Ufba fundações

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
Eng. 119 – Estruturas de Concreto Armado II
Autor: Paulo Braga
I I I U N I D A D E – F U N D A Ç Õ E S
pg. 1 de 34





Tubulões
Estacas
1 - Fundações:
Bibliografia:
 Traité du Beton Arme - A. Guerrin - Vol. 3
 Design of Concrete Structures - G. Winter
 Estruturas de Fundações - Marcelo da Cunha Moraes
 Exercícios de Fundações - Urbano Rodriguez Alonso
 Construções de Concreto - Fritz Leonhardt - Vol. 4
 Fundações em Concreto Armado - Brian J. Bell
 Pontes em Concreto Armado - Walter Pfeil
 Dimensionamento de Concreto Armado - Adolpho Polillo - Vol. 4
2 - Definição:
As fundações são elementos estruturais cuja finalidade é
transmitir as cargas provenientes da supra estrutura ao solo.
3 - Classificação:
3.1 - Fundações Rasas ou Diretas.
Transferem as cargas ao solo pela
área da base, são elas:
3.2 - Fundações Profundas ou Indiretas.
Transferem as cargas ao solo pela
área da base e pelo atrito lateral
são elas:
4 - Blocos de Concreto Simples ou Ciclópico (uso de
matacão):
Os blocos de concreto ciclópico, são fundações rígidas
executadas com concreto simples (portanto não-armados),
normalmente quadrados, e usados para cargas baixas
(inferiores a 500 kN) e solos pouco compressíveis (rígidos).
O dimensionamento é feito de modo que as tensões de tração
que surgem na direção transversal (ou seja, perpendicular às
isostáticas de compressão) sejam absorvidas pelo próprio
concreto dispensando o uso de armaduras.





Radiers
Sapatas
simplesconcretodeBlocos

Autor: Paulo Braga
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O dimensionamento pela teoria da elasticidade, ver figuras
4.1 e 4.2.
Planta baixa
Ly
Lx
By
Bx
Figura 4.1
Elevação
B
b
h
N
Figura 4.2
4.1 - Definindo a geometria do bloco.
Calculando a área do bloco 
p
N
A
.1,1
 .
onde:
A = área do bloco
N = carga do pilar
p = pressão admissível do solo
Lx = menor dimensão em planta do bloco
Ly = maior dimensão em planta do bloco
Bx = menor dimensão em planta do pilar
By = maior dimensão em planta do pilar
H = altura do bloco
Critérios para determinação da altura do bloco considerando
pilar e bloco quadrados:
Critério de Rigidez
 h  0,70 (L-B)
Critério das Tensões
 tgβ
2
BL
h x


4.2 - Verificação da Tensão Máxima de Tração.
Temos como objetivo fazer com que as tensões de tração
atuantes sejam inferiores ao que o concreto seja capaz de
resistir.

Autor: Paulo Braga
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Modelo para distribuição das tensões
(B-b)/2
Figura 4.3
A
N
p 
radianosemβ
1
β
βt
p
=σ
g
t 

Onde
P = pressão no solo
t = tensão de tração atuante
 = ângulo
Condição de segurança  a resistência à tração do concreto
são estabelecidos no item 24.5.2.1 da
NBR 6118:2003 como mostrado a seguir:
Condição de segurança é:
ctdtf f.85,0.   sendo 68,14,1x2,1ondeinf,
 c
c
ctk
ctd
f
f 

O valor de inf,ctkf está definido no item 8.2.5 como
3/2
inf, .3,0.7,0 ckctmctmctk ffff 
4.3 - Roteiro para Dimensionamento:
a) Determinação da Área:
p
pseja
Nx1,1
A:Temos
fundaçãodaáreaA
solodoadmissívelpressão
pilaresdosverticalcargaN









Observações:
 O valor de (1,1) majora as cargas verticais em 10%
para levar em consideração o peso próprio do bloco.
 O valor da carga vertical não é majorado por f (1,4)
porque na determinação da pressão admissível do solo,
nas expressões de Terzaghi, já foi considerado um
coeficiente de segurança cujo valor está entre 3 e 4,
o qual majora indiretamente o valor da carga vertical.


