Análise não linear de vigas de concreto e aço

Bruno Calheiros Kikuchi
Leonor Teixeira de Oliveira
Pedro Paulo Mingote Martins
AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE VIGAS DE
CONCRETO ARMADO E VIGAS MISTAS DE AÇO E
CONCRETO POR MEIO DA ANÁLISE NÃO LINEAR DE
ELEMENTOS FINITOS
Universidade Federal de Viçosa
Curso de Graduação em Engenharia Civil
Viçosa-MG
2015

ELEMENTOS FINITOS
Trabalho Final de Curso apresentado ao
Departamento de Engenharia Civil da
Universidade Federal de Viçosa, como parte
das exigências da conclusão do curso de
graduação em Engenharia Civil.
Orientador: José Luiz Rangel Paes – 6352-5
Universidade Federal de Viçosa
Curso de Graduação em Engenharia Civil
Viçosa-MG
2015

ELEMENTOS FINITOS
Trabalho Final de Curso apresentado ao
Departamento de Engenharia Civil da
Universidade Federal de Viçosa, como parte
das exigências da conclusão do curso de
graduação em Engenharia Civil.
Orientador: José Luiz Rangel Paes – 6352-5
Aprovada em: 4 de Dezembro de 2015.
Mateus Couri Petrauski,
Membro da Banca Examinadora.
Reginaldo Carneiro da Silva,
Membro da Banca Examinadora.
José Luiz Rangel Paes,
Orientador.

RESUMO
KIKUCHI, B. C.; OLIVEIRA, L.T.; MARTINS, P.P.M. Universidade Federal de Viçosa,
dezembro de 2015. Avaliação do comportamento de vigas de concreto armado
e vigas mistas de aço e concreto por meio da análise não linear de elementos
finitos. Orientador: José Luiz Rangel Paes.
As vigas, que são elementos lineares destinados a vencer vãos e transmitir as ações
nelas atuantes para os apoios, apresentam um bom desempenho à flexão simples,
sejam de concreto armado ou mista de aço e concreto. Isso ocorre quando o
concreto trabalha à compressão e o aço, à tração, de modo que um material
complemente o outro, aproveitando ao máximo as vantagens de cada um. Contudo,
o funcionamento conjunto entre aço e concreto apresenta um comportamento
estrutural bastante complexo devido, entre vários fatores, à significativa diferença
entre as resistências à tração e à compressão do concreto; à não linearidade da
relação tensão-deformação do concreto já para níveis de tensão relativamente
baixos; à aderência imperfeita entre o aço e o concreto adjacente; à fissuração do
concreto e à transmissão de esforços através das fissuras. Dessa maneira, surge a
importância do desenvolvimento de modelos numéricos que permitam simular de
maneira realística o comportamento desses elementos quando submetido a variados
estágios de solicitação. O objetivo principal deste trabalho é a avaliação do
comportamento de vigas de concreto armado e vigas mistas de aço e concreto, por
meio de simulação numérica baseada no Método dos Elementos Finitos. Os
modelos numéricos foram desenvolvidos no programa computacional Abaqus,
utilizando-se análise não linear e o modelo de plasticidade com dano para o
concreto. Os resultados obtidos evidenciam a capacidade dos modelos
representaram o comportamento estrutural das vigas, uma vez que apresentaram
proximidade entre as cargas de colapso e um comportamento geral muito
condizente com os resultados experimentais encontrados na literatura.
Palavras-Chave: Vigas mistas de aço e concreto. Vigas de concreto armado.
Análise numérica. Análise não linear. Método dos Elementos Finitos.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 2.1 – Ensaio à flexão de viga de concreto armado - Ensaio Stuttgart
(CLÍMACO, 2008).................................................................................23
Figura 2.2 – Estádios das seções de concreto armado sob flexão pura (CLÍMACO,
2008)....................................................................................................24
Figura 2.3 – Diagrama momento-curvatura de um elemento fletido (GUARDA, 2005).
.............................................................................................................27
Figura 2.4 – Evolução da fissuração de uma viga de seção T (PINHEIRO, 2007)....28
Figura 2.5 – Efeito da fissuração em uma viga de concreto armado: (a) viga
genérica; (b) momento fletor; (c) tensão de aderência; (d) tensão de
tração no concreto; (e) tensão de tração no aço; (f) rigidez à flexão no
regime elástico (adaptado de KWAK; FILIPPOU, 1990). .....................30
Figura 2.6 – Modos de ruptura por cisalhamento na flexão em vigas de concreto
armado (PINHEIRO, 2007). .................................................................33
Figura 2.7 – Domínios de deformação das seções de concreto armado no estado-
limite último conforme ABNT NBR 6118:2014 (CLÍMACO, 2008)........34
Figura 2.8 – Esquema geral de uma viga mista destacada a partir de um sistema de
piso (ALBRECHT, 2010). .....................................................................37
Figura 2.9 – Tipos usuais de vigas mistas de aço e concreto (MALITE, 1990).........38
Figura 2.10 – Deslocamentos relativos entre laje e perfil e fluxo cisalhante
(ALBRECHT, 2010)..............................................................................39
Figura 2.11 – Conectores de cisalhamento: (a) stud; (b) perfil U laminado
(VERÍSSIMO, 2007).............................................................................40
Figura 2.12 – Relação força-deslizamento de conectores quanto à: (a) ductilidade;
(b) rigidez. (DUTRA, 2014)...................................................................41
Figura 2.13 – Conector Crestbond (VERÍSSIMO, 2007)...........................................42
Figura 2.14 – Distribuição de deformações: (a) interação completa; (b) interação
parcial (adaptado de PAES; MIRAMBELL, 2004). ...............................43
Figura 2.15 – Variação do fluxo de cisalhamento longitudinal, q, em função do vão
da viga (CALADO; SANTOS, 2010).....................................................44
Figura 2.16 – Variação do fluxo de cisalhamento longitudinal, q, em função do vão
da viga para conectores rígidos e dúcteis (CALADO; SANTOS, 2010).
.............................................................................................................45

Figura 2.17 – Fissuras ao redor dos agregados para o concreto submetido à
compressão (ALVIM, 1997)..................................................................47
Figura 2.18 – Curva tensão-deformação para concreto submetido ao estado uniaxial
de compressão: (a) axial, lateral; (b) volumétrica (CHEN, 2007). ........48
Figura 2.19 – Curva tensão-deformação – Estado uniaxial de Compressão (adaptado
de MALM, 2006)...................................................................................50
Figura 2.20 – Representação esquemática da curva de compressão do concreto
(adaptado de FIB Model Code 2010). ..................................................53
Figura 2.21 – Comparação entre as curvas tensão-deformação do CEB-FIP Model
Code 1990 e FIB Model Code 2010 para um concreto com fck = 30
MPa......................................................................................................55
Figura 2.22 – Modelo constitutivo para o concreto proposto por PAVLOVIC et al.,
2013 (adaptado de CARDOSO, 2014).................................................57
Figura 2.23 – Diagrama tensão-deformação proposto pela ABNT NBR 6118:2014. 57
Figura 2.24 – Diagrama tensão-deformação adaptado da ABNT NBR 6118:2014 pelo
Grupo de Pesquisa de Estruturas do programa de pós-graduação em
Engenharia Civil da UFV......................................................................58
Figura 2.25 – Formação de microfissuras em concreto submetido à tração uniaxial e
progressão à macrofissuras (BJÖRNSTRÖM et al., 2006 apud MALM,
2006)....................................................................................................60
Figura 2.26 – Diagrama tensão-deformação para o concreto submetido à tração
uniaxial: (a) trecho em que ct < fctm; (b) trecho pós-pico (FIB Model
Code 2010). .........................................................................................61
Figura 2.27 – Comportamento pós-pico do concreto submetido à tração (adaptado
de HORDIJK, 1991). ............................................................................63
Figura 2.28 – Curva tensão-deformação para o concreto submetido à compressão
biaxial (KUPFER et al., 1969 apud BONO 2008). ................................65
Figura 2.29 – Curva tensão-deformação para o concreto submetido à tração e
compressão (KUPFER et al., 1969 apud BONO 2008)........................66
Figura 2.30 – Curva tensão-deformação para o concreto submetido à tração biaxial
(KUPFER et al., 1969 apud BONO 2008). ...........................................66
Figura 2.31 – Envoltória de ruptura para o concreto submetido a um estado biaxial
de tensões (BJÖRNSTRÖM et al., 2006 apud MALM 2006). ..............67

Figura 2.32 – Corpo de prova submetido ao ensaio uniaxial de tração (adaptado de
HIBBELER 2010) .................................................................................69
Figura 2.33 – Diagrama tensão-deformação para aços que apresentam patamar de
escoamento (FERNANDES, 2000). .....................................................70
Figura 2.34 - Diagrama tensão-deformação para aços que não apresentam patamar
de escoamento (CLÍMACO, 2008). ......................................................70
Figura 2.35 – Diagrama tensão-deformação material dúctil e frágil (adaptado de
DIAS, 1997)..........................................................................................72
Figura 2.36 – Diagrama tensão-deformação idealizado (FIB Model Code 2010)......73
Figura 2.37 – Curva tensão-deformação para o aço com encruamento (BYFIELD et
al., 2005). .............................................................................................75
Figura 2.38 – O Método de Newton-Raphson (LOURENÇO, 1999). ........................77
Figura 2.39 – Variação do módulo de elasticidade no ensaio de tensão-deformação
(SARTURI, 2014). ................................................................................79
Figura 2.40 - Deformações permanentes na análise plástica e de dano: (a) material
íntegro; (b) material danificado (SARTURI, 2014)................................80
Figura 2.41 – Resposta do concreto para tensão uniaxial (a) de tração (b) de
compressão (HIBBIT et al., 2009). .......................................................83
Figura 2.42 – Influência do parâmetro K sobre a forma da superfície de falha
(AGUIAR, 2015). ..................................................................................85
Figura 2.43 – Variação do ângulo de dilatância em vigas de concreto armado
(MALM, 2006). .....................................................................................86
Figura 3.1 – Elementos finitos utilizados no modelo numérico: (a) elemento C3D8;
(b) elemento B33 (adaptado de HIBBITT et al., 2009) .........................90
Figura 3.2 – Modelo numérico tridimensional da viga de seção T.............................91
Figura 3.3 – Definição dos eixos locais para elementos tipo beam...........................91
Figura 3.4 – Simetria utilizadas no modelo. ..............................................................93
Figura 3.5 – Representação da interface aço-concreto por meio da interação
embedded, da viga mista. ....................................................................94
Figura 3.6 – Interação entre a viga metálica e a laje de concreto por meio da
restrição do tipo tie...............................................................................95

