PC_2020-2_EP05_Transformacoes em Graficos_GABARITO.pdf

Pré-Cálculo 2020-2 EP05 – GABARITO 1 de 26
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2
Profa. Maria Lúcia Campos
Profa. Marlene Dieguez
EP05 – TRANSFORMAÇÕES EM GRÁFICOS – GABARITO
Exercício 1: Nos itens a), b) e c) a seguir, esboce o gráfico das funções quadráticas num mesmo
sistema de coordenadas:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2
; 𝑔(𝑥) =
1
2
𝑥2
; ℎ(𝑥) = 2𝑥2
. O que acontece com o gráfico da função 𝑓(𝑥) =
𝑥2
, quando multiplicamos 𝑥2
por uma constante positiva?
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2
; 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2
; ℎ(𝑥) = (𝑥 + 1)2
. O que acontece com o gráfico da função
𝑓(𝑥) = 𝑥2
, quando à variável 𝑥 , somamos ou subtraímos uma constante positiva?
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2
; 𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 2 ; ℎ(𝑥) = 𝑥2
+ 2. O que acontece com o gráfico da função
𝑓(𝑥) = 𝑥2
, quando à variável 𝑦 , somamos ou subtraímos uma constante positiva? Note que
realmente, a constante foi somada ou subtraída da variável 𝑦 .
d) Levando em consideração as informações obtidas nos itens acima, esboce o gráfico das
funções abaixo, a partir do gráfico da função elementar 𝑦 = 𝑥2
,. Explique as transformações que
ocorreram 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2
+ 2 e ℎ(𝑥) = −(𝑥 + 2)2
− 1
Identifique o vértice e o eixo de simetria de cada uma dessas parábolas.
Resolução:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2
; 𝑔(𝑥) =
1
2
𝑥2
; ℎ(𝑥) = 2𝑥2
.
Quando multiplicamos 𝑥2
por uma constante positiva,
modificamos a "abertura" da parábola. Se a constante for
maior que 1, a parábola fica "mais fechada", pois é
esticada verticalmente, se afasta do eixo 𝑥. Se a constante
for positiva e menor que 1, a parábola fica "mais aberta",
pois comprime verticalmente, se aproxima do eixo 𝑥.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2
; 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2
; ℎ(𝑥) = (𝑥 + 1)2
.
Quando somamos uma constante positiva 𝑎 a variável 𝑥, transladamos o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥2
,
horizontalmente, 𝑎 unidades para a esquerda.
Quando subtraímos uma constante positiva 𝑎 da variável 𝑥, transladamos o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥2
,
horizontalmente, 𝑎 unidades para a direita.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2
; 𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 2 ; ℎ(𝑥) = 𝑥2
+ 2 .
Observe que
𝑔(𝑥)
⏟
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑎 𝑛𝑜𝑣𝑎
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
𝑒𝑚 𝑥
= 𝑥2
− 2 = 𝑓(𝑥)
⏟
𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑒𝑚 𝑥
− 2 e ℎ(𝑥)
⏟
𝑑𝑎 𝑛𝑜𝑣𝑎
𝑒𝑚 𝑥
= 𝑥2
+ 2 = 𝑓(𝑥)
⏟
𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑒𝑚 𝑥
+ 2
Assim, quando subtraímos uma constante positiva 𝑎 da variável 𝑦 ,
transladamos o gráfico de 𝑦 = 𝑥2
, verticalmente, 𝑎 unidades
para baixo.
E quando somamos uma constante positiva 𝑎 a variável 𝑦 ,
transladamos o gráfico de 𝑦 = 𝑥2
, verticalmente,
𝑎 unidades para cima.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
d) Observando a função 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2
+ 2 , concluímos que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2
foi
transladada horizontalmente 1 unidade para a direita e verticalmente 2 unidades para cima.

O gráfico de 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2
+ 2 é uma parábola de vértice
𝑉(1, 2) , concavidade voltada para cima e seu eixo de simetria é a
reta vertical 𝑥 = 1.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Observando a função e ℎ(𝑥) = −(𝑥 + 2)2
− 1 , concluímos que a
função 𝑓(𝑥) = 𝑥2
foi refletida em torno do eixo 𝑥 e depois foi
transladada horizontalmente 2 unidades para a esquerda e
verticalmente 1 unidade para baixo.
O gráfico de ℎ(𝑥) = −(𝑥 + 2)2
− 1 é uma parábola de vértice
𝑉(−2, −1), concavidade voltada para baixo e seu eixo de simetria é a
reta vertical 𝑥 = −2.
____________________________________________________________________________________
Exercício 2: Seja a função 𝑓(𝑥) = −𝑥2
, para −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 .
Em cada item escreva uma lei para uma função que:
a) Estique verticalmente o gráfico de 𝑓 por um fator multiplicativo 3 . Dê o domínio e a
imagem dessa nova função e esboce o seu gráfico.
b) Comprima verticalmente o gráfico de 𝑓 por um fator multiplicativo
1
2
. Dê o domínio e a
c) Estique horizontalmente o gráfico de 𝑓 por um fator multiplicativo 4 . Dê o domínio e a
d) Comprima horizontalmente o gráfico de 𝑓 por um fator multiplicativo
1
2
. Dê o domínio e a