Autor: Paulo Braga
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b) Determinando a altura do bloco temos:
Para controlarmos as tensões fazemos   60o
= 1,05 radianos.
Critério de Rigidez  ).(70,0h BL 
Critério das Tensões  βt.
2
BL
h g


c) Verificando as tensões de tração no concreto.
Seja
A
N
p   radianosemβ
1
β
βt
p
=σ
g
t 

3/2
.1063,0.85,0σ. ckctdtf ffγ 
d) Verificando a tensão no solo.
Calcula-se o peso próprio do bloco  Pp = Lx . Ly . H . 24
Pressão no solo (p) =
yx
p
LL
NP
.

e o limite é:  pp 
5 - Sapatas:
As sapatas podem ser:


















ssd x AAcorridas
(divisas)equilíbriodevigacom
associadas
isoladas
2,0
5.1 - Sapatas Isoladas:
Devem ser usadas sempre que possível por serem as mais
econômicas e simples de executar.
Planta Elevação


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Lx
Ly
c
Bx
By
c
Figura 5.1
cc
hminc1
H
Figura 5.2
Onde:
Lx = menor lado da sapata
Ly = maior lado da sapata
Bx = menor lado do pilar
By = maior lado do pilar
C = colar, ou seja, distância nivelada no topo da
sapata para facilitar a colocação da forma do pilar
Hmin = altura do trecho retangular da sapata  20 cm
H = altura total da sapata
 = ângulo de inclinação do tronco de pirâmide que deve
ser inferior ou igual a 300
, com a finalidade de
diminuir o volume de concreto sem a necessidade de
utilização de forma
C1 = altura da camada de concreto magro para
regularização do terreno
Para garantir uma distribuição mais uniforme de pressão no
solo sob a sapata devemos obedecer a relação dos lados da
sapata indicada abaixo.
Lx  Ly  1,5 Lx
5.2 - Sapatas Associadas:
Devemos enrijecer a sapata colocando uma viga unindo os dois
ou mais pilares de modo a permitir que a sapata trabalhe com
tensão constante p. Essa viga tem o nome de viga de rigidez.

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Planta
Figura 5.3
Corte A-B
Figura 5.4
O centro de gravidade da sapata deve coincidir com o centro
de aplicação das resultantes de carga dos pilares.
A área da sapata é dada por:
p
A

Nx1,1
O cálculo da sapata é feito como se fosse uma laje em balanço
engastada na face da viga de equilíbrio.
Seja:














al)transvers(direção
2
Lxp
M
p
A
N
p
p
A
Nx1,1
2
OBS: O centro de gravidade da sapata associada deve coincidir
com o centro de carga da mesma.
Viga de Rigidez:
Figura 5.5

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5.3 - Sapata de Divisa:
Neste caso, para evitar que a fundação fique submetida a um
momento fletor, o qual pode causar rotação da sapata, usamos
a viga de equilíbrio para absorver este momento.
Figura 5.6
5.4 - Classificação das Sapatas quanto à Rigidez:
Esta classificação é em função de d.
a) Sapatas Flexíveis
b) Sapatas Rígidas
Figura 5.7
3
B b
H

 H  0,70(B-b)
S A P A T A S
F L E X Í V E I S
S A P A T A S
R Í G I D A S
B L O C O S
R Í G I D O S
5.5 - Sapatas Flexíveis: H  (B-b)/3

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Comportamento idealizado como uma laje em balanço e deve ser
dimensionada pela teoria da elasticidade determinando e
dimensionando o momento fletor e esforço cortante. Alem disso
a norma manda verificar a punção e não recomenda a sua
utilização.
Planta
L2
L1
p
p
Figura 5.8
Corte A-B
L1
p
N
Figura 5.9
22
2
2
2
11
2
1
1
yx
LxpVe
2
Lxp
M
LxpVe
2
Lxp
M
LxLA
A
N
p
:devaloresosCom