Figura 3.7 – Curva força-deslizamento para a viga mista de aço e concreto utilizando
conectores do tipo Crestbond na interface dos materiais (ALVES,
2014)....................................................................................................95
Figura 3.8 – Representação da interface da chapa de aço com a laje de concreto por
meio da restrição do tipo tie. ................................................................96
Figura 3.9 - Aplicação de deslocamento no modelo..................................................97
Figura 4.1 - Características geométricas do Modelo I. ..............................................99
Figura 4.2 - Condições de apoio e aplicação de carga do Modelo I........................100
Figura 4.3 – Modelo de elementos finitos com malha, relativo ao caso I. ...............101
Figura 4.4 - Diagrama carga-flecha para o estudo de convergência de malha. ......103
Figura 4.5 – Diagrama carga-flecha para os resultados do Modelo I......................105
Figura 4.6 - Tensões no modelo G2 para P igual a 13,0 kN. ..................................106
Figura 4.7 - Tensões de compressão no modelo G2 para P igual a 13,0 kN. .........106
Figura 4.8 – Tensões no concreto no modelo G2 para P igual a 13,0 kN. ..............107
Figura 4.9 – Esquema representativo do processo de fissuração do modelo G2. ..107
Figura 4.10 - Características geométricas do Modelo II. .........................................110
Figura 4.11 - Condições de apoio e aplicação de carga do Modelo II.....................110
Figura 4.12 – Modelo de elementos finitos, relativo ao caso II................................112
Figura 4.13 - Curvas tensão-deformação dos ensaios de tração dos corpos de prova
da armadura, CP1, CP2 e CP3, realizados por Alves (2014).............113
Figura 4.14 - Curvas tensão-deformação dos ensaios de tração dos corpos de prova
do perfil metálico, CP1, CP2, CP3 e CP4, realizados por Alves (2014).
...........................................................................................................113
Figura 4.15 - Diagrama carga-flecha para os resultados do Modelo II....................116
Figura 4.16 - Tensões no modelo VM3 para P igual a 131 kN................................117
Figura 4.17 - Tensões no modelo VM2 para P igual a 254 kN................................117
Figura 4.18 – Evolução das tensões no concreto e no aço do modelo VM3 para P
variando de 25% a 100% de Pmáx = 130 kN.....................................118

Figura 4.19 – Evolução das deformações no concreto e no aço do modelo VM3 para
P variando de 25% a 100% de Pmáx = 130 kN. ................................118
Figura 4.20 – Evolução das tensões no concreto e no aço do modelo VM2 para P
variando de 25% a 100% de Pmáx = 254 kN.....................................119
Figura 4.21 - Evolução das deformações no concreto e no aço do modelo VM2 para
P variando de 25% a 100% de Pmáx = 254 kN. ................................120
Figura 4.22 – Comparação de tensão entre os modelos VM2 e VM3, para
P = 120 kN. ........................................................................................120
Figura 4.23 – Comparação de deformação entre os modelos VM2 e VM3, para
P = 120 kN. ........................................................................................121
Figura A.1 – Esquema representativo da seção transversal da viga do Modelo I...129
Figura A.2 – Esquema representativo da seção longitudinal da viga do Modelo I. .129
Figura A.3 – Viga de seção T com a linha neutra dentro da mesa (y < hf)
(PINHEIRO, 2007)..............................................................................131
Figura B.1 - Relações dimensionais para o conector Crestbond (Veríssimo, 2007) e
respetivos valores considerados. ...................................................... 135
Figura B.2 - Distribuição de tensões em vigas mistas de alma cheia com a linha
neutra plástica na laje (ABNT NBR 8800:2008). ................................138
Figura B.3 - Esquema de carregamento da viga mista em estudo, medidas em
metros. ...............................................................................................140
Figura AP.1 – Diagrama carga-flecha dos modelos para estudo de convergência de
malha. ................................................................................................141

LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Módulos de elasticidade Eci, Ec1, número plástico K, deformações Ɛci, e
Ɛc,lim (FIB Model Code 2010) ................................................................51
Tabela 2.2 – Efeito do tipo de agregado no módulo de elasticidade do concreto, Eci
(adaptado de ABNT NBR 6118:2014 e FIB Model Code 2010) ...........52
Tabela 2.3 – Módulos de elasticidade Eci, Ec1, número plástico K, deformações εci e
εc,lim. (CEB- FIP Model Code 1990)......................................................55
Tabela 2.4 – Parâmetro base da energia de fraturas (CEB-FIP Model Code 1990) .64
Tabela 2.5 – Relação entre as resistências do concreto submetido à compressão
biaxial e à compressão uniaxial ...........................................................68
Tabela 2.6 – Valores mínimos de resistência à tração exigidos para aço destinado a
armadura para concreto armado (ABNT NBR 7480:2007)...................74
Tabela 2.7 – Classes de Ductilidade (FIB Model Code 2010)...................................74
Tabela 4.1 – Parâmetros fornecidos pelo ensaio realizado por Souza (1989) apud
Paes (1994)........................................................................................100
Tabela 4.2 – Valores considerados nos parâmetros de definição das leis
constitutivas no Abaqus .....................................................................101
Tabela 4.3 – Modelos Constitutivos adotados.........................................................102
Tabela 4.4 – Dimensões máximos dos elementos no estudo de convergência de
malha .................................................................................................102
Tabela 4.5 – Energias de fraturas adotadas em cada modelo ................................104
Tabela 4.6 - Parâmetros fornecidos pelo ensaio realizado por Alves (2014) ..........111
Tabela 4.7 – Valores considerados nos parâmetros de definição das leis
constitutivas no Abaqus .....................................................................114
Tabela 4.8 – Modelos constitutivos adotados para os modelos VM1......................114

LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS
Letras minúsculas
dc dano à compressão uniaxial
dt dano à tração uniaxial
fc resistência à compressão do concreto tomada em corpo de prova cilíndrico
fck resistência característica à compressão do concreto
fcm resistência média à compressão do concreto
fctm resistência média à tração do concreto
fu resistência à ruptura do aço
fy resistência ao escoamento do aço
k número plástico
q(x) fluxo cisalhante
u carga
x altura da linha neutra
w abertura de fissuras
Letras maiúsculas
Ec módulo de elasticidade reduzido do concreto
Eci módulo de elasticidade tangente do concreto
Ec1 módulo de elasticidade secante do concreto

Eo módulo de elasticidade inicial do concreto
Es módulo de elasticidade do aço
Esh módulo de endurecimento do aço
F Força
GF energia de fratura
M momento fletor
P Força ou carga aplicada
Rcc Força resultante das tensões de compressão no concreto
Rst Força resultante das tensões de tração no aço
V força cortante
Letras gregas
αE parâmetro em função da natureza do agregado
εcc deformação específica de concreto comprimido
εc,lim deformação limite do concreto
εct deformação de tração do concreto
εcu Deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura
εc1 deformação correspondente à máxima tensão de compressão do concreto
εc2 deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar
plástico do concreto
εst deformação específica aço tracionado

εu deformação específica do aço na ruptura
μ parâmetro de excentricidade e viscosidade
ν coeficiente de Poisson
σt Tensão normal de tração
σc Tensão normal de compressão
σco Tensão de compressão no concreto no limite do regime elástico
σct Tensão normal de tração do concreto
ψ ângulo de dilatância
Ψ resíduos do problema não linear
Abreviaturas
ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas
CEB Comité européen du béton
FIB Fédération internationale du béton
FIP Fédération Internationale de la Précontrainte
LN linha neutra
MEF Método dos Elementos Finitos
NBR Norma Brasileira

SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO............................................................................................................. 16
1.1 GENERALIDADES................................................................................................... 16
1.2 OBJETIVOS............................................................................................................. 18
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO................................................................................. 19
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA................................................................................... 21
2.1 VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES ................ 21
2.1.1 Generalidades .................................................................................................. 21
2.1.2 Comportamento de vigas de concreto armado ................................................. 22
2.1.3 O efeito Tension Stiffening no concreto armado ............................................... 29
2.1.4 Modos de ruptura de uma viga de concreto armado......................................... 32
2.2 VIGAS MISTAS DE AÇO E CONCRETO................................................................. 36
2.2.1 Generalidades .................................................................................................. 36
2.2.2 Conectores de cisalhamento ............................................................................ 38
2.2.3 Comportamento das vigas mistas..................................................................... 42
2.2.4 Modos de ruptura de vigas mistas .................................................................... 43
2.3 COMPORTAMENTO DO CONCRETO .................................................................... 47
2.3.1 Comportamento do concreto submetido a um estado uniaxial de tensões........ 48
2.3.2 Comportamento do concreto submetido a um estado biaxial de tensões.......... 65

2.4 COMPORTAMENTO DO AÇO................................................................................. 68
2.4.1 Aço para armadura de concreto armado........................................................... 72
2.4.2 Aço para estrutura metálica.............................................................................. 74
2.5 ANÁLISE NÃO LINEAR ........................................................................................... 76
2.5.1 Generalidades .................................................................................................. 76
2.5.2 Mecânica do dano ............................................................................................ 78
2.5.3 Modelo de Plasticidade com Dano (Concrete Damaged Plasticity)................... 80
2.6 MODELAGEM NUMÉRICA...................................................................................... 87
2.6.1 Generalidades .................................................................................................. 87
2.6.2 Método dos Elementos Finitos.......................................................................... 87
3 O MODELO NUMÉRICO ............................................................................................. 89
3.1 GEOMETRIA DO MODELO..................................................................................... 89
3.2 MODELOS CONSTITUTIVOS.................................................................................. 91
3.3 CONDIÇÕES DE CONTORNO................................................................................ 92
3.4 INTERFACE AÇO-CONCRETO............................................................................... 93
3.5 CONDIÇÕES DE APOIO E CARREGAMENTO....................................................... 96
4 ESTUDO DE CASOS .................................................................................................. 98
4.1 MODELO I – VIGA DE CONCRETO ARMADO........................................................ 99
4.1.1 Descrição do Modelo Experimental .................................................................. 99
4.1.2 Descrição do Modelo Numérico...................................................................... 100
4.1.3 Estudo de convergência de malha.................................................................. 102

4.1.4 Resultados ..................................................................................................... 104
4.1.5 Discussão dos resultados............................................................................... 107
4.2 MODELO II – VIGA MISTA DE AÇO E CONCRETO ............................................. 109
4.2.1 Descrição do Modelo Experimental ................................................................ 109
4.2.2 Descrição do Modelo Numérico...................................................................... 111
4.2.3 Estudo de convergência de malha.................................................................. 115
4.2.4 Resultados ..................................................................................................... 115
4.2.5 Discussão dos resultados............................................................................... 121
5 CONCLUSÕES.......................................................................................................... 123
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................. 125
ANEXO A – CÁLCULO DA CARGA DE FISSURAÇÃO E DA CARGA ÚLTIMA
ESPERADA NA VIGA DE CONCRETO ARMADO DO MODELO I .................................. 129
ANEXO B – CÁLCULO DA CARGA ÚLTIMA ESPERADA NA VIGA MISTA DE AÇO E
CONCRETO DO MODELO II ............................................................................................ 133
APÊNDICE A – RESULTADO DO ESTUDO DE CONVERGÊNCIA DE MALHA PARA A
VIGA MISTA DE AÇO E CONCRETO............................................................................... 141

16
1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo apresenta-se uma discussão inicial sobre as estruturas de concreto
armado e estruturas mistas de aço e concreto, bem como uma abordagem inicial
sobre os materiais constituintes desses sistemas estruturais. Mostra-se, também, a
necessidade de desenvolvimento de modelos numéricos que determinem de
maneira realística o comportamento dessas estruturas quando submetidos a
variados estados de solicitações. Definem-se, ainda, os objetivos do trabalho e
apresenta-se sua estrutura com comentários sintéticos sobre o conteúdo de cada
capítulo.
1.1 GENERALIDADES
O concreto e o aço se consagraram, ao longo dos séculos XIX e XX, como os
principais materiais empregados na construção civil no mundo, integrando grande
parte das soluções de engenharia concebidas nesse período. Contudo, visando a
utilização cada vez mais racional desses materiais, várias pesquisas têm sido
desenvolvidas a fim de obter estruturas cada vez mais resistentes.
Com o objetivo de aproveitar ao máximo as vantagens do aço e do concreto, tem-se
notado uma grande demanda desses materiais combinados como um único sistema
estrutural, na qual se destacam o concreto armado e os sistemas mistos de aço e
concreto.
O aço é um material com elevada relação entre resistência e peso específico, o que
permite a concepção de elementos leves e esbeltos, porém, susceptíveis a
problemas de instabilidade. Já o concreto consegue se adaptar a qualquer tipo de
forma e apresenta uma grande facilidade de execução, mas por outro lado, gera
elementos pesados e volumosos e, por não apresentar boa resistência à tração,
precisa se aliar ao aço para resistir a este esforço.
Desta forma, a disposição conveniente de barras de aço nos elementos de concreto
aumenta a resistência à tração e, consequentemente, a capacidade de carga da

