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CURTOSE
O que significa analisar um conjunto quanto à Curtose?
Significa apenas verificar o “grau de achatamento da curva”. Ou
seja, saber se a Curva de Freqüência que representa o conjunto é
mais “afilada” ou mais “achatada” em relação a uma Curva Padrão,
chamada de Curva Normal!
Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um
conjunto, as seguintes possibilidades:
Logo, como vemos acima, uma curva (um conjunto) poderá ser,
quanto à sua Curtose:
- Mesocúrtica: ou de curtose média! Será essa a nossa Curva
Normal. “Meso” lembra meio! Esta curva está no meio termo:
nem muito achatada, nem muito afilada;
- Platicúrtica: é a curva mais achatada. Seu desenho lembra o
de um prato emborcado, estão vendo? Então “prato” lembra
“plati” e “plati” lembra “platicúrtica”;
- Leptocúrtica: é a curva mais afilada!
Em aulas anteriores, vimos que existe uma relação estreita
entre o valor das Medidas de Tendência Central (Média, Moda e
Mediana) e o comportamento da Assimetria de um conjunto! Estamos
lembrados disso?
Todavia, quando se trata de Curtose, não há como extrairmos uma
conclusão sobre qual será a situação da distribuição – se
mesocúrtica, platicúrtica ou leptocúrtica – apenas conhecendo os
valores da Média, Moda e Mediana.
Outra observação relevante, e que já foi bastante explorada em
questões teóricas de provas anteriores, é que não existe uma relação
entre as situações de Assimetria e as situações de Curtose de um
Curva Leptocúrtica
Curva Mesocúrtica
Curva Platicúrtica
Página 2 de 14
mesmo conjunto. Ou seja, Assimetria e Curtose são medidas
independentes e que não se influenciam mutuamente!
Aprenderemos duas distintas maneiras de calcular o Índice de
Curtose de um conjunto!
# Índice Percentílico de Curtose:
Encontraremos este índice usando a seguinte fórmula:
( )
( )19
13
2 DD
QQ
C
−
−
=
Onde:
- Q3 é o terceiro quartil;
- Q1 é o primeiro quartil;
- D9 é o nono decil e
- D1 é o primeiro decil.
Ou seja, trabalharemos aqui com duas Medidas Separatrizes – o
Quartil e o Decil!
Conforme vimos no Ponto 22, uma das primeiras Medidas de
Dispersão que estudamos foi a chamada Amplitude Semi-Interquartílica
- k. Estamos lembrados dela? É dada por:
( )
2
13 QQ
k
−
=
Daí, uma outra forma de apresentar o Índice Percentílico de
Curtose é o seguinte:
( )19 DD
k
C
−
=
Onde:
- K é a Amplitude Semi-interquartílica;
- D1 é o primeiro Decil e
- D9 é o nono Decil.
Aí vem a pergunta: não se tornaria muito demorada a resolução
de uma questão assim, que exigisse o cálculo de Q1, Q3, D1 e D9?
Sim! De fato, não é uma questão das mais rápidas...! Mas já foi
cobrada em prova e bem recentemente. Vejamos!
Questão extraída do AFRF-2002.1:
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Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro
(X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de
uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüência abaixo.
A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a
coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem
observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes P(%)
70 – 90
90 – 110
110 – 130
130 – 150
150 – 170
170 – 190
190 - 210
5
15
40
70
85
95
100
Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de
achatamento em geral medido em relação à distribuição normal. Uma
medida de curtose é dada pelo quociente k = Q / (P90-P10), onde Q é
a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os
percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o
valor da curtose k para a distribuição de X.
a) 0,263
b) 0,250
c) 0,300
d) 0,242
e) 0,000
Sol.:
No enunciado, o elaborador tentou complicar um pouco a
compreensão da fórmula do índice percentílico de Curtose. Além
disso, usou Percentis em lugar de Decis. Todavia, sabemos
perfeitamente que Décimo Percentil (P10) é o mesmo que Primeiro
Decil (D1), e que Nonagésimo Percentil (P90) é a mesma coisa que
Nono Decil (D9).
Daí, tudo esclarecido. Usaremos, de fato, para encontrar esta
resposta, o Índice Percentílico de Curtose, exatamente da forma como
o conhecemos:
( )
( )19
13
2 DD
QQ
C
−
−
=
Aproveitaremos que todo esse trabalho de encontrar os Quartis
(Q1 e Q3) e os Decis (D1 e D9) já foram feitos para este mesmo
enunciado, e reproduziremos aqui a resolução desta questão.
Obviamente que todos perceberam que havia um trabalho
preliminar a ser realizado, que era exatamente o de chegarmos à
coluna da freqüência absoluta simples – fi.
Como já foi falado exaustivamente sobre este procedimento de
usar o Caminho das Pedras para chegar às freqüências desejadas,
Página 4 de 14
expomos a seguir o resultado destas operações e, finalmente, a
coluna da fi.
