Relatório de Atividades 2008

relatório
De
Atividades

2008

“Ai daqueles que pararem com sua capacidade
de sonhar, de invejar, sua coragem de anunciar
e denunciar. Ai daqueles que, em lugar de
visitar de vez em quando o amanhã pelo
profundo engajamento com o hoje, com o aqui
e o agora, se atrelarem a um passado de
exploração e rotina”.

Paulo Freire

RESUMO

O presente documento tem a finalidade de apresentar o trabalho
realizado pelo Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos no ano de 2008. Dando
continuidade às atividades realizadas em 2007, além de atividades expositivas,
como o evento “Venha nos Conhecer”, o grupo teve a oportunidade de mostrar o
resultado da iniciativa da inserção dos jogos como ferramenta complementar ao
ensino de matemática através da participação em eventos científicos, na própria
universidade e fora dela. Deste modo foi possível comprovar a importância de tal
realização, uma vez que todos os trabalhos científicos submetidos, num total de
25, foram publicados. Sendo assim, o presente relatório será composto pelo
relato da participação do grupo na atividade expositiva que ocorreu na própria
unidade, pela análise do desempenho do grupo, pela apresentação dos trabalhos
publicados no ano de 2008, e pela avaliação do projeto como um todo.

Palavras-chave: Jogos Matemáticos, Modificação no Ensino, Formação de
Educadores.

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 1

PROPOSTA 1

DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO 2

AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO DO GRUPO 9

RESULTADOS 10

APÊNDICE 11

INTRODUÇÃO

A utilização de jogos matemáticos, como instrumento facilitador do
processo de ensino e aprendizagem, exige que seus objetivos pedagógicos sejam
bem claros e que seja priorizada a qualidade. Além de ser um objeto sociocultural
em que a Matemática está presente, o jogo é uma atividade natural no
desenvolvimento dos processos psicológicos básicos; supõe um fazer sem
obrigação externa e imposta, embora demande exigências, normas e controle.

PROPOSTA

O trabalho realizado durante todo o tempo de atividade do grupo, além
de propor a visão dos jogos matemáticos como ferramenta complementar ao
ensino de matemática, apresentando a contribuição pedagógica que a inserção
do jogo apresenta durante o processo de ensino/aprendizagem realizado nas
escolas de ensino infantil e fundamental; inovou em possibilitar aos acadêmicos
do curso de Licenciatura em Matemática da Feis – Unesp, um “primeiro contato”
com a atividade na qual está sendo formado para desenvolver e isso desde o ano
em que ingressa no curso. Assim, abordando o uso de ferramentas alternativas e
podendo experimentá-las, mesmo durante sua formação, o estudante do curso
de Licenciatura em Matemática (futuro professor de matemática) se torna melhor
habilitado a contribuir com um ensino de qualidade. Portanto, os jogos, quando
tratado da maneira correta, traz grande benefícios para o ensino de matemática
e, ao formar professores capacitados ao trabalho com jogos a universidade
1

mostra mais uma vez seu compromisso com a responsabilidade social. Além
disso, merece enfoque à submissão de trabalho científico a eventos vários, em
decorrência da pesquisa e experimentação realizada durante o processo.

DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO

Além de alguns dos alunos da formação anterior (ano de 2007), em
2008 outros alunos foram agregados ao grupo. Deste modo os alunos do curso de
Licenciatura em Matemática que fizeram parte do “Grupo de Estudo sobre Jogos
Matemáticos” no ano de 2008 foram:

• Aline Gomes da Motta
• Aline Jardim da Silva
• Deleon Monteiro de Alvarenga
• Edcarlos Lopes Ferreira dos Santos
• Geison Fernando Medeiros Queiroz
• Gustavo Carvalho Molina
• Jonatas Estevan Soares da Silva
• Nathália Mantovanelli Bevilaqua
• Silvio Riva Junior
• Tiago Henrique Pereira da Silva
• Vinicius Arthur dos Santos Guissi

2

Neste ano, do mesmo modo que no anterior, o grupo esteve sob
coordenação da professora Dalva Maria de Oliveira Villarreal, e supervisão das
professoras Alessandra Bonato Altran e Mara Lúcia Martins Lopes.
Além da abordagem dos jogos trabalhados anteriormente, Cubo Soma,
Kakuro, Quadrado Mágico e Sudoku, tornou-se foco de estudo os jogos Tangram e
Torre de Hanói, culminando na inserção e aplicação dos mesmos nas atividades
expositivas realizadas pelo grupo. Além disso, foi iniciada a pesquisa sobre novos
jogos, tais como, Nikoli, Poliminós, Hitori, Cubo Mágico, Mancala, Quatro quatros,
Cubo Bedlan, entre outros, porém, não houve tempo hábil de iniciar a fase de
aplicação dos mesmos.
No ano de 2008 o grupo realizou apenas uma apresentação expositiva,
que ocorreu no evento “Venha nos Conhecer”, que tem por finalidade a
apresentação dos cursos à comunidade, contribuindo na escolha da profissão por
parte dos vestibulandos. Como nos anos anteriores foram disponibilizados dois
“stands” para o curso de Matemática; neles foram expostos vários jogos do LEM
e, na medida em que eram visitados, os componentes do grupo apresentavam
cada jogo. O evento realizou-se em dois dias e contou com a visitação de alunos
das escolas da região e da comunidade acadêmica em geral.
Como o grupo já dispunha de bastante resultados, apostou-se na
iniciativa de fazer com que os alunos do grupo tivessem a possibilidade de
desenvolver trabalhos acadêmicos para participação em eventos científicos. Essa
nova fase foi bastante trabalhosa uma vez que era o primeiro contato com esse
tipo de atividade.
A produção dos textos a serem submetidos aos eventos foi
acompanhada diretamente pelas professoras supervisoras e pela orientadora do
3

grupo, proporcionando assim, um aprendizado mais direcionado em relação às
normas de submissão, de apresentação, ou seja, a toda formalidade que é
exigida. Deste modo, todo o trabalho árduo do grupo levou a participação do
mesmo em cinco eventos, abaixo relacionado.

Encontro Regional de Matemática Aplicada e
Computacional – ERMAC

Este evento foi realizado na cidade de Bauru-SP, durante o período de
18 a 20 de julho de 2008, sendo publicados pelo grupo cinco trabalhos, que são:

1 ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES,
Mara Lúcia Martins. Atividades Matemáticas Envolvendo Jogos – Uma
Modificação no Ensino. 1º ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA
APLICADA E COMPUTACIONAL - ERMAC 2008, Bauru – SP, p.497 - 501,
2008.

2 ALVARENGA, Deleon Monteiro; RIVA JUNIOR, Silvio; GUISSI, Vinícius Arthur
S., ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES,
Mara Lúcia Martins. Utilização de Jogos no Ensino de Matemática –
Sudoku. 1º ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E
COMPUTACIONAL - ERMAC 2008, Bauru – SP, p.570 - 570, 2008.

3 MOLINA, Gustavo Carvalho; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva
Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Utilização de Jogos no Ensino
de Matemática – Cubo Soma. 1º ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA
APLICADA E COMPUTACIONAL - ERMAC 2008, Bauru – SP, p.572 – 572,
2008.

4 SILVA, Aline Jardim; SANTOS, Edcarlos Lopes Ferreira; SILVA, Jonatas Estevan
Soares; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira,
4

LOPES, Mara Lúcia Martins. Utilização de Jogos no Ensino de Matemática –
Kakuro. 1º ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E
COMPUTACIONAL - ERMAC 2008, Bauru – SP, p.571 - 571, 2008.

5 SILVA, Tiago Henrique Pereira; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL,
Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Utilização de Jogos no
Ensino de Matemática – Quadrado Mágico. 1º ENCONTRO REGIONAL DE
MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - ERMAC 2008, Bauru – SP,
p.569 – 569, 2008.

XXXI Congresso Nacional de Matemática Aplicada e
Computacional - CNMAC

Este evento ocorreu na cidade de Belém-PR, no período de 8 a 11 de
setembro de 2008, em que foram publicados mais quatro trabalhos pelo grupo,
sendo esses:

1 ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES,
Mara Lúcia Martins. Utilização de Jogos Matemáticos como Ferramenta
Alternativa à Metodologia Tradicional do Ensino de Matemática.
CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL -
XXXI CNMAC, Belém – PA, 2008.

2 ALVARENGA, Deleon Monteiro; RIVA JUNIOR, Silvio; GUISSI, Vinícius Arthur
dos Santos, ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de
Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Ensino de Matemática Através do
Uso do Jogo Sudoku. CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E
COMPUTACIONAL - XXXI CNMAC, Belém – PA, 2008.

3 MOLINA, Gustavo Carvalho; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva
Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Uso do Jogo Cubo Soma

5

como Instrumento Auxiliar no Ensino de Matemática. CONGRESSO
NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - XXXI CNMAC,
Belém – PA, 2008.

4 SILVA, Aline Jardim; SANTOS, Edcarlos Lopes Ferreira; SILVA, Jonatas Estevan
Soares; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira,
LOPES, Mara Lúcia Martins. A Utilização do Jogo Kakuro no Ensino de
Matemática. CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E
COMPUTACIONAL - XXXI CNMAC, Belém – PA, 2008.

IX Encontro Paulista de Educação Matemática – EPEM

Tal evento foi realizado na cidade de Bauru-SP, entre os dias 25 e 27 de
setembro de 2008, em que o grupo publicou mais seis trabalhos:

1 BEVILAQUA, Nathália Mantovanelli; ALTRAN, Alessandra Bonato;
VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Jogo
Tangram como Ferramenta Complementar ao Ensino de Matemática. IX
ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EPEM, 2008, Bauru -
SP, 2008.

2 RIVA JUNIOR, Silvio; GUISSI, Vinícius Artur dos Santos; ALTRAN, Alessandra
Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O
Jogo Sudoku como uma Alternativa no Ensino de Matemática. IX
ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EPEM, Bauru - SP,
2008.

3 SANTOS, Edcarlos Lopes Ferreira, ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL,
Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Uso da Torre de
Hanói no Ensino de Matemática. IX ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA - EPEM, Bauru - SP, 2008.

6

4 SILVA, Aline Jardim; SILVA, Jonatas Estevan Soares; ALTRAN, Alessandra
Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O
Kakuro como uma Ferramenta no Aprendizado de Matemática. IX
2008.

5 SILVA, Jonatas Estevan Soares; MARQUES, Meire Melo; ALTRAN, Alessandra
Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira; LOPES, Mara Lúcia Martins. O
Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática. IX
2008.

Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Jogo Quadrado
Mágico como Auxílio ao Ensino Tradicional de Matemática. IX ENCONTRO
PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EPEM, Bauru - SP, 2008.

Congresso de Iniciação Científica da Unesp – CIC

Evento realizado na cidade de São José dos Campos, no período de 27
de outubro a 01 de novembro de 2008, em que também foram publicados seis
trabalhos. Estes mesmos trabalhos foram apresentados na Reunião de Iniciação
Cientifica - RIC, realizada em Ilha Solteira, sendo esses:

VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins.
Matemática Lúdica: O Jogo Tangran. CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA
DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.

2 GUISSI, Vinícius Arthur dos Santos, ALTRAN ALTRAN, Alessandra Bonato;
VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Sudoku:
7

Uma Alternativa no Ensino e Aprendizagem de Matemática. CONGRESSO
DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos –
SP, 2008.

3 SANTOS, Edcarlos Lopes Ferreira; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL,
Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Uso da Torre de
Hanói no Ensino da Matemática. CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA
UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.

4 SILVA, Aline Jardim; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria
de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Jogo Kakuro: Uma Proposta de
Auxílio no Aprendizado de Matemática. CONGRESSO DE INICIAÇÃO
CIENTÍFICA DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.

5 SILVA, Jonatas Estevan Soares; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL,
Dalva Maria de Oliveira; LOPES, Mara Lúcia Martins. O Cubo Soma como
Ferramenta na Aprendizagem da Matemática. CONGRESSO DE INICIAÇÃO
CIENTÍFICA DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.

Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Atividades
Matemáticas Envolvendo Jogos – O Quadrado Mágico como Recurso no
Complemento da Aprendizagem. CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA
UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.

16o Simpósio Internacional de Iniciação Científica da
USP - SIICUSP

Este evento se realizou na cidade de São Paulo – SP, no período de 3 a 5
de novembro de 2008, neste evento o grupo publicou mais quatro trabalhos, que
foram:

8

Tangran no Ensino de Matemática. SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE
INICIAÇÃO CIENTÍFICA – SIICUSP 2008, São Paulo – SP, 2008.

2 GUISSI, Vinícius Arthur dos Santos, ALTRAN ALTRAN, Alessandra Bonato;
Matemático Sudoku como Ferramenta no Ensino e Aprendizagem de
Matemática. SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA –
SIICUSP 2008, São Paulo – SP, 2008.

3 SILVA, Jonatas Estevan Soares; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL,
Dalva Maria de Oliveira; LOPES, Mara Lúcia Martins. O Cubo Soma como
Ferramenta na Aprendizagem de Matemática. SIMPÓSIO INTERNACIONAL
DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA – SIICUSP 2008, São Paulo – SP, 2008.

Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Jogos no Ensino de
Matemática – O Quadrado Mágico como Recurso de Aprendizagem.
SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA – SIICUSP 2008, São
Paulo – SP, 2008.

AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO DO GRUPO

Por ser já ter ocorrido um processo longo de pesquisa, ambientação,
aplicação em sala de aula no ano de 2007, durante o ano de 2008 o grupo
apresentou um bom desempenho em relação às atividades propostas, inclusive
na fase da confecção dos trabalhos científicos, que era uma experiência nova para

9

o grupo, isso se deu devido o fato de já terem adquirido maturidade em relação
ao esquema de trabalho proposto pelas supervisoras.

RESULTADOS

Ao final de mais um ano de trabalho pode-se dizer que o resultado
novamente superou as expectativas. Além das atividades de costume, o grupo se
saiu muito bem na proposta de disseminação da idéia da utilização de material
lúdico, através dos trabalhos científicos.
Vale ressaltar, novamente, a grandiosa contribuição que o projeto
trouxe a comunidade como um todo. Os alunos integrantes do grupo tiveram um
amadurecimento significativo com a atividade na qual desenvolveram, tanto com
os alunos das escolas quanto na questão expositiva dos trabalhos científicos;
adquiriram a habilidade da pesquisa, do trabalho em grupo, da organização do
tempo, do comprometimento e formalização de trabalho científico.
A atividade com jogos matemáticos, mais uma vez proporcionou a
modificação na estrutura educacional, visando o ensino de qualidade tanto na
universidade, permitindo aos alunos a oportunidade de conhecer de perto a
profissão que escolheram, contribuindo assim para sua formação, quanto nas
escolas de ensino infantil, fundamental e médio, modificando a realidade do
ensino, principalmente de matemática, tornando-o mais atrativo através da
utilização jogos matemáticos como ferramentas educacionais alternativas.

10

APÊNDICE

• Considerações Finais – Mensagem da profa Alessandra.

• Produção Científica (Artigos Publicados).

• Registro das Apresentações Realizadas.

11

ÚLTIMAS PALAVRAS

Cá estou eu, mais uma vez findando um trabalho que me orgulho muito
em poder divulgar através desse simples documento. Para muitos pareça ser algo
pouco significante, para mim é um ato de fundamental importância, pois, relatar
o trabalho realizado, e arduamente, o torna mais real, e possibilita aos leitores
libertar as amarras quanto a uma iniciativa que muitas vezes ficam apenas na
vontade de ter...

Quem sabe meu exemplo não o deixe mais motivado a tentar; como
disse no relatório anterior (2007), trabalhar com esse grupo foi um desafio que se
tornou numa grande batalha. Não foi fácil trabalhar no que não se pode
trabalhar, ou, melhor dizendo, não é fácil trabalhar às escuras apenas porque o
regimento da universidade não permite a um professor substituto, que é minha
condição, desenvolver outra atividade que não seja o ensino (em sala de aula).
Falando em ensino, está aí outro problema que se enfrenta numa faculdade de
engenharia em que os cursos de licenciatura ainda estão “engatinhando” e sendo
aceitos como licenciatura, não foi fácil...

É, mesmo com várias restrições o fato de eu ter conseguido levar a
diante essa idéia, cujo resultado foi muito bem aceito por pessoas de mérito na
área (comprovado com a publicação dos 25 trabalhos), só mostra o quanto vale a
pena investir na educação.

Assim, quero deixar registrado meu imenso orgulho pelo trabalho do
grupo como um todo, para o qual me dediquei de coração, e ainda, agradecer

pela oportunidade de poder contribuir com a formação de bons profissionais da
educação, pois, é isso que espero dos alunos que acompanhei.

Espero, ainda, que esse trabalho não pare por aí, há muito a se fazer, há
muito chão para percorrer, há muitas crianças para educar, há muitos professores
para se formar... E, um trabalho grandioso como este, não pode mais ficar fora do
papel, é preciso investir e investir pesado na formalização deste projeto, esse é o
apelo que deixo registrado aqui. Invistam na formação de bons professores, de
professores que sejam capazes de estar em constante aprendizagem, buscando
sempre ferramentas para tornar o aprendizado prazeroso.

“Acredito que um tal sistema educativo permitirá o mais alto
desenvolvimento da mente e da alma. É preciso, porém, que o
trabalho manual não seja ensinado apenas mecanicamente, como
se faz hoje, mas cientificamente, isto é, a criança deveria saber o
porquê e o como de cada operação (Mahatma Gandhi)”.

Portanto, como eu sempre digo, você pode fazer a diferença, mas isso
não depende mais de mim, o que eu podia fazer para mudar sua condição eu já
fiz, contei minha experiência, e com muito orgulho, agora cabe a você subir no
“palco” e dar o seu “show”.

Por fim, como não poderia deixar de fazer, parabenizo o grupo pelo
belo trabalho desenvolvido e deixo meus agradecimentos àqueles que
contribuíram de alguma forma com a realização das atividades e à prof. Dalva

que, mesmo não podendo ser presença constante, devido suas várias atribuições
frente à universidade, sempre deu suporte ao grupo, principalmente nas questões
burocráticas, o que foi fundamental para que os alunos pudessem ser deslocados
da universidade para as escolas, durante a atividade em sala de aula, e para os
eventos nos quais foram apresentados os artigos publicados (ressaltando a
liberação do recurso financeiro para tanto), e na questão da integridade do grupo
quanto a não-aceitação por parte de alguns de nossos colegas de trabalho... Por
causa dela, “Tiveram que nos engolir.”

Enfim, sem qualquer modéstia somos vitoriosos, pois, como segundo
Freire:

“A educação sozinha não transforma a sociedade, sem ela tão
pouco a sociedade muda. Não é no silêncio que os homens se
fazem, mas na palavra, no trabalho, na ação-reflexão”.

Alessandra

“ENCONTRO REGIONAL DE
MATEMÁTICA APLICADA E
COMPUTACIONAL - ERMAC”

Bauru – SP

18 a 20 de Junho de 2008

Atividades Matemáticas Envolvendo Jogos – Uma
Modificação no Ensino
Alessandra B. Altran, Dalva M. O. Villarreal, Mara L. M. Lopes
Depto de Matemática, FEIS, UNESP
15385-000, Ilha Solteira, SP
E-mail: lealtran@mat.feis.unesp.br, dalva@mat.feis.unesp.br, mara@mat.feis.unesp.br

O objetivo deste trabalho é relatar a jogo para a vida da criança, do jovem e do
experiência da utilização de jogos adulto [2].
matemáticos como uma alternativa à Este tipo de formação é inexistente
metodologia tradicional do ensino de nos currículos oficiais dos cursos de formação
matemática. Para tanto, será apresentado o de educadores, entretanto, algumas
desenvolvimento do trabalho envolvendo, experiências mostram sua validade; e não são
tanto os alunos do curso de Licenciatura em poucos que afirmam ser a ludicidade a
Matemática, da Unesp de Ilha Solteira, quanto alavanca da educação para o terceiro milênio
os alunos da rede municipal de ensino do [7]. Porém, vale ressaltar que a utilização dos
município de Ilha Solteira (SP) e Selvíria jogos não é uma novidade no processo
(MS). Serão apresentadas, ainda, as educacional. A literatura mostra que na
contribuições dessa atividade em relação às antiguidade essa ferramenta já era utilizada.
escolas de ensino fundamental e, Muitos são os registros da contribuição da
principalmente, ao estudante universitário, atividade lúdica, mais especificamente, os
através da experiência prática adquirida com a jogos. Porém, ainda hoje, é pouco comum
atividade na qual está sendo formado para encontrar escolas que fazem uso desse recurso,
desenvolver. mesmo estando em destaque nos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN). Segundo os
Introdução PCN, não existe um caminho único e melhor
para o ensino da Matemática, veja o trecho a
A atividade lúdica é, essencialmente, seguir:
um grande laboratório em que ocorrem ''Finalmente, um aspecto relevante nos
experiências inteligentes e reflexivas, jogos é o desafio genuíno que eles provocam
propiciando a aquisição de conhecimento. no aluno, que gera interesse e prazer. Por isso,
Assim, ocorre a preocupação de complementar é importante que os jogos façam parte da
o processo educativo dos futuros educadores, cultura escolar, cabendo ao professor analisar
ou seja, deseja-se fazer com que os alunos do e avaliar a potencialidade educativa dos
curso de Licenciatura em Matemática, desde o diferentes jogos e o aspecto curricular que se
inicio do curso, tenham contato com as deseja desenvolver'' [8].
ferramentas pedagógicas alternativas. Assim, de forma a modificar essa
A formação lúdica possibilita o realidade, objetiva-se a utilização dos jogos
desenvolvimento de certas habilidades matemáticos como ferramenta facilitadora de
imprescindíveis para o aprendizado de aprendizagem; considerando que, conhecer as
Matemática e para a resolução de problemas possibilidades de trabalho em sala de aula é
em geral, tais como, organização, atenção e fundamental para que o professor construa sua
concentração [1]. Existem jogos que encerram prática. Portanto, esta é uma proposta que
em suas soluções lições valiosas, muito atinge tanto o educando, quanto o futuro
semelhantes à resolução sistemática de educador.
problemas.
Além disso, a atividade lúdica leva o Iniciativa
educador a conhecer-se como pessoa, saber de
suas possibilidades, desbloquear resistências e Em 2006, ocorreu a primeira proposta
ter uma visão clara sobre a importância do de estudo sobre jogos matemáticos. Para tanto,

foi organizado um grupo, composto por alunos composto por doze alunos, do curso de
do primeiro ano do curso de Matemática. Licenciatura em Matemática (ingressantes em
Foram estudados alguns jogos que o LEM 2007) e por três professores do departamento
(Laboratório de Ensino de Matemática) de Matemática
dispunha; tais como, Torre de Hanói, A primeira etapa do trabalho foi
Quadrado Mágico e Tangram. Porém, tal composta pela realização do levantamento dos
pesquisa foi realizada de forma bastante jogos que o LEM dispunha, e a seleção de
superficial, pois, os alunos ainda apresentavam quais seriam abordados, já que a primeira
dificuldades nos conceitos matemáticos proposta era a apresentação do referido
envolvidos. O resultado dessa pesquisa inicial evento. Foram selecionados quatro jogos
foi apresentado na Oficina “Jogos matemáticos: Quadrado Mágico, Kakuro,
Matemáticos”, na V Semana da Matemática Sudoku e Cubo Soma, com mostra a Figura 1.
desta instituição.
Em 2007, essa proposta foi retomada Quadrado Mágico Kakuro
quando as disciplinas Álgebra Elementar (1o
semestre) e Fundamentos de Matemática
Elementar (2o semestre), reformuladas de
modo a cumprir a exigência do MEC de
introduzir aulas teórico-práticas em algumas
disciplinas, fez uso dos jogos matemáticos
para evidenciar a aplicação da teoria estudada. Sudoku Cubo Soma
A princípio, a prática aplicada nas
disciplinas só tinha o propósito de cumprir os
preceitos determinados pelo MEC. Porém, um
convite realizado pela coordenação do curso
de Licenciatura em Matemática em oferecer,
em um evento promovido pelo próprio
departamento, uma oficina que abordasse Figura 1 – Jogos escolhidos para desenvolvimento da
jogos matemáticos, levou à formação do atividade
“Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos”.
Desta vez, o trabalho se deu de forma bem Assim, houve a necessidade de dividir
elaborada, uma vez que os alunos já o grupo de forma a abordar os quatro temas,
apresentavam maior domínio das teorias formando assim, subgrupos de três alunos.
envolvidas, pelo fato de terem sido tratadas Apesar de cada grupo ter ficado responsável
nas disciplinas. por apenas um jogo, exigiu-se que os mesmos,
através dos demais, tomassem conhecimento
dos outros jogos, ou seja, de qualquer forma
Desenvolvimento da Proposta todos os alunos deveriam conhecer os quatro
jogos.
O trabalho objetivou a abordagem A primeira tarefa proposta ao grupo
apurada dos jogos matemáticos, como foi realizar o levantamento bibliográfico sobre
alternativa à metodologia tradicional do ensino a teoria envolvida e o estudo do método de
de matemática, ou seja, além de propor ao resolução de cada jogo. Os alunos utilizaram
grupo a pesquisa sobre a funcionalidade de os livros da biblioteca do campus e a internet.
cada jogo; propôs-se também, a abordagem de Durante esse processo surgiu idéia de
toda a fundamentação teórica e pedagógica levar o grupo ao atendimento direto aos alunos
envolvida. do ensino fundamental. Para tanto, foi
Com já mencionado anteriormente, o necessário fazer com que cada grupo tivesse
trabalho teve início com a formação do grupo, condições de confeccionar os jogos, pois, com
cujos alunos foram selecionados através da a livre manipulação de materiais variados, a
análise de seu desempenho nas atividades de criança passa a reconstituir e reinventar as
prática de ensino das disciplinas tratadas coisas, o que já exige uma adaptação mais
acima, ou seja, que apresentaram bom completa [3]. Assim, os alunos desenvolveram
desempenho e maior habilidade de expressão, uma pesquisa que os levou a estarem aptos à
colocação e didática. Assim, o grupo foi confecção de cada jogo. Durante esse processo

