O documento apresenta três resoluções de exercícios de mecânica analítica. A primeira resolução calcula a reação de um aro sobre uma partícula colocada em seu topo através dos multiplicadores de Lagrange. A segunda obtém as equações de Hamilton para o movimento de um pêndulo acoplado a uma mola. A terceira encontra a Lagrangeana e a Hamiltoniana para uma partícula sob a influência de um potencial dependente da velocidade.

1. Resolução da Lista 7 de FF-207
01. Uma partícula pesada é colocada no topo de um aro circular
vertical. Calcule a reação do aro na partícula através dos
multiplicadores de Lagrange e das equações de Euler-Lagrange.
Encontre de que altura a partícula se desprende.
SOLUÇÃO:
Vamos escolher (r,θ) como coordenadas
generalizadas para o sistema. Temos,
então, duas coordenadas generalizadas,
mas apenas um grau de liberdade, pois a
partícula está vinculada a andar sobre a
superfície do aro. Assim, temos apenas
uma equação de vínculo, mostrada a
seguir:
É fácil ver que esse vínculo é holonômico e escleronômico.
Para usarmos o método dos Multiplicadores de Lagrange
devemos reescrever a equação de vínculo como:
Ou dividindo tudo por :
Onde varia sobre as coordenadas generalizadas e
varia sobre as equações de vínculo. Assim, temos
e .
Da equação de vínculo, temos:
Daí, tiramos que:
Assim, teremos apenas um multiplicador de Lagrange, .

2. A energia cinética e a energia potencial do sistema são dadas
por:
Então, o sistema tem a seguinte Lagrangeana:
Daí, temos que:
Com a inclusão dos multiplicadores de Lagrange, as equações de
movimento são dadas por:
Então, temos o seguinte sistema:
Como , temos:
Fazendo , e substituindo na segunda equação, temos:
As condições iniciais são:

3. Então, . Daí, temos:
Substituindo na primeira equação, encontramos:
Interpretando fisicamente, temos que o valor de é igual ao
valor da reação do aro sobre a partícula (fica fácil de ser
visualizado resolvendo por Newton).
De fato, esse resultado é coerente com a teoria, pois temos que:
Onde é a k-ésima força generalizada de vínculo, i.e., das
forças não conservativas.
Quando a partícula se desprender, . Então:
Assim, a altura com que ela se desprende é:
02. Para o pêndulo de comprimento L que se move no plano
vertical, vinculado a uma mola de constante elástica K, que se
move somente na vertical, obtenha as equações de Hamilton
para o movimento do sistema.
SOLUÇÃO:
Para esse problema, vamos
escolher as coordenadas
generalizadas (y,θ) , pois θ
descreve o movimento da massa
em relação ao ponto de apoio e y
descreve a variação desse ponto

4. de apoio, em relação ao teto, por exemplo, que é um referencial
inercial. Com isso, descrevemos a energia cinética e a potencial
como:
Assim, a Lagrangeana fica:
Então, vamos escrever a Hamiltoniana utilizando a
transformação de Legendre:
Fazendo as substituições necessárias para eliminar e
acrescentar , temos:
Sabemos que as equações de Hamilton são:
Logo, as equações de Hamilton para o sistema são:
03. Para o exercício da Lista 4: “Uma partícula move-se num plano
sobre a influência de uma força, atuando em direção a um
centro de força cuja magnitude é:

5. Onde r é a direção da partícula ao centro de força.
Encontre o potencial generalizado que resulta em tal força, e
dada a Lagrageana para o movimento no plano.”
Foi encontrado um potencial dependente da velocidade da
forma , escreva a Lagrangeana e a Hamiltoniana
para uma partícula movendo-se sob a influência deste potencial.
SOLUÇÃO: A partícula se move no plano, então sua energia
cinética é:
Então, a Lagrangeana é:
Daí, temos:
Então, vamos escrever a Hamiltoniana utilizando a
transformação de Legendre:
Fazendo as substituições necessárias para eliminar e
acrescentar , temos: