal negativo da expressão (1) indica que a f.e.m. é considerada como uma fonte de
tensão (agindo na direção de uma corrente positiva). Caso se omita o sinal negativo de (1), a tensão
induzida é considerada uma queda de tensão (em oposição a uma corrente positiva). Em outras palavras, a
presença ou ausência do sinal negativo em (1) depende da convenção na escolha da referência para a
tensão (gerador/fonte ou receptor/carga).
1.3 F.E.M. variacional e a ação transformadora
Na apresentação da Lei de Faraday foi apresentada a f.e.m. produzida por um fluxo variável no tempo, a
qual se denomina f.e.m. variacional. Essa denominação existe para distingui-la da f.e.m. gerada pela
movimentação relativa entre a fonte de fluxo e condutor, que é chamada de mocional.
Se o circuito elétrico é fechado, haverá corrente nesse circuito e essa corrente produzirá uma densidade de
fluxo de acordo com a Lei de Lenz.
Qualquer circuito fechado submetido a um fluxo magnético variável será sede de correntes ocasionadas
pela f.e.m. induzida nele.

4
2. TRANSFORMADORES
Um transformador é um dispositivo destinado a transformar tensões, correntes e impedâncias. Trata-se de
um dispositivo de corrente alternada que opera baseado nos princípios da Lei de Faraday.
Aspectos construtivos
Um transformador consiste de duas ou mais bobinas e um "caminho", ou circuito magnético, que "acopla"
essas bobinas, conforme esquematizado na Fig. 3. Nessa figura, o transformador possui apenas duas
bobinas, ou enrolamentos, e o núcleo não possui entreferros, correspondendo a um circuito magnético
fechado. Essa corresponde à configuração clássica para estudo de transformadores monofásicos e será a
adotada neste curso.
Na Fig. 3, ainda, o enrolamento conectado à fonte (cujas grandezas levam o índice 1) é denominado, por
convenção, de enrolamento primário. Já o enrolamento que é conectado à carga (e cujas grandezas levam
o índice 2) é denominado de enrolamento secundário.
i2
iC
Fig. 3 – Representação de um transformador monofásico ideal, com permeabilidade do núcleo infinita.
Transformadores de potência são destinados primariamente à transformação de tensão e operam com
correntes relativamente altas. O circuito magnético é constituído de material ferromagnético, como aço, a
fim de produzir um caminho de baixa relutância para o fluxo gerado (Fig. 3). Geralmente o núcleo de aço
dos transformadores é laminado para reduzir a indução de correntes no próprio núcleo, já que essas
correntes contribuem para o surgimento de perdas por aquecimento devido ao efeito Joule. Em geral se
utiliza aço-silício com o intuito de se aumentar a resistividade e diminuir ainda mais essas correntes
parasitas.
Transformadores para casamento de impedâncias são em geral destinados a aplicações de baixa potência.
Há outros tipos de transformadores, alguns com núcleo ferromagnético, outros sem núcleo, ditos
transformadores com núcleo de ar, e ainda aqueles com núcleo de ferrite.
3. O TRANSFORMADOR IDEAL
Um transformador ideal é aquele em que o acoplamento entre suas bobinas é perfeito, ou seja, todas
concatenam, ou “abraçam”, o mesmo fluxo, o que vale dizer que não há dispersão de fluxo. Isso implica
assumir a hipótese de que a permeabilidade magnética do núcleo ferromagnético é alta ou, no caso ideal,
infinita, e o circuito magnético é fechado. Além disso, admite-se que o transformador não possui perdas de
qualquer natureza, seja nos enrolamentos, seja no núcleo.
As Fig. 4a e 4b mostram uma representação esquemática de um transformador ideal. Em 6a o
transformador está com o circuito secundário em aberto, enquanto que em 6b o secundário está
alimentando uma carga. As seguintes hipóteses serão adotadas:
secundárioprimário

5
1 – Correntes positivas são aquelas que estabelecem fluxos positivos;
2 – Os pontos nos terminais superiores dos enrolamentos primário e secundário correspondem às suas
marcas de polaridade, ou seja, corrente entrando pelo ponto estabelece um fluxo positivo no núcleo.
Primário Secundário
e1
i1
N1
e2
NÚCLEO DE FERRO
N2
v1
•
•
•
•
v2
φφφφ
Primário Secundário
e1
i1
N1
e2
NÚCLEO DE FERRO
N2
v1
•
• i2
Zc
ic
v2
φφφφ
Fig. 4 (a) Transformador ideal em vazio; (b) idem, alimentando carga Zc.
Polaridade
Em corrente alternada a definição de polaridade de um enrolamento de transformador monofásico, em
relação à polaridade do outro enrolamento desse mesmo transformador, resume-se em saber se as tensões
neles induzidas pelo fluxo mútuo, e observadas entre seus terminais, estão em plena concordância ou
plena oposição de fases. Entretanto, o fato de elas estarem ou não em fase será decorrência única e
exclusivamente da maneira como se aplica a tensão em um deles e como se utiliza a tensão induzida entre
terminais do outro.
4. TRANSFORMADOR EM VAZIO
Considerando o transformador ideal mostrado na Fig. 6, sendo o fluxo total, φ, o mesmo em ambas as
bobinas, já que se desprezam os fluxos dispersos e o núcleo tem µ → ∞, as f.e.m.’s, e1 e e2, induzidas
nessas bobinas (adotando a convenção receptor), escrevem-se como:
1 1 1 [V]
d
v e N
dt
φ
= = (2)
e
2 2 2 [V]
d
v e N
dt
φ
= = . (3)
Dividindo-se v1 por v2 chega-se à relação de tensões entre primário e secundário:
1 1 1
2 2 2
e v N
a
e v N
= = = , (4)
sendo a denominada relação de espiras ou relação de transformação. Esta é a primeira propriedade do
transformador que é a de transferir ou refletir as tensões de um lado para outro segundo uma constante a.
5. TRANSFORMADOR EM CARGA
Ao se acoplar uma carga a esse transformador ideal, como esquematizado na Fig. 6b, circulará uma
corrente de carga pelo enrolamento secundário, ic, dada por:
2
2c
c
e
i i
Z
= − = . (5)

