Aulas de Teoria Cinética dos Gases - Físico-Química III v1.0

Teoria Cinética dos Gases
Físico-Química III
Universidade Federal do Pampa
1Bel. e Lic. em Química/Dr em Química Teórica
Campus Bagé
Curso de Química Licenciatura
2022/1
Prof Dr Márcio Marques Martins (Universidade Federal do Pampa)
FQIII/TCG Short Occasion 1 / 365

Conteúdo
1 Aula 1
Sobre o comportamento microscópico dos gases
2 Aula 2
Obtendo uma expressão cinética para a pressão
3 Aula 3
Relação entre Pressão e Energia Cinética
Distribuição normal de velocidades de partículas de gás
4 Aula 4
Distribuição Normal de Velocidades
5 Aula 5
Aplicações da Função de Distribuição de Velocidades de
Maxwell-Boltzmann
6 Aula 6
Teoria das Colisões
1.Percurso livre médio λ
2a.Frequência média de colisões z
2b.Frequência Total de Colisões Z
7 Aula 7

Aula 1 Sobre o comportamento microscópico dos gases
Conteúdo
1 Aula 1
2 Aula 2
3 Aula 3
4 Aula 4
5 Aula 5
Maxwell-Boltzmann
6 Aula 6
7 Aula 7

Todos os gases obedecem a lei dos gases ideais quando a
pressões suficientemente baixas.
O comportamento dos gases a baixas pressões é independente
da natureza química dos mesmos.

Gases são compostos por partículas muito pequenas e que estão
em um estado de constante movimento.
Movimento das partículas é caótico e desordenado.

Como as partículas estão sempre muito afastadas entre si, a
baixas pressões, podemos desprezar o diâmetro delas.

James Clerk Maxwell (1831-1879) estudou de maneira teórica e
experimental os gases, o eletromagnetismo, a ótica física, e
muitos outros campos da ciência. a ele devemos o
desenvolvimento do modelo cinético dos gases.

Aplicou a probabilidade e a estatística para descrever os gases,
Mostrou que as velocidades das moléculas de um gás seguem
uma distribuição chamada, agora, de Maxwell-Boltzmann.

(1) gases são compostos por partículas minúsculas de matéria
cuja massa é m.
(2) as partículas em um gás estão em constante movimento
aleatório.
(3) não há interação entre as partículas e nem entre elas e as
paredes do recipiente. (aproximação) - apenas quando colidem
elasticamente.
(4) a energia do sistema é conservada, ou seja, quando há
colisão entre as partículas ou com as paredes do vaso, há
manutenção da energia total (Ei = Ef ).

Seja uma partícula de massa m se movendo na horizontal
Figure: Representação da partícula de massa m em movimento
unidimensional na direção x.

e cuja energia cinética Ec pode ser descrita por:
Ec =
1
2
m · v2
(1)

Acontece que v é uma propriedade vetorial e, portanto, pode ser
decomposta em 3 componentes espaciais cartesianas vx , vy e vz.
E, assim, reescrevemos a equação da energia cinética 1
Ec =
1
2
m · (v2
x + v2
y + v2
z ) (2)

Um gás real contém N partículas em um volume V, o que dá N × Ec
valores de Energia Cinética.
A Energia cinética total Ectotal
é dada pela soma de todos os i valores
de Energia Cinética Ei, como na 3.
Ectotal
=
N
X
i
Eci
(3)

Se levarmos em conta apenas o movimento unidimensional do corpo
(digamos, na horizontal), existirão dois momentos distintos, um antes
da colisão (i = inicial) e um após a colisão (f = final).
Figure: Representação do movimento bidimensional da partícula antes e
após a colisão.

O corpo será descrito por um tempo inicial (ti) e uma velocidade inicial
(vi) e, igualmente, por um tempo final (tf ) e uma velocidade final (vf ).
É possível descrever a aceleração deste corpo decorrente da colisão
segundo 4
vf − vi
tf − ti
=
∆v
∆t
= a (4)

Recordando a Segunda Lei de Newton:
F = m · a (5)

Se levarmos em conta que em um sistema em equilíbrio as variações
de força são infinitesimalmente pequenas, a equação 5 pode ser
reescrita na forma diferencial 6.
F = m · a = m ·
dv
dt
(6)

Outro fator a se considerar sobre a equação 6 é o referente à terceira
Lei de Newton. Se considerarmos que a força F descrita acima é
exercida pela partícula sobre as paredes do recipiente que a contém,
a essa força F corresponde uma reação da parede sobre a partícula,
igual em intensidade e direção, mas oposta em sentido.
Assim sendo, todas as N partículas do sistema exercerão uma força
dependente do tempo que chamaremos de F = F(t).

Se quisermos calcular a força média exercida pelas partículas F,
devemos considerar todas as forças exercidas F(t) em um
determinado intervalo de tempo de observação T fazendo a média 7.
F =
P
F(t)
T
(7)

Se os intervalos de tempo entre uma colisão e outra forem
suficientemente pequenos, o somatório pode ser aproximado por uma
integral como em 8.
F =
R
F(t)
T
(8)

Essa equação 8 pode ser rearrajanda como 9.
F =
1
T
Z
F(t)dt (9)

Substituindo 6 em 9, temos 10.
F =
1
T
Z
m ·
dv

dt

dt (10)

Como a massa m da partícula é constante, ela pode ser tirada da
integral, resultando em 11.
F =
m
T
Z vf
vi
dv (11)
Integrando 11, obtemos 12.
F =
m · ∆v̄
T
(12)

Considerando que as N partículas de um gás exercem uma força F
sobre as paredes do recipiente, podemos reescrever a força média
total como 13.
Ftotal =
N · m · ∆v̄
T
(13)

Essa variação na velocidade ∆v̄ é causada pelas colisões da
partícula de massa m.

Vamos considerar apenas o movimento unidimensional na direção x.
Dessa forma, podemos decompor a variação de velocidade ∆v̄ em
suas componentes unidimensionais, estudar o caso unidimensional
que é mais simples, obter uma descrição mecanística do sistema e
depois estender os resultados para o caso tridimensional.

Sendo assim, uma partícula de massa m se movendo em x em
direção a uma parede terá sua velocidade descrita por vx .
Figure: Representação da partícula com massa m que se move com
velocidade vx ao longo do eixo x.

O movimento da particula será descrito por duas velocidades: vxi
e
vxf
. As duas velocidades serão iguais em módulo e direção, mas
opostas em sentido
vxi
= −vxf

Figure: Representação da caixa retangular no qual as partículas do gás se
movem.

