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EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
PROFESSOR: Methodio Varejão de Godoy
CORRENTE CONTÍNUA E ALTERNADA
1. CORRENTE ELÉTRICA
Toda a maté...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 2 – Movimento de Eletrons
Uma corrente elétrica é produzida ...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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isolante recobrindo o condutor é provido para que os eletrons se ma...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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A corrente é determinada pelo número de eletrons que passam através...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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A representação simbólica de uma bateria é apresentada na fig, onde...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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A resistência de um dado material depende também de suas dimensões,...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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O coeficiente de aumento da resistência com a temperatura tem um va...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 13 – Circuito resistivo com equipamentos de medição
2. LEI D...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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3. POTÊNCIA INSTÂNTANEA
A potência fornecida a um dado elemento do ...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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ao se arbitrar um sentido para a corrente, ao sabermos que a corre...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 18 – Direções associadas de tensão e corrente
5. LEIS DE KI...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 20 - Circuito para aplicação da Lei das Correntes de Kirchh...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
13
Analisando a equação anterior, pode-se verificar que as n resistên...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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QUESTÕES
1. Explique o que significa adotar direções associadas de...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 25 – Materiais isolantes mais empregados
6. Compare as cara...
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8. CORRENTE ALTERNADA
O suprimento de corrente para dispositivos e...
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Figura 31 – Onda senoidal de corrente
Matematicamente um gráfico c...
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A unidade de medida da freqüência elétrica é o ciclos por segundo,...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 33 – Senóides defasadas
Esta defasagem é expressa em tempo ...
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corrente contínua de 1 Ampére. O valor eficaz é também conhecido c...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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elétrico. Como vimos anteriormente as correntes e tensões num sist...
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ou :
θ∠V0,707=V m
Para o fasor expresso na forma retangular, o ter...
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também somando as partes imaginária dos dois fasores. Isto é, se I...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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É importante ressaltar ainda que um fasor não pode ser maior ou me...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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A representação gráfica de um fasor é feita sempre considerando a ...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 37 – Diagrama fasorial
As operações de ...
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com a extremidade do último é a resultante total da soma de todos ...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 40 – Circuito resistivo
A chave é fechado em t = 0, e a cor...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 43 – Corrente num circuito RL
Quanto maior a indutância do ...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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resistências, a corrente varia gradualmente entre zero e o valor d...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 46 – Efeito das constantes de tempo
Enquanto num circuito a...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 48 – Diagrama fasorial
Os fasores VL e IL mostrados na Figu...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 49 – Capacitor teórico
Para se entender fisicamente o efeit...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 52 – Circuito com a introdução da capacitância
Em t = 0 a c...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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capacitor em que está ligado. Portanto, essa placa adquire um exce...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 54 – Resposta de carga e descarga do capacitor
Consideremos...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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micromicrofarad (µµF), conhecido como picofarad (pF). Assim: 1 µF ...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Analogamente, a constante de tempo capacitiva mostra o tempo exigi...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 57 – Diagrama fasorial no capacitor
Os fasores Vc e Ic most...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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relação a tensão aplicada que é denominada de reatância indutiva, ...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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um circuito elétrico. Por exemplo, considere o circuito elétrico a...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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determinado componente num circuito em corrente alternada, onde a ...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Analisando a expressão geral para a potência ativa instantânea for...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 62 – Potência ativa e reativa instântanea
Analisando a Figu...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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onde, ∠V é a fase do fasor tensão e ∠I é a fase do fasor corrente....
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Esta interpretação de que numa carga indutiva a potência reativa é...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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reativa, a denominação distinta novamente está relacionada à ident...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Para melhor caracterizar o que foi dito anteriormente, vamos acres...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 64 - Triângul...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 66
13.Explique porque a corrente que alimenta um liquidific...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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Figura 68
17.Obtenha o consumo diário de uma impressora HP Deskjet...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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19.Um transformador de potência trifásico alimenta no seu enrolame...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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23.Obtenha a corrente que alimenta o aspirador de pó da Figura 71 ...
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
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usou como fonte de referência ou cópia dos dados obtidos a partir ...
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Figura 74
32.Obtenha a corrente i(t) no circuito da Figura 75 admi...
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R
L C
vS
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Figura 77
35.Uma rede formada por uma indutância L e ...
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  1. 1. 1 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO PROFESSOR: Methodio Varejão de Godoy CORRENTE CONTÍNUA E ALTERNADA 1. CORRENTE ELÉTRICA Toda a matéria é composta de átomos que por sua vez são compostos por uma combinação de eletrons. Os átomos tem núcleos com os eletrons girando em torno dele. O núcleo é composto de protons e neutrons (não mostrados na fig). Muitos dos átomos tem números iguais de eletrons e protons. Eletrons tem uma carga negativa e os protons tem uma carga positiva. Neturons são neutros. A carga negativa dos eletrons é equilibrada pela carga positiva dos protons. Os eletrons estão limitados em sua orbitas pela atração dos protons. Figura 1 - Átomo Os eletrons em órbitas mais externas podem se tornar livres de sua órbita devido a uma aplicação de uma força externa tais como um campo magnético, atrito ou uma reação química. Esses eletrons são denominados eletrons livres. Um eletron livre deixa um espaço que pode ser preenchido por outro atomo forçado a sair da órbita de outro átomo. Com o movimento dos eletrons livres de um átomo para o vizinho um fluxo de eletrons é produzido. Isto é a base da eletricidade.
  2. 2. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 2 Figura 2 – Movimento de Eletrons Uma corrente elétrica é produzida quando eletrons livres movem-se de um átomo para outro. Os materiais que permitem muitos eletrons moverem-se livremente são denominados condutores. Cobre, prata, alumínio, zinco e ferro são considerados bons condutores. Cobre e Alumínio são os materiais condutores mais utilizados. Figura 3 – Corrente elétrica num material condutor Os materiais que permitem que apenas alguns eletrons movimentem-se livremente são os isolantes. Materiais como borracha, plástico, vidro, mica e porcelana são bons isolantes. Figura 4 – Corrente elétrica num material isolante Um cabo elétrico é um bom exemplo de como condutores e isoladores podem ser empregados. Os eletrons fluem ao longo do condutor de cobre para fornecer energia para uma televisão, motor ou uma lâmpada. Um material
  3. 3. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 3 isolante recobrindo o condutor é provido para que os eletrons se mantenha dentro do condutor. Figura 5 – Materiais em um cabo Materiais semi-condutores, tais como silício, germânio, selênio são usados para produzir dispositivos que podem ter características de ambos condutores e isoladores. Muitos dispositivos semicondutores atuam como condutores quando uma força externa é aplicada em uma direção e como isoladores se a força externa é aplicada na direção contrária. Esse é o princípio básico dos transistores, diodos e demais dispositivos de estado sólido. Figura 6 – Simbologia de dispositivos de estado sólido Como foi descrito anteriormente, a eletricidade é o fluxo de eletrons em um condutor de um átomo para o átomo vizinho numa mesma direção. O fluxo de eletrons é referido como uma corrente e é denotada pela letra i. Os eletrons movem-se através de condutores em diferentes taxas e a corrente elétrica tem diferentes valores. Figura 7 – Fluxo de eletrons
  4. 4. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 4 A corrente é determinada pelo número de eletrons que passam através de uma seção transversal do condutor numa dada unidade de tempo. A corrente é medida em Amperes ou A. Uma corrente de 1 A significa que em um segundo cerca de 6,24 x 1018 eletrons movem-se através da seção transversal do condutor. A força que aplicada a um condutor faz com que a corrente circule é a tensão. Os eletrons são atraídos pelas cargas positivas de uma fonte que tem uma deficiência de eletrons. A força requerida para fazer a corrente circular é a denominada diferença de potencial ou força eletromotriz (fem) ou simplesmente tensão. Tensão é designado pela letra e ou v. A unidade de medida é o volt designado pela letra V. Uma tensão pode ser gerada de várias maneiras. Uma bateria usa um processo eletroquímico para produzir uma diferença de potencial entre seus dois terminais. Um gerador de automóvel ou um gerador de uma usina utiliza a indução eletromagnético para produzir diferença de potencial. Todas as fontes apresentam sempre como a bateria um terminal com excesso de eletrons e outro com falta de eletrons. Esse fato resulta sempre numa diferença de potencial entre dois terminais. Figura 8 - Bateria
  5. 5. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 5 A representação simbólica de uma bateria é apresentada na fig, onde a linha reta maior indica o terminal positivo e a linha reta menor o terminal negativo. Figura 9 – Símbolo de uma bateria Todo material apresenta uma certa oposição a passagem da corrente elétrica, isto é ao estabelecimento do fluxo de letrons no material, denominada resistência. A resistência de um dado material é designada pelo símbolo R e sua unidade de medida é o ohm, cujo símbolo é Ω. A resistência depende da própria natureza do material do condutor, isto é da facilidade que existe de se retirar eletrons de sua órbitas. Essa natureza do material é caracterizada pela sua resistividade ρ medida em ohm/m. A resistividade de um dado material é afetada pela têmpera e pela pureza do material. Quanto maior a têmpera do material, maior é a resistividade e quanto mais puro for o material condutor menor será a sua resistividade. A Tabela 1 apresenta a resistvidade de alguns materiais metálicos. Tabela 1 – Resistividade e condutividade de materiais condutores Metal Condutividade σ (x 10 6 υ/m) Resistividade ρ (x 10 -6 Ωm) Prata 62,9 0,0159 Cobre 58 0,01724 Ouro 41 0,0244 Alumínio 35,5 0,0282 Níquel 12,8 0,078 Platina 10 0,10 Ferro 10 0,10 Bronze 5,5 0,18 Aço Silício 1,6 0,62
  6. 6. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 6 A resistência de um dado material depende também de suas dimensões, isto é a resistência é diretamente proporcional ao comprimento do condutor e inversamente à área de sua seção transversal. Portanto, a resistência de um dado material pode ser expressa matematicamente por: S l R ρ= onde: ρ – resistividade do material l - comprimento do material; S - área da seção transversal do condutor. Figura 10 – Resistência de um condutor A resistência de um dado material varia também com a temperatura, isto é quanto maior a temperatura maior a resistência do material. Essa variação é expressa matematicamente pela seguinte equação: )](1[ 12..12 TTRR tTT −α+= onde: RT1 – resistência elétrica do condutor na temperatura T1 RT2 – resistência elétrica do condutor na temperatura T2 αt – coeficiente do aumento da resistência com a temperatura T2 – temperatura do condutor onde se deseja obter a resistência T1 – temperatura do condutor onde se conhece o valor da resistência.