6
Essa corrente ic = −i2 produzirá uma força magnetomotriz (f.m.m.), Fc, dada por:
2 2 2 2c c cN i N i= ⇒ = − = −F F F [Ae]. (6)
que, pela Lei de Lenz, tende a se opor, ou desmagnetizar o núcleo. Por outro lado, o fluxo tem que se
conservar, uma vez que é imposto pela tensão aplicada v1 = e1, de acordo com a Lei de Faraday. Para que
o fluxo permaneça invariante, o primário reage, absorvendo uma corrente i1, tal que
1 1 1 1 nucleoN i= = φ ℜF . (7)
Como, para um transformador ideal, φ1=φ2=φ, tem-se que
Ν2ic = −Ν2i2 = φ2 ℜnucleo = φ1 ℜnucleo = φ ℜnucleo = Ν1i1 (8)
ou seja,
Ν1i1= −Ν2i2, (9)
ou ainda,
1 2
2 1
1i N
i N a
= − = − . (10)
Outra maneira de se chegar a esse resultado é através do circuito elétrico análogo ao circuito magnético
da Fig. 4b, mostrado na Fig.5. O fluxo magnético nesse circuito pode ser calculado por:
ℜnucleoφ = (N1 i1 + N2 i2). (11)
+
−
−ℜnucleo = 0
N1 i1 N2 i2
φ
+
Fig. 5 – Circuito elétrico análogo ao circuito magnético do transformador ideal.
ATENÇÃO! “ANÁLOGO” ÷ “EQUIVALENTE”
Não confunda circuito elétrico “análogo ao circuito magnético” com circuito elétrico
“equivalente” do transformador, que será estudado mais adiante.
Como o núcleo é feito de material com alta permeabilidade, assume-se que µ → ∞ e, portanto, ℜnucleo→ 0,
o que permite escrever:
(N1 i1 + N2 i2) = ℜnucleoφ ≈ 0, (12)
conduzindo à mesma relação para as correntes de primário e secundário (10). Pode-se verificar que, com o
secundário em circuito aberto (ou em vazio), i1 = i2 = 0, o que significa que o transformador ideal não
absorve corrente para magnetizar seu núcleo (para produzir φ).

7
Além da transformação de tensões ou correntes, os transformadores também alteram a impedância do
circuito, como mostrado a seguir.
A impedância do circuito primário é dada pela relação entre e1 e i1, como segue:
1 2 2
1 2
1
ci
a
e e
Z a a Z
i
= = = , (13)
ou, considerando que Z2 = Zc é a impedância de carga,
Z1 = a2
Zc. (14)
A impedância Z1 é, na verdade, a impedância real “vista” pela fonte, ou seja, o primário “enxerga”
qualquer carga Zc conectada aos terminais do secundário multiplicada pelo quadrado da relação de
transformação.
Em alguns casos o casamento de impedâncias é a principal função de um transformador. Entretanto,
independentemente de sua aplicação, a impedância “vista” pelo primário, ou a impedância efetiva do
circuito primário, depende da relação de espiras ao quadrado e da impedância do secundário.
6. POTÊNCIA ELÉTRICA
Se calcularmos as potências elétricas de primário e secundário, teremos:
p1 = v1 i1 → p2 = v2 i2 = v1/a . (−i1.a) = − p1 (15)
A expressão acima confirma as hipóteses estabelecidas para um transformador ideal, ou seja, ausência de
perdas. Toda potência que entra pelo primário, sai pelo secundário. O sinal negativo acima indica que o
sentido do fluxo de potência é distinto para primário e secundário, ou seja, a potência positiva entra pelo
primário (convenção receptor) e a potência negativa sai pelo secundário (convenção gerador).
Embora um transformador real esteja sujeito a perdas devido à resistência de condutores, correntes
induzidas no núcleo e correntes necessárias para magnetizar seu núcleo (bem como perdas capacitivas), a
principal hipótese considerada na definição de um transformador ideal foi a adoção de uma
permeabilidade infinita do núcleo, o que implica uma relutância nula para esse circuito magnético.
Todavia, em algumas aplicações práticas e para alguns transformadores, essa hipótese raramente ou nunca
se aplica, como é o caso de transformadores com núcleo de ar.
Em muitos transformadores as perdas são relativamente pequenas (às vezes menores que 1%) e as
aproximações acima são razoáveis. No entanto, em transformadores de baixa potência, as perdas podem
ser elevadas com relação à potência total do transformador.
7. TRANSFORMADOR IDEAL EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL
Quando uma tensão senoidal de frequência angular ω, igual a
ω = 2 π f, (16)
sendo f a frequência em Hz, é aplicada ao enrolamento primário de um transformador e o enrolamento
secundário é mantido em circuito aberto, a tensão primária é balanceada por uma f.e.m., induzida pela taxa
de variação do fluxo concatenado com o enrolamento primário, ψ1, dado por:
ψ1 = N1 φ, (17)

8
sendo φ o fluxo no núcleo do transformador, que também possuirá variação temporal senoidal, como
segue,
φ = φmax sen ωt. (18)
Dessa maneira, a tensão primária se escreve como:
1
1 1 1 1 max cos
d d
v e N N t
dt dt
ψ φ
= = = = ωφ ω , (19)
cujos valores máximo (ou de pico) e eficaz (ou r.m.s.) valem
e1max= N1ω φmax, (20),
1 1 max
1
2
2
E N f= π φ , (21)
ou ainda
1 1 max4,44E fN= φ . (22)
Em notação fasorial essa tensão se escreve:
1 1
ˆˆE j N= ω φ . (23)
Esses resultados se aplicam tanto a materiais magnéticos como não magnéticos.
O fluxo estabelecido num núcleo depende da tensão (forma de onda, magnitude e frequência)
aplicada e do número de espiras da bobina de excitação.
Ao contrário do que ocorre no caso de estruturas excitadas com corrente contínua, nem a natureza
do material, nem as dimensões do núcleo afetam o valor do fluxo.
Conclusões importantes:
Características de um transformador ideal: 1) núcleo de permeabilidade infinita (relutância nula); 2)
perdas nulas; 3) sem dispersão de fluxo.
Relações importantes de um transformador ideal:
v1/v2 = N1/N2 = a, i1/ i2 = −1/a, Z1/ Z2 = a2
, p2 = −p1.
A equação E=4,44fNφmax é uma das relações mais importantes na teoria de todos os dispositivos
eletromagnéticos de corrente alternada, pois ela relaciona o projeto do enrolamento (N, número de
espiras) ao carregamento magnético do núcleo (φmax) quando se especifica uma condição de operação
elétrica (E e f). É a relação geral entre o valor eficaz (ou r.m.s.) da tensão gerada por um fluxo de
variação senoidal e o máximo valor desse fluxo.
O valor do fluxo, dado por φmax= E/(4,44fN), é independente das dimensões e da qualidade do núcleo
magnético. A dimensão e as características do núcleo, no entanto, determinam o valor da corrente de
excitação (I = ℜφ/N), ou corrente de magnetização.