Como ∆vx = vxf
− vxi
, então a expressão se torna
∆vx = vxf
− (−)vxf
∆vx = 2 · vxf

A versão em x da Força Total é dada por 14
Ftotal,x =
N · m · ∆ ¯
vx
T
(14)
Substituindo ∆vx = 2 · vxf
em 14, temos 15
Ftotal,x =
N · m · 2 · vxf
T
(15)

Que rearranjando, rende 16.
Ftotal,x =
1
T
· 2 · N · m · v̄x (16)

Agora, uma pergunta final: Qual é o valor de T a ser considerado na
equação 16?

Considerando que a partícula se move unidimensionalmente em x por
uma distância a em direção a uma parede cujas dimensões são b × c,
o tempo T a ser considerado na equação é o tempo que a partícula
leva para percorrer a distância a duas vezes (2 × a ela sai de uma
extremidade da caixa, colide contra a parede oposta e retorna ao
início).

Figure: Representação do percurso unidimensional ao longo do eixo x que a
partícula realiza duas vezes (2a).

Recorrendo à definição de velocidade média de uma partícula (∆vx ).
¯
vx =
∆x
∆t
=
2 · a
∆t
(17)

A partir de 17, obtemos o tempo ∆t entre duas colisões sucessivas:
∆t =
2 a
vx
(18)
o qual é substituido em 16
Ftotal,x =
vx

2 a
·
2 · N · m · v̄x (19)

Que dá origem à Força média total na direção x
Ftotal,x =
N · mv̄2
x
a
(20)

Aula 2 Obtendo uma expressão cinética para a pressão
Conteúdo
1 Aula 1
2 Aula 2
3 Aula 3
4 Aula 4
5 Aula 5
Maxwell-Boltzmann
6 Aula 6
7 Aula 7

Observando a equação 20 e levando-se em conta que ela é o
resultado de duas colisões sucessivas da partícula sobre uma parede
de dimensões b × c, a qual representa uma Área A. Podemos
calculas a pressão unidimensional que o movimento dessa partícula
em x aplica sobre as paredes da caixa.
px =
Fx
A
(21)

Substituindo 20 em 21, teremos a pressão em x 22.
px =
Fx
b × c
(22)

Substituindo 20 em 22
px =
N · m · v̄2
x
a × b × c
(23)

Como a × b × c é o volume V da caixa, a equação 23 torna-se:
px =
N · m · v̄2
x
V
(24)

Agora, vamos estender esse resultado para o caso tridimensional
usando uma abordagem estilo teorema de Pitágoras:
v2
= v2
x + v2
y + v2
z (25)

E argumentando que não existe uma direção preferencial de
movimento no espaço tridimensional e que podemos fazer a
equivalência vx = vy = vz.
v2
= 3 · v2
x (26)

Rearranjando 26, temos:
v2
x =
v2
3
(27)

E, finalmente, substituindo 27 em 24 obtemos uma expressão 28
cinética para a pressão gasosa por vias puramente teóricas.
p =
N · m · v̄2
3 · V
(28)

A expressão 28 é interessante sob vários aspectos.
1 Descreve a pressão gasosa sob um ponto de vista microscópico;
2 Foi desenvolvida por meios puramente teóricos;
3 Mostra que a pressão depende de N, de m e de v̄2;
4 É possível estimar a velocidade média das partículas de um gás a
partir de uma pressão conhecida;
5 Explica teoricamente um fenômeno que com as equações
fenomenológicas era impossível descobrir.

Uma análise dimensional de 28 mostra as unidades físicas envolvidas
na pressão:
[p] =
kg · m2 · s−2
m3
=
kg · m · s−2 · m
m3
=
N · m
m3
=
J
m3
ou
N
m2
= Pa (29)

Algumas relações úteis
1 Pa = 1
10000bar = 9, 869 − 10−6atm = 7, 500 · 10−3 torr
1bar = 105 Pa = 0, 9869 atm = 750, 062 torr
1atm = 1, 01325 · 105 Pa = 1, 01325 bar : 760 torr
1 torr = 133322 Pa = 1, 33322.10−3bar = 1, 31579 · 10−3 atm

EXEMPLO 19.1: Estime a velocidade média do gás Hélio nas
seguintes condições:
n = 1 mol He
V = 25, 00 L
p = 0, 8770 bar
v̄ =?

SOLUÇÃO: PASSO 1:Tomamos a expressão 28 e a rearranjamos para
deixar a velocidade em evidência.
p = N·m·v̄2
3Vt
v̄2 = p3V
N·m

PASSO 2: Devemos converter para o Sistema Internacional de
Unidades o Volume (l → m3); a Pressão (bar → Pa); o produto N · m.
A) Conversão de Volume
1, 0L = 1, 0 dm3 = 1, 0(10−1m)3 = 1, 0 × 10−3 m3
1, 0 L 99K 10−3m3
25, 0 L 99K V
V = 2, 5 · 10−2 m3

B) Conversão de Pressão
1.0 bar 99K 105Pa
0, 8770bar 99K p
p = 8, 77 · 104 Pa

C) Cálculo da massa de Hélio (N × m)
Existem duas formas de fazer esse cálculo, vou iniciar pela mais fácil:
C.1) Consultando o valor da massa molar do Hélio na Tabela Periódica
O número N de partículas que existe em 1,0 mol é 6, 0221 · 1023.
A multiplicação da massa de um único átomo de Hélio por
6, 0221 · 1023 rende exatamente o valor da massa molar do Hélio que
é 4, 0026 · 10−3 kg.

C.2) Consultando o valor da massa atômica do Hélio na Tabela
Periódica
A massa atômica é dada em unidades de massa atômica (ou
simplesmente u).
Consultando o valor tabelado de 1u = 1, 66053906660 · 10−27kg
Multiplicando N · m =
6, 0221 · 1023 · 4, 0026 ·
1 u
z }| {
1, 66053906660 · 10−27
kg = 4, 0026 · 10−3 kg

D) Cálculo de v̄2
Usaremos a expressão v̄2 = 3·p·V
N·m

Substituindo os valores de V, p e N · m calculados nas etapas A, B e
C, teremos:
v̄2
=
3 · 8, 77 · 10−4Pa · 2, 5 · 10−2m3
4, 0026 · 10−3kg
v̄2
= 1, 6433 · 106 Pa · m3
kg

Fazendo a raíz quadrada nos dois lados da equação, teremos o valor
da velocidade média v̄.
v̄ =
p
(1, 6433 · 106 Pa · m3
kg
)
v̄ = 1281, 92??