Classes Fac↓ Fi fi
70 – 90 5% 5% 10
90 – 110 15% 10% 20
110 – 130 40% 25% 50
130 – 150 70% 30% 60
150 – 170 85% 15% 30
170 – 190 95% 10% 20
190 – 210 100% 5% 10
Cálculo do Primeiro Quartil – Q1:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/4):
Xi fi
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
Daí, achamos que n=200, portanto, (n/4)=50
2º Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac↓
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
10
30
80
140
170
190
200
n=200
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/4), fazendo
a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro quartil:
Xi fi fac↓
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
10
30
80
140
170
190
200
10 é maior ou igual a 50? NÃO!
30 é maior ou igual a 50? NÃO!
80 é maior ou igual a 50? SIM!
n=200
Página 5 de 14
Como a resposta foi afirmativa na terceira fac, procuramos a
classe correspondente (110 !--- 130) e dizemos que esta será nossa
Classe do Primeiro Quartil.
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Quartil, tomando como
referência a Classe do Q1. Teremos:
20
50
3050
1101 ⋅⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
+=Q E: Q1=118,0
Cálculo do Terceiro Quartil: Q3
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (3n/4):
Xi fi
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
Daí, achamos que n=200 e, portanto, (3n/4)=150
2º Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac↓
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
10
30
80
140
170
190
200
n=200
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (3n/4),
fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao terceiro quartil:
Xi fi fac↓
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
10
30
80
140
170
190
200
10 é maior ou igual a 150? NÃO!
30 é maior ou igual a 150? NÃO!
80 é maior ou igual a 150? NÃO!
140 é maior ou igual a 150? NÃO!
170 é maior ou igual a 150? SIM!
n=200
h
fi
fac
n
lQ
ANT
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
4
inf1
Página 6 de 14
Como a resposta SIM surgiu na fac da quinta classe (150 !--- 170),
diremos que esta será nossa Classe do Terceiro Quartil.
4º Passo) Aplicaremos a fórmula do Q3, usando os dados da Classe do
Q3, que acabamos de identificar.
h
fi
fac
n
lQ
ANT
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
4
3
inf3 20
30
140150
1503 ⋅⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
+=Q
E: Q3=156,6
Cálculo do Primeiro Decil: D1
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/10):
Xi fi
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
Daí, achamos que n=200 e, portanto, (n/10)=20
2º Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac↓
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
10
30
80
140
170
190
200
n=200
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/10),
fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro decil:
Xi fi fac↓
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
10
30
80
140
170
190
200
10 é maior ou igual a 20? NÃO!
30 é maior ou igual a 20? SIM!
n=200
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Achamos, portanto, que a classe correspondente (90 !--- 110) será
nossa Classe do Primeiro Decil!
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Decil:
h
fi
fac
n
lD
ANT
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
10
inf1 20
20
1020
901 ⋅⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
+=D E: D1=100,0
Finalmente, encontraremos o Nono Decil – D9:
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (9n/10):
Xi fi
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
Daí, achamos que n=200 e, portanto, (9n/10)=180
2º Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac↓
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
10
30
80
140
170
190
200
n=200
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (9n/10),
fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao nono decil:
Xi fi fac↓
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
10
30
80
140
170
190
200
10 é maior ou igual a 180? NÃO!
30 é maior ou igual a 180? NÃO!
80 é maior ou igual a 180? NÃO!
140 é maior ou igual a 180? NÃO!
170 é maior ou igual a 180? NÃO!
190 é maior ou igual a 180? SIM!
n=200
Achamos, portanto, que a classe correspondente (170 !--- 190) será
nossa Classe do Nono Decil.
Página 8 de 14
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Nono Decil:
h
fi
fac
n
lD
ANT
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
10
9
inf9 20
20
170180
1709 ⋅⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
+=D
E: D9=180
Agora sim! Chegou o momento de reunirmos os valores
encontrados, para compormos a fórmula da Curtose! Teremos, portanto:
( )
( )19
13
2 DD
QQ
C
−
−
=
( )
( )1001802
1186,156
−
−
=C
242,0=C Resposta!
2.1. Interpretação do Resultado do Índice Percentílico de Curtose:
A questão acima foi resolvida pela mera aplicação da fórmula do
índice percentílico. Todavia, questões haverá que solicitarão não
apenas o resultado do índice, mas questionarão a situação de curtose
em que se encontra aquele conjunto. Ou seja, desejarão saber se a
distribuição será Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica.
Daí, teremos que saber interpretar o resultado do índice de
Curtose.
No caso deste Índice Percentílico, a leitura que faremos do
resultado é a seguinte:
Se C<0,263 A distribuição é LEPTOCÚRTICA;
Se C=0,263 A distribuição é MESOCÚRTICA;
Se C>0,263 A distribuição é PLATICÚRTICA.
Para a questão que resolvemos acima, por exemplo, tendo
encontrado C=0,242, concluiríamos que se tratava de uma distribuição
Leptocúrtica, caso isso estivesse sendo questionado pela questão.