17
estrutura, dando então origem ao chamado concreto armado, sendo a existência da
aderência entre o aço e o concreto o mecanismo que permite que ambos os
materiais resistam solidariamente aos esforços a que forem submetidos.
Nesse contexto de constante otimização das estruturas, surgiu o conceito de
estrutura mista, onde se combinam perfis de aço estrutural com concreto para
constituir um único elemento estrutural de modo que um componente complemente
o desempenho do outro, resultando numa solução estrutural econômica. Para que o
perfil de aço e o concreto trabalhem em conjunto, deve haver interação entre os
mesmos. Essa interação, ou a repartição da carga entre os dois componentes, pode
ser garantida por meio de mecanismos de conexão, que têm como objetivo reduzir
ou limitar o deslizamento relativo entre ambos os materiais, transmitindo o fluxo
cisalhante gerado entre as seções de concreto e de aço, quando a viga é submetida
à flexão.
O crescente avanço das técnicas de construção e dos conhecimentos científicos
ligados à engenharia associado à demanda constante por projetos estruturais
complexos, sejam de concreto armado ou em estruturas mistas de aço e concreto,
têm exigido a utilização de métodos computacionais cada vez mais sofisticados para
a análise estrutural. Para isso é preciso conhecer melhor o comportamento dos
materiais que, tanto do concreto quanto do aço, é de grande complexidade, pois,
mesmo em serviço, apresentam não linearidade física.
Um método eficaz para a análise numérica de problemas de Engenharia é o Método
dos Elementos Finitos. Este método tem alcançado um alto grau de
desenvolvimento na simulação do comportamento das estruturas, estabelecendo
uma analogia direta entre o sistema físico real (a estrutura em análise) e o Modelo
idealizado (malha de elementos finitos).
Os modelos numéricos que utilizam esse método são compostos por um modelo
geométrico da estrutura, discretizado em nós e elementos (sólidos, de área ou
lineares), e pelo estabelecimento de condições de contorno que possibilitam a
resolução do problem. Dentre essas condições de contorno estão as restrições de

18
deslocamentos nodais (condições de apoio), a aplicação de carregamentos e a
definição das propriedades dos materiais (modelos constitutivos) e de como
interagem entre si.
Para uma análise computacional de peças em concreto armado, necessita-se obter
um modelo matemático capaz de representar adequadamente o complexo
comportamento deste material. Desta maneira, as equações constitutivas que
traduzem o comportamento dos materiais são de fundamental importância nesta
análise.
Deste modo, o estudo realizado procura analisar o comportamento de elementos
estruturais – vigas de concreto armado e vigas mistas de aço e concreto – por meio
do programa de elementos finitos Abaqus. Será utilizado o Modelo de Plasticidade
com Dano para representar o comportamento do concreto e um modelo elasto-
plástico, para o comportamento do aço, ambos fundamentados na Teoria da
Plasticidade.
1.2 OBJETIVOS
O presente trabalho tem como objetivo principal avaliar o comportamento de vigas
de concreto armado e vigas mistas de aço e concreto por meio da análise não linear
de elementos finitos.
Os objetivos específicos são:
 desenvolver modelos numéricos de elementos finitos que permitam simular o
comportamento de vigas sujeitas à flexão com o auxílio do programa
computacional Abaqus;
 desenvolver estudos de caso de vigas de concreto armado e vigas mistas de
aço e concreto com auxílio dos modelos desenvolvidos;
 avaliar formas de representar de maneira adequada a interação entre aço e
concreto;

19
 avaliar a influência do refinamento da malha de elementos finitos na
simulação numérica;
 avaliar os modelos do colapso dos elementos estruturais analisados.
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO
O presente trabalho é constituído por cinco capítulos, que explicam todo o trabalho
realizado de maneira a permitir um melhor entendimento do mesmo.
Este capítulo reúne as considerações gerais destinadas a enquadrar o leitor no tema
a abordar. Definem-se também os objetivos para o estudo realizado.
No Capítulo 2 apresentam-se alguns aspectos importantes sobre o comportamento
de vigas de concreto armado e vigas mistas de aço e concreto, quando submetidas
à flexão simples. Apresenta-se ainda o estado do conhecimento acerca do
comportamento dos materiais constituintes desses sistemas estruturais, quando
submetidos a diferentes estados de solicitação, apresentando-se alguns modelos
constitutivos para o concreto e para o aço. Por fim, faz-se uma abordagem sobre
análise numérica, dando ênfase, sobretudo, à análise não linear e ao Método de
Elementos Finitos.
O Capítulo 3 refere-se à metodologia para a realização da análise numérica
empregada neste trabalho. Apresenta-se o programa de elementos finitos Abaqus
v6.12, além dos mecanismos de modelagem empregados. Explica-se ainda os
modelos constitutivos conforme considerado pelo programa: o Concrete Damaged
Plasticity para o concreto e o modelo elasto-plástico para o aço.
O Capítulo 4 diz respeito ao estudo do modelo numérico de uma viga de concreto
armado e de uma viga mista de aço e concreto e a respectiva calibração do modelo
no programa de elementos finitos Abaqus, de modo a encontrar o modelo que
melhor simula o comportamento dessas estruturas. Nesse capítulo, o objetivo é
avaliar os parâmetros mais influentes que definem o modelo numérico das vigas em
estudo e perceber quais as estratégias de modelação que melhor se adequam ao

20
problema analisado. Os resultados numéricos são comparados com os resultados
experimentais e com os valores obtidos analiticamente com algumas expressões da
ABNT NBR 6118:2014 e da ABNT NBR 8800:2008.
Por fim, as conclusões são apresentadas no Capítulo 5.
Nos Anexos A e B apresentam-se os cálculos para determinação das cargas últimas
de vigas de concreto armado e vigas mistas de aço e concreto com base em normas
brasileiras vigentes.

21
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
As vigas de concreto armado e as vigas mistas de aço e concreto apresentam
melhor desempenho à flexão simples, quando o concreto trabalha à compressão e o
aço, à tração, de modo que um material complemente o outro, aproveitando ao
máximo as vantagens de cada um.
Essas estruturas são constituídas basicamente por concreto e aço, os quais
trabalham em conjunto, por meio de diferentes mecanismos. Enquanto no concreto
armado a aderência garante o trabalho solidário entre os materiais, nas vigas mistas,
isso é garantido pelos conectores de cisalhamento.
Contudo, o funcionamento conjunto do aço e concreto apresenta um comportamento
estrutural bastante complexo devido, entre vários fatores, à significativa diferença
entre as resistências à tração e à compressão do concreto; à não linearidade da
relação tensão-deformação do concreto já para níveis de tensão relativamente
baixos; aos fenômenos de fluência e retração do concreto; à aderência imperfeita
entre o aço e o concreto adjacentes; à fissuração do concreto e à transmissão de
esforços através das fissuras (BONO, 2008).
Nesse contexto, as seções deste capítulo têm como objetivo descrever o
comportamento dessas estruturas, bem como de seus materiais constituintes, isto é,
aço e concreto, dando ênfase na análise não linear destes. Por fim, apresentam-se
os modelos numéricos simplificados, a serem implementados no programa de
Elementos Finitos Abaqus, com base em uma ampla pesquisa bibliográfica.
2.1 VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES
2.1.1 Generalidades
O concreto armado é um dos mais importantes materiais da construção civil, sendo
constituído por concreto e barras de aço, convenientemente dispostas em seu
interior, as quais tem a função de absorver as tensões de tração atuantes na

22
estrutura, sendo as tensões de compressão resistidas, principalmente, pelo
concreto.
A associação concreto-aço aproveita as melhores características de ambos os
materiais quanto à resistência, à durabilidade e ao custo, destacando-se a boa
resistência à compressão do concreto, a elevada resistência à tração do aço, a boa
aderência entre esses materiais, a proteção do aço, contra a corrosão, fornecida
pelo concreto e os valores muito próximos dos coeficientes de dilatação térmica, o
que contribui para minimizar os efeitos de variações de temperatura nas estruturas.
Segundo Clímaco (2008), a existência do concreto armado deve-se essencialmente
à solidariedade que existe entre o aço e o concreto, denominada de aderência, que
garante o comportamento monolítico do conjunto, isto é, sem que haja existência de
deslizamento ou escorregamento relativo entre os materiais quando a peça for
solicitada.
A aderência é definida por diversos autores como sendo o mecanismo de
transferência de tensões que existe na interface entre a barra de aço da armadura e
o concreto que a envolve, tendo como origem os seguintes fatores: as ligações
físico-químicas na interface das barras com a pasta (mistura de cimento e água),
geradas durante as reações de pega do cimento; o atrito entre a barra e o concreto a
aderência mecânica devida à conformação superficial das barras (PINHEIRO, 2007).
Uma das principais contribuições da aderência para o concreto armado é garantir
uma boa capacidade de utilização da estrutura por meio da limitação da abertura de
fissuras e uma melhor distribuição dessas ao longo da peça, podendo evitar flechas
excessivas e rupturas localizadas (FERNANDES, 2000).
2.1.2 Comportamento de vigas de concreto armado
Quando uma viga de concreto armado é submetida a um ensaio à flexão, como o
apresentado na Figura 2.1, em cada estágio de carregamento podem ser medidas
ou estimadas diversas grandezas como deformações no concreto e na armadura,

23
flechas, rotações, etc. Este dispositivo de ensaio, conhecido como Ensaio de
Stuttgart, tem a vantagem de permitir a observação simultânea do comportamento
da viga sob flexão pura (trecho entre as cargas simétricas) e flexão simples (trecho
entre a carga de apoio, denominado vão de cisalhamento).
Figura 2.1 – Ensaio à flexão de viga de concreto armado - Ensaio Stuttgart (CLÍMACO, 2008).
Da observação desses ensaios, à medida que o carregamento assume valores
crescentes até atingir a ruptura, podem ser identificadas algumas fases bem
definidas no comportamento da viga, que foram denominados “Estádios” na
literatura brasileira e são descritos por Clímaco (2008) e apresentados na Figura 2.2,
na qual se admite que a seção permanece plana até a ruptura da peça, conhecida
como hipótese de Bernoulli. O concreto comprimido sofre o encurtamento específico
εcc e o aço tracionado o alongamento εst.

24
Figura 2.2 – Estádios das seções de concreto armado sob flexão pura (CLÍMACO, 2008).
 Estádio I (peça não fissurada)
Estádio Ia: Fase correspondente ao início do carregamento. As tensões normais que
surgem são de baixa magnitude e dessa forma o concreto consegue resistir às
tensões de tração. Tem-se um diagrama linear de tensões, ao longo da seção
transversal da peça, sendo válida a Lei de Hooke.