Quais as unidades de velocidade? Para isso, precisamos operar sobre
as unidades dentro da raíz quadrada.
p
(
Pa · m3
kg
) =
p
(
N.m

−2 · m
3
kg
) =
p
(
kg · m · s−2 · m
kg
) =
p
(m2
.s−2
) =
m
s

Finalizando:
v̄ = 1281, 92
m
s

Aula 3 Relação entre Pressão e Energia Cinética
Conteúdo
1 Aula 1
2 Aula 2
3 Aula 3
4 Aula 4
5 Aula 5
Maxwell-Boltzmann
6 Aula 6
7 Aula 7

Sabemos da mecânica clássica que a energia cinética de uma
partícula é dada por 30:
Ec =
1
2
m · v2
(30)

Substituindo 30 em 28, temos
p =
N · m · v̄2
3 · V
=
2 · N · Ec
3 · V
(31)

Rearranjando para ficar numa forma mais reconhecível:
pV =
2
3
N · Ec (32)

Comparando 32 com a lei dos gases ideais pV = NRT, concluímos
que:
Ec =
3
2
RT (33)

A equação 33 representa a energia cinética média molar para um gás
monoatômico.

Existe uma relação muito útil que vamos utilizar para transformar uma
quantidade molar para expressar as propriedades de um único átomo
ou molécula, ela utiliza a constante de Boltzmann.

R = kB · NA (34)

Na equação 34, kB é a constante de Boltzmann
(1, 380 649 · 10−23J.K−1) e NA (6, 0221 · 1023mol−1) é o número de
Avogadro.

A velocidade é uma propriedade vetorial, mas a rapidez (que é um
sinônimo para velocidade) não o é.
Assim sendo, o módulo da velocidade (a raíz quadrada do quadrado
da velocidade) cumpre esse papel de indicar o quão rápido uma
partícula se move sem necessitar explicitar seu vetor velocidade.
Multiplicando-se a equação para a energia cinética de uma partícula
30 pelo número de Avogadro NA, teremos a Energia Cinética Molar.

Ēc =
3
2
RT ⇛ Ec = NA ·
1
2
m · v2
(35)

Sabemos que a multiplicação NA × m = M̄ [M̄ = Massa Molar]
Substituindo na 35, temos:
3
2
RT =
1
2
M̄v2
(36)

Isolando v2
v2
=
3RT
M̄
(37)

Extraindo a raíz quadrada, temos a velocidade média quadrática vMQ
em 38:
vMQ =
r
3RT
M̄
(38)

EXEMPLO 19.2: Estime a temperatura T (em Kelvin) de uma amostra
de gás Hélio com v̄MQ = 1281, 92m
s

v̄MQ =
r
3RT
M̄
=
s
3 · 8, 314 J · K−1 · mol−1

· T
4, 0026 · 10−3 kg · mol−1

v̄MQ ⇒

1, 28192 · 103 m
s
2
=
3 · 8, 314J · K−1 · mol−1 · T
4, 0026 · 10−3 kg · mol−1

1, 6433 · 106 m2
s2
= 6, 23145 J · K−1
· kg−1
× T

Isolando a temperatura T, temos
T =
1, 6433 · 106 m2
s2
6, 23145 J · K−1 · kg−1
= 263, 71??

Qual a unidade resultante da resolução da equação acima?
m2 · s−2
J · K−1 · kg−1
= K
m2 · s−2
(N · m) · kg−1
=
= K · kg ·
m · m · s−2
N · m
=
= K ×

N
z }| {
·kg · m · s2
·

m
N ·

m
= K

Sendo assim, a resposta final é T = 263, 71 K.

Aula 4 Distribuição Normal de Velocidades
Conteúdo
1 Aula 1
2 Aula 2
3 Aula 3
4 Aula 4
5 Aula 5
Maxwell-Boltzmann
6 Aula 6
7 Aula 7

vMQ nos dá uma idéia de como, na média, são as velocidades das
partículas do gás naquela temperatura.
vMQ nos informa a rapidez das partículas, mas não nos diz nada sobre
a direção e o sentido desse movimento.
vMQ não é a única forma de representarmos a velocidade das
partículas do gás. em um gás, nem todas a partículas movem-se a
mesma velocidade e nem na mesma direção.
existem velocidades que são mais prováveis e outras que, embora
possíveis, são menos prováveis.
há uma distribuição de velocidades

Qual é a expressão matemática da velocidade mais adequada e qual
a função que descreve a distribuição de velocidades do gás?

Há uma função para cada direção:
gx (vx ) , gy (vy ) , gz (vz)

Agora, vamos usar essas funções de distribuição para obter uma
função probabilística de distribuição tridimensional de velocidades:
P = gx (vx ) dvx · gy (vy ) dvy · gz (vz) dvz (39)

As velocidades vα podem variar entre (−∞, +∞).
Agora, vamos adotar uma condição de normalização da função para
impedir que a soma de todas as probabilidades exceda 1 (100
Z vα=+∞
vk =−∞
gα (vα) dvα = 1 (40)

Combinando as funções de distribuição em uma única função 3-D;
gx (vx ) · gy (vy ) · gz (vz) = Γ(v) (41)

E levando-se em conta que a velocidade tridimensional está
relacionada às velocidades em cada eixo pela relação 42.
v2
= v2
x + v2
y + v2
z (42)

Falta agora descobrir a forma matemática da função Γ(v). Isso pode
ser feito considerando o caso unidimensional e, em seguida, expandir
o resultado para as 3 dimensões, visto que todas são equivalentes.

Caso Unidimensional:

Como determinar a forma de gx (vx )? Estudando como gx (vx ) varia à
medidade que vx varia. Em outras palavras, escreveremos uma
derivada.
∂ [gx (vx )]
∂vx
· gy (vy ) · gz (vz) =
∂Γ
v(vx )
z}|{
(v)
∂vx

Como v = v(vx ), é necessário aplicar uma regra da cadeia
∂ [gx (vx )]
∂vx
· gy (vy ) · gz (vz) =
∂Γ(v)
∂v
∂v
∂vx
(43)

Derivando 42:
d(v2) = d(v2
x + v2
y + v2
z )
2vdv = 2vx dvx + 2vy dvy + 2vz dvz

No caso unidimensional, dvy = 0 e dvz = 0.