  7. 7. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 7 O coeficiente de aumento da resistência com a temperatura tem um valor relacionado ao material, por exemplo para o cobre duro tomando a temperatura de 20o C como referência ele vale 0,00385 (1/0 C), para os cabos de alumínio pode-se adotar o valor de 0,00403 (1/0 C). Os símbolos empregados para representar uma resistência estão mostrados na Figura 11. Figura 11 – Representação de uma resistência Um simples circuito elétrico mostrado na Figura 12, consiste de uma fonte de tensão e uma carga e um condutor para que o fluxo de eletrons ocorra da fonte entre a fonte e a carga. A bateria faz o papel da fonte de tensão, o fio é usado como condutor e lâmpada é a resistência do circuito. Um componente adicional foi adicionado ao circuito a chave. Se a chave está na posição aberta o circuito está aberto e a luz não acende, fechando a chave, completa-se o circuito e os eletrons fluem da fonte acendendo a lâmpada. Figura 12 – Circuito resistivo com bateria A Figura 13 apresenta a representa de um circuito elétrico formado por uma bateria, um resistor, um voltímetro, e um amperímetro. O amperímetro é conectado em série com o circuito, irá mostrar a intensidade da corrente que circula no circuito. O voltímetro conectado em paralelo com a fonte de tensão irá mostrar o valor da tensão suprida pela bateria.
  8. 8. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 8 Figura 13 – Circuito resistivo com equipamentos de medição 2. LEI DE OHM A relação entre tensão, corrente e resistência foi estudada no século 19 pelo matemático alemão George Simon Ohm. Ohm formulou a seguinte lei: “A corrente i num elemneto varia diretamente com a tensão e nesse elemento e inversamente com a resistência R”. Exprimindo matematicamente esta formulação, obtemos: R e i = Uma maneira fácil de se relembrar da Lei de Ohm é empregando o “triângulo de Ohm”(Figura 14), e este triângulo pode ser utilizado para obter a equação de forma rápida e correta para cada caso. Para usar este triângulo, deve ser coberto a grandeza que se quer calcular, e os membros restantes deixam a formúla correta, como pode ser visto na Figura 15. Figura 14 – Triângulo de Ohm Figura 15 – Aplicação do triângulo de Ohm
  9. 9. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 9 3. POTÊNCIA INSTÂNTANEA A potência fornecida a um dado elemento do circuito p, sendo ele uma fonte ou uma resistência é dada pelo produto da tensão no elemento v pela corrente i que circula por ele, isto é: i.vp = A unidade da potência é o watts ou de forma abreviada W. No caso do elemento do circuito para o cálculo da potência ser uma resistência, a relação entre tensão e corrente definida pela Lei de Ohm, faz com que a equação assuma a seguinte forma: 2 i.Rp = A energia consumida ou o trabalho elétrico e efetuado, é dado pela integral da potência suprida a um dado elemento num dado intervalo de tempo, assim: ∫∫ ∆+∆+ == tt t tt t dt.i.vdt.pe Como v e i são fornecidas por uma bateria que fornece tensão e corrente contínua, a energia suprida a um elemento pode ser obtida realizando o produto da potência p pelo intervalo de tempo ∆t, durante o qual a bateria estará ligada. A fórmula que permite calcular este valor é: t.pe ∆= 4. DIREÇÕES ASSOCIADAS DE TENSÃO E CORRENTE Quando se diz que a corrente num dado elemento A é 10 A ou que a tensão nesse elemento é 5V, e se examina um circuito como o da Figura 1, nada se pode concluir sobre o sentido real da corrente se é da direita para a esquerda ou vice-versa. Para a completa determinação da corrente e da tensão num elemento é essencial se arbitrar uma referência para essas grandezas. Assim
  10. 10. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 10 ao se arbitrar um sentido para a corrente, ao sabermos que a corrente é – 4 A significa que a corrente é de 4 A em sentido contrário ao arbitrado. Figura 16 – Direção da corrente no elemento Nesse texto utilizaremos as direções associadas de tensão e corrente ao arbitrarmos o sentido da corrente ou da tensão. Utilizando as as direções associadas de tensão e corrente, ao se arbitrar um sentido para a corrente estamos também arbitrando um sentido para a tensão, como pode ser visto na Figura 17. Figura 17 – Direções associadas de tensão e corrente Da mesma forma, ao se arbitrar um sentido para a tensão estamos também arbitrando um sentido para a corrente (Figura 18). Empregando as direções associadas de tensão e corrente nos cálculos envolvendo os elementos de um dado circuito elétrico, quando obtemos uma potência instantânea positiva, estaremos obrigatoriamente diante de um elemento que consome energia, isto é, diante de um elemento passivo como uma resistência. Por outro lado, quando obtemos uma potência instantânea negativa, estamos diante de um elemento ativo, isto é, se trata de um elemento que fornece energia ao circuito, uma fonte.
  11. 11. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 11 Figura 18 – Direções associadas de tensão e corrente 5. LEIS DE KIRCHHOFF Para a solução de circuitos, isto é para a obtenção das correntes, tensões e potências em cada elemento de um dado circuito, o físico alemão Kirchhoff formulou duas leis: a Lei das Tensões de Kirchoff e a Lei das Correntes de Kirchhoff. Um percurso fechado dentro de um circuito é denominado malha desde que este percurso fechado não contenha nenhum elemento no seu interior. A cada elemento de um dado circuito está associado um ramo e define-se nó como o ponto de encontro de dois os mais ramos. A Lei das das Tensões de Kirchoff tem o seguinte enunciado: “A soma das tensões ao longo dos elementos de uma malha é sempre igual a zero”. Figura 19 – Circuito para aplicar a Lei das Tensões de Kirchhoff Aplicando a Lei das Tensões de Kirchhoff para o circuito elétrico da Figura 19 no sentido horário, podemos escrever a seguinte equação: 0vvvve 4321 =−+−+−
  12. 12. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 12 Figura 20 - Circuito para aplicação da Lei das Correntes de Kirchhoff A Lei das das Correntes de Kirchhoff tem o seguinte enunciado: “A soma das correntes que chega e sai de um dado nó é sempre igual a zero”. Aplicando a Lei das Correntes de Kirchhoff para o nó 1 do circuito elétrico da Figura 20 no sentido horário, podemos escrever a seguinte equação: 0iii 421 =−+ 6. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM SÉRIE Um circuito elétrico constituído por n resistências em série é formado quando elas são conectadas uma após a outra formando um único percurso para a corrente fluir. As resistências podem ser resistores ou outros dispositivos que tenham resistência. Figura 21 – Resistências em série Para um conjunto de n resistências mostradas na Figura 21, podemos escrever a seguinte equação aplicando a Lei das Tensões de Kirchhoff: i).RR...RR(e i.Ri.R...i.Ri.Re N1N21 N1N21 ++++= ++++= − −
  13. 13. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 13 Analisando a equação anterior, pode-se verificar que as n resistências em série produzem o mesmo efeito de uma única resistência, denominada resistência equivalente dada por: ∑= =++++= n 1i iN321EQ RR....RRRR 7. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM PARALELO Uma associação de n resistências em paralelo é obtida quando as n resistências são conectadas lado a lado, isto é quando as n resistências dividem a corrente total. Numa ligação em paralelo, todos os terminais de mesma polaridade são interligados, como pode ser visto na Figura 22. Figura 22 – Associação de n resistências em paralelo Para um conjunto de n resistências em paralelo mostradas na Figura 22, podemos escrever a seguinte equação aplicando a Lei das Correntes de Kirchhoff: ∑= =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++=+++= +++= n 1i iN21N21 T N21T R 1 R 1 ... R 1 R 1 .e R e ... R e R e i i...iii Analisando a equação anterior, pode-se verificar que as n resistências em paralelo produzem o mesmo efeito de uma única resistência, denominada resistência equivalente dada por: ∑= =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++= n 1i iN21EQ R 1 R 1 ... R 1 R 1 R 1
  14. 14. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 14 QUESTÕES 1. Explique o que significa adotar direções associadas de tensão e corrente. 2. Para o circuito da Figura 23 obtenha a corrente no amperímetro e a tensão no voltímetro. Dados R1= 2 ohms, R2 = 3 ohms, R3 = 5 ohms, R4 =1 ohm e E = 10 V. DC A R1 R2 R3 R4 E V Figura 23 – Circuito resistivo 3. Para o circuito da figura obtenha as potências instântaneas em cada elemento. Explique o que significa o sinal negativo da potência na fonte. 4. Obtenha a indicação do amperímetro A e do voltímetro V no circuito da Figura 24. Assumir : R1 = 2 Ω , R2 = 3 Ω, R3 = 4 Ω, R4 = 1 Ω, R5 = 5 Ω e E = 10 V. DC R1 R2 R3 R4 R5E V A Figura 24 – Circuito resistivo 5. Os materiais isolantes mais comuns sólidos, líquidos e gasosos são apresentados na Figura 25. Apresente onde encontramos esses materiais nos sistemas elétricos.
  15. 15. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 15 Figura 25 – Materiais isolantes mais empregados 6. Compare as características do cobre e do alumínio mostradas na Figura 26 e apresente comentários. Figura 26 – Características do cobre e do alumínio 7. Visite o SITE indicado na Figura 27 e explique como é o processo de fabricação do alumínio? Figura 27 – Site sobre alumínio 8. Visite o site indicado na Figura 27 e explique como é o processo de fabricação do cobre? Figura 28 – Site sobre o cobre 9. Enuncie as Leis de Kirchhoff para solução dos circuitos elétricos. 10.O que faz um material ser denominado material condutor?
  16. 16. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 16 8. CORRENTE ALTERNADA O suprimento de corrente para dispositivos elétricos pode ser feito por fonte de corrente contínua ou por uma fonte de corrente alternada. Em corrente contínua, os eletrons fluem continuamente em uma direção da fonte de potência para a carga através de um condutor. A queda de tensão na corrente contínua é constante. As principais fontes de corrente contínua incluem as baterias, pilhas e geradores de corrente contínua (Figura 29). Figura 29 – Fonte de corrente contínua Na grande maioria dos sistemas elétricos a corrente que flui nos condutores é alternada e não contínua. As principais razões deste fato são a facilidade que tem a tensão alternada de ser elevada ou reduzida de acordo com a conveniencia dos consumidores e o reduzido custo aliado a baixa necessidade de manutenção dos motores elétricos de corrente alternada em relação aos de corrente contínua. Portanto a corrente que circula por um equipamento de utilização de energia conectada numa tomada é alternada (Figura 30). Figura 30 – Corrente alternada Tensões e correntes alternadas variam continuamente. Graficamente uma corrente ou tensão alternada são expressas por ondas senoidais ou senóides.
  17. 17. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 17 Figura 31 – Onda senoidal de corrente Matematicamente um gráfico como o mostrado na Figura 31, pode ser descrito pela equação: ( )θω +tsenim=(t)i A equação anteriormente apresentada é denominada de equação da função alternada senoidal ou senóide. O temo Im é o valor de pico ou valor máximo da senóide, ω é a freqüência angular dessa senóide e θ é a fase da senóide. Examinando a Figura 31, é fácil visualizar que o valor de pico, Im, é o maior valor que a corrente atinge ao longo do tempo, tanto no lado positivo como negativo da corrente elétrica. Analisando ainda a Figura 31, podemos, concluir que a corrente é formada por uma série de trechos que se repetem ao longo do tempo. Um trecho destes está destacado na figura 1 entre as retas a e b. Cada trecho deste é denominado de ciclo. Em cada ciclo temos dois semi-ciclos, um positivo e outro negativo. A duração de cada ciclo é denominada de período, e é representado pela letra T. A freqüência elétrica, representada pela letra f, é definida como o número de ciclos de uma senóide por segundo. Assim temos que: T 1 =f
  18. 18. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 18 A unidade de medida da freqüência elétrica é o ciclos por segundo, que por homenagem ao cientista Heinrich Hertz, foi denominado de Hertz, e abreviado por Hz. Portanto, uma freqüência elétrica de 5 ciclos por segundo, corresponde a uma freqüência de 5 Hz. A Figura 32, mostra uma senóide de freqüência elétrica de 4 Hz, e de período 0,25 seg. Figura 32 – Senóide de frquencia de 4 Hz A freqüência elétrica pode também ser expressa em radianos por segundo, bastando apenas, relembrar que 1 ciclo corresponde a 2 π radianos (360°), e assim: [rad/seg]f2.πw = O sistema elétrico do Brasil, opera numa freqüência constante, que é 60 Hz, ou 377 radianos por segundos, também bastante empregada nos Estados Unidos. Outros países da América do sul, optaram pelo uso da freqüência de 50 Hz, muito comum no continente europeu. Consideremos as duas senóides apresentadas na Figura 33. Ambas tem a mesma amplitude ou valor de pico, e a mesma freqüência, porém não são iguais. Cada uma delas tem uma fase distinta. Quando duas senóides tem valores de pico ocorrendo em instantes diferentes, como mostrado na Figura 33, dizemos que elas estão defasadas, ou fora de fase.
  19. 19. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 19 Figura 33 – Senóides defasadas Esta defasagem é expressa em tempo ou em frações do ciclo, ou em radianos, ou ainda em graus. Relacionando sempre 1 ciclo a 2 π radianos e a 360°. Desta forma podemos afirmar que a defasagem entre as correntes i1 e i2 é de ¼ de ciclo ou de π/2 radianos ou ainda de 90°. Quando os pontos de máximo e mínimo de uma senóide ocorrem antes dos correspondentes pontos de outra senóide, dizemos que a primeira senóide está adiantada em relação a segunda. Assim na Figura 33, a corrente i1 está adiantada em relação a corrente i2. Quando não há defasagem entre duas senóides se diz que elas estão em fase. Quando duas senóides estão defasadas de meio ciclo, isto é, quando ocorre o pico positivo de uma a outra está no seu pico negativo se diz que estas senóides estão em oposição de fase. 9. VALOR EFICAZ Sendo as tensões e correntes nos sistemas elétricos senoidais, elas estão variando continuamente no tempo, fazendo portanto necessário definir um valor que possa quantificar a intensidade destas grandezas. Este valor que foi denominado valor eficaz, corresponde ao valor CA que produza a mesma energia (isto é, dissipe uma mesma quantidade de calor num circuito resistivo) que um valor contínuo CC. Portanto, uma corrente alternada com valor eficaz igual a 1 Ampére produz o mesmo calor num resistor de 10 ohms que uma
  20. 20. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 20 corrente contínua de 1 Ampére. O valor eficaz é também conhecido como rms (root-mean-square), pois matematicamente ele é definido como sendo a raiz quadrada do valor médio dos quadrados de todos os valores instantâneos da corrente ou tensão durante meio ciclo. Para uma dada senóide o valor eficaz de uma senóide é o valor de pico dividido por raiz de dois, isto é: pico pico rms I0,707= 2 I =I É importante salientar que as escalas dos instrumentos de medida (amperímetro, voltímetro...) são calibrados para indicarem o valor eficaz de uma corrente ou tensão senoidal. Convém ainda destacar que o valor eficaz não é igual ao valor médio de meio ciclo. Durante meio ciclo, a tensão ou corrente varia de zero até o valor de pico e retorna zero novamente; portanto, o valor médio deve estar situado entre zero e o valor de pico. Para uma dada senóide, temos: picoédiom I0,637=I A Figura 34, apresenta uma senóide onde são indicados o valor de pico ou valor máximo, o valor eficaz e o valor médio. Figura 34 – Valores de pico, eficaz e médio de uma senóide 10.MÉTODO FASORIAL Na solução de circuitos elétricos e na própria operação dos sistemas elétricos muitas vezes é necessário operar algebricamente com correntes ou tensões para obter o valor de uma dada grandeza num dado ponto deste sistema
  21. 21. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 21 elétrico. Como vimos anteriormente as correntes e tensões num sistema elétrico são senóides e operações algébricas, usando as expressões gerais seria uma tarefa cansativa. Para se resolver problemas como este de forma simples e prática, foi desenvolvido o Método Fasorial. Neste método, cada senóide é representada por um número complexo denominado de fasor. Portanto, operar com senóides se torna operar com números complexos. No método fasorial, uma senóide expressa pela seguinte equação: ( )t +senVm=v θω é representada por um fasor, que é um número complexo cujo módulo é o valor eficaz da senóide, e a fase é a própria fase da senóide. O fasor é denotado por uma letra maiúscula, neste caso V, e é dado por: jj eVef=e 2 Vm =V θθ Utilizando a igualdade de Euler : θ+θ=θ senjcosej podemos converter este fasor expresso na forma polar para a forma retangular: ( )θ+θ=θ senjcos.VeV=V EF j EF É muito comum nos cálculos em sistemas elétricos envolvendo fasores se substituir o e da igualdade de Euler por ∠ ,seguindo este mesmo procedimento o fasor V pode ser escrito pela seguinte equação: θ∠θ∠ Vef= 2 Vm =V
  22. 22. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 22 ou : θ∠V0,707=V m Para o fasor expresso na forma retangular, o termo Vef cos θ, é a parte real do fasor V, e o termo Vef sen θ, é a parte imaginária do fasor V. Assim: ir Vj+V=V onde: θ= θ sen.VVi .cosV=V EF EFr Para exprimir na forma polar um fasor expresso na forma retangular, utiliza-se a seguinte equação: θV+V=Vj+V 22 irir ∠ onde a fase θ é obtida calculando: r i V V arctgθ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = As equações anteriores apresentadas para um fasor tensão V, são válidas também para qualquer fasor corrente I, bastando apenas substituir o fasor V pelo fasor I. Empregando o método fasorial, significa que realizar operações com tensões e correntes, corresponde a realizar operações com números complexos ou fasores. A adição de dois fasores é efetuada colocando ambos os fasores na forma retangular. O fasor soma, tem sua parte real dada pela soma da parte real dos dois fasores a serem adicionados, e sua parte imaginária calculada
  23. 23. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 23 também somando as partes imaginária dos dois fasores. Isto é, se I1 = Ir1 + Ii1 e I2 = Ir2 + j Ii2, então: )II(j)II(III 2i1i2r1r21T +++=+= Procedendo de forma similar, podemos obter o fasor subtração entre dois fasores, colocamos ambos os fasores na forma retangular, a parte real do fasor subtração é obtida subtraindo a parte real de um dos fasores da parte real do outro. E a parte imaginária do fasor subtração, é obtida subtraindo a parte imaginária de um dos fasores da parte imaginária do outro. Assim se I1 = Ir1 + j Ij1 e I2 = Ir2 + j Ij2, temos: )II(j)II(III 2i1i2r1r21T −+−=−= A multiplicação de dois fasores é determinada com a colocação dos dois fasores colocados na forma polar. E o módulo do fasor multiplicação é obtido multiplicando-se o módulo de cada um dos fasores a serem multiplicados. A fase do fasor multiplicação é obtida somando a fase dos fasores a serem multiplicados. Assim se I1=⏐I1⏐∠θ1 e I2=⏐I2⏐∠θ2 , o fasor IT = I1 x I2, pode ser calculado pelas seguintes equações: ( )212121T I.IxIII θ+θ∠== A divisão de dois fasores é obtida de forma similar a multiplicação. Os dois fasores a serem divididos são colocados na forma polar. O módulo do fasor divisão é calculado, dividindo os módulos dos fasores, e a fase do fasor divisão é calculada subtraindo as fases dos fasores a serem divididos. Assim se I1=⏐I1⏐∠θ1 e I2=⏐I2⏐∠θ2 , o fasor IT = I1 / I2, pode ser calculado pelas seguintes equações: ( )21 2 1 2 1 T I I I I I θ−θ∠==
  24. 24. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 24 É importante ressaltar ainda que um fasor não pode ser maior ou menor que outro, isto é, existe apenas comparações entre módulo, fase, parte real ou parte imaginária de fasores. Em outras palavras, podemos afirmar que o módulo de um fasor é maior que outro, ou ainda, que a parte real de um fasor é menor que a parte real de outro, porém nunca poderemos afirmar que um fasor é maior que outro. A representação das tensões e correntes senoidais por fasores, isto é, por números complexos, ainda permite mais uma facilidade, que é a representação gráfica. Cada fasor pode ser representado graficamente, num plano, por um segmento de reta orientado. Neste plano denominado de plano complexo, temos dois eixos perpendiculares (Figura 35). O eixo horizontal é o eixo real, onde representamos graficamente a parte real do fasor, e o eixo vertical é o eixo imaginário, onde representamos graficamente a parte imaginária do fasor. Cada eixo, é orientado indicando o sentido crescente dos valores a serem representados. O eixo vertical corta o eixo horizontal no ponto zero, separando os valores positivos dos valores negativos. Da mesma forma o eixo horizontal corta o eixo vertical sobre o ponto zero, separando os valores positivos e negativos do eixo vertical. Figura 35 – Representação gráfica dos fasores
  25. 25. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 25 A representação gráfica de um fasor é feita sempre considerando a sua origem no ponto comum aos dois eixos, e a sua extremidade no ponto do plano definido pelas suas partes real e imaginária, ou pelo seu módulo e fase. A Figura 36, mostra a representação gráfica de um fasor I, com sua origem colocada no ponto comum aos dois eixos, e sua extremidades no ponto, cuja parte real é Ir, e cuja parte imaginária e Ii. Obviamente, o fasor I, é dado por: ir Ij+I=I EIXOIMAGINÁRIO EIXO REAL IIi Ir Figura 36 – Diagrama Fasorial do fasor I Ainda, na Figura 36, temos que o fasor representado, tem comprimento definido pelo módulo do número complexo e ângulo com o eixo real definido pela fase do número complexo, isto é: 22 ir I+I=I e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ r i I I tgarc= Exemplos: Represente graficamente os seguintes fasores: a) V1 = 2 + j3; b) V2 = 3 ∠ 45°; c) Io = -2 + j; d) V3 = 2 ∠- 60°; e) I2 = 2 - j 2; f) I1 = j2 e g) I3 = -3. Solução: Procedendo de forma similar ao exposto anteriormente obtemos:
  26. 26. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 26 I0 V3I2 V2 V1 I1 I3 Figura 37 – Diagrama fasorial As operações de soma e subtração podem ser visualizadas e efetuadas graficamente. A adição de dois vetores pode ser efetuada utilizando o método do paralelogramo, ou do triângulo. No método do paralelogramo, nós representamos os dois fasores a serem adicionados com a origem no mesmo ponto. Em seguida, constrói-se um paralelogramo, usando-se os vetores. A diagonal deste paralelogramo que parte da origem comum aos dois fasores é o valor resultante ou soma de dois vetores. A aplicação deste método está apresentada na Figura 38. Figura 38 – Soma de fasores graficamente O método do triângulo também se aplica quando existem mais de dois fasores envolvidos. Nesse caso, une-se todos os vetores de modo que a extremidade de um coincida com a origem do outro. A linha que une a origem do primeiro
  27. 27. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 27 com a extremidade do último é a resultante total da soma de todos os vetores. (Figura 39). Figura 39 – Soma vetorial de fasores 11.IMPEDÂNCIA Define-se impedância de um componente de um sistema elétrico, como sendo a relação entre o fasor tensão aplicada ao componente, pelo fasor corrente que circula por ele. A impedância é denotada por Z, e é expressa matematicamente pela seguinte equação: I V Z = Para ilustrar o conceito de impedância vamos determinar a impedância de um resistor, onde é aplicado uma tensão vR dada por: )wtsen(.VmvR θ−= A corrente que circula no resistor é obtida pela Lei de Ohm, portanto: )wtsen(. R Vm R v i R R θ−== Representando cada um das senóides das equações anteriores pelos respectivos fasores, encontramos:
  28. 28. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 28 RZ R 2.R Vm 2 Vm I V Z R R = = θ−∠ θ−∠ == Logo, a impedância de um resistor é igual a sua própria resistência. Numa forma geral, a impedância de um componente é um número complexo qualquer dado pela seguinte equação: jXRZ += O termo R é a parte real de Z denominada de resitência e X é a parte imaginária de Z denominada de reatância. 12.INDUTÂNCIA Os circuitos estudados até agora tem sido apenas resistivos. A resistência não é a única propriedade que afeta a corrente elétrica, a indutância também. Indutância é a propriedade que apresenta um circuito elétrico de se opor a variação de corrente elétrica que circula por ele. Qualquer condutor percorrido por uma corrente elétrica tem uma indutância. Para tornar mais significativo esta indutância é comum se enrolar os condutores em forma de bobina. Um componente elétrico produzido com a propriedade de se opor a variação da corrente que circula por ele, é denominado indutor. Para se entender fisicamente o efeito da indutância num circuito, consideremos um circuito em corrente contínua alimentado por uma pilha de 1,5 V como está mostrado na Figura 40.
