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Fundamentos da Teoria da Computação
Primeira Lista de Exercícios - Aula sobre dúvidas da lista
Sérgio Mariano Dias1
1
UFMG/ICEx/DCC
Entrega da 1a
lista: 31/03/2009
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Exercício no
1 - Faça definições recursivas das seguintes
linguagens, considerando a concatenação como a operação
básica no passo recursivo:
a) A = {00}∗{1}∗;
λ ∈ A
Se x ∈ A então 00x ∈ A e x1 ∈ A
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 2 / 48
Exercício no
1 - Faça definições recursivas das seguintes
linguagens, considerando a concatenação como a operação
básica no passo recursivo:
b) B = {02n
1n
|n ∈ N};
λ ∈ B
Se x ∈ B então 00x1 ∈ B
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 3 / 48
Exercício no
1 - Faça definições recursivas das seguintes
linguagens, considerando a concatenação como a operação
básica no passo recursivo:
c) C = {w ∈ {0,1}∗ |w é palíndromo};
λ,0,1 ∈ C
Se x ∈ C então 0x0 ∈ C e 1x1 ∈ C
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Exercício no
1 - Faça definições recursivas das seguintes
linguagens, considerando a concatenação como a operação
básica no passo recursivo:
d)D = {w ∈ {0,1}∗ |w contém 01}.
01 ∈ D
Se x ∈ D então 0x ∈ D, 1x ∈ D, x0 ∈ D e x1 ∈ D
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 5 / 48
Exercício no
2 - Perguntinhas:
a) Que palavras tem cada uma das linguagens a seguir?
/0 - nenhuma
/0∗ - somente λ
/0+
- nenhuma
{λ}∗ - somente λ
{λ}+
- somente λ
{0} - somente 0
{0}∗ - {0n
|n ≥ 0}
{0}+
- {0n
|n ≥ 1}
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Exercício no
2 - Perguntinhas:
b) Em que situações L∗ é infinita?
L∗ é infinita se, e somente, se L = 0 e L = {λ}
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 7 / 48
Exercício no
2 - Perguntinhas:
c) Seja Σ = {a,b}. Explique que palavras pertencem a cada uma das
linguagens:
Σn
para cada n ≥ 0; que valor tem |Σn
|?
∑ = {w ∈ ∑∗
||w| = n}; |∑n
| = |∑|n
.
(Σ∪{λ})n
para cada n ≥ 0; que valor tem |(Σ∪{λ})n
|?
(∑∪{λ})n
= {w ∈ ∑∗
|0 ≤ |w| ≤ n}; |(∑∪{λ})n
| = ∑n
k=0(|∑|k
);
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 8 / 48
Exercício no
2 - Perguntinhas:
d) Sejam Σ = {a,b}, A = {a}Σ∗ e B = Σ+{b}. Descreva AA, A ∩B e
A −B.
AA = {ay|y ∈ {a,b}∗ e y contém a}
A ∩B = {axb|x ∈ {a,b}∗}
A −B = {w ∈ {a,b}∗|w começa e termina com a}
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 9 / 48
Exercício no
3 - Descreva as linguagens a seguir, todas
sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos,
operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de
Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa.
a) O conjunto das palavras de 4 símbolos sem 00 e sem 11.
{0101,1010}
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 10 / 48
Exercício no
3 - Descreva as linguagens a seguir, todas
sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos,
operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de
Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa.
b) O conjunto das palavras que começam com 0 e terminam com 1.
{0}{0,1}∗{1}
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 11 / 48
Exercício no
3 - Descreva as linguagens a seguir, todas
sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos,
operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de
Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa.
c) O subconjunto das palavras de {0}∗{1}∗ com número par de 0s e
ímpar de 1s.
{00}∗{1}{11}∗
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 12 / 48
Exercício no
3 - Descreva as linguagens a seguir, todas
sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos,
operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de
Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa.
d) O conjunto das palavras com dois a dez símbolos.
{0,1}{0,1}{λ,0,1}8
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 13 / 48
Exercício no
3 - Descreva as linguagens a seguir, todas
sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos,
operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de
Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa.
e) O conjunto das palavras que contêm 00 ou 11 ou ambas.
({1}∗{00}∪{0}∗{11}){0,1}∗
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 14 / 48
Exercício no
3 - Descreva as linguagens a seguir, todas
sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos,
operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de
Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa.
f) O conjunto das palavras que contêm 00, mas não 11.
{0,1}∗{00}{0,1}∗ - {0,1}∗{11}{0,1}∗
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 15 / 48
Exercício no
3 - Descreva as linguagens a seguir, todas
sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos,
operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de
Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa.
g) O conjunto das palavras que não contêm 00.
{0,1}∗ - {0,1}∗{00}{0,1}∗
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 16 / 48
Exercício no
3 - Descreva as linguagens a seguir, todas
sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos,
operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de
Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa.
h) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois
1s consecutivos.
{011,1}∗
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 17 / 48
Exercício no
3 - Descreva as linguagens a seguir, todas
sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos,
operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de
Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa.
i) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois
símbolos.
{1}∗ ∪{1}∗{0}{0,1}∗{11}
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 18 / 48
Exercício no
4 - Identifique as linguagens que são geradas
pelas gramáticas a seguir:
a) G1 = ({P,X},{a,b},R1,P).
R1: P → aX |bP |λ
X → aP
{w ∈ {a,b}∗|w tem um número par de a s}
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 19 / 48
Exercício no
4 - Identifique as linguagens que são geradas
pelas gramáticas a seguir:
b) G2 = ({P},{0,1},R2,P).
R2: P → 0P1|1P0|λ
{x¯x|x ∈ {0,1}∗} (¯x é o complemento de x)
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 20 / 48
Exercício no
4 - Identifique as linguagens que são geradas
pelas gramáticas a seguir:
c) G3 = ({A,X},{0,1},R3,A).
R3: A → XA|X
X → 0X1|λ
n≥0{ak
bk
|k ≥ 1}n
XA
XXA
XXX
X0X1X
X00X11X
X0011X. . .
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 21 / 48
Exercício no
4 - Identifique as linguagens que são geradas
pelas gramáticas a seguir:
d) G4 = ({X,A,#},{a,b},R4,X).
R4: X → aAX |#
Aa → aA
Ab → bA
A# → b#a
# → λ
{an
bn
an
|n ≥ 0}
aAX
aA#
ab#a
aba
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 22 / 48
Exercício no
5 - Obtenha gramáticas para as seguintes
linguagens:
a) {0,1}∗.
P → oP|1P|λ
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 23 / 48
Exercício no
5 - Obtenha gramáticas para as seguintes
linguagens:
b) {0}∗{1}∗{0}∗.
P → ZUZ
Z → 0Z|λ
U → 1U|λ
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 24 / 48
Exercício no
5 - Obtenha gramáticas para as seguintes
linguagens:
c) {0}{11}∗{0,λ}.
P → 0DF
D → 11D|λ
F → 0|λ
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 25 / 48
Exercício no
5 - Obtenha gramáticas para as seguintes
linguagens:
d) {0}{0,1}∗ ∪{0,1}∗{1}.
Começa com 1 e termina com 0 ou é λ
P → 1A|λ
A → 1A|0B
B → 1A|0B|λ
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 26 / 48
Exercício no
5 - Obtenha gramáticas para as seguintes
linguagens:
e) {w ∈ {a,b,c}∗ | o número de a’s em w é par}.
P → λ|aI|bP|cP
I → aP|bI|cI
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 27 / 48
Exercício no
5 - Obtenha gramáticas para as seguintes
linguagens:
f) {am
bm+n+1
cn
|m,n ≥ 0}.
P → AbC
A → aAb|λ
C → bCc|λ
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 28 / 48
Exercício no
6 - Construa autômatos finitos determinísticos
(AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3.
Apresente apenas os diagramas de estados.
a) O conjunto das palavras de 4 símbolos sem 00 e sem 11.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 29 / 48
Exercício no
6 - Construa autômatos finitos determinísticos
(AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3.
Apresente apenas os diagramas de estados.
b) O conjunto das palavras que começam com 0 e terminam com 1.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 30 / 48
Exercício no
6 - Construa autômatos finitos determinísticos
(AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3.
Apresente apenas os diagramas de estados.
c) O subconjunto das palavras de {0}∗{1}∗ com número par de 0s e
ímpar de 1s.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 31 / 48
Exercício no
6 - Construa autômatos finitos determinísticos
(AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3.
Apresente apenas os diagramas de estados.
d) O conjunto das palavras com dois a dez símbolos.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 32 / 48
Exercício no
6 - Construa autômatos finitos determinísticos
(AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3.
Apresente apenas os diagramas de estados.
e) O conjunto das palavras que contêm 00 ou 11 ou ambas.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 33 / 48
Exercício no
6 - Construa autômatos finitos determinísticos
(AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3.
Apresente apenas os diagramas de estados.
f) O conjunto das palavras que contêm 00, mas não 11.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 34 / 48
Exercício no
6 - Construa autômatos finitos determinísticos
(AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3.
Apresente apenas os diagramas de estados.
g) O conjunto das palavras que não contêm 00.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 35 / 48
Exercício no
6 - Construa autômatos finitos determinísticos
(AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3.
Apresente apenas os diagramas de estados.
h) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois
1s consecutivos.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 36 / 48
Exercício no
6 - Construa autômatos finitos determinísticos
(AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3.
Apresente apenas os diagramas de estados.
i) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois
símbolos.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 37 / 48
Exercício no
7 -Construa autômatos finitos determinísticos
(AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3.
Apresente apenas os diagramas de estados.
a) {w ∈ {0,1}∗ ||w| ≥ 2 e o penúltimo símbolo de w é 1}.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 38 / 48
Exercício no
7 -Construa autômatos finitos determinísticos
(AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3.
Apresente apenas os diagramas de estados.
b) {w ∈ {0,1}∗ | o último símbolo de w é igual ao primeiro}.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 39 / 48
Exercício no
7 -Construa autômatos finitos determinísticos
(AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3.
Apresente apenas os diagramas de estados.
c) {w ∈ {0,1}∗ | os três últimos símbolos de w não são 000}.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 40 / 48
Exercício no
7 -Construa autômatos finitos determinísticos
(AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3.
Apresente apenas os diagramas de estados.
d) {w ∈ {0,1}∗ | em w o símbolo da posição 2i é diferente daquele na
posição 2i +2 para cada i ≥ 1}.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 41 / 48
Exercício no
8 - Faça AFDs que reconheçam:
X = {w ∈ {0,1}∗ ||w| é par}. e Y = {w ∈ {0,1}∗ |w não
contém 00}. Bastam apenas os diagramas de estados. Em
seguida, obtenha o produto dos dois AFDs e explicite que
estados finais ele deve ter para reconhecer:
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 42 / 48
Exercício no
8 - Faça AFDs que reconheçam:
X = {w ∈ {0,1}∗ ||w| é par}. e Y = {w ∈ {0,1}∗ |w não
contém 00}. Bastam apenas os diagramas de estados. Em
seguida, obtenha o produto dos dois AFDs e explicite que
estados finais ele deve ter para reconhecer:
a) X ∩Y.
Final em X e final em Y.
b) X ∪Y.
final em X ou final em Y.
c) X −Y.
X ∩ ¯Y - Final em X e não é final em Y.
Estado inicial é o estado inicial de X e o estado inicial de Y - {SS}
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 43 / 48
Exercício no
9 -Sejam as linguagens L1 = {0n
1n
0n
|n ∈ N}
e L2 = {0n
0n
0n
|n ∈ N}. Mostre que existe AFD que
reconhece L2 e que não existe AFD que reconhece L1.
L1 - É preciso ter “memória” para reconhecer a linguagem.
L2 -
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 44 / 48
Exercício no
10 - Explique:
a) Para um estado e e uma palavra x, se ˆδ(e,x) = e, então ˆδ(e,xn
) = e
para todo n ≥ 0.
ˆδ(e,x) = e - processa x e para em e.
ˆδ(e,xn
) = e - processa x n vezes e para em e.
Todas as transições são deterministicas.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 45 / 48
Exercício no
10 - Explique:
b) Se um AFD M reconhece uma palavra de tamanho maior ou igual ao
número de estados de M, então L(M) é infinita.
A palavra é maior ou igual ao número de estados, logo M precisa possuir
um loop.
Pode se passar pelo loop infinitas vezes.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 46 / 48
Exercício no
10 - Explique:
c) Seja um AFD M. Se X ⊆ L(M), então pode ser que exista ou não M
tal que L(M ) = X. Dica: considere M como sendo um AFD que
reconheça {0,1}∗.
Reconhece: {λ}
Não reconhece: {0n
1n
|n ≥ 1 e n ∈ N}
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 47 / 48
Obrigado pela atenção e boa prova.
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Fundamentos da Teoria da Computação Primeira Lista de Exercícios - Aula sobre dúvidas da lista

  • 1. Fundamentos da Teoria da Computação Primeira Lista de Exercícios - Aula sobre dúvidas da lista Sérgio Mariano Dias1 1 UFMG/ICEx/DCC Entrega da 1a lista: 31/03/2009 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 1 / 48
  • 2. Exercício no 1 - Faça definições recursivas das seguintes linguagens, considerando a concatenação como a operação básica no passo recursivo: a) A = {00}∗{1}∗; λ ∈ A Se x ∈ A então 00x ∈ A e x1 ∈ A Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 2 / 48
  • 3. Exercício no 1 - Faça definições recursivas das seguintes linguagens, considerando a concatenação como a operação básica no passo recursivo: b) B = {02n 1n |n ∈ N}; λ ∈ B Se x ∈ B então 00x1 ∈ B Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 3 / 48
  • 4. Exercício no 1 - Faça definições recursivas das seguintes linguagens, considerando a concatenação como a operação básica no passo recursivo: c) C = {w ∈ {0,1}∗ |w é palíndromo}; λ,0,1 ∈ C Se x ∈ C então 0x0 ∈ C e 1x1 ∈ C Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 4 / 48
  • 5. Exercício no 1 - Faça definições recursivas das seguintes linguagens, considerando a concatenação como a operação básica no passo recursivo: d)D = {w ∈ {0,1}∗ |w contém 01}. 01 ∈ D Se x ∈ D então 0x ∈ D, 1x ∈ D, x0 ∈ D e x1 ∈ D Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 5 / 48
  • 6. Exercício no 2 - Perguntinhas: a) Que palavras tem cada uma das linguagens a seguir? /0 - nenhuma /0∗ - somente λ /0+ - nenhuma {λ}∗ - somente λ {λ}+ - somente λ {0} - somente 0 {0}∗ - {0n |n ≥ 0} {0}+ - {0n |n ≥ 1} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 6 / 48
  • 7. Exercício no 2 - Perguntinhas: b) Em que situações L∗ é infinita? L∗ é infinita se, e somente, se L = 0 e L = {λ} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 7 / 48
  • 8. Exercício no 2 - Perguntinhas: c) Seja Σ = {a,b}. Explique que palavras pertencem a cada uma das linguagens: Σn para cada n ≥ 0; que valor tem |Σn |? ∑ = {w ∈ ∑∗ ||w| = n}; |∑n | = |∑|n . (Σ∪{λ})n para cada n ≥ 0; que valor tem |(Σ∪{λ})n |? (∑∪{λ})n = {w ∈ ∑∗ |0 ≤ |w| ≤ n}; |(∑∪{λ})n | = ∑n k=0(|∑|k ); Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 8 / 48
  • 9. Exercício no 2 - Perguntinhas: d) Sejam Σ = {a,b}, A = {a}Σ∗ e B = Σ+{b}. Descreva AA, A ∩B e A −B. AA = {ay|y ∈ {a,b}∗ e y contém a} A ∩B = {axb|x ∈ {a,b}∗} A −B = {w ∈ {a,b}∗|w começa e termina com a} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 9 / 48
  • 10. Exercício no 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. a) O conjunto das palavras de 4 símbolos sem 00 e sem 11. {0101,1010} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 10 / 48
  • 11. Exercício no 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. b) O conjunto das palavras que começam com 0 e terminam com 1. {0}{0,1}∗{1} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 11 / 48
  • 12. Exercício no 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. c) O subconjunto das palavras de {0}∗{1}∗ com número par de 0s e ímpar de 1s. {00}∗{1}{11}∗ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 12 / 48
