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![Motivac¸ ˜ao
Formulac¸ ˜ao
Algumas referˆencias
Propagador via integral de caminho
Exemplo: Oscilador Harmˆonico
Formulac¸ ˜ao de integral de caminho
Escrevemos, de (13) (15) e (16):
hqj+1tj+1jqjtji =
1
h
Z
dpj exp
i
~
[pj(qj+1 qj) H(pj; ¯q)]
(17)
em que pj ´e o momento entre tj e tj+1 ou, de forma equivalente, qj e
qj+1. Essa equac¸ ˜ao nos d´a o propagador de um caminho poss´ıvel.
UFSM Dyana C. Duarte 16/42](https://image.slidesharecdn.com/seminariov2-141206111356-conversion-gate02/85/IntegracaoFuncional-40-320.jpg)
![Motivac¸ ˜ao
Formulac¸ ˜ao
Algumas referˆencias
Propagador via integral de caminho
Exemplo: Oscilador Harmˆonico
Formulac¸ ˜ao de integral de caminho
O propagador completo ´e dado substituindo em (12), no limite cont´ınuo
(em que pj ´e o momento ao longo do caminho entre qj e qj+1),
hqf tf jqitii = lim
n!1
Z Yn
j=1
dqj
Yn
j=0
dpj
h
exp
8:
i
~
Xn
j=0
[pj(qj+1 qj) H(pj; ¯qj)]
9=;
(18)
com q0 = qi, qn+1 = qf . De forma simb´olica:
hqf tf jqitii =
Z
DpDq
h
exp
i
~
Z tf
ti
dt[p˙q H(p; q)]
#
(19)
com q(ti) = qi; q(tf ) = qf .
UFSM Dyana C. Duarte 17/42](https://image.slidesharecdn.com/seminariov2-141206111356-conversion-gate02/85/IntegracaoFuncional-41-320.jpg)
IntegracaoFuncional
- 1. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Integral de Caminho em Mecˆanica Quˆantica Dyana C. Duarte, Ricardo L. S. Farias 11 de novembro de 2014 UFSM Dyana C. Duarte 1/42
- 2. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Roteiro 1 Motivac¸ ˜ao 2 Formulac¸ ˜ao de integral de caminho Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico 3 Algumas referˆencias UFSM Dyana C. Duarte 2/42
- 3. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Motivac¸ ˜ao ÙA integrac¸ ˜ao de caminho (ou integrac¸ ˜ao funcional) nos fornece uma importante ferramenta para o estudo de sistemas quˆanticos dos quais queremos saber, por exemplo, a evoluc¸ ˜ao temporal, dada pelo operador Hamiltoniano ÙEssem´etodo foi desenvolvido e utilizado primeiramente por Richard Philips Feynman, em estudos sobre a eletrodinˆamica quˆantica. Feyn-man juntamente com Julian Schwinger e Sin-Itiro Tomonaga recebeu o prˆemio Nobel de F´ısica em 1965. UFSM Dyana C. Duarte 3/42
- 4. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Motivac¸ ˜ao Ù Podemos entender diversos problemas cl´assicos e quˆanticos atrav´es das integrais de caminho, mas essa formulac¸ ˜ao ´e especificamente ´util em teoria de campos,tanto relativ´ıstica quanto n˜ao-relativ´ıstica. Essas integrais fornecem um caminho para a quantizac¸ ˜ao e para resolver as express˜oes das func¸ ˜oes de Green, que s˜ao relacionadas com amplitudes dos processos f´ısicos, como a dispers˜ao e o decaimento de part´ıculas. UFSM Dyana C. Duarte 4/42
- 5. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho As quantidades p e q em mecˆanica quˆantica s˜ao substitu´ıdas por o-peradores que obedecem as relac¸ ˜oes de comutac¸ ˜ao de Heisenberg. A formula¸c˜ao de integral de caminho ´e baseada diretamente na noc¸ ˜ao de propagador K(qf ; tf ; qi; ti). Dada uma func¸ ˜ao (qi; ti) em um tempo ti o propagador d´a a func¸ ˜ao de onda correspondente a outro tempo tf : (qf ; tf ) = Z K(qf ; tf ; qi; ti) (qi; ti)dqi (1) UFSM Dyana C. Duarte 5/42
- 6. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho Da mesma forma que na mecˆanica quˆantica o m´odulo ao quadrado da func¸ ˜ao de onda d´a a probabilidade de se encontrar uma part´ıcula em determinada regi˜ao do espac¸o, o m´odulo ao quadrado do propagador nos d´a a probabilidade de que ocorra uma transic¸ ˜ao de qi num tempo ti para qf num tempo tf : P(qf ; tf ; qi; ti) = jK(qf ; tf ; qi; ti)j2 (2) UFSM Dyana C. Duarte 6/42
- 7. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho Dividindo o intervalo entre (qi; ti) e (qf ; tf ) em dois, sendo (q; t) o termo intermedi´ario, como na figura, temos: K(qf ; tf ; qi; ti) = Z K(qf ; tf ; qt)K(qt; qi; ti)dq (3) Figure : Propagac¸ ˜ao de uma part´ıcula de (qi; ti) para (qf ; tf ), via uma posic¸ ˜ao intermedi´aria (q; t) UFSM Dyana C. Duarte 7/42
- 8. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho Denotamos K(2A;1) a amplitude de probabilidade que o el´etron passe da fonte 1 pelo buraco 2A, para os detectores 3, e assim por diante. Da equac¸ ˜ao (3) temos, ent˜ao, K(3; 1) = K(3; 2A)K(2A; 1) + K(3; 2B)K(2B; 1) (4) Figure : Experimento de fenda dupla UFSM Dyana C. Duarte 8/42