E de posse das características da peça (Bw, d) e conhecendo-
se os materiais (concreto e aço) podemos dimensionar
determinando a área de aço (As cm2
/m) necessária para resistir
aos esforços.
5.6 - Sapatas Rígidas: (B-b)/3  H  0,7(B-b)
Comportamento idealizado como uma treliça espacial, sendo os
banzos comprimidos constituídos por bielas de concreto e a
armadura funcionando como tirantes na base desta treliça. O
dimensionamento é feito pela mecanismo de biela-tirante.
MODELO IDEALIZADO SISTEMA DE FORÇAS
bielanaCompressãoC
pilardoCargaN
:Onde



Autor: Paulo Braga
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H
<30
d
>20
TIRANTE
COMPRIMIDOS
BANZOS
N
Figura 5.10
N
T
C C
Figura 5.11
O chanfro à 30 é para economizar concreto sem necessidade de
utilizar forma.
5.7 - Distribuição de Pressão no Solo.
Essa distribuição de pressão é função de:
a) do próprio solo
b) da rigidez da fundação
c) da profundidade da fundação
NESTA ANÁLIZE VAMOS CONSIDERAR AS FUNDAÇÕES IMPLANTADAS NA
SUPERFÍCIE DO TERRENO
N
Z=0
Figura 5.12

Autor: Paulo Braga
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TIPO DE
FUNDAÇÃO
TIPO DE SOLOS
SOLO NÃO COESIVO SOLO COESIVO
SAPATA
RÍGIDA N
Z=0
Figura 5.13
N
Z=0
Figura 5.14
SAPATA
FLEXÍVEL N
Z=0
Figura 5.15
N
Z=0
Figura 5.16
Conclusão:
 As sapatas flexíveis só podem ser usadas em solos
coesivos.
 As sapatas rígidas podem ser usadas tanto em solos
coesivos como em solos não coesivos.
5.8 - Sapatas Flexíveis: H  (B-b)/3
onde Pp  peso próprio
P  N/A
Reção no terreno = P+Pp
Figura 5.17
A
N
p
.05,1


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1,05 - Majoração de 5% no valor da carga, para incluir o
peso próprio da fundação.
OBS: Notar que a parcela de Pp não entra no cálculo de
momento fletor, pois, tanto a ação como a reação
são distribuídas ao longo da sapata (ou seja não
provoca flexão da mesma).
a) Avaliação dos Momentos e Dimensionamento.
Figura 5.18
2
p.L
M
.
Seja
2

A
N
p
com Mk, bw = 100 e d = h - 3,5  As/metro.
Número de Barras = (B/S)  1 ou N = (As/Asb)  1
b) Verificação da Tração Diagonal (Esforço Cortante).
Figura 5.19
A norma estabelece que as tensões de cisalhamento sejam
verificadas a uma distância d da face do pilar.

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5.9 - Sapatas Rígidas.
a) Modelo idealizado para o cálculo da armação:
MODELO IDEALIZADO
x/4x/4x/4x/4
N/2
Lx/4 Lx/4Lx/4
N/2
N
Z=0,8d
Lx/4
Figura 5.20
SISTEMA DE FORÇAS
N
T
C C
Figura 5.21
Relações entre triângulos
Forças envolvidas
N/2
Tx
C
Figura 5.22
Geometria do sistema
Z=0.8xd
(Lx/4 - x/4)
Figura 5.23
Da geometria do sistema temos:
dx0,8
4
x
4
Lx







gt
Do triângulo de forças temos:
 
dx6,4
xLN
dx0,8
4
xL
x
2
N
Tx
tx
2
N
T
2
N
T
x
x
x
x







 

  ggt
Assim podemos calcular as armaduras em cada direção como
mostrado abaixo:
 Armadura total na direção “X”, que deve ser distribuída
ao longo do lado “Ly”.
tirantenoTraçãoT
bielanaCompressãoC
pilardoCargaN
:Onde



 

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)/mcm(
L
A
)(cm
f
T.
A 2
y
sx2
yd
x
sx 
f

 Armadura total na direção “Y”, que deve ser distribuída
ao longo do lado “Lx”.
)/mcm(
L
A
)(cm
f
T.
A 2
x
sx2
yd
y
sy 
f

