Sapatas

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
UNESP - Campus de Bauru/SP
FACULDADE DE ENGENHARIA
Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III
NOTAS DE AULA

SAPATAS DE FUNDAÇÃO

Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS
(wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

Bauru/SP
Agosto/2012

APRESENTAÇÃO

Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina
2133 – Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da
Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru.
O texto apresenta o dimensionamento das sapatas de fundação, conforme os
procedimentos contidos na NBR 6118/2003 - “Projeto de estruturas de concreto –
Procedimento”.
Agradecimentos ao técnico Tiago Duarte de Mattos, pela confecção dos desenhos, e ao
aluno Lucas F. Sciacca, pelo auxílio na digitação do texto.
Esta é a primeira versão da apostila, e críticas e sugestões serão muito bem-vindas.

SUMÁRIO

1. DEFINIÇÕES...........................................................................................................................1
1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL............................................................................................1
1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO ...............................................................................................1
1.3 TIPOS DE SAPATAS ........................................................................................................1
1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS ........................................................................................3
2. SAPATAS ISOLADAS............................................................................................................3
2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ ......................................................................4
2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL.............................................................................5
2.2.1 Sapatas Rígidas ...........................................................................................................5
2.2.2 Sapatas Flexíveis .........................................................................................................6
2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO.....................................................................6
2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA
CENTRADA .................................................................................................................................7
2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções ..............................................7
2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠ cB).......................................................8
2.5 PROJETO CONFORME O CEB-70..................................................................................9
2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior ....................................................................9
2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada.................................10
2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão..........................................................................13
2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada.................14
2.5.5 Força Cortante Limite ...............................................................................................16
2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO ..........................................................................................16
2.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante .........................................................................18
2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na
Superfície Crítica C..................................................................................................................19
2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos
sem Armadura de Punção ........................................................................................................20
2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA ...............................................................21
2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ...........................................................................................29
2.9 MÉTODO DAS BIELAS .................................................................................................29
2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida ...........................................................................33
2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS.............................................34
2.10.1 Excentricidade em Uma Direção...............................................................................34
2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções ............................................................................36
2.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor....................40
2.12 EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA ..............................48
2.13 SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA..................................54
2.14 VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO bW ≥
5d 56
2.15 EXEMPLO 5 – Sapata Flexível....................................................................................57
3. SAPATA CORRIDA .............................................................................................................62
3.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME ...........................................64
3.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME ......................65
3.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA...............................................................67
3.4 EXERCÍCIO PROPOSTO ...............................................................................................69

3.5 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL..........................................................69
4. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS...................................................74
5. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO EM
SAPATAS.......................................................................................................................................75
6. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO .....................................................76
6.1 ROTEIRO DE CÁLCULO...............................................................................................78
6.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO.........................................78
6.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO ..........................................81
6.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA ......................................................81
6.5 EXEMPLO 8 ....................................................................................................................83
6.6 TAREFA...........................................................................................................................90
6.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA ..........................................................90
7. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA ................................................................................92
8. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)....................................................95
8.1 SAPATA RETANGULAR...............................................................................................95
8.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO..................................................................98
8.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL.......................................................................100
8.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ ....................................................101
8.5 EXEMPLO 9 ..................................................................................................................102
9. QUESTIONÁRIO ................................................................................................................111
10. RERERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................................112

UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 1

1. DEFINIÇÕES

As definições apresentadas a seguir tomam como base a norma NBR 6122/2010.

1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL

A fundação superficial é também chamada fundação rasa ou direta. É definida como:
“elemento de fundação em que a carga é transmitida ao terreno pelas tensões distribuídas sob a
base da fundação, e a profundidade de assentamento em relação ao terreno adjacente à
fundação é inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação.”
Quanto ao dimensionamento, as fundações superficiais devem ser definidas por meio de
dimensionamento geométrico e de calculo estrutural.

1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO

Sapata de fundação é um “elemento de fundação superficial, de concreto armado,
dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo emprego
de armadura especialmente disposta para esse fim.”

1.3 TIPOS DE SAPATAS

Sapata Isolada: transmite ações de um único pilar, que pode estar centrado ou
excêntrico; pode ser retangular, quadrada, circular, etc., (Figura 1).

h=cte h = var

Figura 1 – Sapata isolada.

Sapata corrida: “Sapata sujeita à ação de uma carga distribuída linearmente ou de
pilares ao longo de um mesmo alinhamento.”, (Figura 2).

parede

sapata OU

Figura 2 – Sapata corrida para apoio de parede.


Sapata associada: é a sapata comum a mais de um pilar, sendo também chamada sapata
combinada ou conjunta (Figura 3). Transmitem ações de dois ou mais pilares e é utilizada como
alternativa quando a distância entre duas ou mais sapatas é pequena.

A

VR
P1 P2

PLANTA A

Viga de
rigidez

ELEVAÇÃO CORTE AA

Figura 3 – Sapata associada (viga de fundação).

Viga alavanca ou viga de equilíbrio: “elemento estrutural que recebe as cargas de um
ou dois pilares (ou pontos de carga) e é dimensionado de modo a transmiti-las centradas às
fundações. Da utilização de viga de equilíbrio resultam cargas nas fundações diferentes das
cargas dos pilares nelas atuantes.” É comum em pilar de divisa onde o momento fletor
resultante da excentricidade da ação com a reação da base deve ser resistido pela “viga de
equilíbrio” (VE), Figura 4.

sapata 1 sapata 2

VA

Viga alavanca (VA)

Figura 4 – Sapata com viga de equilíbrio.


A configuração das vigas baldrames (VB) em relação à sapata pode variar, conforme
alguns casos indicados na Figura 5.

Viga
VB
baldrame
(VB)

VB

Figura 5 – Posicionamento da viga baldrame em relação à sapata.

1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS

“A base de uma fundação deve ser assente a uma profundidade tal que garanta que o
solo de apoio não seja influenciado pelos agentes atmosféricos e fluxos d’água. Nas divisas com
terrenos vizinhos, salvo quando a fundação for assente sobre rocha, tal profundidade não deve
ser inferior a 1,5 m” (NBR 6122/96, item 6.4.2). A Figura 6 mostra alguns detalhes construtivos
sugeridos para as sapatas.
h / 3
h0 ≥ 
20 cm

3 a 10 cm
α

>3
1
h
h0

Lastro de concreto simples
( ≥ 5cm, fck ≥ σsolo, rocha)

Figura 6 – Sugestão para alguns detalhes construtivos da sapata.

α ≤ 30° (ângulo do talude natural do concreto fresco – não é obrigatório).

2. SAPATAS ISOLADAS

Nas sapatas isoladas, o centro de gravidade da sapata deve coincidir com o centro de
aplicação da ação do pilar; a menor dimensão deve ser ≥ 60 cm (NBR 6122/96, 6.4.1); a relação


entre os lados deve ser A/B ≤ 2,5. Regularmente, os lados A e B devem ser escolhidos de modo
que cA ≈ cB , mostrados na Figura 7.

Se cA = cB :

A – ap = B – bp

A – B = ap – bp ⇒ Asx ≈ Asy (ou AsA ≈ AsB)

A

CB
bp
B

CB
CA ap CA

Figura 7 – Notação para a sapata isolada.

2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ

Conforme a NBR 6118/03 (item 22.4.1), a classificação das sapatas quanto à rigidez é:

ap Pilar
(A - a p )
Sapata rígida: h≥
3

(A - a p )
h

Sapata flexível: h <
3
A

Figura 8 – Altura h da sapata.

com: h = altura da sapata (Figura 8);
A = dimensão (lado) da sapata numa determinada direção;
ap = dimensão do pilar na direção do lado A.

Nota: a classificação acima deve ser verificada segundo as duas direções da sapata, ou seja,
segundo as direções dos lados A e B de sapatas retangulares.


ap Pilar

Pelo CEB-70, a sapata é rígida quando:

0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 (26,6º ≤ β ≤ 56,3º)

h
β
tg β = h / c
C
Balanço

Figura 9 – Ângulo β e balanço c.

A sapata será considerada flexível se:

tg β < 0,5

tg β > 1,5 ⇒ bloco de fundação - dispensa-se a armadura de flexão porque o concreto
resiste a σt .

2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
(NBR 6118/03, 22.4.2)

2.2.1 Sapatas Rígidas

São aquelas com alturas “grandes” e tem a preferência no projeto de fundações.

a) há flexão nas duas direções (A e B), com a tração na flexão sendo uniformemente distribuída
na largura da sapata. As armaduras de flexão AsA e AsB são distribuídas uniformemente nas
larguras A e B da sapata (Figura 10).

Sapata
rígida
As B

A As A

Figura 10 – Armadura positiva de flexão de sapata isolada.

b) há atuação de força cortante nas duas direções (A e B), não apresentando ruptura por tração
diagonal, e sim por compressão diagonal, a ser verificada conforme o item 19.5.3.1 (Figura 11).
Não há possibilidade de punção, porque a sapata fica inteiramente dentro do cone de punção.


Seção a ter compressão
verificada (item 19.5.3.1
da NBR6118)
σI

σII

Figura 11 – Tensões principais na sapata isolada.

2.2.2 Sapatas Flexíveis

São aquelas com alturas “pequenas”. “Embora de uso mais raro, as sapatas flexíveis são
utilizadas para fundação de cargas pequenas e solos relativamente fracos.” (NBR 6118/03).

a) há flexão nas duas direções, mas a tração na flexão não é uniforme na largura (Figura 12);
b) há a necessidade da verificação à punção.

N

p

M
(variável)

Figura 12 – Momento fletor na sapata flexível.

2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO

As principais variáveis que afetam a distribuição de tensões são: características das
cargas aplicadas, rigidez relativa fundação-solo, propriedades do solo e intensidade das cargas.
(ver Velloso e Lopes – Fundações, v.1, ed. Oficina de Textos).
A distribuição real não é uniforme, mas por simplicidade, na maioria dos casos, admite-se
a distribuição uniforme, o que geralmente resulta esforços solicitantes maiores (Figura 13). A
NBR 6122 (6.3.2) admite a distribuição uniforme, exceto no caso de fundações apoiadas sobre
rocha.


Rígida Flexível

distribuiçao
Areia admitida Areia

distribuição
real

Figura 13 – Distribuição de tensões no solo.

A NBR 6118/03 (item 22.4.1) declara: “Para sapata rígida pode-se admitir plana a
distribuição de tensões normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha de informações
mais detalhadas a respeito.”

2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA
CENTRADA

A area de apoio da sapata pode ser estimada como:

1,05 N 1,1N
Ssap = ou Ssap =
σsolo σsolo

onde os fatores 1,05 e 1,1 estimam o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.
2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções

Conforme as dimensões mostradas na Figura 14, tem-se:

A = 2cA + ap

B = 2cB + bp

Com cA = cB , fica:

A – B = ap – bp

Ssap
Ssap = A ⋅ B → A =
B

Ssap
− B = a p − bp
B

Multiplicando por B:

(
Ssap − B 2 = a p − b p B )
1 1
B=
2
(bp − a p + )
4
bp − a p ( )2 + Ssap


A e B devem ser múltiplos de 5 cm. É indicado que a dimensão seja no mínimo 80 cm no
caso de sapata de edifícios, e 60 cm para sapatas de residências térreas e de dois pavimentos
(sobrado).
A

CB
bp
B

CB
CA ap CA

Figura 14 – Sapata isolada com balanços iguais nas duas direções.

2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠ cB)

Neste caso recomenda-se obedecer a seguinte relação:
A
≤ 3,0
B

Sendo R a relação entre as dimensões (Figura 15), tem-se:

A
=R → A = B⋅ R
B

Ssap = A . B ⇒ Ssap = R . B2

Ssap
B= , com A e B múltiplos de 5 cm.
R
A
CB
bp
B

CB

CA ap CA

Figura 15 – Sapata isolada com balanços não iguais nas duas direções.


2.5 PROJETO CONFORME O CEB-70

O método proposto pelo CEB-70 pode ser aplicado a sapatas com:

h
c ≤ 2h e c≥
2
h
ou seja: ≤ c ≤ 2h
2
h
Se c < → bloco de fundação.
2

C C

h

Figura 16 – Balanço c na sapata isolada.

Admite-se que o solo tem comportamento elástico, e daí que as reações do solo sobre a
superfície de apoio da sapata seguem uma linha plana (Figura 17).

M("pequeno") M("grande")

(LN fora da
N seção) N

Distribuição admitida para
quando existirem tensões de
tração na base da sapata x
Superfície
plana

Figura 17 – Reação do solo na base da sapata.

2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior

Os momentos fletores são calculados, para cada direção, em relação a uma seção de
referência (S1A e S1B), que dista 0,15 vezes a dimensão do pilar normal à seção de referência, e se
encontra internamente ao pilar (Figura 18).

d1 = d ≤ 1,5cA ap CA
0,15 ap
d1

S1A
A

Figura 18 – Seção de referência S1 .


O momento fletor é calculado levando-se em conta o diagrama de tensões no solo, entre a
seção S1 e a extremidade da sapata, como indicado na Figura 19.

S1

σ2
σ1

Figura 19 – Diagrama para cálculo do momento fletor na seção de referência S1 .

No cálculo da armadura de flexão que atravessa a seção S1 consideram-se as
características geométricas da seção de referência S1.
O menor momento fletor deve ser pelo menos 1/5 do maior momento fletor, isto é, a
relação entre as armaduras de flexão ortogonais deve ser ≥ 1/5.

2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada

Os momentos fletores são calculados nas seções de referência S1 , conforme indicados na
Figura 20. Supondo balanços iguais, cA = cb :

A − ap B − bp
cA = = cB =
2 2
ap
0,15 bp
xB

S1B
bp
B

0,15ap
CB

S1A

CA xA

A

N

S1A

p

Figura 20 – Notações e seção de referência S1 .


Pressão da sapata no solo:

1,05 N
p=
A.B

onde o fator 1,05 considera o peso próprio e do solo sobre a sapata. Outros valores podem ser
adotados.

As distâncias xA e xB são:

xA = cA + 0,15ap

xB = cB + 0,15bp

Áreas de referência nas duas direções (Figura 21):
A1A = xA B

A1B = xB A
xA
A1B

xB
B

A1A
A

Figura 21 – Áreas de referência.

Resultantes da pressão (tensão) no solo (Figura 22):

R1A = p . xA . B

R1B = p . xB . A

p

R1A
S1A
xA

Figura 22 – Resultante da pressão no solo.

Momento fletor em cada direção:


2
xA xA
M1A = R 1A ⇒ M1A = p . B
2 2

2
xB xB
M1B = R 1B ⇒ M1B = p . A
2 2

No cálculo da armadura de flexão, embora a seção comprimida A’c seja um trapézio, o
cálculo pode ser feito simplificadamente considerando-se a seção retangular (Figura 23). Se
considerar-se o trapézio deve-se fazer σcd = 0,8 fcd .

A'c

LN

As

Figura 23 – Área de concreto comprimida pela flexão (A’c).

Como na flexão simples, com auxílio dos coeficientes K tabelados:

2
b w d1
Kc = ⇒ na tabela de valores de Kc e Ks encontra-se βx , o domínio e Ks
Md

com bw = A ou B.

Md
As = Ks ≥ As,mín
d1

Simplificadamente também pode-se fazer:

Md
As = ≥ As,mín
0,85d1 . f yd

Nas sapatas de base quadrada, a armadura de flexão pode ser uniformemente distribuída
na largura da sapata.
A armadura deve se estender de face à face e terminar com gancho nas duas
extremidades.

Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado menor (B) deve-se obedecer:

a) quando B ≥ ap + 2h (Figura 24):

2B
A armadura é calculada como sendo: A s
A+B


B Armadura

ap

bp
B

A

Figura 24 – Distribuição de As quando B ≥ ap + 2h.

b) no caso de B < ap + 2h (Figura 25):

A armadura é calculada como sendo: A s
(
2 a p + 2h )
A + a p + 2h
ap + 2h

ap Armadura
bp
B

A

Figura 25 – Distribuição de As quando B < ap + 2h.

2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão

1ºcaso: se a aba de comprimento c superar a altura h, a armadura deve ser ancorada a partir da
seção distante h da face do pilar, e deve se estender até as bordas da sapata (Figura 26). lb é o
comprimento de ancoragem básico, considerado sem gancho.

C>h
h

lb

h

Figura 26 – Ancoragem da armadura quando c > h.


2ºcaso: se o comprimento c da aba for inferior a h, a armadura deve ser totalmente ancorada na
vizinhança imediata da borda da sapata, sendo o comprimento de ancoragem medido a partir da
extremidade retilínea da barra (Figura 27).

C<h

lb

h
Figura 27 – Ancoragem da armadura quando c < h.