25
Na zona de tração, a tensão máxima σt é inferior à resistência à tração do concreto,
e a tensão máxima na zona de comprimida, σc, está ainda longe de atingir a
resistência à compressão do concreto, fc, ou seja, tanto o concreto quanto a
armadura trabalham, no regime elástico, nas regiões tracionada e comprimida.
Estádio Ib (aparecimento iminente de fissuras): Com o aumento nos valores de
carga, ao final do Estádio I, antes do concreto esgotar sua resistência à tração e ser
iminente o aparecimento da primeira fissura, o concreto sofre plastificação na zona
de tração, ou seja, deixa de haver resposta linear da curva tensão-deformação no
concreto tracionado. Assim, o Estádio I termina quando a seção apresenta a
primeira fissura1
.
 Estádio II (peça fissurada)
Correspondente à fase de cargas em que a seção se apresenta fissurada na região
tracionada. Admite-se que a armadura trabalha tanto na tração quanto na
compressão, enquanto o concreto trabalha apenas na região comprimida, a qual
ainda mantém um diagrama linear de tensões, permanecendo válida a lei de Hooke.
Nesta fase, não se pode considerar a contribuição do concreto tracionado.
Quando se adota a suposição que todo o concreto da região tracionada está sendo
desprezado (a resistência à tração do concreto é nula) e o esforço de tração é
resistido somente pelas armaduras, tem-se a fase que é nomeada de Estádio II
puro.
Basicamente, o Estádio II serve para a verificação da peça em serviço. Como
exemplos, citam-se o estado limite de abertura de fissuras e o estado limite de
1
No Estádio I é feito o cálculo do momento de fissuração, correspondente ao aparecimento da
primeira fissura, a qual separa o Estádio I do Estádio II. Conhecido o momento de fissuração, é
possível calcular a armadura mínima, segundo a ABNT NBR 6118:2014 de modo que esta seja capaz
de absorver, com adequada segurança, as tensões causadas por um momento fletor de mesma
magnitude (PINHEIRO, 2007).

26
deformações excessivas. Com a evolução do carregamento, as fissuras caminham
no sentido da borda comprimida, assim como a linha neutra, e a tensão na armadura
cresce, podendo atingir o escoamento ou não. O estádio II termina com o início da
plastificação do concreto comprimido.
 Estádio III (iminência de ruptura por flexão)
No Estádio III, a zona comprimida encontra-se plastificada e o concreto dessa região
está na iminência da ruptura. Admite-se que o diagrama de tensões seja da forma
parabólico-retangular, também conhecido como diagrama parábola-retângulo e
proposto pela ABNT NBR 6118:2014. No estádio III é feito o dimensionamento no
estado-limite último (ELU), situação denominada “cálculo na ruptura” ou “cálculo no
estádio III”.
Não só as deformações, mas também a rigidez depende do estágio de fissuração de
cada peça, de modo que os deslocamentos em elementos fletidos são inversamente
proporcionais aos valores da rigidez à flexão. Como exposto acima, admite-se que a
fissuração começa quando a resistência à tração do concreto é atingida, embora já
existam as microfissuras na zona de transição entre a pasta e o agregado.
Apresenta-se na Figura 2.3 o diagrama momento-curvatura típico de um elemento
de concreto armado submetido à flexão, e é apontada a evolução da fissuração
conforme o nível de solicitação.

27
Figura 2.3 – Diagrama momento-curvatura de um elemento fletido (GUARDA, 2005).
Para pequenos valores de momentos, trecho OA, a seção não apresenta fissuras,
ou seja, a tensão máxima de tração é menor que a resistência do concreto à tração.
Nesse caso, tanto o concreto da região comprimida como o da tracionada, além da
armadura, colaboram para a rigidez à flexão do elemento.
Quando a tensão máxima de tração atinge a resistência do concreto à tração (ponto
A), surge a primeira fissura na região onde o momento fletor é máximo e, à medida
que o momento solicitante aumenta de valor, surgem novas fissuras. Assim, a
contribuição do concreto na zona tracionada diminui, reduzindo também a rigidez à
flexão. Essa formação de fissuras ocorre até certo nível de solicitação (ponto B). A
partir daí, o aumento da solicitação não acarreta a formação de novas fissuras, mas
as existentes apresentam maiores aberturas e comprimentos. Isso ocorre até que as
seções transversais já possam ser consideradas totalmente fissuradas (ponto C).
A partir desse ponto, mesmo sem acréscimo significativo de momento, o elemento
continua a se deformar. A linha neutra se aproxima da face comprimida, ocorrendo
uma ruína por esmagamento do concreto (ponto D).

28
Percebe-se, então, que para um elemento fletido, que apresenta momentos fletores
variando ao longo do vão, surgem seções não fissuradas, nas regiões onde o
momento fletor é mais baixo, e seções parcialmente ou totalmente fissuradas, nas
regiões de momento fletor mais elevado.
De uma forma geral, um elemento de concreto armado apresenta valores distintos
de rigidez à flexão em cada seção, dependendo da intensidade das solicitações e da
fissuração em que se encontra. Esse comportamento pode ser observado, por
exemplo, na Figura 2.4, que indica a evolução da fissuração de uma viga de seção
T, para vários estágios de carregamento. Nas seções transversais em regiões
próximas aos apoios, onde os momentos fletores tendem a zero, não há muitas
fissuras, já na região do meio do vão, onde os valores dos momentos são mais altos,
as seções estão bastante fissuradas.
Figura 2.4 – Evolução da fissuração de uma viga de seção T (PINHEIRO, 2007).

29
Desta forma, a seção que apresenta menor rigidez é aquela localizada na posição
de uma fissura, e, obviamente, a seção de maior rigidez é aquela localizada em um
trecho sem fissuras.
Pode-se notar que entre as seções fissuradas existem trechos de concreto íntegro e
que, portanto, ainda apresentam alguma resistência à tração, colaborando, desta
maneira, para a rigidez à flexão da viga.
2.1.3 O efeito Tension Stiffening no concreto armado
O comportamento tensão-deformação do concreto armado é fortemente influenciado
pela interação entre o concreto e o aço, sendo a aderência entre esses materiais o
que torna possível a transmissão de esforços entre os mesmos.
Segundo Aurich (2001), o efeito de aderência evidencia-se a partir da fissuração do
concreto. No estado não fissurado, o carregamento produz tensões principais de
tração e compressão nos materiais. Com o aumento da carga, atinge-se a
resistência à tração do concreto. Neste momento, ocorre a ruptura local do material
e a fissura se forma. Após o início da fissuração, o concreto tracionado entre fissuras
ainda colabora na resistência do elemento, devido à transferência de tensões
causada pela aderência entre o aço e o concreto.
Segundo Sarturi (2014), a distribuição de tensões de tração entre a armadura e o
concreto entre as fissuras é determinada pelas tensões aderentes entre ambos os
materiais. Novas fissuras podem surgir entre as existentes caso a tensão de tração
exceda a resistência à tração do concreto, sendo que o padrão final de fissuração é
alcançado quando a magnitude da tensão é grande o suficiente para que não haja
mais transferência de forças por aderência do concreto para a armadura, uma vez
que com o desenvolvimento contínuo dessas fissuras o concreto perde a sua
capacidade de suportar tensões de tração e acaba transferindo essas tensões para
as armaduras.

30
Para exemplificar esse mecanismo, a Figura 2.5.a apresenta uma viga genérica de
concreto armado, submetida a determinado momento solicitante, M, variável ao
longo do comprimento da peça, conforme Figura 2.5.b.
Figura 2.5 – Efeito da fissuração em uma viga de concreto armado: (a) viga genérica; (b)
momento fletor; (c) tensão de aderência; (d) tensão de tração no concreto; (e) tensão de tração
no aço; (f) rigidez à flexão no regime elástico (adaptado de KWAK; FILIPPOU, 1990).
A Figura 2.5.c apresenta o padrão idealizado de distribuição da tensão de aderência
(entre concreto e armadura) na região fissurada. Percebe-se que no local exato da
fissura a tensão se anula, como esperado. A tensão de tração no concreto é
mostrada na Figura 2.5.d e no aço na Figura 2.5.e, sendo que no aço ela é máxima

31
no ponto onde no concreto ela é nula. Pelo fato do concreto resistir a certa tração
entre as fissuras, a rigidez da peça nessa região é sensivelmente maior que no local
exato das fissuras, como pode ser visto na Figura 2.5.f, sendo este comportamento
de enrijecimento devido à contribuição do concreto tracionado entre fissuras,
denominado de Tension Stiffening, considerado de fundamental importância para a
avaliação dos deslocamentos.
Percebe-se, portanto, que no Estádio II, ao se desprezar totalmente o concreto
tracionado (Estádio II puro), faz-se uma consideração conservadora, pois, entre
duas fissuras consecutivas, existe concreto íntegro que ainda apresenta capacidade
resistiva frente às solicitações de tração. Esse, por sua vez, contribui
consideravelmente para o aumento da rigidez da peça nessas regiões
comparativamente à sua desconsideração.
Devido à fissuração, um elemento fletido de concreto armado, mesmo que apresente
uma seção transversal constante, se comporta como uma viga com rigidez variável.
Assim, desconsiderando o concreto tracionado (Estádio II puro), subestima-se a
rigidez do elemento, o que conduz a valores de fechas maiores do que os reais, uma
vez que as curvaturas determinadas segundo a hipótese de Estádio II puro, sem
contribuição do concreto tracionado, são superiores àquelas calculadas
considerando-se a contribuição do concreto tracionado entre fissuras (efeito Tension
Stiffening) (PAES, 1994).
O efeito Tension Stiffening é um fenômeno complexo no concreto armado e está
relacionado com a distribuição de fissuras e com a resistência à tração do concreto.
Segundo Massicotte et al.(1990) apud Paes (1994) esse fenômeno pode ser definido
como um “aumento da rigidez” de um elemento de concreto armado devido à
interação entre concreto e armadura.
A fissuração afeta as características da seção e quebra a compatibilidade das
deformações entre o aço e o concreto. A seção não fissurada que se encontra entre
duas seções fissuradas vizinhas mantém a compatibilidade de deformações, para a

32
qual é considerada sua contribuição à tração sendo que esse fenômeno aumenta a
rigidez estrutural principalmente para as cargas de trabalho.
2.1.4 Modos de ruptura de uma viga de concreto armado
As vigas, em geral, são submetidas simultaneamente ao momento fletor e à força
cortante, produzindo, assim, tensões normais e tangenciais na seção, o que
caracteriza a flexão simples.
Em uma viga de concreto armado submetida à flexão simples, vários tipos de ruína
são possíveis, entre as quais: ruínas por flexão; ruptura por falha de ancoragem no
apoio; ruptura por esmagamento da biela de compressão do concreto; ruptura da
armadura transversal; ruptura do banzo comprimido devida ao cisalhamento e ruína
por flexão localizada da armadura longitudinal (PINHEIRO, 2007).
Contudo, segundo Clímaco (2008), a edição anterior da norma brasileira referente
ao projeto de estruturas de concreto armado (NB 1:1978) explicitava, como critério
básico de segurança, que "as peças fletidas serão dimensionadas pretendendo-se
que, se levadas à ruína, esta ocorra quando atingido o momento fletor de ruptura,
sem que haja antes ruptura por cisalhamento, por escorregamento da armadura ou
por deficiência da ancoragem desta". Apesar de a ABNT NBR 6118:2014 não
estabelecer esse critério com a mesma ênfase, no dimensionamento das peças
estruturais fletidas de concreto, é um princípio fundamental de segurança que a
ruptura por flexão ocorra antes de qualquer outro tipo de ruptura.
A Figura 2.6 mostra esquematicamente os diferentes modos de ruptura por
cisalhamento em vigas de concreto armado: (a) a ruptura no caso de estribos com
espaçamento excessivo é brusca e sem aviso, pois as fissuras não são "costuradas"
por nenhuma barra transversal; (b) a ruptura por esmagamento do concreto da biela
comprimida ocorre também sem aviso, em região próxima ao apoio, antes de
escoarem os estribos.