9
8. DETERMINAÇÃO DA POLARIDADE DE BOBINAS
8.1 Método 1 – Usando fonte CA e voltímetro
A convenção usualmente adotada para a polaridade de um enrolamento
está relacionada com a regra da mão direita como indicado na Fig. 6.
Entretanto, nem sempre temos acesso visual ao enrolamento (a não ser
o construtor do equipamento).
No caso de dois ou mais enrolamentos, a polaridade é tratada sempre
de forma relativa. Arbitra-se a polaridade de um dos enrolamentos e
determinam-se as polaridades dos enrolamentos restantes em relação a
este.
Considere a Fig. 7. Como determinar a polaridade da bobina 2?
Sabemos que o fluxo que atravessa a bobina 1 é o mesmo que atravessa
a bobina 2, mas não sabemos em qual direção. Um dos possíveis
métodos de determinação da polaridade pode ser compreendido
fazendo-se uso da Fig. 8 e dos passos a seguir.
a) A marcação dos terminais da bobina 1 é arbitrária. Adota-se uma
marcação qualquer para os terminais da bobina 2.
b) Associam-se as bobinas de acordo com o esquema da figura ao lado.
c) Alimenta-se a bobina 1 com uma tensão V1.
d) Mede-se a tensão entre os terminais da associação série das 2
bobinas.
Caso a leitura do voltímetro seja maior do que a tensão aplicada (se
N1=N2 seria o dobro), a polaridade adotada para a bobina 2 está correta.
Caso a leitura seja menor do que a tensão aplicada (se N1=N2 seria
nula) a polaridade estabelecida para a bobina 2 deve ser invertida, pois
o ponto estaria no outro terminal.
8.2 Método 2 - Usando baterias
Outra maneira de determinar a polaridade de um enrolamento pode ser compreendida através do
diagrama mostrado na Fig. 9. Este procedimento é de "baixo custo", dispensando o uso da fonte
CA.
A fonte DC é uma bateria de baixa tensão (por exemplo, 9
VDC) e baixa corrente. O detetor de corrente é composto
de 2 LEDs (Light Emitting Diodes) em anti-paralelo.
Quando a corrente sair pelo ponto, o LED vermelho
acenderá (quando entrar, o LED verde acenderá).
O resistor serve apenas para limitar a corrente que passa
através dos LEDs.
O conjunto resistor +LEDs poderia ser substituído por um
amperímetro de ponteiro central.
Fig. 9 Determinaçãodepolaridade
usandobateria eLEDs.
Fig. 6 Convenção para a polaridade
de uma bobina.
Fig. 7 Diagrama que mostra o
problema da determinação da
polaridade relativa entre bobinas.
Fig. 8 Diagrama para a
determinação da polaridade
relativa entre bobinas.

10
Exercício 1
Um transformador ideal com N1=500 espiras e N2=250 espiras alimenta uma carga resistiva de resistência 10Ω (Fig. 10). O
primário é alimentado por uma fonte de tensão senoidal dada por: ( )1 2 200cos 377 Vv t t= . Determine:
( )ti1
( )tv1
1N Ω=10R
( )tiL
2N ( )2v t
Fig. 10 - Exercício 1
a) a tensão no secundário;
b) a corrente na carga;
c) a corrente no primário;
d) a potência aparente fornecida ao primário;
e) a potência aparente consumida pela carga.
OBS.: Resolva o exercício utilizando notação complexa.
Solução:
a) Lembrando que 1
2
ˆ
ˆ
V
a
V
= e sendo 1
ˆ 200 0V = o
V resulta:
2
200 0
2
ˆV
=
o
ou 2
ˆ 100VV =
b) A corrente na carga é obtida a partir da aplicação da Lei de Ohm, isto é:
2
ˆ
ˆ
L
V
I
R
= ou
100 0ˆ 10 0 A
10
LI = =
o
o
c) A corrente no primário é obtida a partir da relação:
1
ˆ 1
ˆ
L
I
aI
= ou 1
10 0ˆ 5 0 A
2
I = =
o
o
d) A potência aparente fornecida ao primário é dada por:
*
1 1 1
ˆ ˆ ˆ. 200 0 .5 0 VA 1000 0 VAS V I= = =o o o
e) A potência aparente fornecida à carga é dada por:
*
2
ˆ ˆ ˆ. 100 0 .10 0 1000 0 VAL LS V I= = =o o o
OBS.: A potência aparente fornecida ao primário e a consumida pela carga são iguais pelo fato do
transformador ser ideal.
Exercício 2
Um transformador monofásico ideal como ilustrado na Fig. 11, cujos valores nominais de tensão são 13.800/440 V, alimenta
uma carga indutiva de impedância ˆ 3 4LZ j= + Ω conectada no lado da BT (baixa tensão). Determine:

11
1
ˆI
ˆ
LI
ˆ 3 4LZ j= + Ω
1
ˆ 13800 0 V= o
V 2
ˆV
Fig. 11 - Exercício 2
a) a corrente na carga quando o primário é alimentado por tensão nominal;
b) a corrente no primário;
c) a impedância “vista” pela rede;
d) a potência ativa consumida pela carga.
Nota: Nos transformadores a relação de transformação é fornecida através da relação entre as tensões nominais do primário e
secundário.
Solução:
a) Adotando 1
ˆ 13800 0 VV = o
resulta 2
ˆ 440 0 VV = o
, então:
2
ˆ
ˆ 88 53,13 A
ˆL
L
V
I
Z
= = − °
b) Corrente no primário:
1
ˆ 440
ˆ 13800L
I
I
= , portanto 1
440
88 53,13 2,8 53,13 A
13800
I = − ° = − °&
c) Impedância “vista” pela rede:
1
1
ˆ 13800 0ˆ 4,93 53,13 k
ˆ 2,8 53,13
L
V
Z
I
°
= = = ° Ω
− °
ou alternativamente,
2
13800ˆ 5 53,13 4,93 53,13 k
440
LZ  = ° = ° Ω 
 
d) Potência ativa consumida pela carga:
2 cos 440.88.cos53,13 23,2kWL LP V I= ϕ = =
Exercício 3
Um amplificador de som apresenta “impedância de saída” de natureza resistiva igual a 8 Ω. Este amplificador alimentará uma
caixa de som de impedância de entrada, também de natureza resistiva, de 10 Ω. Para transferir a máxima potência do
amplificador para a caixa acústica, utiliza-se um transformador acoplador para o casamento de impedâncias. Qual deve ser a
relação de transformação do transformador de acoplamento?

12
( )caixaΩ10Amplificador
( )caixaΩ10
1N 2N
Ω8
Fig. 12 Exercício 3
Solução
A condição de máxima potência transferida ocorre quando a resistência “vista” pelo amplificador é igual a sua impedância de
saída. Com a inserção do transformador acoplador, a resistência “vista” pelo amplificador será tal que:
8 Ω
[ ]2
10a ⋅ Ω
Fig. 13 Impedância vista pelo amplificador
A condição procurada será tal que:
2
10 8a = , ou ainda 0,89a = .
9. VALORES NOMINAIS DOS TRANSFORMADORES REAIS
Tensões nominais do primário e do secundário: Tensões para as quais o transformador foi
dimensionado para operação contínua durante toda a sua vida útil. Nas placas de identificação estas
tensões são apresentadas na forma da relação 2NOM1NOM V/V que é igual à relação de transformação do
transformador.
As tensões nominais são tais que, alimentando-se qualquer um dos lados pela sua tensão nominal, resulta
também tensão nominal no outro lado com o transformador em aberto.
Potência Nominal: Potência aparente para a qual o transformador foi dimensionado para operação
contínua em toda a sua vida útil. Na placa de identificação estas grandezas são fornecidas em VA ou
múltiplos, tais como kVA (103
VA) e MVA (106
VA).

13
Correntes Nominais: São as correntes que circulam nos enrolamentos quando submetidos a tensões
nominais e potência nominal, isto é,
=1
1
[A]NOM
NOM
NOM
S
I
V
e 2
2
[A]NOM
NOM
NOM
S
I
V
= ,
sendo NOMS =Potência Aparente Nominal.
Vida útil: Tempo estimado de durabilidade dos materiais (principalmente isolantes) utilizados na
confecção do transformador. Este tempo é da ordem de 30 anos quando o transformador opera nas suas
condições nominais, podendo atingir idade bem superior a esta.
É importante destacar que, operando fora das suas condições nominais, a vida útil do transformador é
reduzida sensivelmente.
Exercício 4
Determine as correntes nominais de um transformador de potência monofásico de 20 MVA, 325/88 kV, 60 Hz.
Solução:
620 10
61,5A
1 3325 10
I
NOM
⋅
= =
⋅
6
20 10
227, 3 A2 3
88 10
INOM
⋅
= =
⋅
10. BIBLIOGRAFIA
[1] Magnetic Circuits and Transformers, A first course for Power and Communication Engineers – Principles of Electrical
Enginnering Series, Members of the Staff of Department of Electrical Enginnering, Massachusets Institute of Technology,
John Wiley & Sons Inc. New York, 1944.
[2] Conversión de Energia Electromecánica, V. Gourishankar, México, 1975, R. S. I.
[3] Conversão Eletromecânica de Energia, Vol I, A.G. Falcone, Edgar Blücher, S.Paulo,1985.
[4] Transformadores, Rubens Guedes Jordão, SK&C.
[5] Apostila do curso Eletrotécnica Geral – 6.Transformadores, J. R. Cardoso, M. R. Gouvêa, EPUSP

14
Transformadores
Teoria – Parte II
TÓPICOS
 O Transformador não ideal de núcleo linear
o Efeitos associados ao núcleo
o Efeitos associados aos enrolamentos
 Circuito equivalente completo
 Circuitos equivalentes simplificados
 Determinação dos parâmetros do circuito equivalente
 Funcionamento de transformadores em carga e características de desempenho:
o Regulação e Rendimento
1. TRANSFORMADOR NÃO IDEAL DE NÚCLEO LINEAR
Comparado ao ideal, este transformador possui as seguintes características:
1) A curva B-H do material do núcleo é linear, mas a permeabilidade do material é finita. Nesse caso a
f.m.m. necessária para magnetizar o núcleo não é zero.
2) Os fluxos estabelecidos pelas correntes não são confinados inteiramente ao núcleo. Assim, os
fluxos concatenados com cada enrolamento não são os mesmos, o que implica ocorrência de fluxos
de dispersão em ambos os enrolamentos.
3) Os enrolamentos têm resistência, ou seja, há perdas por efeito Joule.
4) Se o núcleo for constituído de material ferromagnético, o mesmo estará sujeito a perdas de origem
magnética quando sujeito a um fluxo variável no tempo.
5) Em transformadores operando a frequências muito altas (na faixa de rádio frequências) os efeitos
capacitivos não são desprezíveis, porém não consideraremos esse efeito neste curso para facilitar a
compreensão.

PEA2211 - 2014 Transformadores – Teoria
15
IMPORTANTE!
 O termo “PERDA” será usado exclusivamente para se referir a uma POTÊNCIA DISSIPADA
(perda Joule ou perda no núcleo), com natureza ATIVA, portanto mensurável e com unidade
W.
 Também estão associadas potências à dispersão de fluxo e à magnetização do núcleo, porém
essas potências são de natureza REATIVA indutiva, com unidade VAr, as quais não serão
incluídas na denominação “PERDA”, pois não constituem efeitos dissipativos.
A Fig. 14 apresenta um transformador não ideal de núcleo linear, com resistências de primário e
secundário r1 e r2 e fluxos concatenados com primário e secundário 1 e 2.
M
d1
d2
r1 r2i1 i2
v1
N1
N2
v2
Fig. 14 – Transformador real com resistências r1 e r2 , fluxos dispersos d1 e d2 nos enrolamentos primário e secundário e fluxo mútuo
M, sendo d1+M=1 e d2+M=2.
O transformador real será estudado a partir da construção de um circuito elétrico equivalente. Nessa
abordagem o transformador real é substituído por um circuito composto de um transformador ideal
mais parâmetros concentrados que representarão de alguma maneira os fenômenos acima citados. Para
tanto, parte-se do circuito equivalente do transformador ideal, dado na Fig. 15.
i1 i2
v1
v2
a:1
Fig. 15 – Transformador ideal: circuito equivalente.
Para que se definam esses parâmetros de circuito equivalente, os fenômenos que ocorrem num
transformador real serão divididos em dois grupos:
1) Efeitos associados ao núcleo.
2) Efeitos associados aos enrolamentos.