Observação: Considerar 1,33 x Tx ou 1,33 x Ty quando a
sapata for apoiada em rocha ou em concreto.
b) Rigidez:
A norma NBR 6118:2003 no item 22.4.1 define como sapata
rígida aquela em que a altura H  (B-b)/3
onde:
H é a altura da sapata;
B é a dimensão da sapata em uma determinada direção;
b é a dimensão do pilar na mesma direção.
c) Verificação da compressão diagonal:
A norma NBR 6118:2003 no item 22.4.2.2.b estabelece que a
compressão diagonal deve ser verificada conforme recomenda
o item 19.5.3.1, e elimina a possibilidade física de
punção.
Conforme o item 19.5.3.1 a verificação da tensão
resistente de compressão diagonal do concreto deve ser
verificada na superfície crítica “C” (que é o contorno do
pilar) devendo atender a seguinte condição:
cdv2 fxx27,0   Rdsd
Onde:
),
250
1( ckf
v com fck em MPa
sendo que
d é a altura útil da laje ao longo do contorno crítico C;
dx e dy as alturas úteis nas duas direções ortogonais;
u0 é o perímetro do contorno crítico C;
uo.d é a área da superfície crítica;
2.
yx
o
sd
dd
d
du
Fsd 


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FSd é a força ou a reação concentrada, de cálculo
d) Detalhamento:
A norma NBR 6118:2003 no item 22.4.4.1.1 estabelece que:
A armadura de flexão deve ser uniformemente distribuída ao
longo da largura da sapata, estendendo-se integralmente de
face a face da mesma e terminando em gancho nas duas
extremidades.
Para barras com   20 mm devem ser usados ganchos de 135º
ou 180º. Para barras com   25mm deve ser verificado o
fendilhamento em plano horizontal, uma vez que pode
ocorrer o destacamento de toda a malha da armadura.
No item 22.4.4.1.2 a norma estabelece que a sapata deve
ter altura suficiente para permitir a ancoragem da
armadura de arranque. Nessa ancoragem pode ser considerado
o efeito favorável da compressão transversal às barras
decorrente da flexão da sapata (ver seção 9).
e) Ancoragem:
Deve-se ancorar as armaduras da sapata a partir do ponto
onde a tensão começa a diminuir, a L/4 da extremidade da
sapata (utiliza-se gancho).
O comprimento de ancoragem deve ser determinado conforme
as recomendações dos itens 9.3.2.1, 9.4.2.4 e 9.4.2.5.
9.3.2.1 A resistência de aderência de cálculo entre
armadura e concreto na ancoragem de armaduras
passivas deve ser obtida pela seguinte expressão:
fbd = 1 x 2 x 3 x fctd
sendo:
fctd = fctk,inf/c (ver 8.2.5)
fctk,inf = 0,7 x 0,3 x fck
2/3
fctd = 0,15 x fck
2/3
1 = 1,0 para barras lisas
1 = 1,4 para barras dentadas
1 = 2,25 para barras nervuradas
2 = 1,0 para situações de boa aderência (ver
item 9.3.1)
2 = 0,7 para situações de má aderência (ver item
9.3.1)
3 = 1,0 para  < 32 mm
3 = (132-)/100 , para  > 32 mm,

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 é o diâmetro da barra, em milímetros.
9.4.2.4 Comprimento de ancoragem básico.
Define-se comprimento de ancoragem básico como o
comprimento reto de uma barra de armadura passiva
necessário para ancorar a força limite Asfyd nessa
barra, admitindo, ao longo desse comprimento,
resistência de aderência uniforme e igual a fbd,
conforme item 9.3.2.1.
O comprimento de ancoragem básico é dado por:
bd
yd
b
f
f
l x
4


9.4.2.5 Comprimento de ancoragem necessário.
efs
calcs
bbnec
A
A
ll
,
,
xx1  comparar lbnec com o espaço
disponível que é 5
4

L
  1,0 para barras sem gancho;
  0,7 para barras tracionadas com gancho, com
cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3  ;
  0,7 quando houver barras transversais soldadas
conforme 9.4.2.2;
  0,5 quando houver barras transversais soldadas
conforme 9.4.2.2 e gancho, com cobrimento no plano
normal ao do gancho ≥ 3  ;
b
l é calculado conforme 9.4.2.4;
,minb
l é o maior valor entre 0,3 b
l , 10  e 100mm.
Permite-se, em casos especiais, considerar outros
fatores redutores de comprimento de ancoragem
necessário.
6 - Sapatas solicitadas a carga normal e momento fletor
agindo num dos eixos
principais de inércia.
Caracteriza-se por suportar um
carregamento, cujo ponto de