  • 13. Exercício no 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. d) O conjunto das palavras com dois a dez símbolos. {0,1}{0,1}{λ,0,1}8 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 13 / 48
  • 14. Exercício no 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. e) O conjunto das palavras que contêm 00 ou 11 ou ambas. ({1}∗{00}∪{0}∗{11}){0,1}∗ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 14 / 48
  • 15. Exercício no 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. f) O conjunto das palavras que contêm 00, mas não 11. {0,1}∗{00}{0,1}∗ - {0,1}∗{11}{0,1}∗ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 15 / 48
  • 16. Exercício no 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. g) O conjunto das palavras que não contêm 00. {0,1}∗ - {0,1}∗{00}{0,1}∗ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 16 / 48
  • 17. Exercício no 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. h) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois 1s consecutivos. {011,1}∗ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 17 / 48
  • 18. Exercício no 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. i) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois símbolos. {1}∗ ∪{1}∗{0}{0,1}∗{11} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 18 / 48
  • 19. Exercício no 4 - Identifique as linguagens que são geradas pelas gramáticas a seguir: a) G1 = ({P,X},{a,b},R1,P). R1: P → aX |bP |λ X → aP {w ∈ {a,b}∗|w tem um número par de a s} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 19 / 48
  • 20. Exercício no 4 - Identifique as linguagens que são geradas pelas gramáticas a seguir: b) G2 = ({P},{0,1},R2,P). R2: P → 0P1|1P0|λ {x¯x|x ∈ {0,1}∗} (¯x é o complemento de x) Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 20 / 48
  • 21. Exercício no 4 - Identifique as linguagens que são geradas pelas gramáticas a seguir: c) G3 = ({A,X},{0,1},R3,A). R3: A → XA|X X → 0X1|λ n≥0{ak bk |k ≥ 1}n XA XXA XXX X0X1X X00X11X X0011X. . . Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 21 / 48
  • 22. Exercício no 4 - Identifique as linguagens que são geradas pelas gramáticas a seguir: d) G4 = ({X,A,#},{a,b},R4,X). R4: X → aAX |# Aa → aA Ab → bA A# → b#a # → λ {an bn an |n ≥ 0} aAX aA# ab#a aba Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 22 / 48
  • 23. Exercício no 5 - Obtenha gramáticas para as seguintes linguagens: a) {0,1}∗. P → oP|1P|λ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 23 / 48
  • 24. Exercício no 5 - Obtenha gramáticas para as seguintes linguagens: b) {0}∗{1}∗{0}∗. P → ZUZ Z → 0Z|λ U → 1U|λ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 24 / 48
  • 25. Exercício no 5 - Obtenha gramáticas para as seguintes linguagens: c) {0}{11}∗{0,λ}. P → 0DF D → 11D|λ F → 0|λ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 25 / 48
  • 26. Exercício no 5 - Obtenha gramáticas para as seguintes linguagens: d) {0}{0,1}∗ ∪{0,1}∗{1}. Começa com 1 e termina com 0 ou é λ P → 1A|λ A → 1A|0B B → 1A|0B|λ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 26 / 48
  • 27. Exercício no 5 - Obtenha gramáticas para as seguintes linguagens: e) {w ∈ {a,b,c}∗ | o número de a’s em w é par}. P → λ|aI|bP|cP I → aP|bI|cI Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 27 / 48
  • 28. Exercício no 5 - Obtenha gramáticas para as seguintes linguagens: f) {am bm+n+1 cn |m,n ≥ 0}. P → AbC A → aAb|λ C → bCc|λ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 28 / 48
  • 29. Exercício no 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. a) O conjunto das palavras de 4 símbolos sem 00 e sem 11. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 29 / 48
  • 30. Exercício no 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. b) O conjunto das palavras que começam com 0 e terminam com 1. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 30 / 48
  • 31. Exercício no 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. c) O subconjunto das palavras de {0}∗{1}∗ com número par de 0s e ímpar de 1s. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 31 / 48