Resolução:
O gráfico da função dada, 𝑓(𝑥) = −𝑥2
, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 é:
]
1
,
1
[
)
( −
=
f
Dom
a) A função 𝑓1 cujo gráfico estica verticalmente o gráfico
de 𝑓 por um fator multiplicativo 3 é:
𝑓1(𝑥) = 3𝑓(𝑥) = −3𝑥2
O domínio de 𝑓1 é o mesmo domínio de 𝑓, 𝐷𝑜𝑚(𝑓1) = [−1 , 1].
Mas, se −1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 0, então, multiplicando a desigualdade por
3 , obtemos −3 ≤ 3 ∙ 𝑓(𝑥) ≤ 0 e Im(𝑓1) = [−3 , 0].
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) A função 𝑓2 cujo gráfico comprime verticalmente o gráfico de 𝑓 por um fator
multiplicativo
1
2
é:
𝑓2(𝑥) =
1
2
𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥2
O domínio de 2
f é o mesmo domínio de 𝑓,
𝐷𝑜𝑚(𝑓2) = [−1 , 1]. Mas, se −1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 0, então,
multiplicando a desigualdade por
1
2
, obtemos
1
2
∙ (−1) ≤
1
2
∙ 𝑓(𝑥) ≤
1
2
∙ 0 ⟹
−
1
2
≤
1
2
𝑓(𝑥) ≤ 0 e portanto, Im(𝑓2) = [−
1
2
, 0]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) A função 𝑓3 cujo gráfico estica horizontalmente o gráfico de 𝑓 por um fator multiplicativo 4
é:
𝑓3(𝑥) = 𝑓 (
1
4
𝑥) = − (
1
4
𝑥)
2
= −
1
16
𝑥2
Assim,
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚( 𝑓3) ⟹
1
4
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟹ −1 ≤
1
4
𝑥 ≤ 1 ⟹ −4 ≤ 𝑥 ≤ 4 ⟹
𝐷𝑜𝑚(𝑓3) = [−4, 4]
Essa transformação não mexe com a imagem da função, pois o esticamento (alongamento) é
horizontal. Assim, Im(𝑓3) = Im(𝑓) = [−1 , 0]
]
0
,
1
[
)
(
Im −
=
f

𝐷𝑜𝑚(𝑓3) = [−4, 4] Im(𝑓3) = [−1 , 0]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
d) A função 4
f cujo gráfico comprime horizontalmente o gráfico de 𝑓 por um fator
multiplicativo
1
2
é:
𝑓
4(𝑥) = 𝑓(2 𝑥) = −(2𝑥)2
= −4𝑥2
Assim,
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚( 𝑓4) ⟹ 2 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟹ −1 ≤ 2 𝑥 ≤ 1 ⟹ −
1
2
≤ 𝑥 ≤
1
2
⟹
𝐷𝑜𝑚(𝑓4) = [−
1
2
,
1
2
].
Essa transformação não mexe com a imagem da função,
pois a compressão é horizontal. Assim,
𝐷𝑜𝑚( 𝑓4) = [−
1
2
,
1
2
] e Im( 𝑓4) = Im(𝑓) = [−1 , 0]
Exercício 3: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico da
função 𝑓(𝑥) = |𝑥| por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões
em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas.
a) 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 4| b) ℎ(𝑥) = |𝑥 + 2| c) 𝑗(𝑥) = |𝑥| + 2
d) 𝑚(𝑥) = −|𝑥 + 2| e) 𝑛(𝑥) = 5 − |𝑥 + 2|
f) 𝑢(𝑥) = |𝑥 − 4| − 3 g) 𝑣(𝑥) = ||𝑥 − 4| − 3|.
Resolução:
a) O gráfico da função 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 4| é uma translação horizontal para direita de 4 unidades
do gráfico da função "elementar" 𝑓(𝑥) = |𝑥|:

ATENÇÃO: é interessante observar que podemos obter pontos do novo gráfico, neste caso o
gráfico transladado horizontalmente para direita, fazendo a mesma translação em pontos do
gráfico original.
Transladar um ponto horizontalmente para direita 𝒌 unidades (𝒌 > 0) significa acrescentar 𝒌
unidades a sua abscissa e não modificar a sua ordenada.
(𝑥1 , 𝑦1)
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑑𝑎𝑑𝑜
𝑘 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
(𝑘>0)
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ (𝑥1 + 𝑘 , 𝑦1)
Observe que os pontos (−1, 1), (0, 0) (1, 1) do gráfico da função 𝑓(𝑥) = |𝑥| quando
transladados 4 unidades horizontalmente para direita se transformam nos seguintes pontos:
(−1 + 4 , 1) = (𝟑 , 𝟏) , (0 + 4 , 0) = (𝟒 , 𝟎) , (1 + 4 , 1) = (𝟓 , 𝟏).
Vamos confirmar que os pontos (𝟑 , 𝟏) , (𝟒 , 𝟎) , (𝟓 , 𝟏) são pontos do gráfico da função 𝑔(𝑥) =
|𝑥 − 4|:
𝑔(3) = |3 − 4| = |−1| = 1 𝑔(4) = |4 − 4| = |0| = 0 𝑔(5) = |5 − 4| = |1| = 1.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) O gráfico da função ℎ(𝑥) = |𝑥 + 2| é uma translação
horizontal para esquerda de 2 unidades do gráfico da função
"elementar" 𝑓(𝑥) = |𝑥| .
ATENÇÃO: é interessante observar que podemos obter pontos
do novo gráfico, neste caso o gráfico transladado
horizontalmente para esquerda, fazendo a mesma translação
em pontos do gráfico original.