3. Índice Momento de Curtose:
Será dado pela seguinte fórmula:
4
4
S
m
C =
Onde:
Página 9 de 14
- m4 é o Momento de 4a
Ordem Centrado na Média Aritmética; e
- S4
é o Desvio-Padrão do conjunto, elevado à quarta potência.
Como só aparece número “4” nesta fórmula, lembraremos dela como
sendo a fórmula do 4.
Esta nos parece tão trabalhosa quanto a primeira (a do índice
percentílico). Pois, na verdade, teríamos que encontrar isoladamente
o valor do numerador (que já é uma questão em si) e depois o valor
do denominador. As fórmulas seriam as seguintes:
O numerador (m4): Quarto Momento Centrado na Média:
( )
n
fiXPM
m
∑ −
=
.
4
4
O denominador (S4
): Quarta potência Desvio-Padrão:
( ) ( )
22
224
.
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
==
∑
n
fiXPM
SS
Como vimos acima, a quarta potência do Desvio-Padrão é a
mesmíssima coisa que o quadrado da Variância.
Então, nossa fórmula completa do índice momento de Curtose
seria a seguinte:
( )
( )
22
4
.
.
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
−
=
∑
∑
n
fiXPM
n
fiXPM
C
Questão de prova que venha a exigir o cálculo deste índice
Momento de Curtose deverá, naturalmente, fornecer uma tabela já
bastante completa, de modo que, apenas pelas colunas fornecidas na
distribuição, já tivéssemos condições chegar ao resultado.
Caso a prova nos dê na questão apenas uma tabela com a coluna
das classes e a coluna da freqüência absoluta simples, teríamos que
fazer um trabalho bastante demorado para chegarmos à resposta.
Vejamos um exemplo ilustrativo dos passos que precisaríamos
seguir.
A tabela abaixo representa os dados fornecidos pelo enunciado:
Classes fi
... ...
Página 10 de 14
Daí, como primeiro passo, teríamos que encontrar o valor da
Média do conjunto. Provavelmente, seria mais rápido determinarmos o
X se utilizarmos o método da Variável Transformada. Então,
construiríamos a coluna dos Pontos Médios – PM:
Classes fi PM
... ... ...
Em seguida, a Coluna de Transformação da Variável:
Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi
h
... ... ... ...
Daí, faríamos a coluna do (Yi.fi):
Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi
h
Yi.fi
... ... ... ... ...
E aplicaríamos a fórmula da Média da Variável Transformada:
n
fiYi
Y
∑=
.
E, com este resultado, percorreríamos o Caminho de Volta da
transformação, fazendo:
(Y x h ) e {(Y x h)+ 1ºPM} = X
Neste ponto, construiríamos a coluna (PM- X ):
Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi
h
Yi.fi PM- X
... ... ... ... ... ...
E a coluna (PM- X )2
:
Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi
h
Yi.fi PM- X (PM- X )2
... ... ... ... ... ... ...
E a coluna [(PM- X )2
.fi]:
Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi
h
Yi.fi PM- X (PM- X
)2
(PM- X )2
.fi
... ... ... ... ... ... ... ...
Página 11 de 14
E a coluna (PM- X )4
: (Desaparecerão aqui a coluna de
transformação e a coluna do (Yi.fi) apenas por uma questão de
espaço).
Xi fi PM PM- X (PM- X )2
(PM- X )2
.fi (PM- X )4
... ... ... ... ... ... ...
E, finalmente, a coluna [(PM- X )4
.fi]:
Xi fi PM PM- X (PM- X )2
(PM- X )2
.fi (PM- X )4
(PM- X )4
.fi
... ... ... ... ... ... ... ...
Daí, vamos designar nomes aos somatórios das colunas que nos
interessam, só para enxergarmos melhor como será nossa conclusão:
Xi fi PM PM- X (PM- X )2
(PM- X )2
.fi (PM- X )4
(PM- X )4
.fi
... ... ... ... ... ... ... ...
n E F
Para concluir a questão, aplicaríamos a fórmula do 4:
( )
( )
22
4
.
.
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
−
=
∑
∑
n
fiXPM
n
fiXPM
C
E encontraríamos que:
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
n
E
n
F
C Resposta da Questão!
Aprenderemos a seguir a forma de interpretar o resultado do
índice Momento de Assimetria e, na seqüência, faremos uma questão
extraída da prova do AFRF-2002.2, para termos uma noção mais precisa
de como este assunto tem sido cobrado.
3.1. Interpretação do Resultado do Índice Momento de Curtose:
Novamente aqui precisaremos conhecer como analisar o resultado
do índice de Curtose, a fim de podermos definir nossa distribuição
como Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica.
Página 12 de 14
Interpretaremos o Índice Momento de Curtose da seguinte maneira:
Se C > 3 A distribuição é LEPTOCÚRTICA;
Se C = 3 A distribuição é MESOCÚRTICA;
Se C < 3 A distribuição é PLATICÚRTICA.
