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Escola Secundária de Pinheiro e Rosa
Trabalho de Grupo
Tema 3 “O cubo truncado”
Disciplina de Matemática A
Professora Emília Santos
Professor Luís Vilhena
Trabalho realizado por:
Ana Rita nº7
Rui nº27
10º C
Introdução
 Esta tarefa foi-nos proposta pela professora Emília Santos e pelo
Professor Luís Vilhena como trabalho de grupo no âmbito de a
desenvolver e resolver, apresentando as respectivas soluções.
 Ao longo desta apresentação iremos mostrar as várias alíneas da
nossa tarefa e a sua resolução explicando como chegámos aos
nossos resultados.
Tarefa 3: O cubo truncado
Na figura está representado um cubo de 20 cm de
aresta.
1. Seja M o ponto médio de [BF]. Desenhe e
classifique a secção produzida no cubo por um
plano que passa pelos pontos C, E e M.
Resposta: A figura produzida no cubo
pelo plano que passa nos pontos C, E e M é um
losango.
32
52500 
20EF
10FM
2. Determine o perímetro e a área da secção obtida anteriormente.
5105001004001020 2222
 xxxx
500)500(
5405104
2


A
P
xME 
20BC
10BM
xMC 
20DC
10DP
xPC 
20EG
10PG
xPE 
3. Suponhamos que o cubo é truncado de tal modo que os
vértices das faces triangulares são os pontos médios das arestas
do cubo. Estamos neste caso perante o cuboctaedro, poliedro
com seis faces quadradas e oito faces que são triângulos
equiláteros.
3.1. Se a aresta do cubo é igual a 1cm, prove que a área da
superfície do cuboctaedro é
1
cm)33( 
Zoom
1
2
1
y
222
cch 
Para determinar y podemos aplicar o Teorema
de Pitágoras.













22
2
2
1
2
1
y

4
1
4
12
y

4
22
y

2
12
y

2
1
y

2
1
y
 
 
2*2
2*1
y
 
 2
2
2
y
2
2
 y
Cálculos:
3. Suponhamos que o cubo é truncado de tal modo que os
vértices das faces triangulares são os pontos médios das arestas
do cubo. Estamos neste caso perante o cuboctaedro, poliedro
com seis faces quadradas e oito faces que são triângulos
equiláteros.
3.1. Se a aresta do cubo é igual a 1cm, prove que a área da
superfície do cuboctaedro é
Agora que já sabemos y é fácil determinar a área total do
cubo octaedro. Primeiro calculamos a área dos quadrados
constituintes do sólido e depois a dos triângulos.
Área de 1 quadrado =
Área dos 6 quadrados =
1
cm)33( 








2
2
2

4
2
2
1
3
2
6
6
2
1

Calcular a área
dos triângulos
3. Suponhamos que o cubo é truncado de tal modo que os
vértices das faces triangulares são os pontos médios das arestas
do cubo. Estamos neste caso perante o cuboctaedro, poliedro
com seis faces quadradas e oito faces que são triângulos
equiláteros.
3.1. Se a aresta do cubo é igual a 1cm, prove que a área da
superfície do cuboctaedro é
1
cm)33( 
2
2
 CABCAB
?CD
222
ADACCD 
4
2
2
2
2
 DBAD
Altura do triângulo
Dado fundamental
para calcular a área
de um triângulo.
Relembrando...
Teorema de Pitágoras:
222
cch 

















22
2
4
2
2
2
CD 
16
2
4
22
CD

8
1
2
12
CD 
8
1
8
42
CD 
8
32
CD

8
3
CD
 
 



222
23
8
3
CDCD
4
6
CD
Agora já sabemos a altura do triângulo por isso
vamos calcular a sua área aplicando a fórmula
apresentada abaixo.
2
alturabase
Atriângulo


2
2
 ABBase
4
6
 CDAltura
8
3
16
32
16
12
2
8
12
2
4
6
2
2


triânguloA
38
8
3
8 triângulosA
Existem 8 triângulos na
superfície do
cuboctaedro.
Área total da superfície do
cuboctaedro
triângulosquadradostotal AAÁrea 86 
33totalA
3.2. Determine o volume do cuboctaedro.
Se repararmos o cuboctaedro não é nada
mais nada menos que um cubo cujos
vértices foram retirados. Esses vértices
juntos 4 a 4 formam duas pirâmides
quadrangulares. Ao calcular o volume das
pirâmides e o do cubo conseguimos
determinar o volume do cuboctaedro se
subtrairmos o volume das pirâmides ao do
cubo. É o que em seguida iremos fazer.
3
AlturaA
V base
pirâmide


4
2
2
2
2








Ab
2
1
Altura
12
1
24
2
3
8
2
3
2
1
4
2
4 

pirâmidesV
6
1
12
2
2
12
1
8 pirâmidesV
Volume do cuboctaedro
113
cuboV
pirâmidescuboocuboctaedr VVV 2
6
5
6
1
6
6
6
1
1 ocuboctaedrV
O volume do
cuboctaedro é do
volume do cubo
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5
FIM !

