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AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DO FUNDÃO
Física e Química
Ano letivo 2018/2019
Cursos Profissionais Física e Química Ano letivo 2018/19
Módulo 2 – F2 Hidrostática e Hidrodinâmica
Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química
2
1. Estática dos fluidos
A atmosfera e os oceanos são fluidos abundantes no nosso planeta. Também no
organismo humano (fig. 1) e nos organismos de outros seres vivos circulam fluidos,
como o sangue e o ar.
O termo fluido designa tanto líquidos como gases, ou seja, substâncias que tendem a escapar por uma
abertura no recipiente onde estão contidos. Esse comportamento não se observa nos sólidos.
Definição - Fluido é qualquer substância não sólida, capaz de escoar e assumir a forma do recipiente
que o contém.
Os fluidos dividem-se em líquidos e gases.
De uma forma prática, podemos distinguir os líquidos dos gases (fig. 2) da seguinte maneira:
 os líquidos quando colocados num recipiente, tomam o formato deste, apresentando uma
superfície livre.
 os gases, preenchem totalmente o recipiente, sem apresentar qualquer superfície livre.
No nosso estudo, daremos maior destaque às características dos líquidos.
 Fluido ideal:
Para simplificar a sua descrição, consideraremos o comportamento de um fluido ideal que tem as seguintes
características:
1 - Não tem viscosidade, ou seja, não resistem ao corte;
2 - A velocidade do fluido num ponto é constante com o tempo;
3 - Fluido incompressível. A densidade do fluido permanece constante com o tempo;
4 - Não apresentam turbulência.
Figura 2
Figura 1
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3
 Fluido Incompressível:
Aquele em que o seu volume não varia em função da pressão. A maioria dos líquidos tem um
comportamento muito próximo a este, podendo, na prática, serem considerados como fluidos incompressíveis.
 Líquido Perfeito:
Consideramos de uma forma geral os líquidos como sendo líquidos perfeitos, isto é, um fluido ideal,
perfeitamente móvel, contínuo e de propriedades homogéneas.
2 - Estado líquido e gasoso
Nos gases, quase não há ordenação das moléculas, pois a distância entre as moléculas é muito grande,
logo as ligações intermoleculares são muito fracas (fig. 3).
Também o volume de cada molécula é insignificante consoante o
volume que a amostra ocupa. Isto leva a que qualquer gás seja
compressível (fig. 4), ocorrendo então que as suas moléculas se movem por
todo o espaço disponível.
Nos líquidos, há um grande desordenamento das moléculas podendo,
ocasionalmente, formar-se estruturas que logo desaparecem – a distância entre as moléculas é
muito menor do que nos gases (fig. 5).
Os líquidos devido às suas moléculas se encontrarem mais
agregadas, terão menor compressibilidade (fig. 6) e nem sempre se
misturam com outros.
Figura 3
Figura 4
Figura 5
Figura 6
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4
LÍQUIDO GASOSO
FORMAS Do recipiente Do recipiente
ESPAÇOS OCUPADOS Constante Todo o disponível
COMPRESSIBILIDADE Muito baixa Elevada
INTENSIDADE DAS FORÇAS MOLECULARES Elevada Pequena
DISTÂNCIA ENTRE AS PARTÍCULAS Pequena Grande
ARRUMAÇÃO DAS PARTÍCULAS Desordenada Caótica
LIBERDADE DE MOVIMENTO
DASPARTÍCULAS
Alguma Grande (Translação,
rotação, vibração)
3 – Densidade
O que pesa mais: o chumbo ou o algodão?
Se respondermos sem raciocinar, será grande a tentação de dizermos que o chumbo é mais pesado.
Mas, se refletirmos um pouco, concluiremos que não há resposta para essa pergunta, pois o peso (que é
diretamente proporcional à massa) de uma determinada matéria vai depender do tamanho (volume) dela.
Se, por exemplo, considerarmos uma pequena bolinha de chumbo e um grande saco de algodão, é
evidente que o saco de algodão será mais pesado.
A densidade de uma substância define-se como a massa dessa substância existente numa unidade de
volume da mesma. A densidade (também designada por massa volúmica) do material constituinte é:
Tabela 1 – Comparação entre líquidos e gases.
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5
ρ =
𝑚
𝑉
A unidade SI da densidade é kg m -3. Os gases têm densidades menores do que os líquidos e do que os
sólidos, uma vez que as partículas estão mais afastadas. A tabela seguinte indica as densidades de algumas
substâncias. Repare-se que a densidade do gelo é menor do que a da água líquida: o gelo é menos denso que a
água líquida e é, por isso que flutua nela.
Questão
Uma barra de ferro tem a massa de 31200 kg e o volume de 4 m3.
Qual é a densidade do ferro?
Resolução:
ρ =
𝑚
𝑉
 𝜌 =
31200 𝑘𝑔
4 𝑚3
= 7800 𝑘𝑔/𝑚3
ρ – (ró) densidade
m – massa da substância
V – volume ocupado pela substância
Tabela 2 – Densidades de alguns materiais. Os valores para os gases referem-se à temperatura de 0 ºC e à pressão normal .
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6
Questão
Uma estrela de neutrões é um objeto astronómico «compacto» com uma massa
da ordem de grandeza da massa do Sol (Fig. 16), mSol=2×1030kg, mas raio muito
menor, raio = 10 km = 104 m. É um astro demasiado pequeno e está demasiado
distante para que possa ser observado a olho nu. Compare o valor da densidade de
urna estrela de neutrões com a densidade de um neutrão (ou de um protão), cuja
massa e raio são, respetivamente, m = 2×10-27 kg e raio = 10-15 m.
Resolução
A ordem de grandeza da densidade da estrela de neutrões é de:
ρe =
m
V
=
2 × 1030
4
3
πr3
=
2 × 1030
4,19 × 1012
= 4,77 × 1017
kg m−3
Volume da esfera = V =
4
3
πr3
Para um neutrão vem:
ρn =
m
V
=
2 × 10−27
4
3
πr3
=
2 × 10−27
4,19× 10−45
= 4,77 × 1017
kg m−3
Aparece a mesma ordem de grandeza: tanto um neutrão como uma estrela de neutrões têm a mesma
densidade.
3.1 - Densidaderelativa
Em física (e em química) é bastante útil comparar as densidades de diferentes substâncias com a
densidade de uma substância que se escolhe para padrão. É que, uma vez escolhido o padrão e sabendo-se a
densidade da substância escolhida, pode determinar-se:
A água, cuja densidade é 1 × 103
𝑘𝑔/𝑚3
ou (1 g/cm3) à temperatura de 4 ºC, foi o padrão escolhido para
as substâncias sólidas e líquidas (para os gases à temperatura e pressão normais, o padrão escolhido é o ar).
Figura 16
quantas vezes a densidade de uma substância é maior (ou
menor) do que a da substância padrão.
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7
Define-se densidade relativa de um material, d, como a razão entre a densidade de um material e a
densidade de um material padrão:
d =
𝜌𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
𝜌 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 (á𝑔𝑢𝑎 𝑎 4 º𝐶)
ou
d =
𝑚 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑚 𝑑𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 (á𝑔𝑢𝑎 𝑎 4 º𝐶)
As expressões anteriores mostram que a densidade relativa não tem unidades: é uma grandeza
adimensional, por ela ser definida por uma razão entre as mesmas grandezas.
Questões:
1 – Um cubo de cobre com 3 cm de aresta tem de massa cerca de 240 g.
1.1 – Qual o valor da densidade do cobre em unidades S.I.?
1.2 – Qual o valor da densidade relativa do cobre a 4 ºC (𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑎 4 º𝐶 = 1 × 103
𝑘𝑔/𝑚3
)?
Resolução
𝑉 = 𝑎3
= 3 𝑐𝑚 × 3 𝑐𝑚 × 3 𝑐𝑚 = 27 𝑐𝑚3
= 0,000027𝑚3
𝑚 𝑐𝑢𝑏𝑜 = 240𝑔 = 0,240 𝑘𝑔
𝜌 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 =
𝑚
𝑉
=
0,240 𝑘𝑔
0,000027 𝑚3
≅ 8,9 × 103
𝑘𝑔/𝑚3
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2 – Tendo em conta a sequência da figura, indica:
2.1 – a densidade relativa do benzeno;
2.2 – a sua densidade.
Resolução
2.1
𝑑 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 á𝑔𝑢𝑎 𝑎 4 º𝐶
𝑚á𝑔𝑢𝑎 = 𝑚 𝑐𝑜𝑝𝑜 𝑐𝑜𝑚 á𝑔𝑢𝑎 − 𝑚 𝑐𝑜𝑝𝑜 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜 = 149 𝑔− 100 𝑔 = 49 𝑔
𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜 = 𝑚 𝑐𝑜𝑝𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜 − 𝑚 𝑐𝑜𝑝𝑜 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜 = 144,1 𝑔 − 100 𝑔 = 41,1 𝑔
𝑑 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜 =
41,1 𝑔
49 𝑔
= 0,9
2.2
0,9 =
𝜌 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜
𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑎 4 º𝐶
0,9 =
𝜌 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜
1 × 103 𝑘𝑔/𝑚3
 𝜌 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜 = 0,9 × 1 ×
103
𝑘𝑔
𝑚3
= 0,9 × 103
𝑘𝑔/𝑚3
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4 - Pressão
É a força exercida por unidade de área
𝑷 =
𝑭
𝑨
A unidade de pressão no Sistema Internacional é o newton por metro quadrado (N/m2 ou Nm-2).
O newton por metro quadrado tem o nome de pascal (símbolo: Pa)
Um pascal é uma unidade muito pequena. É costume usar-se um múltiplo de pascal: o quilopascal
(símbolo: kPa). 1 kPa = 1000 Pa.
Unidade Símbolo Valor
Pascal
(Unidade SI)
Pa 1 N/m2
Atmosfera atm 1,013 x105 Pa
Bar Bar 1 x105 Pa
Milímetro de mercúrio mmHg 133,322 Pa
Kilograma-força por
centímetro quadrado
kgf/cm2 98 000 Pa
Questões
Tabela 3 – Unidades de pressão
P – pressão
F – força
A – área
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1.
Completa a tabela seguinte que indica as intensidades das forças verticais, cujo sentido é de cima para
baixo, e as superfícies onde se exercem, calculando os valores de A,B,C e D.
INTENSIDADE DA FORÇA (N) SUPERFÍCIE (m2) PRESSÃO (Pa)
2 1 A
1 0,004 B
800 0,4 C
7  106 0,01 D
2.
Um bloco retangular de níquel, que tem o comprimento de 20 cm e a largura de 15 cm, está colocado em
cima de uma mesa.
Sabendo que o bloco exerce na mesa a pressão de 9 kPa, qual é o valor do peso do bloco de níquel?
3.
Um cesto contém 30 kg de laranjas que exercem na base desse cesto a pressão de 10 N/m2.
Qual é a área da base do cesto?
4.
O que exerce mais pressão:
A – Uma pessoa de 80 kg sobre o chão com sapatos cuja área é de 250 cm2, ou
B – Um gás contido num cilindro (fig. 17) que exerce uma força de 50 N sobre o
êmbolo cuja área é de 10 dm2?
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4.1 - Lei fundamentalda hidrostática
Experiências feitas com sensores de pressão mostram que a pressão
no interior de um líquido aumenta com a profundidade. Um mergulhador
apercebe-se bem deste facto: quanto mais fundo estiver maior pressão
sentirá, sobretudo nos ouvidos.
Para explicar o aumento de pressão com a profundidade estudemos um líquido homogéneo, de
densidade (ou massa volúmica) constante ρ, em equilíbrio hidrostático. Neste fluido isolemos uma porção com
forma de cilindro de altura h e a área da base A.
Como a porção de líquido está em repouso, a força resultante que nele atua tem de ser nula. As forças
de pressão horizontais anulam-se. Mas, segundo a vertical, as forças de pressão não se anulam mas têm de
compensar o peso da porção de líquido. Então tem de ser verificar
+ + =
Com 𝑭 𝟏
⃗⃗⃗⃗ a força de pressão exercida na face superior, 𝑭 𝟐
⃗⃗⃗⃗ a força de pressão exercida na face inferior e 𝑷⃗⃗ o peso
da porção de líquido. A equação anterior é equivalente à equação escalar:
𝐹1 − 𝐹2 + 𝑃 = 0
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12
A força de pressão 𝐹1
⃗⃗⃗ tem módulo 𝐹1 = 𝑝1 𝐴, sendo 𝑝1 a pressão no topo do cilindro. A força de pressão
𝐹2
⃗⃗⃗ tem módulo 𝐹2 = 𝑝2 𝐴, sendo 𝑝2 a pressão na base do cilindro. O peso é 𝑃 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑉𝑔, mas o volume é 𝑉 =
𝐴ℎ, ou seja, 𝑃 = 𝜌𝐴ℎ𝑔 . A equação 𝐹1 + 𝑃 = 𝐹2 reescreve-se 𝑝1 𝐴 + 𝜌𝐴ℎ𝑔 = 𝑝2 𝐴 ou ainda:
𝑝2 = 𝑝1 + 𝜌𝑔ℎ
Repare-se que a área A da base do cilindro não aparece no resultado. A porção do fluido podia até ter
uma forma qualquer de altura h e secção arbitrária de área A. Verifica-se também que a pressão num ponto
mais baixo é superior à pressão num ponto mais elevado 𝒑 𝟐 > 𝒑 𝟏.
A equação generaliza-se a dois pontos quaisquer do interior do fluido, mesmo sem estarem na mesma
linha vertical. É o caso dos pontos A e B cuja distância na vertical é h.
𝑝 𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝜌𝑔ℎ  𝑝 𝐵 − 𝑝 𝐴 = 𝜌𝑔ℎ
A expressão anterior mostra que, se h = 0, ou seja se os pontos estiverem ao mesmo nível então terão
pressões iguais.
Num líquido com a densidade constante em equilíbrio hidrostático, a pressão na superfície de separação
entre a água e o ar é a pressão atmosférica, 𝒑 𝟎. Então, a pressão em qualquer ponto do líquido é:
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ
com h a profundidade de um ponto do líquido, ou seja, a distância vertical entre esse ponto e a superfície
livre do líquido.
Pontos a profundidades diferentes
estão a pressões diferentes.
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Resumindo:
1) Para determinar a diferença de pressão entre dois pontos,
não importa a distância entre eles, mas sim, a diferença de
cotas entre eles.
2) A pressão de dois pontos ao mesmo nível, isto é, na mesma cota, é a mesma.
3) A pressão é independente do formato, do
volume ou da área da base do reservatório.
𝑝𝐴 = 𝑝𝐵
𝑝𝐶 = 𝑝𝐷
𝑝𝐴 − 𝑝𝐶 = 𝑝𝐵 − 𝑝𝐷
Questão 1
Duas barragens são projetadas para dois rios que ficarão, depois de cheias as albufeiras, com a mesma
profundidade perto do paredão. Contudo, as albufeiras terão comprimentos muito diferentes. Qual dos paredões
deverá ser mais resistente, o da albufeira comprida ou o da mais pequena? A espessura do paredão deverá ser
a mesma de cima até baixo?
Questão 2
Um mergulhador está submerso num lago, onde a pressão atmosférica é 105 Pa. A que profundidade se
deve encontrar para estar a uma pressão dupla da pressão atmosférica?
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5 - Impulsão
5.1 - Por querazão conseguimosflutuarna água?
Já todos verificámos que parecemos mais leves dentro de água e que é mais fácil
flutuar na água salgada do que na água doce. Porquê?
Foi o grego Arquimedes * quem explicou estes factos, há mais de
2000 anos. Conta a lenda que estava Arquimedes a tomar banho
numa banheira quando largou a correr, nu, pelas ruas da cidade a
gritar: “Eureka eureka”, que significa “Descobri, descobri!”
Arquimedes observou que deslocava uma certa quantidade de água da banheira e que o seu peso lhe
parecia menor. E explicou isto dizendo que, sobre um corpo mergulhado num fluido, para além do peso, atua
uma outra força, chamada impulsão.
Arquimedes *
 foi um dos maiores físicos, matemáticos e inventores da Antiguidade e de todos os tempos.
Este descobriu um método para calcular π (uma proporção numérica originada da relação
entre as grandezas do perímetro de uma circunferência e seu diâmetro) utilizando séries
(Geometria e Matemática);
 descobriu o princípio da alavanca e contribuiu para a fundação da Hidrostática (Física) e
criou várias máquinas tanto para uso civil como para bélico.