  29. 29. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 29 Figura 40 – Circuito resistivo A chave é fechado em t = 0, e a corrente sobe rapidamente para o valor de 1A como está apresentado na Figura 41. Figura 41 – Corrente no circuito resistivo Ao colocarmos um indutor no circuito mostrado na Figura 40, a corrente vai atingir de forma lenta o valor de regime permanente de 1A. A Figura 42 mostra o novo circuito e a Figura 43, apresenta o gráfico da corrente elétrica com o tempo. Figura 42 – Circuito RL
  30. 30. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 30 Figura 43 – Corrente num circuito RL Quanto maior a indutância do circuito mais lentamente a corrente atinge o seu valor de regime. A situação inversa ocorre se em ambos os circuitos, após um longo intervalo de tempo, no instante de tempo to as chaves são abertas. A Figura 44, apresenta o gráfico da corrente no tempo para o circuito da Figura 40, e na Figura 45, o gráfico da corrente no tempo para o circuito da Figura 42. Figura 44 – Fonte num circuito CC Figura 45 – Resposta do circuito RL A unidade da indutância de um circuito elétrico é o henry cujo símbolo é H. Num circuito alimentado em tensão contínua composto por indutâncias e
  31. 31. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 31 resistências, a corrente varia gradualmente entre zero e o valor de regime, e entre o valor de regime e zero. Independente dos valores da indutância e da resistência no circuito, essas variações sempre seguem uma trajetória semelhante. Inicialmente, a variação é grande, tornando-se cada vez menor, até a corrente atingir um valor constante que pode ser zero ou o de regime. Durante essas variações, existe uma relação entre os valores da corrente e o tempo que leva alcançá-los, e é dada por uma quantidade chamada de constante de tempo. A constante e tempo é definida como o tempo necessário para que a corrente atinja 63,2% do valor máximo, ou decresça de 63,2% deste valor. Em qualquer circuito deste tipo, a constante de tempo depende do valor da indutância e da resistência. O valor da constante de tempo é diretamente proporcional à indutância e inversamente proporcional à resistência e é calculada a partir da equação: R L T = Nessa equação, se a indutância for dada em henrys e a resistência, em ohms, a constante de tempo será dada em segundos. Na prática, os valores da constante de tempo são muito pequenos e, por essa razão, são expressos em milisegundos (1/1000 de segundo), ou microsegundos (1/1000.000 de segundos), cujos símbolos são, respectivamente, ms e us. Dada a constante de tempo de um circuito, podemos avaliar, facilmente o tempo necessário para que a corrente cresça de zero até o valor de regime ou decresça do valor de regime até zero. Em cinco constante de tempo a corrente atinge a mais que 99% do seu valor de regime permanente, de modo que com cinco constantes de tempo após o fechamento da chave em t = 0 a corrente do circuito elétrico da Figura 42 atinge 1A, e após a abertura da chave o circuito elétrico leva cinco constantes de tempo para a corrente chegar a zero.
  32. 32. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 32 Figura 46 – Efeito das constantes de tempo Enquanto num circuito alimentado em corrente contínua a indutância afeta o comportamento do circuito somente nos instantes de abertura e fechamento de chaves, num circuito em corrente alternada como a corrente está sempre variando e a indutância se opõe a esta variação, ela influencia em todo e qualquer instante. Consideremos um indutor, ao aplicarmos entre seus terminais uma tensão senoidal vL do tipo: ( )θω +tsenv=v mL circula no indutor uma corrente iL dada por: ( )°θω 90-+tsenI=i mL Na figura 8 estão apresentados os gráficos no tempo de vL e iL, na figura 9 está o diagrama fasorial, indicando claramente que a corrente no indutor está atrasada de 90° da tensão aplicada. Figura 47 – Tensão e corrente numa indutância em corrente alternada
  33. 33. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 33 Figura 48 – Diagrama fasorial Os fasores VL e IL mostrados na Figura 48, são expressos por: )90( 2 Im I 2 Vm V L L −θ∠= θ∠= A impedância de um indutor é a relação entre os fasores VL e IL, e é expressa por: jwL I V Z L L == Como a impedância é um número imaginário puro, ela é denominada reatância indutiva. 13.CAPACITÂNCIA Capacitância é a propriedade que permite um circuito elétrico armazenar energia através de um campo eletrostático e depois de algum tempo, liberar essa energia. Os dispositivos fabricados com esta finalidade são denominados de capacitores. Fisicamente, sempre que um material isolante separa dois condutores submetidos a uma diferença de potencial, temos uma capacitância. Num capacitor a energia elétrica é armazenada na forma de um campo elétrico entre dois condutores, normalmente denominados de placas. O capacitor também é conhecido como condensador. A Figura 49 mostra um capacitor didático.
