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![nida, no domnio
discreto como:
X(m; !) =
1X
1
x[n]f [n m]ej!n
sendo f [n] uma func~ao janela de comprimento limitado L. Ou
seja: f [n] = 0, se jnj L=2
Numa implementac~ao pratica, o deslocamento no tempo
(representado pelo par^ametro m) n~ao pode ser realizado
continuamente.
Neste caso, deve-se escolher um conjunto de valores discretos
de m usando um espacamento m pre-determinado.
Quando m L ha superposic~ao entre as janelas adjacentes.](https://image.slidesharecdn.com/pdsaula04-141202150841-conversion-gate02/85/Pds-Processamento-de-sinais-13-320.jpg)
![PDS - Aula 04
Tempo-
Frequ^encia
Eduardo
Simas
Introduc~ao
Analise de
Fourier de
Tempo Curto
Analise
usando
Transformada
Wavelet
Transformada
Wavelet
Discreta
Aplicac~oes da
DWT
Conclus~oes
Exemplos utilizando o Matlab
Para realizar analise de Fourier em janelas, o Matlab disp~oe de
rotinas nativas como o spectrogram.
Neste exemplo iremos utilizar exemplos de arquivos de audio
(musicas) e visualizar a mudanca nos componentes de frequ^encia a
medida que as musicas se desenvolvem no tempo.
Foram utilizadas as musicas a seguir (disponveis para download
juntamente com esse modulo de slides no arquivo
ExMusicasPDSaula04.mat):
- y1: Musica Carinhoso, executada pela OBMJ (Orquestra
Brasileira de Musica Jamaicana);
y2[-]: Musica I Could Have Died for You, executada pelos
Red Hot Chili Peppers.
As musicas podem ser importadas com o comando load.](https://image.slidesharecdn.com/pdsaula04-141202150841-conversion-gate02/85/Pds-Processamento-de-sinais-25-320.jpg)
![PDS - Aula 04
Tempo-
Frequ^encia
Eduardo
Simas
Introduc~ao
Analise de
Fourier de
Tempo Curto
Analise
usando
Transformada
Wavelet
Transformada
Wavelet
Discreta
Aplicac~oes da
DWT
Conclus~oes
Exemplos utilizando o Matlab
Para desenhar o espectrograma foi utilizado o comando a seguir:
figure;spectrogram(y1(1:T*fs),T*fs/100,[],Nfft,fs);, e
A sintaxe do comando garante que:
- O sinal y1 seja considerado no intervalo de 0 a T segundos;
- Sejam utilizadas janelas de Hamming com sobreposic~ao de
50 % e durac~ao T/100;
- A FFT e realizada com Nfft pontos.
Neste exemplo utilizou-se para ambos os sinais y1 e y2: T=120 e
Nfft=2048.
Recomenda-se repetir o exemplo variando-se os par^ametros acima
para veri](https://image.slidesharecdn.com/pdsaula04-141202150841-conversion-gate02/85/Pds-Processamento-de-sinais-26-320.jpg)
Pds Processamento de sinais
- 1. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Disciplina: Processamento Digital de Sinais Aula 04 - Analise Tempo-Frequ^encia Prof. Eduardo Simas (eduardo.simas@ufba.br) Departamento de Engenharia Eletrica Universidade Federal da Bahia
- 2. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Conteudo 1 Introduc~ao 2 Analise de Fourier de Tempo Curto 3 Analise usando Transformada Wavelet 4 Transformada Wavelet Discreta 5 Aplicac~oes da DWT 6 Conclus~oes
- 3. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Introduc~ao Em muitos casos praticos as caractersticas do sinal variam com o tempo. Por exemplo, numa musica e possvel perceber a mudanca nos componentes de frequ^encia (graves - baixas frequ^encias e agudos - altas frequ^encias) ao longo de sua execuc~ao. Outros exemplos de sinais variantes no tempo: - Sinais do sistema eletrico; - Sinais de instrumentac~ao biomedica (eletrocardiograma, eletroencefalograma, etc); - Audio em geral (voz, musica, sinais acusticos de maquinas eletricas, etc); - Vdeo. - ... Nestes casos, e importante realizar o processamento dos sinais de modo que seja possvel explorar, ao mesmo tempo, os domnios do tempo e da frequ^encia.
- 4. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Resoluc~ao nos Domnios do Tempo e da Frequ^encia Na analise tempo-frequ^encia ha sempre um compromisso entre as resoluc~oes obtidas em cada domnio. Para obtermos uma boa resoluc~ao no domnio da frequ^encia e preciso de uma maior janela de tempo e, consequentemente para curtas janelas de tempo n~ao e possvel obter boa resoluc~ao na frequ^encia. Essa limitac~ao e mostrada na
- 5. gura abaixo emtermos da caixa de Heisenberg ou atomo tempo-frequ^encia.
- 6. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Resoluc~ao nos Domnios do Tempo e da Frequ^encia Percebe-se ent~ao que, e preciso manipular adequadamente a transformac~ao tempo-frequ^encia de modo que os requisitos de resoluc~ao sejam atendidos em ambos os domnios. Existem duas formas mais comuns de realizar a analise tempo-frequ^encia (que ser~ao apresentadas a seguir): A analise de Fourier de Tempo Curto (ou Janelada) A analise de Wavelet A principal diferenca entre elas e que na primeira a resoluc~ao tempo-frequ^encia e mantida constante em toda a analise do sinal e na segunda e possvel realizar o que e de
- 7. nida como uma analise multi-resoluc~ao. Ou seja, a transformada Wavelet permite variar a resoluc~ao da transformac~ao tempo-frequ^encia no decorrer da analise do sinal.
- 8. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Analise de Fourier de Tempo Curto
- 9. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Analise de Fourier de Tempo Curto Na analise de Fourier de Tempo Curto (do ingl^es Short-Time Fourier Analysis) o sinal temporal e sub-dividido em janelas de curta durac~ao e a transformada de Fourier e calculada para cada janela. As janelas temporais podem ser de
- 10. nidas com ousem superposic~ao entre as janelas adjacentes. As func~oes janela mais utilizadas s~ao as semelhantes as vistas anteriormente para o projeto de
- 11. ltros FIR: -Retangular; - Triangular; - Hamming; - Hanning; - ... Lembrando que janelas de cortes abruptos (ex. retangular) geram oscilac~oes de Gibbs nos componentes de frequ^encia estimados.
- 12. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Transformada de Fourier de Tempo Curto A Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT - Short-Time Fourier Transform) e ent~ao de
- 13. nida, no domnio discreto como: X(m; !) = 1X 1 x[n]f [n m]ej!n sendo f [n] uma func~ao janela de comprimento limitado L. Ou seja: f [n] = 0, se jnj L=2 Numa implementac~ao pratica, o deslocamento no tempo (representado pelo par^ametro m) n~ao pode ser realizado continuamente. Neste caso, deve-se escolher um conjunto de valores discretos de m usando um espacamento m pre-determinado. Quando m L ha superposic~ao entre as janelas adjacentes.
- 14. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Transformada de Fourier de Tempo Curto Para a apropriada visualizac~ao dos resultados da STFT pode-se utilizar: - Gra
- 15. cos 3D: ondeos eixos x e y est~ao associados ao tempo e a frequ^encia, e o eixo z a amplitude dos componentes. - Gra
- 16. cos 2D: nosquais os eixos x e y est~ao associados ao tempo e a frequ^encia, e a amplitude e indicada por um codigo de cores. Esta visualizac~ao e normalmente chamada de Espectrograma. O espectrograma pode ser considerado como uma vista superior do gra
- 17.
- 18. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Visualizac~ao 3D da STFT - Exemplo 1
- 19. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Visualizac~ao 3D da STFT - Exemplo 2 As cores podem ser associadas a intensidade ou a energia associada aos componentes de frequ^encia.
- 20. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Exemplo de Visualizac~ao 2D da STFT (Espectrograma) No incio o sinal n~ao tem informac~ao em qualquer frequ^encia; Logo a seguir (p/ T 2) aparecem componentes de baixa frequ^encia; Para T 2 comecam aparecer componentes de frequ^encia mais alta; Quando 6 T 8 a energia esta concentrada em algumas faixas de frequ^encia; Em T 10 percebe-se que ha energia em quase toda a faixa de frequ^encias analisada (provavelmente representando contaminac~ao por rudo branco).
- 21. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Outras Transformadas Janeladas O conceito do janelamento do sinal temporal para a realizac~ao de uma analise tempo-frequ^encia tambem pode ser estendido para outras transformadas como a Transformada Discreta da Cossenos. Essa abordagem da origem a modi
- 22. ed discrete cosinetransform (MDCT), que utiliza janelas adjacentes com sobreposic~ao de 50% e atualmente e aplicada em diversos algoritmos de compactac~ao de audio como: MP3, AC-3, Vorbis, WMA, ATRAC, Cook e AAC.