"Dêem-me uma alavanca e um ponto de apoio e eu moverei o mundo".
Arquimedes nasceu em Siracusa, Sicília em 287 a.C, filho de Philias, que era astrónomo. Na
juventude, estudou em Alexandria, com um dos discípulos de Euclides, Cônon.
Arquimedes foi morto por engano em 212 a.C, na sua cidade natal, durante a Segunda Guerra Púnica,
quando alguns soldados romanos o viram – sem saber que era ele – desenhar uns círculos na areia da
praia de Siracusa, mandando-o embora, mas este resistiu, porque não queria perder o raciocínio
levando-o assim a uma trágica morte provocada pelos seus principais admiradores.
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15
A impulsão, que se simboliza por I, é uma força:
exercida sobre o corpo pelo fluido onde se encontra parcial ou totalmente imerso;
tem direção vertical e sentido de baixo para cima (é sempre oposta ao peso).
É a impulsão que faz com que, por exemplo, uma rolha flutue na água, o peso
é equilibrado pela impulsão, sendo nula a força resultante.
I = Pfluido deslocado  I = m fd × g  I = ρ fluido × Vfd × g
ρ fluido – densidade do líquido
Vfd – Volume do fluido deslocado
g – valor da aceleração da gravidade
Podem ocorrer 3 situações quando se coloca um corpo totalmente imerso num fluido:
- Se P > I, o corpo afunda. Neste caso 𝝆 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 > 𝝆 𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐 .
- Se P = I, o corpo flutua no interior do fluido, isto é, 𝝆 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 = 𝝆 𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐 .
- Se P < I, o corpo sobe. Neste caso 𝝆 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 < 𝝆 𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐 . Ou seja, o objeto dirige-se para a superfície,
emergindo uma parte dele até que se verifique a condição de flutuação: P = I.
Se medirmos o peso de um corpo dentro de água com um dinamómetro obteremos
um valor inferior ao seu peso real. O que medimos com o dinamómetro é o peso
aparente, que é dado por:
Peso aparente = peso – impulsão  Impulsão = peso – peso aparente
Podemos saber o valor da impulsão calculando o peso da quantidade de água que
o corpo deslocou quando foi introduzido no recipiente (fig. 27). Essa intensidade é
dada pela chamada Lei de Arquimedes.
Lei de Arquimedes
Figura 27
𝑃𝑓𝑑 = 𝑚 𝑓𝑑 × 𝑔
𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 =
𝑚 𝑓𝑑
𝑉𝑓𝑑
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5.2 – Por querazão os barcos de aço flutuam nomar, masum pregodo mesmo
materialse afunda?
Se atirarmos um prego de aço à água vemos que
ele afunda. No entanto, os navios são feitos essencialmente
de aço e não se afundam Acontece que a
impulsão equilibra o peso dos navios.
Mas se uma peça metálica tiver a forma de uma concha, podemos verificar que já
flutua. Tal acontece porque o volume imerso é maior e, portanto, o volume de água deslocada também é maior.
A impulsão aumenta com o volume imerso, de acordo com a Lei de Arquimedes.
A forma dos cascos dos navios destina-se a aumentar o volume imerso. Quanto mais carregado estiver,
maior será o volume do casco dentro de água e maior será a impulsão.
Embora num barco a flutuar o peso e a impulsão tenham de se compensar, tal não é suficiente! Em
geral, o peso está aplicado no centro de massa do corpo (CM), mas a impulsão está aplicada no “centro de
impulsão” (CI), que é o centro de massa do volume deslocado .
Os dois centros podem não coincidir. É, contudo, necessário que estejam sobre a mesma vertical, que
representa um barco a flutuar. Se tal não acontecer, o barco poderá rodar .
Um corpo mergulhado num fluido sofre uma força vertical, dirigida de baixo para cima, de valor
igual ao peso do volume de fluido deslocado.
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17
Num submarino existem depósitos onde se faz entrar água, ou de onde se retira água, com o auxílio de
bombas. Tal como a carga no barco, a água que entra tem que ficar
distribuída para que o submarino não vire! Quando entra água no
submarino ele fica mais pesado, podendo o peso superar a impulsão.
Neste caso, o submarino submerge. Quando se remove a água dos
depósitos, o submarino fica mais leve e emerge. Tal como o barco, o
submarino flutua à superfície quando a impulsão equilibra o peso.
Mas a impulsão também depende do fluido. Se mergulharmos um ovo (fresco) em água doce ele afunda,
mas se o mergulhamos em água muito salgada ele flutua. É que a água salgada é mais densa do que a água
doce, pelo que o peso do volume de líquido deslocado é maior!
Quanto maior for a densidade do fluido maior será o valor da impulsão. Por isso, o casco de um
barco a navegar no mar alto aparece mais à vista do que se o barco navegar num rio.
Pelo mesmo motivo um banhista no Mar Morto, um grande Iago em Israel que é extremamente salgado,
fica sempre a flutuar à tona de água, mesmo que não saiba
nadar.
Verificamos então que:
para o mesmo volume imerso, quanto maior for a densidade do fluido maior será a intensidade
da impulsão;
para corpos imersos no mesmo fluido, quanto maior for o volume imerso do corpo maior será a
intensidade da impulsão.
Realiza a atividade laboratorial 3
TPC – Um icebergue flutua no mar, sendo a densidade da água salgada 1,024  103 kg m-3. Qual é a fração do
seu volume imerso?
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6 - Viscosidade
A viscosidade é uma propriedade dos líquidos e gases reais que se caracteriza pela medida da resistência
que um fluido oferece ao escoamento quando se encontra sujeito a um esforço tangencial.
(Fluidos reais – exibem viscosidade finita e distribuição de velocidade não-uniforme; são compressíveis e
experimentam fricção e turbulência ao fluírem. Os fluidos reais podem ainda dividir-se em fluidos Newtonianos e
fluidos não-Newtonianos.
Por conveniência, a maioria dos problemas com fluidos assumem fluidos reais com propriedades
Newtonianas).
Os fluidos Newtonianos são aqueles para os quais a viscosidade dinâmica () é independente da taxa de deformação
(gradiente de velocidade), isto é, a viscosidade na expressão da lei de Newton é uma constante para cada fluido
Newtoniano, a uma dada pressão e temperatura.
A viscosidade tem uma importante influência no fenómeno do escoamento, nomeadamente nas perdas de
pressão dos fluidos. O seu valor depende principalmente da temperatura e da natureza do fluido.
Nos líquidos, a viscosidade diminui com o aumento da temperatura.
6.1 - ViscosidadeDinâmicaou Absoluta
A viscosidade dinâmica ou absoluta exprime a medida das forças internas de atrito do fluido e é
justamente o coeficiente de proporcionalidade entre a tensão tangencial ou de corte o gradiente de velocidade da
Lei de Newton.
𝝉 = 𝝁
𝒅𝒙
𝒅𝒚
- tensão de corte do fluido.
- viscosidade absoluta, ou coeficiente de viscosidade.
𝐝𝐱
𝐝𝐲
- taxa de deformação, taxa de corte, gradiente de velocidade, taxa de deformação em corte.
Unidade do sistema internacional:
Pascal segundo (Pa.s) (1 Pa.s = 1N.s/m2 =1 kg/m.s) (SI)
Outras unidades: Poise (P) (1P = 0,1 Pa.s)
centiPoise (cP) (1 cP=1mPa.s)
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19
6.2 - ViscosidadeCinemática
Define-se como o quociente entre a viscosidade dinâmica e a massa específica
Unidade do sistema internacional é m2/s
Outras unidades
» Stoke (St) (1 St=1x10-4 m2/s)
» centiStoke (cSt)
Conversão de unidades de viscosidade
Tabela 4 – Viscosidade dinâmica
Tabela 5 – Viscosidade cinemática
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20
Viscosidade de alguns líquidos comuns
6.3 – Movimentodecorpos em fluidose viscosidade
Quando os corpos são suficientemente pequenos e se movem com velocidade baixa através de um
fluido, a força de resistência varia linearmente com a velocidade e tem sentido oposto a esta:
𝐹𝑟𝑒𝑠 =  𝑘𝑣
Portanto, o módulo da força de resistência é proporcional ao módulo da velocidade:
𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑘𝑣
A contante k depende da forma e das dimensões do corpo e da viscosidade do fluido onde ele se move.
Um fluido muito viscoso (óleo de automóveis, por exemplo) oferece uma maior força de resistência ao
movimento de um corpo com uma certa velocidade do que um menos viscoso (como a água, por exemplo).
Para uma pequena esfera que se move num fluido, o módulo da força resistente depende do raio da
esfera, r, do módulo da velocidade, v, e o chamado coeficiente de viscosidade do fluido. :
𝐹𝑟𝑒𝑠 = 6𝜋𝑟 𝑣
Tabela 6 – Viscosidade de líquidos a 20 ºC
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21
Quando uma pequena esfera cai num fluido (fig. 36), sobre ela atuam o peso, 𝑃⃗, a impulsão, 𝐼 (cujo
módulo tem de ser inferior ao do peso para o corpo cair), e a força de resistência exercida pelo fluido, 𝐹𝑟𝑒𝑠.
À medida que a esfera cai adquire maior velocidade, o que faz aumentar o módulo da força de
resistência. Por isso, a resultante das três forças passa, a certa altura, a ser praticamente nula.
𝑃⃗ + 𝐼 + 𝐹𝑟𝑒𝑠 = 0  𝑃⃗ = 𝐼 + 𝐹𝑟𝑒𝑠
O movimento é então uniforme, sendo a velocidade constante chamada velocidade terminal.
No Caso de corpos de maiores dimensões ou que se movam no ar com velocidades
elevadas, como um pára-quedista ou uma bola de ténis, o módulo da força de resistência é
proporcional ao quadrado da velocidade:
𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑘′𝑣2
Onde k’ é uma constante característica do corpo e do fluido no seio do qual ele se desloca.
O módulo da primeira velocidade terminal de um pára-quedista, adquirida antes de
abrir o pára-quedas, é cerca de 55 m s-1, e o módulo da Velocidade terminal depois de abrir
o pára-quedas é cerca de 5 m s-1. Também as gotas de chuva que caem de nuvens a vários
quilómetros de altura estão sujeitas à resistência do ar. Se não fosse essa força atingiriam a superfície terrestre
com velocidades enormes (e, portanto, com enormes energias) e causariam graves danos. Mas a velocidade
Tabela 7 – Coeficientes de viscosidades de vários fluidos
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22
terminal das gotas de chuva é pequena. Para gotas de 1 mm de diâmetro o módulo da velocidade terminal é 4,3
m s-1 enquanto, para gotas de 2 mm, é 5,8 m s-1
Realiza a atividade laboratorial 4
7 – Hidrodinâmica - Equação de continuidade
Além de regime estacionário1 e não turbulento vamos admitir que o fluido é ideal, ou seja:
» O fluido não é viscoso (não há dissipação de energia na seu escoamento);
» O fluido é incompressível (uma certa massa do fluido ocupa sempre a mesmo volume).
1 – Regime estacionário – A velocidade num mesmo ponto do tubo, se mantiver constante ao longo do tempo, embora possa variar de ponto
para ponto.
Equação de continuidade
A velocidade de uma porção de fluido não é sempre a mesma ao longo de uma linha de corrente. Que
relação existe entre a velocidade do fluido num ponto e a geometria do tubo por onde ele escoa? Onde corre
mais depressa a água de um rio, nas partes estreitas ou nas mais largas?
A experiência do dia-a-dia ensina-nos que, quando um
tubo estreita, a Velocidade do fluido é maior. Por exemplo,
quando regamos com uma mangueira, a diminuição da secção
do tubo de saída da água (o que se pode fazer com o dedo) faz
aumentar a velocidade da água, que assim tem um alcance
maior
A fig. 38 mostra um tubo onde escoa um fluido. Em 1, a área da secção reta do tubo é A1 e a velocidade
do fluido é 𝑣1⃗⃗⃗⃗ . Mais à frente, em 2, os valores correspondentes são A2 e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ .
Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química
23
No intervalo de tempo t, o fluido avançou, na região 1, de ∆𝑥1 = 𝑣1∆𝑡 e, na região 2, de ∆𝑥2 = 𝑣2 ∆𝑡. O
mesmo fluido que ocupa o cilindro em 1 (a verde na figura) vai mais tarde ocupar o cilindro em 2 (a azul na
figura). Assim, a massa de fluido no volume 𝑉1 = 𝐴1∆𝑥1 é igual à massa de fluido no volume 𝑉2 = 𝐴2∆𝑥2, ou seja,
m1 = m2 . Designando por ρ a densidade do fluido (que é constante), a igualdade m1 = m2 exprime-se por:
𝝆𝑨 𝟏∆𝒙 𝟏 = 𝝆𝑨 𝟐∆𝒙 𝟐
ou ainda, dividindo ambos os membros da equação por t:
𝑨 𝟏 𝒗 𝟏 = 𝑨 𝟐 𝒗 𝟐
A equação anterior é a chamada equação de continuidade. Como os pontos 1 e 2 são quaisquer, podemos
escrever a equação de continuidade na forma:
𝝋 = 𝑨𝒗 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
em que 𝑨 é a área da secção reta do tubo num dado ponto e 𝒗 o módulo da velocidade do fluido nessa secção.
A grandeza 𝝋 (letra grega que se lê “fi”) é o caudal volumétrico ou fluxo do campo de velocidades. Como a
unidade de velocidade é o metro por segundo e a de área é o metro quadrado, o caudal exprime-se em metro
cúbico por segundo.
Tornemos mais clara a noção de caudal com o exemplo da água de
um rio. O que significa dizer que o caudal ou fluxo do rio Minho, junto a
Caminha, é de 3000 metro cúbico por segundo? Significa que, através de
uma qualquer superfície abrangendo toda a largura e profundidade do rio (por
exemplo, uma secção reta do rio), passa um volume de 3000 metro cúbico de
água em cada segundo.
Em vez de um rio, podemos estudar um tubo
cilíndrico por onde escoa água cuja Velocidade é, em
cada ponto, perpendicular à secção reta do tubo.
Quanto maior for a velocidade, mais água passará por unidade de tempo. E, quanto maior for a área,
mais água passará também. De acordo com a equação de continuidade, o caudal é sempre o mesmo. Se o tubo
estreitar, a água mover-se-á mais rapidamente e, se alargar, andará mais lentamente.
Estudámos a situação mais simples de a velocidade ser perpendicular à secção. Se tal não suceder,
para o caudal ou fluxo importa apenas a componente da velocidade do fluido segundo a direção perpendicular à
secção.
Questão resolvida
Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química
24
Num tubo de raio 1,0 cm passam 0,20  de água por segundo. Qual é a massa de água que passa no mesmo
tubo quando este estreita, se o raio passar a metade? Qual é o valor da velocidade nos dois casos?
Resolução
A equação de continuidade impõe um caudal constante em qualquer secção do tubo, ou seja, 0,20  de água
(ou seja 0,20 kg) por segundo. Em unidades Sl o fluxo é 𝜑 = 0,20 × 103 m3 s-1 . Como 𝝋 = 𝑨 𝒗 vem, para a
parte mais larga, 𝐴 = 0,0102
× 𝜋 = 𝜋 × 10−4
𝑚2
e, portanto, 𝑣 =
2,0 × 10−4
𝜋 × 10−4 = 0,6 𝑚 𝑠−1
.
Para a parte mais estreita, 𝐴 = 0,0052
× 𝜋 = 2,5 𝜋 × 10−5
𝑚2
, donde
𝑣 =
2,0 × 10−4
2,5 𝜋 × 10−5 = 2,5 𝑚 𝑠−1
. Vê-se, assim, que a velocidade aumenta quando o tubo estreita.
Questão
A equação de continuidade para fluidos incompressíveis tem várias aplicações. Vejamos uma relativa à
circulação sanguínea no corpo humano. O sangue na artéria aorta, cujo raio é de 0,01 m, flui com velocidade 0,3
m s-1. Nos vasos capilares, cujo raio é de 4 × 10−6
𝑚, o sangue flui com velocidade 5 × 10−4
𝑚 𝑠−1
. Faça uma
estimativa do número de vasos capilares no corpo humano.
Caso queira fazer esta questão aqui vai a solução, depois apague antes de imprimir.
Suponhamos que há n vasos capilares. A área total dos capilares é o número de capilares pela área de cada
um. O produto desta área pela velocidade do sangue no capilar é igual ao produto da área da secção da aorta
pela velocidade do sangue aí.
𝑛 = 𝜋(4 × 10−6
)2
× 5 × 10−4
= 𝜋(1 × 10−2
)2
× 3 × 10−1
Donde se obtém: 𝒏 = 𝟑, 𝟕𝟓 × 𝟏𝟎 𝟗
. Há cerca de quatro mil milhões de capilares no corpo humano.

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  • 1. AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DO FUNDÃO Física e Química Ano letivo 2018/2019 Cursos Profissionais Física e Química Ano letivo 2018/19 Módulo 2 – F2 Hidrostática e Hidrodinâmica
  • 2. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 2 1. Estática dos fluidos A atmosfera e os oceanos são fluidos abundantes no nosso planeta. Também no organismo humano (fig. 1) e nos organismos de outros seres vivos circulam fluidos, como o sangue e o ar. O termo fluido designa tanto líquidos como gases, ou seja, substâncias que tendem a escapar por uma abertura no recipiente onde estão contidos. Esse comportamento não se observa nos sólidos. Definição - Fluido é qualquer substância não sólida, capaz de escoar e assumir a forma do recipiente que o contém. Os fluidos dividem-se em líquidos e gases. De uma forma prática, podemos distinguir os líquidos dos gases (fig. 2) da seguinte maneira:  os líquidos quando colocados num recipiente, tomam o formato deste, apresentando uma superfície livre.  os gases, preenchem totalmente o recipiente, sem apresentar qualquer superfície livre. No nosso estudo, daremos maior destaque às características dos líquidos.  Fluido ideal: Para simplificar a sua descrição, consideraremos o comportamento de um fluido ideal que tem as seguintes características: 1 - Não tem viscosidade, ou seja, não resistem ao corte; 2 - A velocidade do fluido num ponto é constante com o tempo; 3 - Fluido incompressível. A densidade do fluido permanece constante com o tempo; 4 - Não apresentam turbulência. Figura 2 Figura 1
  • 3. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 3  Fluido Incompressível: Aquele em que o seu volume não varia em função da pressão. A maioria dos líquidos tem um comportamento muito próximo a este, podendo, na prática, serem considerados como fluidos incompressíveis.  Líquido Perfeito: Consideramos de uma forma geral os líquidos como sendo líquidos perfeitos, isto é, um fluido ideal, perfeitamente móvel, contínuo e de propriedades homogéneas. 2 - Estado líquido e gasoso Nos gases, quase não há ordenação das moléculas, pois a distância entre as moléculas é muito grande, logo as ligações intermoleculares são muito fracas (fig. 3). Também o volume de cada molécula é insignificante consoante o volume que a amostra ocupa. Isto leva a que qualquer gás seja compressível (fig. 4), ocorrendo então que as suas moléculas se movem por todo o espaço disponível. Nos líquidos, há um grande desordenamento das moléculas podendo, ocasionalmente, formar-se estruturas que logo desaparecem – a distância entre as moléculas é muito menor do que nos gases (fig. 5). Os líquidos devido às suas moléculas se encontrarem mais agregadas, terão menor compressibilidade (fig. 6) e nem sempre se misturam com outros. Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6
  • 4. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 4 LÍQUIDO GASOSO FORMAS Do recipiente Do recipiente ESPAÇOS OCUPADOS Constante Todo o disponível COMPRESSIBILIDADE Muito baixa Elevada INTENSIDADE DAS FORÇAS MOLECULARES Elevada Pequena DISTÂNCIA ENTRE AS PARTÍCULAS Pequena Grande ARRUMAÇÃO DAS PARTÍCULAS Desordenada Caótica LIBERDADE DE MOVIMENTO DASPARTÍCULAS Alguma Grande (Translação, rotação, vibração) 3 – Densidade O que pesa mais: o chumbo ou o algodão? Se respondermos sem raciocinar, será grande a tentação de dizermos que o chumbo é mais pesado. Mas, se refletirmos um pouco, concluiremos que não há resposta para essa pergunta, pois o peso (que é diretamente proporcional à massa) de uma determinada matéria vai depender do tamanho (volume) dela. Se, por exemplo, considerarmos uma pequena bolinha de chumbo e um grande saco de algodão, é evidente que o saco de algodão será mais pesado. A densidade de uma substância define-se como a massa dessa substância existente numa unidade de volume da mesma. A densidade (também designada por massa volúmica) do material constituinte é: Tabela 1 – Comparação entre líquidos e gases.
  • 5. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 5 ρ = 𝑚 𝑉 A unidade SI da densidade é kg m -3. Os gases têm densidades menores do que os líquidos e do que os sólidos, uma vez que as partículas estão mais afastadas. A tabela seguinte indica as densidades de algumas substâncias. Repare-se que a densidade do gelo é menor do que a da água líquida: o gelo é menos denso que a água líquida e é, por isso que flutua nela. Questão Uma barra de ferro tem a massa de 31200 kg e o volume de 4 m3. Qual é a densidade do ferro? Resolução: ρ = 𝑚 𝑉  𝜌 = 31200 𝑘𝑔 4 𝑚3 = 7800 𝑘𝑔/𝑚3 ρ – (ró) densidade m – massa da substância V – volume ocupado pela substância Tabela 2 – Densidades de alguns materiais. Os valores para os gases referem-se à temperatura de 0 ºC e à pressão normal .
  • 6. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 6 Questão Uma estrela de neutrões é um objeto astronómico «compacto» com uma massa da ordem de grandeza da massa do Sol (Fig. 16), mSol=2×1030kg, mas raio muito menor, raio = 10 km = 104 m. É um astro demasiado pequeno e está demasiado distante para que possa ser observado a olho nu. Compare o valor da densidade de urna estrela de neutrões com a densidade de um neutrão (ou de um protão), cuja massa e raio são, respetivamente, m = 2×10-27 kg e raio = 10-15 m. Resolução A ordem de grandeza da densidade da estrela de neutrões é de: ρe = m V = 2 × 1030 4 3 πr3 = 2 × 1030 4,19 × 1012 = 4,77 × 1017 kg m−3 Volume da esfera = V = 4 3 πr3 Para um neutrão vem: ρn = m V = 2 × 10−27 4 3 πr3 = 2 × 10−27 4,19× 10−45 = 4,77 × 1017 kg m−3 Aparece a mesma ordem de grandeza: tanto um neutrão como uma estrela de neutrões têm a mesma densidade. 3.1 - Densidaderelativa Em física (e em química) é bastante útil comparar as densidades de diferentes substâncias com a densidade de uma substância que se escolhe para padrão. É que, uma vez escolhido o padrão e sabendo-se a densidade da substância escolhida, pode determinar-se: A água, cuja densidade é 1 × 103 𝑘𝑔/𝑚3 ou (1 g/cm3) à temperatura de 4 ºC, foi o padrão escolhido para as substâncias sólidas e líquidas (para os gases à temperatura e pressão normais, o padrão escolhido é o ar). Figura 16 quantas vezes a densidade de uma substância é maior (ou menor) do que a da substância padrão.