Transladar um ponto horizontalmente para esquerda 𝒌 unidades (𝒌 > 0) significa subtrair 𝒌
unidades da sua abscissa e não modificar a sua ordenada.
(𝑥1 − 𝑘 , 𝑦1)
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑑𝑎𝑑𝑜
𝑘 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
(𝑘>0)
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
← (𝑥1 , 𝑦1)
Observe que os pontos (−1, 1), (0, 0) (1, 1) do gráfico da função 𝑓(𝑥) = |𝑥| quando
transladados horizontalmente 2 unidades para esquerda se transformam nos seguintes pontos:
(−1 − 2 , 1) = (−𝟑 , 𝟏) , (0 − 2 , 0) = (−𝟐 , 𝟎) , (1 − 2 , 1) = (−𝟏 , 𝟏).
Vamos confirmar que os pontos (−𝟑 , 𝟏) , (−𝟐 , 𝟎) , (−𝟏 , 𝟏) são pontos do gráfico da função
ℎ(𝑥) = |𝑥 + 2|:
ℎ(3) = |−3 + 2| = |−1| = 1 ℎ(−2) = |−2 + 2| = |0| = 0 ℎ(−1) = |−1 + 2| = |1| = 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) O gráfico da função 𝑗(𝑥) = |𝑥| + 2 é uma translação vertical para cima de 2 unidades do
gráfico da função "elementar" 𝑓(𝑥) = |𝑥| .
ATENÇÃO: Transladar um ponto verticalmente para cima
𝒌 unidades (𝒌 > 0) significa acrescentar 𝒌 unidades a sua
ordenada e não modificar a sua abscissa.
Observe que os pontos
(−1, 1) , (0, 0) , (1, 1) quando transladados 2
unidades verticalmente para cima são transformados nos
pontos:
(−1 , 1 + 2) = (−𝟏 , 𝟑) , (0 , 0 + 2) = (𝟎 , 𝟐) , (1 , 1 + 2) = (𝟏 , 𝟑),
que são pontos do gráfico da função 𝑗(𝑥) = |𝑥| + 2 , pois
𝑗(−1) = |−1| + 2 = 1 + 2 = 3 𝑗(0) = |0| + 2 = 0 + 2 = 2 𝑗(1) = |1| + 2 = 1 + 2 = 3 .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

d) O gráfico da função 𝑚(𝑥) = −|𝑥 + 2| é uma reflexão em torno do eixo 𝑥 do gráfico da função
ℎ(𝑥) = |𝑥 + 2| do item b).
ATENÇÃO: ao refletir um ponto (𝒙, 𝒚) em torno do
eixo 𝒙 , obtemos o ponto (𝒙, −𝒚).
(−3 , 1) , (−2 , 0) , (−1 , 1) do gráfico da função
ℎ(𝑥) = |𝑥 + 2| do item b), quando refletidos em torno
do eixo 𝒙 , são transformados respectivamente nos
pontos:
(−𝟑 , −𝟏) , (−𝟐 , 𝟎) , (−𝟏 , −𝟏), que são pontos do gráfico da função 𝑚(𝑥) = −|𝑥 + 2|, pois
𝑚(−3) = −|−3 + 2| = −|−1| = −1 𝑚(−2) = −|−2 + 2| = −|0| = 0
𝑚(−1) = −|−1 + 2| = −|1| = −1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e) O gráfico da função 𝑛(𝑥) = 5 − |𝑥 + 2| é uma translação vertical para cima de 5 unidades
do gráfico da função 𝑚(𝑥) = −|𝑥 + 2| apresentado no item d) acima.
Observe que os pontos (−3 , −1) , (−2 , 0) , (−1 , −1) do gráfico da função 𝑚(𝑥) = −|𝑥 + 2|
são transladados 5 unidades verticalmente para cima para os pontos:
(−3 , −1 + 5) = (−𝟑 , 𝟒) ,
(−2 , 0 + 5) = (−𝟐 , 𝟓) , (−1 , −1 + 5) =
(−𝟏 , 𝟒), que são pontos do gráfico
𝑛(𝑥) = 5 − |𝑥 + 2| , pois
𝑛(−3) = 5 − |−3 + 2| = 5 − |−1| = 5 − 1 = 4
𝑛(−2) = 5 − |−2 + 2| = 5 − |0| = 5 − 0 = 5
𝑛(−1) = 5 − |−1 + 2| = 5 − |1| = 5 − 1 = 4 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f) O gráfico da função 𝑢(𝑥) = |𝑥 − 4| − 3 é uma translação vertical para baixo de 3 unidades
do gráfico de 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 4| apresentado no item a) acima.
ATENÇÃO: Transladar um ponto verticalmente para baixo
𝒌 unidades (𝒌 > 0) significa subtrair 𝒌 unidades da sua
ordenada e não modificar a sua abscissa.
(−3 , 1) , (4 , 0) , (5 , 1) do gráfico da função 𝑔(𝑥) =
|𝑥 − 4| são transladados 3 unidades verticalmente para baixo, respectivamente, para os pontos