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Cubo Truncado Matemática

  • 1. Escola Secundária de Pinheiro e Rosa Trabalho de Grupo Tema 3 “O cubo truncado” Disciplina de Matemática A Professora Emília Santos Professor Luís Vilhena Trabalho realizado por: Ana Rita nº7 Rui nº27 10º C
  • 2.
  • 3. Introdução  Esta tarefa foi-nos proposta pela professora Emília Santos e pelo Professor Luís Vilhena como trabalho de grupo no âmbito de a desenvolver e resolver, apresentando as respectivas soluções.  Ao longo desta apresentação iremos mostrar as várias alíneas da nossa tarefa e a sua resolução explicando como chegámos aos nossos resultados.
  • 4. Tarefa 3: O cubo truncado Na figura está representado um cubo de 20 cm de aresta. 1. Seja M o ponto médio de [BF]. Desenhe e classifique a secção produzida no cubo por um plano que passa pelos pontos C, E e M. Resposta: A figura produzida no cubo pelo plano que passa nos pontos C, E e M é um losango.
  • 5. 32 52500  20EF 10FM 2. Determine o perímetro e a área da secção obtida anteriormente. 5105001004001020 2222  xxxx 500)500( 5405104 2   A P xME  20BC 10BM xMC  20DC 10DP xPC  20EG 10PG xPE 
  • 6. 3. Suponhamos que o cubo é truncado de tal modo que os vértices das faces triangulares são os pontos médios das arestas do cubo. Estamos neste caso perante o cuboctaedro, poliedro com seis faces quadradas e oito faces que são triângulos equiláteros. 3.1. Se a aresta do cubo é igual a 1cm, prove que a área da superfície do cuboctaedro é 1 cm)33(  Zoom
  • 7. 1 2 1 y 222 cch  Para determinar y podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.              22 2 2 1 2 1 y  4 1 4 12 y  4 22 y  2 12 y  2 1 y  2 1 y     2*2 2*1 y    2 2 2 y 2 2  y Cálculos:
  • 8. 3. Suponhamos que o cubo é truncado de tal modo que os vértices das faces triangulares são os pontos médios das arestas do cubo. Estamos neste caso perante o cuboctaedro, poliedro com seis faces quadradas e oito faces que são triângulos equiláteros. 3.1. Se a aresta do cubo é igual a 1cm, prove que a área da superfície do cuboctaedro é Agora que já sabemos y é fácil determinar a área total do cubo octaedro. Primeiro calculamos a área dos quadrados constituintes do sólido e depois a dos triângulos. Área de 1 quadrado = Área dos 6 quadrados = 1 cm)33(          2 2 2  4 2 2 1 3 2 6 6 2 1  Calcular a área dos triângulos
  • 9. 3. Suponhamos que o cubo é truncado de tal modo que os vértices das faces triangulares são os pontos médios das arestas do cubo. Estamos neste caso perante o cuboctaedro, poliedro com seis faces quadradas e oito faces que são triângulos equiláteros. 3.1. Se a aresta do cubo é igual a 1cm, prove que a área da superfície do cuboctaedro é 1 cm)33(  2 2  CABCAB ?CD 222 ADACCD  4 2 2 2 2  DBAD Altura do triângulo Dado fundamental para calcular a área de um triângulo. Relembrando... Teorema de Pitágoras: 222 cch                   22 2 4 2 2 2 CD  16 2 4 22 CD  8 1 2 12 CD  8 1 8 42 CD  8 32 CD  8 3 CD        222 23 8 3 CDCD 4 6 CD
  • 10. Agora já sabemos a altura do triângulo por isso vamos calcular a sua área aplicando a fórmula apresentada abaixo. 2 alturabase Atriângulo   2 2  ABBase 4 6  CDAltura 8 3 16 32 16 12 2 8 12 2 4 6 2 2   triânguloA 38 8 3 8 triângulosA Existem 8 triângulos na superfície do cuboctaedro.
  • 11. Área total da superfície do cuboctaedro triângulosquadradostotal AAÁrea 86  33totalA
  • 12. 3.2. Determine o volume do cuboctaedro. Se repararmos o cuboctaedro não é nada mais nada menos que um cubo cujos vértices foram retirados. Esses vértices juntos 4 a 4 formam duas pirâmides quadrangulares. Ao calcular o volume das pirâmides e o do cubo conseguimos determinar o volume do cuboctaedro se subtrairmos o volume das pirâmides ao do cubo. É o que em seguida iremos fazer. 3 AlturaA V base pirâmide   4 2 2 2 2         Ab 2 1 Altura 12 1 24 2 3 8 2 3 2 1 4 2 4   pirâmidesV 6 1 12 2 2 12 1 8 pirâmidesV
  • 13. Volume do cuboctaedro 113 cuboV pirâmidescuboocuboctaedr VVV 2 6 5 6 1 6 6 6 1 1 ocuboctaedrV O volume do cuboctaedro é do volume do cubo 6 5
  • 14. FIM !