de experimentação, foram utilizados os Segunda atividade
materiais que o LEM dispunha. “Venha nos Conhecer”
Terminada a fase de preparação, os (28 e 29 de setembro de 2007 - Feis/Unesp)
alunos estavam prontos para “irem a campo”.
Assim, foram realizadas quatro apresentações, Tal evento tem a finalidade de
sendo duas em eventos da própria apresentar à comunidade um pouco do que
universidade e duas em escolas de ensino cada profissão pode agregar, facilitando assim,
fundamental. A descrição detalhada de cada a escolha por parte dos vestibulandos. Pelo
uma das quatro atividades desenvolvidas será fato deste evento ter uma característica
feita no que segue. expositiva, fez-se necessário a apresentação de
uma variedade maior de jogos, levando os
Primeira atividade integrantes do grupo a conhecerem a
“VI Semana da Matemática” metodologia de cada jogo. Contou-se com a
(20 e 21 de setembro de 2007 - Feis/Unesp) disponibilização de dois “stands” para o curso
de Matemática; neles foram expostos vários
Como dito anteriormente, essa foi à jogos do LEM, como mostra a figura 3.
primeira apresentação realizada e,
conseqüentemente, a atividade que mais deu
trabalho. Devido o tipo de evento foi
necessário formalizar melhor a teoria
matemática e a aplicação pedagógica dos
jogos, pois, o público alvo eram alunos da
própria universidade e professores do ensino
fundamental e médio. Para essa atividade foi
necessária a confecção de vários materiais,
pois, não era apenas uma apresentação
informativa, mas sim, participativa, em que,
abordaram-se os quatro jogos citados, que
podem ser vistos através da figura 2. Figura 3 – Fotos do Venha nos conhecer
Cada grupo apresentou o tema no qual
foi designado, apesar de poucos, houve Dessa forma, os alunos explicavam
interação com os participantes, que sobre os jogos à medida que grupos de
desenvolveram as atividades propostas. visitantes passavam pelo “stand”. O evento
realizou-se em dois dias e contou com a
visitação de alunos das escolas da região e da
comunidade acadêmica em geral.
Essa apresentação abriu portas para o
grupo de estudos, muitos foram os
interessados em conhecer tal atividade. Foi
durante a realização deste trabalho que os
alunos tiveram um grande reconhecimento e, a
partir daí, o grupo recebeu o convite do
colégio Anglo para demonstração dos jogos
matemáticos em suas dependências.

Terceira atividade
“Escola Municipal Prof. Nelson Duarte
Rocha”
(14 de novembro de 2007 - Selvíria/MS)

O convite feito pela escola “Prof.
Nelson Duarte Rocha”, para surpresa de todos,
foi intermediado por uma professora de
Figura 2 – Fotos da IV Semana da Matemática Língua Portuguesa, que mostrou grande

comprometimento com seu ambiente de A atividade foi desenvolvida através
trabalho. da exposição dos jogos do LEM, da mesma
A apresentação foi realizada de forma forma que ocorreu na segunda atividade,
muito parecida à da primeira atividade, porém, dispostos em uma sala de aula, como
também foram abordados os jogos Cubo mostra a figura 5.
Soma, Kakuro, Sudoku e Quadrado Mágico,
porém, adaptados aos alunos de cada série, no Resultados
caso quarto e sexto ano, veja a figura 4.
A atividade envolvendo jogos
matemáticos trouxe muitos benefícios, pois,
foi possível comprovar que o jogo possibilita a
aproximação do sujeito ao conteúdo científico,
através da linguagem, informações,
significados culturais, compreensão de regras,
imitação, bem como pela ludicidade inerente
ao próprio jogo, assegurando assim, a
construção de conhecimentos mais elaborados
e interação social [5], [6].
Em relação aos alunos participantes do
grupo, por serem alunos do primeiro ano do
curso de Licenciatura em Matemática, levou-
se em consideração que os mesmos estavam
em fase de aprendizado e adaptação com as
atividades acadêmicas, assim, a interferência
da coordenação foi fundamental para o bom
Figura 4 – Fotos da visita à escola municipal Nelson
Duarte rocha
desenvolvimento das atividades.
Assim, durante todo o processo, os
Quarta Atividade alunos iam vencendo barreiras. Na primeira
“Colégio Anglo – Iha Solteira” etapa a maior dificuldade apontada por eles
(19 de novembro de 2007 - Ilha Solteira/SP) era encontrar material para fundamentar cada
jogo, já que esse tipo de abordagem não é
Como dito acima, após tomar muito usual. Já na segunda etapa, como era
conhecimento do trabalho desenvolvido pelo esperado, os alunos esbarraram no
grupo, o colégio Anglo fez um convite para preconceito, pois, a idéia de aprendizado
participação em uma atividade expositiva que voltado ao ensino, ainda não é uma das mais
envolvia pais, alunos e funcionários do próprio bem aceitas dentro de um ambiente cujo
colégio. contexto é voltado simplesmente à
aprendizagem do conteúdo, apesar de o curso
ser Licenciatura.
No geral, todos se comportaram muito
bem, atenderam às expectativas. Por ser um
primeiro contato com a atividade de pesquisa e
de docência, apresentaram certa insegurança,
que foi sendo minimizada ao passo que as
apresentações vinham ocorrendo. Vale
ressaltar que o modo com o qual os alunos
colocaram os jogos na tentativa de seduzir os
alunos, de forma a introduzir a teoria
matemática envolvida, foi surpreendente
Assim, foi notório o amadurecimento e
crescimento individual que essa atividade
provocou nesses alunos.
Agora, em relação aos alunos do
ensino fundamental, pouco se pode dizer, pois,
Figura 5 – Fotos da visita ao colégio Anglo - ISA foram realizadas apenas duas visitas e, em

locais diferentes, mas, mesmo assim foi Perspectivas Futuras
possível observar o grande contentamento que
tal atividade trouxe aos alunos, comprovando Para o ano de 2008 a proposta é dar
a afirmação de Guzmán, que reforça que a continuidade ao trabalho, pois, ainda há muita
utilização de jogos no ensino de Matemática contribuição a ser dada. Como as atividades
não tem função apenas de divertir, mas sim, de nas escolas agradaram bastante, o grupo
extrair das atividades, materiais suficientes recebeu o convite de mais três escolas para a
para gerar conhecimento, interesse e fazer com apresentação do trabalho com jogos.
que os estudantes pensem com certa Sendo assim, objetiva-se realizar o
motivação [4]. atendimento a esses convites, de forma a
Pode-se dizer, ainda, que a atividade continuar contribuindo com sistema ensino;e,
provocou mudança na forma de pensar dos absorver os alunos do curso de matemática,
próprios professores das escolas, pois, como ingressantes em 2008, dando oportunidade,
permaneciam na sala durante a atividade, aos mesmos, de colaborarem com sua própria
passaram a repensar melhor sobre sua prática formação.
docente.
Referências
Conclusão
[1] A. M. Boavida, Resolução de problemas:
Ao final de, praticamente, seis meses Que rumos para a educação matemática?
de trabalho, pode-se dizer que o resultado foi em “Educação Matemática - Temas de
maravilhoso, superando as expectativas. Este Investigação” (M. Brown, D. Fernandes, J.
foi um grupo que começou sem nenhuma F. Matos & J. P. Ponte, eds.), pp. 105 -
perspectiva, mas com esperanças que 114, Lisboa: IIE/SPCE, 1992.
pudessem mudar a opinião preconceituosa
sobre a prática de ensino. [2] J. Borin. “Jogos e resolução de
Nesse pouco tempo foi possível problemas: uma estratégia para as aulas de
perceber a grandiosa contribuição que o matemática”, São Paulo: IME-USP,
projeto trouxe a comunidade como um todo. 1996.
Os alunos integrantes do grupo tiveram um
amadurecimento significativo com a atividade [3] J. Piaget. “Estudos Sociológicos”. Rio de
na qual desenvolveram; adquiriram a Janeiro: Forense, 1973.
habilidade da pesquisa, do trabalho em grupo,
[4] M. Guzmán. Tendencias actuales de la
da organização do tempo, do
enseñanza de la matemática, Studia
comprometimento, e mais, o “choque” com a
Paedagogica, Revista de Ciencias de la
realidade fez com que eles pudessem “sentir
Educación, vol.21, pp 19 - 26, (1989).
na pele” o que realmente é a profissão que
escolheram, e o que podem fazer para [5] M. O. Moura. A séria busca no jogo: do
melhorar a situação precária na qual se lúdico na matemática, A Educação
encontra o ensino público. Matemática em Revista, SBEM, n.3,
Essa atividade foi o passo inicial para 1994.
a modificação na estrutura educacional,
visando o ensino de qualidade em todos os [6] R. P. Brenelli, “O jogo como espaço para
níveis; na universidade, permitindo aos alunos pensar: a construção de noções lógicas e
a oportunidade de conhecer de perto a aritméticas”. Campinas, São Paulo:
profissão que escolheram, contribuindo assim Papirus, 1996.
para sua formação; nas escolas de ensino
fundamental e médio, modificando a realidade [7] S. M. P. Santos. “O lúdico na formação
do ensino, principalmente de matemática, do educador”, Petrópolis, Rio de Janeiro:
tornando-o mais atrativo, através da utilização Vozes, 1997.
jogos matemáticos como ferramentas [8] ____Secretaria da Educação Fundamental.
educacionais alternativas; e “Parâmetros Curriculares Nacionais”,
conseqüentemente, modificando a comunidade Brasília: MEC/SEF, pp. 48 - 49, 1997.
como um todo.

Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Cubo Soma
Gustavo Carvalho Molina
Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho”
15385-000, Campus de Ilha Solteira, SP
E-mail: gustavo_carvalhomolina@hotmail.com


RESUMO

A utilização de jogos pode constituir um
ferramental auxiliar no ensino e aprendizagem
da matemática. Os jogos matemáticos tornam
o aprendizado mais prazeroso e descontraído,
saindo da rotina maçante de conteúdos em sala
de aula para uma atividade mais prática e
dinâmica. Assim, foi formado um grupo de
alunos para estudar tais jogos, com a
finalidade de levá-los às escolas Figura 2: Formas criadas
proporcionando uma maneira diferente de
ensinar matemática. As atividades com jogos matemáticos contam
com um grupo de 12 alunos do curso de
A intenção central do estudo foi fazer com que Licenciatura em Matemática. Inicialmente
os alunos do ensino Fundamental e Médio fazemos pesquisa aprofundada para
adquirissem alguns conceitos matemáticos que conhecermos cada jogo, em seguida
não ficavam bem esclarecidos em sala de aula procuramos formas de confeccionar os jogos
como, por exemplo, noção de área, volume, e, após várias apresentações para o grupo,
componentes de um sólido geométrico (tais fazemos apresentações nas escolas públicas de
como, aresta, faces, vértices). Também ensino Fundamental e Médio. A partir desse
possibilitar a manipulação de objetos e as trabalho podemos organizar os jogos de
tentativas de encaixamentos para construções maneira a buscar resultados específicos no
usando policubos (peças componentes do aprendizado dos alunos.
Cubo Soma), um cubo maior 3x3x3 unidades.
O trabalho com jogos matemáticos é muito
interessante no que diz respeito à construção
de conhecimento dos alunos, já que os
mesmos ficam mais motivados em relação a
fazer descobertas e pesquisas sobre assuntos
referentes a tais jogos.

Referências
Figura 1: Peças do Cubo Soma.
[1] http://www.espacociencia.pe.gov.br/areas/
Em determinadas séries, os alunos podem matematica/cubo.php
tentar desenhar, criar outras formas com as Acesso em: 22/03/2008.
peças do Cubo Soma, como sofás, poltronas,
mesas, fatos que tornam a atividade com o [2] http://pt.wikipedia.org/wiki/CuboSoma
Cubo Soma ainda mais divertida e Acesso em: 22/03/2008.
desafiadora.

Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Kakuro
Aline J. Silva, Edcarlos L. F. Santos, Jonatas E. S. Silva
E-mail: aline71142@aluno.feis.unesp.br, edcarlos71125@aluno.feis.unesp.br,
jonatas71179@aluno.feis.unesp.br


RESUMO

O Kakuro foi criado no Japão, porém, sua O objetivo de levar o Kakuro para sala de aula
propagação foi dada nos Estados Unidos e na se baseia no fato de grande parcela dos alunos
Inglaterra na década de 90. O jogo é rejeitarem a disciplina de matemática; e nós,
constituído por uma tabela contendo números como educadores, temos a responsabilidade de
naturais, de um a nove (excluindo assim o criar, inovar e tornar a aula mais dinâmica, a
zero), tendo como objetivo fazer com que a fim de atender aos anseios de nossos alunos. O
soma de cada linha seja igual ao número Kakuro é um passatempo que exige lógica e
mostrado à esquerda, e a soma de cada coluna conhecimento matemático, podendo assim, ser
seja igual ao número mostrado no topo, como levado para dentro da sala de aula. Em [3],
mostra a figura 1. POSSANI afirma que “O jogo Kakuro é um
jogo tipíco para usar em atividades escolares,
pois, une estética, gosto pelo desafio e
conteúdo matemático específico”.

Quando utilizado em sala de aula, o Kakuro
pode ser aplicado em todas as séries, ou seja, é
possível trabalhar com o Kakuro com alunos
de diversas idades, estabelecendo-se o mesmo
objetivo, visando o raciocínio lógico, noções
de soma e combinação de números, porém,
Figura 1. Representação da soma. adaptados de acordo com as séries.

Porém, como mostra a figura 2, os números No projeto de divulgação de Jogos
utilizados não podem ser repetidos tanto nas Matemáticos do Laboratório de Ensino de
linhas, quanto nas colunas, ou seja, numa Matemática da Unesp de Ilha Solteira, várias
mesma linha, ou coluna, não podem ter situações de aplicação de jogos para crianças,
números repetidos. têm sido vivenciadas nas escolas da região.

Referências
[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Kakuro
Acesso em: 22/03/2008.
[2] http://rachacuca.com.br/kakuro
Acesso em: 22/03/2008.
[3] http://revistaepoca.globo.com/Revista/Epo
Figura 2. Representação de repetição não ca/0,,EDR73605-6014,00.html
permitida. Acesso em: 22/03/2008.

Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Quadrado
Mágico
Tiago Henrique Pereira da Silva
E-mail: tiagohenrique.mat@aluno.feis.unesp.br


RESUMO

Segundo a história da Matemática o Quadrado mais avançadas, fizemos uma introdução ao
Mágico foi descoberto pelos chineses há mais hexágono mágico.
de 3.000 anos antes de Cristo. Conta-se que o
primeiro registro de um quadrado mágico - de A apresentação dos jogos despertou grande
origem antiga, mas desconhecida - foi curiosidade nas crianças, contribuindo para o
supostamente trazido para os homens por uma aprendizado de matemática; sentimos que os
tartaruga do rio Lo, nos dias do lendário professores, mesmo possuindo o
imperador Yii, considerado um engenheiro conhecimento dos jogos, ficam inseguros com
hidráulico. Evidentemente, a forma dos o novo método que acaba tornando a aula mais
algarismos não era igual aos que estão no dinâmica e atrativa, otimizando a
casco da tartaruga, mas os valores, sim. aprendizagem.

O Quadrado Mágico consiste em uma matriz O ensino/aprendizagem de matemática
numérica quadrada, em que, as somas das constitui um grande problema na atual
linhas, das colunas e das duas diagonais situação educacional que enfrentamos. A
principais são as mesmas. Por exemplo, o mudança de postura em sala de aula deve ser
Quadrado Mágico 3 x 3, é formado pelos nove uma das tentativas dos educadores na intenção
dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, dispostos em de despertar o interesse de seus aprendizes
três linhas e três colunas, neste caso, as somas para a beleza do estudo da matemática, ou
nos sentidos horizontais, verticais e diagonais, seja, o educador é a peça chave no processo da
são constantes e iguais a 15. reforma educacional.

Referências
[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_má
gico
Acesso em: 22/03/2008.

[2] http://www.jogosboole.com.br/tutoriais_m
Figura 1- Quadrado Mágico ostra.asp?id=19
Acesso em: 22/03/2008.
O Quadrado Mágico foi apresentado em duas
escolas da cidade de lha Solteira e em uma [3] http://galileu.globo.com/edic/92/desafio1.
escola da cidade de Selvíria (MS), através de htm
aulas teórico-expositivas, assim, optamos pela Acesso em: 22/03/2008.
divisão em níveis, já que foram atendidos
alunos de séries diferentes e, para as séries

Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Sudoku
Deleon M. Alvarenga, Silvio R. Junior, Vinicius A. S. Guissi
E-mail: deleon71070@aluno.feis.unesp.br, silvio71015@aluno.feis.unesp.br, vinnyguissi@hotmail.com


RESUMO

O trabalho enfatiza a utilização de jogos símbolos, formas, cores e letras, que podem
matemáticos, neste caso específico o jogo ser usados sem alterar as regras.
Sudoku, no ensino de matemática. A
utilização de jogos traz um grande estímulo ao Em nosso trabalho, foram atendidas escolas de
aprendizado, pois, além de motivar os alunos, ensino fundamental e médio (públicas e
exigem aumento da concentração e disciplina. particulares), por esse motivo, houve a
necessidade de abordar o Sudoku nas diversas
Suuji wa dokushin ni kagiru, uma grande frase formas e níveis, de acordo com a série na qual
para nomear um jogo matemático, conhecido seria abordado. A intenção foi proporcionar o
como Sudoku; a tradução da frase pode ser aumento do aproveitamento dos alunos dentro
entendida como: os dígitos devem permanecer de sala de aula, estimulando a memória, a
únicos. O jogo Sudoku é constituído por uma manipulação de informações, e o raciocínio
grade 9x9 dividida em sub-grades 3x3, que lógico dos alunos. Outros jogos foram
são chamadas de regiões (ou ainda, caixas, abordados em complementação ao Sudoku,
blocos, quadrantes). Cada local onde se coloca por exemplo, o Kakuro, estimulando também
o número é chamado de célula. Algumas o cálculo aritmético.
células já contêm os chamados “números
dados” que, dependendo da dificuldade, Com a introdução dos jogos matemáticos
variam de quantidade. O objetivo do jogo é percebemos um grande interesse dos alunos
completar todas as células com números de 1 a nessas atividades; quando a matemática
9, de maneira que nenhum número se repita existente em cada jogo foi exposta de maneira
nas linhas, colunas e regiões. Veja a figura a formal, notamos certa curiosidade, e
seguir. disposição dos alunos em entender e vencer o
jogo a eles proposto. Sendo assim, foi possível
diversificar a forma de ensino mostrando aos
professores novas opções de trabalho.

Referências
[1] http://www.abril.com.br/sudoku
Acesso em: 22/03/2008.

[2] www.jjx.com.br/sudoku
Acesso em: 22/03/2008.
Figura 1- Sudoku
[3] www.wikipedia.org/Sudoku
Porém, existem várias formas de Sudoku: o Acesso em: 22/03/2008.
numérico (o mais usado), combinação de

“CONGRESSO NACIONAL DE
MATEMÁTICA APLICADA E
COMPUTACIONAL - ERMAC”

Belém – PA

08 a 11 de Setembro de 2008

Utilização de Jogos Matemáticos como Ferramenta Alternativa à
Metodologia Tradicional do Ensino de Matemática

Depto de Matemática, FEIS, UNESP,
E-mails: lealtran@mat.feis.unesp.br, dalva@mat.feis.unesp.br, mara@mat.feis.unesp.br

RESUMO

O objetivo deste trabalho é relatar a Portanto, pode-se dizer tal proposta foi o passo
experiência do uso pedagógico dos jogos inicial para a modificação na estrutura
durante as aulas de Matemática, em escolas de educacional, visando o ensino de qualidade em
ensino fundamental. Por outro lado, trabalho todos os níveis; na universidade, permitindo
ainda tem o propósito de evidenciar a aos alunos a oportunidade de conhecer de
importância da inserção da abordagem dos perto a profissão que escolheram, contribuindo
jogos matemáticos durante processo de assim para sua formação; nas escolas de
formação de educadores, ou seja, comprovar o ensino fundamental e médio, modificando a
valor da utilização dessa ferramenta realidade do ensino, principalmente de
alternativa através da experiência prática matemática, tornando-o mais atrativo, através
adquirida com a atividade na qual está sendo da utilização jogos matemáticos como
formado para desenvolver. ferramentas educacionais alternativas; e
conseqüentemente, modificando a comunidade
Assim, para o desenvolvimento dessa como um todo.
atividade de extensão, foi formado o “Grupo
de Estudo sobre Jogos Matemáticos”, Referências
composto por doze alunos do curso de
Licenciatura em Matemática e três professores [1] A. M. Boavida, Resolução de problemas:
da UNESP de Ilha Solteira, que têm como Que rumos para a educação matemática?
principal objetivo a divulgação da em “Educação Matemática - Temas de
metodologia de utilização de jogos no ensino Investigação” (M. Brown, D. Fernandes,
de matemática, como alternativa à postura J. F. Matos & J. P. Ponte, eds.), pp. 105 -
tradicional do professor. 114, Lisboa: IIE/SPCE, 1992.
O processo de experimentação se deu em duas [2] J. Borin. “Jogos e resolução de
escolas da rede municipal de ensino dos problemas: uma estratégia para as aulas
municípios de Ilha Solteira (SP) e Selvíria de matemática”, São Paulo: IME-USP,
(MS), desse modo, foi possível observar que 1996.
tal atividade provocou certo contentamento [3] J. Piaget. “Estudos Sociológicos”. Rio de
por parte dos alunos e uma modificação na Janeiro: Forense, 1973.
forma de pensar dos próprios professores das
escolas. [4] M. Guzmán. Tendencias Actuales de la
Enseñanza de la Matemática, Studia
Em relação aos alunos integrantes do grupo, Paedagogica, Revista de Ciencias de la
pode-se dizer que os mesmos tiveram um Educación, vol.21, pp 19 - 26, (1989).
amadurecimento significativo com a atividade [5] M. O. Moura. A séria busca no jogo: do
na qual desenvolveram; adquiriram a lúdico na matemática, A Educação
habilidade da pesquisa, do trabalho em grupo, Matemática em Revista, SBEM, n.3,
do comprometimento, e mais, o “choque” com 1994.
a realidade fez com que eles pudessem “sentir
na pele” o que realmente é a profissão que [6] ____Secretaria da Educação
escolheram, e o que podem fazer para Fundamental. “Parâmetros Curriculares
melhorar a situação precária na qual se Nacionais”, Brasília: MEC/SEF, pp. 46 -
encontra o ensino público. 47, 1998.

O uso do jogo Cubo Soma como instrumento auxiliar no
ensino de Matemática
Gustavo Carvalho Molina
E-mail: gustavo_carvalhomolina@hotmail.com


RESUMO

Na tentativa de fazer do ensino de matemática
uma atividade prazerosa, apostou-se na
utilização de ferramentas alternativas, tais
como, os jogos matemáticos. A utilização dos
jogos em sala de aula propicia um maior
aprendizado saindo da rotina maçante de
conteúdos para uma atividade mais prática e Figura 2: Formas criadas com os Policubos.
dinâmica. Deste modo, o objetivo da análise
do jogo Cubo Soma, foi buscar uma O trabalho foi iniciado com a pesquisa
ferramenta que possibilitasse a aquisição, por aprofundada do jogo, destacando notação
parte dos alunos do ensino Fundamental e histórica, fundamentação matemática,
Médio, de conceitos matemáticos que não contribuição pedagógica, e ainda, a confecção
ficavam bem esclarecidos em sala de aula do Cubo Soma. Após várias apresentações
como, por exemplo, noção de área, volume, para o próprio grupo, foram feitas
componentes de um sólido geométrico (tais apresentações nas escolas públicas de ensino
como, aresta, faces, vértices). Fundamental e Médio.

O cubo soma é um quebra-cabeça criado em Portanto, foi possível observar a contribuição
1936 pelo poeta e matemático dinamarquês que esse tipo de atividade proporciona,
Piet Hein. O objetivo é usar os sete policubos principalmente, no que diz respeito à
(peças formadas por pequenos cubos unitários) construção de conhecimento dos alunos, já que
para montar um cubo de 3x3x3 unidades. os mesmos ficam mais motivados em relação a
Existem 240 maneiras distintas de montar o fazer descobertas e pesquisas sobre assuntos
cubo soma, sem contar rotações e reflexões. referentes a tais jogos.

Referências
[1] A. H. Ferrari, M. C. C. S. Carvalho e P.
Furtado,“Conhecendo o Cubo Soma”,
Anais do X Simpósio Multidisciplinar da
Figura 1: Os Policubos e o Cubo Soma. USJT, 2004.

As peças também podem ser usadas para [2] http://www.espacociencia.pe.gov.br/areas/
montar uma variedade de formas matematica/cubo.php
tridimensionais interessantes, como poltronas, Acesso em: 29/04/2008.
mesas e cadeiras, fatos que tornam a atividade
com o Cubo Soma ainda mais divertida e [3] http://pt.wikipedia.org/wiki/CuboSoma
desafiadora. Acesso em: 29/04/2008.

A utilização do jogo Kakuro no ensino de Matemática
Aline J. Silva, Edcarlos L. F. Santos, Jonatas E. S. Silva
E-mail: aline71142@aluno.feis.unesp.br, edcarlos71125@aluno.feis.unesp.br,
jonatas71179@aluno.feis.unesp.br


RESUMO

A utilização de jogos no ensino de matemática O Kakuro é um passatempo que exige lógica e
é uma prática freqüente nas escolas municipais conhecimento matemático podendo, assim, ser
de ensino infantil e fundamental do município levado para dentro da sala de aula. Como
de Ilha Solteira, resultado de uma atividade grande parte dos alunos rejeita a disciplina da
intensa de pesquisa e experimentação do matemática, optou-se por utilizar o jogo
grupo de estudo formado por alunos do curso Kakuro de modo a tornar a aula mais
de Licenciatura em Matemática da UNESP de dinâmica, a fim de atender aos anseios dos
Ilha Solteira. alunos. Em [3], POSSANI afirma que “O jogo
Kakuro é um jogo tipíco para usar em
Um dos jogos abordados é o Kakuro. O atividades escolares, pois, une estética, gosto
Kakuro, criado no Japão, é um jogo pelo desafio e conteúdo matemático
constituído por uma tabela contendo números específico”.
naturais, de um a nove (excluindo assim o
zero), cujo objetivo é fazer com que a soma de Na escola, a abordagem do Kakuro pode
cada linha seja igual ao número mostrado à ocorrer em todas as séries, ou seja, o Kakuro
esquerda, e a soma de cada coluna seja igual pode ser trabalhado com alunos de diversas
ao número mostrado no topo. idades, estabelecendo-se o mesmo objetivo,
visando o raciocínio lógico, noções de soma e
combinação de números, porém, adaptados de
acordo com as séries. No projeto de
divulgação de Jogos Matemáticos do
Laboratório de Ensino de Matemática da
UNESP de Ilha Solteira, várias situações de
aplicação de jogos para crianças, têm sido
vivenciadas nas escolas da região.
Figura 1. Representação da soma.

Porém, numa mesma linha, ou coluna, não Referências
pode haver números repetidos.
[1] http://www.kakuro.com/howtoplay.php
Acesso em: 29/04/2008.
[2] http://rachacuca.com.br/kakuro
Acesso em: 29/04/2008.
[3] http://revistaepoca.globo.com/Revista/Epo
ca/0,,EDR73605-6014,00.html
Acesso em: 29/04/2008.
Figura 2. Representação de repetição não [4] http://pt.wikipedia.org/wiki/Kakuro
permitida. Acesso em: 29/04/2008.

O ensino de Matemática através do uso do jogo Sudoku
Deleon M. Alvarenga, Silvio R. Junior, Vinicius A. S. Guissi
E-mail: deleon71070@aluno.feis.unesp.br, silvio71015@aluno.feis.unesp.br, vinnyguissi@hotmail.com


RESUMO

A utilização de jogos matemáticos no ensino
proporciona um grande estímulo ao
aprendizado, pois, além de motivar os alunos,
exigem aumento da concentração e disciplina.
Dessa forma, um grupo estudos sobre jogos
matemáticos, composto por alunos do curso de Figura 2- Variações do Sudoku
Licenciatura em Matemática da Unesp de Ilha
Solteira, foi formado a fim estudar toda a Como são atendidas escolas de ensino
teoria sobre jogos, possibilitando levá-lo para fundamental e médio, ocorre à necessidade de
a sala de aula. Logo, esse trabalho mostra a abordar o Sudoku nas diversas formas e
utilização do jogo Sudoku, no ensino de níveis, de acordo com a série na qual é
matemática. abordado. O objetivo maior é proporcionar o
aumento do aproveitamento dos alunos dentro
O jogo Sudoku é constituído por uma grade de sala de aula, estimulando a memória, a
9x9 dividida em sub-grades 3x3, que são manipulação de informações, e o raciocínio
chamadas de regiões (ou ainda, caixas, blocos, lógico dos alunos.
quadrantes). Cada local onde se coloca o
número é chamado de célula. Algumas células
Portanto, com a introdução dos jogos
já contêm os chamados “números dados” que,
matemáticos foi possível perceber o grande
dependendo da dificuldade, variam de
interesse dos alunos nessas atividades; quando
quantidade. O objetivo do jogo é completar
a matemática existente em cada jogo foi
todas as células com números de 1 a 9, de
exposta de maneira formal, notou-se certa
maneira que nenhum número se repita nas
curiosidade e disposição dos alunos em
linhas, colunas e regiões.
entender e vencer o jogo a eles proposto.
Sendo assim, foi possível diversificar a forma
de ensino mostrando aos professores novas
opções de trabalho.

Referências
[1] T. Davis, “The Mathematics of Sudoku”,
http://www.geometer.org/mathcircles,
2007.
Figura 1- Sudoku
[2] www.jjx.com.br/sudoku
Porém, existem várias formas de Sudoku: o Acesso em: 29/04/2008.
numérico (o mais usado), combinação de
símbolos, formas, cores e letras, que podem [3] www.wikipedia.org/Sudoku
ser usados sem alterar as regras. Acesso em: 29/04/2008.

“IX ENCONTRO PAULISTA DE
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA – IX
EPEM”

Bauru – SP

25 a 27 de Novembro de 2008

SILVA, J. E. S., MARQUES, M. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e
LOPES, M. L. M. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática,
Comunicação Científica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX
EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo Temático: Formação de Professores

O CUBO SOMA COMO UMA FERRAMENTA NA APRENDIZAGEM DE
MATEMÁTICA

Jonatas Estevan Soares da Silva – UNESP / FEIS (jonatas71179@aluno.feis.unesp.br)
Meire de Melo Marques – UNESP / FEIS (meire750@yahoo.com.br)
Alessandra Bonato ALTRAN – FEIS / UNESP (lealtran@mat.feis.unesp.br)
Dalva Maria de Oliveira VILLARREAL – FEIS / UNESP (dalva@mat.feis.unesp.br)
Mara Lúcia Martins LOPES – FEIS / UNESP (mara@mat.feis.unesp.br)

Resumo: A atividade lúdica é, essencialmente, um grande laboratório no qual ocorrem
experiências inteligentes e reflexivas que propiciam a aquisição de conhecimento. A
participação em jogos permite a conquista cognitiva, emocional, moral e social para o
estudante, que poderão agir como produtores de seu conhecimento, tomando decisões e
resolvendo problemas, o que se torna um estímulo para o desenvolvimento da competência
matemática e da formação de verdadeiros cidadãos. O desinteresse e o desenvolvimento
caótico de grande parte dos alunos na disciplina de matemática é fator altamente
preocupante, principalmente, para uma sociedade em que a política educacional tem como
principal objetivo a educação para todos, em outras palavras, a educação é um direito de
todos. Assim, na tentativa de buscar métodos alternativos para proporcionar um ensino de
qualidade surge à proposta de utilização de materiais lúdicos em sala de aula, mais
especificamente, jogos matemáticos. Tal proposta foi desenvolvida pelo Grupo de Estudos
sobre Jogos Matemáticos, composto por alunos do curso de Licenciatura em Matemática,
da UNESP de Ilha Solteira ao longo dos dois últimos anos. A utilização dos jogos como
ferramenta auxiliar para o ensino de matemática é a principal atividade desenvolvida pelo
grupo onde são abordados vários jogos no qual a meta principal é fazer com que os alunos
aprendam matemática “brincando”. Neste trabalho será dado enfoque ao jogo Cubo Soma
que é um jogo muito versátil, podendo ser abordado em vários níveis, dependendo do
objetivo a ser alcançado. O Cubo Soma propicia, também, o desenvolvendo do raciocínio
lógico matemático de maneira interessante, aguçando a curiosidade e a busca pelo
aprendizado. Portanto, este trabalho tem como objetivo a apresentação da proposta da
utilização dos jogos matemático, mais especificamente o jogo Cubo Soma, abordando sua
notação histórica, conceitos fundamentais, métodos de resolução e os resultados obtidos nas
apresentações realizadas.

Palavras – chave: Jogos Matemáticos, Cubo Soma, Atividade Lúdica, Modificação no
Ensino.

2
EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

INTRODUÇÃO

Incentivados pela necessidade de modificar a forma de como são ministrados os
conteúdos em sala de aula, foi proposta a formação do Grupo de Estudos sobre Jogos
Matemáticos (UNESP/FEIS), cuja finalidade é divulgar a metodologia do uso de jogos no
ensino de Matemática, ou seja, apresentar uma alternativa à postura tradicional do professor
no ensino de Matemática, através da utilização de jogos.
O trabalho com jogos matemáticos vem sendo desenvolvido ao longo desses dois
últimos anos, sendo que, primeiramente foi realizado um estudo aprofundado do jogo Cubo
Soma, tais como:

• Notação histórica;
• Definições e regras que levam à resolução do jogo;
• Fundamentação matemática;
• Abordagem pedagógica;
• Contribuição ao ensino.

Após ser realizado este estudo foi possível levar o jogo para a prática dentro da sala
de aula com alunos do ensino fundamental.
Assim, no trabalho que segue será realizada a apresentação do jogo Cubo Soma
ilustrado pela Figura 1, como ferramenta complementar ao ensino de matemática, bem
como o relato das experiências vividas envolvendo alunos e professores.

ORIGEM DO CUBO SOMA

Criado em 1936 pelo poeta dinamarquês Piet Hein, muito conhecido no mundo dos
jogos e quebra-cabeças (é de sua autoria o jogo Hex), o jogo Cubo Soma pode ser
comparado a um quebra-cabeça.

3

A idéia de montar este quebra-cabeça surgiu quando Piet, engenheiro com grandes
conhecimentos em Física, assistia uma palestra do físico alemão Werner Heisenberg, sobre
Mecânica Quântica, quando este descrevia um espaço dividido em células cúbicas. Com
base nestes princípios Hein começou a desenhar alguns sólidos formados por módulos
cúbicos unidos face a face.
Pela ordem, ele foi construindo todos os sólidos diferentes que se podiam formar
com, sucessivamente, um, dois, três e quatro módulos. Depois, percebeu que eles podiam
ser divididos em dois grupos - os côncavos e os convexos.
Eliminando-se estes últimos, o conjunto ficava com os sete elementos mostrados.
Apenas a peça número 1 tem três módulos, todas as demais têm quatro. Elas são diferentes
entre si, embora as de número 5 e 6 sejam imagens espelhadas uma da outra. Enquanto
Heisenberg falava, Piet teve uma intuição. Talvez inconscientemente inspirado no famoso
Tangran, quebra-cabeça em que sete figuras planas formam um quadrado pressentiu que as
sete peças recém-desenhadas podiam unir-se para gerar um cubo.
Depois de algumas rabiscadas, o criativo dinamarquês foi vendo suas suspeitas se
acentuarem. Entusiasmado com a perspectiva da descoberta, Piet esperou o término da
palestra e correu para casa para construir um modelo. Surpreso, verificou que sua hipótese
confirmou-se plenamente.
Convém esclarecer que o quebra-cabeça foi batizado com o nome de Soma Cube
(Cubo Soma), e como tal patenteado e comercializado em várias partes do mundo,
tornando-se bastante popular nos países escandinavos.

DEFINIÇÃO DO CUBO SOMA

O Cubo Soma consiste em um conjunto de oito peças tridimensionais, formadas pela
união de pequenos cubos, combinadas de forma a criar um cubo maior. A essas peças
formadas pela união dos cubos, de forma irregular, dá-se o nome de policubo.
Formar essas peças não é uma tarefa muitos simples, como se pressupõe a primeira
vista. Apesar de existirem 240 soluções distintas para o arranjo das peças no Cubo, sem

4

contar as simetrias, espelhamentos e rotações de peças que elevam o número total de
soluções para mais de um milhão, muitas vezes acaba-se com uma peça na mão que não
encaixa.
Na Figura 2, é possível verificar que o as peças do Cubo Soma, os policubos são
divididos em seis tetracubos (peças formadas pela união de quatro cubos) e um tricubo
(peça formada pela união de três cubos), a sexta peça é a imagem especular da quinta peça
na Figura 3, daí o motivo de algumas abordagens apresentarem somente sete peças para o
Cubo Soma.

COMO MONTAR O CUBO SOMA

A montagem do Cubo Soma parece ser algo bem complicado, porém, o objetivo
principal é montar um cubo 3x3x3 sendo que a única exigência para tanto é a utilização de
todas as peças (policubos), ou seja, para montar o Cubo Soma é necessário utilizar todos os
tetracubos irregulares e o tricubo irregular (Figura 3). Uma forma de resolução do Cubo
Soma pode ser vista através da Figura 4.
Depois do cubo, que é um dos problemas mais fáceis, pode-se tentar montar a
poltrona e o sofá (Figura 5). Ao longo dos anos, muitos entusiastas têm criado centenas de
arranjos como esses, reproduzindo esquematicamente uma variedade de objetos e animais.
Assim, a grande virtude do Cubo Soma é de não se restringir à solução inicial. Assim como
no Tangram, em que além de se formar um quadrado com as peças também podem ser
formadas uma infinidade de figuras, com o conjunto tridimensional do Cubo Soma podem
ser criados verdadeiras esculturas, ainda mais quando se combinam mais de um jogo de
peças. Em um livreto que acompanhava o jogo produzido pela Parker Brothers, da década
de 50, apareciam inúmeras formas para serem montadas.
Portanto, conforme o aprendiz for ganhando desenvoltura com o Cubo, mais se
sentirá tentado a incluir nesse acervo algumas criações próprias.
A respeito do que já foi feito, há coleções com mais de 2000 montagens
(http://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/SOMA.HTM), ainda há campo para a imaginação.
A Figura 6 mostra algumas dessas montagens.

5

Com a prática, desenvolve-se certa habilidade para saber o lugar que certas peças
ocupam, ou que não podem ocupar, numa determinada figura. Com isso, abandona-se o
processo da simples tentativa e erro e o tempo de solução diminui.

CONTRIBUIÇÕES PEDAGÓGICAS

O Cubo Soma pode ser utilizado com alunos de várias séries. Sua abordagem
dependerá dos objetivos a serem alcançados. Por exemplo, no jardim de infância, os alunos
já podem, brincando, se habituarem a manipular as peças, observá-las, contar os cubos,
evidenciar a simetria, encontrar nomes para cada forma, tentar encaixamentos com algumas
peças etc. Mais tarde, eles podem tentar reconstruir o cubo, ou pelo menos terminá-lo, ou
imitar algumas formas.
Alunos maiores podem treinar também para reconstruir o cubo, desenhá-lo, construir
cubos imagens um do outro em tal simetria ou rotação indicada. Para qualquer nível, este
quebra-cabeça contribui o desenvolvimento da representação espacial e da percepção de
orientação no espaço tridimensional.

DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE

O jogo Cubo Soma foi parte integrante de todas as atividades realizadas pelo grupo
nestes dois últimos anos. A primeira atividade se deu através da Oficina “Atividades
Matemáticas envolvendo Jogos”, na VI Semana da Matemática (2007), evento do próprio
Campus da UNESP de Ilha Solteira, cujo público alvo era alunos dos cursos de licenciatura
e professores da rede de ensino (Figura 7).
Logo em seguida foi realizada outra apresentação no evento “Venha nos Conhecer”
(2007), também do Campus, com caráter apenas expositivo, conta com a visitação das
escolas da cidade e região (Figura 8).
Em seguida o Cubo Soma foi abordado em sala de aula e tal apresentação ocorreu na
“Escola Municipal de Educação Infantil e Ensino Fundamental Prof. Nelson Duarte

6

Rocha”, na cidade de Selvíria - MS, mediante o convite da coordenadora pedagógica da
escola. O jogo foi apresentado em apenas duas séries, quarto e sexto anos devido o curto
intervalo de tempo para atividade, porém, o grupo está convidado a retornar à escola para
permitir a outras séries o contato com o jogo (Figura 9).
A próxima atividade, ainda em 2007, foi uma apresentação, nos moldes do Venha nos
Conhecer, ou seja, caráter apenas expositivo, no colégio “Anglo” da cidade de Ilha Solteira.
Esse evento contou com a participação de alunos, pais e funcionários da própria escola
(Figura 10).
Já a última atividade a apresentação no “Venha nos Conhecer” deste ano (2008),
ocorrendo do mesmo modo que no ano anterior.

FORMAÇÃO DOS PROFESSORES

Segundo Vieira e Carneiro este crescente interesse por estudos sobre o lúdico foi
presenciado a partir da metade do século XX e tem testemunhado sua importância como
meio de expressão, fator de desenvolvimento e atividade intrinsecamente motivada e
prazerosa.
A proposta de introduzir a metodologia do lúdico visa contribuir para diminuir o
fracasso escolar e o desinteresse pela matemática e formar profissionais que tenham uma
postura reflexiva diante de sua prática docente.
Os jogos lúdicos não têm o propósito de suprimir o método de ensino tradicional, mas
sim de modificá-lo e torná-lo mais presente à compreensão dos alunos. É comprovado que
duas metodologias aplicadas juntas tendem a funcionar melhor do que uma sozinha. Neste
sentido, os jogos matemáticos são maneiras alternativas da abstração de conhecimento que
tendem a consolidar a teoria proposta pelo ensino tradicional.
Os professores desde já não têm apenas a função de ensinar, mas sim a
responsabilidade de verificar se o conteúdo a ser absorvido realmente foi assimilado por
parte dos alunos. O interessante é que dessa forma o professor se torna, neste contexto, um

7

educador, no qual a preocupação não seria apenas passar a matéria, mas sim verificar o
grau de aceitação desta no dia a dia dos alunos.
Portanto, os professores devem ser profissionais adeptos às mudanças educacionais e
conscientes da importância do seu trabalho na formação dos alunos, desenvolvendo a
capacidade de criar algo novo e interessante, ministrando os conteúdos de matemática de
maneira com que os alunos possam fazer uma conexão plausível com o cotidiano e essa
postura deve ser desenvolvida para diferentes faixas etárias.
O jogo Cubo Soma vem a ser uma ferramenta interessante de auxílio ao professor, já
que este jogo pode explorar uma enorme variedade de situações. O aluno pode ser
envolvido inicialmente na construção do jogo, que não é algo muito difícil de ser feito, e
estimula o aluno na utilização de material reciclado e até sucata na confecção.
Durante o processo de construção o professor pode estimular as formas geométricas
envolvidas durante o processo. Após o jogo ser finalizado ele está apto a ser usado na
íntegra pelo professor. Este jogo é de fácil acesso, portanto, basta o professor lembrar que
um dia foi criança e utilizar sua criatividade.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O trabalho com jogos é uma ótima alternativa educacional desde que, utilizada de
forma consciente e bem estruturada, levando em consideração a análise prévia de cada
jogo, visando o estímulo à conquista cognitiva, emocional, moral e social do indivíduo.
Os jogos matemáticos também têm o objetivo de fazer com que os alunos atuam
como produtor do seu próprio conhecimento, tomando decisões e resolvendo problemas,
estimulando, assim, o desenvolvimento da competência matemática e a formação de
verdadeiros cidadãos.
Com as apresentações realizadas foi possível observar o grande interesse, por parte
dos alunos, em aprender matemática de uma maneira divertida. Assim, o trabalho com
jogos dentro da sala de aula é de uma facilidade imensa e provoca grande satisfação tanto
no aprendiz, como no docente.

8

A vantagem de trabalhar com o Cubo Soma é a possibilidade de abordá-lo sem
restrições de idade e série, sem tornar o aprendizado cansativo, despertando o interesse dos
alunos em montar o Cubo Soma novamente, porém de maneira diferente.
Portanto, a utilização do jogo Cubo Soma é de suma importância, pois, pelo caráter
desafiador proporciona uma idéia de divisão de espaço, noções de figuras geométricas
visão tridimensional. Assim o aluno irá montar o Cubo Soma com idéia de diversão, mas na
verdade estará adquirindo vários benefícios produzidos pelo jogo.

REFERÊNCIAS

SILVA, F. e KODAMA, H. M. Y. Jogos no Ensino da Matemática, II Bienal da
Sociedade Brasileira de Matemática, UFBA, 2004.

SERRENTINO, R. H. e MOLINA, H. Arquitectura Modular Basada en la Teoría de
Policubos, Proceedings of the 6th Iberoamerican Congress of Digital Graphics, Caracas -
Venezuela, 2002, p. 264-267.

GUZMÁN, M. Tendencias Actuales de la Enseñanza de la Matemática, Studia
Paedagogica, Revista de Ciencias de la Educación, vol.21, 1989, p 19-26.

VALLE, L. H. R.; BOMBANATTO, Q. e MALUF, M. I. Temas Interdisciplinares na
Educação, Editora Wak, vol.2.

ZORZAL, E. R.; BUCCIOLI, A. A. B. e KIRNER, C. Usando Realidade Aumentada no
Desenvolvimento de Quebra-cabeças Educacionais. In: SVR2006 - VII Symposium on
Virtual Reality, Porto Alegre - Sociedade Brasileira de Computação - SBC, 2006, p. 221-
232.

SANTOS, G. S. A. Utilização de jogos no ensino matemático: Os objetivos, os valores e
as mudanças do ensino da matemática, UNIMESP - Centro Universitário Metropolitano
de São Paulo, 2006, p. 1-5.

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ANEXO

Figura 1 - Cubo Soma.

Figura 2 - Policubos (peças que compõem do Cubo Soma).

Figura 3 - Tetracubos e Tricubo irregular, respectivamente.

10

Figura 4 - Uma solução para o Cubo Soma.

Figura 5 - Poltrona e sofá, figuras formadas com os policubos.

Figura 6 - Algumas das cerca de 2000 figuras montadas com o Cubo Soma.

11

Figura 7 - Oficina realizada na Semana da Matemática 2007.

Figura 8 - Venha nos Conhecer 2007.

Figura 9 - Visita a escola “Prof. Nelson Duarte Rocha” (Selvíria - MS).

Figura 10 - Visita ao Colégio Anglo (Ilha Solteira - SP).

SILVA, A. J., SILVA, J. E. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,
M. L. M. O kakuro como uma Ferramenta no Aprendizado de Matemática, Relato de
Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.
Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático: Ensino Fundamental: Ciclos III e IV

O KAKURO COMO UMA FERRAMENTA NO APRENDIZADO DE
MATEMÁTICA

Aline J. SILVA – FEIS / UNESP (aline71142@aluno.feis.unes.br)
Jonatas E. S. da SILVA – FEIS / UNESP (jonatas71179@aluno.feis.unes.br)
Alessandra B. ALTRAN – FEIS / UNESP (lealtran@mat.feis.unesp.br)
Dalva M. O. VILLARREAL – FEIS / UNESP (dalva@mat.feis.unesp.br)
Mara L. M. LOPES – FEIS / UNESP (mara@mat.feis.unesp.br)

Resumo: Devido o prazer propiciado e o desafio alucinante, o gosto por jogos torna o
homem um verdadeiro “jogador”, o chamado “Homo Ludens”. Nos dias atuais o
homem joga constantemente e pode-se dizer que o próprio ato de viver torna-se um
“jogo”, pois, em diversas fases da vida sucede-se o fato de estar enfrentando um jogo no
qual, automaticamente, estão subentendido as suas regras onde os mais fortes e
preparados possuem a chance de se sobressair. São vários os exemplos de ambientes
onde ocorre a inserção dos jogos, é possível perceber que eles também foram se
intensificando dentro de sala de aula. O uso alternativo dos jogos lúdicos favorece ao
aluno uma aprendizagem de fácil assimilação, ou seja, o aluno tem a possibilidade de
aprender o conteúdo de uma forma mais simples e agradável. O jogo Kakuro teve sua
criação no Japão, todavia sua propagação se deu nos Estados Unidos da América e na
Inglaterra, na década de 90, sendo assim conhecido na língua inglesa por Cross Sums
que significa “Somas Cruzadas”. O objetivo deste trabalho é analisar e apresentar o jogo
Kakuro com a possibilidade de sua inserção dentro de sala de aula. O estudo aqui
apresentado focaliza a forma lúdica do aprendizado que foi proporcionado pelo jogo
Kakuro, apesar de não internalizado nos âmbitos profissionais, mas com fortes
expectativas a partir da experiência formativa. Jogar o Kakuro é embarcar em um
desafio repleto de obstáculos fabulosos que propiciará ao jogador uma verdadeira
ginástica cerebral. O Kakuro, além de exercitar a mente através do raciocínio lógico,
tem a finalidade de estimular o gosto pela Matemática e consolidar o aprendizado das
quatro operações aritméticas. POSSANI [LEAL, 2006] afirma que “O jogo Kakuro é
um jogo típico para usar em atividades escolares, pois, une estética, gosto pelo desafio
e conteúdo matemático específico”.

Palavras-chave: Kakuro, Jogos Lúdicos, Raciocínio Lógico, Aprendizagem
Matemática.

2
M. L. M. O Kakuro como uma Ferramenta no Aprendizado de Matemática, Relato de

INTRODUÇÃO

O crescente desinteresse no ensino, principalmente na área de matemática, faz
com que o educador se comprometa em pesquisar novas técnicas de aprendizado.
Portanto, fazer com que os alunos sintam vontade de aprender e prazer de realizar a
tarefa proposta, vêm sendo nos dias de hoje, um grande desafio.
O professor tem então a função, não apenas de transmitir o conhecimento, mas de
fazer com que ele seja inteiramente absorvido pelo aluno de forma concreta. Essa tarefa
não é fácil, já que para que esta etapa seja realizada ocorre à necessidade de se quebrar
barreiras e tabus.
Uma proposta é introduzir, em sala de aula, a técnica de abordar os problemas
através de jogos lúdicos. Eles permitem o desenvolvimento de formas diferentes de
pensar e agir, induzindo os alunos a terem incentivo, comunicação, questionamento,
raciocínio lógico, inferência, reflexão e exploração.
O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, compostos por alunos de
licenciatura do curso de Matemática da UNESP de Ilha Solteira, se fundamenta no
desenvolvimento da aprendizagem matemática através de jogos lúdicos. O objetivo
deste grupo é fazer com que os alunos ingressantes tenham um convívio direto com os
alunos do ensino fundamental, para que possam identificar e solucionar as dificuldades
que os estes encontram com relação à matemática.
Um dos jogos abordados pelo grupo foi o jogo Kakuro, que é um jogo que
estimula muito a lógica matemática. O jogo possui uma malha de linhas e colunas, que
utiliza a combinação dos elementos através de uma operação matemática (adição,
subtração, multiplicação ou divisão). O Kakuro é um jogo que desenvolve, não apenas o
raciocínio lógico, mas emprega a destreza mental, concentração, prática matemática e
paciência.
O Kakuro convencional aborda apenas, em sua concepção, o desenvolvimento
aritmético da adição. Porém, pode-se ter uma diversificação nesta abordagem; as
operações realizadas podem ser: adição, subtração, multiplicação e divisão. Tem-se que

3

esse jogo, além de desenvolver o raciocínio lógico, faz com que o aluno comece a ter
uma maior intimidade com as operações aritméticas. Dessa forma, o que para o aluno é
um trabalho difícil e desgastante agora, através do Kakuro, se torna mais prazeroso.

CONSTRUÇÃO DO KAKURO

De origem japonesa, resulta da palavra adição com a palavra inglesa cross, que
em português significa cruzar. Pode ser entendido como a transliteração matemática das
palavras cruzadas, sendo por isso conhecido nos Estados Unidos da América como
Cross Sums, ou seja, Somas Cruzadas.
Para ilustrar a resolução de um Kakuro é necessário, primeiramente, apontar as
principais regras do jogo e estas serão descritas abaixo e utilizadas na resolução de um
Kakuro tem a “adição” como operação aritmética (SIMONIS, 2007):

• A principal regra de resolução do Kakuro é sumarizada da seguinte maneira:
cada célula só pode ser preenchida por números de 1 a 9, sem repeti-los;
• Um número é dividido em uma soma de dois ou mais números menores,
dispostos em células, sendo que cada célula é apropriada para um número
específico de tal forma que satisfaça a grade geral do jogo.

Para se efetuar a soma dos elementos do jogo Kakuro existe uma regra que está
intimamente ligada ao termo “somas cruzadas”, que é semelhante à usada para
preencher jogos de palavras cruzadas. São elas:

1. No número que aparecer a direita na subdivisão do quadrado sua soma deverá
ser preenchido na linha como mostrado na Figura 1;
2. No número que aparecer a esquerda na subdivisão do quadrado sua soma deverá
ser preenchida na coluna indicado na Figura 1;
3. Nenhum número deve aparecer mais de uma vez na mesma célula como
apresenta a Figura 2, a não ser que estejam em células diferentes.

4

O Kakuro pode ser auxiliado pelas chamadas “seqüências chaves”, ilustradas na
Tabela 1. Ela fornece uma lista de seqüências que auxilia na eliminação de possíveis
combinações no preenchimento de uma determinada célula. Os procedimentos para a
resolução do Kakuro são descritos abaixo:

• Através da Figura 3, nota-se que existe apenas uma combinação para compor o
número 4 com dois números que são os números 1 e 3 e uma combinação de
dois números cuja soma gerará o número 3, que são os números 1 e 2;
• Uma dica é fixar um número e a partir dele, encontrar os outros cuja soma estará
completando as células, lateral e abaixo, respectivamente, indicada na Figura 4;
• O preenchimento das células deve ser feito através de uma análise minuciosa,
pois, a posição ideal dos números não pode interferir na das demais células.
Através da Figura 5, pode-se observar como este processo de análise deve ser
efetuado;
• O Kakuro, além de trabalhar com a matemática, induz a lógica para tentar
descobrir as posições ideais de cada número não quebrando as regras do jogo. A
Figura 6 indica possíveis situações que ocorrem durante o desenvolvimento do
jogo que devem ser analisados criteriosamente;

EXPERIÊNCIA DENTRO DE SALA DE AULA

Os alunos do Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos usufruíram do prazer de
apreciar as experiências inesquecíveis vividas dentro da sala de aula. O Kakuro foi
confeccionado pelo Grupo de Jogos, Figura 7, no qual o material utilizado para
preparação do jogo foi pincel atônico, isopor, EVA, etc.
Inicialmente, os alunos foram convidados pela Escola Municipal de Educação
Infantil e Ensino Fundamental Selvíria “Prof. Nelson Duarte Rocha” conforme mostra
a Figura 8. O Kakuro foi desenvolvido no quarto e sexto anos do ensino fundamental e
o objetivo principal é fazer com que os alunos tenham a visão de que a Matemática é
aplicada no seu cotidiano e, portanto, aprender esta ciência é um passo importante na
formação de cada um. Logo, a finalidade do jogo é utilizar a teoria apresentada dentro

5

de sala de aula aplicada no desenvolvimento do Kakuro. Desta forma, os alunos são
contagiados e a Matemática que antes era vista como um desafio agora se torna mais
divertida e prazerosa.
A segunda experiência vivida pelo grupo foi no colégio Anglo de Ilha Solteira,
onde puderam expor o Kakuro para os alunos, pais e funcionários do colégio, ilustrado
na Figura 9. A fundamentação do ensino de matemática através de jogos lúdico como o
Kakuro favorece em demasia, pois, é possível trabalhar sem restrições, levar o jogo a
diferentes idades, culturas, intelectualidades, pensamentos e costumes.


Os Jogos de Desafio podem oferecer certo prazer ou satisfação que pode levar o
educando ao aprofundamento do estudo de lógica matemática (MELLO, 2006). Com
base em idéias de Vygotsky é possível definir os jogos lúdicos como auxiliares do saber
na escola, por isso, pode-se tomar o jogo não como referência, mas como auxílio
proeminente para aprendizagem dos menores educando.
Desde muito tempo, sabe-se que uma grande parcela dos alunos rejeita a
disciplina de matemática, e cabe aos educadores lutar pela melhoria da aprendizagem. É
evidente, que as formas alternativas de propor aprendizado vêm se destacando e uma
delas é o tratamento da matemática através de jogos lúdicos.
A meta primordial considerada foi levar o jogo Kakuro para a sala de aula, e esta
se mostrou um procedimento de extrema importância. É bom lembrar que a forma
lúdica do aprendizado da matemática, através do jogo Kakuro, propiciará ao aprendiz,
além da fundamentação teórica das operações aritméticas, o seu emprego na prática,
sendo esta associação essencial, sem falar que utilizar um jogo lúdico com o nível do
jogo Kakuro exercitará o cérebro do jogador.
Os resultados apontam as diferenças expressivas tornando possível apresentar aos
alunos o conteúdo teórico, onde será feita a análise, a abordagem e o entendimento da
matéria com o auxílio do Jogo Kakuro. O emprego do jogo Kakuro na prática, permite
ao educando uma visão palpável da matéria transmitida. Essa associação vem a ser vital

6

para a saúde mental do aluno e preparação psicológica do professor, pois, o retorno virá
com o prazer do aprender e a gratificação do docente por ter sua missão cumprida.

REFERÊNCIAS

SIMONIS, H. Kakuro as a Constraint Problem, University College Cork, Computer
Science Department, 2007, pp. 1-15.
LEAL, R. A. Matemática virou POP: Por que o Sudoku e suas Variantes causa
Tamanha Fascinação, Revista Época, edição No. 410, 2006, pp. 1-3.
MELLO, V. M. C. e SANTOS, M. L. S. F. S. Jogos Lógicos, Projeto Teia do Saber,
Programa de Formação Continuada de Professores, UNESP – Faculdade de Engenharia
de Guaratinguetá, São Paulo, 2006, pp. 1-20.

ANEXOS

Tabela 1 - Quadro de Somas Possíveis.

Soma Número de Casas Combinação
3 2 12
4 2 13
5 2 23
6 2 15
6 2 24
14 2 68
14 2 59
10 4 1234

Figura 1 - Combinação para gerar o número à direita e esquerda da subdivisão.

7

Figura 2 - Ilustração da regra de repetição de um número na mesma célula.

Figura 3 - Combinações possíveis para linha e coluna, respectivamente.

Figura 4 - Fixação de um número para o preenchimento das células.

Figura 5 - Análise de preenchimento das células.

8

Figura 6 - Exemplos de células que não obedeceram às regras do Kakuro.

Figura 7 - Kakuros confeccionados pelo Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos.

Figura 8 - Apresentação do Kakuro na Escola Prof. Nelson Duarte Rocha - Selvíria.

Figura 9 - Apresentação do Kakuro no Colégio Anglo - Ilha Solteira.

SILVA, T. H. P., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. O
Jogo Quadrado Mágico como Auxílio ao Ensino Tradicional de Matemática, Relato de

Eixo-temático: Ensino Fundamental: Ciclo I e II.

O JOGO QUADRADO MÁGICO COMO AUXÍLIO AO ENSINO
TRADICIONAL DE MATEMÁTICA

Tiago Henrique P. SILVA – FEIS / UNESP (tiagohenrique.mat@aluno.feis.unesp.br)
Dalva M. Oliveira VILLARREAL – FEIS / UNESP (dalva@mat.feis.unesp.br)

Resumo: A mudança de postura em sala de aula deve ser uma das tentativas dos
educadores na intenção de despertar o interesse de seus alunos para matemática. Como
uma possível alternativa a esta mudança o Grupo de Jogos Matemáticos, da UNESP de
Ilha Solteira, tem promovido a utilização de jogos em sala de aula, desenvolvendo
atividades teóricas e práticas, em escolas da rede de ensino pública e particular. Os
jogos lúdicos vêm sendo utilizados, de forma intensiva, como uma alternativa para
solucionar problemas que envolvem o ensino. Dentre outros jogos, utilizou-se o
Quadrado Mágico, que consiste de uma matriz numérica quadrada, em que as somas das
linhas, das colunas e das diagonais, principal e secundária, são as mesmas. O Quadrado
Mágico possibilita atividades lúdicas que exercitam o raciocínio lógico e o cálculo
mental. Portanto, o objetivo do Grupo de Jogos Matemáticos foi utilizar essa técnica
com alunos do Ensino Fundamental, pois, este tipo de atividade possibilita ao aluno
uma melhor representatividade, principalmente, na área de Matemática. Várias
atividades foram programadas dentre elas: visitas as escolas de Ensino Fundamental e
exposições a alunos, professores e pais. As apresentações nas escolas foram planejadas
em atividade de níveis distintos levando em consideração o grau de dificuldade e faixa
etária dos alunos. O quadrado mágico foi manuseado pelas turmas do 4ª e 6ª ano do
Ensino Fundamental. Pretende-se estender a aplicação do Quadrado Mágico a toda a
educação básica, visando propiciar uma abordagem matemática mais prazerosa. Pode-se
observar que as apresentações expositivas despertaram um enorme interesse não só por
parte dos alunos, mas também com relação aos pais que se mostraram preocupados com
o aprendizado de seus filhos. A apresentação dos jogos despertou grande curiosidade
nas crianças e ficou claro que os professores, mesmo possuindo o conhecimento dos
jogos, ficam inseguros com o novo método.

Palavras-chave: Matemática, Ensino, Jogos, Quadrado Mágico.
.

2

INTRODUÇÃO

O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos tem como meta abordar, através de
apresentações nas escolas, a utilização de jogos em sala de aula, com o objetivo de fazer
com que a matemática seja transmitida de uma maneira que proporcione maior
aceitação, aumentando o aproveitamento dos alunos e tornando o ensino mais aplicável.
O grupo é composto por alunos do curso de licenciatura de Matemática da FEIS-
UNESP, que tem for finalidade a formação de novos profissionais, com habilidade da
utilização de ferramentas alternativas para resolução de problemas presenciados na área
do ensino. As apresentações têm sido feitas em escolas da rede pública e particular de
ensino. A dificuldade de assimilação do conhecimento é um problema que deve ser
atacado e cabe ao professor, neste caso, educador, tentar solucioná-lo.
Nos dias atuais existem vários estudos que tentam suprir estas dificuldades e
uma das maneiras alternativas utilizadas são os jogos lúdicos. Portanto, o objetivo do
Grupo de Jogos é fazer com que os alunos venham a sentir prazer de aprender
brincando. É evidente que um jogo é muito mais que uma brincadeira, pois, é possível
observar, em cada um deles, conceitos matemáticos importantes que acabam se
fundamentando. Uma vez, que os jogos são simples, a sua confecção através de sucata,
pode-se tornar um primeiro passo do desenvolvimento do jogo, estimulando assim o
interesse do aluno.
Dentre os jogos escolhidos está o Quadrado Mágico, que consiste de uma matriz
numérica quadrada, em que as somas das linhas, das colunas e das duas diagonais
principais são as mesmas. O jogo foi apresentado para alunos, 40 e 60 anos, do Ensino
Fundamental e para professores e pais que participaram de uma amostra expositiva.
Este jogo foi utilizado para despertar o interesse dos alunos pela matemática,
uma disciplina que, na maioria das vezes, é tida como tediosa e sem aplicações no
cotidiano. Assim, a complementação do conteúdo programático com a utilização de
materiais lúdicos, visa propiciar o desenvolvimento do raciocínio lógico e o cálculo
mental, proporcionando a redução dos problemas no ensino atual.

3

ORIGEM DO QUADRADO-MÁGICO

Pouco se conhece, ainda hoje, sobre a história primitiva do Quadrado Mágico,
porém, sua origem parece situar-se na China. Segundo a história da matemática, os
mesmos surgiram há cerca de 3000 anos antes de Cristo (Boyer, 1974). Os Quadrados
Mágicos são arranjos quadrados de numerais em que, a soma das linhas, colunas e
diagonais, têm o mesmo valor. O nome Quadrado Mágico foi dado a este tipo especial
de arranjo geométrico porque se acreditava que os mesmos tivessem poderes especiais.
O exemplo da Figura 1 é atribuído ao imperador e engenheiro Yu, o Grande
(2200 a.C.). De acordo com a lenda, quando Yu estava observando o rio Amarelo,
surgiu uma tartaruga divina, em cujo dorso estava o símbolo que hoje é conhecido pelo
o nome de lo shu (lo significa “rio” e shu é “livre”). Por isto, há muitos e muitos anos os
chineses acreditavam que quem possuísse um quadrado mágico teria sorte e felicidade
para toda a vida.
Os Quadrados Mágicos foram se propagando, chegando posteriormente ao
Japão, Índia e Oriente Médio, locais ligados ao misticismo. Somente no século XV que
a Europa conheceu o jogo através do escritor Manuel Moschopoulos, que os citou em
sua obra intitulada "Tratado de Quadrados-Mágicos".
No século XVII, a teoria matemática da construção dos Quadrados Mágicos foi
estudada na França, mas somente no final do século XIX, ele foi utilizado na resolução
de problemas de probabilidade e análise. Logo, o jogo era utilizado como mero
passatempo, mas acabou se tornando uma parte importante da matemática
contemporânea.

CONSTRUÇÃO DE QUADRADOS MÁGICOS

O Quadrado Mágico consiste em uma matriz numérica quadrada, em que as
somas das linhas, das colunas e das duas diagonais principais são as mesmas. Pode-se
dizer, ainda, que um Quadrado Mágico é um arranjo de números que vai de 1 até n2,
numa matriz n x n, em que, cada número ocorre apenas uma vez, e este arranjo é tal que

4

a soma dos números existentes em uma linha deve ser igual à soma dos números
existentes em qualquer coluna, como também em qualquer das diagonais (PASLES,
2004). Por exemplo, o quadrado mágico de ordem 3 é formado pelos nove dígitos: 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, dispostos em três linhas e três colunas, sendo que as somas são
constantes e iguais a 15, sendo este valor denominado como “constante mágica”
(CARLSON, 2001; XIN, 2004).
As construções de Quadrado Mágico começam a partir do quadrado de ordem 3.
Os Quadrados de ordem 1 ou 2 são inexistentes para a maioria dos estudiosos da
matemática, ou seja, não o aceitam como sendo um Quadrado Mágico válido. Para o
Quadrado Mágico de ordem 2, é possível verificar a inexistência de números distintos
que preencham as condições impostas para sua existência.
Segundo o médico e matemático Cornélio Agripa (1486-1535), O Quadrado de
ordem 1 simbolizava a eternidade e o Quadrado de ordem 2 o mundo material com os
quatro elementos, ar, terra, fogo e água, e pelas imperfeições desses elementos, o
Quadrado Mágico não poderia ter constante certa.
Ao construir os Quadrados Mágicos, verifica-se que existe um mecanismo
válido para todos de ordem ímpar e uma técnica que vale para o Quadrado Mágico de
quarta ordem e seus múltiplos (8, 12, 16, 20, 24, ...). No entanto, até hoje não se sabe
um mecanismo “preciso” para construir Quadrados Mágicos de ordem 6 + 4r, r ∈ N.

a) Construção de Quadrados Mágicos de ordem ímpar

Primeiramente, se constrói ao redor do Quadrado Mágico de ordem n (n ímpar)
um novo quadrado com ordem 2n, sendo que o quadrado original ficará disposto
conforme a Figura 2.
Inicia-se colocando o número 1 na casa central da primeira linha do quadrado
original e caminha-se (n–1)/2 casas para cima, e uma para a direita, para colocar os
números seguintes. Se um número cair fora do quadrado original, ficando nos
quadrados construídos, volta-se com o número na casa correspondente no quadrado
original. Se a casa correspondente estiver ocupada, escreve-se, então, o número na casa

5

abaixo do número anterior e continua-se com a regra inicial. Ao terminar de preencher o
Quadrado Mágico, será obtida uma soma n∗(n²+1)/2 em todas as linhas, colunas e
diagonais.

b) Construção de Quadrados Mágicos de ordens múltiplas de 4

Preenche-se a primeira linha colocando os vinte e cinco por cento do total de
números do quadrado, da esquerda para a direita. Em seguida, colocam-se os cinqüenta
por cento do total dos números, em ordem crescente, da direita para a esquerda.
Finalmente, colocam-se os vinte e cinco por cento restantes, novamente da esquerda
para a direita.
Agora, deve-ser trocar os vinte e cinco por cento centrais das linhas, obtendo o
Quadrado Mágico procurado como ilustra as Figuras 2 e 3.

UTILIZAÇÃO DO QUADRADO MÁGICO DENTRO DE SALA DE AULA

A construção proposta aos alunos foi de forma mais simples possível,
salientando que, nas séries em que se encontram, não possuem a estrutura cognitiva
suficiente para entender conceitos que costumam ser vistos somente no Ensino Médio.
Logo, os conceitos matemáticos foram abordados de forma acessível a todos, de forma
que a atividade, lúdica, fosse um instrumento complementar no ensino de matemática.
Para facilitar o desenvolvimento da atividade, foram confeccionados um
Quadrado Mágico de ordem 3 e outro de ordem 4 utilizando isopor, E.V.A., cartolinas
coloridas e percevejos (taxinhas), conforme Figura 5. Além disso, nas atividades
realizadas nas escolas, foram distribuídos os Quadrados Mágicos em papel para os
alunos preencherem.
O objetivo do Grupo de Jogos Matemáticos foi utilizar essa técnica em alunos do
Ensino Fundamental, pois este tipo de atividade possibilita ao aluno uma melhor
representatividade principalmente na área de Matemática.

6

O Quadrado Mágico foi apresentado em duas escolas da cidade de Ilha Solteira e
em uma escola da cidade de Selvíria (MS), como ilustra as fotos indicadas na Figura 4,
através de aulas teóricas e exposições a alunos, professores e pais.
A apresentação dos jogos despertou grande curiosidade nas crianças,
contribuindo para o aprendizado de matemática. O trabalho com jogos lúdicos, neste
caso o quadrado mágico, vem a ser um método alternativo que acaba tornando a aula
mais dinâmica e atrativa favorecendo a aprendizagem.
Os alunos, sem perceber, tiveram contato e trabalharam com rigor as relações
matemáticas presentes no Quadrado Mágico. A maneira no qual é gerada a constante
mágica foi apresentada aos alunos no intuito de que ficasse claro não só as regras do
jogo, mas também a origem e forma em que ele se processa.


A atividade proporcionou uma nova concepção de educação matemática,
mostrando que é possível ensinar conceitos considerados “complexos” às crianças.
Basta utilizar formas alternativas como ferramentas complementares ao ensino
tradicional, levando ao desenvolvimento da aprendizagem.
Pode-se afirmar que além dos governantes e professores, os pais estão
diretamente envolvidos com a qualidade do ensino. Portanto, devem “estar” presentes e
“ser” presentes, sempre que possível, nas atividades escolares dos filhos. O fato de
“estar” presente não implica na participação, daí a importância de “ser” presente.
O fato de o ensino e a aprendizagem de Matemática ser um grande problema
para o sistema educacional vigente, propõe-se a modificação das aulas tradicionais,
através da utilização de ferramentas lúdicas, na tentativa de despertar o interesse dos
alunos para a beleza do estudo da matemática. Sendo assim, o educador é a peça chave
no processo da reforma educacional. “O conhecimento é transmitido de diferentes
formas, basta que haja a compreensão da informação”.

REFERÊNCIAS

7

BOYER, C. B. História da Matemática, São Paulo, Edgar Blücher, 1974.
PASLES, P. C. Some Magic Squares of Distinction, Math Horizons, 2004, pp 10-12.
CARLSON, J. Magic Squares and Modular Arithmetic, Department of Mathematics,
University of Utah, 2001, pp. 10.
XIN, G. Constructing all Magic Squares of Order Three, Department of
Mathematics, Brandeis University, 2004, pp.1-7.

ANEXO

Figura 1 – Quadrado Mágico na notação moderna.

Figura 2 – Método usado na construção de Quadrados Mágicos
de ordem ímpar (neste caso, de ordem 5).

8

Figura 3 – Procedimento utilizado na construção de Quadrados Mágicos de
ordens múltiplas de 4 (neste caso, de ordem 4).

Figura 4 – Apresentação do Quadrado Mágico nas escolas.

Figura 5 – Quadrados Mágicos confeccionados pelo Grupo de
Estudo sobre Jogos Matemáticos.

RIVA, S. J., GUISSI, V. A. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES,
M. L. M. O Jogo Sudoku como uma Alternativa no Ensino de Matemática, Relato de

Eixo-temático: Ensino Fundamental: Ciclos III e IV

O JOGO SUDOKU COMO UMA ALTERNATIVA NO ENSINO DE
MATEMÁTICA

Sílvio RIVA Júnior – FEIS / UNESP (silvio_riva@yahoo.com.br)
Vinicius Arthur dos Santos GUISSI – FEIS / UNESP (vinnyguissi@hotmail.com)
Dalva Maria Oliveira VILLARREAL – FEIS / UNESP (dalva@mat.feis.unesp.br)

Resumo: O ensino de matemática vem sendo, ao longo dos anos, uma das maiores
preocupações para todos, principalmente professores da área, devido o fato de, na
maioria das escolas, as médias das notas dos alunos nesta disciplina serem as mais
baixas de toda a grade escolar. Mas, se não bastasse, há outro fato preocupante que é a
crescente falta de dedicação e o desinteresse cada vez maior por parte dos alunos em
relação ao estudo da matemática. Devido à grande preocupação foram realizados
estudos sobre as possíveis e diferentes maneiras de abordar a matemática de forma a
torná-la mais prazerosa perante os alunos. Uma das metodologias que vem se
destacando são os jogos matemáticos a qual vem proporcionando resultados relevantes.
Piaget e Vygotsky foram grandes pesquisadores sobre a construção do conhecimento
humano, e para eles o homem é um ser ativo que está sempre em busca de respostas
para as dúvidas e paradoxos que o mundo lhe traz e o conhecimento se daria através da
interação entre homem/meio (www.centrorefeducacional.com.br/piaget.html;
www.centrorefeducacional.com.br/vygotsky). Os jogos matemáticos são atividades
lúdicas desafiadoras que proporcionam uma interação aluno/meio, da qual o discente irá
formular seu próprio conhecimento. Fazer com que os próprios alunos tomem a
iniciativa de propor “caminhos” e decisões rápidas e corretas na resolução dos jogos e
problemas, torna o estudo e aprendizado matemático mais dinâmico e menos árduo, já
que eles serão construtores de grande parte do conhecimento adquirido. Em busca da
melhoria do ensino e aprendizagem de matemática, foi criado o Grupo de Estudo sobre
Jogos Matemáticos, formado por alunos do curso de licenciatura em matemática da
UNESP de Ilha Solteira que exploraram a utilização do Sudoku no Ensino Fundamental.
A experiência foi realizada com alunos do Ensino Fundamental, 40 e 60 anos, e com
exposições à professores e pais de alunos.

Palavras-chave: Jogos, Ensino, Aprendizagem Matemática, Diversificação, Sudoku.

2

INTRODUÇÃO

Os alunos do 1º ano (atualmente 2º ano) do curso de Licenciatura em
Matemática tiveram a experiência de elaborar seminários de jogos matemáticos devido à
necessidade da atividade prática da disciplina álgebra elementar, imposta pelo novo
currículo. Durante algumas atividades propostas aos alunos (relatórios, seminários, etc.)
notou-se que alguns deles possuíam mais desenvoltura e facilidade em trabalhar na área
da educação. Assim, propôs-se, a esses alunos, o convite da formação de um grupo de
pesquisa relacionado a jogos matemáticos.
O Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos, assim chamado, tem o âmbito de
fazer com que a matemática seja passada de uma maneira que gere mais aceitações,
aumentando o aproveitamento dos alunos dentro da sala de aula tornando-a mais
prazerosa entre eles.
Dentre os jogos escolhidos está o Sudoku cujo nome é a abreviação japonesa
para a frase: “Suuji wa do kushin ni kagiru” que significa “os dígitos devem permanecer
únicos”. Ao contrário do que muitos pensam o jogo não é de origem japonesa, já que foi
criado por um arquiteto aposentado chamado Howard Garns, de 74 anos, cuja
inspiração para a criação do jogo veio, provavelmente, do quadrado latino do suíço
Leonard Euler. Suas primeiras publicações ocorreram nos Estados Unidos no final do
ano de 1970 na revista Math Puzzles and logic Problems, da editora Dell Magazines.
O Sudoku é composto de uma matriz quadrada (n x n) de números sendo que em
algumas posições contem números pré-fixados. O desafio do jogo é preencher o restante
da matriz de forma que toda linha, coluna, ou bloco contenha um e apenas um número
de cada. Para tal preenchimento utilizam-se números que vão de 1 até n, sendo n igual a
dimensão da grade. A Figura 1 ilustra dois tipos diferentes de Sudoku: Sudoku 4x4 e
Sudoku 9x9.
O Sudoku apresenta duas técnicas de resolução: Tentativa e erro que consiste em
preencher a grade de uma maneira aleatória, sem estudo da matriz dada, o que acarreta
em vários erros aumentando o tempo de resolução. Já o segundo método chama-se

3

“Varredura”, cujo princípio é percorrer toda a matriz estudando as possibilidades de um
número poder ou não ocupar um determinado local na grade mostrado pela Figura 2.
Essa “varredura” é feita seguindo as regras do jogo, há uma dica para os iniciantes que
seria começar essa análise com os números que estão em maior quantidade. Dentro do
processo de análise do Sudoku é estabelecida uma regra primordial: os números não
podem ser repetidos em células de suas respectivas grades menores, nas linhas e colunas
como mostrado na Figura 3 (DAVIS, 2007).
O grau de dificuldade do jogo Sudoku é estabelecido pelo tamanho da grade,
quanto menos, mais fácil e também pela quantidade de números que são
predispostamente dados no inicio da resolução.

EXPERIÊNCIA DENTRO DE SALA DE AULA

Os alunos que fazem parte do Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos
tinham a tarefa de confeccionar o jogo Sudoku para então aplicá-lo na prática de ensino
dentro de sala de aula. Para a confecção dos jogos utilizou-se pincel atônico, lousa
branca de diversos tamanhos, e as grades foram feitas com fitas coloridas para uma
melhor visualização como mostra a Figura 4.
A utilização do jogo Sudoku como método de ensino para a aprendizagem de
matemática é uma alternativa que visa melhorar as expectativas quanto à assimilação de
conhecimento na área de matemática. Uma vez que esta área possui um grau de
dificuldade de aceitação com relação aos alunos, ocorre à necessidade da utilização de
técnicas que supram os métodos tradicionais.
O Sudoku foi apresentado para os alunos do ensino fundamental de escolas
públicas e particulares, levando em conta que na escola particular o jogo foi colocado de
maneira expositiva, no qual alunos, professores e pais tinham o livre acesso ao jogo.
Portanto, devido o fato do jogo ser colocado para turmas diferentes, surgiu a
necessidade de utilizar níveis de dificuldades e formas de apresentação do jogo
distintas.

4

Para apresentação do Sudoku no Ensino Fundamental, foi necessário realizar
algumas modificações essenciais no jogo. Por exemplo, para os alunos do Ensino
Fundamental, 40 ano, houve a substituição dos números por figuras coloridas, como
mostra a Figura 5, no intuito de despertar um maior interesse das crianças e fazer com
que focassem o jogo de uma maneira mais intensa.
Devido à diversidade de formas de apresentações em salas de níveis escolares
diferentes, indicada pela Figura 6, o grupo se deparou com algumas dificuldades. No
início o mais difícil foi saber lidar com a insegurança já que nada desse tipo havia sido
feito e tinha-se certo receio por não saber como lidar e o que esperar diante de uma
classe cheia de alunos.
Porém, com o passar de cada experiência os membros do grupo puderam
vivenciar o que é ser professor, adquirindo uma experiência em sala de aula dando-lhes
confiança para lidar com as possíveis situações em classe proporcionando um maior
preparo para as demais apresentações. Assim o trabalho tem proporcionado aos
membros do Grupo de Jogos a vontade de serem professores e lutarem por uma
melhoria significativa na aprendizagem e ensino.
Após presenciar e participar de todas as atividades do Grupo de Estudos sobre
Jogos Matemáticos, os responsáveis pela elaboração e apresentações do jogo Sudoku
puderam avaliar e concluir que o jogo em questão foi de grande valia e obteve
resultados ótimos.

COLOCAÇÕES FINAIS

Uma das maiores dificuldades encontradas pelos professores está na extrema
facilidade com que os alunos dispersam a atenção fazendo com que não consigam se
concentrar por período maior. Outro problema apontado é a falta de interesse que
acarreta em desistências decorrentes de qualquer dificuldade encontrada, seja ela qual
for.
Por experiências vividas dentro de sala de aula, pôde-se observar que com a
introdução do Sudoku ocorreu uma maior interatividade entre alunos e professores,

5

dinamizando a aula. Também foi visível o aumento do interesse pelo que estava sendo
apresentado, já que até aquele momento, eles não conheciam o jogo proposto e para eles
era uma maneira alternativa de aprender matemática.
Os alunos, de maneira geral, não se abateram diante das dificuldades
encontradas, muito pelo contrário, elas serviram de estímulo para que todos se
empenhassem e saíssem como “vencedores” o que fez com que o grupo avaliasse não só
o desempenho e velocidade, de cada aluno, na resolução do jogo, mas também o grau de
interesse e disposição. Este empenho maior é responsável por melhoras no raciocínio
lógico, na memória, na tomada de decisões corretas e na manipulação de informações.
Sempre em busca de melhores resultados há o grande interesse em usar a
informática como ferramenta (RUIZ, 2006). Trabalhos envolvendo jogos matemáticos e
informática vem sendo realizados com êxito na inserção de idosos no mundo digital
(SEBBEN et al., 2007).
Portanto, apesar da resistência por parte de alguns, o Sudoku e outros vários
jogos podem, sem dúvida alguma, entrarem não só nas salas de aula, mas em qualquer
meio para tornar o ensino de Matemática algo mais atrativo e interessante com o papel
de ferramenta ou até mesmo como método de avaliação (NINA, 2007), gerando
melhores resultados e desmistificando a história em que a aprendizagem da matemática
se submeteria somente a cálculos e problemas abstratos.

REFERÊNCIAS

RUIZ, D. Jogos Pedagógicos Matemáticos, São Paulo: UNIMESP – Centro
Universitário Metropolitano de São Paulo, 2006, pp. 1-4.
NINA, C. Um Olhar Matemático para o Jogo de Sudoku, IX ENEM - Encontro
Nacional de Educação Matemática, 18 a 21 Julho, Belo Horizonte, 2007, pp. 1-10.
SEBBEN, N.; GUEDES, A. L.; GUEDES, F. L. Desenvolvimento de Jogos para a
Terceira Idade, VI Simpósio Brasileiro de Jogos para Computador e Entretenimento
Digital, 2007, pp. 1-4.
DAVIS, T. The Mathematics of Sudoku, 2007, pp. 1-34.

6

www.centrorefeducacional.com.br/piaget.html
www.centrorefeducacional.com.br/vygotsky.html

ANEXO

Figura 1 - Sudoku 4x4 e Sudoku 9x9.

Figura 2 - Método da “varredura”.

7

Figura 3 - Grades menores, Colunas e Linhas do Sudoku.

Figura 4 - Sudoku confeccionado.

Figura 5 - Sudoku de figuras 4x4.

8

Figura 6 - Apresentações do Grupo.

NIZA, C. D., BEVILAQUA, N. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e
LOPES, M. L. M. O Tangram como Ferramenta Complementar ao Ensino de
Matemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação
Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-
98092-07-2)

Eixo-temático: Ensino Fundamental : Ciclos I e II.

O JOGO TANGRAM COMO FERRAMENTA COMPLEMENTAR AO ENSINO
DE MATEMÁTICA

Carla Daniela NIZA – FEIS / UNESP (carladanielaniza@hotmail.com)
Nathália M. BEVILAQUA – FEIS / UNESP (nathalia.m.bevilaqua@gmail.com)
Mara L. M. LOPES – FEIS / UNESP (mara@mat.feis.unesp.br)

Resumo: O Tangram é um quebra cabeça de origem chinesa muito antiga, formado por
sete peças (dois triângulos isósceles grandes, dois triângulos isósceles pequenos; um
triângulo isóscele médio; um quadrado e um paralelogramo). As peças podem ser
chamadas de Tans e, posicionando-as corretamente em sua apresentação clássica,
forma-se um quadrado. Além desta forma, diversas outras podem ser obtidas desde que,
utilizando todas as peças, uma peça não seja colocada sobre a outra. Seu nome original
é ch i ch iaô tu, que em português significa “7 tabuas da sabedoria” ou “7 peças
inteligentes”. Conta a lenda que, um dia na China, o imperador Tan partiu o seu espelho
quadrado quando o deixou cair ao chão. O espelho partiu-se em sete partes. Tan, apesar
de aborrecido com a perda do espelho, descobriu uma forma de se entreter, foi
construindo várias figuras usando sempre as sete peças, sem as sobrepor. Com o passar
do tempo foram surgindo vários tipos de Tangram, como o Tangram Pitagórico, o
Pentagonal, o Circular, o Oval, o Cardiotangram, o de Quatro Peças, o de Cinco Peças,
entre outros. O quebra-cabeça Tangram, e muitos outros tipos de quebra-cabeças
bidimensionais similares, tornaram-se bastante populares no final do século XVIII e no
inicio do século XX. O Tangram expandiu-se com muita rapidez, principalmente pela
Europa e Estados Unidos tornando-se muito popular, e tem servido de inspiração para
criação de muitos outros jogos com as mesmas características. Assim como o
tradicional jogo de origem chinesa, Tangram possui como filosofia criar inúmeras
visões a partir de suas peças, gerando infinitas possibilidades. O que se sabe na
realidade é que ele ajuda a desenvolver as inteligências lógico-matemática, espacial e
intrapessoal. Assim, este trabalho trata da apresentação dos resultados da iniciativa da
proposta de utilização do Tangram como instrumento auxiliar ao ensino de matemática.

Palavras-chave: Tangram, Jogos, Ensino, Criatividade, Lógica Matemática.

2
98092-07-2)

INTRODUÇÃO

Investindo na possibilidade de reorientar o ensino da matemática de modo a torná-
lo uma experiência de sucesso, promovendo assim, uma visão da matemática como
ciência em permanente evolução, foi formado o Grupo de Estudo sobre Jogos
Matemáticos, na UNESP de Ilha Solteira.
Para realizar esta tarefa árdua de reorientar o ensino desta ciência, o grupo
trabalha com a proposta de introduzir em sala de aula um dos mais variados recursos
existentes na literatura, neste caso, os jogos matemáticos.
Assim, a proposta é fazer dos jogos matemáticos uma ferramenta completar para o
ensino de matemática. Logo, neste trabalho serão apresentadas as atividades
desenvolvidas pelo grupo abordando um dos jogos trabalhados.
Manuseando as peças do quebra-cabeça chinês, como é conhecido o Tangram, os
alunos terão condições de elaborar os conceitos do conteúdo sobre Frações, explorando-
o com as sete peças que compõem o Tangram. Este, por ser um jogo, prende a atenção e
possibilita a aprendizagem de maneira lúdica. As situações do jogo são consideradas
parte das atividades pedagógicas, justamente por serem elementos estimuladores do
desenvolvimento.
O jogo assume um papel importante na matemática. É através do seu caráter
lúdico que facilmente se divulga a matemática e se diminui o peso psicológico e
tenebroso que esta assume na sociedade, fato este que tem emergido aos olhos dos
educadores.
Portanto, a iniciativa do grupo em complementar o ensino de matemática através
da utilização de jogos, neste caso o Tangram, faz da aquisição dos conceitos, uma
atividade mais prazerosa que permite ao aluno a aquisição do conhecimento de forma
mais completa e objetiva.
No que segue serão apresentadas as atividades desenvolvidas pelo Grupo de
Estudo sobre Jogos Matemáticos, envolvendo o Tangram, nos anos de 2006, 2007 e
2008.

3
98092-07-2)

LENDAS E ORIGEM DO TANGRAM

A primeira publicação sobre a origem do Tangram foi em 1813 [LEE, 2003],
segundo os registros.
Várias lendas contam essa origem de formas diferentes, porém, a definição mais
formal diz que o Tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa formado por sete
peças (Figura 1), e quando colocadas corretamente, forma-se um quadrado. A essas sete
peças dá-se o nome de Tans e é possível montar cerca de 1700 figuras com as mesmas
(Figura 2) [KALEFF et al., 2002].

REGRAS E MANIPULAÇÃO DO JOGO

O desafio dos quebra-cabeças é recompor estas formas mudando as sete peças de
posições. As duas principais e únicas regras são: usar todas as peças e não sobrepor uma
sobre a outra. Na matemática pode-se introduzir a geometria de maneira mais adequada
através de exposição de sólidos geométricos e da construção do Tangram, para que o
aluno venha a ter noção de espaço, comparar e mediar área, estudar amplitudes de
ângulos e comprimento.
Uma maneira interessante de jogar este jogo é colocar os dois jogadores sentados
frente a frente, onde o primeiro escolhe uma figura simples, dando, ou não, um nome a
mesma. O segundo jogador não vê a figura e deve, com as peças do quadrado, construí-
la segundo as indicações do primeiro jogador, que lhe descreve as peças e as respectivas
posições. O segundo jogador só conseguirá reconstruir a figura, se as informações do
primeiro jogador forem suficientemente claras. Pode-se continuar até que o segundo
jogador consiga terminar o jogo, ou então, limitar-se o tempo.

VARIAÇÕES DO TANGRAM

A partir do Tangram clássico surgiram vários outros tipos de Tangram, entre eles,
o Tangram Pitagórico (Figura 3), através da construção feita pode-se concluir que, num

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98092-07-2)

triangulo retângulo a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das
áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Foi assim que Pitágoras chegou a
conclusão de que: a² = b² + c². Conta a lenda que, como prova de gratidão por ter
demonstrado esse teorema, Pitágoras sacrificou 100 bois aos deuses.
Com o passar do tempo foram surgindo vários outros modelos de Tangram, como
Pentagonal, Cardiotangram, Oval, Retangular, Circular, Russo, Triangular, Quatro
peças e Cinco peças (Figura 3).


O fato de mexer com a imaginação fazem do Tangram um excelente jogo infantil
e educacional, especialmente se for possível permitir à criança a criação do seu próprio
jogo. Com o uso do Tangram o professor pode desenvolver, ou aperfeiçoar, com seus
alunos, várias capacidades, como identificação de formas geométricas planas, através de
cores, formas, comparação, descrição, classificação, transformações geométricas através
de composição e decomposição de figuras, compreensão das propriedades das figuras
geométricas planas, representação e resolução de problemas usando modelos
geométricos, noções de área e frações. O Tangram também possibilita obter algumas
habilidades importantes para a aquisição de conhecimento em outras áreas, tais como,
visualização, diferenciação, percepção espacial, análise, síntese, desenho, escrita e
construção [LEE, 2003].
O Tangram pode ser usado como material didático nas aulas de educação artística
e matemática, visando à exploração das peças e identificação de suas formas,
possivelmente, com a associação de cores. Logo depois, se passa à sobreposição e
construção de figuras dadas, nesse caso, cabe ao aluno reconhecer e interpretar o que se
pede, analisar as possibilidades e tentar a construção. Durante todo esse processo, a
criança precisa analisar as propriedades das peças do Tangram e da figura que se quer
construir, se detendo ora no todo de cada figura, ora nas partes. Sua filosofia é de que

5
98092-07-2)

um todo é divisível em partes (as sete peças que compõem o quadrado), as quais podem
ser reorganizadas em outro todo, com a concepção de Malba Tahan sobre a matemática.
Este jogo só exige tempo, paciência, imaginação e, principalmente respeitar as
regras.

DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE ENVOLVENDO ALUNOS

No que segue, serão relatadas algumas experiências, realizadas pelo Grupo de
Estudo sobre Jogos Matemáticos, envolvendo o Tangram, nos anos de 2006, 2007 e
2008. No ano de 2006, foi realizada a Oficina de “Jogos Matemáticos”, parte integrante
da Semana da Matemática, evento realizado na própria universidade. A oficina contou
com a apresentação de vários jogos matemáticos, entre eles o Tangram, que foi muito
bem aceito por todos.
Primeiramente foram distribuídos vários quebra-cabeças desmontados, com o
objetivo de montá-los em sua forma clássica, divertindo e chamando a atenção de todos
que estavam participando. Depois, feito isso, foram distribuídos vários outros tipos de
Tangram, como o Cardiotangram, o de Quatro Peças, o de Cinco Peças, o Pitagórico, o
Oval, entre outros, proporcionando, junto a eles, desafios diferentes para ser montados.
No ano seguinte, 2007, os jogos matemáticos se fizeram presentes no “Venha nos
Conhecer”, evento também realizado na própria universidade (Figura 4). Neste evento
foi possível mostrar como os jogos matemáticos são importantes para o
desenvolvimento do raciocínio lógico de um indivíduo, novamente, entre os jogos
abordados estava o Tangram que, apesar de ser um jogo com um nível de dificuldade
média, chama muito a atenção por suas cores e formas geométricas, além de sua origem
e história.
No ano de 2007 ainda, foi ministrada a Oficina “Atividades Matemática
envolvendo Jogos”, na Semana da Matemática, para a abordagem do Tangram, foi
confeccionada uma amarelinha (Figura 5), em E. V. A. Já em 2008, o grupo apresentou

6
98092-07-2)

novamente os jogos, incluindo o Tangram e suas variações no “Venha nos Conhecer”,
evento já descrito anteriormente (Figura 4).

RESULTADOS

O Tangram não possui uma única “solução”, são inúmeras soluções e figuras que
podem ser formadas, no que, residiria um grande atrativo. Sendo assim, o quebra-cabeça
chinês permite criar e montar mais de 1.700 figuras entre animais, plantas, pessoas,
objetos, letras, números. O Tangram é uma metodologia de ensino de matemática para
jovens e adultos com ou sem alfabetização. O jogo, que torna divertida a matemática
recreativa, pode tomar vários aspectos: um quebra-cabeça a ser resolvido, um jogo de
competição, uma mágica, paradoxo, falácia ou, simplesmente, Matemática com um
toque qualquer de curiosidade ou diversão.
Foi possível transmitir, através das atividades desenvolvidas, que o Tangram,
além de um jogo divertido, pode ser visto como um material educativo, permitindo ao
professor trabalhar com o mesmo em sala de aula, e aos alunos o entendimento de
vários conceitos, tais como, ângulos, área, perímetro, noções espaciais, associação de
formas e cores, comparação, descrição, comparação, etc. [TOLEDO e TOLEDO, 1997].
Assim, a apresentação do Tangram como instrumento alternativo à prática
educacional, despertou grande interesse tanto pelos alunos quando pelos próprios
professores que participaram das atividades desenvolvidas.

REFERÊNCIAS

LEE, R. Tangram, Editora Isis, LTDA, 2003.
KALEFF, A. M.; MONTEIRO REI, D.; GARCIA, S. S. Quebra-cabeças Geométricos
e formas planas, Editora da Universidade Federal Fluminense - Niterói/RJ, 2002.
TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Didática da Matemática: como dois e dois: a
construção da matemática, São Paulo: FTD, 1997.

7
98092-07-2)

ANEXO

Figura 1 - Apresentação Clássica do Tangram.

Figura 2 - Exemplos de Aplicações do Tangram.

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98092-07-2)

Figura 3 - Variações do Tangram.

Figura 4 - Venha nos Conhecer 2007 e 2008.

Figura 5 - Amarelinha (Oficina realizada em 2007).

SANTOS, E. L. F., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. O
Uso da Torre de Hanói no Ensino de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IX
Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,
2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático: “Ensino Fundamental: Ciclos III e IV”.

O USO DA TORRE DE HANÓI NO ENSINO DE MATEMÁTICA

Edcarlos L. F. SANTOS – FEIS / UNESP (edcarlos71125@aluno.feis.unesp.br)
Mara L. M. Lopes – FEIS / UNESP (mara@mat.feis.unesp.br)

Resumo: Um dos maiores desafios de um educador, em sala de aula, é obter a atenção
total de seus alunos, principalmente, quando se trata de Matemática. Para isso, se faz
necessário a utilização de métodos alternativos, entre eles, o uso de jogos lúdicos. A
utilização de jogos no ensino torna mais fácil à comunicação entre os alunos e o
educador, propiciando um aprendizado mais completo. O objetivo, quanto à utilização
dessa ferramenta, não é transformar a escola em um grande parque de diversões, mas
sim, aliar esse entretenimento ao ensino. Para que essa proposta seja concretizada é
necessário um grande trabalho, na tentativa de encontrar o jogo que melhor se adapte ao
nível de desenvolvimento em que se encontram os alunos, e ao conteúdo que está sendo
abordado. O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, composto por alunos do curso
de Licenciatura em Matemática, da UNESP de Ilha Solteira, vem utilizando os jogos
matemáticos no ensino. Através das experiências vividas durante o período de dois anos
escolheu-se a Torre de Hanói, por ser um dos jogos que apresentou grande
aceitabilidade por parte dos alunos. Sendo assim, no decorrer do trabalho, será realizada
uma apresentação detalhada do jogo, salientando os diversos benefícios que o mesmo,
aliado aos métodos tradicionais, pode trazer ao ensino de matemática; além de
apresentar os resultados das atividades envolvendo o jogo. O trabalho do grupo não se
limita apenas à utilização da Torre de Hanói como ferramenta complementar ao ensino
de matemática, vários outros jogos são abordados com mesma finalidade. Portanto, o
jogo a ser tratado pode ser considerado um excelente exemplo de passatempo lúdico,
além de permitir as mais diversas abordagens, ou seja, a Torre de Hanói é um jogo
matemático que pode ser aplicado a todos os níveis de ensino, desde o infantil até o
universitário.

Palavras-chave: Torre de Hanói, Jogos Matemáticos, Ensino de Matemática.

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INTRODUÇÃO

Buscando uma alternativa aos métodos tradicionais de ensino, o Grupo de Estudos
sobre Jogos Matemáticos, apostou na iniciativa de utilizar Jogos Matemáticos como
ferramenta complementar ao ensino de matemática. Assim, vários jogos servem como
alvo de estudo do grupo, dentre eles destaca-se a Torre de Hanói (Figura 1).
O jogo Torre de Hanói pode ser abordado em todos os níveis de ensino, no ensino
infantil e fundamental, não necessitando de grande habilidade matemática; no ensino
médio e superior, em que é possível explorar o jogo num contexto matemático mais
bem elaborado e, ainda, existem relatos da utilização da mesma em ambientes
executivos, servindo de instrumento cognitivo de avaliação do comportamento dos
funcionários que são submetidos à atividade de transferência dos discos (WELSH and
HUIZINGA, 2005).
Assim, a proposta é incentivar a utilização de jogos matemáticos no ensino, uma
vez que a situação do ensino, mais especificamente de matemática, se encontra em um
nível um pouco abaixo do esperado.
Num primeiro momento, a Torre de Hanói foi abordada de um modo mais
informativo, através da manipulação descompromissada com a fundamentação
matemática envolvida, propôs-se apenas a transferência dos discos em si.
A opção pela atividade expositiva ocorreu na intenção de promover,
cuidadosamente, a aceitação da inserção dos jogos matemáticos no ensino, tanto por
parte de professores e alunos das escolas de Ilha Solteira (e região), quanto dos alunos e
professores dos cursos de licenciatura. Após essa fase de ambientação, a proposta é
levar o jogo Torre de Hanói para a sala de aula, no intuito de servir como ferramenta
complementar do ensino de matemática.
No que segue será realizada uma apresentação das regras e manipulação do jogo,
seguindo com os benefícios por ele apresentados. Será descrito ainda, o
desenvolvimento das atividades realizadas envolvendo alunos, nos três últimos anos e,
por fim, serão apresentadas as considerações finais sobre o trabalho.

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REGRAS E MANIPULAÇÃO DO JOGO

A Torre de Hanói é composta por três hastes nas quais são colocados n discos
(n = 1, 2, 3, 4....) concêntricos e de tamanhos diferentes, alinhados de forma decrescente
em relação à base. O objetivo do jogo é transferir os discos da haste principal para
qualquer uma das outras hastes seguindo as seguintes regras (CHEDID and MOGI,
1996):

• Só é permitido movimentar um disco de cada vez;
• Nunca colocar um disco de maior diâmetro sobre um de menor diâmetro;
• Nunca colocar discos em outro lugar a não ser, em uma das hastes.

Obedecendo a todas essas regras objetiva-se utilizar o menor número possível de
movimentos, sendo esta quantidade calculada através da relação dada por (PIAGET,
1977; CHEDID and MOGI, 1996):

M(n) = 2n – 1 (1)

Em que n é o número de discos em uso e M(n) é o número mínimo de movimentos
necessários para mover esses n discos (BAIRRAL e CARPI, 2002).
As figuras 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, mostram a quantidade mínima de movimentos
para uma torre de três discos.

BENEFÍCIOS DO JOGO

A Torre de Hanói pode, facilmente, ser empregada em todos os níveis escolares,
mudando-se, obviamente, o enfoque dado em cada um desses níveis.
Em um primeiro momento, a manipulação da Torre pode ajudar na coordenação
motora, no reconhecimento de formas e no conceito de ordem crescente e decrescente.
Não é necessário que as crianças consigam resolver o “passatempo”, mas é

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extremamente recomendável a manipulação, para que os alunos se familiarizem cada
vez mais com o jogo, levando-os a resolução natural do problema proposto.
Já em um nível mais adiantado, a Torre já pode ser utilizada visando à resolução
desta, buscando estratégias de transferências e elaborando uma relação intuitiva entre o
número de discos e o número mínimo de movimentos necessários para transferi-los
(BAIRRAL e CARPI, 2002), essa fase é muito importante para ajudar no
desenvolvimento de um bom raciocínio indutivo. Conceitos já fixados nos níveis
anteriores podem se aliar a outros conceitos que ajudarão no estudo mais profundo do
jogo, por exemplo, o método de indução finita para comprovar a validade da formulação
que antes fora adquirida intuitivamente.
A Torre de Hanói não é único jogo que pode ser usado no auxílio ao ensino;
existem centenas de jogos tão bons ou melhores que a Torre de Hanói, e é tarefa do
educador, buscar se informar e, sempre que possível, utilizar-se dessas ferramentas tão
úteis ao ensino.

DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE ENVOLVENDO ALUNOS

A Torre de Hanói foi apresentada em quatro atividades, sendo três em eventos da
própria Universidade, e a outra em uma escola da cidade.
A primeira atividade foi à apresentação da Oficina “Jogos Matemáticos” parte
integrante da “Semana da Matemática” (2006), evento realizado pelo departamento de
Matemática da própria instituição, cujo objetivo era disseminar a aplicação da
matemática estudada durante o curso, através da utilização dos jogos.
A segunda apresentação da Torre de Hanói foi no “Venha nos Conhecer” (2007),
um evento realizado pela própria universidade, com a finalidade de apresentar os cursos
para os futuros vestibulandos (Figura 10).
Como a segunda apresentação conta com a visitação de alunos e professores das
escolas do município e da região, uma professora, que aprovou a iniciativa, fez um
convite para que o grupo participasse de um evento que a escola iria promover. Assim, a
terceira apresentação envolvendo a Torre se deu através de um convite do colégio

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Anglo, para apresentação dos jogos em uma atividade que envolvia alunos, pais,
professores e funcionários da própria escola, também em 2007 (Figura 11).
A quarta apresentação da Torre foi realizada já em 2008 no “Venha nos
Conhecer”, realizado da mesma forma que no ano anterior (Figura 12).


Através dessas apresentações, e do contato com os alunos, foi possível perceber a
aversão que uma parte dos alunos tem pela matemática, e isso faz com que o ensino
torne-se um tanto complicado, entretanto é possível constatar que, com o uso de jogos,
essa aversão pode ser contornada permitindo ao educador, romper essa barreira entre
aluno e conhecimento.
Por outro lado, mostrar uma alternativa ao ensino tradicional, fez com que os
professores das escolas participantes dos eventos, tomassem a iniciativa de
complementar suas aulas, a fim de despertar o interesse dos seus próprios alunos e
promover um ensino mais prazeroso.
Outro fato que podemos ressaltar é que essa atividade propicia, aos alunos
integrantes do grupo, um contato direto com a atividade de docência a qual estão sendo
preparados para exercer.
Esse primeiro contato entre licenciando e alunos é de suma importância para o
desenvolvimento do futuro docente, pois estes, como futuros educadores, terão a
responsabilidade de buscar alternativas que auxiliem no desenvolvimento do ensino
tradicional.
Assim, a utilização dos jogos, nesse caso a Torre de Hanói, é uma boa iniciativa
em se tratando, da busca pela melhoria do ensino.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BAIRRAL, M. e CARPI, A. Jogar e Desenvolver Competências em Matemática,
Pátio Revista Pedagógica, Porto Alegre, No. 24, 2002, pp. 32-35.

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CHEDID, F. B. and MOGI, T. A Simple Iterative Algorithm for the Tower of Hanoi
Problem, IEEE Transactions on Education, Vol. 39, No. 2, 1996, pp. 274-275.
PIAGET, J. A Tomada de Consciência, Melhoramentos e ADUSP, São Paulo, 1977,
pp. 172-178.
WELSH, M. C. and HUIZINGA, M. Tower of Hanoi Disck-Transfer Task:
Influences of Strategy Knowledge and Learning on Performance, Learning and
Individual Differences, Elsevier, Vol. 15, 2005, pp. 283-298.

ANEXO

Figura 1 - Exemplos da Torre de Hanói cinco, seis e oito discos, respectivamente.

Figura 2 - Situação inicial da simulação da movimentação dos discos
para uma Torre de três discos.

Figura 3 - Primeiro movimento da simulação.

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Figura 4 - Segundo movimento da simulação.

Figura 5 - Terceiro movimento da simulação.

Figura 6 - Quarto movimento da simulação.

Figura 7 - Quinto movimento da simulação.

Figura 8 - Sexto movimento da simulação.

Figura 9 - Sétimo movimento da simulação.

8
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Figura 10 - Exposição realizada no “Venha nos Conhecer” 2007.

Figura 11 - Exposição realizada no colégio Anglo – Ilha Solteira.

Figura 12 - Exposição realizada no “Venha nos Conhecer” 2008.

“CONGRESSO DE INICIAÇÃO
CIENTÍFICA DA UNESP – CIC
UNESP”

São José dos Campos – SP

27 de Outubro a 01 de Novembro de
2008

O Cubo Soma como Ferramenta na Aprendizagem da Matemática

The Soma Cube as Tool in the Learning of the Mathematics
Jonatas Estevam Soares da Silva, Alessandra Bonato Altran, Dalva Maria de Oliveira Villarreal, Mara
Lúcia Martins Lopes

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Licenciatura em
Matemática, jonatas71179@aluno.feis.unesp.br

Palavras – chave: Jogos Matemáticos, Cubo Soma, Atividade Lúdica.

Keywords: Mathematical Games, Soma Cube, Playful Activity.

INTRODUÇÃO

A necessidade de modificar a maneira de transmitir o conhecimento propôs-se a formação do
Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos (UNESP/FEIS), com o objetivo de divulgar o uso de jogos
como uma metodologia voltada para o ensino de Matemática. A proposta da utilização de jogos lúdicos
no ensino de Matemática é uma alternativa à postura tradicional do professor possibilitando ao aluno
uma diversificação na aprendizagem.
A apresentação dos jogos matemáticos como uma alternativa lúdica para o ensino de conceitos
matemáticos vem sendo desenvolvida ao longo desses dois últimos anos. O projeto baseou-se nos
seguintes passos:
1. Estudo aprofundado dos jogos, neste caso o Cubo Soma, dando ênfase no surgimento,
desenvolvimento e metodologia matemática envolvida para utilização no ensino;
2. Inserção do Cubo Soma na prática dentro da sala de aula, envolvendo alunos do ensino
fundamental.

No trabalho que segue está inserida a apresentação do jogo Cubo Soma como ferramenta
complementar ao ensino de matemática.

ORIGEM E DEFINIÇÃO DO CUBO SOMA

Criado em 1936, pelo poeta dinamarquês Piet Hein, o jogo Cubo Soma pode ser comparado a um
quebra-cabeça.
A idéia de montar este quebra-cabeça surgiu quando Piet, engenheiro com grandes
conhecimentos em Física, assistia uma palestra do físico alemão Werner Heisenberg, sobre Mecânica
Quântica, quando este descrevia um espaço dividido em células cúbicas logo Piet formulou a seguinte
idéia: “Se pegarmos todas as formas irregulares construídas por até quatro cubos de tamanhos iguais
unidos por suas faces, seremos capazes de montar um cubo maior”.
Convém esclarecer que o quebra-cabeça foi batizado com o nome de Soma Cube (Cubo Soma) e,
como tal, patenteado e comercializado em várias partes do mundo, tornando-se bastante popular nos
países escandinavos.

DEFINIÇÃO DO CUBO SOMA

O Cubo Soma consiste em um conjunto de oito peças tridimensionais, formadas pela união de
pequenos cubos, combinados de modo a formar um cubo maior, mostrado pela figura abaixo.

Figura 1 - Cubo Soma.

A essas peças formadas pela união dos cubos, de forma irregular, dá-se o nome de policubos
(peças que compõem do Cubo Soma). A figura a seguir ilustra cada uma das peças que compõem o
Cubo Soma.

Figura 2 - Policubos (peças que compõem do Cubo Soma).

Na Figura 2, é possível verificar que o as peças do Cubo Soma, os policubos, são divididos em
seis tetracubos (peças formadas pela união de quatro cubos) e um tricubo (peça formada pela união de
três cubos), mostrados pela Figura 3. A sexta peça é a imagem especular da quinta peça, daí o motivo
de algumas abordagens apresentarem somente sete peças para o Cubo Soma.

Figura 3 - Tetracubos e Tricubo irregular, respectivamente.

MONTAGEM DO CUBO SOMA

A montagem do Cubo Soma parece ser algo bem complicado, porém, o objetivo principal é
montar um cubo 3x3x3 sendo que a única exigência para tanto é a utilização de todas as peças
(policubos), ou seja, para montar o Cubo Soma é necessário utilizar todos os tetracubos irregulares e o

tricubo irregular (Figura 3). Uma das 240 formas distintas de montar o Cubo Soma é apresentada pela
Figura 4.

Figura 4 - Uma solução para o Cubo Soma.

A grande virtude do Cubo Soma é de não se restringir à solução inicial. O Cubo Soma funciona
como um quebra cabeça, portanto, além de se formar um quadrado com as peças também podem ser
formadas uma infinidade de figuras, com o conjunto tridimensional do Cubo Soma como mostra a
Figura 5. Se mais de um jogo de peças forem combinados entre si podem-se verificar a criação de
verdadeiras esculturas.

Figura 5 - Figuras montadas com o Cubo Soma.

O livreto, que acompanhava o jogo produzido pela Parker Brothers, na década de 50, ilustra
inúmeras formas de figuras montadas pelas peças do Cubo Soma.


O jogo Cubo Soma foi parte integrante de todas as atividades realizadas pelo grupo nestes dois
últimos anos em eventos e escolas da cidade e região.
Uma das experimentações práticas mais importantes ocorreu na “Escola Municipal de Educação
Infantil e Ensino Fundamental Prof. Nelson Duarte Rocha”, na cidade de Selvíria - MS, mediante o
convite da coordenadora pedagógica da escola como ilustra a Figura 6. O jogo foi apresentado em
apenas duas séries, quarto e sexto anos devido o curto intervalo de tempo para atividade, porém, o
grupo está convidado a retornar à escola para permitir as outras séries o contato com o jogo.

Figura 6 - Visita a escola “Prof. Nelson Duarte Rocha” (Selvíria - MS).

Outra atividade envolvendo alunos do ensino fundamental ocorreu no colégio “Anglo” da cidade
de Ilha Solteira. Esse evento tinha um caráter expositivo e contou com a participação de alunos, pais e
funcionários da própria escola, mostrada pela Figura 7.

Figura 7 - Visita ao Colégio Anglo (Ilha Solteira - SP).


O desenvolvimento caótico e o baixo interesse pelo aprendizado de matemática provocam no
educador um despertar pela busca da reformulação de sua aula, para que aconteça uma motivação no
aluno e que tenha um resultado benéfico.
O ensino escolar não é a única prática educativa e o professor profissional também não é o único
praticante, a educação existe nas várias sociedades letradas e iletradas, nas zonas rurais e urbanas, ela
existe em cada provo. Com base nesta tese é possível perceber que esta troca de meios será algo de
suma importância para o aprendizado do aluno. Portanto, esta inserção de jogos didáticos em sala de
aula é válida e terá incríveis resultados.
Com as apresentações realizadas foi possível observar o grande interesse, por parte dos alunos,
em aprender matemática de uma maneira divertida. Assim, o trabalho com jogos dentro da sala de aula
é de uma facilidade imensa e provoca grande satisfação tanto no aprendiz, como no docente.


SILVA, F. e KODAMA, H. M. Y. Jogos no Ensino da Matemática, II Bienal da Sociedade Brasileira
de Matemática, UFBA, 2004.
SERRENTINO, R. H. e MOLINA, H. Arquitectura Modular Basada en la Teoría de Policubos,
Proceedings of the 6th Iberoamerican Congress of Digital Graphics, Caracas - Venezuela, 2002, p. 264-
267.
GUZMÁN, M. Tendencias Actuales de la Enseñanza de la Matemática, Studia Paedagogica,
Revista de Ciencias de la Educación, vol.21, 1989, p 19-26.
ZORZAL, E. R.; BUCCIOLI, A. A. B. e KIRNER, C. Usando Realidade Aumentada no
Desenvolvimento de Quebra-cabeças Educacionais. In: SVR2006 - VII Symposium on Virtual
Reality, Porto Alegre - Sociedade Brasileira de Computação - SBC, 2006, p. 221-232.
SANTOS, G. S. A. Utilização de jogos no ensino matemático: Os objetivos, os valores e as
mudanças do ensino da matemática, UNIMESP - Centro Universitário Metropolitano de São Paulo,
2006, p. 1-5.
http://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/SOMA.HTM
http://www.espacociencia.pe.gov.br/areas/matematica/cubo.php
http://www.jogosboole.com.br/logica_mostra.asp?id=1
http://www.geocities.com/mzmikola/jogos/soma/soma.htm
http://super.abril.com.br/superarquivo/1992/conteudo_113263.shtml

O Jogo Kakuro: Uma Proposta de Auxílio no Aprendizado de Matemática
The Kakuro Puzzle: A Proposal of Assistance in Learning of Mathematics

Aline Jardim da Silva, Alessandra Bonato Altran, Mara Lúcia Martins Lopes, Dalva Maria de
Oliveira Villarreal

Matemática, aline71142@aluno.feis.unes.br

Palavras chaves: Raciocínio Lógico; Kakuro; Ensino.

Keywords: Logical Reasoning, Kakuro, Learning.

INTRODUÇÃO

O crescente desinteresse no ensino, principalmente na área de matemática, faz com que o
educador se comprometa em pesquisar novas técnicas de aprendizado. Portanto, fazer com que os
alunos sintam vontade de aprender e prazer de realizar a tarefa proposta, vêm sendo nos dias de
hoje, um grande desafio.
O professor tem então, a função não apenas de transmitir o conhecimento, mas de fazer com
que ele seja inteiramente absorvido pelo aluno de forma concreta. Essa tarefa não é fácil, já que
para que esta etapa seja realizada ocorre à necessidade de se quebrar barreiras e tabus.
Uma proposta é introduzir, em sala de aula, a técnica de abordar os problemas através de
jogos lúdicos. Eles permitem o desenvolvimento de formas diferentes de pensar e agir, induzindo os
alunos a terem incentivo, comunicação, questionamento, raciocínio lógico, inferência, reflexão e
exploração.
O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, composto por alunos do curso de Licenciatura
em Matemática, da UNESP de Ilha Solteira, se fundamenta no desenvolvimento da aprendizagem
matemática através de jogos lúdicos. O objetivo é fazer com que os alunos ingressantes tenham um
convívio direto com os alunos do ensino fundamental, para que possam identificar e solucionar as
dificuldades que estes encontram com relação à matemática.
Um dos jogos abordados pelo grupo foi o jogo Kakuro, que é um jogo que estimula muito a
lógica matemática. O jogo possui uma malha de linhas e colunas, porém, dispostas de forma
diferente do jogo Sudoku.
Existem algumas semelhanças entre o Sudoku e o Kakuro, porém, o que os torna diferentes
é que o Sudoku se baseia em combinação dos elementos e o Kakuro realiza operações matemáticas
(adição, subtração, multiplicação ou divisão) de seus elementos.

A ORIGEM DO KAKURO

O jogo Kakuro teve sua criação no Japão, todavia sua propagação se deu nos Estados
Unidos da América e na Inglaterra, na década de 90, sendo assim conhecido na língua inglesa por
Cross Sums que significa “Somas Cruzadas”.
O Kakuro é um desafio aliciante para quem aprecia Sudoku. Joga-se igualmente com
números, de 1 a 9, e também não é necessário ser um gênio matemático para saber resolver estes
puzzles (quebra-cabeça). Apenas requer perícia, prática e muita paciência. Os puzzles de Kakuro
apareceram pela primeira vez, na Inglaterra, no Outono de 2005.

REGRAS BÁSICAS DO JOGO

O objetivo principal do Kakuro é completar os espaços com números de 1 a 9, sem repeti-los,
de tal forma que o resultado da operação matemática desenvolvida, tanto na horizontal, quanto na
vertical, seja igual ao valor desejado.
O Kakuro convencional aborda apenas, em sua concepção, o desenvolvimento aritmético da
adição. Porém, pode-se ter uma diversificação nesta abordagem, no qual, as operações realizadas
podem ser: adição, subtração, multiplicação e divisão. Existem Kakuros que abordam apenas uma
das operações e Kakuros que abordam mais de uma operação, por exemplo: adição e multiplicação.
Tem-se que esse jogo, além de desenvolver o raciocínio lógico, faz com que o aluno comece a
ter uma maior intimidade com as operações aritméticas. Dessa forma, o que para o aluno é um
trabalho difícil e desgastante, agora, através do Kakuro, se torna mais prazeroso.
O Kakuro oferece diversos níveis de complexidade, desta forma, ele proporciona aos alunos o
crescimento e estimula o senso lógico conforme o aumento do grau de dificuldade dos níveis.