  • 7. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 7 Define-se densidade relativa de um material, d, como a razão entre a densidade de um material e a densidade de um material padrão: d = 𝜌𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝜌 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 (á𝑔𝑢𝑎 𝑎 4 º𝐶) ou d = 𝑚 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚 𝑑𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 (á𝑔𝑢𝑎 𝑎 4 º𝐶) As expressões anteriores mostram que a densidade relativa não tem unidades: é uma grandeza adimensional, por ela ser definida por uma razão entre as mesmas grandezas. Questões: 1 – Um cubo de cobre com 3 cm de aresta tem de massa cerca de 240 g. 1.1 – Qual o valor da densidade do cobre em unidades S.I.? 1.2 – Qual o valor da densidade relativa do cobre a 4 ºC (𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑎 4 º𝐶 = 1 × 103 𝑘𝑔/𝑚3 )? Resolução 𝑉 = 𝑎3 = 3 𝑐𝑚 × 3 𝑐𝑚 × 3 𝑐𝑚 = 27 𝑐𝑚3 = 0,000027𝑚3 𝑚 𝑐𝑢𝑏𝑜 = 240𝑔 = 0,240 𝑘𝑔 𝜌 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 𝑚 𝑉 = 0,240 𝑘𝑔 0,000027 𝑚3 ≅ 8,9 × 103 𝑘𝑔/𝑚3
  • 8. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 8 2 – Tendo em conta a sequência da figura, indica: 2.1 – a densidade relativa do benzeno; 2.2 – a sua densidade. Resolução 2.1 𝑑 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 á𝑔𝑢𝑎 𝑎 4 º𝐶 𝑚á𝑔𝑢𝑎 = 𝑚 𝑐𝑜𝑝𝑜 𝑐𝑜𝑚 á𝑔𝑢𝑎 − 𝑚 𝑐𝑜𝑝𝑜 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜 = 149 𝑔− 100 𝑔 = 49 𝑔 𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜 = 𝑚 𝑐𝑜𝑝𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜 − 𝑚 𝑐𝑜𝑝𝑜 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜 = 144,1 𝑔 − 100 𝑔 = 41,1 𝑔 𝑑 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜 = 41,1 𝑔 49 𝑔 = 0,9 2.2 0,9 = 𝜌 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜 𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑎 4 º𝐶 0,9 = 𝜌 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜 1 × 103 𝑘𝑔/𝑚3  𝜌 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛𝑜 = 0,9 × 1 × 103 𝑘𝑔 𝑚3 = 0,9 × 103 𝑘𝑔/𝑚3
  • 9. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 9 4 - Pressão É a força exercida por unidade de área 𝑷 = 𝑭 𝑨 A unidade de pressão no Sistema Internacional é o newton por metro quadrado (N/m2 ou Nm-2). O newton por metro quadrado tem o nome de pascal (símbolo: Pa) Um pascal é uma unidade muito pequena. É costume usar-se um múltiplo de pascal: o quilopascal (símbolo: kPa). 1 kPa = 1000 Pa. Unidade Símbolo Valor Pascal (Unidade SI) Pa 1 N/m2 Atmosfera atm 1,013 x105 Pa Bar Bar 1 x105 Pa Milímetro de mercúrio mmHg 133,322 Pa Kilograma-força por centímetro quadrado kgf/cm2 98 000 Pa Questões Tabela 3 – Unidades de pressão P – pressão F – força A – área
  • 10. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 10 1. Completa a tabela seguinte que indica as intensidades das forças verticais, cujo sentido é de cima para baixo, e as superfícies onde se exercem, calculando os valores de A,B,C e D. INTENSIDADE DA FORÇA (N) SUPERFÍCIE (m2) PRESSÃO (Pa) 2 1 A 1 0,004 B 800 0,4 C 7  106 0,01 D 2. Um bloco retangular de níquel, que tem o comprimento de 20 cm e a largura de 15 cm, está colocado em cima de uma mesa. Sabendo que o bloco exerce na mesa a pressão de 9 kPa, qual é o valor do peso do bloco de níquel? 3. Um cesto contém 30 kg de laranjas que exercem na base desse cesto a pressão de 10 N/m2. Qual é a área da base do cesto? 4. O que exerce mais pressão: A – Uma pessoa de 80 kg sobre o chão com sapatos cuja área é de 250 cm2, ou B – Um gás contido num cilindro (fig. 17) que exerce uma força de 50 N sobre o êmbolo cuja área é de 10 dm2?
  • 11. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 11 4.1 - Lei fundamentalda hidrostática Experiências feitas com sensores de pressão mostram que a pressão no interior de um líquido aumenta com a profundidade. Um mergulhador apercebe-se bem deste facto: quanto mais fundo estiver maior pressão sentirá, sobretudo nos ouvidos. Para explicar o aumento de pressão com a profundidade estudemos um líquido homogéneo, de densidade (ou massa volúmica) constante ρ, em equilíbrio hidrostático. Neste fluido isolemos uma porção com forma de cilindro de altura h e a área da base A. Como a porção de líquido está em repouso, a força resultante que nele atua tem de ser nula. As forças de pressão horizontais anulam-se. Mas, segundo a vertical, as forças de pressão não se anulam mas têm de compensar o peso da porção de líquido. Então tem de ser verificar + + = Com 𝑭 𝟏 ⃗⃗⃗⃗ a força de pressão exercida na face superior, 𝑭 𝟐 ⃗⃗⃗⃗ a força de pressão exercida na face inferior e 𝑷⃗⃗ o peso da porção de líquido. A equação anterior é equivalente à equação escalar: 𝐹1 − 𝐹2 + 𝑃 = 0
  • 12. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 12 A força de pressão 𝐹1 ⃗⃗⃗ tem módulo 𝐹1 = 𝑝1 𝐴, sendo 𝑝1 a pressão no topo do cilindro. A força de pressão 𝐹2 ⃗⃗⃗ tem módulo 𝐹2 = 𝑝2 𝐴, sendo 𝑝2 a pressão na base do cilindro. O peso é 𝑃 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑉𝑔, mas o volume é 𝑉 = 𝐴ℎ, ou seja, 𝑃 = 𝜌𝐴ℎ𝑔 . A equação 𝐹1 + 𝑃 = 𝐹2 reescreve-se 𝑝1 𝐴 + 𝜌𝐴ℎ𝑔 = 𝑝2 𝐴 ou ainda: 𝑝2 = 𝑝1 + 𝜌𝑔ℎ Repare-se que a área A da base do cilindro não aparece no resultado. A porção do fluido podia até ter uma forma qualquer de altura h e secção arbitrária de área A. Verifica-se também que a pressão num ponto mais baixo é superior à pressão num ponto mais elevado 𝒑 𝟐 > 𝒑 𝟏. A equação generaliza-se a dois pontos quaisquer do interior do fluido, mesmo sem estarem na mesma linha vertical. É o caso dos pontos A e B cuja distância na vertical é h. 𝑝 𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝜌𝑔ℎ  𝑝 𝐵 − 𝑝 𝐴 = 𝜌𝑔ℎ A expressão anterior mostra que, se h = 0, ou seja se os pontos estiverem ao mesmo nível então terão pressões iguais. Num líquido com a densidade constante em equilíbrio hidrostático, a pressão na superfície de separação entre a água e o ar é a pressão atmosférica, 𝒑 𝟎. Então, a pressão em qualquer ponto do líquido é: 𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ com h a profundidade de um ponto do líquido, ou seja, a distância vertical entre esse ponto e a superfície livre do líquido. Pontos a profundidades diferentes estão a pressões diferentes.
  • 13. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 13 Resumindo: 1) Para determinar a diferença de pressão entre dois pontos, não importa a distância entre eles, mas sim, a diferença de cotas entre eles. 2) A pressão de dois pontos ao mesmo nível, isto é, na mesma cota, é a mesma. 3) A pressão é independente do formato, do volume ou da área da base do reservatório. 𝑝𝐴 = 𝑝𝐵 𝑝𝐶 = 𝑝𝐷 𝑝𝐴 − 𝑝𝐶 = 𝑝𝐵 − 𝑝𝐷 Questão 1 Duas barragens são projetadas para dois rios que ficarão, depois de cheias as albufeiras, com a mesma profundidade perto do paredão. Contudo, as albufeiras terão comprimentos muito diferentes. Qual dos paredões deverá ser mais resistente, o da albufeira comprida ou o da mais pequena? A espessura do paredão deverá ser a mesma de cima até baixo? Questão 2 Um mergulhador está submerso num lago, onde a pressão atmosférica é 105 Pa. A que profundidade se deve encontrar para estar a uma pressão dupla da pressão atmosférica?
  • 14. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 14 5 - Impulsão 5.1 - Por querazão conseguimosflutuarna água? Já todos verificámos que parecemos mais leves dentro de água e que é mais fácil flutuar na água salgada do que na água doce. Porquê? Foi o grego Arquimedes * quem explicou estes factos, há mais de 2000 anos. Conta a lenda que estava Arquimedes a tomar banho numa banheira quando largou a correr, nu, pelas ruas da cidade a gritar: “Eureka eureka”, que significa “Descobri, descobri!” Arquimedes observou que deslocava uma certa quantidade de água da banheira e que o seu peso lhe parecia menor. E explicou isto dizendo que, sobre um corpo mergulhado num fluido, para além do peso, atua uma outra força, chamada impulsão. Arquimedes *  foi um dos maiores físicos, matemáticos e inventores da Antiguidade e de todos os tempos. Este descobriu um método para calcular π (uma proporção numérica originada da relação entre as grandezas do perímetro de uma circunferência e seu diâmetro) utilizando séries (Geometria e Matemática);  descobriu o princípio da alavanca e contribuiu para a fundação da Hidrostática (Física) e criou várias máquinas tanto para uso civil como para bélico. "Dêem-me uma alavanca e um ponto de apoio e eu moverei o mundo". Arquimedes nasceu em Siracusa, Sicília em 287 a.C, filho de Philias, que era astrónomo. Na juventude, estudou em Alexandria, com um dos discípulos de Euclides, Cônon. Arquimedes foi morto por engano em 212 a.C, na sua cidade natal, durante a Segunda Guerra Púnica, quando alguns soldados romanos o viram – sem saber que era ele – desenhar uns círculos na areia da praia de Siracusa, mandando-o embora, mas este resistiu, porque não queria perder o raciocínio levando-o assim a uma trágica morte provocada pelos seus principais admiradores.