33
Figura 2.6 – Modos de ruptura por cisalhamento na flexão em vigas de concreto armado
(PINHEIRO, 2007).
Clímaco (2008) denomina domínio de deformações um intervalo convencional que
compreende todas as possíveis situações de ruptura da seção transversal plana de
um elemento linear de concreto armado, para uma determinada solicitação normal,
de modo que cada domínio de deformações é identificado como um modo de
ruptura, por sua vez associado ao tipo de solicitação, às dimensões da seção e à
taxa de disposição das armaduras de aço.
Conforme a ABNT NBR 6118:2014, um estado-limite último é caracterizado quando
a distribuição das deformações na seção transversal pertence a um dos cinco
domínios, mostrados na Figura 2.7, sendo que a ruptura à flexão simples abrange os
domínios 2, 3 e 4.

34
Figura 2.7 – Domínios de deformação das seções de concreto armado no estado-limite último
conforme ABNT NBR 6118:2014 (CLÍMACO, 2008).
Segundo Clímaco (2008), a ruptura de um elemento linear de concreto armado
submetido à flexão pura depende, basicamente, da área da armadura longitudinal de
tração, das dimensões da seção e das resistências do aço e do concreto, podendo
ocorrer num dos modos seguintes:
 Ruptura frágil à tração – Domínio 2
Ocorre, neste caso, a ruptura prematura da peça, de modo brusco e sem aviso, uma
vez que a armadura de tração é insuficiente sequer para absorver as tensões de
tração transferidas do concreto após a fissuração. O aço escoa e rapidamente
ultrapassa o alongamento máximo convencional de 10‰, podendo até mesmo
romper, ou seja, a ruína se dá por deformação plástica excessiva do aço, sem
ruptura à compressão do concreto, com este não trabalhando em sua capacidade
máxima, sendo, portanto, mal aproveitado. A ABNT NBR 6118:2014 não apresenta
uma terminologia específica para esse tipo de seção, porém, em algumas literaturas
brasileiras, a seção com esse modo de ruptura é denominada "fracamente armada",
para identificar os casos em que não se observa a armadura mínima de tração
determinada pela norma.

35
A reta d da Figura 2.7 representa um limite da ruptura por flexão no domínio 2, tendo
o aço o alongamento máximo e o concreto esmagando ao atingir o encurtamento
máximo convencionai de 3,5‰.
 Ruptura balanceada – Domínio 3
Nesta situação, há o aproveitamento pleno dos dois materiais, uma vez que a
ruptura da peça ocorre com o esmagamento do concreto à compressão e o
escoamento do aço tracionado. A ruína, neste caso, é dita dúctil, uma vez que, antes
da ruptura, existem sinais de aviso da situação de risco – fissuras e flechas
excessivas. Segundo a ABNT NBR 6118:2014, a seção que se rompe desse modo é
denominada “subarmada”2
.
A reta e da Figura 2.7 representa um limite da ruptura da peça por flexão no domínio
3, com o aço no início do seu escoamento, com o alongamento εyd, e o concreto
esmagando com o encurtamento máximo de 3,5‰.
 Ruptura frágil à compressão – Domínio 4
A ruptura da peça acontece por esmagamento do concreto à compressão sem o
escoamento do aço tracionado. Segundo a ABNT NBR 6118:2014, a seção com
esse modo de ruptura é denominada "superarmada". Sendo a armadura de tração
excessiva, estando o aço ainda na fase elástica, a peça rompe com o concreto
atingindo o encurtamento limite de 3,5‰. É uma ruptura brusca, em que a peça não
apresenta sinais prévios de aviso, por serem reduzidos os deslocamentos, a
quantidade, o comprimento e a abertura das fissuras.
A reta f da Figura 2.7 representa um limite hipotético da ruptura da peça por flexão
no domínio 4, tendo o aço alongamento zero e o concreto esmagando com o
2
O termo “subarmada” não se refere ao fato da seção apresentar armadura insuficiente, pois, neste
caso de ruptura, os dois materiais alcançam o limite de suas resistências, à compressão e à tração.

36
encurtamento de 3,5‰, não sendo permitido, segundo a ABNT NBR 6118:2014, o
dimensionamento de seções de concreto armado nesta situação.
Assim, conclui-se, que para haver aproveitamento integral da capacidade resistente
dos materiais, a ruptura da peça, ao atingir o estado-limite último, deve ocorrer com
o esmagamento do concreto à compressão e o escoamento do aço à tração, ou
seja, no limite entre os domínios 3 e 4.
2.2 VIGAS MISTAS DE AÇO E CONCRETO
2.2.1 Generalidades
Os elementos estruturais mistos de aço e concreto são uma importante alternativa
construtiva na atualidade, uma vez que os materiais utilizados são dispostos de
maneira a trabalhar com a capacidade resistente que melhor podem oferecer.
O concreto apresenta boa resistência à compressão, porém quando solicitado a
esforços de tração, sua resistência é muito reduzida. Por outro lado, o aço é um
material com grande resistência à tração, mas apresenta problemas de instabilidade
para elementos esbeltos. Nos elementos estruturais mistos de aço e concreto,
procura-se fazer com que o concreto trabalhe à compressão, e o aço, à tração.
Nessa situação ambos os materiais apresentam seu melhor desempenho
(VERÍSSIMO, 2007).
Uma viga mista é formada pela laje, que pode ser plana de concreto armado ou
mista com forma de aço incorporada, ligada por meio de conectores de cisalhamento
a um perfil de aço. Nesse caso, a laje de concreto se apoia na mesa superior do
perfil de aço, proporcionando uma mesa que colabora com a resistência aos
esforços atuantes. Os conectores são responsáveis por garantir o trabalho solidário

37
entre aço e concreto. Na Figura 2.8, apresenta-se um esquema de uma viga mista
destacada a partir de um sistema de piso3
.
Figura 2.8 – Esquema geral de uma viga mista destacada a partir de um sistema de piso
(ALBRECHT, 2010).
Em edifícios, o perfil mais utilizado como viga de aço é do tipo I. As lajes de concreto
podem ser moldadas in loco, com face inferior plana ou com forma de aço
incorporada, ou ainda, podem ser formadas de elementos pré-fabricados. Alguns
dos tipos mais usuais de seções de vigas mistas são indicados na Figura 2.9.
3
Um sistema de piso de um edifício de múltiplos andares em estrutura metálica é normalmente
formado por vigas principais e vigas secundárias. As vigas secundárias recebem as ações aplicadas
sobre as lajes e as transmitem às vigas principais que, por sua vez, conduzem essas ações até os
pilares.

38
Figura 2.9 – Tipos usuais de vigas mistas de aço e concreto (MALITE, 1990).
Inúmeras são as vantagens da utilização de vigas mistas na construção de edifícios,
as quais se destacam: redução do peso global da estrutura e consequente alívio nas
fundações, diminuição da altura dos perfis, possibilidade de vencer maiores vãos,
redução de flechas e diminuição de custos. A utilização de aço garante uma maior
ductilidade ao comportamento da viga e o concreto, quando associado com o aço,
confere maior resistência ao fogo e à corrosão. É garantida também uma maior
rapidez de construção quando se está perante o uso de lajes mistas com chapas
metálicas trapezoidais conformadas a frio, visto que, neste caso, é dispensada a
utilização de escoramento (ALVES, 2014).
2.2.2 Conectores de cisalhamento
O comportamento conjunto dos elementos de aço e concreto de uma viga mista
deve ser garantido de modo que esta seja capaz de resistir a esforços de flexão.

39
Para isso, deve-se assegurar a interação entre a viga metálica e a laje de concreto,
garantindo que ambas trabalhem solidariamente entre si.
Esta interação é garantida por elementos mecânicos denominados conectores de
cisalhamento. Estes elementos estruturais cumprem a função de transmitir o fluxo de
cisalhamento longitudinal gerado na interface aço-concreto, bem como a de impedir
o afastamento vertical e o deslizamento horizontal relativos entre viga e laje, os
quais acontecem pelo fato de cada material possuir um comportamento específico.
Desta forma, os conectores de cisalhamento são instalados no perfil de aço,
usualmente por solda, antes da concretagem, assegurando, assim, que os dois
materiais que constituem a seção mista trabalhem como se fossem praticamente
uma peça única (VERÍSSIMO, 2007).
Sem conectores não existe ligação mecânica entre a laje de concreto e a viga
metálica. Ao serem carregados, a laje e o perfil metálico sofrem flexão
independentemente, ocorrendo um deslizamento horizontal relativo na superfície de
contato entre os dois, fenômeno conhecido como slip, e, eventualmente, um
descolamento da laje, chamado de uplift, conforme apresentado na Figura 2.10
(ALBRECHT, 2010).
Figura 2.10 – Deslocamentos relativos entre laje e perfil e fluxo cisalhante (ALBRECHT, 2010).

40
Vários tipos de conectores foram desenvolvidos e testados com o intuito de garantir
maior capacidade de transmissão das forças longitudinais que se desenvolvem na
ligação entre o aço e o concreto quando a estrutura está sujeita à flexão. No Brasil,
tem sido comum a utilização de dois tipos de conectores de cisalhamento em
sistemas de piso de edifícios: o stud bolt, um conector tipo pino com cabeça,
desenvolvido nos EUA na década de 40 e o conector em perfil U laminado ou
formado a frio, como mostrados na Figura 2.11.
Figura 2.11 – Conectores de cisalhamento: (a) stud; (b) perfil U laminado (VERÍSSIMO, 2007).
Os conectores de cisalhamento podem ser classificados quanto à rigidez em rígidos
ou flexíveis. Essa classificação é feita conforme a resposta do conector à força de
cisalhamento longitudinal que ocorre entre o aço e laje de concreto, como
apresentado na Figura 2.12, a qual ilustra os conceitos de ductilidade e rigidez.
Os conectores rígidos se deformam pouco devido à ação de cargas e proporcionam
uma conexão praticamente sem deslizamento relativo entre o aço e o concreto, por
esta razão, apresentam um bom desempenho à fadiga. O colapso de conexões com
esse tipo de conector é, usualmente, associado a uma ruptura frágil, devido ao
esmagamento ou cisalhamento do concreto, o que é indesejável do ponto de visto
dos conceitos de segurança estrutural.
Os conectores flexíveis, pelo contrário, quando carregados apresentam deformações
significativas, acarretando considerável deslizamento relativo entre o aço e o

41
concreto e apresentam ruptura dúctil. A respeito do modo de falha, um conector
flexível não é propriamente ideal em algumas situações porque se deforma sob
carga e, portanto, é propenso a fadiga, permitindo maior deformação na região da
conexão (o stud, por exemplo, é um conector flexível que se deforma para cargas de
serviço e apresenta baixo desempenho à fadiga).
Figura 2.12 – Relação força-deslizamento de conectores quanto à: (a) ductilidade; (b) rigidez.
(DUTRA, 2014).
Para Veríssimo (2007), um conector de cisalhamento ideal é aquele cujo
comportamento é caracterizado por deslizamento nulo (ou quase nulo) para cargas
de serviço e ductilidade em estado-limite último. Portanto, as características de um
conector rígido são desejáveis em condições de serviço e as características de um
conector flexível são desejáveis em estado-limite último.
Contudo, Alves (2014), afirma que, na prática, os conectores nunca são totalmente
indeformáveis, existindo sempre algum deslizamento entre o perfil de aço e a laje de
concreto, que são influenciados pela rigidez e pela deformada.
Neste intuito, vários conectores têm sido desenvolvidos de modo a tornar a ligação
aço-concreto o mais rígida possível. Veríssimo (2007) desenvolveu o conector
Crestbond na busca de uma alternativa para conexão mista que possuísse algumas
vantagens em relação a outros mecanismos de conexão usuais, tais como
ductilidade, simplicidade de instalação, furos abertos para facilitar a disposição da