2v · dv = 2vx dvx +

2vy dvy +
2vz dvz

O que resulta em:
dv
vx
=
vx
v
(44)

Substituindo 44 em 43, teremos:
∂ [gx (vx )]
∂vx
· gy (vy ) · gz (vz) =
∂Γ(v)
∂v
·
vx
v
(45)

A derivada 45 é complicada, vamos simplificá-la escrevendo com
outra notação:
g′
x (vx ) · gy (vy ) · gz (vz) = Γ′
(v) ·
vx
v

Ela pode ser adicionalmente simplificada se dividirmos por
gx (vx ) · gy (vy ) · gz (vz) = Γ(v)

g′
x (vx ) ·

gy (vy ) ·

gz (vz) =

Γ(v) · vx
v
gx (vx ) ·

gy (vy ) ·

gz (vz) =

Γ(v)′

Cujo resultado final é 46.
g′
x (vx )
gx (vx )
=
vx
v
·
Γ(v)
Γ(v)
→
Termos em função de vx
z }| {
1
vx
·
g′
x (vx )
gx (vx )
=
Termos em função de v
z }| {
1
v
Γ′(v)
Γ(v)
(46)

Como os lados direito e esquerdo da equação 46 se equivalem,
podemos renomar como
1
vx
·
g′
x (vx )
gx (vx )
= K (47)

Como a equação 46 possui expressões análogas nas direções x e y,
podemos escrever expressões igualmente análogas à 47.
1
vy
·
g′
y (vy )
gy (vy )
= K (48)

1
vz
·
g′
z (vz)
gz (vz)
= K (49)

Retornando ao caso unidimensional (em x):
1
vy
·
g′
y (vy )
gy (vy )
= K =
1
vx
·
∂gx (vx )
∂vx
gx (vx )

K · vx =
∂gx (vx )
∂vx
·
1
gx (vx )

K · vx · dvx =
∂gx (vx )
gx (vx )

Que após integração nos dois lados da igualdade rende:
Z
K vx dvx =
Z
1
gx (vx )
∂gx (vx ) → K
v2
x
2
+ C = ln gx (vx )

Elevando ambos os lados na base e, temos:
e

K
v2
x
2
+C

= e[ln gx (vx )]

Usando as propriedades e(a+b) = ea · eb e eln a = a, temos:
e

K·
v2
x
2

·
A
z}|{
eC
= gx (vx )

Finalizando, em 50 temos a forma básica da função de distribuição de
velocidades na direção x:
gx (vx ) = A · e
K
2
v2
x (50)

Por analogia, temos as versões para y e z da equação 50.
gy (vy ) = A · e
K
2
v2
y (51)
gz(vz) = A · e
K
2
v2
z (52)

As constantes A e K em 50, 51 e 52 precisam ser determinadas para
que a forma matemática completa da função de distribuição venha a
ser conhecida.

Relembrando a condição de normalização 40 e aplicando à equação
50, teremos:

Z vx =+∞
vx =−∞
A · e
K
2
v2
x dvx (53)

Para resolver essa equação 53, consultamos uma tabela de integrais
e encontramos 54.
Z +∞
0
e−bx2
dx =
1
2
r
π
b
, onde: b = −
1
2
· K (54)

A integral tabelada 54 vai de 0 a = ∞, enquanto que a integral 53
corre de −∞ a +∞ mas é uma função par e simétrica com relação ao
eixo vertical.

Dessa forma, basta resolver a integral e multiplicar por 2 o resultado:
R ∞
−∞ Ae−bx2
dx = 2
R ∞
0 Ae−bx2
= 2 · A ·
h
1
2 −2π
K
1/2
i
= 1
A −2π
K
1/2
= 1

E em 55, temos finalmente a forma matemática de A finalmente
descrita.
A =

−2π
K
−1/2
ouA =

−
K
2π
1/2
(55)

Para determinar plenamente a forma matemática da gx (vx ) é
necessário ainda determinar a forma de K, mas para isso temos que
tomar um atalho.
ATALHO:
1) Vamos considerar a Energia Cinética para 1 partícula Ec = 1
2 m · v2.
2) Rescrevemos a expressão Ec = 1
2 · v2
x + v2
y + vz2

.

3) Vamos usar a equivalência v2
x = v2
y = v2
z
4) E obter Ec = 3
2 · v2
x , a qual pode ser comparada à 30.

5)
3
2
mv2
x
| {z }
En. Cin. de 1 partícula
≃
3
2
RT
| {z }
En. Cin. Média Molar
6) Para transformar em uma igualdade, devemos usar a relação 34
kB = R
NA
.
7)

3
2
mv2
x =
1

NA

3
2

NAkBT
m · v2
x = kBT

Finalmente, definimos uma forma matemática para v2
x em 56
v2
x = kBT
m (56)

Com essa definição de velocidade quadrática para uma única
partícula, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio e, assim,
calcular o valor médio de velocidade das partículas de um gás.

TEOREMA DO VALOR MÉDIO
Uma grandeza u qualquer pode ter o seu valor médio calculado por:
µ̄ =
N
X
i=1
µiPi
PN
i=1 Pi
(57)

A soma de todos os valores de probabilidade não pode exceder 100%,
por isso a condição
PN
i Pi = 1.
Se a quantidade de partículas de gás for muito grande, N → ∞ e os
somatórios em 57 se transformam em integrais.
µ̄ =
Z
µiPidµ (58)

Substituindo 55 em 50, temos a função de distribuição de velocidades
Pi =

−
2π
k
−1/2
e(1/2)Kv2
xi (59)

Agora, é chegada a hora de substituir 56 e 59 em 58 para podermos
calcular o valor médio da velocidade quadrática v em 60.
v̄2
x =
Z +∞
−∞
v2
x ·

−
2π
K
−1/2
| {z }
f:Ax2
e(1/2)kv2
x
| {z }
f:ebx2
dvx (60)

A equação 60 possui duas partes, uma quadrática e uma gaussiana.
Ambas as funções são pares e simétricas com relação ao eixo
vertical. Sendo assim, não é necessário resolver a integral entre os
dois limites de integração, basta resolver entre 0 e +∞ e multiplicar o
resultado por 2 (eq 61).
v̄2
x = 2 ·

−
2π
K
−1/2
·
Z +∞
0
v2
x
|{z}
f:Ax2
e(1/2)kv2
x
| {z }
f:ebx2
dvx (61)

Consultando uma tabela de integrais, encontramos a seguinte solução
para 61:
Z ∞
−∞
x2
e−bx2
dx =
1
2
π1/2
b3/2
!