2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada

No dimensionamento, a força cortante a ser considerada é calculada numa seção de
referencia S2 , em cada direção da sapata, perpendicular à base de apoio da sapata e distante d/2
da face do pilar em cada direção, como indicado na Figura 28.
A

S2A C2B

S2B
2
d
bp
B

45°

d
ap 2 C2A

N
d
h

d2A
h0

p

C2A
A

Figura 28 – Seções de referência S2A e S2B relativas as duas direções da sapata.


com:
 h − h0 
d 2 A = d 1 −  < 1,5c 2A
 A −ap 
 

 h − h0 
d 2 B = d 1 −  < 1,5c 2 B
 B − bp 
 

No caso de sapata alongada (c > 1,5B) a seção S2 é considerada na face do pilar (Figura
29).
C
B

S 2A na face do pilar

Figura 29 – Seção de referência S2 em sapata alongada (c > 1,5B).

A largura b2A da seção de referência S2A é tomada conforme indicado na Figura 30.

A

45°

ap
b p+ d
b2A
B

bp

S2A

N
d
d2A ≤ 1,5 C2A

d
2 C2A

Figura 30 – Dimensão b2A da seção de referência S2A .


Com relação às dimensões A e B da sapata:

b2A = bp + d

b2B = ap + d

2.5.5 Força Cortante Limite

Na seção de referência S2, a força cortante de cálculo não deve ultrapassar os valores
seguintes:

1,5
Vd,lim = b 2 ⋅ d 2 ρ ⋅ f ck , para fck em kN/cm2;
γC

0,474
Vd ,lim = b 2 ⋅ d 2 ρ ⋅ f ck , para fck em MPa.
γC

com: Vd,lim em kN;
γc = coeficiente de segurança do concreto;
b2 e d2 em cm;
ρ = taxa de armadura longitudinal da seção de referência S2 :

AS
ρ= ≤ 0,01 (não se dispõe de resultados de ensaios com ρ > 1 %);
b2 ⋅ d2

As = área da armadura longitudinal disposta na largura b2 da seção S2 .

Vd,lim pode ser aumentada com o acréscimo de armadura transversal.

Se Vd ≤ Vd,lim não é necessário colocar armadura transversal. Se essa condição não
ocorrer, deve-se aumentar a altura da sapata, de modo a evitar a armadura transversal.

NOTA: se a força cortante atuante for maior que a força cortante limite, uma possibilidade para
resolver o problema é adotar uma nova altura útil para a sapata, tal que:

Vd
d novo = d
Vd ,lim

2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO

A verificação das sapatas à punção se faz conforme o item 19.5 da NBR 6118/03 -
“Dimensionamento de lajes à punção”.
A superfície de ruptura por punção está indicada na Figura 31.

d
tg α = , fazendo α = 27°
x

d d
tg 27 º = → x= ≅ 2d
x 0,51


pilar
superfície de ruptura de
uma laje por efeito de
As- punção

d
α = 25º a 30º x
laje

Figura 31 – Superfície de ruptura de uma laje por efeito de punção.

“O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais
superfícies críticas definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica
(contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão de
compressão diagonal do concreto, através da tensão de cisalhamento.” A Figura 32 ilustra as
superfícies críticas C e C’.

2d 2d 2d

C C C
Borda livre

C'

C'
C'
B. livre

C
2d
B. livre

C'

Figura 32 – Superfícies críticas C e C’.

“Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou da carga
concentrada, deve ser verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à
tração diagonal. Essa verificação também se faz através de uma seção de cisalhamento, no
entorno C’. Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. A
terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for necessário
colocar armadura transversal.”
No estudo aqui apresentado de punção aplicado às sapatas serão apresentados somente os
itens relacionados à dispensa da armadura transversal.
A verificação é feita comparando a tensão de cisalhamento solicitante (τsd) nas superfícies
críticas, com a tensão de cisalhamento resistente (τRd2), dada pela NBR 6118/03 para cada
superfície crítica. Dispensa-se a armadura transversal para a punção quando τSd ≤ τRd2 .


2.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante

2.6.1.1 Pilar Interno com Carregamento Simétrico

A tensão de cisalhamento solicitante é:

FSd
τSd =
u ⋅d

onde:

d=
(d x + d y ) = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’;
2

dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais;
u = perímetro do contorno crítico C’;
u . d = área da superfície crítica;
FSd = força ou reação concentrada, valor de cálculo.

No caso da superfície crítica C, u deve ser trocado por u0 (perímetro do contorno C). A
força de punção FSd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentro
do contorno considerado na verificação, C ou C’ (isso será mostrado no Exemplo 5).

2.6.1.2 Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado

Neste caso, o efeito da assimetria deve ser considerado, e a tensão de cisalhamento
solicitante é:

FSd K ⋅ M Sd
τSd = +
u ⋅ d Wp ⋅ d

sendo:
K = coeficiente que representa a parcela do momento fletor MSd que é transmitida ao pilar
por cisalhamento, dependente da relação C1/C2 (ver Tabela 1);
C1 = dimensão do pilar paralela à excentricidade da força, indicado na Figura 33;
C2 = dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força.

Tabela 1 - Valores de K em função de C1 e C2 .
C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0
K 0,45 0,60 0,70 0,80

Notas: - é permitida interpolação para valores intermediários da Tabela 1;
- quando C1/C2 > 3,0 considera-se K = 0,8.

Wp = módulo de resistência plástica do contorno C’. Pode ser calculado desprezando a
curvatura dos cantos do perímetro crítico por:
u
Wp = ∫ e dl
0
dl = comprimento infinitesimal no perímetro crítico u;


e = distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento
fletor MSd .

2
C1
Wp = + C1 C 2 + 4C 2 d + 16d 2 + 2π d C1 (pilar retangular)
2

Wp = 4r 2 + 16r d + 16d 2 (pilar circular; r = raio)
ou
2
Wp = (D + 4d ) (D = diâmetro)

Nota: para pilares de borda e de canto, ver a NBR 6118/03 (item 19.5).

Msd e1
Msd
e1
Fsd Fsd
C'

≡
c2

e Fsd
dl
c1 2d

Figura 33 – Sapata submetida à força normal e momento fletor.

2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na
Superfície Crítica C
(NBR 6118, 19.5.3.1)

“Esta verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à punção, com ou
sem armadura”.

τSd ≤ τRd2

τRd2 = 0,27αv fcd

 f 
onde α v = 1 − ck  , com fck em MPa.
 250 

A superfície crítica C, corresponde ao contorno do pilar ou da carga concentrada, deve
ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, por meio da tensão de
cisalhamento (Figura 34).
A tensão de cisalhamento solicitante é:
F
τSd = Sd
uo d

com: FSd = força solicitante de cálculo;


uo = perímetro de contorno crítico C;
uo = 2 (ap + bp)
uo d = área da superfície crítica C;
d = altura útil ao longo do contorno crítico C.

ap
C

bp
Fsd

d
τsd

Figura 34 – Tensão de cisalhamento na sapata.

2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos
sem Armadura de Punção
(NBR 6118, 19.5.3.2)

A tensão de cisalhamento resistente na superfície crítica C’deve ser calculada por:

 20  1
τ Rd1 = 0,13 1 +

 (100ρ ⋅ f ck )3
 d 
onde:
ρ = ρx . ρy ;

d=
(d x + d y ) = altura útil em C’(cm);
2
ρ = taxa geométrica de armadura de flexão aderente;
ρx e ρy = taxas de armadura nas duas direções ortogonais;

fck em MPa.

No caso de sapatas de fundação, a tensão de cisalhamento resistente é:

 20  3 2d
τ Rd1 = 0,13 1 +

 100 ρ f ck
 ≤ 0,5f cd 2
 d  a*

fcd2 = resistência de cálculo do concreto à compressão para regiões não fissuradas.

a* ≤ 2d


 f 
f cd 2 = 0,6 1 − ck  f cd (MPa )
 250 

u* = 2ap + 2bp + 2πa*
Superfície C'
(perímetro = u*)

a*
A

ap

d

Figura 35 – Distância a*.

Para pilares com momento fletor solicitante, τSd é:

FSd  
τ Sd =  1 + K M Sd u * 
u*d  W p FSd 
 

2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA
(Exemplo extraído do curso de Lauro Modesto dos Santos - “Edifícios de Concreto Armado”, 1988,
p.11-31 – Escola Politécnica da USP)

Dimensionar uma sapata direta de fundação para um pilar com seção 20 x 75cm, sendo a
taxa admissível do solo ( σsolo ) de 2,5 kgf/cm2 (0,25 MPa), sendo também conhecidos:

Nk = 1.303 kN momentos fletores Mx = My = 0
materiais: concreto C25 , aço CA-50
φl,pil = 20 mm (pilar interno) γc = 1,4

Resolução

Dimensões da sapata (Figura 36), considerando um fator de 1,1 para considerar o peso
próprio da sapata e o solo sobre a sapata:

1,1N k 1,1 ⋅ 1303
Ssap = = = 57.332 cm 2 = 5,7332 m2
σsolo 0,025


Fazendo a sapata com balanços iguais (cA = cB = c), a dimensão do menor lado da sapata
em planta é:

1 1
B= (b p − a p ) + (b p − a p ) 2 + Ssap
2 4

1 1
B= (20 − 75) + (20 − 75) 2 + 57332 = 213,5 cm
2 4

como as dimensões devem ser preferencialmente valores múltiplos de 5 cm, adota-se B como o
múltiplo superior, B = 215 cm. O lado maior da sapata é:

Ssap 57332
A= = = 266,7 cm (adota-se A = 270 cm), e
B 215

Ssap = 270 . 215 = 58.050 cm 2

Os balanços resultam:

A − ap 270 − 75
cA = cB = c = = = 97,5 cm
2 2

A altura da sapata, fazendo como sapata rígida, é:

 A − a p  270 − 75
NBR 6118 → h ≥ 
 3 ≥  ≥ 65 cm
  3

h h
Pelo CEB-70: 0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 com tg β = =
c 97,5

h
0,5 ≤ ≤ 1,5 → 48,8 ≤ h ≤ 146,3 cm
97,5

Para possibilitar a ancoragem da armadura longitudinal do pilar dentro do volume da
sapata, a altura deve ser superior ao comprimento de ancoragem da armadura do pilar:

h ≥ l b,φ,pil

l b,φ,pil = 53 cm (com gancho, região de boa aderência, C25, φ l ,pil = 20 mm)

Adotando h = 90 cm ≥ l bφ,pil = 53 cm, a sapata é rígida.


A
270cm
xA
108,75

97,5
CB
215cm

bp
20
B

97,5
CB
CA ap CA
97,5 75 97,5

0,15 ap = 11,25
h = 90 ≥ 30

d = 85
p

Figura 36 – Dimensões (cm) da sapata e seção de referência S1 .

Para a altura útil pode-se considerar:

d = h – 5 cm → d = 85 cm

Pressão no solo:

1,1N k 1,1 ⋅1303
p= = = 0,0247 kN/cm2
A ⋅ B 270 ⋅ 215

Para aplicar o processo do CEB-70 deve-se verificar:

h 90
≤ c ≤ 2h → ≤ c ≤ 2 ⋅ 90
2 2

45 ≤ c = 97,5 cm ≤ 180 cm → ok!

Cálculo dos momentos fletores nas seções de referência S1A e S1B :

x2A x2
M1A = p ⋅ B ; M1B = p ⋅ A B
2 2
x A = c A + 0,15a p = 97,5 + 0,15 ⋅ 75 = 108,75 cm


x B = c B + 0,15b p = 97,5 + 0,15 ⋅ 20 = 100,5 cm

108,75 2
M1A = 0,0247 . 215 = 31.402 kN.cm
2

100,5 2
M1B = 0,0247 . 270 = 33.679 kN.cm
2

O menor momento fletor deve ser ao menos 20 % do maior:

M1A 31402 1
= = 0,93 > → ok!
M1B 33679 5

A Figura 37 ilustra os momentos fletores solicitantes na sapata.
A = 270
31402
B = 215

MB
MA

33679

S1A
MB = 33679

MA = 31402

Figura 37 – Momentos fletores atuantes na sapata.

Armadura segundo a dimensão A da sapata:

M1A,d = 1,4 . 31402 = 43.963 kN.cm

b d 2 215 . 85 2
kc = = = 35,3
Md 43963

observe que M1A,d atua segundo a dimensão menor da sapata (lado B).

Na tabela de kc e ks resulta: βx = 0,03 (domínio 2) e ks = 0,023.

M1A ,d 43963
A sA = k s = 0,023
d 85

AsA = 11,90 cm2

Armadura segundo a dimensão B da sapata:


M1B,d = 1,4 . 33679 = 47.151 kN.cm

270 . 85 2
kc = = 41,4 ⇒ β x = 0,02, dom. 2, k s = 0,023
47151

M1B,d 47151
A sB = k s 0,023
d 85

AsB = 12,76 cm2

Como opção para o cálculo da armadura tem-se a fórmula simplificada:

M1A ,d 43963
A sA = = = 14,00 cm 2
0,85d . f yd 085 . 85 . 43,48
M1B,d 47151
A sB = = = 15,00 cm 2
0,85d . f yd 0,85 . 85 . 43,48

A escolha das armaduras pode ser feita com auxílio de uma tabela de armadura em laje
(cm /m). É necessário tranformar a armadura em cm2/m:
2

14,00
Na dimensão A: = 6,51 cm2/m (φ 10 mm c/12 cm – 6,67 cm2/m)
2,15

15,00
Na dimensão B: = 5,56 cm2/m (φ 10 mm c/14 cm – 5,71 cm2/m)
2,70

O detalhamento das armaduras está mostrado adiante.

Verificação das forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B, conforme as
dimensões indicadas na Figura 38.
As forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B são:

VA = p B c2A VB = p A c2B

A − ap − d 270 − 75 − 85
c 2A = = = 55 cm
2 2
B − b p − d 215 − 20 − 85
c 2B = = = 55 cm
2 2
VA = 0,0247 . 215 . 55 = 292,1 kN

VB = 0,0247 . 270 . 55 = 366,8 kN

As forças cortantes de cálculo, com γf = 1,4 são:

VA,d = 1,4 . 292,1 = 408,9 kN

VB,d = 1,4 . 366,8 = 513,5 kN


A
270cm

S2A

C2B
42,5 55
S2B

2
d
215cm
B

bp
20
ap d
2 C2A
75 42,5 55

S2A

85
58,8
90

d
d2A
h

h0
30

p = 0,0247

ap d
2
75 42,5 d2A
S2A
20
bp

105
b2A

b2A
42,5
2

S2B
d

b2B
160
Figura 38 – Dimensões e seções de referência S2A e S2B .

Dimensões d2Ae d2B :

 h 90
 = = 30 cm
h0 ≥ 3 3 → adotado h 0 = 30 cm
20 cm



 h − h0 
d 2 A = d 1 −  ≤ 1,5c 2 A
 A − ap 
 

1,5c 2 A = 1,5c 2 B = 1,5 ⋅ 55 = 82,5 cm

 90 − 30 
d 2 A = 85 1 − = 58,8 cm ≤ 82,5 cm → ok!
 270 − 75  

 h − h0 
d 2 B = d 1 −  ≤ 1,5c 2 B
 B − bp 
 

 90 − 30 
d 2 B = 85 1 − = 58,8 cm ≤ 82,5 cm → ok!
 215 − 20  

d 2 B = d 2 A = 44,3 cm ≤ 93,8 cm → ok!

Larguras das seções S2:

b 2 A = b p + d = 20 + 85 = 105 cm

b 2 B = a p + d = 75 + 85 = 160 cm

Forças cortantes limites conforme o CEB-70:

0,474
Vd ,lim = b 2 ⋅ d 2 ⋅ ρ ⋅ f ck
γc

Cálculo das taxas de armadura à flexão (ρ):

A sA 6,67
ρA = = = 0,00113 = 0,113 % ≤ 1 %
100d 2 A 100 ⋅ 58,8
A sB 5,71
ρB = = = 0,000971 = 0,0971 % ≤ 1 %
100d 2 B 100 ⋅ 58,8

0,474
VA,d ,lim = 105 ⋅ 58,8 ⋅ 0,00113 ⋅ 25 = 352,0 kN
1,4

VA,d = 408,9 > VA ,d ,lim = 352,0 kN

0,474
VB,d ,lim = 160 ⋅ 58,8 ⋅ 0,000971 ⋅ 25 = 496,3 kN
1,4

VB,d = 513,5 > VB,d ,lim = 496,3 kN

A força cortante limite sugerida pelo CEB-70 é rigorosa (muito baixa), por isso, para
sapatas rígidas, Machado (1988) sugere o seguinte valor para sapatas isoladas rígidas:


f ck
Vd ,lim = 0,63 b2 d 2
γc

Aplicando ao exemplo:

25
VA,d ,lim = 0,63 105 ⋅ 58,8 = 1.389 kN >> VA,d = 408,9 kN
10 ⋅1,4

Caso se considere apenas o CEB-70, existem soluções, como aumentar o fck , as
dimensões A e B, a altura h, a quantidade de armadura de flexão, etc.

