Exercicios resolvidos

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE DO ALGARVE
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
TO P O G R A F I A
E X E R C Í C I O S P R O P O S T O S
David Pereira
Fernando Martins
Helena Fernandez
Faro, Maio 2000

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA EXERCÍCIOS PROPOSTOS TOPOGRAFIA
1
DISTÂNCIAS
1. Pretende-se medir uma distância AB , com uma fita de aço, mas entre os pontos “A”
e “B” passa uma ribeira, o que torna difícil a marcação de um alinhamento. Com a ajuda
de um esquadro e aplicando os princípios da geometria plana resolve-se o problema, da
seguinte maneira:
Calcule a distância AB , sabendo que as distâncias BC , CD foram medidas, tendo-se
obtido os seguintes valores:
BC = 14.828 m
CD = 25.173 m.
Solução: 27.907 m.

2
2. Calcule a altura do farol CD , sabendo que se estacionou uma vez em A e depois em
B, tendo-se obtido os seguintes valores:
AB = 51.30 m
α = 18.3304 grados
β = 144.1481 grados
τ = 13.7332 grados
η = 34.0370 grados
Solução: CD = 15.55 m.
3. Queremos saber a altura de uma árvore BE cujo ápice visamos de dois pontos A e D,
distanciados entre si de 45.60 m, com um goniómetro estacionado à altura de 1.60 m,
acima do terreno plano e horizontal. Os ângulos α e β, lidos são respectivamente de
5.8200 grados e 13.7200 grados.
Solução: 8.79 m.

3
4. Com base na figura e nos dados seguintes, determine:
α=6.975 grados
DN=2.60 m
lm=1.500 m
K=100 (constante estadimétrica)
i=1.53 m
a) A distância horizontal (D).
b) A leitura inferior e superior do retículo.
Solução: a) D = 23.36 m b) ls = 1.618 m li = 1.382 m.

4
ESCALAS
5. Um terreno com 5 ha ocupa uma área de 20 cm2
numa determinada carta. Qual a
escala usada na carta?
Solução: 1:5000
6. Com um planimetro polar, percorreu-se, no sentido horário o contorno de uma
superfície desenhada na escala 1:1000, tendo-se feito as seguintes leituras:
Leitura inicial = 7221
Leitura final = 8521
Determine a área gráfica e real correspondentes às leituras feitas, supondo que foi
utilizado o planimetro com o pólo no exterior, e considerando que o zero do disco não
passou pela referência e que a constante de multiplicação é C = 10 mm2
.
Solução: Área gráfica = 130 cm2
Área real = 1.3 ha
7. Pretende-se executar a planta de uma vila de modo a que os objectos de 3.00 m já
tenham representação. Qual é a escala mínima a adoptar, se admitirmos como erro de
graficismo 0.00025 m.
Solução: 1:12000

5
ALTIMETRIA
8. Sabendo que o ângulo de inclinação da linha que une um ponto A, de cota 352 m,
com um ponto B, de cota desconhecida é 7º 20’ e que a distância horizontal entre esses
pontos é representada por um segmento de 32 mm numa carta 1:25000, determine a cota
do ponto B.
Solução: CB = 455 m.
9. Considere uma estrada com declive constante de 10%. Admitindo que a cota do
ponto A do eixo da estrada é 34.3 m, calcule a cota do ponto B também do eixo da
estrada, sabendo que a distância que os separa numa carta à escala 1:5000 é 0,7 cm.
Solução: CB = 37.8 m.
10. Considere dois pontos, A e B, representados numa escala 1:25 000. A distância
entre eles medida no terreno, é de 0.92 km. Supondo que a cota do ponto A é de 235 m
e o declive entre A e B constante é igual a 5 %, indique quais as curvas de nível que
passam entre esses pontos, adoptando uma equidistância gráfica de 0.4 mm.
Solução: 240 m, 250 m, 260 m, 270 m e 280 m.