- 23. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Limitac~oes da STFT Conforme mencionado anteriormente, a analise tempo-frequ^encia usando janelas e transformadas com func~oes de base invariantes (senos e/ou cossenos) apresenta uma limitac~ao inerente que e a resoluc~ao
- 24. xa. Ou sejaha um compromisso entre as resoluc~oes possveis de serem obtidas nos dois domnios (n~ao se pode ter uma excelente resoluc~ao tanto no tempo como na frequ^encia). Isso pode se tornar um problema a depender da aplicac~ao. Um modo de contornar essa limitac~ao e utilizar transformadas com func~oes de base variaveis, como as Wavelets.
- 25. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Exemplos utilizando o Matlab Para realizar analise de Fourier em janelas, o Matlab disp~oe de rotinas nativas como o spectrogram. Neste exemplo iremos utilizar exemplos de arquivos de audio (musicas) e visualizar a mudanca nos componentes de frequ^encia a medida que as musicas se desenvolvem no tempo. Foram utilizadas as musicas a seguir (disponveis para download juntamente com esse modulo de slides no arquivo ExMusicasPDSaula04.mat): - y1: Musica Carinhoso, executada pela OBMJ (Orquestra Brasileira de Musica Jamaicana); y2[-]: Musica I Could Have Died for You, executada pelos Red Hot Chili Peppers. As musicas podem ser importadas com o comando load.
- 26. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Exemplos utilizando o Matlab Para desenhar o espectrograma foi utilizado o comando a seguir: figure;spectrogram(y1(1:T*fs),T*fs/100,[],Nfft,fs);, e A sintaxe do comando garante que: - O sinal y1 seja considerado no intervalo de 0 a T segundos; - Sejam utilizadas janelas de Hamming com sobreposic~ao de 50 % e durac~ao T/100; - A FFT e realizada com Nfft pontos. Neste exemplo utilizou-se para ambos os sinais y1 e y2: T=120 e Nfft=2048. Recomenda-se repetir o exemplo variando-se os par^ametros acima para veri
- 27. car sua in u^enciana apropriada visualizac~ao das informac~oes de interesse no sinal. Para executar os arquivos em formato de audio utilizem os comandos wavplay (que executa diretamente do Matlab, mas so funciona com SO Windows) ou wavwrite (gera um arquivo .wav para ser executado atraves de um programa apropriado).
- 28. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Espectrograma do sinal y1
- 29. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Espectrograma do sinal y2
- 30. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Analise usando Transformada Wavelet
- 31. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Analise usando Transformada Wavelet Para analisar estruturas de sinais com escalas diferenciadas em ambos os domnios e necessario utilizar atomos tempo-frequ^encia com diferentes suportes temporais. A transformada wavelet decomp~oe um sinal em vers~oes escalonadas e transladadas das func~oes wavelet. Uma wavelet e de
- 32. nida como umafunc~ao 2 L2(R) com media zero: Z 1 1 (t)dt = 0; normalizada k k = 1 e centrada em torno de t = 0. Um dicionario de atomos tempo-frequ^encia e obtido do escalonamento por s e da translac~ao por u de : D = ( u;s (t) = 1 p s t u s ) u2R;s2R+
- 33. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Analise usando Transformada Wavelet A transformada Wavelet do sinal f no tempo u e escala s e de
- 34. nida por: Wf(u; s) = Z 1 1 f (t) 1 p s t u s dt Exemplo de uma func~ao wavelet tipo spline cubico (a) e sua respectiva transformada de Fourier (b):
- 35. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Analise Multiresoluc~ao usando Wavelet Um atomo tempo-frequ^encia wavelet corresponde a uma caixa de Heisenberg centrada em (u; =s) de comprimento st no tempo e !=s na frequ^encia. A area do ret^angulo permanece constante, mas a resoluc~ao no tempo e na frequ^encia dependem do fator de escala s.
- 36. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes A Famlia de Wavelets Daubechies As wavelets tipo Dalbechies foram propostas por Ingrid Daubechies. S~ao func~oes wavelet ortogonais muito utilizadas em analises atraves da Transformada Discreta de Wavelet, pois s~ao func~oes limitadas no tempo.
- 37. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes A Famlia de Wavelets Daubechies As func~oes Wavelet podem tambem serem de
- 38. nidas em maisde uma dimens~ao, como por exemplo a Daubechies 20 2-d: Com func~oes wavelet limitadas no tempo (de
- 39. nidas por series de suporte temporal
- 40. nito) e possvelrealizar o processamento discreto atraves da DWT (Discrete Wavelet Transform).
- 41. PDS - Aula04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Transformada Wavelet Discreta