1) O elevador fez quatro viagens saindo do primeiro andar e parando no quinto andar. A paragem anterior ao regresso ao primeiro andar deve ter sido o terceiro andar. 2) O triângulo equilátero ABC tem o ângulo CEB reto porque os pontos E e C dividem o lado BC em partes iguais. 3) O menor valor possível para o máximo divisor comum D entre dois números obtidos como soma de cinco números ímpares consecutivos é 1.

1. XXX OPM - 1a Eliminatoria - 9.11.2011 - Categoria B - 10o /12o anos
´ Duracao: 2 horas
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Cada questao vale 10 pontos
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Justifica convenientemente as tuas respostas e indica os principais calculos.
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Nao e permitido o uso de calculadoras.
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1. No edif´cio Imperio ha um elevador que vai fazendo paragens em diversos andares, segundo uma regra curiosa:
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o numero do andar de uma certa paragem e a soma dos numeros dos andares da paragem anterior e da
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paragem seguinte. O elevador partiu do primeiro andar e apos quatro viagens estava no quinto andar. A uma
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certa altura regressou ao primeiro andar. Qual foi a paragem anterior?
2. Sejam [ABC] um triˆ ngulo equilatero e D um ponto entre A e B . Considere-se o ponto E da reta CD , distinto
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de C , tal que AE ˆ
= AC . Determina C EB .
B
E
D
C A
3. O numero D e o maximo divisor comum de dois numeros N e M , cada um dos quais se obtem como soma de
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cinco ´mpares consecutivos. Qual e o menor valor poss´vel para D ?
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4. Um tabuleiro quadriculado tem as suas quadr´culas pintadas de branco ou de preto. Diz-se que o tabuleiro esta
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bem pintado se nao existirem duas linhas e duas colunas que se intersetem em quatro casas da mesma cor.
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Qual e o maior valor de n para o qual existe um tabuleiro n × 4 bem pintado?
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