6
11. Sabendo que estacionou nos pontos A,B e C foi estacionado um nível, complete a
seguinte tabela de nivelamento geométrico.
ESTAÇÃO
Ponto
Visado
Leitura
Atrás
(m)
Leitura
Intermédia
(m)
Leitura à
Frente
(m)
Cota da
Estaca
(m)
A
1 0.982 200.000
2 1.745 ..…
3 3.092 ..…
B
3 0.815
4 1.902 ..…
5 2.334 ..…
6 3.717 ..…
C
6 0.508
7 2.423 ..…
Os pontos estacionados são representados pelas bolas e as estacas pelas cruzes.
Solução: 199.237 m, 197.890 m, 196.803 m, 196.371 m, 194.988 m, 193.073 m.

7
12. Considere a seguinte figura:
Partindo da cota E (280.673 m), determine a cota da marca N seguindo as leituras do
quadro seguinte e completando-o.
ESTAÇÃO
Ponto
Visado
Leitura
Atrás
(m)
Leitura à
Frente
(m)
Diferenças
(+ vs -)
(m)
Cota da
estaca
(m)
E 280.673
1 2.953 …. ….
A
1 0.958 ….
2 2.987 ..…
B
2 1.270 ….
3 3.520 ..…
C
3 1.973 ….
N 2.057 ..…
Nota: A altura do instrumento em E é de 1.560 m
Solução: 279.280 m, 277.251 m, 275.001 m, 274.917 m.

8
13. Com um taqueómetro cujo limbo vertical mede ângulos de inclinação, estacionou-se
num ponto A e visou-se a estação seguinte (ponto B), tendo-se registado os seguintes
valores:
altura do aparelho : 1.45 m
ângulo de inclinação : 1.910 grados
fio superior : 1.602 m
fio médio: 1.301 m
fio inferior: 1.000 m
Em seguida, estacionou-se no ponto B e visou-se o ponto A, tendo-se obtido os
seguintes valores:
altura do aparelho : 1.65 m
fio superior : 1.953 m
fio médio: 1.691 m
fio inferior: 1.429 m
a) Calcule a distância entre os pontos A e B e a cota do ponto B, sabendo que a cota do
ponto A é de 134.876 m.
b) Supondo que não existem quaisquer tipos de erros, determine o ângulo de inclinação
na segunda medição.
Solução: a) AB = 60.146 m e CB = 136.830 m b) i = 397.976 grados.

9
14. Para cotar seis pontos O, P, Q, R, S e T duma linha de nivelamento, fez-se o
seguinte nivelamento geométrico apoiado nos pontos Fonte e Corga:
Posições da mira Leitura atrás Leitura à frente
Fonte 1.024 m -----
O 0.636 m 2.472 m
P 0.886 m 3.544 m
Q 2.984 m 0.952 m
R 3.747 m 1.478 m
S 1.636 m 0.328 m
T 0.148 m 1.522 m
Corga ----- 2.884 m
Sabendo que:
Ponto Cota
Fonte 428.70 m
Corga 426.61 m
Determine as cotas ajustadas dos seis pontos referidos.
Solução: CO = 427.256 m, CP = 424.352 m, CQ = 424.290 m, CR = 425.801 m,
CS = 429.224 m, CT = 429.342 m.

10
15. Observe a figura junta. A cota do braço horizontal da cruz da torre da capela é
conhecida, CV=312.320 m. Estacionou-se em E com um teodolito de segundos e mediu-
se a altura do aparelho i = 1.600 m, sendo de seguida lido o ângulo zenital ZE’V =
62.2575 grados. Encostou-se uma mira MM’
, à parede da torre e obtiveram-se as
seguintes leituras, depois de ter horizontalizado a luneta (ZE’V’ = 100,0000 grados):
Fio inferior = 0.222 m
Fio médio = 0.445 m
Fio superior = 0.668 m
A largura da torre quadrada é de 4.00 m, na base. Calcule:
a) a cota do terreno na base da torre (cota M’
);
b) a cota do instrumento (cota E);
c) a cota da estação (cota de E’);
Solução: a) 280.48 m b) 279.325 m c) 280.95 m

11
POLIGONAIS
16. Considere o seguinte triângulo e as respectivas medições:
Determine as coordenadas do ponto B.
Solução: MB = 221.5 m e PB = 150.4 m.
17. Considere o seguinte triângulo topográfico e as respectivas medições:
Determine as coordenadas do ponto B.
Solução: MB = 155.5 m e PB = -30.5 m.
gradosCBA
gradosACB
mAC
2.44
0.48
0.20
=
=
=
)
)
gradosR
mP
mM
AB
A
A
3.108
2.153
3.200
=
=
=
gradosACB
mBC
mAC
0.48
0.31
0.20
=
=
=
)gradosR
mP
mM
AB
A
A
1.105
8.28
2.134
=
−=
=

12
18. Dado o rumo AB e os ângulos azimutais seguintes, determine o rumo da direcção
DE, utilizando os diferentes trajectos possíveis.
Dados:
gradosDEB
gradosEDC
gradosBCD
gradosCBA
gradosRAB
133ˆ
322ˆ
100ˆ
111ˆ
108
=
=
=
=
=
Solução: RDE = 241 grados.
19. Sabendo que MA = 231457.60 m, PA = -65319.43 m, MD = 231373.84 m e
PD = -65355.54 m quanto deve medir o ângulo DCB ˆ .
Solução: DCB ˆ = 67.36 grados.
20. Dois pontos A e B são definidos pelas suas coordenadas rectangulares planas:



=
=
=
mP
mM
A
A
A
35.84
74.342
B
M m
P m
B
B
=
=
= −



13587
24170
.
.
Determine as coordenadas de C, que para um observador em A olhando para B, vê C à
sua direita, e para onde se mediram os ângulos:
mCD
mBC
mAB
gradosABC
gradosRBA
00.60
00.50
00.40
83
50
=
=
=
=
=
)

13
<A = α = 64.117 grados
<B = β = 86.806 grados
Solução: MC = -199.58 m e PC = 85.29 m.
21. Considere a seguinte figura:
Conhecidas as coordenadas de B e C, estacionou-se num outro ponto A e mediu-se o
azimute magnético (ângulo entre o norte magnético e uma direcção qualquer) para o
ponto B. Do ponto A conhecem-se a convergência de meridianos e a declinação
magnética.
Coordenadas
do ponto B
(m)
Coordenadas
do ponto C
(m)
Distância
horizontal
(m)
Convergência
dos meridianos
em A
Cm = 0º 33’
18.54’’
MB = -10000.00 MC = 20000.00 AB = 8000.00
Declinação
magnética em
A
δm = 9º 00’ 00’’
PB = 500.00 PC = -3000.00
Azimute
Magnético de
A para B
Azm =80º 27’ 36’’
CB = 100.00 CC = 250.00

14
Determine:
a) As coordenadas do ponto A.
b) O ângulo azimutal ABC ˆ .
c) A distância inclinada entre B e C.
Solução: a) MA = -17559.81 m e PA = -2117.10 m. b) CBA = 154º 15’ 1.51’’
c) iBC = 30203.85 m
22. São dados dois pontos A e B pelas suas coordenadas:
Pontos M (m) P (m) Cota (m)
A 116117.33 227775.15 137.15
B 126118.57 225873.88 133.77
Estacionado em A (altura do instrumento = 1.50 m) e apontando para B obtiveram-se:
Posição
Leitura azimutal
(grados)
Ângulo zenital
(grados)
DP 123.0073 101.0975
IR 323.0197
e apontando para C:
Posição
Leitura azimutal
(grados)
Ângulo zenital
(grados)
DP 132.1888 105.1756
IR 332.1700
ainda para C, foram lidas numa mira:

15
fi = 0.220 m
fm = 1.350 m
fs = 2.480 m
Calcule as coordenadas planimétricas e altimétricas de C.
Solução: MC = 116329.59 m, PC = 227702.01 m e CC = 119.01 m.
23. Considere a figura seguinte, calcule o rumo da direcção AB e as coordenadas
planimétricas do ponto C, tendo em conta as cotas, os ângulos azimutais figurados e os
valores dados. A medida sobre o terreno é iAB = 50 m e iBC = 10 m e as coordenadas
rectangulares do ponto A são MA = 130.563 m e PA = -65.312 m.
Solução : MC = 169.703 m e PC = -71.872 m.