  34. 34. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 34 Figura 49 – Capacitor teórico Para se entender fisicamente o efeito da capacitância num circuito, consideremos um circuito em corrente contínua alimentado por uma pilha de 1,5 V como está mostrado na Figura 50. A chave S1 é fechada em t = 0 e a corrente sobe rapidamente para o valor 1A, como está mostrado na Figura 51. Vamos introduzir um capacitor no circuito da Figura 50, acompanhado de uma chave S2, na posição aberta com uma outra lâmpada L2, como está apresentado na Figura 52. Figura 50 – Circuito puramente resistivo Figura 51 – Corrente no circuito resistivo
  35. 35. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 35 Figura 52 – Circuito com a introdução da capacitância Em t = 0 a chave S1 do circuito da Figura 52 é fechada (com a chave S2 na posição aberta), a corrente alcança o valor de 1A rapidamente e a medida que o tempo passa esta vai diminuindo de intensidade. A medida que a corrente vai diminuindo o capacitor vai se carregando. Em t = 0 a tensão entre os terminais A e B do capacitor é nula e vai aumentando a medida que o capacitor está se carregando. A Figura 53 apresenta os gráficos da corrente i (t) e da tensão Vc (t) entre os terminais A e B do capacitor. Figura 53 – Tensão entre os terminais do capacitor e corrente no circuito É importante salientar que quando a corrente é nula toda tensão da pilha está entre os terminais do capacitor isto é 1,5 V. Nesta situação se diz que o capacitor está carregado. Quando a chave S1 é fechada, os elétrons vão do terminal negativo da pilha que possui um potencial negativo, para a placa do
  36. 36. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 36 capacitor em que está ligado. Portanto, essa placa adquire um excesso de elétrons, ou seja, uma carga negativa. Simultaneamente, o outro terminal da pilha que possui um potencial positivo, atrai o mesmo de elétrons da outra placa do capacitor em que está ligado. Esta placa apresenta uma falta de elétrons, isto é, adquire carga positiva. Durante a carga do capacitor, os elétrons passam pelos fios do circuito e através da pilha. Em outra palavras, existe corrente no circuito; observe, porém, que apesar disso a corrente não atravessa o capacitor. A corrente entra no capacitor por uma das placas, deixa o mesmo pela outra placa, mas o isolante impede que exista corrente através do capacitor. À medida que os elétrons entram na placa negativa e saem da placa positiva do capacitor, o campo elétrico aumenta, fazendo com que uma tensão se estabelece sobre o capacitor. Essa tensão inicia no zero, quando o circuito é fechado, e cresce de acordo com o aumento do número de elétrons que deixam a placa positiva e entram na placa negativa. A tensão do capacitor tem uma polaridade oposta ao da corrente fornecida pela pilha. Consequentemente, a tensão do capacitor se opõe à tensão da pilha. À medida que a tensão do capacitor aumenta, a tensão efetiva do circuito, que é a diferença entre as tensões da pilha e do capacitor, diminui. Esse fator provoca o decréscimo da corrente do circuito. Quando a tensão do capacitor se igualar à tensão da pilha, a tensão efetiva no circuito é zero, e portanto, a corrente para de circular. Neste ponto, o capacitor está totalmente carregado e nenhuma corrente flui pelo circuito. Quanto maior a capaciância mais lentamente a corrente vai decrescendo até zero e a tensão vai subindo até 1,5 V no circuito da Figura 52, isto é, quando maior a capacitância mais lentamente a tensão e a corrente atingem seu valor de regime.
  37. 37. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 37 Figura 54 – Resposta de carga e descarga do capacitor Consideremos agora no circuito da Figura 52 que num instante de tempo to, bastante distante do instante inicial a chave S1 é aberta e ao mesmo a chave S2 é fechada. Assim em t = to a corrente i (t) é nula e a tensão no capacitor é 1,5 V, após as manobras das chaves S1 e S2, a corrente no capacitor se inverte e vale inicialmente em t = to, 1A. A tensão no capacitor que em t = to vale 1,5 V decai no tempo até zero junto com a corrente i (t) invertida. A Figura 54, mostra os gráficos da tensão e da corrente i (t) no capacitor. Salientando que após to, i (t) tem o sentido contrário do período inicial. Após o instante to se diz que o capacitor está descarregando e a tensão atingir o valor zero se diz que o capacitor está descarregado. A unidade da capacitância de um circuito é o farad ou F, em homenagem ao cientista Michael Faraday. Na prática, o farad representa uma capacidade extremamente grande. Por isso, utilizamos os submúltiplos dessa unidade em quase todos os casos. Os submúltiplos do farad são o microfarad (µF) e o
  38. 38. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 38 micromicrofarad (µµF), conhecido como picofarad (pF). Assim: 1 µF = 10 -6 F e 1 pF = 10 -12 F. Quando um capacitor é ligado a uma fonte de tensão contínua, carrega-se rapidamente. Se não houver resistência no circuito de carga, o capacitor ficará totalmente carregado quase que instantaneamente. Uma resistência tem a propriedade de provocar um atraso no tempo exigido para se carregar o capacitor. Como todo circuito apresenta alguma resistência, para carregar um capacitor sempre se leva um certo intervalo de tempo definido. O tempo exato depende tanto da resistência (R) do circuito, como das capacitância (C) do capacitor. A relação entre essas duas grandezas e o tempo de carga é expressa pela seguinte equação: C.RT = onde T é a constante de tempo capacitiva, que representa o tempo necessário para que a tensão do capacitor atinja 63,2% da tensão total. A cada constante de tempo, a tensão sobre o capacitor sofre um acréscimo de 63,2% em relação ao que falta para atingir a tensão total. Portanto, após a segunda constante de tempo (2T), o capacitor terá 86,4% de sua tensão máxima; após 3T atingirá 94,9% desse valor; após 4T, 98,1% e após 5T, sua tensão será maior que 99% do valor máximo. Após cinco constante de tempo, o capacitor será considerado plenamente carregado. Figura 55 – Carga do capacitor
  39. 39. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 39 Analogamente, a constante de tempo capacitiva mostra o tempo exigido, durante a descarga de um capacitor, para que a tensão atinja várias porcentagens do valor máximo. É importante ressalvar que existe uma analogia entre as constantes de tempo capacitiva e indutiva; a tensão sobre um capacitor cresce e decresce de forma análoga à variação da corrente através de um indutor. Enquanto num circuito alimentado em corrente contínua a capacitância afeta o comportamento do circuito somente nos instantes de abertura e fechamento de chaves, num circuito em corrente alternada, como as tensões e correntes estão continuamente variando, ela influencia em qualquer instante de tempo. Ao aplicarmos num capacitor uma tensão senoidal do tipo: ( )θω +tsenV=v mc circula no capacitor uma corrente ic, dada por: ( )°θω 90++tsenI=i mc Na Figura 56 estão apresentados os gráficos no tempo de vc e ic e na Figura 57 o diagrama fasorial, indicando claramente que a corrente no capacitor está adiantado de 90° da tensão aplicada. Figura 56 – Tensão e corrente alternada num capacitor
  40. 40. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 40 Figura 57 – Diagrama fasorial no capacitor Os fasores Vc e Ic mostrados na Figura 57, são expressos por: θ∠= 2 Vm VC )90( 2 Im I 0 C +θ∠= A impedância do capacitor, isto é a relação entre os fasores Vc e Ic é dada por: CC C 0 C C C jX C.w j Z jX C.w j 90 2 Im 2 Vm I V Z = − = = − =∠== Como a impedância do capacitor é imaginária pura, isto é, ela é apenas reativa, é denominada reatância capacitiva. 14.REATÂNCIA A reatância como vimos anteriormente é a parte imaginária da impedância de um componente. A reatância fisicamente, faz com que a corrente não fique em fase com a tensão aplicada. Existem dois tipos de reatância num circuito onde as tensões e correntes estejam em regime permanente senoidal, uma que atrasa a corrente em
  41. 41. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 41 relação a tensão aplicada que é denominada de reatância indutiva, e outra que adianta a corrente em relação a tensão aplicada que é denominada de reatância capacitiva. A reatância indutiva está associada a presença predominante de uma indutância num dado componente, e é definida pela seguinte expressão: L.f..2L.wXL π== Num indutor a sua impedância é dada apenas pela reatância indutiva, isto é: L.f..2.jL.w.jX.jZ INDIND π=== e a corrente está 90o atrasada em relação a tensão aplicada. A reatância capacitiva está associada a presença predominante de uma capacitância num dado componente, e é definido pela seguinte equação: C.f..2 1 C.w 1 XC π == Num capacitor a sua impedância é dada apenas pela reatância capacitiva: C.f..2 j C.w j X.jZ CAPCAP π − = − =−= e a corrente está 90o adiantada em relação a tensão aplicada. A Figura 58 revisa as relações no tempo, e o diagrama fasorial para a tensão e a corrente num resistor, num indutor e num capacitor. É importante salientar que a reatância indutiva é positiva, e a reatância capacitiva é negativa. A relação entre o fasor corrente que circula num componente pelo fasor tensão aplicada é denominada admitância e é denotada por Y. Assim: V I Y =
  42. 42. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 42 E obviamente, Z 1 Y = Figura 58 – Tensão e corrente nos resitores, capacitores e indutores em circuitos em regime permanente senoidal A parte real da admitância é denominada de condutância, e é denotada por G, e a parte imaginária da admitância é denominada de suceptância e é denotada por B. Isto é, B.jGY += De forma similar a reatância, a susceptância para um componente que é predominantemente indutivo, é denominada de susceptância indutiva, e é dada por:
  43. 43. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 43 L.w j BL − = A susceptância indutiva é negativa. A susceptância para um componente que é predominantemente capacitivo é denominado de susceptância capacitiva, tem valor positivo, e é dada por: C.w.jBC = 15.CIRCUITOS EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL Como foi descrito anteriormente, diz-se que um dado circuito está em regime permanente senoidal quando as tensões e correntes que circulam por este circuito são ondas senoidais ou senóides. Circuitos em regime permanente senoidal são resolvidos usando o método fasorial. Nesse método o circuito elétrico no domínio tempo é transformado num circuito no domínio da frequencia. Para esclarecer o emprego do método fasorial, vamos obter a corrente i(t) no circuito em regime permanente senoidal No domínio da frequencia, as fontes de tensão e corrente senoidais (d equações do tipo são de intensidade 16.POTÊNCIA EM CIRCUITO EM CORRENTE ALTERNADA Como foi discutido anteriormente, a potência elétrica ou a potência instantânea fornecida a um componente de um sistema elétrico é definido pela seguinte equação: )t(i).t(v)t(p = Em corrente contínua p(t) é um valor constante, ficando assim, bem caracterizado, se um dado componente absorve ou fornece potência elétrica de
  44. 44. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 44 um circuito elétrico. Por exemplo, considere o circuito elétrico apresentado na Figura 59. Figura 59 – Circuito resistivo em corrente contínua No circuito da Figura 59, a corrente elétrica pode ser obtida pela Lei de Ohm: A2= 2 4 = R E =i A potência elétrica no resistor e na fonte, são dadas pelas seguintes equações: W4-2)2.(.ivp W42.2i.vp FFFONTE RRRES =−== === Os resultados obtidos anteriormente mostram que o resistor é um componente que consome potência fornecida pela fonte de intensidade 2V. Na figura 14, nós mostramos o gráfico da potência elétrica no resistor em função do tempo. Figura 60 – Potência instantânea num circuito em corrente contínua Em corrente alternada como a tensão e a corrente variam no tempo, a potência elétrica num componente também não é constante. Consideremos um
  45. 45. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 45 determinado componente num circuito em corrente alternada, onde a tensão aplicada nele é dada por: tsenV=(t)v .M ω E a corrente que circula pelo componente tem a seguinte expressão: )-t(senI=(t)i .m θω Da definição de potência instantânea obtemos: )-t(sentsenIV=(t).i(t)v=(t)p mm θωω como: [ ]B)+(Acos-B)-(Acos 2 1 =BA.sensen encontramos, [ ])-t+t(cos-)+t-t(cosIV 2 1 =(t)v(t).i=(t)p mm θωωθωω [ ])-t(2cos-cos. 2 I . 2 V =(t)p mm θωθ [ ])-t(2cos-cosIV=(t)p EFEF θωθ A Figura 61, apresenta o gráfico da potência elétrica instantânea expressa pela equação anterior. Potência Instântanea tempo Figura 61 - Potência instantânea em circuito em corrente alternada
  46. 46. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 46 Analisando a expressão geral para a potência ativa instantânea fornecida a um componente, e a Figura 61, verifica-se como era esperado que esta potência não é constante, tendo trechos onde a potência elétrica é absorvida da rede (trechos positivos acima do eixo do tempo), e trechos onde ela fornece a rede (trechos negativos abaixo do eixo do tempo). Com a finalidade de destacar estas duas parcelas, vamos expandir a parte alternada da equação da potência instantânea no componente, usando: BA.sensen-BA.coscos=B)+(Acos na expressão geral para a potência ativa instantânea fornecida a um componente, fazendo com que esta ssuma o seguinte formato: [ ]t2.sensen+t2.coscos-cosIV=(t)p EFEF ωθωθθ [ ] t2sen..senIV+t2cos-1cosIV=(t)p EF.EFEFEF ωθωθ Na equação anterior é possível destacar duas parcelas: t)2cos-(1cosIV=(t)p EFEFat ωθ t)2(sensenIV=(t)p EFEFreat ωθ A parcela pat é denominada de potência ativa instantânea, é sempre positiva, ou sempre negativa, dependendo do termo Vef.Ief.cosθ. A parcela preat é denominada de potência reativa instantânea, corresponde a uma senóide de freqüência dupla, cujo valor máximo é dado por Vef.Ief.senθ. A Figura 62, apresenta os gráficos das potências ativas e reativas instantâneas.
  47. 47. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 47 Figura 62 – Potência ativa e reativa instântanea Analisando a Figura 62 fica caracterizado que a potência ativa instantânea é a parcela da potência instantânea que é fornecida ao componente, e a potência reativa instantânea é uma parcela de potência que fica num ciclo sendo fornecida ao componente e no ciclo seguinte devolvida a rede pelo componente. A potência ativa instantânea fica definida e caracterizada pelo valor da potência média fornecida a um componente. Esta potência média é denominada de potência ativa, e é dada pela seguinte equação: )IVcos(.I.VP EFEF ∠−∠= A potência ativa é aquela que efetivamente realiza trabalho, um valor positivo indica que o componente consome potência da rede, e um valor negativo indica que o componente fornece potência a rede. A unidade da potência ativa é o watt (W). O termo cos θ, é denominado de fator de potência. )IVcos(FP ∠−∠=
  48. 48. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 48 onde, ∠V é a fase do fasor tensão e ∠I é a fase do fasor corrente. A potência reativa instantânea efetivamente não realiza trabalho, ela corresponde a uma potência que num dado semi-ciclo fornece potência a rede, e no semi-ciclo seguinte ela devolve a rede. Mesmo assim, ela circula pela rede, e tem um papel essencial na conversão de energia, pois, sem ela os campos magnéticos necessários a produção de torque nas máquinas elétricas não existiriam. Esta potência que é cedida aos enrolamentos das máquinas elétricas num dado semi-ciclo é devolvido, no seguinte, é caracterizado pelo valor máximo da potência reativa instantânea e é denominada de potência reativa, expressa pela seguinte equação: )I-V(senIV=Q EF.EF. ∠∠ A unidade desta potência reativa é o volt - ampére - reativo (VAR), e tem sua intensidade positiva ou negativa definida pelo: )I-V(sen ∠∠ Portanto, a potência reativa pode assumir um valor positivo ou negativo dependendo do ângulo θ. É importante relembrar que θ é o ângulo resultante da diferença entre a fase do fasor tensão V e a fase do fasor corrente I, isto é: IV ∠−∠=θ Para uma carga de natureza indutiva, a tensão está adiantada em relação a corrente, isto é, θ é positivo, o coseno de θ é positivo e portanto a potência reativa “entrando” na carga é positiva. No caso de uma carga de natureza capacitiva, a tensão está atrasada em relação a corrente, θ é negativo, cos θ é negativo e a potência reativa “entrando” na carga é negativa indicando que ela esteja saindo da carga.
  49. 49. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 49 Esta interpretação de que numa carga indutiva a potência reativa é positiva indicando que ela esteja “entrando” na carga e o contrário para uma carga capacitiva conduz às seguintes afirmações, muito comuns na rotina dos engenheiros de operação dos sistemas elétricos, que são : • os capacitores são elementos que “fornecem” reativos • os reatores são elementos que “absorvem” reativos Durante todo este texto, os termos reativo e potência reativa estarão sempre se referindo a potência reativa indutiva. As potências ativa e reativa definidas anteriormente, podem ser obtidas de forma simples a partir da definição da potência complexa (S). A potência complexa é definida como sendo o número complexo obtido pelo produto do fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente, isto é: * I.VS = Como, VVV ef ∠= III -ef * ∠= então: )IVsen(.IVj.)IVcos(.IVIV.IVV.IS .efef.efefefef * ∠−∠+∠−∠=∠−∠== que resulta em: jQPS += O módulo da potência complexa (N) é denominado potência aparente e tem como unidade o Volt-Ampére (VA). Esta potência está fisicamente representando toda a potência transmitida a uma carga. A unidade Volt- Ampére (VA) é dimensionalmente idêntica às unidades das potências ativa e
  50. 50. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 50 reativa, a denominação distinta novamente está relacionada à identificação do tipo de potência que está sendo referida. Portanto, a potência aparente é dada por: efef 22 .IVQPN =+= A potência aparente, por retratar toda a potência transmitida, é utilizada para especificar a potência nominal dos equipamentos e componentes de um sistema elétrico. Outra grandeza muito importante nos estudos envolvendo sistemas elétricos é o fator de potência. O fator de potência de uma carga é a relação entre a potência ativa fornecida à carga e a potência aparente transmitida a carga. Ele retrata a eficiência da potência transmitida à carga e, quantitativamente, é expresso por: efef efef P IV cosIV F θ == N P logo: θcos N P FP == Assim um fator de potência de 0,8 para uma carga indica que apenas 80 % da potência transmitida à carga (potência aparente) é utilizada para realmente produzir trabalho. O restante é utilizado para carregar os campos elétricos e magnéticos existentes no sistema. As operações que funcionam com baixo fator de potência carregam linhas aéreas, cabos e transformadores desnecessariamente.Atualmente no Brasil a legislação tarifária em vigor penaliza os consumidores que tiverem um fator de potência indutivo abaixo de 0,92, de 6 às 24 horas, e um fator de potência capacitivo abaixo de 0,92, de 0 às 6 horas.