42
armadura da laje e baixo custo de fabricação. O Crestbond, como mostrado na
Figura 2.13, é formado por uma chapa plana de aço com saliências e reentrâncias
trapezoidais que proporcionam o travamento do concreto ao conector, garantindo
resistência ao cisalhamento longitudinal e ao uplift.
Figura 2.13 – Conector Crestbond (VERÍSSIMO, 2007).
2.2.3 Comportamento das vigas mistas
A análise de vigas mistas de aço e concreto pode ser realizada assumindo-se a
hipótese de Bernoulli. Para isso é necessário admitir que existe uma ligação entre o
aço e o concreto, fazendo com que não haja deslizamento relativo entre a laje e o
perfil de aço, verificando, assim, a existência de uma única linha neutra, conforme a
Figura 2.14.a. Diz-se, nesse caso, que há interação perfeita ou completa.
Segundo Alves (2014), uma interação é considerada completa devida ao
comportamento infinitamente rígido do conector, o qual impede o deslizamento entre
o perfil de aço e a seção de concreto.
Quando ocorre um deslizamento relativo ao nível da ligação aço-concreto, há uma
descontinuidade no diagrama de deformações, caracterizando a interação parcial.
Em consequência disso, a seção transversal da viga apresenta duas linhas neutras,
como visto na Figura 2.14.b. O efeito do deslizamento afeta a distribuição de

43
tensões na seção, a distribuição do fluxo cisalhante longitudinal na conexão e,
consequentemente, o deslocamento máximo da viga. Como resultado, uma viga
mista com interação parcial apresenta deslocamento máximo maior do que uma viga
mista com interação completa.
Figura 2.14 – Distribuição de deformações: (a) interação completa; (b) interação parcial
(adaptado de PAES; MIRAMBELL, 2004).
Em resumo, Malite (1990) define por interação completa a situação em que o
colapso da viga mista ocorre pelo escoamento da viga de aço ou pela ruptura do
concreto da laje. Enquanto, a interação será parcial caso a resistência nominal dos
conectores seja inferior à da viga de aço e à da laje de concreto.
2.2.4 Modos de ruptura de vigas mistas
A ductilidade dos conectores permite que eles se deformem mantendo sua
resistência e que os acréscimos de esforços sejam transferidos aos conectores
menos solicitados. Desta forma, com o aumento de carregamento, as tensões
normais inicialmente em regime elástico atingem o escoamento no aço e/ou a

44
resistência do concreto. E desenvolve-se a plastificação da seção mista desde que
não ocorra, previamente, a flambagem local ou lateral. Assim sendo, a resistência de
uma viga mista é determinada pela plastificação de um dos seus componentes, a
saber: concreto sob compressão, aço sob tração (ou tração e compressão) e
conector sob cisalhamento horizontal (PFEIL; PFEIL, 2009).
Portanto, em razão do exposto, os dois principais modos de colapso de vigas mistas
correspondem à resistência à flexão das seções mistas de aço e concreto e à
resistência ao cisalhamento da conexão (MALITE, 1990).
O primeiro pode ser analisado admitindo-se uma viga simplesmente apoiada, com
uma carga aplicada uniformemente distribuída, em que os conectores não se
deformam e que a viga tem, inicialmente, um comportamento elástico linear. Para
esta situação, o fluxo de cisalhamento longitudinal entre o perfil de aço e a laje de
concreto terá o andamento representado na Figura 2.15 (CALADO; SANTOS, 2010).
No início do carregamento, o fluxo cisalhante, q(x), transferido pelos conectores
(proporcional ao esforço cortante na viga, Nc) tem distribuição linear. Os conectores
extremos são os mais solicitados, mas o esforço é pequeno e os conectores
apresentam pouca deformação, de modo a ser desprezível.
Figura 2.15 – Variação do fluxo de cisalhamento longitudinal, q, em função do vão da viga
(CALADO; SANTOS, 2010).

45
Com o aumento do carregamento e, consequentemente, do fluxo cisalhante
horizontal, a deformação dos conectores se traduz em um deslizamento da interface
aço-concreto e como consequência, reduz-se a eficiência da seção mista à flexão.
Atinge-se, assim, o momento plástico da seção, ocorrendo então a formação de uma
rótula plástica a meio vão da viga e simultaneamente a plastificação da seção de
aço ou o esmagamento do concreto.
Deste modo, a distribuição de tensões deixa de ser elástica linear, como foi
apresentado na Figura 2.14. Há também uma alteração na distribuição do fluxo
cisalhante e do esforço cortante, fazendo com que os conectores localizados
próximos à rótula plástica fiquem submetidos às forças mais elevadas devido à zona
mais plastificada do perfil.
Na Figura 2.16 é apresentado o andamento do fluxo de cisalhamento, bem como o
esforço cortante mobilizado para uma conexão rígida e para uma conexão dúctil
(CALADO; SANTOS, 2010).
Figura 2.16 – Variação do fluxo de cisalhamento longitudinal, q, em função do vão da viga para
conectores rígidos e dúcteis (CALADO; SANTOS, 2010).

46
Já o colapso relativo à resistência da conexão ao cisalhamento ocorre quando o
material do conector atinge a ruptura devido à redução gradual da sua resistência ou
à elevação da rigidez do concreto na zona de influência, a qual se refere à região de
concreto sujeita a elevadas tensões de compressão e que se encontra
imediatamente em frente ao conector de cisalhamento.
O primeiro caso ocorre quando o concreto é menos rígido quando comparado ao
conector; o concreto começa a fissurar antes que o conector plastifique.
Consequentemente, as tensões normais no pino do conector aumentarão mais
rapidamente que as tensões de cisalhamento, conduzindo o conector à ruptura. O
segundo caso refere-se às situações em que o conector é menos rígido que o
concreto, ocorrendo uma diminuição da zona de influência, ocasionando assim a
ruptura do concreto (OEHLERS, 1989).
Essa redução de resistência do conector de cisalhamento na zona de influência
deve-se à fissuração no concreto pela força concentrada aplicada pelo conector.
Deste modo, segundo Oehlers (1989), podem ocorrer três tipos de fissuração na
laje:
 fissuração perpendicular à direção longitudinal da viga;
 fissuração que se propaga na direção das bielas de compressão do
concreto;
 fissuração longitudinal à viga, sendo essa mais nociva ao concreto, tendo
como consequência a ruptura do conector.
Em ambos os casos, o mecanismo de falha do conector é influenciado pela
resistência e pela rigidez relativa entre o concreto e o conector, associadas ao grau
de confinamento do concreto na vizinhança do contato frontal entre a laje e o
conector. Deste modo, o ideal é que a capacidade do conector e a do concreto
sejam esgotadas mais ou menos ao mesmo tempo (VERÍSSIMO, 2007).

47
2.3 COMPORTAMENTO DO CONCRETO
A estrutura interna do concreto pode ser interpretada como sendo constituída por
uma matriz de argamassa homogênea – cimento, agregado miúdo e água – onde se
encontram incorporados os grãos do agregado graúdo.
O concreto, quando comprimido numa determinada direção, apresenta tensões de
tração perpendicularmente ao campo de compressão externo, na interface matriz-
grão. Isto se deve à maior rigidez dos grãos de agregado em relação à matriz de
argamassa. O resultado é uma microfissuração generalizada, como mostrado na
Figura 2.17, com fissuras orientadas segundo a direção do campo de compressão
atuante, com uma tendência de desintegração da estrutura interna do material.
A microfissuração do concreto promove uma perda progressiva de rigidez que
caracteriza a não linearidade do ramo ascendente do diagrama tensão-deformação
de compressão.
Figura 2.17 – Fissuras ao redor dos agregados para o concreto submetido à compressão
(ALVIM, 1997).
Contudo, o concreto apresenta comportamentos diferentes quando submetido a
estados uniaxial ou biaxial de tensões, sendo estes discutidos nas seções a seguir.

48
2.3.1 Comportamento do concreto submetido a um estado uniaxial de tensões
2.3.1.1 Estado uniaxial de compressão
O comportamento típico do concreto submetido a um estado uniaxial de tensões de
compressão é demonstrado através da curva tensão-deformação, apresentado na
Figura 2.18.a.
Figura 2.18 – Curva tensão-deformação para concreto submetido ao estado uniaxial de
compressão: (a) axial, lateral; (b) volumétrica (CHEN, 2007).
A curva tensão-deformação tem um comportamento elástico-linear até cerca de 30%
da máxima tensão de compressão do concreto, fcm. Para tensões acima desse
ponto, a curva apresenta um aumento gradual da curvatura até aproximadamente 75
a 90% de fcm, quando há uma inclinação mais acentuada, aproximando-se do ponto
de pico, fcm. Após esse pico, a curva apresenta uma parte descendente até a falha
do concreto, quando ocorre a deformação final εcu.
Segundo Chen (2007), o formato da curva tensão-deformação está relacionado com
os mecanismos internos de microfissuração, uma vez que o concreto contém um
grande número de microfissuras, especialmente na interface entre agregados
graúdos e argamassa, mesmo antes de qualquer carga ser aplicada. Essa
propriedade é decisiva para o comportamento mecânico do concreto, posto que a
propagação dessas microfissuras durante o carregamento contribui para o

49
comportamento não linear do concreto a baixos níveis de tensão e causa expansão
de volume próximo à ruptura.
Para tensões até a faixa de 30% de fcm, as fissuras existentes no concreto antes do
carregamento, devidas aos fenômenos de exudação e retração, recorrentes do
excesso de água de amassamento, permanecem quase inalteradas. Isto indica que
a energia interna disponível é menor do que a energia necessária para criar uma
nova superfície de microfissuras. Assim, o nível de tensão de aproximadamente 30%
de fcm é denominado como a faixa de início do aparecimento de fissuras localizadas
e tem sido proposto como o limite de elasticidade do concreto.
O surgimento das primeiras microfissuras, geradas pela aplicação do carregamento
externo, é verificado para tensões entre 30 e 50% de fcm. Essas microfissuras
ocorrem devido à concentração de tensões na argamassa e provocam a redução da
rigidez. Nessa faixa, a energia interna disponível é balanceada com a energia
necessária para abertura de fissuras. Além disso, a propagação das fissuras é
estável, isto é, as fissuras rapidamente atingem as dimensões finais e as tensões
aplicadas no concreto são mantidas constantes.
Para tensões entre 50 e 75% de fcm verifica-se o crescimento das microfissuras, que
chegam a romper toda a argamassa e atingir a superfície do agregado. Nessa etapa,
a energia interna disponível é maior que a energia necessária para abertura de
fissuras. Assim, a taxa de propagação das microfissuras irá aumentar tonando o
sistema instável. As tensões próximas de 75% de fcm são denominadas tensões
críticas, isto é, são as tensões que correspondem à deformação volumétrica mínima,
conforme Figura 2.18.b.
Para tensões entre 75 e 100% de fcm as microfissuras tornam-se maiores chegando
a romper a matriz de argamassa e o agregado. Essa é uma fase crítica onde o
diagrama tensão-deformação apresenta uma queda significativa da rigidez, porém
sem perda da capacidade resistente.
Por fim, após atingir o pico, fcm, a curva tensão-deformação entra no trecho
descendente. Nesse trecho, as fissuras no concreto passam a crescer rapidamente,

50
surgindo fissuras macroscópicas e o concreto começa a perder sua capacidade
resistente devido à instabilidade promovida pela fissuração contínua até a ruptura,
que ocorre na deformação última, εcu.
De forma simplificada, a curva tensão-deformação do concreto submetido à
compressão uniaxial pode ser dividida em três trechos distintos, conforme mostrado
na Figura 2.19: Trecho I – Comportamento elástico linear, Trecho II – Trecho de
Hardening (Endurecimento) e Trecho III – Trecho de Softening (Amolecimento).
Figura 2.19 – Curva tensão-deformação – Estado uniaxial de Compressão (adaptado de MALM,
2006).
O FIB Model Code 2010 admite um comportamento elástico-linear para o concreto
comprimido (trecho I) para tensões inferiores a 40% da resistência máxima de
compressão (fcm). Contudo, segundo Chen (2007), esse trecho ocorre até o concreto
atingir 30% da resistência máxima de compressão (fcm).
De acordo com o FIB Model Code 2010 a relação tensão-deformação do concreto é
descrita a partir da Eq. 2.1.