Autor: Paulo Braga
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aplicação da resultante não coincide com seu centro
geométrico, porém está aplicado sobre um de seus eixos
principais ortogonais.
Ex: Pórtico sujeito à ação do vento, figura 6.1.
Figura 6.1

Autor: Paulo Braga
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6.1 - Distribuição de Pressão no Solo:
Devido à ação combinada do momento fletor e a carga normal, a
pressão no solo não é mais uniforme, sendo possível três
condições.
a) Quando a pressão devido ao momento fletor é pequena em
relação com a pressão proveniente da carga axial.
Figura 6.2
Seja
.
1,05.
M H h
e
N

 e 6 6
yx
x y
LL
e ou e 
max min
1,05. 6. 1,05. 6.
, 1 1
. .x y y x x y x y
N e N e
Então
L L L ou L L L L ou L

   
       
      
b) Quando a pressão devido ao momento fletor nas bordas da
sapata é igual à pressão devido à carga axial.
ex = Lx/6 ou ey = Ly/6
Figura 6.3
c) Quando a pressão devido ao momento fletor é maior do que a
pressão devido carga axial e ocorrem tensões de tração
numa determinada zona da sapata.
ơmin
ơmax
ơmin=0
ơmax

Autor: Paulo Braga
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Como o solo não é ca-paz de
fornecer tensões de tração,
logo o ponto de aplicação da
resultante N deve coincidir com
a resultante de pressão do solo
(ou seja, deve estar a uma
distância
“c = L/2 - e”.
Para que não haja tensões de de
tração.
Lx/6  ex  Lx/3, ou
Ly/6  ey  Ly/3
Ponto de aplicação da resultante C = Ly/2 - ey
Pelo equilíbrio das forças temos 1,05.N = 0,5.3.c.Lx.máx
daí temos
)2(
.05,1
.
3
4
.
.05,1
.
3
2
maxmax
yyxx eLL
N
ou
LC
N

 
OBS: Para que não ocorra deslizamento devido ao esforço
horizontal é necessário que:
Seja  = ângulo de atrito interno do solo.
1 = ângulo de atrito entre o solo e sapata
 > 1
5,1
..05,1 1TgN
H 
d) Devemos ter no mínimo metade da seção comprimida, ou seja:
ey = Ly/3 ou ex = Lx/3
6.2 - Roteiro para o Projeto.
6.2.1 - Determinação da Excentricidade  e
M H h
N

 .
, .105
Para garantir que pelo menos metade da seção esteja
comprimida temos.
e  Lx/3 ou e  Ly/3
6.2.2 - Verificação da Tensão no Solo. (t)

Autor: Paulo Braga
pg. 19 de 34
a) Se
























y
y
yx
máx
y
y
x
x
yx
máx
x
x
L
e
LL
NL
e
ou
L
e
LL
NL
e
6
1
.
.05,1
6
0
.6
1
.
.05,1
6
0


máx  1,3.adm
b) Se













2
;
..3
.05,1.2
36
2
;
..3
.05,1.2
36
ymax
max
e
L
Conde
LC
NL
e
L
ou
e
L
onde
LC
NL
e
L
y
x
y
y
y
x
y
x
x
x

 C
máx  1,3. adm
6.2.3 - Armação:
a) Sapata Flexível
b) Sapata Rígida
d
xLN
T x
.8
).( 

máxANonde .,  (À favor da segurança)
6.2.4 - Verificação quanto ao deslizamento horizontal.
5,1
..05,1 1TgN
H 
7 - Sapatas submetidas à carga normal e momentos
fletores agindo perpendicular ao plano da sapata em
duas direções ortogonais.
Estas sapatas ocorrem comumente nos pilares de canto.
Precisamos determinar a posição da linha neutra e verificar
as tensões a que o solo está solicitado.