(3 , 1 − 3) = (𝟑 , −𝟐) , (4 , 0 − 3) = (𝟒 , −𝟑) , (5 , 1 − 3) = (𝟓 , −𝟐), que são pontos do
gráfico da função gráfico 𝑢(𝑥)𝑏 = |𝑥 − 4| − 3, pois
𝑢(3) = |3 − 4| − 3 = |−1| − 3 = 1 − 3 = −2
𝑢(4) = |4 − 4| − 3 = |0| − 3 = 0 − 3 = −3
𝑢(5) = |5 − 4| − 3 = |1| − 3 = 1 − 3 = −2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
g) O gráfico da função 𝑣(𝑥) = ||𝑥 − 4| − 3| é a "modulação" do gráfico da função 𝑢(𝑥) =
|𝑥 − 4| − 3 do item f) acima. Isto significa que foi feito um rebatimento para cima do eixo 𝑥 , da
parte negativa da função (a parte do gráfico que estava abaixo do eixo 𝑥 ) e foi mantida a parte
positiva ou nula da função (a parte do gráfico que estava acima do eixo 𝑥 ou sobre ele).
ATENÇÃO: Quando modulamos o gráfico de uma função, os pontos desse gráfico têm as suas
ordenadas moduladas, assim um ponto (𝒙, 𝒚) do gráfico de uma função 𝒇 , é transformado no
ponto (𝒙, |𝑦|) do gráfico da função |𝑓| .
(−3 , −2) , (4 , −3) , (5 , −2) do gráfico da função 𝑢(𝑥) = |𝑥 − 4| − 3 são rebatidos
respectivamente para os pontos (3 , |−2|) = (𝟑 , 𝟐) , (4 , |−3|) = (𝟒 , 𝟑) , (5 , |−2|) = (𝟓 , 𝟐),
que são pontos do gráfico da função gráfico 𝜈(𝑥) = ||𝑥 − 4| − 3| , pois
𝜈(3) = ||3 − 4| − 3| = ||−1| − 3| = |1 − 3| = |−2| = 2
𝜈(4) = ||4 − 4| − 3| = ||0| − 3| = |0 − 3| = |−3| = 3
𝜈(5) = ||5 − 4| − 3| = ||1| − 3| = |1 − 3| = |−2| = 2
________________________________________________________________________________
Exercício 4: Considere as parábolas de equações 𝑥 = 𝑦2
e 𝑥 = −𝑦2
desenhadas abaixo.
Considere o gráfico da função elementar 𝑓(𝑥) = √𝑥 , que é parte da parábola 𝑥 = 𝑦2
.

Para cada função:
𝑓1(𝑥) = −√𝑥 𝑓2(𝑥) = √−𝑥 𝑓3(𝑥) = −√−𝑥 𝑓4(𝑥) = √|𝑥| 𝑓5(𝑥) = −√|𝑥|,
faça o que se pede em cada item.
a) Determine o domínio da função.
b) Esboce o seu gráfico usando reflexões e/ou modulações a partir do gráfico da função 𝑓(𝑥) =
√𝑥.
c) Observe o gráfico e dê a imagem da função.
d) O gráfico obtido no item (b) é parte ou união de partes das parábolas de equações 𝑥 = 𝑦2
e/ou 𝑥 = −𝑦2
. Relacione o gráfico ou cada parte do gráfico obtido no item (b), com uma das duas
equações, citando em quais intervalos do eixo 𝑥 e do eixo 𝑦 a equação é identificada. Para relacionar
será preciso substituir o nome da função ( 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓
4 ou 𝑓5) por 𝑦 para obter uma equação
nas variáveis 𝑥 e 𝑦, depois elevar essa equação ao quadrado.
Resolução:
a) Como só é possível calcular a raiz quadrada de números positivos ou nulo, então
𝐷𝑜𝑚 (𝑓1) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 0} = [0, ∞)
𝐷𝑜𝑚 (𝑓2) = 𝐷𝑜𝑚 (𝑓3) = {𝑥 ∈ ℝ; −𝑥 ≥ 0} = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤ 0} = (−∞, 0]
𝐷𝑜𝑚 (𝑓4) = 𝐷𝑜𝑚 (𝑓5) = {𝑥 ∈ ℝ; |𝑥| ≥ 0} = ℝ = (−∞, ∞) , pois |𝑥| ≥ 0 para qualquer 𝑥 ∈ ℝ.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Para auxiliar, esboçamos primeiro o
gráfico de 𝑓(𝑥) = √𝑥.
Gráfico de 𝒇𝟏(𝒙) = −√𝒙 :
Para esboçarmos o gráfico de 𝑦 = −𝑓(𝑥)
devemos refletir no eixo 𝑥 o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥). Portanto, o
gráfico de 𝑓1(𝑥) = −√𝑥 é obtido quando refletimos o gráfico de
𝑓(𝑥) = √𝑥 no eixo 𝑥.
Gráfico de 𝒇𝟐(𝒙) = √−𝒙 :
Para esboçarmos o gráfico de 𝑦 = 𝑓(−𝑥) devemos refletir o
gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) no eixo 𝑦. Portanto, o gráfico de
𝑓2(𝑥) = √−𝑥 é obtido quando refletimos o gráfico de
𝑓(𝑥) = √𝑥 no eixo 𝑦.