É, portanto, de suma importância que tenhamos bem memorizados
estes valores de referência, a partir dos quais poderemos dizer em
qual das situações de Curtose se encontra determinado conjunto.
Passemos agora a uma questão de prova, bastante recente.
EXERCÍCIO RESOLVIDO DE CURTOSE
Questão Extraída do AFRF-2002-2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa
amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos,
produziu a tabela de freqüências seguinte:
Classes Freqüência
(fi)
29,5 – 39,5
39,5 – 49,5
49,5 – 59,5
59,5 – 69,5
69,5 – 79,5
79,5 – 89,5
89,5 – 99,5
4
8
14
20
26
18
10
Para a distribuição de freqüências do atributo X, sabe-se que:
( )∑ =− 500.24.
2
fiXXi e ( )∑ =− 500.682.14.
4
fiXXi
Nessas expressões os Xi representam os pontos médios das classes e
X a média amostral.
Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da
curtose com base nos momentos centrados e suponha que o valor de
curtose encontrado é populacional.
a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica.
b) A distribuição do atributo X é platicúrtica.
c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da
intensidade da curtose.
d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de
assimetria com base nos momentos centrados de X.
e) A distribuição de X é normal.
Página 13 de 14
Sol.: A questão foi bastante clara, ao definir que o índice de
curtose a ser empregado será o índice Momento. Daí, teremos que
relembrar a fórmula:
4
4
S
m
C =
( )
( )
22
4
.
.
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
−
=
∑
∑
n
fiXPM
n
fiXPM
C
Agora, reparemos nos dados fornecidos pelo enunciado.
Observemos que o que ele chamou de Xi é o nosso Ponto Médio, que
chamamos de PM. Daí, não resta dúvida: já nos foram fornecidos o
numerador do m4 e o numerador do S4
.
Ora, o n – número de elementos do conjunto – será obtido
somando a coluna da fi. E chegaremos ao valor de n=100. Daí,
concluímos: já dispomos de todos os elementos da fórmula. Resta-nos
transpô-los.
Assim, teremos:
( )
( )
22
4
.
.
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
−
=
∑
∑
n
fiXPM
n
fiXPM
C 2
100
500.24
100
500.682.14
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=C 44,2=C
E agora passamos à interpretação do resultado. Se utilizamos o
índice Momento de Curtose, e encontramos que C=2,44 (portanto, um
valor menor que 3) concluímos que a distribuição é platicúrtica!
Logo: Opção b Resposta da Questão!
Sobre a Curtose, é isso! A ESAF vem explorando esse assunto,
ora exigindo o cálculo por um índice (percentílico), ora por outro
(momento)! Vamos ver qual será o próximo!
Finalmente, saiu o edital! Acredito que a sensação de todos
vocês deve ser a mesma que vejo em meus alunos aqui em Fortaleza:
muita apreensão devido as mudanças do programa,e o sentimento de ter
que refazer a programação de estudos até o dia da prova, em
decorrência, sobretudo da matéria de Direito Administrativo, que
voltou a ser cobrado. O Vicente, inclusive, já havia “cantado” essa
novidade aqui no Site. Aliás, penso que no tocante a essa disciplina
há dois livros que seriam muitíssimo bem indicados. Ambos da Ed.
Impetus: o de autoria do Vicente Paulo e Marcelo Alexandrino, com
teoria e exercícios, e um editado mais recentemente, com provas
resolvidas e primorosamente comentadas pelo colega e Prof. Gustavo
Página 14 de 14
Barchet. Tenho estes dois livros, e os indico aos meus alunos
constantemente.
Outra coisa: as matérias Matemática Financeira e Estatística
reduziram-se agora para apenas dez questões (antes eram quinze)! A
lógica nos diz que serão cinco questões para cada uma.
Já ouvi alguns comentários de alunos, dizendo que estas
matérias agora “perderam a importância”.
Pensamento dos mais infelizes...! Não é querendo “puxar a
sardinha pra minha lata”, mas não existe, neste concurso, matéria
sem importância. Vá dizer isso pra qualquer pessoa que tenha ficado
de fora das vagas por uma ou por duas questões...! (Como foi o meu
caso, em 2001!). Além do que, continua havendo o chamado “ponto de
corte”. Ou seja, das dez, quatro terão que ser acertadas! E quanto
mais pontos você fizer, melhor! Aumenta a contagem geral!
A prova será, como já é de conhecimento de todos, em 29 de
novembro. São quase dois meses até lá. Tempo suficiente para se
fazer as revisões necessárias, intensificar a resolução dos
exercícios. (E ainda aprender o que resta ser aprendido!) No nosso
caso, aqui, da Estatística, meu plano é encerrar o programa, com
mais uma aula – a de Números Índices – e, na seqüência, passar a
resolver as questões dos cinco últimos concursos: 1996, 1998, 2001,
2002/a e 2002/b. É certo que muitas destas questões, muitas mesmo,
já foram resolvidas em nossas aulas, mas não tem problema,
resolvemos novamente e fixamos melhor o que foi aprendido. E, além
disso, pretendo colocar novos simulados, com questões bem próximas
da linha da ESAF.