Nota: como a sapata é rígida não é necessário verificar a punção. Entretanto, a NBR 6118
recomenda verificar a tensão na diagonal de compressão (item 19.5.3.1), como mostrado a
seguir.

Verificação da Diagonal Comprimida:

uo = perímetro do pilar (superfície crítica C - Figura 39).

uo = 2 (20 + 75) = 190 cm

FSd = N Sd = γ f ⋅ N = 1,4 ⋅1303 = 1.824 kN
(sem redução da força pela reação contrária da base da sapata)
C
75
20

bp

ap
Figura 39 – Superfície crítica C – contorno do pilar.

Tensão de cisalhamento atuante:

FSd 1824
τSd = = = 0,113 kN/cm2 = 1,13 MPa
u o d 190 ⋅ 85

Tensão de cisalhamento resistente:

 25  2,5
τ Rd , 2 = 0,27α V ⋅ f cd = 0,27 1 −  = 0,43 kN/cm2 = 4,3 MPa
 250  1,4

τSd = 1,13 MPa < τ Rd , 2 = 4,3 MPa

Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas.

Detalhamento (Figura 40)

Como a largura da sapata (B) é próxima do comprimento A, a armadura AsB será
distribuída uniformemente no comprimento A.
Para a armadura de flexão recomenda-se 10 cm ≤ espaçamento ≤ 20 cm.


c = 97,5 cm > h = 90 cm

φ 10 mm, C25, boa aderência, sem gancho: lb = 38 cm.

cnom = 4,0 cm (cobrimento), φl,pil = 20 mm (lb = 75 cm).

lgancho,incl ≥ 38 – [(97,5 – 4,0 – 90) + 20] ≥ 14,5 cm

20

N2 - 19 Ø12,5 C = 285
20
AsB N2 - 19 c/14

(215 - 8)/12 = 17,2
(270 - 8)/14 = 18,7

AsA N1 - 17 c/12

AsB 205
20
20

20 20
AsA 260
20

20
N1 - 17 Ø12,5 C = 340

Øl,pil
97,5

≥ 14
≥ lb Øl, pilar

,5
83

30

h = 90

20 lanc ≥ lb ≥ 38 cm

Figura 40 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.

2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1o) Ver Alonso (1983), pg. 14 (sapata isolada). Dimensionar e detalhar as armaduras de uma
sapata para um pilar de seção 30 x 100 cm, com carga de 3000 kN, com:
σsolo = 0,3 MPa Mx = M y = 0
C25 θl,pilar = 22,5 mm

2o) Resolver o Exercício 1 fazendo o pilar circular com diâmetro de 60 cm, e com a sapata de
base circular.

2.9 MÉTODO DAS BIELAS

O método ou teoria das bielas surgiu após numerosos ensaios realizados por Lebelle
(1936), e se aplica às sapatas rígidas, corridas ou isoladas. A carga é transferida do pilar para a


base da sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que induzem tensões de tração na
base da sapata (Figura 41), que devem ser resistidas por armadura.

Biela de compressão

Armadura necessária para
resistir à força de tração

Figura 41 – Caminhamento da carga do pilar em direção à base da sapata.

Segundo Gerrin (1955), os ensaios mostram que não ocorre ruptura por compressão das
bielas de concreto, e sua verificação pode ser dispensada.
A Figura 42 mostra as forças atuantes na sapata, de acordo com o método das bielas.

P

0

dN
x
y dy
dT y
d0

dT
dx
dT x

dy
pd
x

B A

Figura 42 – Esquema de forças segundo o método das bielas.

Considerando somente a direção x, como se fosse uma sapata corrida (Figura 43), tem-se
as equações:


p

P

(A - ap)
A.d
ds

β≥

d

d 0=
45°

α
As dx

p

A A
2 2
2dP
0
A
d0

dN
d
α

α

dT dT
p d x = dP
x dP
Figura 43 – Forças na direção x da sapata.

dT = dN ⋅ cos α
dP = dN ⋅ sen α

dP dP x
dT = cos α = = p ⋅ dx
sen α tgα d0

A
p 1 p  A2 
Tx = ∫ 2 x ⋅ dx =  − x2 
x d0 2 d0  4




1 p (A − a p )  A 2 
Tx =  − x2 
2 A⋅d  4 



Para x = 0, Tx = Tmáx :

1 P (A − a p ) A 2 P (A − a p )
Tx = → Tx =
2 A A⋅d 4 8 d


De forma análoga para a direção da sapata isolada:

P (B − b p )
Ty =
8 d

A tensão máxima na biela de compressão é obtida das relações:

dN dx
σc = onde d s =
ds sen α

A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas (α = αo) e a tensão máxima
ocorre no ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta:

σc =
P 
1 +
(
A − ap 2 

)
2
ap  4 − d0 
 

A Figura 44 mostra as armaduras de flexão da sapata, conforme o método das bielas.
A

y

ap

x
P
bp
B

Asy ou AsB

1
d ≥ 2 (B - bp)
P
d ≥ 2 (A - ap)
h

1

Asx ou AsA

Figura 44 – Armaduras de flexão da sapata.

As armaduras são:

Txd Tyd
A sx = A sA = ; A sy = A sB =
f yd f yd

Levando-se em consideração as duas direções, a tensão máxima na biela é:


 
 ( ) (
2
)
2 
σ c,máx =
p 1 + A − a p + B − b p 
λ ⋅ a p ⋅ bp   1  2
2 
 4  d0 

 1− λ  


ap bP
Onde λ = = (áreas hometéticas).
A B

No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas:

   
2

p  1  A−a  
p
σ c,máx = 1 +   
λ ⋅A ⋅ap  2  1
  d0  

  1− λ   

2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida

Calcular as armaduras de flexão da sapata do Exemplo 1 pela “Teoria ou Método das
Bielas”.

Resolução

Verificação do ângulo β:

d 85 85
tg β = = = = 0,8718 → β = 41,1º < 45º → não ok!
1 1 97,5
(A − a p ) (270 − 75)
2 2

portanto, a altura útil da sapata deve ser aumentada para um valor igual ou superior a 97,5 cm, de
modo a resultar um ângulo β igual ou superior a 45°. Considerando h = 105 cm e d = 100 cm
tem-se:

100
tg β = = 1,0256 → β = 45,7 º ≥ 45º → ok!
97,5

Forças de tração:

P (A − a p ) 1,1 ⋅1303 (270 − 75)
Tx = = ⋅ = 349,4 kN
8 d 8 100

P (B − b p ) 1,1 ⋅1303 (270 − 75)
Ty = = ⋅ = 349,4 kN
8 d 8 100

1,4 ⋅ 349,4
A sx = A sA = = 11,25 cm2 = Asy = AsB
50
1,15


A NBR 6118 recomenda verificar a tensão na diagonal comprimida (item 19.5.3.1), como
feito no Exemplo 1, porém, para as sapatas rígidas com ângulo β igual ou superior a 45°, não
deve ocorrer esmagamento da diagonal comprimida.

2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS

Excentricidades nas sapatas podem ser causadas pela existência de momentos fletores ou
força horizontal no pilar, como também pela carga vertical, quando aplicada fora do centro de
gravidade da base da sapata, como as sapatas de divisa (Figura 45).

M
e
divisa

H
N N

MA

HA N
MB

N

B

A
HB

Figura 45 – Sapatas isoladas sob ações excêntricas.

2.10.1 Excentricidade em Uma Direção

a) Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia (Figura 46)

A
Ocorre quando e < . Tem-se:
6


e
N M⋅y
N σ= ±
A⋅B I

N 6e
σmín σ máx = (1 + )
A⋅B A
σmáx
N 6e
σ máx = (1 − )
A⋅B A
A

6
B
B

A N
núcleo 6

Figura 46 – Ponto de aplicação da força dentro do
núcleo central de inércia.

A
b) Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central (e = ) (Figura 47)
6

A
N
σ máx = 2
A⋅B
A
6

N

σmáx

Figura 47 – Ponto de aplicação da força no
limite do núcleo central.

A
c) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central (e > ) (Figura 48)
6

Parte da base da sapata (e solo) fica sob tensões de tração (σmín < 0). Neste caso, um novo
diagrama triangular é adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do triângulo
coincidente com o limite do novo núcleo central. A tensão de compressão máxima aumenta para:


A
2N
σ máx =
A A 
6 3B  − e 
B
2 

N
e

σmín LN

σmáx, 1

3(A/2 - e)
A0

σmáx
LN

A0
6

Figura 48 – Ponto de aplicação da força fora
do núcleo central.

2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções

A Figura 49 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duas
direções.
A

y
N
eB

x
B

eA

Figura 49 – Sapata com excentricidade nas duas direções.

O equilíbrio é obtido com as pressões atuando em apenas uma parte da área da base da
sapata, e:
N M ⋅y M ⋅x
σ= ± B ± A
A⋅B I I


MB MA

HB HA
N N

B A

Figura 50 – Forças e momentos fletores atuantes na sapata.

M A ' base = M A + H A ⋅ h , M B' base = M B + H B ⋅ h

MA MB
eA = , eB =
N N

eA eB 1
a) Quando + ≤ (Figura 51)
A B 6

A

y
N
eB

CG x
B

eA

x
σ má

n
σ mí

eA eB 1
Figura 51 – Tensões na sapata para + ≤ .
A B 6

N  6e A 6e B 
σ máx = 1+ +
A⋅B  A B 
N  6e A 6e B 
σ min = 1− −
A⋅B  A B 
(toda seção seta comprimida)


eA eB 1
b) Quando + > (Figura 52)
A B 6

seção
comprimida
3 y 1
N

eB
B
eA
α
x
4 A 2 x
σ má

n
σ mí
eA eB 1
Figura 52 – Tensões na sapata para + > .
A B 6

N
σ máx = σ1 =
K1 ⋅ A ⋅ B

σmín = σ4 = K4 σ1 (fictício, não considerado)

σmín = σ4 < 0

K1 e K4 são determinadas no ábaco mostrado na Figura 53.
Num ponto qualquer de coordenadas (x, y) a tensão é:

x y B 
+  tg α 
A B A 
σ mín = σ 4 + (σ1 − σ 4 )
B
1 + tg α
A


Figura 53 – Ábaco para determinação das tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas
para ação com dupla excentricidade (Montoya, 1973).


Notas:
- Em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento mais
desfavorável, σ máx = 1,3 σsolo ;
- Para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramente
comprimida, isto é:

e A ,g e B, g 1
+ ≤ (G = peso próprio e solo sobre a sapata - Figura 54).
A B 6

Gs1 Gs2

Gb1 Gb2

Figura 54 – Forças representativas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.

- Para garantir a segurança contra tombamento da sapata, na condição mais desfavorável, pelo
menos a metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo:

2 2
 eA   eB  1
  +  ≤
A B 9

2.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor
(Exemplo extraído de Newton C. P. Ferro, Notas de Aula, 2005, Departamento de Engenharia Civil,
UNESP – Bauru/SP)

Para um pilar de 20 x 60 cm submetido a uma força de compressão de 820 kN e um
momento fletor atuando em torno do eixo paralelo ao menor lado do pilar de 6200 kN.cm,
dimensionar a fundação em sapata isolada, sendo conhecidos:

concreto C25, aço CA-50, σsolo = 0,022 kN/cm² (0,22 MPa), armadura do pilar: 10 φ 12,5 mm.

Resolução

1) Calculo das dimensões (em planta) da sapata, sem considerar o efeito do momento fletor.

Área do apoio da sapata:

1,1N 1,1 ⋅ 820
Ssap = = = 41.000 cm2
σsolo 0,022

Dimensão em planta da sapata, com abas (balanços - c) iguais nas duas direções:

1 1 1
B= (bp − a p + ) (
bp − a p )2 + Ssap = (20 − 60) + 1 (20 − 60)2 + 41000 = 183,5 cm
2 4 2 4

adotando um valor múltiplo de 5 cm: B = 185 cm.


A – ap = B – bp

A = ap – bp + B = 60 – 20 + 185 = 225 cm

Tensões na base da sapata (Figura 55):

N M⋅y
σ= ±
A⋅B I

A B ⋅ A3
y= ; I=
2 12

M 6200
e= = = 6,9 cm
1,1N 1,1 ⋅ 820

A 225
= = 37,5 cm
6 6

A
e = 6,9 < = 37,5 cm → a força está aplicada dentro do núcleo central de inércia.
6

1,1 ⋅ 820  6 ⋅ 6,9  2
σ máx = 1 +  = 0,0257 kN/cm > σ solo = 0,022 ∴ não ok!
225 ⋅185  225 

Aumentando a seção da base da sapata para:

A = 240 cm ; B = 200 cm

Obedecendo:

A − B = a p − bp → 240 – 200 = 60 – 20

A tensão máxima passa a ser : σmáx = 0,022 kN/cm2 = σ solo → ok!

1,1 ⋅ 820 6 ⋅ 6,9
σ mín = (1 − ) = 0,0156 kN/cm2 > 0 (como esperado!)
240 ⋅ 200 240


M
60

185
20
225

M

N

1,1N
AB

My
I

0,0156
0,0220

Figura 55 – Dimensões da sapata e esquema da reação do solo.

2) Altura da sapata

Fazendo como sapata rígida, conforme o CEB-70:

A − ap 240 − 60
0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 → c = = = 90 cm
2 2

h
0,5 ≤ ≤ 1,5 → 45 ≤ h ≤ 135 cm
90

Pelo critério da NBR 6118/03:

A − ap 240 − 60
h≥ ≥ ≥ 60 cm
3 3

É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de ancoragem
da armadura longitudinal do pilar (10 φ 12,5 mm): considerando situação de boa aderência, com
gacho, C25, CA-50 (nervurado): lb = 33 cm.

Adotado h = 60 cm > lb = 33 cm (sapata rígida)

3) Cálculo dos momentos fletores e forças cortantes segundo o CEB-70


h 60
Verificação: ≤ c ≤ 2h → ≤ c ≤ 2 ⋅ 60
2 2

30 ≤ c = 90 ≤ 120 cm → ok!

Momentos fletores nas seções de referência S1 (Figura 56):

A
240cm

CB
90
200cm

bp
20
B

CB
90 99

CA ap CA
0,01936
90 60 90 0,022
P1A
0,15 ap = 9

1,917

0,131
xa 66 33
99 49,5 49,5
55
60

d
h

S1A

0,0156
P1A 0,022
KN
cm²

Figura 56 – Seção de referência S1A .

Dimensão A:

p1A = 0,022 −
(0,022 − 0,0156) 99 = 0,01936 kN/cm2 (ver Figura 56)
240

M1A = (1,917 ⋅ 49,5 + 0,132 ⋅ 66) 200 = 20.708 kN.cm

Dimensão B (considerando a pressão média e diagrama retangular – ver Figura 57):

0,022 + 0,0156
p méd = = 0,0188 kN/cm2
2

x2B (90 + 0,15 ⋅ 20) 2
M1B = p⋅A = 0,0188 ⋅ 240 = 19.512 kN.cm
2 2

Armaduras de flexão:


1,4 ⋅ 20708
A sA = = 14,26 cm2
0,85 ⋅ 55 ⋅ 43,5

14,26
100 = 7,13 cm2/m → φ 10 mm c/11 cm (7,27 cm2/m)
200
1,4 ⋅19512
A sB = = 13,43 cm2
0,85 ⋅ 55 ⋅ 43,5

13,43
100 = 5,60 cm2/m → φ 10 mm c/14 cm (5,71 cm2/m)
240

13,43 1
Nota-se que: = 0,94 ≥ → ok!
14,26 5

0,0156

0,0188
(valor médio)
S2
B

S 2A 0,022
0,0156

p2
A
=0
,02 0,022
03

Figura 57 – Esquema de reações do solo na base da sapata.