Gráfico de 𝒇𝟑(𝒙) = −√−𝒙 :
Para esboçarmos o gráfico de 𝒚 = −𝒇(−𝒙) devemos refletir o gráfico
de 𝑦 = 𝑓(𝑥) no eixo 𝑥 para obter o gráfico de 𝑦 = −𝑓(𝑥) e depois
devemos refletir o gráfico de 𝑦 = −𝑓(𝑥) no eixo 𝑦, para obter o
gráfico de 𝑦 = −𝑓(−𝑥). Portanto, o gráfico de 𝑓3(𝑥) = −√−𝑥 é
obtido quando refletimos o gráfico de 𝑓(𝑥) = √𝑥 no eixo 𝑥 para
obter o gráfico de 𝑓1(𝑥) = −√𝑥 e depois, devemos refletir no eixo 𝑦 o gráfico de 𝑓1(𝑥) = −√𝑥 ,
para obter o gráfico de 𝑓3(𝑥) = −√−𝑥 .
Gráfico de 𝒇𝟒(𝒙) = √|𝒙| :
Para esboçarmos o gráfico de 𝒚 = 𝒇(|𝒙|) , devemos manter o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) para 𝑥 ≥ 0 e
devemos refletir essa mesma parte, onde 𝑥 ≥ 0 , em relação ao eixo 𝑦 , pois
𝑦 = 𝑓(|𝑥|) = {
𝑓(𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
𝑓(−𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 < 0
Portanto,
𝑓
4(𝑥) = √|𝑥| = {
√𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
√−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0
Gráfico de 𝒇𝟓(𝒙) = −√|𝒙| :
Para esboçarmos o gráfico de 𝒇𝟓(𝒙) =
−√|𝒙| devemos refletir o gráfico de
𝑓4(𝑥) = √|𝑥| no eixo 𝑥
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) Observando cada gráfico,
𝐼𝑚 (𝑓1) = {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≤ 0} = (−∞, 0] 𝐼𝑚 (𝑓2) = {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≥ 0} = [0, ∞)
𝐼𝑚 (𝑓3) = {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≤ 0} = (−∞, 0] 𝐼𝑚 (𝑓
4) = {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≥ 0} = [0, ∞)
𝐼𝑚 (𝑓5) = {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≤ 0} = (−∞, 0]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

d) Observe que 𝑉 = (0 ,0) é o vértice das parábolas de equações 𝑥 = 𝑦2
e 𝑥 = −𝑦2
.
Função 𝒇𝟏(𝒙) = −√𝒙 :
𝑓1(𝑥) = −√𝑥 ⟹ 𝑦 = −√𝑥, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≤ 0 ⟹
𝑦2
= (−√𝑥)
2
= 𝑥, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≤ 0 ⟹ 𝑥 = 𝑦2
, 𝑥 ≥
0, 𝑦 ≤ 0
Portanto o gráfico de 𝑓1(𝑥) = −√𝑥 é a parte da parábola de equação 𝑥 = 𝑦2
situada no 4º.
quadrante (𝑥 > 0, 𝑦 < 0) ou no eixo 𝑥 (𝑥 = 0, 𝑦 = 0).
Função 𝒇𝟐(𝒙) = √−𝒙 :
𝑓2(𝑥) = √−𝑥 ⟹ 𝑦 = √−𝑥, 𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≥ 0 ⟹
𝑦2
= (√−𝑥)
2
= −𝑥, 𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≥ 0 ⟹
𝑥 = −𝑦2
, 𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≥ 0
Portanto o gráfico de 𝑓2(𝑥) = √−𝑥 é a parte da parábola de equação 𝑥 = −𝑦2
situada no 2º.
quadrante (𝑥 < 0, 𝑦 > 0) ou no eixo 𝑥 (𝑥 = 0, 𝑦 = 0).
Função 𝒇𝟑(𝒙) = −√−𝒙 :
𝑓3(𝑥) = −√−𝑥 ⟹ 𝑦 = −√−𝑥, 𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≤ 0 ⟹ 𝑦2
=
(−√−𝑥)
2
= −𝑥, 𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≤ 0 ⟹ 𝑥 = −𝑦2
, 𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≤ 0.
Portanto o gráfico de 𝑓3(𝑥) = −√−𝑥 é a parte da parábola de
equação 𝑥 = −𝑦2
situada no 3º. quadrante (𝑥 < 0, 𝑦 < 0) ou no
eixo 𝑥 (𝑥 = 0, 𝑦 = 0).
Função 𝒇𝟒(𝒙) = √|𝒙| :
𝑓
4(𝑥) = √|𝑥| ⟹ 𝑦 = √|𝑥|, − ∞ < 𝑥 < ∞, 𝑦 ≥ 0 ⟹
𝑦2
= (√|𝑥|)
2
= |𝑥|, − ∞ < 𝑥 < ∞, 𝑦 ≥ 0 ⟹
{𝑥 = 𝑦2
, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0} 𝑜𝑢 {−𝑥 = 𝑦2
, 𝑥 < 0, 𝑦 > 0} ⟹
{𝑥 = 𝑦2
, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0} 𝑜𝑢 {𝑥 = −𝑦2
, 𝑥 < 0, 𝑦 > 0}
Portanto uma parte do gráfico de 𝑓
4(𝑥) = √|𝑥| é a parte da parábola de equação 𝑥 = 𝑦2