Espero que isso seja mais que suficiente pra nos deixar aptos a
acertar as cinco questões da nossa prova!
Fico por aqui! Um grande abraço a todos e até a próxima.

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Curtose

  • 1. Página 1 de 14 CURTOSE O que significa analisar um conjunto quanto à Curtose? Significa apenas verificar o “grau de achatamento da curva”. Ou seja, saber se a Curva de Freqüência que representa o conjunto é mais “afilada” ou mais “achatada” em relação a uma Curva Padrão, chamada de Curva Normal! Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, as seguintes possibilidades: Logo, como vemos acima, uma curva (um conjunto) poderá ser, quanto à sua Curtose: - Mesocúrtica: ou de curtose média! Será essa a nossa Curva Normal. “Meso” lembra meio! Esta curva está no meio termo: nem muito achatada, nem muito afilada; - Platicúrtica: é a curva mais achatada. Seu desenho lembra o de um prato emborcado, estão vendo? Então “prato” lembra “plati” e “plati” lembra “platicúrtica”; - Leptocúrtica: é a curva mais afilada! Em aulas anteriores, vimos que existe uma relação estreita entre o valor das Medidas de Tendência Central (Média, Moda e Mediana) e o comportamento da Assimetria de um conjunto! Estamos lembrados disso? Todavia, quando se trata de Curtose, não há como extrairmos uma conclusão sobre qual será a situação da distribuição – se mesocúrtica, platicúrtica ou leptocúrtica – apenas conhecendo os valores da Média, Moda e Mediana. Outra observação relevante, e que já foi bastante explorada em questões teóricas de provas anteriores, é que não existe uma relação entre as situações de Assimetria e as situações de Curtose de um Curva Leptocúrtica Curva Mesocúrtica Curva Platicúrtica
  • 2. Página 2 de 14 mesmo conjunto. Ou seja, Assimetria e Curtose são medidas independentes e que não se influenciam mutuamente! Aprenderemos duas distintas maneiras de calcular o Índice de Curtose de um conjunto! # Índice Percentílico de Curtose: Encontraremos este índice usando a seguinte fórmula: ( ) ( )19 13 2 DD QQ C − − = Onde: - Q3 é o terceiro quartil; - Q1 é o primeiro quartil; - D9 é o nono decil e - D1 é o primeiro decil. Ou seja, trabalharemos aqui com duas Medidas Separatrizes – o Quartil e o Decil! Conforme vimos no Ponto 22, uma das primeiras Medidas de Dispersão que estudamos foi a chamada Amplitude Semi-Interquartílica - k. Estamos lembrados dela? É dada por: ( ) 2 13 QQ k − = Daí, uma outra forma de apresentar o Índice Percentílico de Curtose é o seguinte: ( )19 DD k C − = Onde: - K é a Amplitude Semi-interquartílica; - D1 é o primeiro Decil e - D9 é o nono Decil. Aí vem a pergunta: não se tornaria muito demorada a resolução de uma questão assim, que exigisse o cálculo de Q1, Q3, D1 e D9? Sim! De fato, não é uma questão das mais rápidas...! Mas já foi cobrada em prova e bem recentemente. Vejamos! Questão extraída do AFRF-2002.1:
  • 3. Página 3 de 14 Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüência abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P(%) 70 – 90 90 – 110 110 – 130 130 – 150 150 – 170 170 – 190 190 - 210 5 15 40 70 85 95 100 Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo quociente k = Q / (P90-P10), onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose k para a distribuição de X. a) 0,263 b) 0,250 c) 0,300 d) 0,242 e) 0,000 Sol.: No enunciado, o elaborador tentou complicar um pouco a compreensão da fórmula do índice percentílico de Curtose. Além disso, usou Percentis em lugar de Decis. Todavia, sabemos perfeitamente que Décimo Percentil (P10) é o mesmo que Primeiro Decil (D1), e que Nonagésimo Percentil (P90) é a mesma coisa que Nono Decil (D9). Daí, tudo esclarecido. Usaremos, de fato, para encontrar esta resposta, o Índice Percentílico de Curtose, exatamente da forma como o conhecemos: ( ) ( )19 13 2 DD QQ C − − = Aproveitaremos que todo esse trabalho de encontrar os Quartis (Q1 e Q3) e os Decis (D1 e D9) já foram feitos para este mesmo enunciado, e reproduziremos aqui a resolução desta questão. Obviamente que todos perceberam que havia um trabalho preliminar a ser realizado, que era exatamente o de chegarmos à coluna da freqüência absoluta simples – fi. Como já foi falado exaustivamente sobre este procedimento de usar o Caminho das Pedras para chegar às freqüências desejadas,