51
  










21
2
k
k
fcm
c
, para | c | < | lim,c | (2.1)
Sendo:
1cc   ;
1cci EEk  , definido como número plástico (Tabela 2.1);
Onde:
fcm é a resistência máxima à compressão;
1c é a deformação correspondente à máxima tensão de compressão (Tabela
2.1);
ciE é o módulo de elasticidade tangente à origem da curva tensão-deformação do
concreto e não inclui as deformações plásticas iniciais. (Tabela 2.1);
1cE é o módulo de elasticidade secante, com início na origem e fim no ponto de
máxima tensão de compressão (Tabela 2.1).
Tabela 2.1 – Módulos de elasticidade Eci, Ec1, número plástico K, deformações Ɛci, e Ɛc,lim (FIB
Model Code 2010)
Classe do concreto C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 C90
Eci(GPa) 30.3 33.6 36.3 38.6 40.7 42.6 44.4 46.0
Ec1(GPa) 13.3 16.5 20.0 23.2 26.2 28.9 31.4 33.8
k 2.3 2.0 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.4
εc1(‰) 2.1 2.3 2.4 2.6 2.7 2.7 2.8 2.9
εc,lim (‰) 3.5 3.5 3.5 3.4 3.3 3.2 3.1 3.0
Pode se estimar a resistência média à compressão do concreto, fcm, em função da
classe do concreto, isto é, da sua resistência característica à compressão, fck,
conforme a Eq. 2.2, estabelecida pelo FIB Model Code 2010.

52
fcm = fck + 8 MPa (2.2)
De acordo com o FIB Model Code 2010, o módulo de elasticidade, Eci, utilizado para
descrever o diagrama tensão-deformação para compressão e tração uniaxiais do
concreto de peso normal – massa específica variando entre 2000 e 2600 kg/m3
–
pode ser determinado por meio da Eq. 2.3 e é definido como o módulo de
elasticidade tangente à origem da curva tensão-deformação do concreto e não inclui
as deformações plásticas iniciais.
3/1
0
10
.. 





 cm
Ecci
f
EE  (2.3)
Sendo:
Ec0 = 21,5 x 103
MPa;
Onde:
αE é um parâmetro em função da natureza do agregado, cujos valores são
apresentados na Tabela 2.2.
As deformações elásticas do concreto dependem em grande parte da sua
composição, principalmente do tipo de agregado. Por exemplo, em comparação com
a utilização de agregados de quartzito, o módulo de elasticidade pode ser
aumentado em 20% ou diminuído em 30% somente mudando o tipo de agregado,
como pode ser visto na Tabela 2.2, que apresenta o parâmetro αE para os diferentes
tipos de agregados.
Tabela 2.2 – Efeito do tipo de agregado no módulo de elasticidade do concreto, Eci (adaptado
de ABNT NBR 6118:2014 e FIB Model Code 2010)
Tipo de agregado αE
Basalto e diabásio 1.2
Quartzito, granito e gnaisse 1.0
Calcário 0.9
Arenito 0.7

53
No caso de apenas uma análise linear do concreto ter sido realizada, deve-se adotar
o módulo de elasticidade reduzido, EC, obtido por meio da Eq. 2.4, que leva em
consideração as deformações plásticas iniciais, as quais provocam deformações
irreversíveis (FIB Model Code 2010).
ciic EE . (2.4)
Sendo:
0,1
88
.2,08,0 





 cm
i
f

Assim, conforme o FIB Model Code 2010, a relação tensão-deformação para o
concreto comprimido unixialmente cumpre a representação esquemática mostrada
na Figura 2.20.
Figura 2.20 – Representação esquemática da curva de compressão do concreto (adaptado de
FIB Model Code 2010).
Ainda segundo o FIB Model Code 2010, o coeficiente de Poisson, importante,
sobretudo, na influência da formação de fissuras no estado-limite último (ELU), pode
ser estimado como 2,0c .

54
Em algumas situações, principalmente quando o concreto está submetido a altas
tensões de compressão, para descrever de forma precisa o comportamento do
concreto, é necessário que a curva tensão-deformação atinja deformações c,
superiores à deformação limite, c,lim.
Uma das formas de obter o comportamento do concreto após a deformação limite,
c,lim, é utilizando a Eq. 2.5, proposta pelo CEB-FIP Model Code 1990.
1
2
2
42



















 




cm
c
f
, para | c | > | lim,c | (2.5)
Onde:
  
  2
2
12
224



k
kk



1cc  
;
1lim, cc   ;
1cci EEk 
, definido como número plástico (Tabela 2.3);
1c é a deformação correspondente a máxima tensão de compressão (Tabela
2.3);
lim,c é a deformação limite (Tabela 2.3);
1cE
é o módulo de elasticidade secante, com início na origem e fim no ponto de
máxima tensão de compressão (Tabela 2.3).

55
Tabela 2.3 – Módulos de elasticidade Eci, Ec1, número plástico K, deformações εci e εc,lim. (CEB-
FIP Model Code 1990)
Classe do concreto C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80
Eci(GPa) 30.5 33.5 36.5 38.5 41.0 42.5 44.5
Ec1(GPa) 12.5 17.5 22.0 26.5 31.0 35.5 40.0
k 2.4 1.9 1.7 1.5 1.3 1.2 1.1
εc1(‰) 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2
εc,lim (‰) 4.2 3.7 3.3 3.0 2.8 2.6 2.4
Ao recorrer a Eq. 2.5, o cálculo do trecho com deformações inferiores à deformação
limite, c,lim, deve ser feito utilizando os dados apresentados na Tabela 2.3, posto que
a utilização dos dados apresentados na Tabela 2.1 produz uma curva tensão-
deformação com um trecho descontínuo.
Além disso, verifica-se na Figura 2.21 que a curva tensão-deformação gerada com
os dados da Tabela 2.3 (CEB-FIP Model Code 1990) é bem próxima da curva
tensão-deformação obtida utilizando a Tabela 2.1 (FIB Model Code 2010).
Figura 2.21 – Comparação entre as curvas tensão-deformação do CEB-FIP Model Code 1990 e
FIB Model Code 2010 para um concreto com fck = 30 MPa.
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
0.0000 0.0020 0.0040 0.0060 0.0080 0.0100 0.0120
Tensão(MPa)
Deformação
MC 1990
MC 2010

56
Segundo Pavlovic et al. (2013), o fato do FIB Model Code 2010 definir a curva de
plasticidade do concreto apenas até c,lim não é um problema para a análise de
estruturas usuais de concreto armado, dado que as deformações para cargas finais
devidas à compressão do concreto são, em geral, menores que c,lim. Porém, para
altas deformações, considerar o comportamento à compressão somente até c,lim
pode levar a uma superestimação irreal da resistência de esmagamento do
concreto.
Assim, é proposto por Pavlovic et al. (2013) prolongar a curva de tensão-deformação
do concreto proposta pelo FIB Model Code 2010 (Eq. 2.1) para além da deformação
c,lim, por meio de um trecho senoidal, Eq. 2.6, e de um trecho linear, Eq. 2.7.
 cc 
 
  cuEccuD
E
E
cm
sen
sen
f
D













 ,
2/..
2/..1
(2.6)
         cuEccuEcuFcuEccuFCcuFcuEcc ff   ,/ (2.7)
Onde:
   cuDcuEcuDc   / é a coordenada relativa entre os pontos D-E apresentados
na Figura 2.22.
As tensões no ponto D e E são expressas por  11 cuccucuD ff  , conforme Eq. 2.1.
e /cmcuE ff  , respectivamente.
As deformações nos pontos D, E e F são definidas como 1cucuD   , cuE = 0,03 e
cuF = 0,10, respectivamente.
Os demais parâmetros são α = 20, αD = 0,5 e αE = 1,0 e 1/ cucm ff ;

57
Figura 2.22 – Modelo constitutivo para o concreto proposto por PAVLOVIC et al., 2013
(adaptado de CARDOSO, 2014).
Ainda é proposto pela ABNT NBR 6118:2014 o emprego do diagrama tensão
deformação idealizado, mostrado na Figura 2.23, para análise do estado-limite
último.
Figura 2.23 – Diagrama tensão-deformação proposto pela ABNT NBR 6118:2014.

58
Os valores a serem adotados para a deformação específica do encurtamento do
concreto no início do patamar plástico, c2, e para a deformação específica de
encurtamento do concreto na ruptura, cu, são respectivamente 2,0‰ e 3,5‰, para
concretos de classes até C50.
Esse diagrama é amplamente utilizado para dimensionamento, mas não é
satisfatório para análise, devido ao concreto não apresentar uma fase de
amolecimento. Desse modo foi desenvolvido, no âmbito do Grupo de Pesquisa de
Estruturas do programa de pós-graduação em Engenharia Civil da Universidade
Federal de Viçosa (UFV), um diagrama com base no idealizado pela
ABNT NBR 6118:2014, como visto na Figura 2.24.
Figura 2.24 – Diagrama tensão-deformação adaptado da ABNT NBR 6118:2014 pelo Grupo de
Pesquisa de Estruturas do programa de pós-graduação em Engenharia Civil da UFV.

59
Nesse diagrama após o concreto atingir a deformação específica de encurtamento
na ruptura, a fase de amolecimento tem início. Esse comportamento permite que o
material seja melhor representado na análise não linear.
2.3.1.2 Comportamento uniaxial de tração
De acordo com Björnström et al. (2006) apud Malm (2006), a falha por tração em
materiais frágeis é causada pelo aumento e crescimento das microfissuras. Sabe-se
ainda que quanto mais energia é consumida durante a deformação mais dúctil é o
material e maior é a possibilidade deste redistribuir e equilibrar as concentrações de
tensão.
Para Chen (2007), o formato da curva tensão-deformação para o concreto
submetido à tração uniaxial é semelhante à curva tensão-deformação obtida no
ensaio de compressão uniaxial. Esse formato já era esperado, uma vez que o
comportamento do concreto submetido à tração uniaxial é governado pelos
mecanismos de microfissuração, assim como o comportamento do concreto
submetido à compressão.
Na Figura 2.25 verifica-se o comportamento típico do concreto quando submetido à
tração uniaxial.