- 9. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho A probabilidade ser´a, ent˜ao: P(3; 1) = jK(3; 1)j2 (5) N˜ao podemos dizer que o el´etron passar´a por A ou por B; ele passa, de certa forma, por ambos os caminhos (se n˜ao for detectado em uma das fendas). Essa noc¸ ˜ao de todos os caminhos poss´ıveis ´e importante no formalismo de integral de caminho. UFSM Dyana C. Duarte 9/42
- 10. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho Vamos mostrar que o propagador K est´a realmente atuando em hqf ; tf jqi; tii. Para isso, notemos que a func¸ ˜ao de onda (q; t) na notac¸ ˜ao de Schr¨odinger ´e (q; t) = hqj tiS (6) ou, na notac¸ ˜ao de Heisenberg j iH por: j tiS = eiHt=~j iH (7) Podemos definir o vetor jqti = eiHt=~jqi (8) UFSM Dyana C. Duarte 10/42
- 11. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho ou seja, (q; t) = hqtj iH, e usando a relac¸ ˜ao de completeza nos estados encontramos: hqf ; tf j i = Z hqf ; tf jqi; tiihqi; tij idqi (9) Da eq, (8) (qf ; tf ) = Z hqf ; tf jqi; tii (qi; ti)dqi (10) em comparac¸ ˜ao com (1) teremos: hqf ; tf jqi; tii = K(qf ; tf ; qi; ti) (11) que ´e o resultado esperado. UFSM Dyana C. Duarte 11/42
- 12. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho Dividimos o intervalo de tempo entre ti e tf dividido em (n + 1) partes iguais (), como na figura a seguir. A equac¸ ˜ao (3) d´a, agora, hqf ; tf jqi; tii = Z ::: Z dq1dq2:::dqnhqf ; tf jqn; tni hqn; tnjqn1; tn1i:::hq1; t1jqi; tii (12) Figure : Propagac¸ ˜ao de (qi; tt) a (qf ; tf ) sobre diferentes caminhos UFSM Dyana C. Duarte 12/42
- 13. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho A integral (12) ´e tomada sobre todas as poss´ıveis trajet´orias, e cada um dos segmentos (qjtj; qj1tj1) pode ser dividido em intervalos ainda menores. Podemos calcular o propagador por um pequeno segmento da integral de caminho. De (8) temos: hqj+1; tj+1jqjtji = hqj+1jeiH=~jqji = (qj+1 qj) i ~ hqj+1jHjqji = 1 2~ Z dp exp i ~ p(qj+1 qj) i ~ D qj+1jHjqj E (13) UFSM Dyana C. Duarte 13/42
- 14. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho O Hamiltoniano, ´e constitu´ıdo por uma parte cin´etica e uma potencial. Neste caso ´e descrito por: H = p2 2m + V(q) (14) H pode ser uma func¸ ˜ao qualquer de p mais uma func¸ ˜ao qualquer de q. Ap´os algumas manipulac¸ ˜oes na equac¸ ˜ao (14) obtemos para o termo cin´etico: * qj+1
- 20.
- 26. qj + = Z dp0dphqj+1jp0i * p0
- 32.
- 38. + hpjqji p = Z dp0 h exp i ~ p(qj+1 qj) p2 2m (15) UFSM Dyana C. Duarte 14/42
- 39. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho De forma an´aloga, para o termo de potencial: hqj+1jV(q)jqji = V qj+1 + qj 2 hqj+1jqji = V qj+1 + qj 2 (qj+1 qj) = Z dp h exp i ~ p(qj+1 qj) V(¯qj) (16) em que ¯qj = 1 2 (qj + qj1). UFSM Dyana C. Duarte 15/42
- 40. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho Escrevemos, de (13) (15) e (16): hqj+1tj+1jqjtji = 1 h Z dpj exp i ~ [pj(qj+1 qj) H(pj; ¯q)] (17) em que pj ´e o momento entre tj e tj+1 ou, de forma equivalente, qj e qj+1. Essa equac¸ ˜ao nos d´a o propagador de um caminho poss´ıvel. UFSM Dyana C. Duarte 16/42
- 41. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho O propagador completo ´e dado substituindo em (12), no limite cont´ınuo (em que pj ´e o momento ao longo do caminho entre qj e qj+1), hqf tf jqitii = lim n!1 Z Yn j=1 dqj Yn j=0 dpj h exp 8: i ~ Xn j=0 [pj(qj+1 qj) H(pj; ¯qj)] 9=; (18) com q0 = qi, qn+1 = qf . De forma simb´olica: hqf tf jqitii = Z DpDq h exp i ~ Z tf ti dt[p˙q H(p; q)] # (19) com q(ti) = qi; q(tf ) = qf . UFSM Dyana C. Duarte 17/42
- 42. Motivac¸ ˜ao Formulac¸˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho Ù No limite cont´ınuo, q ´e uma func¸ ˜ao de t, e a integral ´e uma integral funcional, ou seja, uma integral sobre todas as func¸ ˜oes. Isso ´e infinito-dimensional. A express˜ao (19) ´e a express˜ao da integral de caminho para a amplitude de transic¸ ˜ao de (qi; ti) a (qf ; tf ). Ù Cada func¸ ˜ao q(t) e p(t) define um caminho no espac¸o de fase. Na formulac¸ ˜ao de integral de caminho devemos explicitar a express˜ao para a amplitude de transic¸ ˜ao, que ´e melhor adaptada para os problemas de dispers˜ao. ÙAs quantidades p e q ocorrentes na integral s˜ao quantidades cl´assicas, n˜ao operadores, (c-numbers, n˜ao q-numbers). UFSM Dyana C. Duarte 18/42