16
24. Considere a figura e os seguintes elementos:
Determine:
a) O rumo da direcção CE segundo dois trajectos diferentes.
b) O rumo da direcção CD.
c) A distância BF e o rumo da direcção BF.
Solução: a) RCE = 183º b) RCD = 73º c) BF = 70.16 m RBF = 177.8º.
25. Considere a poligonal representada na figura, da qual se obtiveram os seguintes
elementos:
Coord. de A
(m)
Coord. de
B (m)
Coord.de
E (m)
Distâncias
reduzidas
(m)
Ângulos
azimutais
Rumos
MA = -100 MB = -20 ME = 200 BC = 80 DCB = 130º00’ RBC=40º00’
PA = 5 PB = -15 PE = -3 CD = 70 DEF = 140º00’
EF = 90 DEF = 140º00’
mFE
mAF
mCD
mBC
mAB
mP
mM
A
A
44.33
81.64
74.114
00.50
00.57
0.0
0.0
=
=
=
=
=
=
=
º150
º95
º60
º80
º95
º70
º100
º58
=
=
=
=
=
=
=
=
FCD
BCF
CEF
EFC
CFA
FAB
ABC
RAB
)
)
)
)
)
)
)

17
Determine:
a) O rumo RAB.
b) A distância AB .
c) O ângulo CBA ˆ .
d) As coordenadas planimétricas dos pontos D e F.
Solução : a) RAB = 104º 2’ 10.48’’ b) AB = 82.462 m c) < ABC = 115º 57’ 50.4’’
d) MF = 287.54 m PF = 17.91 m MD = 101.42 m PD = 46.28 m.
26. Uma pequena rede topográfica de controlo tem quatro estações A, B, C e D. As
estações C e D estão situadas a Este da linha AB. A partir dos seguintes dados, calcule
as coordenadas de D.
Coordenadas de A Coordenadas de B Distâncias reduzidas Ângulos azimutais
MA = 4763.252 m MB = 2477.361 m AD = 4366.890 m BAC ˆ = 49º26’15’’
PA = 6372.156 m PB = 1544.789 m CD = 3632.471 m ACB ˆ = 65º37’39’’
Solução : a) MD = 8777.249 m PD = 4652.401 m.

18
27. Três pontos, P, Q e R têm as seguintes coordenadas:
MP = 950.00 m MQ = 983.50 m MR=1027.69 m
PP = 1200.00 m PQ = 1340.00 m PR = 1239.74 m
Um ponto S é materializado sobre PQ , tal que a perpendicular, nele, à recta PQ passe
por R. Quais são os comprimentos de SP , SR e SQ ?
Solução: SP = 56.73 m SR = 66.31 m SQ = 87.22 m.
28. As coordenadas de duas estações topográficas, A e B são:
A
M m
P m
A
A
=
=
=



32367935
34043132
.
.
B
M m
P m
B
A
=
=
=



32402207
34284689
.
.
As distâncias duma terceira estação, C, situada a Este de A e B são:
CA m CB m= =1901624 1388901. , .
Calcule as coordenadas da estação C.
Solução: MC = 324967.90 m PC = 341829.82 m.

19
29. Durante a implantação dum túnel anotaram-se as observações seguintes, realizadas
com um teodolito situado numa estação I, próximo dum poço vertical:
< AIB = 179º59’14’’ < QIA = 86º27’43’’
< BIP = 93º32’54’’ < PIQ = 0º0’09’’
< QPI=179º59’38.7’’
IB m IA m IP m IQ m= = = =17060 44635 7 29 12635. , . , . , .
As linhas de prumada P e Q estão separadas de 5.345 m, sendo P o ponto mais próximo
do teodolito, situado em I. Se o RPQ é de 307º
47’24’’, calcule o RAB.
Solução: RAB = 214º14’42’’.
30. Determinar as coordenadas rectangulares do ponto C, sendo conhecidos os ângulos
indicados na figura e a distância BC = 1500 m.