Forças cortantes nas seções de referência S2 (Figura 58):

A − ap − d 240 − 60 − 55
c 2A = = = 62,5 cm
2 2

B − bp − d 200 − 20 − 55
c 2B = = = 62,5 cm
2 2

 h 60
 = = 20 cm
h0 ≥ 3 3 → adotado h 0 = 25 cm
20 cm



A
240cm

S2A

C2B
27,5 62,5
S2B

2
200cm

d
B

b2A
bp
20
ap d 2 C2A
60 27,5 62,5

S2A

d2A

55
60

d
h

h0
25

0,0156
0,022 KN cm²

P2A = 0,0203

Figura 58 – Seção de referência S2A .

 h − h0 
d 2 A = d 1 −  ≤ 1,5c 2 A
 A − ap 
 

1,5c 2 A = 1,5c 2 B = 1,5 ⋅ 62,5 = 93,8 cm

 60 − 25 
d 2 A = 55 1 − = 44,3 cm
 240 − 60  

d 2 A = 44,3 cm ≤ 93,8 cm → ok!

 h − h0 
d 2 B = d 1 −  ≤ 1,5c 2 B
 B − bp 
 

 60 − 25 
d 2 B = 55 1 − ≤ 1,5c 2 B
 200 − 20  

d 2 B = d 2 A = 44,3 cm ≤ 93,8 cm → ok!


Larguras b2A e b2B :

b 2 A = b p + d = 20 + 55 = 75 cm

b 2B = a p + d = 60 + 55 = 115 cm

 0,0220 + 0,0203 
VA = p méd B c 2 A =   200 ⋅ 62,5 = 264,4 kN
 2 

VdA = 1,4 ⋅ 264,4 = 370,1 kN

VB na seção S2B :

 0,022 + 0,0156 
VB = p méd A c 2 B =   240 ⋅ 62,5 = 282,0 kN
 2 

VdB = 1,4 ⋅ 282,0 = 394,8 kN

Força cortante limite (CEB-70):

0,474
Vd ,lim = b 2 ⋅ d 2 ⋅ ρ ⋅ f ck
γc

A sA 7,27
ρA = = = 0,00164
100d 2 A 100 ⋅ 44,3

A sB 5,71
ρB = = = 0,00129
100d 2 B 100 ⋅ 44,3

0,474
VdA,lim = 75 ⋅ 44,3 ⋅ 0,00164 ⋅ 25 = 227,9 kN
1,4

VdA = 370,1 > VdA,lim = 227,9 kN

0,474
VdB,lim = 115 ⋅ 44,3 ⋅ 0,00129 ⋅ 25 = 309,6 kN
1,4

VdB = 394,1 > VdB,lim = 309,6 kN

Como as forças cortantes solicitantes são maiores que os valores limites, é necessário
colocar armadura transversal, pelo menos segundo o CEB-70. Se forem considerados os limites
sugeridos por Machado (1988) para sapata rígida:

f ck
Vd ,lim = 0,63 b2 d 2
γc


0,63 25
VdA,lim = ⋅ 75 ⋅ 44,3 = 747,6 kN
1,4 10

VdA = 370,1 < VdA,lim = 747,6 kN → ok!

0,63 25
VdB,lim = ⋅ 115 ⋅ 44,3 = 1.146,3 kN
1,4 10

VdB = 394,8 < VdB,lim = 1.146,3 kN → ok!

com esses limites não é necessário colocar armadura transversal.

Verificação da diagonal comprimida:

u o = 2(20 + 60) = 160 cm (Figura 59)

60
bp 20
ap
Figura 59 – Perímetro do pilar – superfície crítica C.

FSd = N Sd = γ f ⋅ N = 1,4 ⋅ 820 = 1.148 kN

F 1148
τSd = Sd = = 0,1305 kN/cm2 = 1,305 MPa
u o d 160 ⋅ 55


 25  2,5
τ Rd , 2 = 0,27α v f cd = 0,27 1 −  = 0,43 kN/cm2 = 4,3 MPa
 250  1,4

τSd = 1,305 MPa < τ Rd , 2 = 4,3 MPa

Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas.

Detalhamento (Figura 60)

As armaduras serão distribuídas uniformemente nas direções A e B, pois A ≅ B. Para a
armadura de flexão recomenda-se 10 cm ≤ espaçamento ≤ 20 cm.
Comprimento dos ganchos das armaduras de flexão, considerando: φ 10 mm, C25, boa
aderência, sem gancho: lb = 38 cm.

Comprimento de ancoragem existente na horizontal e na extremidade da barra (ver Figura
60):
90 − 4 − 60 = 26 cm


Portanto, o comprimento do gancho na vertical deve ser:

ℓgancho = 38 – 26 = 12 cm ≈ 15 cm

Tem-se também os valores: cnom = 4,0 cm, lφ,pilar = 33 cm.

15

N2 - 16 Ø10 C = 220
N2 - 16 c/14

N1 - 17 c/11

190
15
230
15

15
N1 - 17 Ø10 C = 260

Øl , pilar
90
≥ lb Ø l , pilar
54

60
25
h
16 Ø10 60
17 Ø10
c/ 11
12

90 - 4 - 60 = 26cm
}
}

c h

Figura 60 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.

2.12 EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA
(Exemplo de Edja L. Silva, Dissertação de Mestrado, 1988, EESC-USP, São Carlos/SP)

Dimensionar a sapata isolada de um pilar considerando:

- seção do pilar: 40 x 60 cm ; φl,pilar = 22 φ 20 mm, sendo parte tracionada;
- N = 1.040 kN;
- concreto C20; aço CA-50; cnom = 4,5 cm
- σ solo = 500 kN/m2;
- momentos fletores: Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m

Resolução

a) Estimativa das dimensões da sapata


1,1 N 1,1 ⋅1040
Ssap = = = 2,288 m 2
σ solo 500

Fazendo abas (balanços) iguais: cA = cB = c:

1 1
B=
2
(
bp − a p +
4
) (
bp − a p )2 + Ssap

1
B= (0,4 − 0,6) + 1 (0,4 − 0,6 )2 + 2,288 = 1,42 m
2 4

adotado B = 1,40 m

Ssap 2,288
A= = = 1,63 m → adotado A = 1,60 m
B 1,40

b) Verificação das tensões na base da sapata

Excentricidades da força vertical (Figura 61):

A
160cm

y
My
N
60
140cm

x N
B

40

Mx

N

Figura 61 – Dimensões e esforços solicitantes na sapata.

N = 1.040 kN ; Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m

280
ex = = 0,270 m = 27 cm
1040

190
ey = = 0,183 m = 18,3 cm
1040


Cálculo da tensão máxima σ1 com auxílio do ábaco (ver Figura 53):

e x 27,0
ηx = = = 0,17
A 160
→ ábaco (Figura 53) → λ1 = 0,34, zona C
ey 18,3
ηy = = = 0,13
B 140

FV
σ1 = ≤ 1,3σ solo ≤ 1,3 ⋅ 500 = 650 kN/m2
λ1 ⋅ A ⋅ B

1,1 ⋅1040
σ1 = = 1.502 kN/m2 >> 1,3σsolo = 650 kN/m2 → não ok!
0,34 ⋅1,6 ⋅1,4

As dimensões da sapata devem ser aumentadas!

Nova tentativa com A = 220 cm e B = 200 cm (cA = cB = c = 80 cm):

27,0
ηx = = 0,12
220

18,3
ηy = = 0,09
200

Verifica-se que:

ex ey 1
+ = η x + η y = 0,21 > (há tração na base)
A B 6

no ábaco (Figura 53): λ1 = 0,44, α = 36°, λ4 = 0,10 e zona C.

Tensões nos vértices da sapata (Figura 62):

1,1.1040
σ1 = = 591 kN/m2 < 1,3σsolo = 650 kN/m2 → ok!
0,44 . 2,2 . 2.0

σ4 = −λ 4 σ1 = − 0,10 . 591 = − 59,1 kN/m2 (fictícia)

sen α sen 36°
σ 2 = σ1 − (σ1 − σ 4 ) = 591 − (591 + 59,1)
sen α + sen α sen 36° + cos 36°

σ2 = 317,4 kN/m2

sen α sen 36°
σ 3 = σ1 − (σ1 − σ 4 ) = 591 − (591 + 59,1)
sen α + sen α sen 36° + cos 36°

σ3 = 214,5 kN/m2


215

591

-59
LN

317

Figura 62 – Tensões nos vértices da sapata.

c) Verificação do tombamento da sapata

2 2
 ex   ey  1 2 2 1
  +  ≤ ⇒ ηx + ηy ≤ ≤ 0,111
A B 9 9

0,12 2 + 0,09 2 = 0,023 < 0,111 → ok!

Deve ainda ser verificada a equação:

e x ,g e y ,g 1
+ ≤
A B 6

d) Determinação da altura (sapata rígida)

Pelo critério do CEB-70:

h
0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 → 0,5 ≤ ≤ 1,5 → 40 ≤ h ≤ 120 cm
80

Pela NBR 6118/03:

(A − ap) (220 − 60)
h≥ ≥ ≥ 53,3 cm
3 3

Para a armadura do pilar (22 φ 20 mm) será utilizado o gancho a fim de diminuir o
comprimento de ancoragem e a altura necessária para a sapata. Para φ 20, C20, boa aderência,
com gancho, resulta lb = 61 cm, e, considerando a distância do gancho à base da sapata = 7 cm:

h ≥ 61 + 7 cm ≥ 68 cm


Será adotado h = 75 cm, d = 75 – 5 = 70 cm.

 h 75
 = = 25 cm
ho ≥ 3 3 → adotado h o = 35 cm
20cm


e) Determinação dos esforços solicitantes conforme o CEB-70

h 75
Verificação: ≤ c ≤ 2h → ≤ 80 ≤ 2 ⋅ 75
2 2

37,5 ≤ c = 80 ≤ 150 cm → ok!

e1) Momentos fletores nas seções de referência S1 (Figura 63)

Para simplificação pode-se admitir uma tensão uniforme de referência como:

2
 σ
σ ref ≥  3 máx
σ méd

215

403
439
97
E
S 591
1B

F
G

H
3
-59 47

302
xB
A 86
S 1A
A= C 4
22 45 00
0 165 B B =2
xA D
89 317

Figura 63 – Tensões na base da sapata e seções de referência S1 .

Como simplificação a favor da segurança será considerada a maior tensão entre aquelas
na metade dos lados A e B.

2
x 0,89 2
Dimensão A (S1A): M A = p ⋅ B ⋅ A = 454,0 ⋅ 2,0
2 2


591 + 317
p= = 454,0 kN/m2
2

MA = 359,61 kN.m = 35.961 kN.cm

MA,d = 1,4 . 35961 = 50.346 kN.cm

2
xB 0,86 2
Dimensão B (S1B): M B = p ⋅ A = 403,0 ⋅ 2,2 ⋅
2 2

591 + 215
p= = 403,0 kN/m2
2

MB = 327,86 kN.m = 32.786 kN.cm

MB,d = 1,4 . 32786 = 45.901 kN.cm

e2) Forças cortantes na seção S 2 (Figura 64)

2 15

3
15

S
2B 51 4
E 591
F
G

H
- 59
C 2B
9 45
52
0
24 S 2A
A=
22 A
2 00
0 C B B=
C D
45 2A 317

Figura 64 – Seções de referência S2 .

A − ap − d 220 − 60 − 70
c 2A = = = 45 cm
2 2

B − bp − d 200 − 40 − 70
cB = = = 45 cm
2 2

As forças cortantes nas direções A e B da sapata são os volumes mostrados na figura. A
força VA por exemplo é o volume da figura compreendida entre as áreas ABCD e EFGH.


240 + 317 + 514 + 591
VA = 0,45 ⋅ 2,0 = 374 ,0 kN
4

153 + 215 + 529 + 591
VB = 0,45 ⋅ 2,2 = 368,3 kN
4

Valores de cálculo:

VA,d = 1,4 . 374,0 = 523,6 kN

VB,d = 1,4 . 368,3 = 515,6 kN

Tarefa: Fazer os demais cálculos, verificações e o detalhamento final das armaduras.

2.13 SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA

Sapatas flexíveis são aquelas onde:

(A - a p )
h< − segundo o critério da NBR 6118/03;
3

tg β < 0,5 – segundo o critério do CEB-70.

São menos utilizadas que as sapatas rígidas, sendo indicadas para cargas baixas e solos
relativamente fracos (NBR 6118, item 22.4 2.3). A verificação da punção é obrigatória.
Os momentos fletores podem ser calculados em cada direção segundo quinhões de carga,
determinados geometricamente, repartindo-se a área da sapata em “áreas de influência”. O
mesmo critério é adotado para cálculo das forças cortantes. As áreas podem ser retangulares,
triangulares ou trapezoidais (Figura 65):

A1 A1 A1
1 1
A2 A2
N
2

2 2 2 2
N N N
2 4 4

A4 A4
A2
1 A3 A3 1

Figura 65 – Áreas relativas aos quinhões de carga: retangular, triangular e trapezoidal.

Os momentos fletores calculados com área triangular e trapezoidal são praticamente
idênticos, e com área retangular são exagerados.

a) Área triangular

N  A  N  ap 
MA =  -  
43 4  3 
 


N
MA = (A - a p )
12
A
3

bp
B
ap N
4

A

Figura 66 – Quinhões de carga por área triangular.

1 1
VA = p (B + b p ) (A - a p )
2 2

N  bp   ap 
VA = 1 −  1 − 
4 B


 A


onde: N = força vertical aplicada pelo pilar na sapata;
p = reação do solo na base da sapata.

Na outra direção:

N
MB = (B - b p )
12

N  bp   ap 
VB = 1 −  1 − 
4 B


 A


b) Área de trapézio
ap
2
1

2 2
bp
B

ap N
4

1
xCG
A

Figura 67 – Quinhões de carga por área trapezoidal.


A carga N/4 é aplicada no centro de gravidade do trapézio, com:

 A - ap   2B + b p 
x CG =   
 6    B + bp 
   

Os momentos fletores no centro da sapata são:

N  A − a p 2B + b p  a p 
MA =  + 
4  6


B + bp  6  

N  B − b p 2A + a p  b p 
MB =  + 
4  6
 A + ap  6 
 

As forças cortantes nas seções 1 e 2 são:

N  bp   ap 
VA = 1 − 
 1 − 
4 B 
 A


N  bp   ap 
VB = 1 −  1 − 
4 B


 A


2.14 VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO
bW ≥ 5d

A força cortante nas sapatas pode ser verificada como nas lajes quando bw ≥ 5d (NBR
6118, item 19.4). As lajes não necessitam de armadura transversal à força cortante quando:

VSd ≤ VRd1

(bw = largura da sapata na direção considerada)

com:
VRd1 = [ τ Rd k (1,2 + 40 ρ1 ) + 0,15 σ cp ] b w d

onde: τRd = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento;
k = coeficiente igual a 1 para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o
apoio; para os demais casos k = | 1,6 – d | > 1, com d em metros;

A s1
ρ1 = ≤ 0,02
bw d

N Sd
σ cp =
Ac

NSd = força longitudinal na seção derivada à protenção ou carregamento (compressão
positiva);


As1 = área da armadura de flexão que se estende pelo menos d + lb,nec além da seção
considerada.

2.15 EXEMPLO 5 – Sapata Flexível

Resolver a sapata do Exemplo 3 como sapata flexível.

Resolução

A sapata foi resolvida como rígida, com h = 60 cm. Pelo critério da NBR 6118 a sapata
será flexível se h < 60 cm. Como a armadura principal do pilar tem lb = 33 cm, deve-se atender
esse valor. A sapata será flexível adotando:

h = 55 cm e d = 50 cm > lb = 33 cm

a) Momentos fletores e forças cortantes

a.1) Área por triângulos (Figura 68)
As fórmulas desenvolvidas são para sapata com carga centrada. Para aplicação neste
exemplo, onde ocorre momento fletor e a pressão na base não é unifforme, é necessário adotar
um critério para uniformizar a pressão. Um critério é:

0,8σ máx = 0,8 ⋅ 0,022 = 0,0176

p = σ base ≥  σ máx + σ mín 0,022 + 0,0156
 = = 0,0188
 2 2

p = σbase = 0,0188 kN/cm2
A
3
200

bp
20
B

ap N
4
60

A
240

0,0156
0,022 KN cm²

p = 0,0188

Figura 68 – Área de um triangulo, dimensões da sapata e reação do solo.


Com p pode-se determinar N:

N
p= → N = p ⋅ A ⋅ B = 0,0188 ⋅ 240 ⋅ 200
A⋅B

N = 902,4 kN (já majorado em 1,1)

N 902,4
MA = (A − a p ) = (240 − 60) = 13.536 kN.cm
12 12

Esse momento representa 65 % do momento fletor M1A calculado segundo o CEB-70.

N 902,4
MB = (B − b p ) = (200 − 20) = 13.536 kN.cm
12 12

Tarefa: se para o cálculo de M1B (CEB-70) também foi utilizada a pressão média, por que os
momentos fletores tem uma diferença de 30 %?