16
1.1 Efeitos associados ao núcleo
Os seguintes fenômenos associados ao núcleo ferromagnético, e que estão diretamente relacionados à
tensão aplicada, como será visto adiante, podem ser observados num transformador real:
1) a permeabilidade, apesar de elevada, tem valor finito. Logo a relutância do núcleo, , da Fig. 4 não
é nula.
2) Materiais ferromagnéticos sujeitos a campos variáveis apresentam perdas magnéticas de duas
naturezas: perdas por histerese e perdas por correntes parasitas.
Nos dois casos teremos como efeito a absorção de uma corrente de excitação pelo transformador,
chamada corrente em vazio, i0. Uma parcela dessa corrente, iM, é responsável pela magnetização do
núcleo, ou seja, para produzir o fluxo m. A outra, ip, é destinada a suprir as perdas magnéticas do
núcleo.
1.1.1 Corrente de magnetização
Comecemos então pela representação do efeito da permeabilidade finita do núcleo ferromagnético,
representado pela corrente de magnetização iM.
Num transformador ideal com o secundário em aberto, ao se alimentar o primário, de N1 espiras, com
tensão senoidal de valor eficaz V1=E1 e frequência f, surge um fluxo em seu núcleo, cujo valor é obtido
aplicando-se a Lei de Faraday, como segue:
1
1
ˆ
ˆM
E
j N
 

. (24)
Observe que o fluxo acima corresponde ao fluxo mútuo que, para o transformador não ideal, é diferente
dos fluxos totais concatenados com as bobinas de primário e secundário. Na equação (23) tínhamos a
situação de transformador ideal, em que M.
Então, como nucleo > 0, o transformador absorverá uma corrente magnetizante (ou de magnetização),
IM, dada por:
1
ˆ
ˆ M nucleo
MI
N
 
 , (25)
sendo nucleo a relutância do núcleo. Essa corrente magnetizante já foi observada e medida no item 7 da
Parte Experimental I.
Substituindo (24) em (25), chega-se a:
1
1 12
1
ˆ1ˆ ˆ ˆnucleo
M
M M
E
I E E
j N j L jx

  
 
, (26)
em que se introduziu o parâmetro de circuito LM, que representa a indutância de magnetização do
transformador, dada por:
2
1
M
nucleo
N
L 

, (27)
bem como a reatância de magnetização xM= LM.

17
De (26) conclui-se que a corrente magnetizante, IM, é de natureza indutiva pura (atrasada de 90o
em
relação a E1 e em fase com o fluxo mútuo).
Sendo assim, o modelo do transformador ideal da Fig. 15 será corrigido pela introdução da reatância xM
em paralelo com a fonte.
1.1.2 Perdas no núcleo
O fluxo magnético variável no tempo, presente no núcleo ferromagnético, dá origem a dois tipos de
perdas no núcleo: perdas por histerese magnética e perdas Foucault. As primeiras estão associadas com
o rearranjo dos domínios magnéticos do núcleo a cada semi-ciclo de operação. Essas perdas dependem
de forma não linear da tensão aplicada ao transformador e da frequência. As perdas Foucault são
originadas por correntes induzidas (parasitas) no material ferromagnético, como ilustrado na Fig. 16.
Ambas dependem do volume de material do núcleo, da frequência de variação do fluxo, das
características físicas do material do núcleo e do valor máximo da indução magnética, Bmax, no núcleo.
Além disso, essas perdas podem ser consideradas constantes, ou seja, praticamente não dependem da
condição de carga do transformador.
De forma aproximada, a soma dessas perdas pode ser expressa por:
pfe = K Bmax
2
. (28)
CORRENTES
PARASITAS FLUXO
Fig. 16 – Esquema de núcleo laminado exibindo linhas de correntes induzidas em uma lâmina.
Substituindo Bmax por:
max 1
max
14,44
M E
B
S fN S

  ,
em que Mmax corresponde valor máximo do fluxo de magnetização, ou mútuo, chega-se a
pfe = K’ E1
2
.
Pode-se verificar pela expressão acima que a constante K’ tem dimensão 
,o que permite escrever
(30) como:
2
1
fe
P
E
p
r
 , (30)
em que se definiu o parâmetro rP como sendo uma resistência equivalente de perdas no ferro. Esse
parâmetro será introduzido no circuito equivalente em paralelo com a fonte, pois, assim como xM,

18
depende de E1. Nessas condições o transformador passará a absorver uma parcela de corrente de
natureza ativa, Ip, para suprir as perdas no núcleo, cujo valor será:
1
p
P
E
I
r
 . (31)
Então a corrente total absorvida em vazio pelo transformador, em notação fasorial, vale:
   1 0 p MI I I jI . (32)
A Fig. 17 apresenta o circuito equivalente do transformador com os parâmetros representando os
efeitos do núcleo.
Fig. 17 – Circuito equivalente mostrando transformador ideal (tracejado) com secundário em aberto, parâmetros de efeitos do núcleo e
corrente absorvida em vazio.
Pode-se verificar na Fig. 17 e pelas equações (27) e (30) que no caso de um transformador ideal (nucleo
e pfe nulas) xM e rP  e o ramo em paralelo é substituído por um circuito aberto (I0 = 0). Além disso,
como o transformador da Fig. 17 está em vazio, I2=0, e a corrente I1 absorvida pelo primário limita-se
apenas à corrente I0, como indicado em (32).
Para transformadores com núcleo de ferro, a corrente em vazio, I0, apesar de não nula, é em geral bem
pequena, com ordem de grandeza na faixa 1 a 5% da corrente de plena carga do transformador
(corrente nominal). No entanto, para transformadores pequenos e com núcleo de ar esse valor pode ser
mais elevado.
1.2 Efeitos associados aos enrolamentos
Os seguintes efeitos, relacionados à circulação de corrente pelos enrolamentos, estão presentes no
transformador real:
1) efeito dissipativo, ocasionado pelas perdas por efeito Joule nos condutores de primário e secundário;
2) dispersão de fluxo.
1.2.1 Efeito dissipativo – Perda Joule nos enrolamentos