COMO JOGAR O KAKURO

O tipo de jogo Kakuro padrão é jogado em uma grelha composta de células não preenchidas
- “pretas e brancas”, respectivamente – geralmente no tamanho 16×16, mas podem variar muito
deste formato.
A grelha, assim como nas palavras cruzadas, é dividida em entradas – linhas ortogonais de
células brancas – e células pretas. As células pretas não são inteiramente sólidas, elas contém um
traço diagonal do canto superior esquerdo ao canto inferior direito e um número em cada uma das
metades, de tal maneira que cada entrada horizontal tem o seu número correspondente na metade da
célula preta posicionada imediatamente a sua esquerda, e cada entrada vertical tem o seu número na
metade da célula preta posicionada imediatamente acima. Estes números, continuando a utilizar a
terminologia das palavras cruzadas, são chamados de dicas.
O objetivo do passatempo é colocar números de 1 a 9 em cada uma das células brancas, de
tal maneira que a soma de todos os números em cada entrada seja igual ao número da dica associada
a ela e que nenhum número esteja duplicado em cada entrada. E é esta restrição aos números
duplicados que faz com que os Kakuros sejam criados com uma única solução possível. A Figura 1
ilustra um Kakuro com suas respectivas regras.

Figura 1 - Exemplo da resolução de um Kakuro.

ATIVIDADES DESENVOLVIDAS

Os alunos do Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos usufruíram do prazer de apreciar as
experiências inesquecíveis vividas dentro da sala de aula. O material utilizado nas apresentações do
Kakuro nas escolas foi confeccionado pelo próprio grupo, em diversos tipos e níveis como mostra a
Figura 2. Para a preparação do Kakuro utilizou-se pincel atônico, isopor, EVA, etc.

Figura 2 - Kakuros confeccionados pelo Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos.

Inicialmente, os alunos foram convidados pela Escola Municipal de Educação Infantil e
Ensino Fundamental Selvíria “Prof. Nelson Duarte Rocha”. O Kakuro foi desenvolvido no quarto e
sexto anos do ensino fundamental. O intuito era contagiar as crianças mostrando a elas a
matemática através do jogo Kakuro, desta forma, a matemática seria vista de forma mais divertida e
prazerosa. A Figura 3 mostra essa atividade.

Figura 3 - Apresentação do Kakuro na Escola Prof. Nelson Duarte Rocha - Selvíria.

O jogo Kakuro pode ser feito em níveis mais acessíveis a alunos de todas as idades. Portanto,
pode-se explorar o jogo com crianças desde a pré-escola e primeira série, Kakuro de cores - que
possui a mesma linha de pensamento, no entanto, terá como elementos cores para seu
preenchimento, até as séries mais adiantadas, variando assim, o grau de complexidade conforme o
seu desenvolvimento.
A segunda experiência vivida pelo grupo foi no colégio Anglo de Ilha Solteira, onde puderam
expor todos os jogos desenvolvidos por eles para os pais, alunos e funcionários do colégio, ilustrada
pela Figura 4.

Figura 4 - Apresentação do Kakuro no Colégio Anglo - Ilha Solteira.

Com a propagação dos bons frutos das apresentações e do trabalho desempenhado pelo grupo
estão surgindo inúmeros convites para explanação dos jogos em escolas de outros municípios a fim
de auxiliar o ensino da matemática.
A fundamentação do ensino de matemática através de jogos lúdicos como o Kakuro favorece
em demasia, pois, é possível trabalhar sem restrições, levar o jogo a diferentes idades, culturas,
intelectualidades, pensamentos e costumes.

CONCLUSÃO

Com base em idéias de Vygotsky, é possível definir os jogos lúdicos como instrumentos
auxiliares do saber na escola. Pode-se tomar o jogo não como referência, mas como auxílio
proeminente para aprendizagem dos menores educando.
Desde muito tempo, sabe-se que uma grande parcela dos alunos rejeita a disciplina de
matemática, e cabe aos educadores lutar pela melhoria da aprendizagem. É evidente, que as formas
alternativas de propor aprendizado vêm se destacando, e uma delas é o tratamento da matemática
através de jogos lúdicos. A meta primordial considerada foi levar o jogo Kakuro para a sala de aula,
e esta se mostrou um procedimento de extrema importância.
É bom lembrar que a forma lúdica do aprendizado da matemática através do jogo Kakuro
propicia ao aprendiz, além da fundamentação teórica das operações aritméticas, o seu emprego na
prática, sendo esta associação essencial, sem falar que utilizar um jogo lúdico com o nível do jogo
Kakuro, exercitará o cérebro do jogador.
Os resultados apontam as diferenças expressivas tornando possível apresentar aos alunos o
conteúdo teórico, onde será feita a análise, a abordagem e o entendimento da matéria com o auxílio
do jogo Kakuro. O emprego do jogo Kakuro na prática permite ao educando uma visão palpável da
matéria transmitida. Essa associação vem a ser vital para a saúde mental do aluno e preparação
psicológica do professor, pois, o retorno virá com o prazer do aprender e a gratificação do docente
por ter sua missão cumprida.


PEREIRA, A. M. Resolução de Problemas - “Batalha Final”, Projeto Teia do Saber, Programa de
Formação Continuada de Professores, UNESP - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, São
Paulo, 2006.
MELLO, V. M. C. e SANTOS, M. L. S. F. S. Jogos Lógicos, Projeto Teia do Saber, Programa de
Formação Continuada de Professores, UNESP – Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, São
Paulo, 2006.
CARDOSO, M, A febre do Sudoku, Ciência Hoje, Ciência, Tecnologia e Empreendedorismo, 2006,
p.1-2.
LEAL, R. A matemática virou POP: Por que o Sudoku - e suas variantes - causa tamanha
fascinação, Revista Época, edição No. 410, 2006, p. 1-3.
http://rachacuca.com.br/kakuro/como-jogar/
http://pt.wikipedia.org/wiki/Kakuro

Atividades Matemáticas Envolvendo Jogos – O Quadrado Mágico como Recurso no
Complemento da Aprendizagem

Mathematical Activities Involving Games - The Magical Square as Resource in the
Complement of the Learning
Tiago Henrique Pereira da Silva, Alessandra Bonato Altran, Dalva Maria de Oliveira Villarreal, Mara
Lúcia Martins Lopes

Matemática, tiagohenrique.mat@aluno.feis.unesp.br

Palavras chaves: Matemática; Ensino; Jogos.

Keywords: Mathematics, Learning, Games.

INTRODUÇÃO

O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira –
UNESP tem sugerido, através de apresentações nas escolas, a inserção de atividades lúdicas, através da
utilização de jogos matemáticos, em sala de aula. O objetivo é fazer com que a matemática seja
transmitida de uma maneira que proporcione maior aceitação, aumentando o aproveitamento dos
alunos, tornando o ensino mais prazeroso.
Dentre os jogos escolhidos está o Quadrado Mágico, que consiste de uma matriz numérica
quadrada, em que as somas das linhas, das colunas e das duas diagonais principais são as mesmas. Este
jogo foi utilizado para despertar o interesse dos alunos pela matemática, uma disciplina que, na maioria
das vezes, é tida como tediosa e sem aplicações no cotidiano. Assim, a complementação do conteúdo
programático com a utilização de materiais lúdicos, propicia o desenvolvimento do raciocínio lógico e
o cálculo mental.
Até o presente momento, a atividade foi realizada somente em turmas do Ciclo I do Ensino
Fundamental. Há a pretensão se estender a todos os níveis de educação, visando trabalhar os conteúdos
programáticos, em que sejam possíveis a abordagem com o Quadrado Mágico, unindo a matemática
convencional à atividade lúdica.

DEFINIÇÃO DE QUADRADO MÁGICO

O Quadrado Mágico consiste em uma matriz numérica quadrada, em que as somas das linhas,
das colunas e das duas diagonais principais são as mesmas. Pode-se dizer, ainda, que um Quadrado
Mágico é um arranjo de números que vai de 1 até n2, numa matriz n x n, em que, cada número ocorre
apenas uma vez, e este arranjo é tal que a soma dos números existentes em uma linha deve ser igual à
soma dos números existentes em qualquer coluna, como também em qualquer uma das diagonais
(principal e secundária). Por exemplo, o quadrado mágico de ordem 3 é formado pelos nove dígitos: 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, dispostos em três linhas e três colunas, sendo que as somas são constantes e iguais
a 15, sendo este valor denominado como “constante mágica”, como mostra a Figura 1.

Figura 1 - Quadrado Mágico de ordem 3.

CONSTRUÇÃO DE QUADRADOS MÁGICOS

As construções do Quadrado Mágico começam a partir do quadrado de ordem 3. Os Quadrados
de ordem 1 ou 2 são inexistentes para a maioria dos estudiosos da matemática, ou seja, não o aceitam
como sendo um Quadrado Mágico válido, pois, nem sequer é possível pensar em soma, nesses casos. O
Quadrado de ordem 1, segundo Cornélio Agripa (1486-1535), que era médico e matemático,
simbolizava a eternidade.
É fácil verificar a inexistência do Quadrado Mágico de ordem 2 através da prática, pois, é
impossível encontrar números distintos que preencham as condições impostas para sua existência.
Segundo Cornélio Agripa, o Quadrado de ordem 2, com quatro elementos, não poderia existir, pois,
esse quadrado iria simbolizar o mundo material com os quatro elementos, ar, terra, fogo e água, e pelas
imperfeições desses elementos, o Quadrado Mágico não poderia ter constante certa. Assim, a
construção dos Quadrados Mágicos se inicia pelo de ordem 3.
Ao construir os Quadrados Mágicos, verifica-se que existe um mecanismo válido para todos de
ordem ímpar e uma técnica que vale para o Quadrado Mágico de ordem quatro e seus múltiplos (8, 12,
16, 20, 24, e assim por diante). No entanto, até hoje não se sabe um mecanismo “preciso” para
construir Quadrados Mágicos de ordem 6 + 4r (com r sendo um número natural).


Para realização da atividade da utilização do Quadrado Mágico em sala de aula, foram
confeccionados um Quadrado Mágico de ordem 3 e outro de ordem 4 utilizando isopor, E.V.A.,
cartolinas coloridas e percevejos (taxinhas), para agilizar o andamento da atividade. Além disso, nas
atividades realizadas nas escolas, foram distribuídos os Quadrados Mágicos em papel para os alunos
preencherem. A Figura 2 mostra os Quadrados Mágicos confeccionados pelo Grupo de Estudos sobre
Jogos Matemáticos.

Figura 2 - Quadrados Mágicos confeccionados pelo Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos.

A apresentação dos jogos foi realizada em duas escolas da cidade de Ilha Solteira e em uma
escola da cidade de Selvíria (MS), através de aulas teórico-expositivas, registradas através das figuras
abaixo indicada pela Figura 3.

Figura 3 – Apresentação do Quadrado Mágico nas escolas.

A construção proposta aos alunos ocorreu da forma mais simples possível, salientando que, nas
séries em que se encontram, não possuem a estrutura cognitiva suficiente para entender conceitos que
costumam ser vistos somente no Ensino Médio. Logo, os conceitos matemáticos foram abordados de
forma acessível a todos, de forma que a atividade, lúdica, fosse um instrumento complementar no
ensino de matemática.

RESULTADOS

Foi possível notar que a atividade realizada despertou grande curiosidade nas crianças,
contribuindo para o aprendizado de matemática. Percebeu-se que os professores, mesmo possuindo o
conhecimento dos jogos, ficam inseguros com o novo método que acaba tornando a aula mais dinâmica
e atrativa, otimizando a aprendizagem.
Os alunos, sem perceber, tiveram contato e trabalharam com rigor as relações matemáticas
presentes no Quadrado Mágico. Entre elas, ficou claro que:

• A soma dos números existentes no Quadrado Mágico de ordem n, dividida pela ordem do
Quadrado Mágico, corresponde à constante mágica;
• O termo central do Quadrado de ordem ímpar, sempre assumirá o valor correspondente à
divisão entre a constante mágica encontrada e a ordem do Quadrado Mágico;
• Existem (n²)! possibilidades de dispor os números em um Quadrado Mágico de ordem n.

No Quadrado de ordem 3, é possível notar que, ao montar combinações sem repetição de 3
elementos diferentes, somando 15 (constante mágica), o termo central está presente em 4 das 8
combinações possíveis, cada um dos termos angulares está presentes em 3 combinações (linha, coluna
e diagonal) e, cada termo lateral, presente em 2 combinações.
Já no Quadrado Mágico de ordem 4, é possível notar que, ao subdividi-lo em 4 quadrados
pequenos, a soma dos 4 números presentes em cada um dos “novos” quadrados é sempre igual à
“constante mágica” (neste caso 34).
A atividade proporcionou uma nova concepção de educação matemática mostrando que é
possível ensinar conceitos considerados “complexos” às crianças. Basta utilizar formas alternativas

como ferramentas complementares ao ensino tradicional, levando ao desenvolvimento da
aprendizagem.


BOYER, Carl Benjamin – HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, São Paulo, Edgar Blücher, 1974;
http://www.jogosboole.com.br/tutoriais_mostra.asp?id=19 (acesso em 28/07/2008);
http://www.matematica.com.br/variedades/curiosidades/quadrado_magico.php (acesso em
28/07/2008);
http://paje.fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/racioci/ativ1.html (acesso em 28/07/2008);
http://www.testonline.com.br/qmag.htm (acesso em 28/07/2008);
http://galileu.globo.com/edic/92/desafio1.htm (acesso em 28/07/2008);
http://correcotia.com/heroi/quadmag.htm (acesso em 28/07/2008);
http://www.jogosboole.com.br/tutoriais_mostra.asp?id=19 (acesso em 28/07/2008);
http://galileu.globo.com/edic/89/desafio1.htm (acesso em 28/07/2008);
http://opensadorselvagem.org/blog/mathematikando/a-logica-do-quadrado-magico/ (acesso em
28/07/2008);
http://www.genealogy.com/users/d/e/f/Antonio-D-De-figueiredo/FILE/0011page.html (acesso em
28/07/2008);

Sudoku: Uma Alternativa no Ensino e Aprendizagem de Matemática

Sudoku: An Alternative in Teaching and Learning Mathematics

Vinicius Arthur dos Santos Guissi, Alessandra Bonato Altran, Mara Lúcia Martins Lopes, Dalva
Maria de Oliveira Villarreal

Matemática, vinnyguissi@hotmail.com

Palavras chaves: Sudoku; Ensino; Matemática.

Keywords: Sudoku, Learning, Mathematics.

INTRODUÇÃO

Por motivos preocupantes estudos e pesquisas vêm sendo realizadas na intenção de
identificar diversas outras maneiras de abordar a matemática de uma maneira menos assustadora e
mais prazerosa. Os jogos matemáticos são atividades lúdicas que fazem com que os alunos tenham
a oportunidade de interagir com o meio do qual eles estão sendo desafiados a resolver os mais
variados problemas.
Piaget e Vygotsky afirmam em sua teoria, sobre a construção do conhecimento, que a melhor
forma dessa aquisição é através da execução de atividades que estimulam o “ser” a buscar respostas
para suas dúvidas. E isso faz com que haja uma interação com o meio tornando-os ativos na
construção do próprio conhecimento.
A utilização de jogos instiga os alunos a buscarem, com maior interesse e empenho, a
resolução e compreensão dos problemas propostos, proporcionando um maior estímulo para a
aprendizagem, tornando o ambiente propício para o ensino e estudo de matemática. O Grupo de
Estudo sobre Jogos Matemáticos foi criado com a intenção de tornar a matemática uma disciplina
mais aceitável e prazerosa gerando melhores resultados. No intuito de possibilitar o
desenvolvimento desta proposta utilizou-se o jogo Sudoku como uma técnica alternativa na
aprendizagem da Matemática.

OBJETIVOS

O Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos tem como metas dinamizar e diversificar o
ensino de matemática, mostrando aos professores novas formas de se trabalhar conteúdos em sala
de aula. Através desse dinamismo espera-se conquistar e aumentar o interesse dos discentes pela
disciplina e seus conteúdos. Espera-se também, estimular o raciocínio lógico, memória e a
capacidade de manipular informações para que decisões corretas sejam tomadas em espaços de
tempo cada vez menores.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

O Sudoku é composto de uma matriz de números sendo que, apenas algumas dessas
posições contêm números. O desafio do jogo é preencher o restante da matriz de forma que toda
linha, coluna, ou bloco contenha um e apenas um número de cada. Deve-se preencher todas as
células (posições) da grade (matriz) com números que variam de 1 até n, sendo n igual a dimensão
da grade. Exemplos:

• Uma grade 4x4, no qual se devem utilizar números de 1 a 4 (Figura 1);

Figura 1 - Sudoku 4x4.

• Uma grade 9x9 é utilizado números de 1 a 9 (Figura 2).

Figura 2 - Sudoku 9x9.

Existem duas técnicas para a resolução do Sudoku. A primeira técnica é Tentativa e erro
que se trata de um método pouco eficaz e muito demorado, pois como o próprio nome diz ir
tentando e apagando a cada erro cometido além de atrasar na resolução não sem tem uma exatidão
de onde os números devem ser colocados.
A segunda técnica é “Varredura” que consiste em “varrer” todas as possibilidades de um
número poder ou não ocupar um determinado local na grade. Essa “varredura” é feita seguindo as
regras do jogo e uma dica para os iniciantes seria começar essa análise com os números que estão
em maior quantidade. A Figura 3 mostra essa técnica.

Figura 3 - Método da Varredura.

ATIVIDADE DESENVOLVIDA

Devido o fato de, o jogo ter sido apresentado em diferentes níveis escolares, tanto nas
escolas de ensino fundamental, como na própria universidade, o grupo teve a necessidade de utilizar
níveis de dificuldades diferentes, e também modificar algumas apresentações, buscando variações
para o jogo Sudoku. Uma dessas variações foi a substituição dos números por figuras coloridas,
chamando mais a atenção e despertando um maior interesse nas séries mais infantis. Esse Sudoku
pode ser visto através da Figura 4.

Figura 4 - Sudoku de Bolinhas Coloridas.

Existem outros Sudokus alternativos, uma possibilidade é substituir os números por letras
(Figura 5), ou ainda, por e muitos outros objetos sem perder suas características e eficiência.

Figura 5 - Sudoku de Letras.

Foram realizadas diversas apresentações envolvendo o jogo Sudoku, que envolveu alunos de
todos os níveis de ensino, além de pais e professores. Alguns registros dessas atividades podem ser
vistos através da Figura 6.

Figura 6 - Apresentações do Jogo Sudoku nas atividades desenvolvidas.

RESULTADOS

Após todas as experiências, o grupo pôde perceber que todos os objetivos propostos foram
alcançados com êxito. O jogo foi muito bem aceito por todos os alunos, cuja disposição e
curiosidade em resolver os jogos dados, os impulsionaram a um maior interesse por aprender
matemática e tratá-la de uma maneira natural. Pôde-se perceber também, que as decisões eram
tomadas cada vez mais rápidas conforme o aumento na interatividade entre discentes e os jogos.

DISCUSSÃO

A educação, de maneira geral, vem passando por períodos difíceis, onde é cada vez mais
comum ver professores se queixarem da falta de interesse e comprometimento dos alunos e a
facilidade com que os mesmos se dispersam em sala de aula. Para os professores de matemática a
situação é um pouco pior já que, na grande maioria das escolas, a média dos alunos nessa disciplina
fica entre as piores de toda a grade escolar.
Em busca de reverter essa situação são pesquisadas diversas formas alternativas, sendo uma
delas a utilização de jogos no ensino, não só de matemática, mas em diversas outras áreas. Apesar
de pesquisas e outras atividades que tiveram jogos como ferramenta se mostrarem bastantes
eficazes, ainda há certo receio e preconceito por parte de pais, e até mesmo de profissionais da área,
que ainda vêem jogos como uma simples forma de diversão e não percebem os muitos benefícios no
aprendizado gerado por “simples brincadeiras”.

CONCLUSÃO

Diante do cumprimento de todas as atividades propostas, que se mostraram muito
produtivas, e diante das pesquisas comprovaram a eficiência do uso de atividades lúdicas para a
construção de conhecimento em qualquer área e para qualquer idade. Desta forma, espera-se
implantá-la de uma maneira mais sólida no ensino, acarretando aulas mais dinâmicas, tornando o
estudo e aprendizagem de matemática mais prazerosa com resultados cada vez melhores e
conseqüentemente, através destes, melhores resultados na educação.


RUIZ, D. Jogos Pedagógicos Matemáticos, São Paulo: UNIMESP – Centro Universitário
Metropolitano de São Paulo, 2006. p. 1-4.
SEBBEN, N; GUEDES, A. L; GUEDES, F. L. Desenvolvimento de Jogos para a Terceira Idade,
Vi simpósio brasileiro de jogos para computador e entretenimento digital PP. 1-4, 2007
NINA, C. Um Olhar Matemático Para o Jogo de Sudoku, IX ENEM - Encontro Nacional de
Educação Matemática, Comunicação Cientifica, 18 a 21 Julho - Belo Horizonte, 2007, p. 1-9.
BÖGER, D. S; BODEMÜLER, R; KOHLER, J. G. Implementação de métodos de busca:
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DAVIS, T. The Mathematics of Sudoku, 2007, p. 1-34.
http://www.geometer.org/mathcircles
www.centrorefeducacional.com.br/piaget.html
www.centrorefeducacional.com.br/vygotsky.html
http://acorngamez.blog.com/2007/6/
www.sudoku-gratuit.fr/en/grids-sudoku-4x4-9x9-16x16.htm

Matemática Lúdica: O Jogo Tangram

Playful Mathematics: The Tangram Game

Nathália Mantovanelli Bevilaqua, Alessandra Bonato Altran, Dalva Maria de Oliveira Villarreal,
Mara Lúcia Martins Lopes
Universidade Estadual Paulista“Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Licenciatura em
Matemática, nathalia.m.bevilaqua@gmail.com

Palavras Chaves: JogoTangram; Desenvolvimento; Lógica-Matemática.

Keywords: Tangram,Game, Development, Mathematical Logic.

INTRODUÇÃO

A Matemática ainda não conseguiu se desvencilhar do estigma de “bicho de sete cabeças”,
de monstruosidade, ou mesmo, da sua superioridade e, para não acontecer o “divórcio” dos alunos
com a matemática, os professores estão tentando trazer cada vez mais para dentro da sala de aula,
atividades extracurriculares que ajudem na motivação do aprendizado.
Uma dessas atividades são os jogos matemáticos como o Tangram, Sudoku, Kakuro, Torre
de Hanói, Cubo Soma, entre outros.
O objetivo deste trabalho é a apresentação do jogo Tangram, bem como sua funcionalidade,
vantagens de utilização, habilidades de comunicação e formulação de hipótese.

LENDAS DO TANGRAM

A seguir, serão apresentadas algumas lendas sobre o surgimento do Tangram. Uma das
lendas conta que um jovem discípulo chinês despedia-se de seu mestre para fazer uma grande
vigem pelo mundo afora, o mestre lhe entregou um espelho quadrado e disse para registrar naquele
espelho tudo que ele visse durante a viagem, o jovem ficou sem entender como seria possível
guardar alguma coisa com um simples espelho; antes de sair para sua viagem o discípulo deixou
cair o espelho no chão e o espelho se partiu em sete pedaços, então, o mestre lhe falou que com
aqueles cacos ele poderia montar figuras para ilustrar tudo que ele visse durante a viagem. Outra
lenda conta que um mensageiro estava levando uma pedra muito preciosa quadrada ao seu
imperador e, no meio do caminho, ele a derrubou e a pedra se partiu em sete pedaços, o mensageiro
não conseguiu remontar a pedra, enquanto ele tentava, ele viu que era possível formar várias figuras
diferentes, como plantas, animais, pessoas, letras, números, etc...
A lenda mais famosa, mencionada no resumo, conta que um dia na China, o imperador Tan
partiu seu espelho, quando deixou-o cair no chão, apesar de aborrecido com a perda do espelho, Tan
achou um jeito de se distrair e passar seu tempo construindo figuras com os cacos. A primeira
publicação cujo registro data de 1813, foi de um livro que foram recuperadas muitas figuras feitas
com o Tangram, mas tudo indica que o Tangram é muito mais antigo, Sam Lloyd (um especialista
americano), dizia que o jogo já tinha sido criado há mais de 4000 anos pelo imperador Tan.

O JOGO E SUA ORIGEM

Consta na literatura que o Tangram é de origem chinesa; ele é formado por sete peças, sendo
elas, dois triângulos isósceles grandes, dois triângulos isósceles pequenos; um triângulo isóscele
médio; um quadrado e um paralelogramo, e quando montando corretamente na sua forma original
forma-se um quadrado como mostra a Figura 1.