20
Coordenadas rectangulares dos pontos I,II e B:
MI = -25313 m PI = -34568 m
MII = 12125 m PII = 5332 m
MB = 85425 m PB = 44575 m
Solução: MC = 84582.46 m PC = 43333.98 m.
31. As coordenadas de duas estações A e B são:
A
M m
P m
A
A
=
=
=



43476219
37659283
.
.
B
M m
P m
B
B
=
=
=



43547680
377404 35
.
.
Nos pontos A e B mediram-se, no sentido progressivo os ângulos < BAC e < ABC,
obtendo-se os valores 44º 29’ 35’’ e 313º 32’ 43’’, respectivamente. Calcule as
coordenadas do ponto C.
Solução: MC = 435544.02 m PC = 376649.42 m.
32. Sejam A e B duas estações de coordenadas:
Coordenadas de A Coordenadas de B
MA = 3669.35 m MB = 3812.07 m
PA = 1746.89 m PB = 1631.32 m
Pretende-se materializar no terreno uma estação C de coordenadas
C
M m
P m
C
C
=
=
=



370000
167500
.
.

21
Calcule:
a) O ângulo CABˆ .
b) O ângulo CBA ˆ .
c) As distâncias horizontais AC e BC .
Solução: a) CABˆ = 27º54’36’’ b) CBA ˆ = 342º17’42’’ c) AC = 78.151 m
BC = 128.281 m.
33. Conhecendo a distância horizontal SC = 88.66 m, as coordenadas rectangulares dos
pontos A, S, e Te os ângulos azimutais indicados nas tabelas
Coordenada M Coordenada P
MA = -91751.080 m PA = -105339.519 m
MS = -91768.047 m PS = -105465.960 m
MT = -91820.054 m PT = -105306.871 m
Calcular:
a) A distância horizontal AC ;
b) O ângulo azimutal ACT ˆ ;
c) As coordenadas rectangulares de C.
Solução: a) AC = 39.817 m b) ACT ˆ = 62.9114 grados c) MC = -91763.239 m
PC = -105377.434 m.
Ângulos azimutais (grados)
CSRˆ = 111.3083
SRC ˆ = 52.1541
CRP ˆ = 44.0212
RPC ˆ = 88.1982
CPT ˆ = 87.5481
PTC ˆ = 63.3798
CTA ˆ = 28.700

22
34. Um topógrafo encarregado de executar um levantamento nas cercanias do ponto P
(ver figura) resolveu ligar esse trabalho a dois vértices geodésicos existentes na zona,
sendo a orientação do seu referencial indicado no esquema XOY. As coordenadas dos
vértices geodésicos são:
M1 = 295.06 m M2 = 1061.17 m
P1 = 350.00 m P2 = 151.12 m
Do vértice geodésico 1 apontou para P e consegue determinar o rumo R1P = 35.600
grados.
No momento de estacionar em 2, constata que não vê o ponto P. Para resolver tal
problema, faz colocar uma bandeirola em J a 10.00 m de P e sobre uma perpendicular à
direcção P1; depois aponta para J e deduz o rumo R2J = 370.0400 grados.
Posto isto, pede-se que seja calculado:
a) As coordenadas de P.
b) As coordenadas de J.
c) O valor do ângulo PJ 2ˆ .
Solução: a) MP = 664.68 m PP = 940.66 m b) MJ = 656.71 m PJ = 946.16 m c)
< PJ 2ˆ = 0.37 grados.

23
35. Dado um quadrilátero LMNK cujas coordenadas dos vértices são:
Ponto Coordenada M Coordenada P
L 490.18 m 1042.32 m
M 530.42 m 1050.62 m
N 538.78 m 1002.36 m
K 500.00 m 1000.00 m
E sendo os pontos P e Q colocados no meio dos segmentos KL e MN respectivamente,
pede-se:
a) as coordenadas de P e Q.
b) o rumo da direcção PQ.
c) a distância PQ .
Solução: a) MP = 495.09 m PP = 1021.16 m MQ = 534.60 m PQ = 1026.49 m
b) RPQ = 91.46 grados c) PQ = 39.87 m.
36. Duas estações P e Q , situadas à superfície do terreno, com coordenadas
MP = 1250.00 m PP = 1200.00 m
MQ = 1200.00 m PQ = 1350.00 m
foram observadas durante a instalação de fios de prumo X e Y. As leituras do quadro
seguinte foram realizadas com um teodolito numa estação A, situada à superfície do
terreno e próximo do alinhamento XY.