Onde
b = −
K
2

Que substituindo na solução da integral, rende:
b = −
K
2
→
1
2
π1/2
b3/2
!
=
1
2
π1/2
−K
2
3/2
!
=
1
2
·
π1/223/2
(−K)3/2

Z +∞
−∞
= 2
Z +∞
0
=
1
2
Z +∞
−∞
=
1
2

1
2
·
π1/223/2
(−K)3/2
#
(62)

Então, a 63 deve ser substituída na equação 61.
¯
vx
2
= 2

−
2π
K
−1/2

1
4
π1/223/2
(−K)3/2
#
(63)

OPCIONAL: O que se segue agora é opcional, vou mostrar como a
expressão anterior 63 pode ser simplificada:
¯
vx
2
=

1
4
π1/2 · 23/2
(−K)3/2
#
=
2
4

−
K
2π
1/2

π1/2 · 23/2
(−K)3/2
#

¯
vx
2
=
1
2

−
Kπ
2π
1/2
·
23/2
(−K)3/2
#
=
1
2

−
K
2
1/2
·
23/2
(−K)3/2
!
=
(−K)1/2
2 · 21/2
·
23/2
(−K)3/2

v̄2
x =
(−K)1/2
(−K)3/2
·
23/2
2 · 21/2
=
(−K)−2/2
·
23/2
2 · 21/2
= (−K)−1
·
23/2
22/2 · 21/2
=
−
1
K
·

23/2

23/2
= −
1
K

Fim da parte opcional:

Temos agora uma definição para o valor médio do quadrado da
velocidade que depende da constante K (eq. 64.
v̄2
x = −
1
K
(64)

Que comparada à 56 (v2
x = kBT
m ) fornece a equação 65.
−
1
K
=
kBT
m
(65)

E, finalmente, K em 66.
K = −
m
kBT
(66)

De posse da forma matemática de A 55 e de K 66, podemos substituir
em 50 e descrever a distribuição de velocidades na direção x.
gx (vx ) = −

K
2π
1/2
· e
−
mv2
x
2kBT
= −
− m
kBT
2π
!1/2
· e
−
mv2
x
2kBT

Que, após alguns rearranjos, gera a distribuição em x e suas
análogas em y e z:
gx (vx ) =

m
2πkBT
1/2
· e
−
mv2
x
2kBT
(67)

gy (vy ) =

m
2πkBT
1/2
· e
−
mv2
y
2kBT
(68)
gz(vz) =

m
2πkBT
1/2
· e
−
mv2
z
2kBT
(69)

As equações 67, 68 e 69 podem ser combinadas na equação 41 para
obter a funçao de distribuição de velocidades tridimensional 70.
Γ(v) =

m
2πkBT
1/2
!3
· e
−
mv2
x
2kBT
· e
−
mv2
y
2kBT
· e
−
mv2
z
2kBT
(70)

Usando uma propriedade das exponenciais ea · eb · ec = ea+b+c em
70 e usando o a relação 42...
Γ(v) =

m
2πkBT
3/2
· e
− m
2kBT
· e
v2
z }| {

v2
x + v2
y + v2
z

(71)

Γ(v) =

m
2πkBT
3/2
· e
− mv2
2kBT
(72)

Como a função de distribuição de velocidades deve representar a
realidade e o que importa é o módulo delas e não sua direção ou
sentido, devemos considerar apenas o intervalo de velocidades
(0, +∞), que corresponde a partículas totalmente paradas e a
partículas com módulo de velocidade infinita.

A soma das probabilidades desses módulos de velocidade deve ser
normalizada, ou seja, não deve exceder 1.

Todas essas observações podem ser resumidas na equação ??, a
qual permite calcular a fração de moléculas com velocidades entre v e
v + dv usando 72.
G(v)dv =
Z +∞
0
Γ(v)dv = 1 (73)

Além disso, as partículas se movem em um espaço tridimensional
isotrópico (igual em todas as direções) e o sistema cartesiano não o é.
É melhor converter para coordenadas esféricas.

A diferencial dv é o resultado da multiplicação de dvx , dvy e dvz.
A multiplicação dessas três diferenciais rende uma unidade de volume
no espaço de velocidades.
Ao converter para coordenadas esféricas, dv descreve uma casca
esférica de espessura dentro da qual estão as partículas com
velocidades entre v e v + dv.

O volume de uma esfera é dado por 4πv3, mas no caso de uma casca
esférica é dado por 4πv2dv, e é esse fator de correção que precisa ser
adicionado em 73 para convertê-la para coordenadas esferopolares.
G(v)dv =
Z +∞
0
4πv2
Γ(v)dv = 1 (74)

E substituindo 72 em 74, obtemos a função completa e corrigida para
coordenadas esferopolares.
G(v̄)dv =
Z ∞
0
4πv2

m
2πkBT
3/2
· e
− mv̄2
2kBT
dv (75)

A interpretação física da equação 75 é a seguinte: a fração de
moléculas G(v̄) que possuem velocidade média v̄, pois possuem
velocidades entre v e v + dv pode ser calculada substituindo-se o
valor de massa m (kg.mol−1), Temperatura T(K) e velocidade média
v̄ (m.s−1).

A função fração de moléculas com velocidade média v̄ é a função
que consta dentro da integral da 75.

Segue-se uma discussão sobre as propriedades de G(v̄)dv, obtenção
da função de distriuição a T constante e a M̄ constante.

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Conteúdo
1 Aula 1
2 Aula 2
3 Aula 3
4 Aula 4
5 Aula 5
Maxwell-Boltzmann
6 Aula 6
7 Aula 7

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Retomando a discussão da aula anterior, vamos recuperar a função
G(v̄)dv.
G(v̄)dv = 4πv2

m
2πkBT
3/2
· e
− mv̄2
2kBT
dv (76)

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Que na forma molecular fica:
G(v̄)dv = 4πv2

M̄
2πRT
3/2
· e−M̄v̄2
2RT dv (77)

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Sabemos do cálculo diferencial que a primeira derivada de uma
função tem seu máximo (ou mínimo) quando a derivada é igual a zero
(pois a reta tangente a esse ponto extremo não possui inclinação).
Assim, tomamos a equação 77 e a derivamos igualando a zero ao
final da operação.

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
G(v̄)dv = 4π

m
2πkBT
3/2
v̄2
· e−mv̄2/2kBT
dv (78)

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Derivando a expressão e igualando-a a zero para obter o máximo da
função.
G′
(v̄) = 4π

m
2πkBT
3/2
v̄2
· e−mv̄2/2kBT
′
(79)

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
4π

m
2πkBT
3/2
2v̄ · e−mv̄2/2kBT
+ v̄2
· e−mv̄2/2kBT
(−2mv̄/2kBT)


Aula 5
Maxwell-Boltzmann
4π

m
2πkBT
3/2
2ve−mv̄2/2kBT
− 2v̄e−mv̄v̄2/2kBT

mv̄2
/2kBT


Aula 5
Maxwell-Boltzmann
0 = 4π

m
2πkBT
3/2
1 −
mv̄2
kBT

2v̄e
−mv̄2
2kBT


Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Passamos o segundo termo para o outro lado da igualdade e
mudamos o sinal:
(((((((((((((((
(
4π

m
2πkBT
3/2
2v̄e−mv̄2/kBT

| {z }
igual ao termo da direita
=
((((((((((((((((
4π

m
2πKBT
3/2
2v̄e−mv̄2/kBT

| {z }
igual ao termo da esquerda
2mv̄2
kBT

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Após cancelamento dos termos iguais.
2mv̄2
kBT
= 1

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Que rearranjando, rende:
v̄2
=
kBT
2m

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Fazendo a raíz quadrada nos dois lados da equação, obtemos a
expressão para a velocidade média mais provável de um gás
v̄MPem80.
v̄MP =
r
kBT
2m
(80)

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Que, usando-se a definição da constante universal dos gases
R = kB NA 34 [kB = R/NA], torna-se a velocidade mais provável molar
81:
v̄MP =
v
u
u
u
t
RT
2NA · m
| {z }
M̄
=
r
RT
2M̄
(81)

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
EXEMPLO 19.3 Calcule a v̄MP dos átomos de He
(M̄He = 4, 0026 × 10−3kg · mol−1) a uma T = 263, 71K.