As peças podem ser chamadas de Tans e com essas peças é possível montar mais de 1700
figuras diferentes. Há 130 atrás, na China, uma mulher (a qual seu nome é desconhecido), escreveu
uma enciclopédia, que é composta por 6 volumes e contém mais de 1700 problemas. Na Figura 2 é
possível, ver algumas aplicações do Tangram.

Figura 2 - Exemplos de Aplicações do Tangram.

A Figura 3 é um exemplo muito interessante, são as mesas de madeiras que, juntas e
posicionadas corretamente, formam um Tangram. As mesmas foram descobertas na China que
datam o século XIX.

Figura 3 - Tangram feito por Mesas de Madeira.

REFERÊNCIA MAIS ANTIGA E SEU NOME

A referência mais antiga que existe, é de um painel de madeira, de 1780, de Utamaro, com a
imagem de duas senhoras chinesas resolvendo um Tangram, em chinês é escrito ch i ch iaô tu, que
significa “Quadrado Mágico”, “Tabela da Sabedoria”, “Tabela da Sagacidade”, “As 7 Peças
Inteligentes” ou “As 7 Tábuas da Sabedoria”. Atualmente, o jogo é muito utilizado em todo o
mundo, principalmente por professores, portanto têm surgido várias lendas diferentes, mas todas
concordam que sua origem é chinesa.

AS REGRAS DO JOGO

O jogo é provido de duas regras:
1ª regra: Usar todas as peças;
2ª regra: Não sobrepor uma sobre a outra.

VARIAÇÕES DO TANGRAM

Nas figuras abaixo (Figura 4) é possível observar alguns dos Tangrans que surgiram a partir
do Tangram clássico. Através da construção do Tangram Pitagórico, pode-se concluir que, num
triangulo retângulo a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos
quadrados construídos sobre os catetos. Foi assim que Pitágoras chegou à conclusão de que:
a² = b² + c². Com o passar do tempo foram surgindo vários outros modelos de Tangram, como
Pentagonal, Cardiotangram, Oval, Retangular, Circular, Russo, Triangular, Quatro peças e Cinco
peças.



Os jogos servem como instrumentos para exercitar e estimular o aluno a desenvolver seu
conhecimento. Na Matemática pode ser introduzida a geometria, de maneira mais adequada, através
da exposição de sólidos geométricos e da montagem do Tangram. A atividade lúdica incentiva a
realização de experiências inteligentes e propicia a aquisição de conhecimento, permite a conquista

cognitiva, emocional, moral e social para o aluno, consiste um estímulo para o desenvolvimento da
competência matemática e da criatividade.
Os educadores poderiam explorar mais os jogos lúdicos, pois, é uma maneira gostosa de
aprender e, ao mesmo tempo em que aprende o aluno também se diverte. O professor também pode
aperfeiçoar várias capacidades dos alunos, como identificação de formas geométricas planas,
através de cores, formas, comparação, descrição, classificação e transformações geométricas,
através de composição e decomposição de figuras, compreensão das propriedades das figuras
geométricas planas, representação e resolução de problemas utilizando modelos geométricos,
noções de área e frações.
O Tangram também proporciona a obtenção de algumas habilidades importantes para a
aquisição de conhecimento em outras áreas, tais como, visualização, diferenciação, percepção
espacial, análise, síntese, desenho, escrita e construção. O Tangram não exige nenhuma habilidade
de quem pratica e pode ser utilizado com alunos de vários níveis, dependendo dos objetivos a serem
alcançados.


LEE, Roger. Tangram. Editora Isis.
KALEFF, Ana Maria; Monteiro Rei; Dulce; Garcia; Simone dos Santos. Quebra-cabeças
Geométricos e formas planas. Editora da Universidade Federal Fluminese – Niterói, Rio de
Janeiro: 2002.
TOLEDO, Marília e Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois: a construção da
matemática. São Paulo, São Paulo: FTD, 1997.
CONWAY, J.H, On Numbers And Games, Academic Press, Nova Iorque: 1979.
GARDNER, M. Divertimentos Matemáticos. Tradução de Bruno Mazza. São Paulo: IRASA,
1967. Título original: Mathematical Diversions
GERÔNIMO, J. R., Franco, V. S., Simetrias no Plano: uma abordagem geométrica e algébrica,
2002.
KODAMA, H.Y, Silva, A. F. Poliminós, Interciência- Ciências Exatas, no. 2, p.95-102, 2004.
LIMA, E. L. Isometrias, Coleção do Professor de Matemática, SBM: 1996.
http://www.uco.es/ma1fegan/recursos-matematicos/Tangram.html
http://www.cemicro.com.br/htmls/tangram.htm
http://www.tangram.i-p.com/
http://www.redesc.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/mate3z.htm
http://www.geocities.com/tania1974pt/
http://www.obm.org.br/eureka/artigos/hanoi.pdf
http://www.edicoesgil.com.br/crianca
http://www.cooldictionary.com/words/Tower_of_Hanoi.wikipedia
http://www.matematica.br/programas/hanoi/

O Uso da Torre de Hanói no Ensino da Matemática

The Use of the Tower of Hanoi in the Teaching of Mathematics

Edcarlos Lopes Ferreira dos Santos, Alessandra Bonato Altran, Dalva Maria de Oliveira Villarreal,
Mara Lúcia Martins Lopes

Matemática, edcarlos71125@aluno.feis.unesp.br

Palavras chave: Torre de Hanói; Jogos Matemáticos; Ensino de Matemática.

Keywords: Tower of Hanói, Mathematical Games, Teaching of Mathematics.

INTRODUÇÃO

Um dos maiores desafios de um educador dentro da sala de aula é obter a atenção total de
seus ouvintes e, para isso, utiliza-se de diversos métodos. Um deles é o uso de jogos lúdicos em sala
de aula. A aplicação de jogos lúdicos no ensino de matemática já é uma realidade há algum tempo e
a sua utilização dentro da sala de aula, torna mais fácil à comunicação entre alunos e o educador. A
intenção, no entanto, não é transformar a escola em um grande parque de diversões, mas sim, aliar
esse entretenimento com o ensino.
Entre os diversos jogos lúdicos que podem ser aplicados dentro da sala de aula destacamos a
Torre de Hanói, que será apresentada no decorrer desse trabalho.

OBJETIVO

Ao aliar jogos e ensino, o educador tem como objetivo principal a melhoria e a facilitação da
aprendizagem, permitindo que alunos e professores interajam de maneira mais produtiva e
agradável. A Torre de Hanói, em especifico, permite que o professor trabalhe em diferentes níveis
de aprendizagem, desde o ensino infantil até o ensino superior, mudando-se, evidentemente, o
enfoque dado em cada um desses níveis escolares.
Em um nível inicial, a manipulação da Torre de Hanói pode ajudar na coordenação motora,
no reconhecimento de formas e no conceito de ordem crescente e decrescente. Nessa fase o
principal objetivo é familiarizar a criança com esse tipo de passatempo.
Já em um nível mais adiantado, a Torre de Hanói já pode ser usada visando à resolução
desta, buscando estratégias de transferências e elaborando uma relação intuitiva entre o número de
discos e o número mínimo de movimentos necessários para movê-los. Essa fase é muito importante
para ajudar no desenvolvimento de um bom raciocínio indutivo.
Em um nível superior, os conceitos já fixados nos níveis anteriores, podem se aliar a outros
conceitos que ajudarão no estudo mais profundo do jogo.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A Torre de Hanói foi desenvolvida pelo matemático francês Edouard Lucas em 1883, e é um
dos jogos matemáticos mais disseminados no mundo. Segundo a história, Edouard Lucas teria se
inspirado em uma velha lenda indiana, segundo a qual o criador (Deus) havia construído uma torre
(A torre de Bhrama), com três hastes de diamantes, sendo que, em uma delas, a chamada haste
principal, havia 64 discos concêntricos de ouro e de tamanhos distintos, sobrepostos em ordem

decrescente em relação à base, ou seja, disco maior tocando a base. Foi ordenado aos sacerdotes
dessa Torre, que transferissem esses 64 discos da haste principal para qualquer uma das outras duas
hastes, obedecendo a três regras básicas:
1 - Movimentar um disco de cada vez;
2 - Nunca sobrepor a um dos discos um disco de maior diâmetro;
3 - Nunca colocar os discos em outro lugar que não fosse em uma das hastes.
Ainda diz a lenda que ao fim desse processo o mundo acabaria. E é nessa lenda que se
baseia a Torre de Hanói. Ela é composta por três hastes nas quais são colocados n discos
(n = 1, 2, 3, 4....) concêntricos e de tamanhos diferentes, alinhados de forma decrescente em relação
a base, como mostra a Figura 1.

Figura 1 - Torre de Hanói de cinco, seis e oito discos, respectivamente.

O objetivo do jogo é transferir os discos da haste principal para outra haste (qualquer uma
das outras), seguindo as mesmas regras da lenda, acima mencionada, utilizando o menor número
possível de movimentos. A relação de números de movimentos possíveis pode ser calculada da
seguinte maneira
M(n) = 2 n - 1
sendo
n = o número de discos em uso;
M(n) = o número de movimentos necessários para mover esses n discos.

A grande questão da Torre de Hanói está em desenvolver um método de resolução que
utilize o menor numero de movimentos, e encontrar umas formula que dado o número de discos
atribua um número mínimo de movimentos ( M(n) = 2 n – 1 ).
Não é de grande dificuldade encontrar uma relação entre o número de discos e o número
mínimo de movimentos para transferi-los, vejamos:

• Nota-se que para movimentar um número k de discos, usamos o dobro acrescido de uma
unidade, de movimentos utilizados para mover k-1 discos, ou seja:
M(k)=2 x M(k-1) + 1

• Basta imaginar uma Torre com k discos sendo que os k-1 discos formam uma “sub-torre”
uniforme, e o k-ésimo disco é o disco da base (disco maior), como mostra a Figura 2.

Figura 2 - Resolução da Torre, passo 1.

• Para movimentar o k-ésimo disco deve-se, inicialmente, mover os k-1 discos para outra
haste, utilizando para isso M(k-1) movimentos (Figura 3).


• Em seguida, com 1 (um) movimento transfere-se o k-ésimo disco para a outra haste vazia
como ilustra a Figura 4.


• Finalmente, move-se a “sub-torre”, com k-1 discos, para a haste onde se encontra o k-ésimo
disco, como mostra a Figura 5.


• Utilizando para isso M(k-1) movimentos, ou seja:
M(k) = 2 x M (k-1) + 1

• Obtêm-se assim, uma relação que para cada número k de discos, expressa o número mínimo
de movimentos M(k), baseado no número mínimo de movimentos utilizados para transferir
k-1 discos.

Mas esta fórmula não é facilmente manipulável para um número muito grande de discos,
para isso, é necessária uma fórmula que não dependa do número de movimentos anteriores. Sendo
M(n) o número mínimo de movimentos necessários pra transferir n discos de uma haste para a
outra, tem-se que M(n) é “quase” 2 x M(n-1).
Seja:
A(n) = M(n) + 1, e A(n) = 2 x A (n-1)
Então:
A(n) = 2 x A(n-1) = 2 x [2 x A(n-2)] = 2² x A(n-2) = 2² x 2 x A(n-3) = 2³ x A(n-3) = ... = 2n-1 x A(1)

Como A(1) = M(1) + 1, então, A (1) = 1 + 1 = 2.
Assim:
A(n) = 2n-1 x 2 => A(n) = 2n
E, como:

A(n) = M(n) + 1=> 2n = M(n) + 1 => M(n) = 2 n – 1

Assim, é possível comprovar a validade da relação:
M(n) = 2n – 1

DESENVOLVIMENTO DE ATIVIDADE

A Torre de Hanói foi parte integrante das apresentações realizadas pelo Grupo de Estudo
sobre Jogos Matemáticos, da UNESP de Ilha Solteira, durante os anos de 2006, 2007 e 2008. Foram
realizadas várias apresentações. Em tais apresentações foi possível deixar o participante em contato
direto com a Torre de Hanói. Algumas dessas atividades podem ser vistas através da Figura 6.

Figura 6 - Atividades realizadas envolvendo a Torre de Hanói.

Todas as atividades que envolviam a Torre de Hanói tiveram caráter expositivo, o que
possibilitou a participação de estudantes de todos os níveis de ensino, além de pais e professores.

CONCLUSÃO

A utilização de jogos no ensino de matemática, já é uma realidade há algum tempo, e é
inegável que o uso de métodos como esse, só vem a contribuir com o aprendizado, além de ser um
excelente instrumento para contornar a aversão que alguns alunos têm pela matemática,
possibilitando a interação entre aluno, professor e conhecimento. Logo, tem-se que os jogos lúdicos,
contribuem para um aprendizado mais completo e prazeroso.


BOYER, Carl Benjamin – HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, São Paulo, Edgar Blücher, 1974.
BAIRRAL, M. e CARPI, A. Jogar e Desenvolver Competências em Matemática, Pátio Revista
Pedagógica, Porto Alegre, n.24, 2002., p.32-35.
http://bevilaqua.wordpress.com/2008/04/25/solucao-do-problema-da-torre-de-hanoi/
http://ccet.ucs.br/eventos/outros/egem/minicursos/mc37.pdf
www.obm.org.br/eureka/artigos/hanoi.ps
http://www2.mat.ua.pt/rosalia/cadeiras/ADA/THpaper.pdf
http://www.dot-com-lliance.org/brazil/publicfiles/weeklyupdate/WeeklyUpdate031121- por.pdf
http://www.ime.usp.br/
http://www.scielo.br/pdf/jbpsiq/v56n2/a10v56n2.pdf
http://www.reniza.com/matematica/novidades/0210.htm

“SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE
INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA USP –
SIICUSP”

São Paulo – SP

03 a 05 de Novembro de 2008

O Cubo Soma como Ferramenta na Aprendizagem de Matemática

Jonatas Estevam Soares da Silva1, Alessandra Bonato Altran1, Dalva Maria de
Oliveira Villarreal1, Mara Lúcia Martins Lopes1
1
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha
Solteira, Departamento de Matemática

1. Objetivos Existem 240 maneiras distintas de montar o
Cubo Soma, além disso, suas peças também
A falta de interesse e o desenvolvimento podem ser usadas para montar inúmeras
caótico em relação à aprendizagem do ensino formas tridimensionais como, por exemplo,
da matemática geram preocupações e motiva poltronas, mesas e cadeiras, sem contar as
os educadores a buscar uma forma lúdica e de rotações e reflexões, fatos estes que tornam a
fácil entendimento. Com este intuito foi levado atividade com o Cubo Soma ainda mais
a sala de aula o trabalho com jogos. O divertida e desafiadora.
emprego de jogos no aprendizado de
matemática é benéfico, pois, proporciona ao 3. Resultados e Discussão
aprendiz, o desenvolvimento de seu raciocínio
lógico, inovando e propiciando um aprendizado Ao levar o jogo Cubo Soma para dentro da sala
significativo. de aula, percebeu-se que o mesmo pode ser
trabalhado em qualquer série, desde que
2. Material e Métodos adaptado, propiciando o desenvolvimento do
raciocínio lógico, a noção da operação de
O Cubo Soma (Figura 1) é um quebra-cabeça adição e combinação de números, entre outros.
criado em 1936 pelo poeta e matemático
dinamarquês Piet Hein, e consiste em um 4. Conclusões
conjunto de oito peças tridimensionais,
formadas pela união de pequenos cubos, O trabalho com jogos é uma ótima alternativa
combinadas de forma a criar um cubo maior. educacional se utilizado de forma adequada e
consciente, iniciando com a analise prévia do
jogo, visando a conquista cognitiva, emocional,
moral e social do indivíduo. Com as
apresentações realizadas foi possível observar
o grande interesse, por parte dos alunos, em
aprender matemática de uma maneira lúdica,
possibilitando um melhor aprendizado.
Figura 1: Cubo Soma.
5. Referências Bibliográficas
A essas peças formadas pela união dos cubos,
de forma irregular, dá-se o nome de policubos FERRARI, H., CARVALHO M.C.C.S. e
(Figura 2). FURTADO, P., Conhecendo o Cubo Soma,
Anais do X Simpósio Multidisciplinar da USJT,
2004.
SERRENTINO, R. H. e MOLINA, H.
Arquitectura Nodular Basa em la Teoria de
Policubos, Proceedings of the 6th
Iberoamerican Congresso f Digital Graphics,
Caras Venezuela, 2002, pp. 264-267.
Figura 2: Policubos. http://www.fam-fundgaard.dk/SOMA/SOMA

Jogos no Ensino de Matemática – O Quadrado Mágico como Recurso
de Aprendizagem

Tiago Henrique Pereira da Silva1, Alessandra Bonato Altran1, Dalva Maria de
1

1. Objetivos 3. Resultados e Discussão
O estudo e a aplicação do Quadrado Mágico A apresentação dos jogos despertou grande
nas escolas de Ensino Fundamental têm como curiosidade nas crianças, contribuindo para o
principal meta fazer com que a matemática seja aprendizado de matemática. Percebeu-se,
transmitida de uma maneira que proporcione também, que os professores, mesmo
maior aceitação, aumentando o aproveitamento possuindo o conhecimento dos jogos, ficam
dos alunos, tornando o ensino mais prazeroso. inseguros com o novo método que acaba
Este tipo de atividade possibilita ao aluno uma tornando a aula mais dinâmica e atrativa,
melhor representatividade de conceitos, otimizando a aprendizagem.
principalmente no estudo de Matemática. A atividade proporcionou uma nova concepção
de educação matemática mostrando que é
2. Material e Métodos possível ensinar conceitos considerados
“complexos” às crianças. Basta utilizar formas
O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, alternativas como ferramentas complementares
da UNESP de Ilha Solteira, têm inserido a ao ensino tradicional, levando ao
utilização de jogos em sala de aula, em escolas desenvolvimento da aprendizagem.
da rede de ensino pública e particular. Entre os
jogos abordados está o Quadrado Mágico 4. Conclusões
(Figura 1).
A utilização do Quadrado Mágico como
ferramenta complementar no ensino de
matemática foi muito bem aceita, modificando a
realidade do ensino e despertando grande
interesse por parte dos alunos, o que acarretou
um maior rendimento destes em sala de aula.
Figura 1: Quadrado Mágico (de ordem 3). Conseqüentemente, essa modificação causou
melhoria na educação como um todo.
Para realização da atividade nas escolas,
foram confeccionados um Quadrado Mágico de
ordem 3 e outro de ordem 4. Além disso, foram 5. Referências Bibliográficas
distribuídos os Quadrados Mágicos em papel
para os alunos preencherem (Figura 2). BOYER, C. B. História da Matemática, São
Paulo, Edgar Blücher, 1974.
CARLSON, J. Magic Squares and Modular
Arithmetic, Department of Mathematics,
University of Utah, 2001, pp. 10.
PASLES, P. C. Some Magic Squares of
Distinction, Math Horizons, 2004, pp 10-12.
XIN, G. Constructing all Magic Squares of
Order Three, Department of Mathematics,
Figura 2: Aplicação do Quadrado Mágico em sala de Brandeis University, 2004, pp.1-7.
aula.

O Jogo Matemático Sudoku como Ferramenta Auxiliar para o Ensino e
Aprendizagem de Matemática

Vinícius Arthur dos Santos Guissi1, Alessandra Bonato Altran1, Dalva Maria de
1

1. Objetivos
A utilização dos jogos matemáticos em sala de
aula é uma atividade lúdica, na qual o aluno
tem a possibilidade de desenvolver estratégias,
formular seu próprio conhecimento, entre
outros benefícios. O Grupo de Estudo sobre Figura 2 – Aplicação do Sudoku em sala de aula.
Jogos Matemáticos da UNESP de Ilha Solteira
foi criado com o propósito de modificar o ensino 3. Resultados e Discussão
de matemática através da inserção dos jogos
matemáticos, neste caso, o Sudoku, como
Observou-se que a utilização do Sudoku em
ferramenta complementar. sala de aula, torna o ambiente mais propício à
aprendizagem de matemática, uma vez que os
conceitos matemáticos transmitidos aos alunos
2. Material e Métodos são reforçados através da manipulação do
jogo. Com isso, é possível fazer com que os
O Sudoku é um jogo composto de uma matriz conteúdos considerados de difícil assimilação,
quadrada (nxn), contendo números pré-fixados sejam absorvidos com mais facilidade, devido à
em algumas posições (Figura 1). O desafio do forma agradável em que são colocados.
jogo é preencher o restante da matriz de forma
que, toda linha, coluna, ou bloco contenha 4. Conclusões
números de 1 até n, sendo n igual a dimensão
da grade, desde que todos os números sejam
Portanto espera-se que, com a comprovação
utilizados, sem que haja repetição.
da eficácia da utilização dos jogos matemáticos
em sala de aula, seja abolido o receio por parte
de alguns educadores, e que esta ferramenta
seja usufruída constantemente, buscando
sempre, a melhoria da educação como um
todo.

SEBBEN, N.; GUEDES, A. L.; GUEDES, F. L.
Figura 1 - Sudoku. Desenvolvimento de Jogos para a Terceira
Idade, VI Simpósio Brasileiro de Jogos para
Foram realizadas várias apresentações (Figura Computador e Entretenimento Digital, 2007, pp.
2) e, como o público alvo era bastante 1-4.
heterogênio, houve a necessidade de NINA, C. Um Olhar Matemático para o Jogo
diversificar o Sudoku tradicional, através da de Sudoku, IX ENEM - Encontro Nacional de
proposta de diversificação do tamanho das Educação Matemática, 18 a 21 Julho, Belo
grades e inserção de figuras coloridas. Horizonte, 2007. pp. 1-10.

O Jogo Tangram no Ensino de Matemática

Nathália Mantovanelli Bevilaqua1, Alessandra Bonato Altran1, Dalva Maria de
1

1. Objetivos Este jogo pode ser confeccionado a partir de
uma folha de sulfite, através de dobraduras e
A utilização de jogos matemáticos em sala de recortes da folha, pode também ser feito de
aula é o principal alvo de estudo do Grupo de E.V.A., plástico, entre outros.
Estudo sobre Jogos Matemáticos da UNESP
de Ilha Solteira. A utilização do jogo Tangram 3. Resultados e Discussão
em sala de aula proporciona um melhor
aprendizado, desenvolvendo, além das A manipulação do Tangram em sala de aula
habilidades matemáticas, a aquisição de mostrou-se como uma atividade prazerosa,
conhecimento em outras áreas, tais como, pois, culminou numa maior interação entre os
visualização, diferenciação, percepção alunos, despertando a curiosidade pela
espacial, análise, síntese, desenho, escrita e resolução do quebra-cabeça, além de estimular
construção. o reconhecimento geométrico das figuras e o
cálculo, tanto da área quanto do perímetro,
2. Material e Métodos quebrando o tabu de que a matemática é um
“bicho de sete cabeças”.
O Tangram é um quebra-cabeça de origem
chinesa, composto por sete peças 4. Conclusões
decompostas de um quadrado (Figura 1).
Através da utilização do Tangram comprova-se
que, além de ser um jogo divertido, também é
um ótimo material educativo, que possibilita ao
professor, trabalhar melhor o conteúdo em sala
de aula, e aos alunos, o entendimento de
vários conceitos.
Com as peças do Trangram é possível formar
mais de 1700 figuras diferentes.
A partir do Tangram, em sua forma clássica, GARDNER, M. Divertimentos Matemáticos.
surgiu o Tangram Pentagonal, o Tradução de Bruno Mazza. São Paulo: Ibraza,
Cardiotangram, o Oval, o Retangular, o 1998.
Circular, o Russo, o Triangular, o Quatro peças, GERÔNIMO, J. R., FRANCO, V. S., Simetrias
o Cinco peças, entre outros (Figura 2). no Plano: Uma Abordagem Geométrica e
Algébrica, 2002. LEE, R. Tangram. Editora
Isis, LTDA, 2003
KALEFF, A. M.; MONTEIRO REI, D.; GARCIA,
S. S. Quebra-cabeças Geométricos e
Formas Planas. Editora da Universidade
Federal Fluminense – Niterói/RJ, 2002.
LIMA, E. L. Isometrias, Coleção do Professor
de Matemática, SBM, 1996.

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