Forças cortantes:

N  b p   a p  902,4  20   60 
VA = 1 −  ⋅ 1 −  =
    1 −  ⋅ 1 − 
4 B  A 4  200   240 

VA = VB = 152,3 kN

a.2) Área por trapézios (Figura 69)

A
240
200

bp
20
B

ap
60

KN
pméd = 0,0188 cm²

B
Figura 69 – Área de um trapézio e reação do solo.

N  bp   a p 
VA = VB = 1 −  ⋅ 1 −  = 152,3 kN (igual à área por triângulos)
4 B 

 A



N  A − a p   2B + b p  a p 
MA =  ⋅ + 
4  6   B + b p  6 
    

902,4  240 − 60   2 ⋅ 200 + 20  60 
MA =  ⋅ + 
4  6   200 + 20  6 

MA = 15.177 kN.cm

N  B − b p   2A + a p  b p 
MA =  ⋅ + 
4  6   A + a p  6 
    

902,4  200 − 20   2 ⋅ 240 + 60  20 
MA =  ⋅ + 
4  6   240 + 60  6 

MB = 12.934 kN.cm

MB
B

MA
A
Figura 70 – Indicação dos momentos fletores solicitantes.

b) Armadura de flexão

Adotando os momentos fletores calculados para as áreas de trapézios, tem-se:

Md 1,4 ⋅15117
A sA = = = 11,49 cm 2 → contra 14,26 cm2 do Exemplo 3
0,85d ⋅ f yd 0,85 ⋅ 50 ⋅ 43,5

1,4 ⋅12934
A sB = = 9,79 cm 2 → contra 13,43 cm2 do Exemplo 3
0,85 ⋅ 50 ⋅ 43,5

A NBR 6118/03 não prescreve armadura mínima para sapata, porém, para as sapatas
flexíveis pode-se considerar:

A s ,mín = 0,10 % ⋅ b ⋅ d

A sA ,mín = 0,0010 ⋅ 200 ⋅ 50 = 10,00 cm 2

A sB,mín = 0,0010 ⋅ 240 ⋅ 50 = 12,00 cm 2

Portanto:

A sA = 11,49 cm 2 (5,75 cm2/m → φ 10 mm c/14 cm = 5,71 cm2/m)


A sB = 12,00 cm 2 (5,00 cm2/m → φ 10 mm c/16 cm = 5,00 cm2/m)

5,71
ρA = = 0,00114
100 ⋅ 50

5,00
ρB = = 0,00100
100 ⋅ 50

c) Verificação da punção

c1)Verificação da superfície crítica C’ (Figura 71)

A
240
C'
200
B

C

a*
a*

Figura 71 – Superfície critica C’ e distância a*.

cB = cA = 90 cm

2d = 2 . 50 = 100 cm > cB e cA

Portanto a* = cB = cA = 90 cm

Adotar 2d para a*; se 2d > cA ou cB , adotar para a* o menor entre cA e cB .

Tensão de cisalhamento solicitante (τSd) para sapata com um momento fletor externo
solicitante:
F M
τSd = Sd + K Sd
u* d Wp d

Área limitada pelo contorno C’:
2
A cont ,C ' = a p ⋅ b p + 2a * a p + 2a * b p + π(a *)

2
A cont ,C' = 60 ⋅ 20 + 2 ⋅ 90 ⋅ 60 + 2 ⋅ 90 ⋅ 20 + π(90 )

Acont, C’ = 41.046 cm2

Pressão média na base da sapata:


0,0156 + 0,022
p méd = = 0,0188 kN/cm2
2

Força na área Acont, C’ devido à reação do solo:

 0,0188 
∆FSd = γ f (p médio ⋅ A cont ,C ' ) = 1,4  41046 
 1,1 

1,1 é para não considerar o solo sobre a sapata.

FSd = 982,0 kN

Força sobre a sapata reduzida da reação do solo:

FSd,red = FSd - FSd

FSd ,red = 1,4 ⋅ 820 − 982 = 165,9 kN

Perímetro u* do contorno C’:

u* = 2a p + 2 b b + 2 π a *
u* = 2 ⋅ 60 + 2 ⋅ 20 + 2π ⋅ 90
u* = 725,5 cm

Parâmetro K:

e1 Msd
N
C1
bp

C1
ap
Figura 72 – Parâmetros C1 e C2 .

C1
C1 = ap = 60 cm =3 → na Tabela 1, K = 0,80
C2
C2 = bp = 20 cm

2
C
Wp = 1 + C1 ⋅ C 2 + 4C 2 ⋅ d + 16d 2 + 2π ⋅ d ⋅ C1 (sapata retangular)
2

com d = a*:

60 2
Wp = + 60 ⋅ 20 + 4 ⋅ 20 ⋅ 90 + 16 ⋅ 90 2 + 2π ⋅ 90 ⋅ 60
2


Wp = 173.728 cm2

165,9 0,8(1,4 ⋅ 6200)
τSd = +
725,5 ⋅ 20 173728 ⋅ 20

onde d = h0 – 5 = 25 – 5 = 20 cm (d é a altura útil em C’)

τSd = 0,0134 kN/cm2 = 0,134 MPa

Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’:

 20  2d
τ Rd1 = 0,13 1 +

 3 100ρ f ck ≤ 0,5f cd 2
 d  a*

 20  3 2 ⋅ 20
τ Rd1 = 0,13 1 +

 100 ⋅ 0,001 ⋅ 25 (utiliza-se o menor ρ1)
 20 
 90

τRd1 = 0,157 MPa = 0,0157 kN/cm2

  f 
0,5f cd 2 = 0,5 0,6 1 − ck  f cd
  250 

  25  2,5
0,5f cd 2 = 0,5 0,6 1 − 
  250  1,4

0,5 fcd2 = 0,482 kN/cm2 = 4,82 MPa

τRd1 = 0,187 MPa < 0,5 fcd2 = 4,82 MPa → ok!

Não é necessário colocar armadura para punção, pois:

τSd = 0,134 MPa < τRd1 = 0,157 MPa

Quando ocorre a necessidade geralmente aumenta-se a altura da sapata para eliminar tal
necessidade a fim de simplificar a execução da sapata.

c2) Verificação da superfície crítica C

Não ocorrendo punção na superfície crítica C’, dificilmente ocorrerá problema na
superfície C.

3. SAPATA CORRIDA

Sapata corrida é aquela destinada a receber cargas lineares distribuídas, possuindo por
isso uma dimensão preponderante em relação às demais. Assim como as sapatas isoladas, as
sapatas corridas são classificadas em rígidas ou flexíveis, conforme o critério da NBR 6118/03 já
apresentado.
Como as bielas de compressão são íngremes, surgem tensões de aderência elevadas na
armadura principal As , que provocam o risco de ruptura da aderência e ruptura do concreto de


cobrimento por fendilhamento, que pode ser evitada com diâmetro menores para as barras e
espaçamentos menores.
Nas sapatas corridas flexíveis, especialmente, a ruptura por punção deve ser
obrigatoriamente verificada.

fissura

armadura
secundária

45°
biela As
comprida (principal)
Figura 73 – Armaduras, biela de compressão e fissuração na sapata corrida.

Recomenda-se adotar para a altura:

h ≥ 15 cm (nas sapatas retangulares)

h
ho ≥ 10 / 15 cm

h0
h

Figura 74 – Altura h da sapata corrida.

A distribuição de pressão no solo depende principalmente da rigidez da sapata e do tipo
de solo. No cálculo prático são adotados diagramas simplificados, como os indicados na Figura
75:

A) N B) N C) N

Figura 75 – Distribuição de pressão no solo.

A indicação de Guerrin (1967) é:

a) solos rochosos
- sapata rígida: diagrama bi triangular (a);
- sapata flexível: diagrama retangular (b);


b) solos coesivos: diagrama retangular (b) em todos os casos;

c) solos arenosos
- sapata rígida: diagrama retangular (b);
- sapata flexível: diagrama triangular (c).

3.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME

As sapatas corridas rígidas são utilizadas geralmente sob muros ou paredes com cargas
relativamente altas e sobre solos com boa capacidade de suporte.
(A - a p )
As sapatas corridas rígidas, quando h ≥ e β < 45°, podem ter os esforços
3
solicitantes (M e V) calculados nas seções de referência S1 e S2, conforme o CEB-70. As
verificações necessárias e o dimensionamento das armaduras pode ser feito de modo semelhante
às sapatas isoladas rígidas, fazendo B = 1 m.
Quando β ≥ 45°, o “Método das bielas” pode ser utilizado, em opção ao CEB-70.

ap
β≥4

h
º5

A

Figura 76 – Sapata rígida de acordo com o Método das Bielas.

O fenômeno da punção não ocorre, mas conforme a NBR 6118, a tensão de compressão
na diagonal comprimida deve ser verificada na superfície crítica C (item 19.5.3.1), já estudado.
Segundo o “Método das bielas”, a armadura principal deve ser dimensionada para a força
Tx (Figura 77):

ap

N
d0
β≥4

d

Tx
º 5

A

ρ

Figura 77 – Força Tx conforme o Método das bielas.


A.d
d0 =
A − ap

N  A − ap 
Tx =  
8 d 
 

Txd = γ f Tx
Txd
A sx = A sA =
f yd

3.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME

O momento fletor principal, atuante na direção da largura da sapata, é considerado
máximo no centro da sapata. A força cortante é calculada na seção 1 (Figura 78), junto à face da
área carregada. Os esforços são calculados sobre faixas unitárias ao longo do comprimento da
sapata (B = 1 m).
ap
Øl , pilar
N
As, sec
I
d h
h0
I As, princ.
50,00

ρ

M

V

Figura 78 – Sapata corrida flexível.

N
Pressão no solo: p =
A


N
Pressão sob a parede: p par =
ap

Força cortante na seção 1:
1
(
V = A − ap p
2
)

N  ap 
V= 1 − 
2 A


Momento fletor máximo no centro da sapata:

2 2 2
1 A 1  ap  pA 2 p par . a p
M = p   − p par   =
 2  −
2 2 2   8 8
N
M=
8
A − ap( )
A armadura secundária (As,sec), também chamada armadura de distribuição, deve ter área:

1
 A s,princ
A s ,sec ≥ 5
0,9 cm 2 / m


As bordas da sapata (balanço) podem ser reforçadas com barras construtivas, como
indicado na Figura 79.

Øl

Figura 79 – Reforço das bordas com barras adicionais.

A punção, conforme já estudada, deve ser sempre verificada nas sapatas corridas flexíveis
(Figura 80).

superfície de ruptura por
punção, segundo Leonhardt
45°
45°

Figura 80 – Superfície de ruptura por punção na sapata flexível.


3.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA

Dimensionar a sapata rígida sob uma parede de concreto de 20 cm de largura com carga
vertical N = 20 tf/m = 200 kN/m. Dados:

C20; σsolo = 1,1 kgf /cm2 = 1,1 tf /m2 = 0,011 kN /cm2 = 0,11 MPa

d = h – 5 cm ; CA-50 ; cnom = 4,5 cm

C ap= 20
90
β≥4
d h
N
5

h0
º

ρ

A

Figura 81 – Sapata rígida conforme o Método das bielas.

Resolução

Cálculo da largura da sapata, considerando que B = 1 m = 100 cm:

1,1N 1,1 ⋅ 2,0
A= =
σsolo 0,011

A = 200 cm

Os balanços terão o valor:

A − ap 200 − 20
c= = = 90 cm
2 2

Cálculo da altura h:

(A - a p ) (200 - 20)
- pela NBR 6118: h ≥ ≥ ≥ 60 cm
3 3

- para aplicar o Método das Bielas no cálculo deve-se ter β ≥ 45º:

d
tg β = , com β = 45º ⇒ d = c = 90 cm → h = 95 cm
c
h
- pelo CEB-70: 0,5 ≤ ≤ 1,5 → 0,5 ⋅ 90 ≤ h ≤ 1,5 ⋅ 90 → 45 ≤ h ≤ 135 cm
c


Considerando o “Método das bielas”, h = 95 cm.

Força de tração na armadura principal:

N  A − a p  1,1⋅ 200  200 − 20 
Tx =  =   = 55 kN/m
8 d 
  8  90 

Txd 1,4 ⋅ 55
A sX = A sA = = = 1,77 cm2/m
f yd 43,48

para φ 8 mm (1 φ 8 = 0,50 cm2):

100 ⋅ 0,5
s= = 28,2 cm ≤ 20 ou 25 cm
1,77

O espaçamento deve ser diminuído. Adotando φ 6,3 mm (0,31 cm2):

100 ⋅ 0,31
s= = 17,5 cm ≤ 20 cm (ok!)
1,77

Portanto:

AsA = As,princ = φ 6,3 mm c/17 cm (1,82 cm2/m)

Para a armadura de distribuição pode-se considerar:

0,9 cm 2 / m 0,9 cm 2 / m
 
A s ,distr ≥ 1 ≥ 1,77 ∴ A s,distr = 0,9 cm 2 / m
 A s,princ  = 0,35
5  5

φ 5 mm c/22 cm ou φ 5 mm c/20 cm (1,00 cm2/m)

sdistr ≤ 33 cm, mas na prática sdistr ≤ 20 ou 25 cm.

Notas:

a) o cálculo pelo Método das Bielas dispensa a verificação da força cortante, isto é, segundo
Montoya, no caso de sapata rígida a força cortante não precisa ser verificada;

b) conforme a NBR 6118, a superfície crítica C deve ter a tensão de compressão diagonal
verificada (item 19.5.3.1);

c) Guerrin (1967) aplica o Método das Bielas fazendo:

A − ap 200 − 20
d= = = 45 cm (h = 50 cm)
4 4

Detalhamento:


 h 95
 = = 31,7 cm
h0 ≥ 3 3 → h 0 = 30 cm
20 cm


d = 90
h = 95
h0= 30
Ø6, 3 c/ 17 Ø5 c/ 20

Figura 82 – Esquema indicativo do detalhamento das armaduras.

A ancoragem da armadura principal pode ser feita estendendo-se as barras às bordas da
sapata, fazendo o gancho vertical com ho – 10 cm.
Considere:

1º) Resolver a sapata com h = 60 cm, pelo método do CEB-70;
2º) Comparar as armaduras e o volume de concreto das sapatas.

3.4 EXERCÍCIO PROPOSTO

Dimensionar a sapata corrida para uma parede de largura 20 cm, com:

cnom = 4,0 cm; N = 30 tf/m = 300 kN/m; σ solo = 2,0 kgf/cm2 ; C20; CA-50.

Fazer sapata rígida e como sapata flexível. Comparar os resultados.

3.5 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL

Dimensionar a sapata do Exemplo 6 como sapata flexível.
Dados:
ap = 20 cm ; N = 200 kN/m; C20; σsolo = 0,011 kN/cm2

Resolução

Para a sapata flexível, que tem peso próprio menor, tem-se:

1,05 N 1,05 ⋅ 2,0
A= = = 191 cm
σsolo 0,011

adotado A = 190 cm.

Balanço da sapata:


A − ap 190 − 20
c= = = 85 cm
2 2

Cálculo da altura da sapata (h):

(A − a p ) (190 − 20)
- NBR 6118 – sapata rígida: h ≥ ≥ ≥ 56,7 cm ;
3 3

- CEB-70: 0,5·85 ≤ h ≤ 1,5·85 → 42,5 ≤ h ≤ 127,5 cm → sapata rígida

Seguindo o critério da NBR 6118, para sapata flexível (h < 56,7 cm) será adotado h = 50
cm, considerando que esta altura seja suficiente para a ancoragem da armadura do pilar.
Esforços solicitantes:

N  a p  1,05 ⋅ 200  20 
V= 1 −  =
  1 −  = 93,9 kN/m (V na face da parede)
2 A 2  190 

N 1,05 ⋅ 200
M= (A − a p ) = (190 − 20) = 4.463 kN.cm/m (M no centro da parede)
8 8

Os esforços V e M ocorrem em 1 m de de comprimento da sapata corrida:


C ap= 20
85

d = 45
h = 50
N
h0= 20

ρ

A = 190

+
M

V
V
100

C

20

Figura 83 – Dimensões e diagramas de esforços solicitantes na sapata.

0,9 cm 2 / m

A s ,distr ≥ 1
 A s ,princ
5

3,19
A s ,princ = = 0,64 cm2/m
5

A s ,distr = 0,9 cm2/m

φ 5 c/20 cm (1,00 cm2/m)

Dimensionamento à flexão, tomando bw = 1 m = 100 cm:

b w d 2 100 ⋅ 45 2
Kc = = = 32,4
Md 1,4 ⋅ 4463

Ks = 0,023 (dom. 2)


1,4 ⋅ 4463
A s = 0,023 = 3,19 cm2/m
45

φ 6,3 mm c/9 cm (3,50 cm2/m)

φ 8 mm c/15 cm (3,33 cm2/m)

s ≤ 20 ou 25 cm (valores da prática)

Verificação da diagonal comprimida na superfície crítica C, considerando 1 m de
comprimento da sapata:

uo = 2 (20 + 100) = 240 cm

FSd = N Sd = 1,4 ⋅ 200 = 280 kN/m


FSd 280
τSd = = = 0,0259 kN/cm2/m
u o ⋅ d 240 ⋅ 45

Nota: não foi considerada a redução de FSd proporcionada pela reação do solo.