situada no 1º. quadrante (𝑥 > 0, 𝑦 > 0) ou no eixo 𝑥 (𝑥 = 0, 𝑦 = 0) e outra parte do gráfico de
𝑓4(𝑥) = √|𝑥| é a parte da parábola de equação 𝑥 = −𝑦2
situada no 2º. quadrante (𝑥 < 0,
𝑦 > 0).
Função 𝒇𝟓(𝒙) = −√|𝒙| :
𝑓5(𝑥) = −√|𝑥| ⟹ 𝑦 = −√|𝑥|, −∞ < 𝑥 < ∞, 𝑦 ≤ 0
⟹ 𝑦2
= (√|𝑥|)
2
= |𝑥|, −∞ < 𝑥 < ∞, 𝑦 ≤ 0
⟹ {𝑥 = 𝑦2
, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≤ 0} 𝑜𝑢 {−𝑥 = 𝑦2
, 𝑥 < 0, 𝑦 < 0} ⟹
{𝑥 = 𝑦2
, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≤ 0} 𝑜𝑢 {𝑥 = −𝑦2
, 𝑥 < 0, 𝑦 < 0}
Portanto uma parte do gráfico de 𝑓5(𝑥) = −√|𝑥| é
a parte da parábola de equação 𝑥 = 𝑦2
situada no
4º. quadrante (𝑥 > 0, 𝑦 < 0) ou no eixo 𝑥
(𝑥 = 0, 𝑦 = 0) e a outra parte do gráfico de
𝑓5(𝑥) = −√|𝑥| é a parte da parábola de equação
𝑥 = −𝑦2
situada no 3º. quadrante (𝑥 < 0, 𝑦 < 0).
Exercício 5: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de
uma função "elementar" por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou
reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações.
Identifique essa função "elementar" e a sequência de
transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada
uma delas.
a) 𝐹(𝑥) = √𝑥 − 3 − 2 b) 𝐺(𝑥) = 1 − √𝑥 + 4
c) 𝐻(𝑥) = √9 − 𝑥 − 2 d) 𝐽(𝑥) = 3 − √4 − 𝑥
e) 𝐾(𝑥) = √|𝑥 − 4| − 3 f) 𝐿(𝑥) = |√|𝑥 − 4| − 3|
Resolução:
a) Vamos descrever uma sequência de transformações a partir do gráfico da função elementar
𝑦 = √𝑥 que nos levará ao gráfico da função 𝐹(𝑥) = √𝑥 − 3 − 2.

𝑦 = √𝑥
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑦 = √𝑥 − 3
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑒
→ 𝐹(𝑥) = √𝑥 − 3 − 2
Portanto, o gráfico da função 𝐹(𝑥) = √𝑥 − 3 − 2 é obtido a partir do gráfico da função
𝑦 = √𝑥 , após a sequência de transformações descritas acima.
𝑎𝑝ó𝑠 𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çõ𝑒𝑠
→
𝐷𝑜𝑚(𝐹) = [3 , +∞) e Im(𝐹) = [−2 , +∞)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Vamos descrever uma sequência de transformações a partir do gráfico da função elementar
𝑦 = √𝑥 que nos levará ao gráfico da função 𝐺(𝑥) = 1 − √𝑥 + 4 .
𝑦 = √𝑥
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒
→ 𝑦 = √𝑥 + 4
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −√𝑥 + 4
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝐺(𝑥) = 1 − √𝑥 + 4
Portanto, o gráfico da função 𝐺(𝑥) = 1 − √𝑥 + 4 é obtido a partir do gráfico da função
→
𝐷𝑜𝑚(𝐺) = [−4 , +∞) e Im(𝐺) = (−∞ , 1]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

c) Vamos descrever uma sequência de transformações a partir do gráfico da função elementar
𝑦 = √𝑥 que nos levará ao gráfico da função 𝐻(𝑥) = √9 − 𝑥 − 2
𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = √𝑥 + 9
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
(𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎𝑟 𝑥 𝑝𝑜𝑟−𝑥)
→ 𝑦 = √−𝑥 + 9
→ 𝐻(𝑥) = √9 − 𝑥 − 2
Portanto, o gráfico da função 𝐻(𝑥) = √9 − 𝑥 − 2 é obtido a partir do gráfico da função
→
𝐷𝑜𝑚(𝐻) = (−∞ ,9] e Im(𝐻) = [−2 , +∞)
Podemos descrever uma outra sequência de transformações que também nos levará ao gráfico de
𝐻(𝑥) = √9 − 𝑥 − 2 = √−(−9 + 𝑥) − 2 = √−(𝑥 − 9) − 2.
𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = √−𝑥
→ 𝑦 = √−(𝑥 − 9)
→ 𝐻(𝑥) = √9 − 𝑥 − 2
ATENÇÃO: cuidado ao fazer a translação horizontal 𝒚 = √−𝒙
𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒍𝒂çã𝒐 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍
𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒊𝒕𝒂 𝒅𝒆
𝟗 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
→ 𝒚 = √−(𝒙 − 𝟗).
A modificação deve ser feita na variável 𝒙 e não em −𝒙 . Por isso para obtermos o radicando
𝟗 − 𝒙 é preciso fazer uma translação horizontal para direita de 𝟗 unidades e assim, teremos
−(𝒙 − 𝟗) = −𝒙 + 𝟗 = 𝟗 − 𝒙.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
d) Vamos descrever uma sequência de transformações a partir do gráfico da função elementar
𝑦 = √𝑥 que nos levará ao gráfico da função 𝐽(𝑥) = 3 − √4 − 𝑥 .
𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = √𝑥 + 4
→ 𝑦 = √−𝑥 + 4
→ 𝑦 = −√4 − 𝑥
→ 𝐽(𝑥) = 3 − √4 − 𝑥
Portanto, o gráfico da função 𝐽(𝑥) = 3 − √4 − 𝑥 é obtido a partir do gráfico da função