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
SOLUÇÃO:
Usamos a equação 81 v̄MP =
q
RT
2M̄
.
v̄MP =
s
8, 314J ·

K−1 ·

mol−1 × 263, 71 K
2 × 4, 0026 × 10−3kg ·

mol−1

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Resolvendo numericamente a equação, obtemos:
v̄MP =
s
4384, 97J
4, 0026 · 10−3kg
v̄MP =
q
1095530, 37 J · kg−1

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Extraindo a raíz quadrada, obtemos o resultado numérico:
v̄MP = 1046, 68
q
J · kg−1

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
E as unidades ficam como?
q
J · kg−1 =
q
[N · m] · kg−1 =
q
[(kg · m · s−2) · m] ·

kg−1
=
p
m2 · s−2 = m · s−1

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
E a resposta final fica
v̄MP = 1046, 68m · s−1

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Que pode ser comparada à resposta do EXEMPLO 19.2:
vMQ = 1281, 92m · s−1

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
O que nos leva a concluir que
v̄MP vMQ
Aproveitando que agora conhecemos a função de distribuição de
velocidades de um gás e vamos calcular a velocidade segundo o
Teorema do Valor Médio (TVM).

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
v̄ =
Z vmax =∞
vmin=0
vj · G vj

dvj
| {z }
equação77

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
v̄ =
Z vmax =∞
vmin=0
v ·

4π

m
2πkBT
3/2
· v2
· e−mv2/2kB
#
dv

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
v̄ =
Z ∞
0
v3
· e−mv2/2kBT
dv
| {z }
Itegral tabelada:
R
xne−ax2
dx
· 4π

m
2πkBT
3/2
!

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
A resolução da integral é OPCIONAL e será feita logo a seguir. A
integral resolvida resulta em:
v̄TVM =
r
8kBT
πm
=
r
8RT
πM̄
(82)

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
RESOLUÇÃO OPCIONAL DA INTEGRAL:
A integral
Z
v3
e−av2
dv =
−ae−av2
− e−av2
2a2
+ C
onde a = m/2kBT.

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Substituindo na integral, temos:
− (m/2kBT) e
−

m
2kBT

v2
− e

− m
2kBT

v2
2

m
2kBT
2

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Não esquecendo que a integral completa possui uma constante
4π

m
2πkBT
3/2
.
Multiplicando ambas:

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
4π

m
2πkBT
3/2
×
− (m/2kBT) e
−

m
2kBT

v2
− e

− m
2kBT

v2
2

m
2kBT
2
Podemos resolver a expresão focando no primeiro termo e no termo
no denominador da fração:

Aula 5
Maxwell-Boltzmann

4π

m
2πkBT
3/2

2

m
2kBT
2

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
2π

m
2πkBT
3/2
·

2kBT
m
2

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
2π
π3/2

m
2kBT
3/2
·

m
2kBT
−2

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
2π(1−3
2 )

m
2kBT
3/2
m
2kBT
−2

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
2π(2
2
−3
2 )

m
2kBT
3
2
−2

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
2π−1
2

m
2kBT
−1
2

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
2

πm
2kBT
−1
2
= 2

2kBT
πm
1
2

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
v̄TVM =

4 · 2kBT
πm
1
2
=

8kBT
πm
1
2

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Que na forma molar, rende 83:
v̄TVM =
r
8RT
πM̄
(83)

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
EXEMPLO 4: Considerando que o gás Argônio
(M̄Ar = 39, 948 · 10−3kg · mol−1) apresenta uma velocidade média
v̄ = 500 m · s−1, estime a temperatura T desse gás usando as três
definições de velocidade média:

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
1 vMQ =
q
3RT
M̄
(38)
2 v̄MP =
q
RT
2M̄
(81)
3 v̄TVM =
q
8RT
πM̄
(83)

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Antes de iniciar a resolução numérica do problema, como queremos
estimar a temperatura usando cada uma das definições de velocidade,
é necessário reorganizar as três expressões.

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Vou resolver apenas a 38 e, por analogia, apenas apresentar os
resultados para as demais expressões:

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Primeiro, elevamos os dois lados da 38 ao quadrado:
[vMQ]2
=
r
3RT
M̄
#2
v2
MQ =
3RT
M̄

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Deixamos a T em evidência.
TMQ =
v2
MQM̄
3R

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Por analogia, temos as expressões para T provenientes de 81 e 83:

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
TMP =
v2
MPM̄
2R
TTVM =
πv̄2
TVMM̄
8R

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Substituindo v̄ = 500 m · s−1, M̄Ar = 39, 948 · 10−3kg · mol−1 e
R = 8, 314J · K−1 · mol−1 nas três expressões acima:

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
TMQ =
(500 m · s−1)2 · 39, 948 · 10−3kg ·

mol−1
3 · 8, 314J · K−1 ·

mol−1
= 400, 4
N·m=
J
z }| {
kg m s−2 m
z }| {
(m2
s−2
) · kg ·K

J
= 400, 4K

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
Por analogia, as demais temperaturas são obtidas:

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
TMP =
(500 m · s−1)2 · 39, 948 · 10−3kg · mol−1
2 · 8, 314J · K−1 · mol−1
= 600, 6K

Aula 5
Maxwell-Boltzmann
TTVM =
π · 500 m · s−1)2 · 39, 948 · 10−3kg · mol−1
8 · 8, 314J · K−1 · mol−1
= 471, 72K

Aula 6 Teoria das Colisões
Conteúdo
1 Aula 1
2 Aula 2
3 Aula 3
4 Aula 4
5 Aula 5
Maxwell-Boltzmann
6 Aula 6
7 Aula 7

Modelo da Esfera Rígida
Figure: Função de potencial aos pares para partículas rígidas e que só
interagem no momento da colisão.