  • 15. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 15 A impulsão, que se simboliza por I, é uma força: exercida sobre o corpo pelo fluido onde se encontra parcial ou totalmente imerso; tem direção vertical e sentido de baixo para cima (é sempre oposta ao peso). É a impulsão que faz com que, por exemplo, uma rolha flutue na água, o peso é equilibrado pela impulsão, sendo nula a força resultante. I = Pfluido deslocado  I = m fd × g  I = ρ fluido × Vfd × g ρ fluido – densidade do líquido Vfd – Volume do fluido deslocado g – valor da aceleração da gravidade Podem ocorrer 3 situações quando se coloca um corpo totalmente imerso num fluido: - Se P > I, o corpo afunda. Neste caso 𝝆 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 > 𝝆 𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐 . - Se P = I, o corpo flutua no interior do fluido, isto é, 𝝆 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 = 𝝆 𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐 . - Se P < I, o corpo sobe. Neste caso 𝝆 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 < 𝝆 𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐 . Ou seja, o objeto dirige-se para a superfície, emergindo uma parte dele até que se verifique a condição de flutuação: P = I. Se medirmos o peso de um corpo dentro de água com um dinamómetro obteremos um valor inferior ao seu peso real. O que medimos com o dinamómetro é o peso aparente, que é dado por: Peso aparente = peso – impulsão  Impulsão = peso – peso aparente Podemos saber o valor da impulsão calculando o peso da quantidade de água que o corpo deslocou quando foi introduzido no recipiente (fig. 27). Essa intensidade é dada pela chamada Lei de Arquimedes. Lei de Arquimedes Figura 27 𝑃𝑓𝑑 = 𝑚 𝑓𝑑 × 𝑔 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑚 𝑓𝑑 𝑉𝑓𝑑
  • 16. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 16 5.2 – Por querazão os barcos de aço flutuam nomar, masum pregodo mesmo materialse afunda? Se atirarmos um prego de aço à água vemos que ele afunda. No entanto, os navios são feitos essencialmente de aço e não se afundam Acontece que a impulsão equilibra o peso dos navios. Mas se uma peça metálica tiver a forma de uma concha, podemos verificar que já flutua. Tal acontece porque o volume imerso é maior e, portanto, o volume de água deslocada também é maior. A impulsão aumenta com o volume imerso, de acordo com a Lei de Arquimedes. A forma dos cascos dos navios destina-se a aumentar o volume imerso. Quanto mais carregado estiver, maior será o volume do casco dentro de água e maior será a impulsão. Embora num barco a flutuar o peso e a impulsão tenham de se compensar, tal não é suficiente! Em geral, o peso está aplicado no centro de massa do corpo (CM), mas a impulsão está aplicada no “centro de impulsão” (CI), que é o centro de massa do volume deslocado . Os dois centros podem não coincidir. É, contudo, necessário que estejam sobre a mesma vertical, que representa um barco a flutuar. Se tal não acontecer, o barco poderá rodar . Um corpo mergulhado num fluido sofre uma força vertical, dirigida de baixo para cima, de valor igual ao peso do volume de fluido deslocado.
  • 17. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 17 Num submarino existem depósitos onde se faz entrar água, ou de onde se retira água, com o auxílio de bombas. Tal como a carga no barco, a água que entra tem que ficar distribuída para que o submarino não vire! Quando entra água no submarino ele fica mais pesado, podendo o peso superar a impulsão. Neste caso, o submarino submerge. Quando se remove a água dos depósitos, o submarino fica mais leve e emerge. Tal como o barco, o submarino flutua à superfície quando a impulsão equilibra o peso. Mas a impulsão também depende do fluido. Se mergulharmos um ovo (fresco) em água doce ele afunda, mas se o mergulhamos em água muito salgada ele flutua. É que a água salgada é mais densa do que a água doce, pelo que o peso do volume de líquido deslocado é maior! Quanto maior for a densidade do fluido maior será o valor da impulsão. Por isso, o casco de um barco a navegar no mar alto aparece mais à vista do que se o barco navegar num rio. Pelo mesmo motivo um banhista no Mar Morto, um grande Iago em Israel que é extremamente salgado, fica sempre a flutuar à tona de água, mesmo que não saiba nadar. Verificamos então que: para o mesmo volume imerso, quanto maior for a densidade do fluido maior será a intensidade da impulsão; para corpos imersos no mesmo fluido, quanto maior for o volume imerso do corpo maior será a intensidade da impulsão. Realiza a atividade laboratorial 3 TPC – Um icebergue flutua no mar, sendo a densidade da água salgada 1,024  103 kg m-3. Qual é a fração do seu volume imerso?
  • 18. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 18 6 - Viscosidade A viscosidade é uma propriedade dos líquidos e gases reais que se caracteriza pela medida da resistência que um fluido oferece ao escoamento quando se encontra sujeito a um esforço tangencial. (Fluidos reais – exibem viscosidade finita e distribuição de velocidade não-uniforme; são compressíveis e experimentam fricção e turbulência ao fluírem. Os fluidos reais podem ainda dividir-se em fluidos Newtonianos e fluidos não-Newtonianos. Por conveniência, a maioria dos problemas com fluidos assumem fluidos reais com propriedades Newtonianas). Os fluidos Newtonianos são aqueles para os quais a viscosidade dinâmica () é independente da taxa de deformação (gradiente de velocidade), isto é, a viscosidade na expressão da lei de Newton é uma constante para cada fluido Newtoniano, a uma dada pressão e temperatura. A viscosidade tem uma importante influência no fenómeno do escoamento, nomeadamente nas perdas de pressão dos fluidos. O seu valor depende principalmente da temperatura e da natureza do fluido. Nos líquidos, a viscosidade diminui com o aumento da temperatura. 6.1 - ViscosidadeDinâmicaou Absoluta A viscosidade dinâmica ou absoluta exprime a medida das forças internas de atrito do fluido e é justamente o coeficiente de proporcionalidade entre a tensão tangencial ou de corte o gradiente de velocidade da Lei de Newton. 𝝉 = 𝝁 𝒅𝒙 𝒅𝒚 - tensão de corte do fluido. - viscosidade absoluta, ou coeficiente de viscosidade. 𝐝𝐱 𝐝𝐲 - taxa de deformação, taxa de corte, gradiente de velocidade, taxa de deformação em corte. Unidade do sistema internacional: Pascal segundo (Pa.s) (1 Pa.s = 1N.s/m2 =1 kg/m.s) (SI) Outras unidades: Poise (P) (1P = 0,1 Pa.s) centiPoise (cP) (1 cP=1mPa.s)
  • 19. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 19 6.2 - ViscosidadeCinemática Define-se como o quociente entre a viscosidade dinâmica e a massa específica Unidade do sistema internacional é m2/s Outras unidades » Stoke (St) (1 St=1x10-4 m2/s) » centiStoke (cSt) Conversão de unidades de viscosidade Tabela 4 – Viscosidade dinâmica Tabela 5 – Viscosidade cinemática