  51. 51. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 51 Para melhor caracterizar o que foi dito anteriormente, vamos acrescentar como exemplo o caso de uma instalação alimentada a partir de um trafo de 100 kVA. Este transformador é utilizado para alimentar uma carga de 80 kW, caso o fator de potência da instalação seja 0,8; ele vai operar na sua potência nominal. O mesmo transformador poderia operar numa potência menor que a nominal (como por exemplo 90 kVA) para alimentar a mesma carga de 80 kW desde que o fator de potência fosse maior que 0,8. Como a grande maioria das cargas existentes tem fator de potência indutivo, isto é, consomem reativo, a correção do fator de potência para níveis aceitáveis é realizada conectando-se próximo às cargas fontes de reativo como capacitores. A conexão do fator de potência de uma instalação pode ser visualizada a partir do triângulo das potências. Ele é obtido decompondo o fasor corrente em duas componentes como está mostrado na Figura 63, com módulos Ief cosθ e Ief senθ. θ Ief. cosθ Ief. senθ Ief Figura 63 - Triângulo das correntes Multiplicando-se todos os lados do triângulo formado pelo módulo do fasor tensão Vef, obtemos o triângulo das potências, como está apresentado na Figura 64. Neste triângulo é importante ressaltar que, embora a potência reativa Q seja positiva, o sentido é contrário à direção convencionada como positiva para o eixo imaginária no plano complexo.
  52. 52. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 52 θ Vef.Ief. cosθ Vef.Ief. senθ Vef.Ief θ P Q N Figura 64 - Triângulo das potências QUESTÕES 11.Obtenha a indicação dos amperímetros A1 e A2, além da indicação do voltímetro V1 no circuito elétrico da Figura 65. A1 2 3+j2 Z Z Z Z A2 1+j2 3+j4 V1 4+j2400 V Figura 65 12.Apresente o diagrama fasorial para as tensões em cada elemento do circuito da Figura 65 e para a corrente que sai da fonte de 400 V .
  53. 53. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 53 Figura 66 13.Explique porque a corrente que alimenta um liquidificador é atrasada em relação a tensão aplicada. O que significa uma corrente atrasada e uma corrente adiantada em relação a tensão aplicada? 14.O que ocorre quando ligamos uma lâmpada 40W/220V em 110V? E quando ligamos uma lâmpada de 40W / 110V em 220 V? Explique (Figura 66) 15.Corrente e tensão são grandezas distintas, a tensão está sempre presente numa tomada porém a corrente só circula quando conectamos alguma carga. A circulação da corrente é que leva energia ao dispositivo que está sendo alimentado. Portanto a tensão é a CAUSA e a corrente o EFEITO. Explique porque no circuito da Figura 67 não circula corrente. Figura 67 16.Obtenha a corrente do cabo que alimenta as três tomadas da Figura 68, quando 220 V é medido num multímetro nos terminais da primeira tomada.
  54. 54. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 54 Figura 68 17.Obtenha o consumo diário de uma impressora HP Deskjet 640C, que permaneceu ligada durante 4 horas, sendo que 20 minutos efetivamente imprimindo. Nas 20 horas restantes com apenas o adaptador conectado. Os dados técnicos estão na Figura 69. Figura 69 18.Explique como se obtém o triângulo das potências e conceitue fator de potência de um componente.
  55. 55. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 55 19.Um transformador de potência trifásico alimenta no seu enrolamento secundário três consumidores em 380 V que consomem as seguintes potências: Consumidor 1 - 70 KVA com fator de potência de 0,88 atrasado, Consumidor 2 – 45 KW e 39 KVAR com fator de potência de natureza indutivo e o Consumidor 3 – 30 KW com fator de potência de 0,76 atrasado. Obtenha a carga total alimentada pelo transformador. 20.Obtenha a potência aparente de um consumidor que num dado instante absorve 200 kW e 72 kVAR. Qual fator de potência deste consumidor neste instante, considere que o fator de potência deste consumidor tem natureza indutiva? 21.Os dois pontos de tomada de uso geral (TUG) mostrados na Figura 70 alimentam uma torradeira de 1000 W/220V e uma batedeira de impedância (8+j6) ohms. Considerando que a tensão no momento da utilização é 220 V, obtenha a corrente no condutor principal de alimentação das duas cargas. Figura 70 22.Obtenha a corrente que alimenta uma batedeira em 220 V, valor este medido na tomada onde ela está conectada. Considere que sua impedância é de (5+j8)Ω.
  56. 56. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 56 23.Obtenha a corrente que alimenta o aspirador de pó da Figura 71 quando 220 V é medido na tomada onde ela está conectada e sabe-se que ele consome 1000 W e 145 VAR. Figura 71 24.Apresente a equação geral para associar n impedâncias em série e depois n impedâncias em paralelo. 25.Conceitue:FASOR, DIAGRAMA FASORIAL, REATÂNCIA, CONDUTÂNCIA, SUCEPTÂNCIA e ADMITÂNCIA. 26.Mostre o diagrama fasorial indicando os fasores tensão e corrente, para uma fonte de tensão senoidal alimentando uma carga resistiva pura e também para uma carga indutiva pura. 27.Mostre o diagrama fasorial indicando os fasores tensão e corrente, para uma fonte de tensão senoidal alimentando uma carga capacitiva pura e também para uma carga com resistência e indutância (RL). 28.Procure dentro de sua residência o manual de no mínimo um eletrodoméstico que mostre seu tipo, modelo e seus dados técnicos como tensão nominal, consumo, potência .... Anexe cópia das páginas que você
  57. 57. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 57 usou como fonte de referência ou cópia dos dados obtidos a partir do site do fabricante na internet com o respectivo endereço. 29.Obtenha a corrente que alimenta o sistema de som da Figura 72 quando 220 V é medido na tomada onde ela está conectada e sabe-se que ele consome 350 VA com fator de potência 0,92 indutivo. Figura 72 30.Obtenha a corrente que alimenta o micro-computador da Figura 73 quando 220 V é medido na tomada onde ela está conectada e sabe-se que ele consome 330 W com fator de potência 0,89 indutivo. Figura 73 31.Obtenha a corrente que alimenta a geladeira da Figura 74 quando 220 V é medido na tomada onde ela está conectada e sabe-se que ele consome 430 VA e 307 W .
  58. 58. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 58 Figura 74 32.Obtenha a corrente i(t) no circuito da Figura 75 admitindo que a fonte de tensão v(t) é dada por 20.sen(3t+10). Considere que a resistência R é de 2 ohms e a indutância L é de 4 H. Esboce o diagrama fasorial deste circuito. R L v(t) Figura 75 33.Obtenha a corrente i(t) no circuito da Figura 76 admitindo que a fonte de tensão v(t) é dada por 20.sen(3t+10). Considere que a resistência R é de 2 ohms e a capacitância C é de 0,25 F. Esboce o diagrama fasorial deste circuito. R C v(t) Figura 76 34.Obtenha a corrente i(t) no circuito da Figura 76 admitindo que a fonte de tensão v(t) é dada por 100.sen(3t+10). Considere que a resistência R é de 10 ohms, indutância L é de 5 H e a capacitância C é de 0,5 F. Esboce o diagrama fasorial deste circuito.
  59. 59. Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 59 R L C vS (t) Figura 77 35.Uma rede formada por uma indutância L e uma resistência R conectadas em série, tem um voltímetro conectado em paralelo com o resistor R. Ao se excitar essa rede com uma fonte de corrente contínua de 10 V, o voltímetro apresenta a leitura de 5V. Quando uma fonte de corrente alternada de 60 Hz é aplicada a mesma rede nas mesmas condições, com valor eficaz de 10 V a leitura do voltímetro é de 4V. Qual a indutancia desta rede RL?

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