Se considerarmos as partículas de um gás, ou mesmo de um líquido,
como sendo esferas de carcaça dura e impenetrável que não
interagem a distância, podemos modelar de forma bem simplista o
comportamento da matéria quanto às suas colisões.
Figure: Representação de duas partículas esféricas rígidas e impenetráveis.

Se considerarmos que cada partícula possui um raio r, a menor
distância que 2 partículas rígidas poderão estar uma da outra é
2r = d, ou seja, um diâmetro molécular d.
Assim sendo, podemos determinar 4 grandezas diferentes entre as
partículas:
1 a distância média que uma partícula pode viajar sem colidir com
outras partículas (λ).
2 a frequência média de colisões que uma partícula pode realizar
por unidade de tempo (z);
3 o quão rápido uma massa gasosa pode se deslocar no ar
(difusão)
4 o quâo rápido uma massa gasosa pode escapar por um orifício
(efusão)

Vamos considerar o caso hipotético de uma partícula P movendo-se
enquanto todas as outras estão paradas.

Figure: Representação da partícula P e a descrição da área de seção reta
em torno dela, a qual forma a base do cilindro livre de colisões.

Se essa partícula for uma esfera rígida, ela só vai interagir com outras
partículas cujas carcaças se toquem.

Para se tocar, os centros das duas partículas deve estar a uma
distância menor ou igual a 2 raios r, ou a uma distancia menor que 1
diâmetro molecular d.

A partícula que viaja assim forma em torno de si um ’cilindro.
Figure: Cilindro formado pela partícula P em movimento e pela distancia
média λ percorrida sem colisões.

A base desse cilindro é uma circunferência.
Essa circunferência é formada por um diâmetro molecular d a partir
do centro da partícula, porque é a distãncia a partir da qual outra
partícula pode colidir com ela.
Girando esse diâmetro molecular em torno do centro da partícula P,
obtemos um cilindro.
A circunferência formada tem raio R = d = 24 e área A = πd2 = πr2.
A altura desse cilindro vamos chamar de λ e é a distãncia que a
partícula percorre livremente, sem sofrer colisão alguma.

A equação que descreve o volume desse cilindro hipotético é dada por
V = λ · A = λ · πd2
.

Se o sistema for composto por N partículas, o volume médio ocupado
por partícula é V
N .

Unindo as duas expressões, temos
V
N
= λ · πd2

Que ao ser rearranjada rende
λ =
V
Nπd2
(84)

O volume médio em um gás ideal é obtida a partir da equação de
estado do gás ideial pV = NkBT.
V
N
=
kBT
p

A qual pode ser substituída em 84
λ =
kBT
πpd2
(85)

Essa equação 85 é uma expressão simplificada para o percurso livre
médio de um gás ideal segundo o modelo da esfera rígida.

Como ele pode ser interpretado?

No denominador temos kBT, que é conhecido também por energia
térmica. Quanto mais quente o sistema (maior a temperatura), mais
velozes são as moléculas e maiores são as distâncias que elas
percorrem, fazendo com que o percurso livre médio λ seja maior.

Para um sistema com maior número N de particulas, a maior lotação
do sistema faz com que a partícula ao viajar tenha maior
probabilidade de encontrar outras partículas pelo caminho e, assim,
colidir mais facilmente. Isso encurta o percurso livre médio λ.

O mesmo ocorre com a pressão gasosa p. Quanto maior a pressão,
mais colisões moleculares as partículas do sistema realizam e, assim,
menor a distância λ que viajam livremente sem colidir.

Exemplo 19.5: Calcule o percurso livre médio λ de uma partícula de
Kriptônio cujo diâmetro d = 3, 70 Å.

Dados:
T = 20o
C = 293, 15K
p = 1, 0bar = 105
Pa
d = 3, 70 Å = 3, 70 · 10−10
m
kB = 1, 380649 · 10−23
J K−1

Usamos a equação 85
λ =
kBT
πpd2

Substituindo os valores fornecidos pelo problema:
λ =
1, 380649 · 10−23J K−1 × 293, 15K
π × 105Pa × (3, 70 · 10−10m)2
λ =
4, 0474 · 10−21J

K−1 K
314159, 2653 Pa × 1, 369 · 10−19m2

λ =
4, 0474 · 10−21J

K−1 K
4, 30084 · 10−14Pa · m2

Resolvendo numericamente a equação:
λ = 9, 411 · 10−8
??

E quais as unidades?
[λ] =
J
Pa · m2
=
N · m
N ·

m−2 ·

m2
= m

E a resposta final completa é λ = 9, 411 · 10−8 m.

BÔNUS: A quantos diâmetros moleculares corresponde essa
distância livre percorrida?
λ
d
=
9, 411 · 10−8 m
3, 70 · 10−10m
= 254, 3 ≃ 254 diâmetros

EXEMPLO 19.6: Considerando a molécula de N2 como uma esfera
rígida (uma aproximação valida), de diâmetro d = 3, 20 Å, a
T = 22oC. Qual seria a pressão p necessária para que o percurso
livre médio λ dessa molécula seja de 1, 00m?

λ =
kBT
πd2p
=
1, 380649 · 10−23 J · K−1

(295, 15K)
3, 14159 · 3, 20 · 10−10 m
2
· p

p =
kBT
πd2λ

p =
4, 074 · 10−29 J
3, 217 · 10−19 m2 · 1, 00 m
=
4, 074 · 10−29 J
3, 217 · 10−19 m3
= 1, 267 · 10−10
??

E as unidades?
J
m3
=
N ·

m
m
3
=
N
m2
= Pa

Então a pressao necessária para que o nitrogênio apresente um
percurso livre médio de 1,00 m é de
p = 1, 267 · 10−10
Pa = 1, 267 · 10−10
bar = 1, 250 · 10−7
atm

É uma estimativa do número médio de colisões que uma partídcula
rígida realiza em um período de tempo de 1, 0s.

Como pode-se estimar essa quantidade?