19
Como as bobinas dos enrolamentos são compostas de condutores com resistência ôhmica, ao circular
corrente aparecem perdas por efeito Joule, fenômeno que será representado por resistências r1 e r2 dos
enrolamentos primário e secundário, respectivamente, parâmetros estes que devem ser conectados em
série, já que só haverá perda com circulação de corrente. Assim, ao contrário das perdas no núcleo,
essas perdas dependem da condição de operação, ou seja, da carga.
1.2.2 Dispersão de fluxo
Como no transformador a relutância do núcleo é maior que zero haverá parcelas de fluxo que se fecham
pelo ar no primário e secundário, que correspondem ao fluxo de dispersão. Da mesma forma que o
fluxo no núcleo, esses fluxos dispersos podem ser representados através de relutâncias d1 e d2 e
indutâncias de dispersão, Ld1 e Ld2.
Lembrando que o fluxo total concatenado com uma bobina (do primário, por exemplo) pode ser escrito
como:
11 M d     , (33)
em que M representa o fluxo mútuo entre primário e secundário e d1 é o fluxo de dispersão do
primário, aplica-se a Lei de Kirchhoff à malha do primário (Fig. 14), como segue:
1
1 1 1 1
d
v r i N
dt

  ,
ou, em notação fasorial,
11 1 1 1 1 1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆdV r I j N r I j N E         . (34)
Como pode se observar na (34), o fluxo de dispersão d1 não induz tensão no secundário, mas provoca
uma queda de tensão reativa no primário. Essa queda de tensão é provocada pela corrente que circula
no enrolamento, pois baseado na Fig. 14:
1 1 1 1d d N I   . (35)
Substituindo-se (35) em (34), tem-se que:
1
1
2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆd
d
N
V r I j N E r I j I E        

 ,
ou
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆdV r I j L I E r I jx I E       , (36)
onde foram introduzidos os parâmetros Ld1 e x1, indutância e reatância de dispersão do enrolamento
primário, respectivamente, tais que
1
1
2
1
d
d
N
L 

,
e
11 dx j L  .

20
Equacionamento análogo pode ser estabelecido para o enrolamento secundário, resultando nos
parâmetros Ld2 e x2. Note que as relutâncias  1d e  2d são aquelas relutâncias oferecidas aos fluxos
dispersos de primário e secundário, e são de difícil determinação.
Como já observado, as quedas de tensão reativas provocadas por d1 e d2 são afetadas pelas correntes
I1e I2 que circulam nos enrolamentos do primário e secundário. Por essa razão as reatâncias de
dispersão, assim como as resistências, são parâmetros que devem ser conectados em série com esses
enrolamentos no circuito equivalente, como mostrado na Fig. 18. Nessa figura pode-se verificar, que
para o transformador real,
1
2
V
a
V
 ,
apesar de ainda ter-se
1
2
E
a
E
 ou

2
2
E
a
E
.
Fig. 18 – Circuito equivalente completo do transformador.
Com relação às correntes, tem-se agora
   1 0 2I I I ,
sendo
2
2
cII
I
a a
   

 ,
que corresponde à corrente da carga referida ao primário.
O circuito equivalente da Fig. 18 pode ser simplificado referindo-se todos os parâmetros ao primário, o
que possibilita a eliminação do transformador ideal representado em tracejado. Esse novo circuito é
ilustrado na Fig. 19.
Os parâmetros do secundário referidos ao primário escrevem-se como:

21
2
2 2r a r  e 2
2 2x a x  .
2
2 2 2 2 1 2 1 0 2
ˆ ˆ ˆ, , , '
I
V aV E aE E I I I I
a
         
Fig. 19 – Circuito equivalente completo do transformador com todos os parâmetros e grandezas referidos ao primário.
OBS.: Note que no circuito equivalente da Fig. 19 não há menção às indutâncias próprias e mútua dos
enrolamentos, e sim à indutâncias de dispersão e magnetização. Entretanto, esses dois grupos de
indutâncias guardam estreita relação uns com os outros. O circuito equivalente poderia perfeitamente
ser expresso em termos de próprias e mútuas [3], porém o circuito da Fig. 19 é o mais usual.
2. CIRCUITOS EQUIVALENTES SIMPLIFICADOS E IMPEDÂNCIA EQUIVALENTE
Em transformadores de núcleo ferromagnético, devido à permeabilidade elevada, a relutância do núcleo
em geral é pequena, da mesma forma que a corrente em vazio. De fato, no transformador em carga, na
maior parte das vezes, pode-se desprezar essa corrente, visto que ela raramente excede 5% da corrente
de plena carga. Dessa maneira, torna-se razoável eliminar o ramo em paralelo do circuito equivalente
da Fig. 19, resultando no circuito da Fig. 20.
I1
V1
I2’
V2’
I1
V1 V2’
Zeq
(a) (b)
Fig. 20 – Circuitos equivalentes simplificados, sem o ramo paralelo, referidos ao primário.
Da Fig. 20b, conclui-se que um transformador monofásico real pode ser representado por uma
impedância equivalente Zeq, dada por:
   1 2 1 2eq ccZ Z r r j x x      . (37)
Esse parâmetro irá influenciar diretamente as características de desempenho do transformador,
sobretudo a regulação de tensão, que será vista no item 5, mais adiante.
3. TRANSFORMADOR NÃO IDEAL DE NÚCLEO NÃO LINEAR

22
No item 1.1.1 foi introduzido o conceito de corrente de magnetização do transformador não ideal e o
parâmetro de circuito equivalente LM, indutância de magnetização, considerando que o núcleo do
transformador era linear. Embora essa hipótese seja suficiente no momento, é necessário ter em mente
que isso não ocorre em transformadores de núcleo ferromagnético.
Sabe-se que em materiais ferromagnéticos a permeabilidade  = B/H só pode ser considerada constante
para valores baixos de H. Isso fica evidente ao se observar a Fig. 21 que mostra a característica B-H do
ferro, não linear com  variável, e do ar, linear com 0 constante. Pode-se notar que no primeiro
caso B aumenta proporcionalmente a H até certo valor, quando essa taxa de aumento (inclinação da
curva, ) diminui até o limite em que ocorre a saturação magnética.
ferro
ar
B
Fig. 21 – Curvas B(H) de material ferromagnético e do ar.
Essa característica não linear acaba afetando o valor de LM, uma vez que, pela (27):
  