  • 32. Exercício no 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. d) O conjunto das palavras com dois a dez símbolos. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 32 / 48
  • 33. Exercício no 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. e) O conjunto das palavras que contêm 00 ou 11 ou ambas. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 33 / 48
  • 34. Exercício no 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. f) O conjunto das palavras que contêm 00, mas não 11. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 34 / 48
  • 35. Exercício no 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. g) O conjunto das palavras que não contêm 00. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 35 / 48
  • 36. Exercício no 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. h) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois 1s consecutivos. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 36 / 48
  • 37. Exercício no 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. i) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois símbolos. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 37 / 48
  • 38. Exercício no 7 -Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. a) {w ∈ {0,1}∗ ||w| ≥ 2 e o penúltimo símbolo de w é 1}. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 38 / 48
  • 39. Exercício no 7 -Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. b) {w ∈ {0,1}∗ | o último símbolo de w é igual ao primeiro}. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 39 / 48
  • 40. Exercício no 7 -Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. c) {w ∈ {0,1}∗ | os três últimos símbolos de w não são 000}. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 40 / 48
  • 41. Exercício no 7 -Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. d) {w ∈ {0,1}∗ | em w o símbolo da posição 2i é diferente daquele na posição 2i +2 para cada i ≥ 1}. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 41 / 48
  • 42. Exercício no 8 - Faça AFDs que reconheçam: X = {w ∈ {0,1}∗ ||w| é par}. e Y = {w ∈ {0,1}∗ |w não contém 00}. Bastam apenas os diagramas de estados. Em seguida, obtenha o produto dos dois AFDs e explicite que estados finais ele deve ter para reconhecer: Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 42 / 48
  • 43. Exercício no 8 - Faça AFDs que reconheçam: X = {w ∈ {0,1}∗ ||w| é par}. e Y = {w ∈ {0,1}∗ |w não contém 00}. Bastam apenas os diagramas de estados. Em seguida, obtenha o produto dos dois AFDs e explicite que estados finais ele deve ter para reconhecer: a) X ∩Y. Final em X e final em Y. b) X ∪Y. final em X ou final em Y. c) X −Y. X ∩ ¯Y - Final em X e não é final em Y. Estado inicial é o estado inicial de X e o estado inicial de Y - {SS} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 43 / 48
  • 44. Exercício no 9 -Sejam as linguagens L1 = {0n 1n 0n |n ∈ N} e L2 = {0n 0n 0n |n ∈ N}. Mostre que existe AFD que reconhece L2 e que não existe AFD que reconhece L1. L1 - É preciso ter “memória” para reconhecer a linguagem. L2 - Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 44 / 48
  • 45. Exercício no 10 - Explique: a) Para um estado e e uma palavra x, se ˆδ(e,x) = e, então ˆδ(e,xn ) = e para todo n ≥ 0. ˆδ(e,x) = e - processa x e para em e. ˆδ(e,xn ) = e - processa x n vezes e para em e. Todas as transições são deterministicas. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 45 / 48
  • 46. Exercício no 10 - Explique: b) Se um AFD M reconhece uma palavra de tamanho maior ou igual ao número de estados de M, então L(M) é infinita. A palavra é maior ou igual ao número de estados, logo M precisa possuir um loop. Pode se passar pelo loop infinitas vezes. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 46 / 48
  • 47. Exercício no 10 - Explique: c) Seja um AFD M. Se X ⊆ L(M), então pode ser que exista ou não M tal que L(M ) = X. Dica: considere M como sendo um AFD que reconheça {0,1}∗. Reconhece: {λ} Não reconhece: {0n 1n |n ≥ 1 e n ∈ N} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 47 / 48
  • 48. Obrigado pela atenção e boa prova. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 48 / 48