Usando a definição de velocidade pelo Teorema do Valor Médio vTVM
da equação 83 e o percurso livre médio λ.
v =
distância média percorrida
intervalo de tempo

Como nosso interesse é no intervalo de tempo
1/t
z =
1
t
=
eq.83
z }| {
vTVM
λ
|{z}
eq.85

Substituindo ambas equações...
z =

8RT
πM̄
1
2
RT
πpd2

Considerando que RT
p = V
N = 1
ρ
z =

8RT
πM̄
1
2
1
πρd2

z = πρd2
·
r
8RT
πM̄
=
r
π2 8RT

πM̄

Que produz a frequência média de colisão z(s−1)
z = ρd2
r
8πRT
M̄

A fim de evitar contabilizar a mesma colisão duas vezes, usamos a
massa reduzida (demonstração na sequência), o que implica em
aplicar o fator 1/2 na massa M̄, rendendo a forma final de z.
z = 4ρd2
r
πRT
M̄
(86)

DEMONSTRAÇÃO: Quando o sistema envolver colisões entre duas
partículas de mesma massa, considerar a massa reduzida
µ12 =
M̄1 · M̄2
M̄1 + M̄2

Como se trata da mesma partícula
M̄1 = M̄2 = M̄
e a expressão se torna:
µ12 =
M̄2
2M̄
=
M̄
2

Na expressão que define a frequência média de colisão z, devemos
usar µ12 no caso de colisões entre o mesmo tipo de partícula.

z = ρd2
s
8πRT
µ12
z = ρd2
s
8πRT
M̄
2
z = ρd2
r
2 × 8πRT
M̄
z = ρd2
r
16πRT
M̄
z = 4ρd2
r
πRT
M̄

Essa frequência total leva em conta as colisões z realizadas por todas
as partículas do sistema, cuja densidade numérica ρ(m−3 deve ser
considerada.

Em outras palavras, a frequencia total é dada por
Z = z × ρ
.

No entanto, ao considerar a densidade numérica como forma de
contabilizar o total de colisões, incorremos em um erro que é o de
contabilizar as colisões entre duas partículas i e j duas vezes (uma
vez ao contabilizar as colisões entre i e j e outra vez ao contabilizar as
colisões entre j e i).

Para corrigir, multiplicamos tudo por 1/2.
Z =
1
2
z × ρ (87)

Substituindo as equações 86 e 85 em 87, temos:
Z =
1

2

4ρ2
d2
r
πRT
M̄

Que após simplificação, fornece a frequência total de colisões Z 88.
Z = 2ρ2
d2
r
πRT
M̄
(88)

As unidades de Z são:
[Z] = s−1
· m−3
(colisões por s para cada m3
)

Apenas a título de informação e fornecido sem provas matemática,
temos uma forma para λ, z e Z no caso de colisões entre duas
moléculas diferentes.
Figure: Representação de partículas em colisão com diferentes dimensões.

λ12 =
r
m2
m1 · m2
1
π

d1d2
2
2
ρ2
(89)

z12 = ρ2

d1d2
2
2
·
s
8πkBT
µ12
(90)

Z12 = ρ1ρ2

d1d2
2
2
·
s
8πkBT
µ12
(91)

EXEMPLO 19.7: Considere 1,00 mol de Xenônio (d = 4, 00 Å), a
p = 1, 00 bar e V = 2, 271 × 10−2 m3 e T = 273, 15K. Calcule:
1 A frequência média de colisão z;
2 A frequência total de colisão Z;
3 A frequência de colisão Z · V.

Antes de calcular as frequência de colisão, precisamos determinar a
densidade numérica do sistema.

Sabendo-se que a densidade numérica pode ser calculada por
ρ = N
V . . .
ρ =
N
V
=
6, 0221 · 1023partículas
2, 271 × 10−2 m3
= 2, 652 · 1025
m−3

A massa molar do Xenônio é obtida por uma consulta à tabela
periódica:
M̄Xe = 131, 29 · 10−3
kg · mol−1
.

1.Frequência média de colisão z.
Utilizamos a equação 86
z = 4ρd2
r
πRT
M̄

z = 4 · 2, 652 · 1025
m−3

4, 00 · 10−10
m
2
s
π 8, 314J

K−1

mol−1 · 273, 15 K
131, 29 · 10−3kg ·

mol−1

z = 1, 0607 · 1026
m−3
1, 60 · 10−19
m2
s
7134, 459 J
131, 29 · 10−3kg·

z = 16972800, 0 m−1
·
s
54341, 222
kg · m · s−2 × m
kg

z = 16972800, 0

m−1
· 233, 1120

m · s−1

z = 3956563353, 6 s−1
= 3, 956 · 109
s−1

2. Frequência total de colisão Z;
Para calcular essa frequência, precisamos resolver a equação 87.
Z =
1
2
· z · ρ

Z =
1
2
· 3, 956 · 109
s−1
· 2, 652 · 1025
m−3

Z = 5, 246 · 1034
s−1
m−3

3. Frequência de colisão Z · V
Z · V = 5, 246 · 1034
s−1

m−3
× 2, 271 × 10−2

m3
= 1, 191 · 1033
s−1

Aula 7 Fenômenos de Transporte de Massa
Conteúdo
1 Aula 1
2 Aula 2
3 Aula 3
4 Aula 4
5 Aula 5
Maxwell-Boltzmann
6 Aula 6
7 Aula 7

A efusão é um fenômeno interessante. Ele diz respeito à passagem
das moléculas de um gás por um orifício ou por uma série de orifícios
(uma membrana porosa, por exemplo).

É o fenômeno responsável pelo murchar de um balão de aniversário
após alguns dias guardado em casa.

O gás soprado para dentro do balão infla o mesmo pelo ato de esticar
e expandir uma membrana borrachosa.

Esse esticamento da membrana causa stress nela, o material com o
tempo acaba sofrendo pequenas fraturas. Em algumas dessas
fraturas pode surgir um furo, e é por esse furo que o gás escapará
lentamente, gerando o murchamento do balão.

Um botijão de gás pode estar bem fechado, mas se a vedação não for
perfeita, pode ser que passemos a sentir um cheirinho estranho
referente às mercaptanas inseridas no GLP para nos alertar sobre
possíveis vazamentos. Esse vazamento geralmente é lento e não
percebebido de imediato.

Como podemos descrever matemáticamente esse fenômeno?

Acompanhem:
Vamos considerar a que velocidade de efusão dN/dt é proporcional à
velocidade média de um gás v̄:

A velocidade média de um gás na direção x é descrita pela função de
distribuição 67
gx (vx ) =

m
2πkBT
1/2
· e
−
mv2
x
2kBT

A pergunta que faremos é: qual a quantidade de partículas gás que
passam por segundo por um orifício de área A?

Aulas de Teoria Cinética dos Gases - Físico-Química III v1.0

Aulas de Teoria Cinética dos Gases - Físico-Química III v1.0

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a Aulas de Teoria Cinética dos Gases - Físico-Química III v1.0

Semelhante a Aulas de Teoria Cinética dos Gases - Físico-Química III v1.0 (20)

Mais de Márcio Martins

Mais de Márcio Martins (20)

Último

Último (20)

Aulas de Teoria Cinética dos Gases - Físico-Química III v1.0