Autor: Paulo Braga
pg. 20 de 34
Figura 7.1
Carregamento: 1,05.N; Hx; Hy; Mx+Hx.h e My+Hy.h
N
hHyMy
e
N
hHxMx
eo yx
.05,1
.
e
.05,1
.
log




Podemos caracterizar algumas zonas onde atua a resultante das
cargas.
a) Zona I- A resultante das cargas está no núcleo central de
inércia e todas as tensões são de compressão. (Toda a
seção está comprimida)
Condição:
1
0
6
yx
x y
ee
L L
  
max
66.1,05.
1
.
yx
x y x y
eeN
L L L L

 
    
 

Autor: Paulo Braga
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b) Zona II- O centro de gravidade da sapata está na zona
tracionada, devendo a sapata ser redimencionada.
c) Zona III- A zona comprimida tem a forma de um
quadrilátero.
2
. 12
12
x x x
x x
L L L
m
e e
 
       
 
23
.
2
y y
x
L e
tg
m e




max 2 2
212.1,05.
.
. 12
x
x x
L mN
L tg L m





d) Zona IV- A zona compirmida também é um quadrilétero.
2
. 12
12
y y y
y y
L L L
m
e e
 
       
   
23
.
2
x x
y
L e
tg
m e




max 2 2
212.1,05.
.
. 12
y
y y
L mN
L tg L m





e) Zona V- A zona comprimida tem a forma de um pentágono.
Consideramos as excentricidades como positivas e
calculamos a tensão máxima de forma aproximada dada por:
yx
x y
ee
L L
  
   max
1,05.
. 12 3,9. 6. 1 1 2. 2,3 2
.x y
N
L L
         
f) Podemos usar também os gráficos de Plock Foundation
Engeneering Hand Book para determinarmos as tensões no
solo quando a resultante estar no núcleo central de
inércia, ou seja:

Autor: Paulo Braga
pg. 22 de 34
1
6
yx
x y
ee
L L
 
OBS: Devemos ter no mínimo metade da seção comprimda.
Uso dos Gráficos
d""ec""devaloresostrocamoscontráriocasodc
L
e
de
L
e
c
LBlogo
LL
LB
e
y
y
x
x
y
x








 yx LLSeja
S → Sapatas Quadradas
S’→ Sapatas Retangulares
'
. .x
y
LB
s s s
L L
    
              

Autor: Paulo Braga
pg. 23 de 34
9 - Fundações Indiretas (profundas):
9.1 - Cálculo das solicitações nas estacas – processo simplificado.
9.1.1 - Hipótese de cálculo:
a) As estacas são admitidas rotuladas nas suas extremidades,
ou seja, rotuladas nos blocos e rotuladas nas extremidades
em contato com o solo.
b) Supõe-se que todas as estacas tem o mesmo comprimento, ou
seja, atingem a mesma profundidade.
c) Despreza-se as pressões de apoio do bloco no terreno.
d) Em geral admite-se o bloco como sendo infinitamente
rígido.
9.1.2 - Método gráfico de Culmann para determinar esforços nas estacas.
9.1.3 - Estaqueamento plano com estacas paralelas.
Esses estaqueamentos só absorvem esforços de direção paralela
às estacas. Quando existem esforços transversais aos eixos
das estacas e esse forem pequenos, eles podem ser absorvidos
pelas pressões laterais do terreno sobre as estacas, caso
contrário, temos que usar estacas inclinadas.

 22
..
i
iY
i
ix
i
y
yM
x
xM
n
N
F

Autor: Paulo Braga
pg. 24 de 34
Onde:
Fi = Força em cada estaca
N = Carga normal do pilar
N = Número de estacas no bloco
ix e iy = Distâncias das estacas do centro de gravidade das
estacas
Com os momentos fletores dados por:
yyyxxx eNMMeNMM .e. 11 
9.1.4 - Estaqueamento com estacas inclinadas.
a)
Semelhança de triângulos
2
2
2
21
2
2 1
m
m
mm
m
V
F 


Logo: VF 2
21
2
21
mm
m


Mas :
21
2
22
2
2
222
2
2
2
2
1
.
1 mm
m
V
mm
m
F
m
FF
F
F VV
V






Analogamente:
21
2
11
mm
m
VFi


 e
21
1
1
mm
m
VF
V


b)