 20  2,0
τRd2 = 0,27αv fcd = 0,27 1 −  = 0,355 kN/cm2
 250  1,4

τSd = 0,259 MPa < τRd2 = 3,55 MPa → ok!

A força cortante pode ser verificada como laje, com bw ≥ 5d, onde bw é o comprimento da
sapata paralelo à parede. Deve-se ter VSd ≤ VRd1 para se dispensar a armadura transversal.

VRd1 = [τRd k (1,2 + 40ρ1) + 0,15σcp] bw d

3,33
ρ1 = = 0,00074
100 ⋅ 45
k = |1,6 – d| > 1 = |1,6 – 0,45| = 1,15 > 1

0,7 ⋅ 0,3 3 20 2
τRd = 0,25 fctd = 0,25 = 0,276 MPa
1,4

VRd1 = [0,0276 . 1,15 (1,2 + 40 . 0,00074)] 100 . 45

VRd1 = 175,6 kN/m

VSd = 1,4 . 93,9 = 131,5 kN/m < VRd1 = 175,6 kN/m

→ ok! não é necessário colocar armadura transversal.


Comparação:

Sapata rígida Sapata flexível
As 1,77 3,19
h 95 50

Detalhamento

d = 45
h = 50
h0= 20
Ø8 c/ 15 Ø5 c/ 20

Figura 84 – Detalhamento indicativo das armaduras.


Projetar a sapata corrida para a fundação de um muro. São conhecidos:

- C20 ; CA-50 ; hmuro = 3,0 m ; σsolo = 2,0 kgf/cm2
- emuro = largura do bloco de concreto de vedação = 19 cm (aparente, sem revestimento de
argamassa);
- muro em alvenaria de blocos de concreto;
- blocos enrijecedores a cada 5 m, perpendiculares ao muro;
- considerar ação do vento para a cidade de São Paulo;
- fazer verificações da estabilidade da sapata;
- tipo de solo = argila rija.
muro

3,0m

Figura 85 – Sapata corrida sob muro.


4. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS

Nas sapatas submetidas a forças horizontais e/ou momentos fletores é importante
verificar as possibilidades de escorregamento e tombamento.

a) Segurança ao tombamento

A verificação ao tombamento é feita comparando-se os momentos fletores, em torno de
um ponto 1 (Figura 86).

N
M

FH

P

h
1
A A
2 2

Figura 86 – Forças atuantes na sapata.

Momento de tombamento:

Mtomb = M + FH . h

Momento estabilizador:

Mestab = (N + P) A/2

O peso do solo sobre a sapata pode também ser considerado no Mestab . O coeficiente de
segurança deve ser ≥ 1,5:
M
γ tomb = estab ≥ 1,5
M tomb

b) Segurança ao escorregamento (deslizamento)

A segurança é garantida quando a força de atrito entre a base da sapata e o solo supera a
ação das forças horizontais aplicadas.
O efeito favorável do empuxo passivo pode ser desprezado, por não se ter garantia de sua
atuação permanente. Da Figura 86 tem-se:

( N + P) tg ϕ = FH ⋅ γ esc

onde: tg ϕ = µ = coeficiente de atrito;
φ = ângulo de atrito entre os dois materiais em contato (concreto x solo), não maior que
o ângulo de atrito interno do solo.


Um outro modelo que pode ser adotado é:
2  2 
Festab = atrito + coesão = ( N + P) ⋅ tg  φ  + A  c 
3  3 
onde: φ = ângulo de atrito interno do solo;
c = coesão do solo;
A = dimensão da base em contato com o solo.

Festab
γ esc = ≥ 1,5
FH

5. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO
EM SAPATAS

No caso de armadura, com barras de diâmetro 20 mm ou superior, e de feixes de barras, é
importante verificar a aderência com o concreto, a fim de evitar o escorregamento.
O esquema de forças entre a armadura e o concreto é como indicado na Figura 87:

Rc + ∆Rc Rc

V
d
M + ∆M M z
Øl

Rs + ∆Rs Rs

C
∆x

Figura 87 – Esforços atuantes no elemento de comprimento ∆x.

Tem-se que: M = Rs · z = Rc · z, daí:

∆M
∆R s =
z
∆Rs = fb · u ·∆x

onde: fb = resistência de aderência;
u = perímetro de φl

∆M ∆M
= f b ⋅ u ⋅ ∆x → = fb ⋅ u ⋅ z
z ∆x
{
v
V = fb . u . z

tomando z ≅ 0,87d e fazendo valores de cálculo:
Vd ≅ 0,87f bd ⋅ u ⋅ c

fazendo o perímetro como u = n π φl d, com n sendo o número de barras da armadura de flexão:

Vd ≅ 0,87f bd ⋅ n ⋅ π ⋅ φl ⋅ d


com: Vd = força cortante de cálculo nas seções de referência S1A e S1B, por unidade de largura.
Vd = V1dA na seção de referência S1A ;
Vd = V1dB na seção de referência S1B .
Se Vd for maior haverá o escorregamento.

6. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO

A viga de equilíbrio também é comumente chamada “viga alavanca” (Figura 88).
Os pilares posicionados na divisa dos terrenos ficam excêntricos em relação ao centro da
sapata, o que faz surgir um momento fletor, que pode ser absorvido por uma “viga de equilíbrio”,
vinculada à sapate de um outro pilar, interno à construção. A viga também atua transferindo a
carga do pilar para o centro da sapata (Figura 89).

E.
V.

div
isa

Figura 88 – Sapata sob pilar de divisa e com viga de equilíbrio.


2,5cm bp2

VE
ap1

ap2
bw
A1

A2
bp1

B2

B1

z

N1
VE N2
e1
hv

h1

h0

p2
p1 R2
divisa
R1
N2
N1

e1 R2
R1 z

Figura 89 – Notações da sapata com viga de equilíbrio.

Área da sapata sob P1:

S1 = A1 ⋅ B1

R1
S1 = 1,1
σ solo

Excentricidade e1 e reação R1:

∑ M(z) = 0 → N1 ⋅ z = R 1 (z − e1 )

N1 ⋅ z
R1 =
z − e1

B1 b p1
e1 = −
2 2


6.1 ROTEIRO DE CÁLCULO

1) Assumir um valor para R1’:

R1’ = 1,2 N1

2) Calcular a área de apoio da sapata 1 (divisa):

R1 '
S1 ' = 1,1
σ solo

3) Escolher as dimensões da sapata 1:

A1
≤3
B1

A1 = 2B1 (adotando-se) → S1’ = A1’ . B1’

S1 '
S1 ' = 2B1 ' ⋅ B1 ' → B1 ' = → inteiro múltiplo de 5 cm.
2

4) Cálculo da excentricidade e1 :

B1 ' b p1
e1 ' = −
2 2

5) Cálculo do R1’’ :

z
R 1 ' ' = N1
z − e1 '

6) Comparar R1’ e R1’’

S1 '
6.1) Se R 1 ' = R 1 ' ' = R 1 → B1 = B1 ' , A1 =
B1

6.2) Se 0,95R 1 ' ' ≤ R 1 ' ≤ 1,05R 1 ' '

R1 ' ' S1
B1 = B1 ' → S1 = 1,1 → A1 =
σ solo B1

6.3) Se R1’ ≠ R1”

Retornar ao item 2 fazendo R1’ = R1” .

6.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO

Esquema estático (Figura 90):


bp1

q1 (pilar 1) N2
(2) (3)
(1) p1
R2
B1
V2L

V
-
V1L

x
M2L

-
M
M1L Vmáx

Figura 90 – Diagramas de esforços solicitantes na viga de equilíbrio.

N1
q1 =
b p1

R1
p1 =
B1

q1 b p1
x=
p1

a) Seção 1 (0 ≤ x ≤ b p1 ) - Figura 91

q1x
q1
V1
M1
p1
ρ1x
x

Figura 91 – Seção 1.


∑ Fv = 0
q1 ⋅ x + V1 − p1 ⋅ x = 0 → V1 = x (p1 − q1 )

x2 x2
∑ M = 0 → M 1 + q 1 + 2 − p1 2 = 0
x2
M1 = (p1 − q1 )
2

para x = bp1 ( limite da seção):

V1L = b p1 (p1 − q1 )

2
b p1
M1L = (p1 − q1 )
2

b) Seção 2 ( (b p1 ≤ x ≤ B1 ) - Figura 92

q1 bp1

q1
M2
p1
p1x
x

∑ FV = 0
V2 + q1 ⋅ b p1 − p1 ⋅ x = 0 → V2 = p1 ⋅ x − q1 ⋅ b p1
q1 ⋅ b p1
para : V2 = 0 → x =
p1

 b p1  x2
∑ M = 0 → M 2 + q1 ⋅ b p1  x −
 2 
 − p1
2
=0
 

x2  b p1 
M 2 = p1 − q1 ⋅ b p1  x −
 
2  2  

Para x = B1 → V2 L = p1 ⋅ B1 − q1 − b p1


B12  b p1 
M 2L = p1 − q1 ⋅ b p1  x −
 
2  2  

 b p1 
c) Seção 3  B1 ≤ x ≤ z +
  - Figura 93
 2  

bp1

q1
V3
p1 M3

B1
x


∑ FV = 0 → V3 + q1 ⋅ b p1 − p1 ⋅ B1 = 0

V3 = p1 ⋅ B1 − q1 ⋅ b p1 = ∆N = cte

 b p1  B
∑ M(3) = 0 → M 3 + q1 ⋅ b p1  x −
  − p1 ⋅ B1  x − 1  = 0
  
 2   2 

 B   b p1 
M 3 = p1 ⋅ B1  x − 1  − q1 ⋅ b p1  x −
 
 2   2  

6.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO

a) Largura: b w ≥ a p1 + 5 cm (pode ser alterado);

b) Altura: h V ≥ h 1 (h1 = altura da sapata 1);

d V > l b (lb = comprimento de ancoragem da armadura do pilar).

Podem também serem deduzidas equações para bw em função de V1L e Mmáx (tarefa).

6.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA

Um modelo para cálculo dos esforços solicitantes na sapata é aquele proposto pelo CEB-
70, já apresentado.
a) Momento fletor na seção de referência S1A - Figura 94


bw
ap1
A
d

2
2

d
S2A

S1A 0,15bw
b
ap1

0,15bw
bw
A1

b
C2A

hv
bp1

d2A
h1

S1A

S2A
h0
A
B1 p A1
xA
CORTE AA
Figura 94 – Sapata sob o pilar da divisa. Seções de referência S1 e S2 .

Resultante da reação do solo na sapata (F1A):

F1A = p ⋅ B1 ⋅ x A

R1
sendo: p =
A1 ⋅ B1

A1 − b w
xA = + 0,15b w
2

Momento fletor:

2
xA xA
M1A = F1A → M1A = p ⋅ B1
2 2

b) Cálculo da altura da sapata

Pode ser definida em função do critério da NBR 6118:

A1 − b w
h1 ≥ → para sapata rígida; d1 = h1 – 5 cm (pode ser mais)
3

c) Verificação da força cortante na seção S2A

Força cortante de referência (ou atuante):

VdA = γ f ⋅ p ⋅ B1 ⋅ c 2 A

A1 − b w d1
c 2A = −
2 2


Força cortante resistente (ou limite):

0,474
Vd ,lim = b 2 A ⋅ d 2 A ⋅ ρ ⋅ f ck (fck em MPa)
γc

com: b2A = B1
 h − h0  h
d 2 A = d 1 1 − 1
 A −b  ≤ 1,5c 2 A ; h 0 ≥ 1 (inteiro e múltiplo de 5cm) ou h 0 ≥ 30 cm

 1 w  3

Se Vd ,lim ≥ VdA → dispensa–se a armadura transversal;

Se Vd,lim < VdA → recomenda-se aumentar a altura útil da sapata;

VdA
d n = d1
Vd ,lim

d) Armadura à flexão

Armadura principal:

domínio
B ⋅ d2 
Kc = 1 1 → na tabela : K s
γ f M1A β
 x

γ f M1A γ f M1A
A s ,1A = K s ou A s ,1A =
d1 0,85d1 ⋅ f yd

As,mín = 0,10 % B1 d1

A armadura é disposta uniformemente distribuída na dimensão B1 .

Armadura de distribuição (paralela à B1):

1
 A s ,1A
A s ,distr ≥ 5 , com s ≤ 33 cm.
0,9 cm 2 / m


6.5 EXEMPLO 8
(Exemplo de Ferro, N.C.P., Notas de Aula, 2005)

Dimensionar uma sapata para o pilar da divisa, fazendo a viga alavanca (Figura 95).
Dados: C20; CA-50; N1 = 550 kN; N2 = 850 kN;
σsolo = 0,02 kN/cm2 ;
Armadura pilar = 10 φ 12,5 mm ; c = 4,0 cm.


400cm
20

30
2,5 30 30

divisa

Figura 95 – Esquema dos pilares.

Resolução

1) Dimensionamento da sapata

1.1) Assumir um valor para R’1

R '1 = 1,2 N1 = 1,2 ⋅ 550 = 660 kN

1.2) Área de apoio da sapata – S1

R '1 660
S'1 = 1,1 = 1,1 = 36.300 cm 2
σ solo 0,02

1.3) Cálculo da dimensão B1

S'1 36300
B'1 = = = 134,7 cm
2 2

Portanto, B'1 = 135 cm

1.4) Excentricidade e1

B'1 b p1 135 30
e'1 = − −f = − − 2,5 = 50 cm
2 2 2 2

f = distância da face do pilar à linha de divisa.

1.5) Cálculo de R’’1

z 400
R ' '1 = N1 = 550 = 628,6 kN
z − e'1 400 − 50

1.6) Comparação entre R’1 e R’’1

0,95R ' '1 ≤ R '1 ≤ 1,05R ' '1

0,95 ⋅ 628,6 = 597,1 ≤ 660 ≤ 1,05 ⋅ 628,6 = 660 → ok!


R ' '1 628,6
S1 = 1,1 = 1,1 = 34.573 cm 2
σ solo 0,02

B1 = B'1 = 135 cm

S1 34573
A1 = = = 256,1 cm → A1 = 260 cm
B1 135

2) Esforços máximos na viga alavanca

2.1) Esforços solicitantes na seção x = bp1

b 21
p
V1L = b p1 (p1 − q1 ) ; M1L = (p1 − q1 ) ; b p1 = 30 cm
2

R 1 628,6
p1 = = = 4,656 kN/cm
B1 135

N1 550
q1 = = = 18,333 kN/cm
b p1 30

30 2
M1L = (4,656 − 18,333) = − 6.155 kN.cm
2

V1L = 30 (4,656 − 18,333) = − 410,3 kN

2.2) Momento fletor máximo, V2L e M2L (seção x = B1)

q1 ⋅ b p1 18,333 ⋅ 30
x máx = = = 118,1 cm
p1 4,656

x2  b p1  118,12  30 
M máx = p1 máx
− q1 ⋅ b p1  x máx −
  = 4,656
 − 18,333 ⋅ 30 118,1 − 
2  2  2  2

M máx = − 24.234 kN ⋅ cm

V2 L = p1 ⋅ B1 − q1 ⋅ b p1 = 4,656 ⋅135 − 18,333 ⋅ 30

V2 L = 78,6 kN

2 b p1 
B1 
M 2L = p1 − q1 ⋅ b p1  B1 −
 
2  2  

135 2  30 
M 2 L = 4,656 − 18,333 ⋅ 30 135 −  = − 23.571 kN.cm
2  2


Diagrama de esforços (Figura 96):

bp1
30

q1 = 18,333 KN cm N2
(3)
p1 = 4,656
B1 = 135 R2

x = 118,1
78,6
410,3
V (KN)
-

-

6.155 24.234 23.571 M ( KN cm )

Figura 96 – Diagramas e esforços solicitantes na viga de equilíbrio.