24
Para Leitura azimutal
P 273º 42’ 08’’
Q 93º 43’’ 54’’
X 8º 00’ 50’’
Y 7º 58’ 10’’
As distâncias AP , AX e XY valem respectivamente 78.855 m, 8.374 m e 5.956 m.
Calcule o RXY.
Solução: RXY = 255º45’18’’.
37. Sabendo que o Ro do instrumento numa estação Z duma poligonal é de 65,0000g, e
que a estação seguinte Y, distanciada de 55 m foi visada com uma leitura azimutal de
329,2300g, calcule as coordenadas do ponto Y , sabendo que as coordenadas de Z são:
Mz=200000.00 m
Pz=300000.00 m
Solução: MY = 199995.02 m PY = 300054.77 m.

25
38. O ponto A é definido pelas coordenadas rectangulares, MA=118813.27 m,
PA=233640.10 m e CA=118.27 m. Estacionou-se em A com um taqueómetro com a
constante de multiplicação K=100, mediu-se a altura do instrumento i=1.70 m, e sobre a
estádia vertical colocada num ponto B, foram feitas as seguintes leituras:
Leitura dos fios
estadimétricos
(m)
Leitura no limbo
horizontal (H)
(grados)
Leitura no limbo
vertical (z)
(grados)
Rumo do zero do
limbo (R0)
(grados)
Ls=2.930 220.1583 89.9217 R0=20.1217
Lm=2.180
Li=1.430
Calcular as coordenadas planimétricas e altimétricas do ponto B.
Solução: MB = 118726.77 m PB = 233522.14 m CB = 141.14 m.
39. Considere a seguinte poligonal.
Foi estacionado um teodolito taqueométrico numa estação B e visados os pontos C e E
na posição directa progressiva. Considere os dados seguintes e determine:

26
MA = 177.658 m PA = 269.386 m
ME = 169.880 m PE = 179.769 m
Distância Rumo
AB = 73.502 m RBA = 343.718 grados
DE = 261.771 m RDE = 296.948 grados
Estação Ponto visado Leitura azimutal Leitura zenital
B C 302.150 grados 100 grados
E 70.089 grados ____
Leitura dos fios de B para C:
fio superior = 2.450 m
fio médio = 1.735 m
fio inferior = 1.021 m
a) As coordenadas planimétricas do ponto B.
b) O rumo BC.
c) A distância CE .
d) As coordenadas planimétricas do ponto D, através do ponto C.
Solução: a) MB = 234.499 m PB = 222.785 m b) RBC = 94.671 grados
c) CE = 214.190 m d) MD = 431.350 m PD = 192.314 m.

27
40. Atendendo ao seguinte registo de observações:
Estação Pontos visados Leituras azimutais
Moinho Pico 47.904g
X 373.648g
Pico X 254.317
Moinho 207.873
sabendo que:
Coordenadas Moinho Pico
M (m) -12604.20 -11547.80
P (m) 24783.30 24406.60
Determine as coordenadas planimétricas do vértice X.
Solução: MX = -12068.25 m PX = 25362.17 m.
41. O eixo de um túnel recto, em projecto, tem origem num ponto A, definido no
terreno por uma estaca, e o seu ponto de saída vai ser um ponto S, situado no
alinhamento definido pelos pontos B e C do terreno, tal que 3BCBS = . São
conhecidas as coordenadas A, B e C.
Coordenadas A B C
M (m) -6480.20 -6836.80 -6524.40
P (m) 8494.30 8842.50 8366.70
Tendo-se estacionado em A, visou-se B a 0.000 grados. Determine qual a leitura
azimutal a registar no teodolito para que este vise o ponto S.
Solução: 391.7655 grados.