Autor: Paulo Braga
pg. 25 de 34
Por semelhança de triângulos:
21
2
21
2
2
2
21
1
2
1
1
1
mm
mm
H
m
mm
m
H
F
F






Mas: 2 22 1 2
222 2
2 1 22 21 1
V
V m mF m m
HF F
F m mm m

   
 
e 1 2
1
1 2
V m m
HF
m m

  

Sejam: m= inclinação da estaca e n= número de estacas
F=
2
1
1V
F
m

c) mmm  21
2
1,2
2 2
V mV
HF   
Obs: Quando existir mais de uma estaca nas direções 1 e 2,
dividimos a força F
V
2,1
por n , para acharmos a força em
cada estaca.
d)
1 1 2
1
1 2 1 2
V m mm
V HF
m mm m

 
 
2 1 2
2
1 2 1 2
V m mm
V HF
m mm m

 
 
e) 11 .V H mF 
12 .V V H mF  
f)
1,2
2
V M
F
a
 

Autor: Paulo Braga
pg. 26 de 34
g)
1,2
4 4
V m M
F H
a
  
3
2 2
V V m
F H 
h) idem ao item g com 1 2 3m m m m  
1 3
1,2
1 3 1 2
.
2( ) 2( )
V m mm M
F V H
m m m m a
  
 
1 32
3
1 3 1 3
.V m mm
F V H
m m m m
 
 
OBS: Nos itens g, h, i se 1 2 3m m m  devemos fazer 1 2
V
m m
e 1 2
H
m m e
3
3
V
F
m o valor de 4
m
também.
i)
1 2m m m  1,2
2
V m M
F H
a
 
3m   3 .V
F V H m 
j)
1,4
4
V M
F
a
 
2,3
4 2
V V m
F H 
Para 1 2m m temos:
1,4
1.
V M
F
n a n
 

2,3
22.
V V m
F H
n n
 


Autor: Paulo Braga
pg. 27 de 34
e

 

p

 

9.2 - Geometria:
Onde:
p= penetração da estaca no
bloco
c= distância entre a face
da estaca e a face do
bloco
W= distância entre estacas
D= diâmetro da estaca
e= distância entre eixos das
estacas
u= distância entre eixo da
e estaca e a face do
bloco
c1= cobrimento da armadura
OBS.: O centro de gravidade das estacas de coincidir com o
ponto de aplicação da resultante das cargas.
9.3 - Recomendações práticas:
a) Valores mínimos
u
1
15
2
R c
D cm
 
 

c1 = recobrimento da armadura = 5cm
C= 15 a 20 cm).
R = raio de dobramento da armadura
 = diâmetro da armadura
2,5.D para estacas pré-moldadas.
3,0.D para estacas moldadas no local ou metálicas.
20 a 30cm para estacas metálicas.
10cm para estacas de concreto.
Se w>3.h devemos colocar uma armadura entre as estacas,
porém, é necessário colocar no banzo uma armadura de
suspensão, como no caso de apoio direto. Esta armadura
deve ser dimensionada para uma força total(soma das

Autor: Paulo Braga
pg. 28 de 34
estacas) igual aproximadamente a
1,5
P
n
onde n= número de
estacas ( 3) .
9.4 - Classificação:
a) Quanto à rigidez: os blocos devem ser semi-rígidos, para
isso d e
b) Quanto à quantidade de estacas:
- Blocos com uma estaca
- Blocos com duas estacas
- Blocos com três estacas
- Blocos com quatro estacas
9.5 - Blocos sobre uma estaca
Solução pouco recomendada, porém muito usada. É um elemento
de ligação entre a estaca e o pilar.
Os blocos sobre
uma estaca devem
ser travados nas
duas direções com
vigas de trava-
mento apoiadas em
blocos adjacentes.
As armaduras são
compostas por
estribos hori-
zontais e verticais. Os estribos verticais são calculados
como se o bloco fosse um pilar submetido à compressão axial e
os estribos horizontais para absorver tensões de tração
horizontais.