  • 4. Página 4 de 14 expomos a seguir o resultado destas operações e, finalmente, a coluna da fi. Classes Fac↓ Fi fi 70 – 90 5% 5% 10 90 – 110 15% 10% 20 110 – 130 40% 25% 50 130 – 150 70% 30% 60 150 – 170 85% 15% 30 170 – 190 95% 10% 20 190 – 210 100% 5% 10 Cálculo do Primeiro Quartil – Q1: 1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/4): Xi fi 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 20 10 n=200 Daí, achamos que n=200, portanto, (n/4)=50 2º Passo) Construímos a fac: Xi fi fac↓ 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 20 10 10 30 80 140 170 190 200 n=200 3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/4), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro quartil: Xi fi fac↓ 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 20 10 10 30 80 140 170 190 200 10 é maior ou igual a 50? NÃO! 30 é maior ou igual a 50? NÃO! 80 é maior ou igual a 50? SIM! n=200
  • 5. Página 5 de 14 Como a resposta foi afirmativa na terceira fac, procuramos a classe correspondente (110 !--- 130) e dizemos que esta será nossa Classe do Primeiro Quartil. 4º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Quartil, tomando como referência a Classe do Q1. Teremos: 20 50 3050 1101 ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − +=Q E: Q1=118,0 Cálculo do Terceiro Quartil: Q3 Sol.: 1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (3n/4): Xi fi 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 20 10 n=200 Daí, achamos que n=200 e, portanto, (3n/4)=150 2º Passo) Construímos a fac: Xi fi fac↓ 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 20 10 10 30 80 140 170 190 200 n=200 3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (3n/4), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao terceiro quartil: Xi fi fac↓ 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 20 10 10 30 80 140 170 190 200 10 é maior ou igual a 150? NÃO! 30 é maior ou igual a 150? NÃO! 80 é maior ou igual a 150? NÃO! 140 é maior ou igual a 150? NÃO! 170 é maior ou igual a 150? SIM! n=200 h fi fac n lQ ANT ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 4 inf1
  • 6. Página 6 de 14 Como a resposta SIM surgiu na fac da quinta classe (150 !--- 170), diremos que esta será nossa Classe do Terceiro Quartil. 4º Passo) Aplicaremos a fórmula do Q3, usando os dados da Classe do Q3, que acabamos de identificar. h fi fac n lQ ANT ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 4 3 inf3 20 30 140150 1503 ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − +=Q E: Q3=156,6 Cálculo do Primeiro Decil: D1 Sol.: 1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/10): Xi fi 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 20 10 n=200 Daí, achamos que n=200 e, portanto, (n/10)=20 2º Passo) Construímos a fac: Xi fi fac↓ 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 20 10 10 30 80 140 170 190 200 n=200 3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/10), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro decil: Xi fi fac↓ 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 20 10 10 30 80 140 170 190 200 10 é maior ou igual a 20? NÃO! 30 é maior ou igual a 20? SIM! n=200
  • 7. Página 7 de 14 Achamos, portanto, que a classe correspondente (90 !--- 110) será nossa Classe do Primeiro Decil! 4º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Decil: h fi fac n lD ANT ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 10 inf1 20 20 1020 901 ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − +=D E: D1=100,0 Finalmente, encontraremos o Nono Decil – D9: Sol.: 1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (9n/10): Xi fi 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 20 10 n=200 Daí, achamos que n=200 e, portanto, (9n/10)=180 2º Passo) Construímos a fac: Xi fi fac↓ 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 20 10 10 30 80 140 170 190 200 n=200 3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (9n/10), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao nono decil: Xi fi fac↓ 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 20 10 10 30 80 140 170 190 200 10 é maior ou igual a 180? NÃO! 30 é maior ou igual a 180? NÃO! 80 é maior ou igual a 180? NÃO! 140 é maior ou igual a 180? NÃO! 170 é maior ou igual a 180? NÃO! 190 é maior ou igual a 180? SIM! n=200 Achamos, portanto, que a classe correspondente (170 !--- 190) será nossa Classe do Nono Decil.