  • 20. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 20 Viscosidade de alguns líquidos comuns 6.3 – Movimentodecorpos em fluidose viscosidade Quando os corpos são suficientemente pequenos e se movem com velocidade baixa através de um fluido, a força de resistência varia linearmente com a velocidade e tem sentido oposto a esta: 𝐹𝑟𝑒𝑠 =  𝑘𝑣 Portanto, o módulo da força de resistência é proporcional ao módulo da velocidade: 𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑘𝑣 A contante k depende da forma e das dimensões do corpo e da viscosidade do fluido onde ele se move. Um fluido muito viscoso (óleo de automóveis, por exemplo) oferece uma maior força de resistência ao movimento de um corpo com uma certa velocidade do que um menos viscoso (como a água, por exemplo). Para uma pequena esfera que se move num fluido, o módulo da força resistente depende do raio da esfera, r, do módulo da velocidade, v, e o chamado coeficiente de viscosidade do fluido. : 𝐹𝑟𝑒𝑠 = 6𝜋𝑟 𝑣 Tabela 6 – Viscosidade de líquidos a 20 ºC
  • 21. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 21 Quando uma pequena esfera cai num fluido (fig. 36), sobre ela atuam o peso, 𝑃⃗, a impulsão, 𝐼 (cujo módulo tem de ser inferior ao do peso para o corpo cair), e a força de resistência exercida pelo fluido, 𝐹𝑟𝑒𝑠. À medida que a esfera cai adquire maior velocidade, o que faz aumentar o módulo da força de resistência. Por isso, a resultante das três forças passa, a certa altura, a ser praticamente nula. 𝑃⃗ + 𝐼 + 𝐹𝑟𝑒𝑠 = 0  𝑃⃗ = 𝐼 + 𝐹𝑟𝑒𝑠 O movimento é então uniforme, sendo a velocidade constante chamada velocidade terminal. No Caso de corpos de maiores dimensões ou que se movam no ar com velocidades elevadas, como um pára-quedista ou uma bola de ténis, o módulo da força de resistência é proporcional ao quadrado da velocidade: 𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑘′𝑣2 Onde k’ é uma constante característica do corpo e do fluido no seio do qual ele se desloca. O módulo da primeira velocidade terminal de um pára-quedista, adquirida antes de abrir o pára-quedas, é cerca de 55 m s-1, e o módulo da Velocidade terminal depois de abrir o pára-quedas é cerca de 5 m s-1. Também as gotas de chuva que caem de nuvens a vários quilómetros de altura estão sujeitas à resistência do ar. Se não fosse essa força atingiriam a superfície terrestre com velocidades enormes (e, portanto, com enormes energias) e causariam graves danos. Mas a velocidade Tabela 7 – Coeficientes de viscosidades de vários fluidos
  • 22. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 22 terminal das gotas de chuva é pequena. Para gotas de 1 mm de diâmetro o módulo da velocidade terminal é 4,3 m s-1 enquanto, para gotas de 2 mm, é 5,8 m s-1 Realiza a atividade laboratorial 4 7 – Hidrodinâmica - Equação de continuidade Além de regime estacionário1 e não turbulento vamos admitir que o fluido é ideal, ou seja: » O fluido não é viscoso (não há dissipação de energia na seu escoamento); » O fluido é incompressível (uma certa massa do fluido ocupa sempre a mesmo volume). 1 – Regime estacionário – A velocidade num mesmo ponto do tubo, se mantiver constante ao longo do tempo, embora possa variar de ponto para ponto. Equação de continuidade A velocidade de uma porção de fluido não é sempre a mesma ao longo de uma linha de corrente. Que relação existe entre a velocidade do fluido num ponto e a geometria do tubo por onde ele escoa? Onde corre mais depressa a água de um rio, nas partes estreitas ou nas mais largas? A experiência do dia-a-dia ensina-nos que, quando um tubo estreita, a Velocidade do fluido é maior. Por exemplo, quando regamos com uma mangueira, a diminuição da secção do tubo de saída da água (o que se pode fazer com o dedo) faz aumentar a velocidade da água, que assim tem um alcance maior A fig. 38 mostra um tubo onde escoa um fluido. Em 1, a área da secção reta do tubo é A1 e a velocidade do fluido é 𝑣1⃗⃗⃗⃗ . Mais à frente, em 2, os valores correspondentes são A2 e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ .
  • 23. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 23 No intervalo de tempo t, o fluido avançou, na região 1, de ∆𝑥1 = 𝑣1∆𝑡 e, na região 2, de ∆𝑥2 = 𝑣2 ∆𝑡. O mesmo fluido que ocupa o cilindro em 1 (a verde na figura) vai mais tarde ocupar o cilindro em 2 (a azul na figura). Assim, a massa de fluido no volume 𝑉1 = 𝐴1∆𝑥1 é igual à massa de fluido no volume 𝑉2 = 𝐴2∆𝑥2, ou seja, m1 = m2 . Designando por ρ a densidade do fluido (que é constante), a igualdade m1 = m2 exprime-se por: 𝝆𝑨 𝟏∆𝒙 𝟏 = 𝝆𝑨 𝟐∆𝒙 𝟐 ou ainda, dividindo ambos os membros da equação por t: 𝑨 𝟏 𝒗 𝟏 = 𝑨 𝟐 𝒗 𝟐 A equação anterior é a chamada equação de continuidade. Como os pontos 1 e 2 são quaisquer, podemos escrever a equação de continuidade na forma: 𝝋 = 𝑨𝒗 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 em que 𝑨 é a área da secção reta do tubo num dado ponto e 𝒗 o módulo da velocidade do fluido nessa secção. A grandeza 𝝋 (letra grega que se lê “fi”) é o caudal volumétrico ou fluxo do campo de velocidades. Como a unidade de velocidade é o metro por segundo e a de área é o metro quadrado, o caudal exprime-se em metro cúbico por segundo. Tornemos mais clara a noção de caudal com o exemplo da água de um rio. O que significa dizer que o caudal ou fluxo do rio Minho, junto a Caminha, é de 3000 metro cúbico por segundo? Significa que, através de uma qualquer superfície abrangendo toda a largura e profundidade do rio (por exemplo, uma secção reta do rio), passa um volume de 3000 metro cúbico de água em cada segundo. Em vez de um rio, podemos estudar um tubo cilíndrico por onde escoa água cuja Velocidade é, em cada ponto, perpendicular à secção reta do tubo. Quanto maior for a velocidade, mais água passará por unidade de tempo. E, quanto maior for a área, mais água passará também. De acordo com a equação de continuidade, o caudal é sempre o mesmo. Se o tubo estreitar, a água mover-se-á mais rapidamente e, se alargar, andará mais lentamente. Estudámos a situação mais simples de a velocidade ser perpendicular à secção. Se tal não suceder, para o caudal ou fluxo importa apenas a componente da velocidade do fluido segundo a direção perpendicular à secção. Questão resolvida
  • 24. Agrupamento de Escolas do Fundão Cursos Profissionais - Física e Química 24 Num tubo de raio 1,0 cm passam 0,20  de água por segundo. Qual é a massa de água que passa no mesmo tubo quando este estreita, se o raio passar a metade? Qual é o valor da velocidade nos dois casos? Resolução A equação de continuidade impõe um caudal constante em qualquer secção do tubo, ou seja, 0,20  de água (ou seja 0,20 kg) por segundo. Em unidades Sl o fluxo é 𝜑 = 0,20 × 103 m3 s-1 . Como 𝝋 = 𝑨 𝒗 vem, para a parte mais larga, 𝐴 = 0,0102 × 𝜋 = 𝜋 × 10−4 𝑚2 e, portanto, 𝑣 = 2,0 × 10−4 𝜋 × 10−4 = 0,6 𝑚 𝑠−1 . Para a parte mais estreita, 𝐴 = 0,0052 × 𝜋 = 2,5 𝜋 × 10−5 𝑚2 , donde 𝑣 = 2,0 × 10−4 2,5 𝜋 × 10−5 = 2,5 𝑚 𝑠−1 . Vê-se, assim, que a velocidade aumenta quando o tubo estreita. Questão A equação de continuidade para fluidos incompressíveis tem várias aplicações. Vejamos uma relativa à circulação sanguínea no corpo humano. O sangue na artéria aorta, cujo raio é de 0,01 m, flui com velocidade 0,3 m s-1. Nos vasos capilares, cujo raio é de 4 × 10−6 𝑚, o sangue flui com velocidade 5 × 10−4 𝑚 𝑠−1 . Faça uma estimativa do número de vasos capilares no corpo humano. Caso queira fazer esta questão aqui vai a solução, depois apague antes de imprimir. Suponhamos que há n vasos capilares. A área total dos capilares é o número de capilares pela área de cada um. O produto desta área pela velocidade do sangue no capilar é igual ao produto da área da secção da aorta pela velocidade do sangue aí. 𝑛 = 𝜋(4 × 10−6 )2 × 5 × 10−4 = 𝜋(1 × 10−2 )2 × 3 × 10−1 Donde se obtém: 𝒏 = 𝟑, 𝟕𝟓 × 𝟏𝟎 𝟗 . Há cerca de quatro mil milhões de capilares no corpo humano.