28
42. A costa de uma baía é limitada por dois promontórios, onde se localizam dois sinais
luminosos nos pontos S1 e S2, de coordenadas:
Pontos M (m) P (m)
S1 -10605.30 20785.40
S2 -9546.80 20408.80
Para construir um novo sinal luminoso num ponto S3 da costa da baía, que facilite a
entrada de embarcações, fizeram-se as seguintes observações:
Leituras Azimutais (grados)
Estações S1 S2 S3
S1 --- 125.231 190.572
S2 59.626 --- 384.308
S3 205.762 265.124 ---
a) Determine as coordenadas planimétricas ajustadas do ponto S3.
NOTA: Faça a compensação angular.
b) Sabendo que o ponto E, situado a uma distância de S1 igual a 1/3 da distância 21SS e
sobre a linha definida pelos pontos S1 e S2, é o ponto mais favorável para entrada das
embarcações na baía, determine 3ES .
c) Determine as coordenadas planimétricas de um ponto O (orientação), situado sobre o
alinhamento definido pelos pontos S3 e E, a uma distância de E de 5000.00 m no sentido
S3→E.
Solução: Solução: a) MS3 = -10344.54 m PS3 = 19516.73 m b) S3E = 1146.880 m
c) MO = -9851.11 m PO = 25643.76 m.

29
43. As operações de campo levaram ao seguinte quadro de registos:
Estação Ponto visado leitura azimutal ângulo zenital
A B PD 300,9999g PD 75,065g
PI 100,9888g PI 325,033g
Determine a leitura azimutal e o ângulo zenital correcto para o ponto B.
Solução : Leitura azimutal = 300.9944 grados, ângulo zenital = 75.016 grados.
44. As operações de campo levaram ao seguinte quadro de registos:
Estação Ponto visado leitura azimutal ângulo zenital
A B PD 123,5678g PD 87,056g
PI 323,5619g PI 312,939g
Determine a leitura azimutal e o ângulo zenital correcto para o ponto B.
Solução : Leitura azimutal = 123.5649 grados, ângulo zenital = 87.059 grados.
45. Considere a poligonal representada na figura, da qual se obtiveram os seguintes
elementos:
Coordenadas do
ponto A
(m)
Coordenadas do
ponto B
(m)
Distâncias
reduzidas
(m)
Ângulos
azimutais
(grados)
MA = 157611.994 MB = 157602.770 BC = 143.87 β1 = 209.1282
PA = 326291.816 PB = 326448.046 CD = 762.17 β2 =187.8634
DE = 762.43 β3 = 201.0764

30
a) Calcule o rumo RED.
b) Calcule as coordenadas do ponto D
Solução : a) RED = 198.1777 grados b) MD = 157564.925 PD = 327351.098 m.
46. Monte, Castro e Rosa são três vértices de uma triangulação independente. Foram
realizadas observações de campo que conduziram ao seguinte registo:
Estação Pontos visados Leituras
azimutais
Rosa Castro 368.725 grados
Monte 72.471 grados
Castro Rosa 223.254 grados
Monte 174.026 grados
Monte Rosa 352.950 grados
Castro 0.000 grados
Sabendo que:
Coordenadas Castro Monte
M (m) 608.47 1000.00
P (m) 1596.53 1000.00
Determine as coordenadas do ponto médio do lado Castro_Rosa.
(Nota: Faça a compensação angular).
Solução: MX = 562.46 m PX = 1360.27 m.

31
47. São dados relativamente à figura anexa,
- Coordenadas dos pontos de intersecção,
Ponto M (m) P (m)
I1 1000.000 1000.000
I2 1452.500 1164.700
I3 1880.300 997.200
- Coordenadas dos pontos de tangência,
Ponto M (m) P (m)
T1 1310.531 1113.029
T2 1593.177 1109.620
- Coordenadas dos pontos de controlo,
Ponto M (m) P (m)
A 1280.126 1200.134
B 1242.117 950.123
C 1521.463 1001.148
D 1824.987 1150.954

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a) Calcule os rumos e as distâncias de piquetagem A, B, C e D para os pontos T1
e T2.
Solução: RAT1 = 160º45’20’’
DAT1 = 92.260 m
RAT2 = 160º7’35’’
DAT1 = 325.874 m
RBT1 = 22º46’54’’
DBT1 = 176.90 m
RCT1 = 297º56’33’’
DCT1 = 238.763 m
RCT2 = 33º28’11’’
DCT2 = 130.035 m
RDT2 = 259º53’23’’
DDT2 = 235.466 m

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