3) Largura da viga alavanca

bw = ap1 + 5 cm = 20 + 5 = 25 cm

Por outra forma, estimando que dv = 2bw :

2 3 3
b w (2b w ) 4b w b
Kc = = = 2,86 w
1,4M máx 1,4M máx M máx

b w = 3 0,35K c M máx

Kc pode ser adotado 6/fck para o domínio 3:

b w = 3 0,35(6 / 2,0)24234 = 29,4 cm → adotaremos bw = 35 cm

4) Altura da sapata da divisa

Para sapata rígida:

NBR 6118 → h1 ≥ (A1 – bw)/3 ≥ (260 – 35)/3 ≥ 75 cm

Pelo CEB-70 → 0,5 ≤ h1/c ≤ 1,5


A1 − b w 260 − 35 h1
c= = = 112,5 → 0,5 ≤ ≤ 1,5
2 2 112,5

56,3 cm ≤ h1 ≤ 168,8 cm → adotado h1 = 75 cm = hv

d1 = 75 – 5 = 70 cm = dv

O pilar tem armadura φ 12,5 mm, com lb = 38 cm (com gancho), e:

d1 = 70 cm > lb = 38 cm → ok!

5) Dimensionamento da viga alavanca

A armadura longitudinal superior da viga alavanca na região da sapata 1 pode ser
calculada fazendo-se a analogia da viga com um consolo curto, ou segundo a teoria de viga
fletida.

5.1) Armadura de flexão no trecho da sapata 1 (B1)

sapata 1

sapata 2
5
C = 112
A1 260

bw= 35
=

P1 P2
5
C = 112

B1 = 135

VE
h1 = hv
75
h0

Figura 97 – Dimensões da sapata sob o pilar de divisa.

bw = 35 cm ; hv = h1 = 75 cm ; dv = d1 = 70 cm ; Md = 1,4 . 24234 = 33.928 kN.cm

b d 2 35 ⋅ 70 2
Kc = = = 5,1 → βx = 0,22 (domínio 2), Ks = 0,025
Md 33928

33928
A s = 0,025 = 12,12 cm2 → 6 φ 16 mm (12,00 cm2)
70


Como esta armadura não é muito alta, ela pode ser estendida até o pilar P2, sem corte.

Armadura mínima: As,mín = 0,15 % bw hv = 0,0015 . 35 . 75 = 3,94 cm2

Para a armadura longitudinal inferior pode-se adotar a armadura mínima (2 φ 16 ou 5 φ
10).

5.2) Armadura transversal

No trecho da sapata: Vk = 410,3 kN → VSd = 1,4 . 410,3 = 574,4 kN

Para cálculo de Asw , conforme as equações simplificadas do Modelo de Cálculo I,
apresentadas na apostila de Dimensinamento de Vigas à Força Cortante, com concreto C20 e dv
= 70 cm:

VRd2 = 0,35bw d = 0,35 . 35 . 70 = 857,5 kN > VSd → ok!

VSd,mín = 0,101bw d = 0,101 . 35 . 70 = 247,5 kN < VSd

VSd 574,4
A sw = 2,55 − 0,17 b w = 2,55 − 0,17 ⋅ 35 = 14,97 cm2/m
d 70

A sw ,mín =
20f ctm
bw =
(
20 0,3 3 20 2 )
35 = 3,09 cm2/m
f ywk 10 ⋅ 50

Com Asw = 14,97 cm2/m, fazendo estribo com quarto ramos tem-se Asw1ramo = 14,97/4 =
3,74 cm2/m, e na Tabela A-1 da apostila citada, encontra-se: φ 8 mm c/13 cm (3,85 cm2/m).

Espaçamento máximo: 0,67VRd2 = 574,5 kN, por coincidência igual a VSd .

s ≤ 0,6d ≤ 30 cm → s ≤ 0,6 . 70 = 42 cm ≤ 30 cm

∴ s ≤ 30 cm

0,2 VRd2 = 171,5 kN < VSd → st ≤ 0,6d ≤ 35 cm

st ≤ 0,6 . 70 ≤ 42 cm ≤ 35 cm → ok!

No trecho da viga coincidente com a sapata (B1) convém colocar a armadura calculada
para a força cortante máxima. No trecho fora da sapata 1, a armadura deve ser calculada para a
menor seção transversal, 35 x 40 na união com a sapata 2 (pilar interno):

VSd = 1,4 ⋅ 78,6 = 110 kN

VRd 2 = 0,35 ⋅ 35 ⋅ 35 = 428,8 kN > VSd → ok!

VSd ,mín = 0,101 ⋅ 35 ⋅ 35 = 123,7 kN > VSd → A sw ,mín

20 (0,3 ⋅ 3 20 2 )35
A sw ,mín = = 3,09 cm 2 m
10 ⋅ 50


Estribo φ 6,3 mm c/20 cm (1,58 cm2/m) com 2 ramos:

0,67 VRd 2 = 287,3 kN > VSd → s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm

s ≤ 0,6 · 35 ≤ 21 cm ≤ 30 → s ≤ 21 cm

0,2VRd 2 = 85,8 kN → VSd > 0,2VRd 2

s t ≤ 0,6d ≤ 35 cm → s t ≤ 21cm

Para a viga com bw = 35 cm a largura do estribo com 2 ramos resulta 26,4cm (35-4,3-
4,3), maior que o valor st = 21 cm. Portanto, o estribo deve ter mais de 2 ramos. Por exemplo,
estribo com 4 ramos φ 5 mm:

4 ⋅ 0,20
= 0,0309 → s = 25,9 cm > s máx = 21 cm
s

Então: estribo φ 5 mm c/21 cm 4 ramos (3,81 cm2/m)

5.3 Armadura de pele

Asp quando h > 60 cm

A sp = 0,10% b w ⋅ h = 0,0010 ⋅ 35 ⋅ 75 = 2,63 cm 2 por face

5 φ 8 mm = 2,50 cm2 por face

5.4 Armadura de costura

A armadura de costura é colocada abaixo da armadura longitudinal negativa e serve para
aumentar a resistência e ductilidade da viga.
Pode ser adotada como: A s ,cos t = 0,4A s

A s ,cos t = 0,4 ⋅12,12 = 4,85 cm 2 → 10 φ 8 mm = 5,00 cm2

6. Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca)


6N1
N5 - 10 c/ 13 N6 - c/20
A N1 - 6 Ø16

N2
N3 N3
A

N1 - 2 x 3 Ø16 C = (em laço)

5N4
CORTE AA
N2 - 2 x 5 Ø8 C = (arm. costura - em laço)

N3 - 2 x 5 Ø8 C = VAR (arm. pele)

N4 - 5 Ø10 C =

3 laços (6N1)
N5 - 10 x 2 Ø8 C =
N6 - x 2 Ø5 C = VAR.

Detalhe dos laços sob
o pilar P1

Figura 98 – Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca).

Notas: a) em distâncias pequenas entre os pilares a viga alavanca pode ser feita com altura
constante;
b) a armadura N1 pode ter parte interrompida antes do pilar P2, conforme o diagrama de
momentos fletores.

6.6 TAREFA

a) Dimensionar e detalhar as armaduras da sapata sob o pilar P1;
b) Idem para a sapata isolada sob o pilar P2 ;
c) Se a sapata sob o pilar da divisa (P1) tiver a largura B1 diminuída e o comprimento A,
aumentado, quais as implicações que essas alterações resultam para a viga alavanca?

6.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA

a) O centro geométrico da sapata 1 deve estar sobre o eixo da viga alavanca;
b) As faces laterais da sapata devem ser paralelas ao eixo da viga alavanca para minimizar o
efeito do momento de torção;
c) Recomenda-se que as cotas sejam tomadas nas projeções (direção normal à divisa).


B1 P2
a
nc
va
a ala
a vi g
od
eix
e1

CGsap
P1
e1h

divisa

B1R

Figura 99 – Viga alavanca não normal à divisa.

Área da Sapata Sob o Pilar Interno (P2)

Pode ser considerado parte do alívio proporcionado pelo pilar da divisa.

N1 N2

P1
pilar P2
R1 R2
Figura 100 – Forças atuantes na viga alavanca não normal à divisa.

N1 + N2 = R1 + R2 → N2 – R2 = R1 – N1

R1 – N1 = N

Ssap = 1,1 (N2 - N/2)


Dimensionar e detalhar as armaduras das sapatas e da viga alavanca dos pilares P1 e P2,
sendo conhecidos: σsolo = 0,018 kN/cm2 ; C20 ; CA-50; NP1 = 520 KN; NP2 = 970 KN ; φl,pil =
12,5 mm.
P2
20
40
divisa

80

P1
20
2,5 40 285

Figura 101 – Dimensões a serem consideradas.


7. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA

Quando a sapata de divisa não tem vinculação com um pilar interno, com viga de
equilíbrio por exemplo, a flexão devido à excentricidade do pilar deve ser combatida pela própria
sapata em conjunto com o solo. São encontradas em muros de arrimo, pontes, pontes rolantes,
etc.
A reação do solo não é linear, mas por simplicidade pode-se adotar a distribuição linear
na maioria dos casos.
bp

N
Divisa

não linear

B

Figura 102 – Sapata excêntrica sob pilar de divisa.

Para não ocorrer tração na base da sapata, a largura B deve ser escolhida de tal forma
que: B ≤ 1,5bp . Recomenda-se também que A ≤ 2B.
Em função do valor da excentricidade da força N, os seguintes casos são considerados:

a) B < 1,5b p (e < B/6) - Figura 103

B N  6e 
p máx = 1 +  ≤ 1,3σsolo
A⋅B B

B
e 6
N  6e 
p mín = 1 − 
A⋅B B
A

N A
6

bp

pmín.
pmáx.

Figura 103 – Caso onde B < 1,5b p (e < B/6).

B
b) B = 1,5b p ,  e =  - Figura 104
 
 6


B 2N
p máx = ≤ 1,3σsolo
A⋅B

B
e 6

A
N

pmáx.

B
Figura 104 – Caso onde B = 1,5b p ,  e = 
 
 6

B
c) B > 1,5b p ,  e >  - Figura 105
 
 6

B 2N
p máx = ≤ 1,3σsolo
B 
3A  − e 
2 
B
e 6
A

N

3 ( B2 - e )

pmáx.

Figura 105 – Caso onde B > 1,5b p ,  e > B 
 
 6

A sapata de divisa pode ter altura constante (geralmente para alturas baixas e cargas
pequenas) ou variável.


divisa

divisa
N

viga
enrijecedora

Figura 106 – Sapata isolada sob pilar de divisa.

Para casas onde resulte A > 2B pode-se criar viga associada à sapata excêntrica de divisa,
como ilustrado nos exemplos.
Para não ocorrer torção na viga convém coincidir o centro da viga com o centro do pilar.
A viga pode ser projetada na direção perpendicular à divisa.

h

viga

Figura 107 – Sapata excêntrica na divisa com viga de reforço.


A estrutura deve oferecer uma reação horizontal, para equilibrar a excentricidade do
pilar/sapata.

H H

pilar
flexível
P pilar
rígido
P l

M

H M H

R
e e R

Figura 108 – Estrutura para absorver forças horizontais.

8. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)

No Projeto de fundações de um edifício com sapatas, o projeto mais econômico é aquele
com sapatas isoladas. Porém, quando as sapatas de dois ou mais pilares superpõem-se, é
necessário fazer a sapata associada. A NBR 6122 chama “viga de fundação” quando os pilares
têm os centros alinhados.
Há várias possibilidades para a sapata associada, que pode receber carga de dois ou mais
pilares, de pilares alinhados ou não, com cargas iguais ou não, com um pilar na divisa, com
desenho em planta retangular, trapezoidal, etc.
Dependendo da capacidade de carga do solo e das cargas dos pilares, a sapata associada
pode ter uma viga unindo os pilares (viga de rigidez). Essa é a sapata mais comum no Brasil.

8.1 SAPATA RETANGULAR

O centro geométrico da sapata deve coincidir com o centro de carga dos pilares, e deste
modo a pressão no solo pode simplificadamente ser considerada uniforme.
A sapata pode ter a altura determinada segundo os critérios já mostrados e resultar
flexível ou rígida.
Os seguintes casos podem ser considerados:


A

C2

2
B
B
C1 P1 P2

2
B
C1 ap1 ap2 C2

N1 N2

ρ ≅ σsolo

x
R
l1 lcc l2

q1 = ____
N1 q2 = ____
N2
ap1 ap2

R
ρ = A.B.

V

M

Figura 109 – Sapata conjunta.

a) N1 ≠ N2 e largura B previamente fixada

R = (N1 + N2)1,05 (ou 1,1)

∑ M (N1) = 0

N 2 ⋅ l cc − R ⋅ x = 0

N2
x= l cc
R

R
A⋅B =
σ solo


As dimensões l1 e l2 podem ser deduzidas e:

R N
l1 = − 2 l cc
2B ⋅ σ solo R

R N
l2 = − 1 l cc
2B ⋅ σ solo R

A = l1 + l cc + l 2

Os esforços solicitantes são determinados de maneira semelhante à viga de equilíbrio das
sapatas com pilar de divisa, como já mostrado. Se o pilar estiver com a largura na direção da
dimensão A, pode-se simplificar fazendo-o apenas como um apoio pontual (carga N1 no centro
de ap1 ao invés da carga q1 em ap1).
A sapata econômica será obtida fazendo o momento fletor negativo próximo do momento
fletor positivo.

b) N1 ≠ N 2 e comprimento A previamente fixado

N2
x= l cc ; R = 1,05 (N1 + N2)
R

A A
l1 = −x ; l2 = − (l cc − x )
2 2

R
Largura da sapata: B =
A ⋅ σ solo

c) N1 ≅ N 2 ou N1 < N 2 e comprimento l1fixado

Este caso geralmente ocorre com pilar de divisa. A sapata pode ser retangular quando N1
não é muito diferente de N2. O comprimento A da sapata deve se estender pelo menos até as
faces externas dos pilares.

N2
x= l cc
R

Comprimento da sapata: A = 2 l1 + x ( )
Largura da sapata:

R
B=
A ⋅ σ solo


A
l1 lcc l2

P1 P2

bp1

bp2
B
divisa ap1 ap2

N1 N2

h
ρ

x
R

Figura 110 – Sapata conjunta com pilar de divisa.

No caso de cargas dos pilares iguais ou muito próximas, e pilares não de divisa, o
dimensionamento econômico é conseguido com os balanços sendo A/5.

A

A 3 A
5 5 A 5
B

P1 P2

Figura 111 – Balanço econômico para a sapata conjunta.

8.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO

Punção: nas sapatas flexíveis a punção deve ser obrigatoriamente verificada. Nas sapatas
rígidas deve ser verificada a tensão de compressão diagonal, na superfície crítica c.
Força Cortante: as forças cortantes determinadas segundo a direção longitudinal devem
ser verificadas como laje se B ≥ 5d, e como viga se B < 5d. Estribos com 2, 4, 6, etc. ramos
podem ser usados.
Momentos Fletores - Armaduras de Flexão: na direção longitudinal a armadura de
flexão deve ser dimensionada conforme os momentos fletores, e posicionadas de acordo com o
sinal do momento. Na direção transversal pode-se determinar uma viga sob cada pilar, com
largura d/2 além das faces do pilar.


AI AIII

P2
P1

bp1

bp2
B
d d d
f ap1 2 2 ap2 2

I II III IV
ap1 + 0,5d + f ap1 + d

d
h
A

Figura 112 – Armaduras de flexão diferentes para as regiões I a IV.

obs.: f = distância da face do pilar P1 à divisa.

Nas regiões II e IV deve ser colocada a armadura mínima de viga, por metro:

AsII = AsIV = ρmín · h (cm2/m)

Região I:

N1
q1 =
B
2
 B - b p1 

 2  
M1 = q 1  
2

γ f M1
As = ;
0,85d ⋅ f yd

As
As, mín. = ρ mín·(f + ap1 + 0,5d)h ; ρ=
(f + a p1 + 0,5d)h
ρ ≥ ρmín

Região III: os cálculos são semelhantes à região I, mas com a carga N2, a largura ap2 + d e
vão B - bp2 . As armaduras das regiões I e III devem ser colocadas nas larguras (f + ap1 + 0,5d) e
(ap2 + d), respectivamente.


8.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL

Quando a carga de um pilar é muito maior que a do outro pilar, utiliza-se a sapata com
forma de trapézio (Figura 113).

P1 P2

B1

B2
C ap1

A
lcc

N1 N2

ρ2 = B 2 . ρ
ρ1 = B 1 . ρ

x R

Figura 113 – Sapata conjunta com planta em trapézio.

As dimensões A e c são adotadas, e:

R=(N1 + N2)1,1 (ou 1,05)

R
Ssap =
σsolo

B1 + B 2
Ssap = A
2

∑ M(P ) = 0 1

N2 . lcc – R . x = 0
=0

N 2 . l cc
x=
R

Coincidindo o centro de gravidade da sapata (trapézio) com o centro de carga (força R),
tem-se:
a p1 A  B1 + 2B 2 
x+ +c =  
2 3  B1 + B 2 
 

Com esta equações e a seguinte, determinam-se os lados B1 e B2 .