→
𝐷𝑜𝑚(𝐽) = (−∞ ,4] e Im(𝐽) = [−∞ , 3)
Podemos descrever outras sequências de transformações que também nos levará ao gráfico
𝐽(𝑥) = 3 − √4 − 𝑥 = 3 − √−(−4 + 𝑥) = 3 − √−(𝑥 − 4)
𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = √−𝑥
→ 𝑦 = √−(𝑥 − 4)
→ 𝑦 = −√4 − 𝑥
→ 𝐽(𝑥) = 3 − √4 − 𝑥
Uma outra sequência de transformações que também nos levará ao gráfico 𝐽(𝑥) = 3 − √4 − 𝑥 .
𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = −√𝑥
→ 𝑦 = −√𝑥 + 4
→ 𝑦 = −√−𝑥 + 4
→ 𝐽(𝑥) = 3 − √4 − 𝑥
Ainda existem outras. Tente uma nova sequência de translações!!!
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e) Vamos descrever uma sequência de transformações a partir do gráfico da função elementar
𝑦 = √𝑥 que nos levará ao gráfico da função 𝐾(𝑥) = √|𝑥 − 4| − 3.
𝑦 = √𝑥
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
→ 𝑦 = √|𝑥|
→ 𝑦 = √|𝑥 − 4|
→ 𝐾(𝑥) = √|𝑥 − 4| − 3
→
𝐷𝑜𝑚(𝐾) = ℝ e Im(𝐾) = [−3 , +∞)

ATENÇÃO: não podemos fazer a translação horizontal antes de modular a variável. Se isso for
feito, a função final é 𝑦 = √|𝑥| − 4 , que é diferente da função final 𝑦 = √|𝑥 − 4|
Aqui estão as duas possibilidades:
𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = √|𝑥|
→ 𝑦 = √|𝑥 − 4|
𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = √𝑥 − 4
→ 𝑦 = √|𝑥| − 4
Existe uma outra sequência possível partindo do gráfico da função elementar 𝑦 = √𝑥 que nos leva
ao gráfico da função 𝐾(𝑥) = √|𝑥 − 4| − 3.
𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = −3 + √𝑥
→ 𝑦 = −3 + √|𝑥|
→ 𝐾(𝑥) = −3 + √|𝑥 − 4|
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f) O gráfico de 𝐿(𝑥) = |√|𝑥 − 4| − 3| é a "modulação" do gráfico da função
𝐾(𝑥) = √|𝑥 − 4| − 3 do item e) acima.
Vamos descrever uma sequência de transformações a partir do gráfico da função elementar
𝑦 = √𝑥 que nos levará ao gráfico da função 𝐿(𝑥) = |√|𝑥 − 4| − 3|.
𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = √|𝑥|
→ 𝑦 = √|𝑥 − 4|
→ 𝑦 = √|𝑥 − 4| − 3
→ 𝐿(𝑥) = |√|𝑥 − 4| − 3|
Modular uma função significa que será feito um rebatimento para cima do eixo 𝑥 , da parte negativa
da função (a parte do gráfico que estava abaixo do eixo 𝑥) e será mantida a parte positiva ou nula
da função (a parte do gráfico que estava acima do eixo 𝑥 ou sobre ele).
Para isso, vamos encontrar os pontos onde o gráfico de 𝐾(𝑥) = √|𝑥 − 4| − 3 intercepta o eixo 𝑥.
Esses pontos têm ordenada 𝑦 = 0, portanto temos:
√|𝑥 − 4| − 3 = 0 ⟹ √|𝑥 − 4| = 3
𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
⇒ ( √|𝑥 − 4|)
2
= 32
⟹
|𝑥 − 4| = 9 ⟹ 𝑥 − 4 = −9 𝑜𝑢 𝑥 − 4 = 9 ⟹ 𝑥 = −5 𝑜𝑢 𝑥 = 13

→
𝐷𝑜𝑚(𝐿) = ℝ e Im(𝐿) = [0 , +∞)
_______________________________________________________________________________
Exercício 6: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de
uma função "elementar" por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou
reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função "elementar"
e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
a) 𝐹(𝑥) = √|𝑥| − 1 − 2
b) 𝐺(𝑥) = |(𝑥 + 1)3
− 1|
c) 𝐻(𝑥) =
1
𝑥+2
+ 3
Resolução:
a) Vamos descrever uma sequência de transformações a partir do gráfico da função
elementar 𝑦 = √𝑥 que nos levará ao gráfico da função 𝐹(𝑥) = √|𝑥| − 1 − 2.
𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = √𝑥 − 1
→ 𝑦 = √|𝑥| − 1
→ 𝐹(𝑥) = √|𝑥| − 1 − 2
ATENÇÃO: não podemos trocar a ordem das transformações:
→ e
→ .
Se trocássemos, veja o que aconteceria:
𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = √|𝑥|
→ 𝑦 = √|𝑥 − 1| .
As funções 𝑦 = √|𝑥 − 1| e 𝑦 = √|𝑥| − 1 são diferentes.