2
21
1M Fe
nucleo
N S
L N
l
, (38)
se Fe diminui com aumento de H, então LM também diminui. Além disso, de acordo com (26) e
sabendo que B  E1 e H  I, conclui-se que a característica EI do transformador não ideal em vazio
(sem corrente no secundário) terá o mesmo comportamento da Fig. 21, conforme ilustrado na Fig. 22.
Ivazio
E1
Fig. 22 Característica EI de transformador não ideal em vazio.
4. DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DO CIRCUITO EQUIVALENTE
A determinação dos parâmetros do circuito equivalente do transformador não ideal pode ser obtida
experimentalmente através de dois ensaios:
1) Ensaio em vazio
2) Ensaio em curto circuito
No primeiro é possível determinar os parâmetros relacionados aos efeitos do núcleo: rP, xM, além das
perdas constantes (perdas no núcleo), que não dependem da carga, e da corrente eficaz em vazio. Já o
segundo permite determinar os parâmetros relacionados aos enrolamentos: r1, r2, x1, x2.

23
4.1 Ensaio em vazio
Este ensaio resume-se no seguinte: mantendo o transformador com seu secundário em circuito aberto
(Fig. 23), alimentar o primário com tensão e frequência nominais, anotando o valor da tensão aplicada
V1, bem como os valores medidos de corrente, I0, e potência absorvida. Motivos de ordem prática
levam a preferir o lado da baixa tensão como sendo o primário.
Fig. 23 – Esquema de montagem para o ensaio em vazio.
Considerando que durante a realização do ensaio o secundário está em aberto, o circuito equivalente se
reduz ao diagrama dado na Fig. 24(a). Uma simplificação consiste em desprezar a queda de tensão na
resistência do primário r1 e na reatância de dispersão x1, pois, além desses parâmetros terem valores
pequenos, a corrente absorvida em vazio I0 em geral também tem valor bem reduzido (1 a 5% de INOM).
O circuito resultante é dado na Fig. 24(b).
I0
V1
V2’
I0
V1
V2’
(a) (b)
Fig. 24 – Circuitos equivalentes para o transformador em vazio.
Nessas condições, os parâmetros rP e xM podem ser calculados como segue:
0
0
1 0
cos
P
V I
  , 1
0 0cosP
V
r
I


, e 1
0 0senM
V
x
I


. (39)
sendo V1, I0 e P0, respectivamente, a tensão aplicada, a corrente e a potência absorvidas em vazio
medidas pelos instrumentos indicados na Fig. 23. Como a perda Joule no enrolamento nesse ensaio é
desprezível, a potência medida P0 corresponde, com boa aproximação, às perdas no núcleo do
transformador.
4.2 Ensaio em curto-circuito
O ensaio resume-se no seguinte: curto-circuitar um dos lados do transformador (de preferência o da
baixa tensão) e no outro aplicar uma tensão Vcc crescente, com frequência nominal, até que a corrente
por ele absorvida atinja seu valor nominal. Anotar: o valor Icc dessa corrente, a tensão Vcc que a impõe e
a potência absorvida pelo transformador, Pcc. O esquema de montagem para a realização desse ensaio
está ilustrado na Fig. 25.

24
Fig. 25 - Esquema de montagem para o ensaio em curto-circuito.
Como o transformador está em curto, a valor de tensão Vcc para manter Icc = INOM é muito menor que
VNOM (normalmente de 3 a 10% desse valor). Nessas condições, o circuito equivalente se reduz ao
diagrama dado na Fig. 26(a). O ramo paralelo foi eliminado, pois a corrente I0, assim como as perdas
no núcleo, são desprezíveis, uma vez que ambas dependem da tensão aplicada, que neste ensaio tem
seu valor reduzido. Então a potência absorvida Pcc, medida pelo wattímetro da Fig. 25, corresponde às
perdas por efeito Joule nos enrolamentos.
I I
Vcc
I
Vcc
I
Vcc
(a) (b) (c)
Fig. 26 – Circuitos equivalentes para o transformador em curto-circuito.
Sendo assim, os parâmetros dos circuitos da Fig. 26 podem ser calculados como segue:
cc
cc eq
cc
V
z z
I
  , 2
cc
cc
cc
P
r
I
 , 2 2
cc cc ccx z r  . (40)
A fim de se determinar r1, r2, x1 e x2, adota-se a seguinte hipótese:
2
1 2r a r e 2
1 2x a x , (41)
o que resulta em
1
2
ccr
r  , 2 2
2
ccr
r
a
 , 1
2
ccx
x  e 2 2
2
ccx
x
a
 . (44)
Ao contrário dos parâmetros relativos ao núcleo, que podem sofrer efeito da saturação magnética, os
parâmetros relativos aos enrolamentos permanecem constantes. Se tomarmos como exemplo a
reatância de dispersão de um dos enrolamentos, tem-se:
11 dx j L  ,
em que 1
1
2
1
d
d
N
L 

e  


1
0
1
d
A
.
Como se pode observar, a relutância oferecida ao fluxo disperso é constante e independente da
corrente, o que não ocorre com a relutância do núcleo ferromagnético.