  • 8. Página 8 de 14 4º Passo) Aplicamos a fórmula do Nono Decil: h fi fac n lD ANT ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 10 9 inf9 20 20 170180 1709 ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − +=D E: D9=180 Agora sim! Chegou o momento de reunirmos os valores encontrados, para compormos a fórmula da Curtose! Teremos, portanto: ( ) ( )19 13 2 DD QQ C − − = ( ) ( )1001802 1186,156 − − =C 242,0=C Resposta! 2.1. Interpretação do Resultado do Índice Percentílico de Curtose: A questão acima foi resolvida pela mera aplicação da fórmula do índice percentílico. Todavia, questões haverá que solicitarão não apenas o resultado do índice, mas questionarão a situação de curtose em que se encontra aquele conjunto. Ou seja, desejarão saber se a distribuição será Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica. Daí, teremos que saber interpretar o resultado do índice de Curtose. No caso deste Índice Percentílico, a leitura que faremos do resultado é a seguinte: Se C<0,263 A distribuição é LEPTOCÚRTICA; Se C=0,263 A distribuição é MESOCÚRTICA; Se C>0,263 A distribuição é PLATICÚRTICA. Para a questão que resolvemos acima, por exemplo, tendo encontrado C=0,242, concluiríamos que se tratava de uma distribuição Leptocúrtica, caso isso estivesse sendo questionado pela questão. 3. Índice Momento de Curtose: Será dado pela seguinte fórmula: 4 4 S m C = Onde:
  • 9. Página 9 de 14 - m4 é o Momento de 4a Ordem Centrado na Média Aritmética; e - S4 é o Desvio-Padrão do conjunto, elevado à quarta potência. Como só aparece número “4” nesta fórmula, lembraremos dela como sendo a fórmula do 4. Esta nos parece tão trabalhosa quanto a primeira (a do índice percentílico). Pois, na verdade, teríamos que encontrar isoladamente o valor do numerador (que já é uma questão em si) e depois o valor do denominador. As fórmulas seriam as seguintes: O numerador (m4): Quarto Momento Centrado na Média: ( ) n fiXPM m ∑ − = . 4 4 O denominador (S4 ): Quarta potência Desvio-Padrão: ( ) ( ) 22 224 . ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − == ∑ n fiXPM SS Como vimos acima, a quarta potência do Desvio-Padrão é a mesmíssima coisa que o quadrado da Variância. Então, nossa fórmula completa do índice momento de Curtose seria a seguinte: ( ) ( ) 22 4 . . ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ∑ ∑ n fiXPM n fiXPM C Questão de prova que venha a exigir o cálculo deste índice Momento de Curtose deverá, naturalmente, fornecer uma tabela já bastante completa, de modo que, apenas pelas colunas fornecidas na distribuição, já tivéssemos condições chegar ao resultado. Caso a prova nos dê na questão apenas uma tabela com a coluna das classes e a coluna da freqüência absoluta simples, teríamos que fazer um trabalho bastante demorado para chegarmos à resposta. Vejamos um exemplo ilustrativo dos passos que precisaríamos seguir. A tabela abaixo representa os dados fornecidos pelo enunciado: Classes fi ... ...
  • 10. Página 10 de 14 Daí, como primeiro passo, teríamos que encontrar o valor da Média do conjunto. Provavelmente, seria mais rápido determinarmos o X se utilizarmos o método da Variável Transformada. Então, construiríamos a coluna dos Pontos Médios – PM: Classes fi PM ... ... ... Em seguida, a Coluna de Transformação da Variável: Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi h ... ... ... ... Daí, faríamos a coluna do (Yi.fi): Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi h Yi.fi ... ... ... ... ... E aplicaríamos a fórmula da Média da Variável Transformada: n fiYi Y ∑= . E, com este resultado, percorreríamos o Caminho de Volta da transformação, fazendo: (Y x h ) e {(Y x h)+ 1ºPM} = X Neste ponto, construiríamos a coluna (PM- X ): Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi h Yi.fi PM- X ... ... ... ... ... ... E a coluna (PM- X )2 : Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi h Yi.fi PM- X (PM- X )2 ... ... ... ... ... ... ... E a coluna [(PM- X )2 .fi]: Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi h Yi.fi PM- X (PM- X )2 (PM- X )2 .fi ... ... ... ... ... ... ... ...
  • 11. Página 11 de 14 E a coluna (PM- X )4 : (Desaparecerão aqui a coluna de transformação e a coluna do (Yi.fi) apenas por uma questão de espaço). Xi fi PM PM- X (PM- X )2 (PM- X )2 .fi (PM- X )4 ... ... ... ... ... ... ... E, finalmente, a coluna [(PM- X )4 .fi]: Xi fi PM PM- X (PM- X )2 (PM- X )2 .fi (PM- X )4 (PM- X )4 .fi ... ... ... ... ... ... ... ... Daí, vamos designar nomes aos somatórios das colunas que nos interessam, só para enxergarmos melhor como será nossa conclusão: Xi fi PM PM- X (PM- X )2 (PM- X )2 .fi (PM- X )4 (PM- X )4 .fi ... ... ... ... ... ... ... ... n E F Para concluir a questão, aplicaríamos a fórmula do 4: ( ) ( ) 22 4 . . ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ∑ ∑ n fiXPM n fiXPM C E encontraríamos que: 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n E n F C Resposta da Questão! Aprenderemos a seguir a forma de interpretar o resultado do índice Momento de Assimetria e, na seqüência, faremos uma questão extraída da prova do AFRF-2002.2, para termos uma noção mais precisa de como este assunto tem sido cobrado. 3.1. Interpretação do Resultado do Índice Momento de Curtose: Novamente aqui precisaremos conhecer como analisar o resultado do índice de Curtose, a fim de podermos definir nossa distribuição como Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica.