→
𝐷𝑜𝑚(𝐹) = (−∞ , −1] ∪ [1 , +∞) e Im(𝐹) = [−2 , +∞)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Construímos o gráfico de 𝐺(𝑥) = |(𝑥 + 1)3
− 1| fazendo as seguintes transformações em
gráficos:
𝑦 = 𝑥3
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
⇒ 𝑦 = (𝑥 + 1)3
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
⇒ 𝑦 = (𝑥 + 1)3
− 1
Modulando
a função
𝑦=(𝑥+1)3−1
⇒ 𝐺(𝑥) = |(𝑥 + 1)3
− 1|
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
⇒
⇒
Modulando
a função
𝑦=(𝑥+1)3−1
⇒
𝐷𝑜𝑚(𝐺) = ℝ e Im(𝐺) = [0 , +∞)

ATENÇÃO: Modulando a função significa que a parte do gráfico dessa função em que 𝑦 < 0 , ou
seja, a parte do gráfico que está abaixo do eixo 𝑥 , deve ser refletida em torno d eixo 𝑥. E a parte
do gráfico em que 𝑦 ≥ 0 , ou seja, a parte do gráfico que está cima do eixo 𝑥 ou sobre ele, deve
ser mantida.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) Construímos o gráfico de 𝐻(𝑥) =
1
𝑥+2
+ 3 fazendo as seguintes transformações em
gráficos:
ℎ(𝑥) =
1
𝑥
, 𝑥 ≠ 0
⇒ 𝑦 =
1
𝑥+2
, 𝑥 ≠ −2
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
⇒ 𝐻(𝑥) =
1
𝑥+2
+ 3 , 𝑥 ≠ −2
⇒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
⇒
𝐷𝑜𝑚(𝐻) = ℝ − {−2} e Im(𝐻) = ℝ − {3}
________________________________________________________________________________
Exercício 7: Esboce os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 , 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3
+ 1 . Além
de identificar as funções "elementares" e as transformações ocorridas, esboce os gráficos
intermediários. Esboce num mesmo par de eixos os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 ,
𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3
+ 1 e 𝑦 = 𝑥. Observe a relação que existe entre esses gráficos.
Resolução:
Gráfico da função 𝒇(𝒙) = √𝒙 − 𝟏
𝟑
+ 𝟏
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 é a seguinte sequência de
transformações em gráficos de funções:
𝑦 = √𝑥
3
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = √𝑥 − 1
3
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1

→
→
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gráfico da função 𝒈(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)𝟑
+ 𝟏
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3
+ 1 é a seguinte sequência
de transformações em gráficos de funções:
𝑦 = 𝑥3
→ 𝑦 = (𝑥 − 1)3
→ 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3
+ 1
→
→

Observando a relação que existe entre os gráficos de
𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 e
de 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3
+ 1
Os gráficos de 𝒇(𝒙) = √𝒙 − 𝟏
𝟑
+ 𝟏 e 𝒈(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)𝟑
+ 𝟏 são simétricos com relação à reta
𝒚 = 𝒙.
________________________________________________________________________________
Exercício 8: Faça o gráfico de cada função começando com o gráfico de uma função elementar e
então aplicando as transformações apropriadas: translações horizontais, translações verticais,
alongamentos, compressões, reflexões, modulações. Explique quais são essas transformações.
a) 𝑓(𝑥) =
1
2
√𝑥 + 2 b) 𝑔(𝑥) = √
1
2
𝑥 + 2 c) ℎ(𝑥) =
1
2
√
1
2
𝑥 + 2
d) 𝑗(𝑥) = 2√
1
2
𝑥 + 2 e) 𝑟(𝑥) =
1
2
√2𝑥 + 2 f) 𝑠(𝑥) = 2√2𝑥 + 2
Resolução:
a) 𝑓(𝑥) =
1
2
√𝑥 + 2
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 𝑓(𝑥) =
1
2
√𝑥 + 2 é a seguinte sequência de
𝑦 = √𝑥
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = √𝑥 + 2
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑘=
1
2
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑓(𝑥) =
1
2
√𝑥 + 2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) 𝑔(𝑥) = √
1
2
𝑥 + 2
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 𝑔(𝑥) = √
1
2
𝑥 + 2 é a seguinte sequência de
𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = √𝑥 + 2
𝑎𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
1
𝑘
=
1
1
2
=2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑔(𝑥) = √
1
2
𝑥 + 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) ℎ(𝑥) =
1
2
√
1
2
𝑥 + 2
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função ℎ(𝑥) =
1
2
√
1
2
𝑥 + 2 é a seguinte sequência
𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = √𝑥 + 2
𝑘=
1
2
→ 𝑦 =
1
2
√𝑥 + 2
1
𝑘
=
1
1
2
→ ℎ(𝑥) =
1
2
√
1
2
𝑥 + 2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
d) 𝑗(𝑥) = 2√
1
2
𝑥 + 2
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função ℎ(𝑥) =
1
2
√
1
2
𝑥 + 2 é a seguinte sequência
𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = √𝑥 + 2
𝑎𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑘=2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑦 = 2√𝑥 + 2
1
𝑘
=
1
1
2
→ 𝑗(𝑥) = 2√
1
2
𝑥 + 2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e) 𝑟(𝑥) =
1
2
√2𝑥 + 2
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 𝑟(𝑥) =
1
2
√2𝑥 + 2 é a seguinte sequência
𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = √𝑥 + 2
𝑘=
1
2
→ 𝑦 =
1
2
√𝑥 + 2
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
1
𝑘
=
1
2
→ 𝑟(𝑥) =
1
2
√2𝑥 + 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f) 𝑠(𝑥) = 2√2𝑥 + 2
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 𝑠(𝑥) = 2√2𝑥 + 2 é a seguinte sequência de

𝑦 = √𝑥
→ 𝑦 = √𝑥 + 2
𝑎𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑘=2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑦 = 2√𝑥 + 2
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
1
𝑘
=
1
2
→ 𝑠(𝑥) = 2√2𝑥 + 2

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