Autor: Paulo Braga
pg. 29 de 34

9.5.1 - Geometria do bloco de uma estaca.
xCDB 2
Rigidez
0,7( )
0,7( )
B D
d
B b

 

9.5.2 - Mecanismo idealizado.
2 ( )
.
4 4 2
B b B b
tg
d d

 
   
 
2
N
T tg 
d
bBN
d
bBN
T
)(25,0
4
)( 



Recomendação do C.E.B 
0,3 ( )N B b
T
d
  

Obs.: Quando d>B substituir B por d.


Autor: Paulo Braga
pg. 30 de 34
9.5.3 - Armaduras.
Estribo horizontal:
yd
sh
f
Tf
A



Ash  Área de aço total. Dividir por dois para estribos de 2
ramos.
Estribo vertical (área total).
sd
cd
sv
f
AcfNf
A


85,0
e realcsv AA %5,0min 
9.6 – Blocos sobre duas estacas
9.6.1 - Recomendações de Blèvot.
Rigidez
45º 0,5
2
55º 0,7
2
b
d e
b
d e


 
    
 
 
    
 
d
be
d
be
tg
4
)2(1
42








(2 ) (2 )
. .
2 2 4 8
N N e b n e b
T tg
d d

 
  
d
beN
d
beN
tg
N
T
.8
).2.(
.4
).2(
.
2
.
2



 
 
 

Autor: Paulo Braga
pg. 31 de 34
9.6.3 - Armaduras.
Armadura principal 
yd
s
f
Tf
A



Estribo Vertical  1210800 ckNN 
1010800 ckNN 
Estribo Horizontal 
8
s
sh
A
A  (Por face)
(Usar estribos de dois ramos)
Armadura superior 
5
´ s
s
A
A 
Aumenta a rigidez dos blocos à torção.
Obs.: Quando atuar momento fletor no bloco 
d
M
d
beN
T
.2.8
).2(



Segundo M.Frémy  








 2
2
3
1
4 e
b
d
eN
T
9.7 – Blocos sobre três estacas
Rigidez:














2
.825,055
2
.58,045
0
0
b
ed
b
ed


1
3
2
e
h 

Autor: Paulo Braga
pg. 32 de 34
Método das bielas segundo as medianas.
 
3
3 3 0,90,3
3
d d
tg
e e bb
  
   
 
 3 3 0,9
9
N
N
tg T e b
T d
    
Segundo os lados (armadura em laços) – M. Frêmy
(2 )
9
N
T e b
d
 
Segundo as diagonais (armadura em laços) – M. Frêmy
 3 2 2 3 2
3 6.
3 3 8
e a P e aP P
T tg
d d


  
9.7.3 - Armaduras.
yd
s
f
Tf
A



Estribo Vertical  Não existe
8
s
sh
A
A  (Por face)
Malha superior e inferior 
5
´ s
s
A
A 
9.7.4 - Verificação das tensões nas bielas comprimidas.
 

Autor: Paulo Braga
pg. 33 de 34
Tensão máxima de compressão no concreto:
a) Junto ao pilar
pilardoáreaonde.60,0
. 2
 p
p
Afck
senA
N

b) Junto a estaca
estacadaáreaonde.60,0
..2 2
 e
e
Afck
senA
N

9.8 – Blocos sobre quatro estacas
Rigidez:














2
55
2
.71,045
0
0
b
ed
b
ed




Autor: Paulo Braga
pg. 34 de 34
Método das bielas segundo os lados.
d
b
eN
d
b
e
N
T
T
N
tg
b
e
e
b
e
d
be
d
be
d
tg
.8
2
.
.2
2
.
4
1
.
4
2
.2
2
.2
.4
4
.2
42





































 











9.8.3 - Armaduras.
yd
s
f
Tf
A



Estribo Vertical  Não existe
8
s
sh
A
A  (Por face)
Malha superior e inferior 
5
´ s
s
A
A 
9.8.4 - Verificação das tensões nas bielas comprimidas.
Tensão máxima de compressão no concreto:
c) Junto ao pilar
pilardoáreaonde.90,0
. 2
 p
p
Afck
senA
N

d) Junto a estaca
estacadaáreaonde.90,0
..4 2
 e
e
Afck
senA
N


 

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