B1 + B 2
Ssap = A
2

P1 P2

B1

B2
C ap1

A
lcc

N1 N2

ρ2 = B 2 . ρ
ρ1 = B1 . ρ

x R

Figura 114 – Sapata conjunta com planta em trapézio.

8.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ

Nas sapatas associadas sob pilares com cargas altas é recomendável associar a sapata com
uma “viga de rigidez”, que aumenta a segurança da sapata, diminui a possibilidade de punção,
diminui a deformabilidade da sapata, melhora a uniformidade das tensões no solo, enfim,
aumenta a rigidez da sapata.
bw

A d
2
1m
0,15bw

V.R.
B

dv
hv

As
d
h

S1

S2

sapata
A A ρ

CORTE AA

Figura 115 – Sapata conjunta com viga de rigidez.


N1 + N 2
p=
A⋅B

Os diagramas de momento fletor e força cortante são como aqueles da sapata associada
sem viga de rigidez. A viga de rigidez deve ter as armaduras dimensionadas para esses esforços,
determinados segundo a direção longitudinal da sapata.

b p1 + 5 cm

bw ≥  (5 cm = valor mínimo)
b p 2 + 5 cm


dv ≥ lb,φpil ; hv ≥ h

A sapata é calculada considerando-se faixa de 1 m de largura, segundo a direção de B.
Como modelo de cálculo pode ser adotado aquele do CEB-70, ou o “Método das Bielas”. No
caso do CEB-70 devem ser consideradas as seções de referência como indicadas na Figura 115
(S1 e S2). O dimensionamento da sapata à flexão resultará na armadura As .

8.5 EXEMPLO 9

Projetar uma sapata associada para dois pilares (Figura 116), sendo: N1 = 900 kN, N2 =
1.560 kN, C20, γsolo = 1.925 kg/m3, carga do piso de 500 kgf/m2, φl,pil = 12,5 mm, c = 4,0 cm,
altura de solo entre a base da sapata e o piso de 2,08 m, σsolo = 191,5 KPa.

17,5cm 6.10m

P1 P2
45

30 40
divisa

Figura 116 – Medidas para a sapata associada do exemplo.

Resolução

Neste exemplo, as cargas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata serão
consideradas diminuindo a tensão admissível do solo:

gsolo + gsap + gpiso = 2,08 . 1925 + 500 = 4.504 kgf/m2

a) Dimensões da sapata

Tensão admissível líquida do solo:

σsolo,líq = 191,5 − 45,0 = 146,5 kPa = 146,5 kN/m2 = 0,1465 MPa


Área da sapata:

900 + 1560
Ssap = = 16,8 m2
146,5

N2
Centro de cargas: x = l cc ;; N1 + N2 = R
N1 + N 2

1560
x= 6,10 = 3,87 m
900 + 1560

Comprimento da sapata: A = 2(l1 + x )

A = 2(0,175 + 3,87) = 8,09 m ≅ 8,10 m

Ssap
Largura da sapata: B =
A

16,8
B= = 2,07 m ≅ 2,10 m
8,10

N1 + N 2 900 + 1560
p= = = 0,01446 kN/cm2
A⋅B 810 ⋅ 210

Considerando a largura da sapata:

pB = 0,01446 . 210 = 3,037 kN/cm


A
810
5
162
P1 P2
CP

210

45
B
divisa 30

5
17,5 223 182
x
387
900KN 1560

ρB = 3,037 KN cm

610
1005,7

53,1
Vk (KN)

846,9 554,3
331

-

Mk (KN.cm)
465 117605 +
ou
115959 50575

Figura 117 – Esforços solicitantes na sapata associada.

b) Altura da sapata

Conforme a NBR 6118: h ≥ (A – ap)/3

No caso de sapata isolada, A – ap = 2c. Para a sapata associada, o maior valor de c ocorre
no lado direito do pilar circular, onde c = 162,5 cm, e:

2 ⋅162,5
h≥ ≥ 108,3 cm
3

Fazendo a sapata como rígida com h = 108 cm, não será necessário verificar a punção.
No entanto, o consumo de concreto resulta exagerado (18,4 m3). Como alternativa será adotada a
sapata flexível, com h = 85 cm (14,5 m3, − 21 %), e neste caso deve-se verificar a possibilidade
de punção. Antes disso, é necessário calcular as armaduras de flexão.


c) Armadura de flexão na direção longitudinal

Momento fletor negativo:

M = − 117.605 kN.cm → Md = 164.647 kN.cm ; d = 80 cm

b d 2 210 ⋅ 80 2
Kc = = = 8,2 → Ks = 0,024 (domínio 2)
Md 164647

Md 164647
As = K s = 0,024 = 49,39 cm2 → 17 φ 20 mm = 53,55 cm2
d 80

Momento fletor positivo:

M = 50.575 kN.cm → Md = 70.805 kN.cm ; d = 80 cm

b d 2 210 ⋅ 80 2
Kc = = = 19,0 → Ks = 0,024 (domínio 2)
Md 70805

Md 70805
As = K s = 0,024 = 21,24 cm2 → 21 φ 12,5 mm = 26,25 cm2
d 80

d) Armadura de flexão na direção transversal (Figura 118)

P1
B = 210cm

P2
bp1 = 45

ap1 ap2
divisa

30 40
5
ap1 + 0,5d + f ap2 + d 122
72,5 120

Figura 118 – Regiões para a armadura de flexão.

Região do pilar P1:

N1 900
q1 = = = 4,29 kN/cm
B 210

2
 B − b p1   210 − 45 
2

 2    
2
M1 = q 1   = 4,29   = 14.600 kN.cm
2 2

M1d = 1,4 . 14600 = 20.440 kN.cm


b d 2 72,5 ⋅ 80 2
Kc = = = 22,7 → Ks = 0,023 (domínio 2)
Md 20440

Md 20440
As = K s = 0,023 = 5,88 cm2 → 7 φ 12,5 mm = 8,75 cm2
d 80

Região do pilar P2:

N 2 1560
q2 = = = 7,43 kN/cm
B 210

2
 B − b p1   210 − 40 
2

 2    
  = 7,43  2  = 26.841 kN.cm
M2 = q2
2 2

M2d = 1,4 . 26841 = 37.577 kN.cm

b d 2 120 ⋅ 79 2
Kc = = = 19,9 → Ks = 0,023 (domínio 2)
Md 37577

Md 37577
As = K s = 0,023 = 10,94 cm2 → 12 φ 12,5 mm = 15,00 cm2
d 79

e) Verificação da punção na superfície crítica C’

e1) Pilar circular P2 (Figura 119)

C'
2d

40 2d
160

Figura 119 – Superfície critica C’.

Tensão de cisalhamento solicitante (τSd):

FSd
τSd =
u ⋅d

dx = 85 – 4,0 – 1,25/2 = 80,4 cm

dy = 85 – 4,0 – 1,25 – 1,25/2 = 79,1 cm


dx + dy
d= = 79,8 ≅ 80 cm
2

Como 2d = 160 cm estende-se além da sapata, será considerada a distância a* (Figura
120):

105
105
C'

a*
85

Figura 120 – Distância a*.

B a p 2 210 − 40
a* = − = = 85 cm ; a* ≤ 2d ≤ 160 cm
2 2 2

u* = 2π r = 2π . 105 = 659,7 cm

Acont,C’ = π 2102/4 = 34.635 cm2

∆FSd = 1,4 (0,01446 . 34635) = 701,2 kN

Força reduzida: FSd,red = 1,4 . 1560 – 701,2 = 1.482,8 kN

Tensão atuante:

1482,8
τSd = = 0,028 kN/cm2 = 0,28 MPa
659,7 ⋅ 80

As taxas de armadura ρx e ρy devem ser determinadas na distância 3d além das faces do
pilar. Pelos cálculos já efetuados:

ρ = ρx ρy

ρx = ρy = ρmín = 0,0015 = ρ

ρx ρy

Figura 121 – Taxas de armadura longitudinal nas duas direções.



 20  2d
τRd1 = 0,13 1 +

 3 100ρ ⋅ f ck ≤ 0,5f cd 2
 d  a*

 20  3 2 ⋅ 80
τ Rd1 = 0,13 1 +

 100 ⋅ 0,0015 ⋅ 20
 (utiliza-se o menor ρ1)
 80  85

τRd1 = 0,53 MPa = 0,053 kN/cm2

  f 
0,5f cd 2 = 0,5 0,6 1 − ck  f cd
  250 

  20  2,0
0,5f cd 2 = 0,5 0,6 1 − 
  250  1,4

0,5 fcd2 = 0,394 kN/cm2 = 3,94 MPa

Portanto, τSd = 0,28 MPa < τRd1 = 0,53 MPa, o que significa que não ocorrerá ruptura da
sapata por punção, na posição do pilar P2.

e2) Pilar retangular P1 (Figura 122)

O momento fletor, que atua na direção de B, na região próxima ao pilar P1, será
desprezado.
82 5

5
a*

82
105

a*
B = 210
45
105

82 5
a*

32 82 5
a*

Figura 122 – Distância a* no pilar da divisa.

Tensão de cisalhamento solicitante (τSd):

FSd
τSd = ; FSd = 1,4 . 900 = 1.260 kN
u*d

d = 80 cm

u* = 32,5 + 32,5 + 45 + π . 82,5 = 369,2 cm


Tensão atuante:

1260
τSd = = 0,0427 kN/cm2 = 0,427 MPa
369,2 ⋅ 80

A taxa de armadura será calculada considerando as armaduras longitudinal negativa na
direção x e transversal positiva na direção y (B).

17 Ø12,5

d = 80

85
Ø12,5 As, cosntr.

Figura 123 – Armaduras longitudinais da sapata sob o pilar de divisa.

53,55
ρx = = 0,003
210 ⋅ 85

ρy = ρmín = 0,0015

A armadura construtiva inferior na direção x também auxilia na resistência à punção, mas
não será considerada.

ρ = ρ x ρ y = 0,003 ⋅ 0,0015 = 0,00212


 20  2d
τ Rd1 = 0,13 1 +

 3 100ρ ⋅ f ck ≤ 0,5f cd 2
 d  a*

 20  3 2 ⋅ 80
τ Rd1 = 0,13 1 +

 100 ⋅ 0,00212 ⋅ 20

 80  82,5

τRd1 = 0,612 MPa

τSd = 0,427 MPa < τRd1 = 0,612 MPa → ok!

f) Dimensionamento da armadura transversal segundo a direção longitudinal

Na direção longitudinal a sapata é considerada como uma viga, e:

bw = B = 210 cm < 5d < 5 . 80 < 400 cm

desse modo os cálculos devem ser feitos como viga e não como laje.


Adotando o Modelo de Cálculo I (concreto C20):

VRd2 = 0,35 bw d = 0,35 . 210 . 80 = 5.880 kN

VSd = VSd,máx = 1,4 . 1005,7 = 1.408 kN < VRd2 → ok!

VSd,mín = 0,101 bw d = 0,101 . 210 . 80 = 1.697 kN

VSd = 1.408 kN < VSd,mín = 1.697 kN → Asw = Asw,mín

A sw ,mín =
20f ctm
bw =
( )
20 0,3 3 20 2
210 = 18,56 cm2/m
f ywk 10 ⋅ 50

Espaçamento máximo:

0,67VRd2 = 3.940 kN > VSd

s ≤ 0,6d ≤ 0,6 . 80 ≤ 48 cm ≤ 30 cm → s ≤ 30 cm

Espaçamento máximo entre ramos verticais:

0,2VRd2 = 1.176 kN < VSd

st ≤ 0,6d ≤ 48 cm ≤ 35 cm → st ≤ 35 cm

Fazendo estribo φ 6,3 mm com 6 ramos (6 . 0,31 = 1,86 cm2):

1,86
= 0,1856 → s = 10 cm < 30 cm
s

st = 200/5 = 40 cm ≈ st,máx = 35 cm (como a armadura transversal é a mínima, será aceito
um espaçamento um pouco superior para st).

g) Detalhamento das armaduras (Figura 124)


70

N1 - 80 Ø12,5 C = 340
N1 - 80 c/10
P2

200
70

N2 - 80 c/10
N3 - 2 x 80 c/10 202
77
N2 - 80 Ø6,3 C =

40
77
70

N4 - 17 Ø20 C = N3 - 160 Ø6,3
N5 - 6 Ø8
17 N4

N6 - 2 x 4 Ø6,3 CORR 75 4 N6

N8 - 21 Ø12,5 C = 21 N8
N7 - 10 Ø8 C =

Figura 124 – Esquema do detalhamento das armaduras da sapata.

Atividade de casa: alterar o projeto da sapata fazendo uma viga de rigidez entre os dois pilares.
Comparar o consumo de materiais (concreto e aço) entre as duas soluções. A altura da sapata (85
cm) pode ser alterada.

9. QUESTIONÁRIO

1) Definir resumidamente: fundação superficial, sapata, sapata isolada, sapata corrida, sapata
associada, sapata com viga de equilíbrio, sapata excêntrica de divisa sem viga de equilíbrio.
Exemplificar com desenhos.
2) Por que a razão entre o lado maior e o lado menor de uma sapata isolada deve ser mantido até
2,5?
3) Por que é interessante fazer os balanços iguais nas sapatas isoladas? Isso é obrigatório?
4) Apresente o critério da NBR 6118 para a definição da rigidez da sapata. Compare com o
critério do CEB-70.
5) Estude e descreva o comportamento estrutural das sapatas rígidas e flexíveis.
6) Por que não ocorre ruptura por punção nas sapatas rígidas?
7) Em que situações a NBR 6118 indica a aplicação das sapatas flexíveis?
8) A distribuição das tensões da sapata no solo é um assunto complexo, e depende de diversos
fatores. Recomendo que seja estudada num livro de Fundações (Mecânica dos Solos).
Procure saber as simplificações que são feitas em função da sapata ser rígida ou flexível e
das características do solo (rocha, areia, argila, etc.).


9) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculado o momento fletor na
sapata. Qual o carregamento considerado? Analise os casos de sapata sem e com momentos
fletores.
10) Descreva os processos para ancoragem da armadura positiva.
11) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculada a força cortante de
referência.
12) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C? Quando?
13) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C’ ? Quando?
14) Explique resumidamente o método das bielas. Em que tipo de sapata pode ser aplicado?
15) Analise as diversas situações de tensão, diagrama de pressão no solo, etc., no caso de sapatas
com momentos fletores aplicados.
16) No caso de sapatas flexíveis, geralmente o cálculo é feito fazendo-se uma analogia com quais
elementos estruturais? Como são calculados os momentos fletores e forças cortantes?
17) Que verificação é extremamente importante de ser feita nas sapatas flexíveis? E nas sapatas
corridas?
18) Quais processos de cálculo podem ser aplicados no dimensionamento das sapatas rígidas? E
no caso das sapatas flexíveis?
19) Como são consideradas as duas dimensões no cálculo das sapatas corridas? Qual é e como é
disposta a armadura principal? E a armadura secundária?
20) Foi proposto um exercício de sapata corrida sob muro de divisa (p. 71.7). Não deixe de fazer,
esse tipo de sapata é muito comum na prática. Alguns dados numéricos não foram
fornecidos, propositadamente: procure, ou adote quando for o caso. Dúvidas? o Professor
está esperando-o!
21) Quando é necessário verificar o equilíbrio das sapatas quanto ao tombamento e
escorregamento? Não esqueça de fazer essas verificações no exercício da sapata corrida da
questão anterior.
22) Quando e como verificar o escorregamento das armaduras de flexão nas sapatas?
23) Por que fazer viga alavanca em pilar de divisa?
24) Como é feito o dimensionamento da viga alavanca?
25) No caso da sapata de divisa com viga alavanca, como é feito seu cálculo, em que direção?
26) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, qual a largura máxima indicada? Quais os
casos de pressão no solo? Como a estrutura deve equilibrar a sapata?
27) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, em quais casos pode ser recomendado
colocar vigas na sapata?
28) Quais as preocupações básicas no projeto de uma sapata associada?
29) É recomendado o projeto de uma viga de rigidez nas sapatas associadas? Por que?
30) Como é dimensionada a viga de rigidez nas sapatas associadas? E a sapata na direção normal
à viga de rigidez?

10. RERERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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ALONSO, U.R. Dimensionamento de fundações profundas. Ed. Edgard Blücher, 1989.

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Procedimento, NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 2003, 221p.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de fundações,
NBR 6122. Rio de Janeiro, ABNT, 2010, 91p.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações e segurança nas estruturas –
Procedimento, NBR 8681. Rio de Janeiro, ABNT, 2003.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Símbolos gráficos para projetos de
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CEB Bulletin d’Information, n. 204, 1991.

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