  • 12. Página 12 de 14 Interpretaremos o Índice Momento de Curtose da seguinte maneira: Se C > 3 A distribuição é LEPTOCÚRTICA; Se C = 3 A distribuição é MESOCÚRTICA; Se C < 3 A distribuição é PLATICÚRTICA. É, portanto, de suma importância que tenhamos bem memorizados estes valores de referência, a partir dos quais poderemos dizer em qual das situações de Curtose se encontra determinado conjunto. Passemos agora a uma questão de prova, bastante recente. EXERCÍCIO RESOLVIDO DE CURTOSE Questão Extraída do AFRF-2002-2: O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: Classes Freqüência (fi) 29,5 – 39,5 39,5 – 49,5 49,5 – 59,5 59,5 – 69,5 69,5 – 79,5 79,5 – 89,5 89,5 – 99,5 4 8 14 20 26 18 10 Para a distribuição de freqüências do atributo X, sabe-se que: ( )∑ =− 500.24. 2 fiXXi e ( )∑ =− 500.682.14. 4 fiXXi Nessas expressões os Xi representam os pontos médios das classes e X a média amostral. Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é populacional. a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose. d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base nos momentos centrados de X. e) A distribuição de X é normal.
  • 13. Página 13 de 14 Sol.: A questão foi bastante clara, ao definir que o índice de curtose a ser empregado será o índice Momento. Daí, teremos que relembrar a fórmula: 4 4 S m C = ( ) ( ) 22 4 . . ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ∑ ∑ n fiXPM n fiXPM C Agora, reparemos nos dados fornecidos pelo enunciado. Observemos que o que ele chamou de Xi é o nosso Ponto Médio, que chamamos de PM. Daí, não resta dúvida: já nos foram fornecidos o numerador do m4 e o numerador do S4 . Ora, o n – número de elementos do conjunto – será obtido somando a coluna da fi. E chegaremos ao valor de n=100. Daí, concluímos: já dispomos de todos os elementos da fórmula. Resta-nos transpô-los. Assim, teremos: ( ) ( ) 22 4 . . ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ∑ ∑ n fiXPM n fiXPM C 2 100 500.24 100 500.682.14 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ =C 44,2=C E agora passamos à interpretação do resultado. Se utilizamos o índice Momento de Curtose, e encontramos que C=2,44 (portanto, um valor menor que 3) concluímos que a distribuição é platicúrtica! Logo: Opção b Resposta da Questão! Sobre a Curtose, é isso! A ESAF vem explorando esse assunto, ora exigindo o cálculo por um índice (percentílico), ora por outro (momento)! Vamos ver qual será o próximo! Finalmente, saiu o edital! Acredito que a sensação de todos vocês deve ser a mesma que vejo em meus alunos aqui em Fortaleza: muita apreensão devido as mudanças do programa,e o sentimento de ter que refazer a programação de estudos até o dia da prova, em decorrência, sobretudo da matéria de Direito Administrativo, que voltou a ser cobrado. O Vicente, inclusive, já havia “cantado” essa novidade aqui no Site. Aliás, penso que no tocante a essa disciplina há dois livros que seriam muitíssimo bem indicados. Ambos da Ed. Impetus: o de autoria do Vicente Paulo e Marcelo Alexandrino, com teoria e exercícios, e um editado mais recentemente, com provas resolvidas e primorosamente comentadas pelo colega e Prof. Gustavo
  • 14. Página 14 de 14 Barchet. Tenho estes dois livros, e os indico aos meus alunos constantemente. Outra coisa: as matérias Matemática Financeira e Estatística reduziram-se agora para apenas dez questões (antes eram quinze)! A lógica nos diz que serão cinco questões para cada uma. Já ouvi alguns comentários de alunos, dizendo que estas matérias agora “perderam a importância”. Pensamento dos mais infelizes...! Não é querendo “puxar a sardinha pra minha lata”, mas não existe, neste concurso, matéria sem importância. Vá dizer isso pra qualquer pessoa que tenha ficado de fora das vagas por uma ou por duas questões...! (Como foi o meu caso, em 2001!). Além do que, continua havendo o chamado “ponto de corte”. Ou seja, das dez, quatro terão que ser acertadas! E quanto mais pontos você fizer, melhor! Aumenta a contagem geral! A prova será, como já é de conhecimento de todos, em 29 de novembro. São quase dois meses até lá. Tempo suficiente para se fazer as revisões necessárias, intensificar a resolução dos exercícios. (E ainda aprender o que resta ser aprendido!) No nosso caso, aqui, da Estatística, meu plano é encerrar o programa, com mais uma aula – a de Números Índices – e, na seqüência, passar a resolver as questões dos cinco últimos concursos: 1996, 1998, 2001, 2002/a e 2002/b. É certo que muitas destas questões, muitas mesmo, já foram resolvidas em nossas aulas, mas não tem problema, resolvemos novamente e fixamos melhor o que foi aprendido. E, além disso, pretendo colocar novos simulados, com questões bem próximas da linha da ESAF. Espero que isso seja mais que suficiente pra nos deixar aptos a acertar as cinco questões da nossa prova! Fico por aqui! Um grande abraço a todos e até a próxima.