60
Figura 2.25 – Formação de microfissuras em concreto submetido à tração uniaxial e
progressão à macrofissuras (BJÖRNSTRÖM et al., 2006 apud MALM, 2006).
A partir da Figura 2.25 verifica-se que a curva tensão-deformação para o concreto
submetido à tração uniaxial pode ser dividida em quatro trechos. O primeiro trecho,
que está entre 0 a 60% da resistência máxima de tração, fctm, corresponde ao regime
elástico, isto é, onde a formação de novas microfissuras é desprezível.
Acima de 60% de fctm observa-se o surgimento das primeiras microfissuras,
acompanhadas por uma pequena perda de rigidez. Quando o concreto atinge
aproximadamente 75% de fctm a formação de fissura tona-se instável e o concreto
começa a sofrer uma perda de rigidez mais acentuada. Esse comportamento é
verificado até o concreto atingir o valor máximo de resistência à tração.
Após atingir o valor máximo a curva de resistência à tração do concreto entra no
trecho descendente. Neste trecho verifica-se uma rápida propagação de fissuras,
acompanhadas pela diminuição da resistência.
Como consequência da rápida propagação de fissuras, torna-se difícil obter
experimentalmente a curva tensão-deformação após o concreto atingir fctm. Assim, é

61
comum encontrar na literatura curvas tensão-abertura de fissuras ou tensão-energia
de fratura para descrever o referido trecho, dado que, segundo Hordijk (1991), a
energia de fratura, GF, é representada pela área abaixo da curva tensão de tração-
abertura de fissuras.
O FIB Model Code 2010 divide a curva de tração uniaxial do concreto em duas
partes: inicial (ct < fctm) sendo expressa por uma relação entre tensão e deformação,
conforme Figura 2.26.a, e final (trecho pós-pico), por uma relação entre tensão e
abertura de fissuras, mostrada na Figura 2.26.b.
(a) (b)
Figura 2.26 – Diagrama tensão-deformação para o concreto submetido à tração uniaxial: (a)
trecho em que ct < fctm; (b) trecho pós-pico (FIB Model Code 2010).
O trecho inicial (ct < fctm) pode ser calculado utilizando as equações Eq. 2.8 e
Eq. 2.9.
ctcict E   , para ctmct f.90,0 (2.8)













ci
ctm
ct
ctmct
E
f
f
9,000015,0
00015,0
1,01

 , para ctmctctm ff  .90,0 (2.9)
Sendo:

62
  3/2
3,0 ckctm ff  , para concretos de classes até C50;
  cmctm ff .1,01ln12,2  , para concretos de classes C55 a C90.
Onde:
ciE é o módulo de elasticidade inicial em MPa;
ct é a deformação de tração;
ct é a tensão de tração em MPa;
ctmf é a resistência média à tração do concreto em MPa;
O trecho pós-pico pode ser calculado utilizando as equações Eq. 2.10 e Eq. 2.11.







1
8,00,1.
w
w
fctmct , para 1ww  (2.10)







1
05,025,0
w
w
fctmct , para cct ww 1 (2.11)
Sendo:
ctm
F
f
G
w 1 , em mm, quando cmct f.20,0
ctm
F
c
f
G
w


5
, em mm, quando 0ct
Onde:
w é a abertura de fissura em mm;
FG é a energia de fratura em N/mm,

63
Porém, segundo Malm (2006), expressões mais detalhadas podem ser adotadas
para descrever a resposta ao comportamento do concreto tracionado após o pico.
Um dos métodos mais precisos é a função exponencial obtida experimentalmente
por Hordijk (1991), conforme Eq 2.12 e representada na Figura 2.27.
   1
3
121 exp1exp1 cc
w
w
w
w
c
w
w
c
f cccctm
ct





















(2.12)
Sendo:
ctm
F
c
f
G
w
.14,5

Onde:
w é a abertura de fissuras em mm;
c1 e c2 são constantes do material, sendo assumidas, para o concreto de densidade
normal, como sendo: c1 = 3,0 e c2 = 6,93
Figura 2.27 – Comportamento pós-pico do concreto submetido à tração (adaptado de
HORDIJK, 1991).

64
A energia de fratura, GF, é definida como a energia necessária para propagar uma
fissura de tração sob uma unidade de área. Esta energia depende principalmente da
relação água-cimento, do tamanho máximo do agregado e da idade do concreto,
sendo que as condições de cura também podem ter um efeito significativo sobre
determinações experimentais do valor de GF (MALM, 2006).
A energia de fratura pode ser determinada durante o ensaio de tração uniaxial.
Porém, existem na literatura algumas expressões que permitem obter uma
aproximação desse valor.
Vos (1983), em seus ensaios numéricos e experimentais sobre a influência da taxa
de carregamento e da pressão radial em concreto armado, estimou a energia de
fratura conforme apresentada pela Eq. 2.13, a qual foi utilizada por Malm (2006) em
seu trabalho sobre a abertura de fissuras em pontes de concreto utilizando modelos
numéricos por meio de programas de Elementos Finitos.
ctmF fG .25 , em N/m, sendo ctmf em MPa (2.13)
Segundo o CEB-FIP Model Code 1990, a energia de fratura pode ser estimada pela
Eq. 2.14.
7,0
10
. 





 cm
FoF
f
GG , em N/m, sendo cmf em MPa (2.14)
Sendo GF0 um parâmetro base para a energia de fraturas e dado em função do
diâmetro máximo do agregado dmáx, conforme Tabela 2.4.
Tabela 2.4 – Parâmetro base da energia de fraturas (CEB-FIP Model Code 1990)
dmax (mm) GFo (N/m)
8 25
16 30
32 58
O FIB Model Code 2010 define a energia de fratura, para concretos de densidade
normal, como sendo expressa pela Eq. 2.15.

65
18,0
73 cmF fG  , em N/m, sendo cmf em MPa (2.15)
2.3.2 Comportamento do concreto submetido a um estado biaxial de tensões
Segundo Bono (2008), quando solicitado por diferentes combinações de
carregamentos biaxiais, o concreto apresenta um comportamento tensão-
deformação e resistência mecânica diferente das situações uniaxiais.
Para Chen (2007), a resistência do concreto em uma situação de compressão biaxial
com σ1/σ2 = 1, ilustrada na Figura 2.28, é aproximadamente 16% maior que a
resistência obtida no ensaio de compressão uniaxial. Para a relação σ1/σ2 = 0,5,
esse aumento de resistência é de aproximadamente 25%. Isso pode ser explicado
pelo fato de que para um estado de tensões biaxiais, no qual o concreto plano está
submetido a tensões de compressão, existe um ganho de resistência em uma
determinada direção, por exemplo, na direção 1, devido à imposição de uma tensão
perpendicular atuante na direção 2.
Figura 2.28 – Curva tensão-deformação para o concreto submetido à compressão biaxial
(KUPFER et al., 1969 apud BONO 2008).

66
Quando o concreto está submetido a um estado biaxial de tensões gerado por
tração e compressão (Figura 2.29) observa-se que a resistência à compressão
diminui à medida que a parcela de tração aumenta (CHEN, 2007).
Figura 2.29 – Curva tensão-deformação para o concreto submetido à tração e compressão
(KUPFER et al., 1969 apud BONO 2008).
Para o concreto submetido a um estado biaxial de tração (Figura 2.30) o valor de
resistência obtido é aproximadamente o mesmo encontrado no ensaio de tração
uniaxial.
Figura 2.30 – Curva tensão-deformação para o concreto submetido à tração biaxial (KUPFER et
al., 1969 apud BONO 2008).

67
A envoltória de ruptura para o concreto submetido a um estado biaxial de tensões é
apresentada na Figura 2.31.
Figura 2.31 – Envoltória de ruptura para o concreto submetido a um estado biaxial de tensões
(BJÖRNSTRÖM et al., 2006 apud MALM 2006).
No primeiro, segundo e quarto quadrantes a ruptura do concreto ocorrerá por
fissuração devido às tensões de tração e no terceiro quadrante por esmagamento
devido à compressão biaxial. Segundo Malm (2006), no primeiro quadrante as
fissuras serão perpendiculares ao plano formado pelas tensões principais, já no
segundo e quarto quadrantes serão perpendiculares ao plano que contém as
tensões de tração.
O FIB Model Code 2010 apresenta uma equação (Eq. 2.16) para o cálculo da
relação entre a resistência do concreto submetido à compressão biaxial (fc2,cm), com
1 = 2, e a resistência à compressão uniaxial (fcm), cujos os valores são
apresentados na Tabela 2.5.

68







1000
2,1,2 cm
cm
cmc f
f
f
(2.16)
Tabela 2.5 – Relação entre as resistências do concreto submetido à compressão biaxial e à
compressão uniaxial
fc2,m/fcm
Classe do concreto
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C60 C70 C80
1.17 1.17 1.16 1.16 1.15 1.15 1.14 1.13 1.12 1.11
2.4 COMPORTAMENTO DO AÇO
Amplamente utilizado na construção civil, o aço está presente tanto como armadura
que compõe o concreto armado quanto na estrutura base da construção metálica.
Independentemente da forma como o aço participa do sistema estrutural, esse
material contribui para melhorar o desempenho da estrutura, o que ocorre devido às
suas propriedades mecânicas. Tais propriedades determinam a sua capacidade de
resistir e transmitir esforços sem que aconteça a ruptura ou deformações
excessivas, além de definir o comportamento dos aços quando sujeitos aos esforços
mecânicos (DIAS, 1997).
Dentre as propriedades mais importantes têm-se o módulo de elasticidade, a
resistência à tração e a deformação última, as quais podem ser determinadas por
meio do ensaio de tração. Esse ensaio, que pode ser realizado para os aços, tanto
das armaduras de concreto armado quanto dos perfis a serem utilizados, é
considerado o teste mecânico que apresenta a melhor relação entre informações
obtidas e custo/complexidade de ensaio. Apesar das condições do mesmo serem
distintas daquelas nas quais o material será requisitado, os parâmetros obtidos
caracterizam e especificam o aço ensaiado.
O ensaio de tração consiste em tracionar uniaxialmente um corpo de prova na
direção de seu eixo longitudinal, até a sua ruptura. Quando uma barra é tracionada
sua seção transversal diminui, como mostrado na Figura 2.32. Dessa forma, a
tensão real para cada carregamento é obtida dividindo-se a força aplicada pela área.

69
Figura 2.32 – Corpo de prova submetido ao ensaio uniaxial de tração (adaptado de HIBBELER
2010)
Ainda é possível se obter, por meio da tração no aço, a sua deformação unitária, ,
dada pela relação entre o alongamento sofrido no ensaio e o comprimento inicial do
corpo de prova (PFEIL; PFEIL, 2009). Essa deformação é um parâmetro
adimensional e, usualmente, expresso na notação mm/m ou ‰, por ser uma melhor
forma de se referir a números de pequenas dimensões (CLÍMACO, 2008).
Ao representar os valores dos alongamentos no eixo das abscissas e os valores das
tensões de engenharia no eixo das ordenadas obtém-se o diagrama tensão-
deformação, o qual reflete o comportamento do aço sob o efeito de carregamento
elasto-plástico. Existem dois diagramas convencionais que são diferenciados pela
presença ou não do patamar de escoamento, vistos na Figura 2.33 e Figura 2.34
respectivamente.

70
Figura 2.33 – Diagrama tensão-deformação para aços que apresentam patamar de escoamento
(FERNANDES, 2000).
Figura 2.34 - Diagrama tensão-deformação para aços que não apresentam patamar de
escoamento (CLÍMACO, 2008).
Tanto para aços que apresentam patamar de escoamento quanto para os que não
apresentam é observado uma fase linear-elástica, na qual a Lei de Hooke é válida,
dessa forma, o aço tem sua deformação proporcional ao esforço aplicado. Esse
comportamento é observado até aproximadamente o valor da resistência ao
escoamento, fy, ser atingido. O módulo de elasticidade do aço, Es, é a inclinação do
trecho retilíneo desse diagrama. Após atingir a resistência ao escoamento, o aço

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