25
5. FUNCIONAMENTO DE TRANSFORMADORES EM CARGA E CARACTERÍSTICAS DE DESEMPENHO:
REGULAÇÃO E RENDIMENTO
5.1 Regulação
A regulação de um transformador define-se por:
ℝ

 2 2
2
100%vazio carga
carga
V V
V
Num transformador ideal (com impedância equivalente nula), a regulação seria igual a zero, o que
significaria que, sendo ele alimentado por V1 constante e alimentando cargas não nulas, as tensões
secundárias V2 também seriam constantes, isto é, independentes de variações na impedância de sua
carga. Quanto maior a impedância equivalente, maior será a regulação do transformador. Conclui-se,
portanto, que a regulação depende intimamente da impedância equivalente (impedância de curto-
circuito Zcc) do transformador. Como os parâmetros ligados ao núcleo praticamente não influenciam na
queda de tensão interna, o circuito equivalente simplificado é suficiente para efeito do cálculo da
regulação.
Outro fator que influencia a regulação de um transformador é a natureza da carga, ou seja, o seu cos .
Fig. 27 – Transformador representado por sua impedância equivalente e alimentando uma carga (Zeq = Zcc).
5.2 Rendimento
Normalmente o rendimento de um transformador é definido para a condição de plena carga (tensões e
correntes nominais no secundário), sob fator de potência cos especificado. Para um transformador
monofásico ele pode ser expresso por:

  
  
2 2 2
2 2 2
cos
cos
u
t Fe J
P V I
P V I p p
Quando alimentado sob frequência e tensão eficaz constantes, as perdas no ferro de um transformador
operando normalmente podem ser consideradas constantes, isto é, independentes das intensidades de
suas correntes. Portanto, diante de diferentes potências (correntes), fornecidas sob um determinado
fator de potência, considera-se que o rendimento do transformador varia somente devido às variações
das perdas no cobre. Esse rendimento é nulo nas duas situações extremas em que a potência útil é nula,
quais sejam:
a) em vazio, quando a corrente secundária é nula;
b) em curto-circuito, quando a tensão secundária é nula.

26
Entre esses dois extremos o rendimento varia, passando por um máximo, ditado por um determinado
valor eficaz de corrente, valor este que faz com que as perdas no cobre (variáveis) se igualem às perdas
no ferro (fixas).
Exercícios
1. Um transformador de 300 kVA, 13.800/440 V, 60 Hz apresenta as seguintes reatâncias de dispersão: x1 = 25  e x2 =
0,025 . Para este problema, as resistências e a impedância de magnetização podem ser desprezadas. Determine: a) o
circuito equivalente do transformador; b) supor que uma carga de impedância Z = 0,64 + j0,48  é ligada ao secundário do
transformador, e uma fonte de 13800 V e 60Hz é ligada ao primário. Calcular a corrente absorvida pelo primário e a
corrente e a tensão na carga.
2. Um transformador de 250 kVA, 13,8/0,44 kV, 60 Hz, apresenta os seguintes parâmetros de circuito equivalente: r1=3 
x1=30 r2 = 3 m, x2 = 0,031 , rP = 90 k e xM = 20 k. Desenhe o circuito equivalente referido ao primário deste
transformador, indicando os valores das tensões, correntes e parâmetros.
3. O transformador do exercício anterior alimenta uma carga com tensão nominal no secundário, a qual absorve sua potência
nominal com fator de potência 0,8 indutivo. Determine a tensão e a corrente no primário.
4. Os parâmetros de circuito equivalente de um transformador de 350 VA, 220/110 V, que tem 385 espiras no primário e
210 no secundário, são: r1 = 2,65 , r2= 1,06 , x1= 0,2 , x2= 0,6 , xM= 366 , rP= 2320 . As perdas no cobre são 21,9
W e as perdas no ferro 9,5 W. Considerando esses dados, faça como exercício os seguintes itens da apostila da Parte
Prática 2: a) item 4 completo (página 11); b) itens 5.2 e 5.3 (páginas 12 a 13), admitindo que o transformador alimenta
carga de natureza puramente resistiva nas condições nominais.
Questões para revisão/reflexão/estudo
1) Enuncie a Lei de Faraday com suas próprias palavras. Idem para a Lei de Lenz.
2) Por que a Lei de Faraday é importante? O que ela acrescenta ao que você já sabe sobre circuitos elétricos e
circuitos magnéticos?
3) Defina fluxo magnético.
4) Qual a distinção entre tensão e força eletromotriz induzida?
5) Dê um exemplo de como se obtém uma força eletromotriz induzida, justificando.
6) O que é um transformador?
7) Quais as diferenças entre um transformador ideal e um real?
8) Transformadores devem ter (assinale as corretas): a) permeabilidade infinita; b) duas ou mais bobinas; c) circuito
magnético fechado (sem entreferro); d) em todas as bobinas deve circular corrente.
9) Responda se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas, justificando: a) O fluxo num transformador de
permeabilidade finita, sem perdas e sem fluxo disperso é zero, se as potências de primário e secundário forem
iguais. b) Correntes induzidas (ou parasitas, ou de Foucault) em materiais condutores são consequência direta da
Lei de Lenz.
10) Correntes parasitas podem ser entendidas como o mecanismo que produz o fluxo oposto na Lei de Lenz. Explique.
11) Defina força magnetomotriz. Qual a sua unidade?
12) Defina fluxo concatenado . Qual é o fluxo no núcleo de um transformador ideal com relação de espiras N1/N2: ,
1=N1 ou 2=N2?
13) Defina fluxo mútuo e fluxo disperso.
ATENÇÃO!
Cuidado para não confundir os termos: carga do transformador, carregamento e
impedância da carga. Quando se diz que um transformador opera com 80 % de carga,
isso não significa que a impedância da carga é 80%, e sim que ele está operando com 80 %
da sua potência nominal, o que em geral significa que sua corrente é 80 % da nominal, se
sua tensão for a nominal.

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14) Um transformador com relação de transformação igual a “a” possui reatância de magnetização xM1 e resistência
equivalente de perdas no ferro rP1 referidos ao primário. Quais seriam os valores desses parâmetros se fossem
referidos ao secundário?
15) Por que a regulação de um transformador é importante como parâmetro de desempenho desse dispositivo? O que
ela mede? Ela depende de quais parâmetros do transformador? Ela depende apenas de parâmetros do
transformador? Do que mais ela depende?
BIBLIOGRAFIA
[1] Magnetic Circuits and Transformers, A first course for Power and Communication Engineers – Principles of Electrical
Enginnering Series, Members of the Staff of Department of Electrical Enginnering, Massachusets Institute of
Technology (MIT), John Wiley & Sons Inc. New York, 1944.
[2] Conversión de Energia Electromecánica, V. Gourishankar, México, 1975, R. S. I.
[3] Conversão Eletromecânica de Energia, Vol I, A.G. Falcone, Edgar Blucher, S.Paulo,1985.
[4] Transformadores, Rubens Guedes Jordão, SK&C.
[5] Apostila do curso Eletrotécnica Geral – 6.Transformadores, J. R. Cardoso, M. R. Gouvêa, EPUSP

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