1) O documento apresenta o algoritmo de Fluxo Máximo a Custo Mínimo. 2) Este algoritmo encontra os caminhos de menor custo que geram o fluxo máximo em uma rede, utilizando algoritmos de fluxo máximo e menor caminho de origem única. 3) É apresentada a análise do algoritmo Bellman-Ford e do algoritmo de fluxo máximo de Ford-Fulkerson.

1. Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Engenharia Elétrica e Informática
Departamento de Sistemas e Computação
Programa de Educação Tutorial (PET)
Demontiê Junior
(demontie@dsc.ufcg.edu.br)
Fluxo Máximo a Custo Mínimo
Min Cost Max Flow
DSC/CEEI/UFCG

2. Agenda
Introdução  Introdução
Conceitos
 Conceitos importantes
importantes
Apresentação e
análise do
algoritmo  Algoritmo de Bellman-Ford
Exemplode
implementação
 Redes de fluxo
Considerações
Apresentação e análise do algoritmo
Finais

 Exemplo de implementação
 Considerações Finais
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CST – Fluxo Máximo a Custo 2
Mínimo – Demontiê Junior

3. Introdução
Introdução
 Caracterização do Problema:
Conceitos
importantes
Apresentação e
 Encontrar os caminhos de menor custo
análise do
algoritmo que geram o fluxo máximo de uma rede.
Exemplode
implementação
Considerações
Finais  Utiliza algoritmos de fluxo máximo e de
menor caminho de origem única.
 Cada aresta tem dois atributos: peso e
DSC/CEEI/UFCG
capacidade
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4. Introdução
Introdução  Motivação:
Conceitos
importantes  Aplicável a vários problemas reais.
Apresentação e
análise do  Exemplo (variação: fluxo a custo mínimo):
algoritmo
Exemplode “Saber a quantia mínima em dinheiro que
implementação
Considerações
um grupo de amigos precisa dispor para se
Finais deslocar entre duas cidades. O transporte será
feito por aviões, que seguem determinados
trechos (existe apenas um vôo para cada
trecho durante todo o período do passeio, mas
o tempo do vôo é desprezível). Todos os vôos
DSC/CEEI/UFCG tem a mesma capacidade, e cada um tem seu
custo por pessoa.”
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5. Introdução
Introdução  Objetivos:
Conceitos
importantes
 Apresentar um algoritmo para resolução
Apresentação e
análise do
algoritmo
do problema de Fluxo Máximo a Custo
Exemplode
implementação
Mínimo
Considerações
Finais
 Mostrar a importância do conhecimento
desse tipo de algoritmos para a
resolução de problemas reais
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CST – Fluxo Máximo a Custo 5
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6. Conceitos Importantes
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7. Contextualizando...
Introdução  O que é um grafo?
Conceitos
importantes
 Dois tipos de elementos: vértices e
Apresentação e
análise do
algoritmo
arestas
Exemplode
implementação  De maneira mais formal, grafos são
Considerações
Finais
tuplas do tipo G = <V, E>:
V é o conjunto finito, não vazio, de vértices
 E é o conjunto finito de arestas
 Se Ǝ e = {v, w} | e ∈ E, então, dizemos que
e é incidente a v e w, bem como v e w são
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adjacentes
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8. Menor caminho de origem única
Introdução  Em que consiste?
Conceitos
importantes
 Encontrar os menores caminhos entre
Apresentação e
análise do
algoritmo
um vértice inicial e todos os outros
Exemplode
implementação
vértices de um grafo
Considerações
Finais
 Utiliza grafos valorados
 Algoritmos mais famosos:
 Dijkstra
 Bellman-Ford
 Floyd-Warshall
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9. Algoritmo de Bellman-Ford
Introdução
Conceitos
importantes Bellman-Ford(G, w, s)
Apresentação e for ∀u ∈ V[G] do
análise do d[u] ← ∞
algoritmo
π[u] ← NIL Inicia as variáveis
Exemplode
implementação d[s] ← 0
Considerações
for i  1 to |V[G]| - 1 do
Finais for ∀(u, v) ∈ E[G] do
if d[v] > d[u] + w(u,v) then
d[v] ← d[u] + w(u,v) Relaxamento
π[v] ← u
for ∀(u, v) ∈ E[G] do
if d[v] > d[u] + w(u, v) then Checa a presença
return FALSE de ciclo negativo
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return TRUE
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10. Redes de fluxo
Introdução  O que são redes de fluxo?
Conceitos
importantes
 Cada aresta tem uma capacidade (fluxo
Apresentação e
análise do
algoritmo
máximo nessa aresta)
Exemplode
implementação  Possui dois vértices especiais: fonte (f)
Considerações
Finais
e sovedouro (s)
 ∀v ∈ V, existe um caminho entre f e s
passando por v
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CST – Fluxo Máximo a Custo 10
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11. Redes de fluxo
Introdução  Exemplo:
Conceitos
importantes
Apresentação e 12
análise do V W
algoritmo
Exemplode 16 20
implementação
Considerações
Finais
10 4 9 7
F S
13 4
X Y
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14
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12. Rede residual
Introdução  Considere c(e) a função capacidade
de e, e ∈ E
Conceitos
importantes
Apresentação e
 A rede residual de uma rede R é um
análise do
algoritmo
grafo R = <V, Eresidual>, tal que:
Exemplode
implementação
Considerações
Finais  ∀e ∈ E, Ǝ uma eresidual cuja capacidade
é cresidual
 cresidual(e) = c(e) – fluxo(e)
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CST – Fluxo Máximo a Custo Mínimo – 12
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13. Rede residual
Introdução  Rede residual após um fluxo de 4 no
Conceitos
importantes caminho FXYS
Apresentação e
análise do
12
algoritmo V W
Exemplode
implementação
16 20
Considerações
Finais
10 4 9 7
F S
9 0
4
4
10
X Y
DSC/CEEI/UFCG
4
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Mínimo – Demontiê Junior

14. Algoritmo de fluxo máximo
Introdução  Ford-Fulkerson
Conceitos
importantes
 Rede residual
Apresentação e
 Caminho expandível
análise do
algoritmo
Exemplode
implementação
Ford-Fulkerson(G, s, t)
Considerações
Finais for ∀e ∈ E[G] do
fluxo[e] ← 0
while exisitr um caminho expandível p na rede residual do
aumentar f (*) ao longo de p
return f
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(*) capacidade do arco de menor capacidade de p
CST – Fluxo Máximo a Custo 14
Mínimo – Demontiê Junior

15. Apresentação e análise do
algoritmo
DSC/CEEI/UFCG

16. Fluxo Máximo a Custo Mínimo
Introdução  “Por que não encontrar os menores
Conceitos
importantes caminhos com Dijkstra e, simplesmente, sair
Apresentação
análise do
e distribuindo o fluxo?”
algoritmo
Exemplode
 Temos que gerar, sempre, a rede residual, para
implementação que não seja encontrado um fluxo diferente do
Considerações
Finais máximo
 Quando geramos a rede residual, temos que
modificar, também, os custos das arestas
 Algumas vezes invertemos o custo de uma
aresta
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 Dijkstra não funciona bem com pesos negativos
CST – Fluxo Máximo a Custo 16
Mínimo – Demontiê Junior

17. Fluxo Máximo a Custo Mínimo
Introdução  Exemplo
Conceitos
importantes
Apresentação e 12
análise do V W
algoritmo 20
Exemplode 16 20
implementação
20 20
Considerações
Finais 9
F 1 S
20 20
13 4
20
X Y
DSC/CEEI/UFCG
14
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Demontiê Junior

18. Fluxo Máximo a Custo Mínimo
Introdução  Exemplo
Conceitos
importantes
Apresentação e 12
análise do V W
algoritmo 20
Exemplode 16 20
implementação
20 20
Considerações
Finais 9
F ERRADO
1 S
20 20
13 4
20
X Y
DSC/CEEI/UFCG
14
CST – Fluxo Máximo a Custo Mínimo – 18
Demontiê Junior

19. Fluxo Máximo a Custo Mínimo
Introdução  Exemplo
Conceitos
importantes
Apresentação e 12
análise do V W
algoritmo 20
Exemplode 16 20
implementação
20 20
Considerações
Finais 9
F CORRETO 1 S
20 20
13 4
20
X Y
DSC/CEEI/UFCG
14
CST – Fluxo Máximo a Custo Mínimo – 19
Demontiê Junior

20. O algoritmo
Introdução
Conceitos MinCostMaxFlow(G, s, t)
importantes
for ∀e ∈ E[G] do
Apresentação e
análise do
fluxo[e] ← 0
algoritmo
Exemplode redeResidual ← G
implementação custo ← 0
Considerações
Finais
while exisitr um caminho entre F e S (rodar Bellman-Ford
para encontra menor caminho F  S (*)) do
atualizar custo
aumentar fluxo ao longo do caminho c
gerar rede residual, modificando o custo das arestas
DSC/CEEI/UFCG
return fluxo, custo
(*) o Bellman-Ford roda em cima da rede residual
CST – Fluxo Máximo a Custo Mínimo – 20
Demontiê Junior

21. Analisando o algoritmo
Introdução  Análise do Bellman-Ford
Conceitos
importantes
 Ordem de complexidade: (|V|.|E|)
Apresentação e
Análise do Ford-Fulkerson
análise do
algoritmo 
Exemplode
implementação
 Ordem de complexidade: O(E.|f*|)
Considerações
Finais
 Na implementação de Edmonds-Karp,
utilizando busca em largura: O(V.E²)
DSC/CEEI/UFCG
CST – Fluxo Máximo a Custo 21
Mínimo – Demontiê Junior

22. Analisando o algoritmo
Introdução  Análise do Fluxo Máximo a Custo Mínimo
Conceitos
importantes MinCostMaxFlow(G, s, t)
for ∀e ∈ E[G] do
Apresentação e
fluxo[e] ← 0 O(E)
análise do
algoritmo
redeResidual ← G
Exemplode custo ← 0
implementação
while exisitr um caminho entre F e S (rodar Bellman-Ford
Considerações para encontra menor caminho F  S (*)) do
O(|f*|.E.V)
Finais atualizar custo
aumentar fluxo ao longo do caminho c O(E)
gerar rede residual, modificando o custo das arestas
return fluxo, custo
 MinCostMaxFlow = O(V.E²)
DSC/CEEI/UFCG
CST – Fluxo Máximo a Custo 22
Mínimo – Demontiê Junior

23. Exemplo de Implementação
Introdução
Conceitos
importantes
Apresentação e
análise do
algoritmo
Exemplode
 Código Java que responde ao
implementação
Considerações
exemplo citado
Finais
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CST – Fluxo Máximo a Custo 23
Mínimo – Demontiê Junior

24. Referências
Introdução  Prof. Jorge Figueiredo, notas de aula
6 e 10;
Conceitos
importantes
Apresentação e
 CORMEN, THOMAS H., Introduction
análise do
algoritmo
To Algorithms 2.ed. MIT PRESS, 2001
Exemplode
implementação
Considerações
Finais
 http://www.slideshare.net/rafaelspere
ira/fluxo-a-custo-mnimo-1828149
 http://courses.csail.mit.edu/6.854/06/
DSC/CEEI/UFCG
scribe/s12-minCostFlowAlg.pdf
CST – Fluxo Máximo a Custo Mínimo – 24
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25. Dúvidas?
Introdução
Conceitos
importantes
Apresentação e
análise do
algoritmo
Exemplode
implementação
Considerações
Finais
DSC/CEEI/UFCG
CST – Fluxo Máximo a Custo Mínimo – 25
Demontiê Junior