Aly Francisco da Graça Domingos
Aliquidrino José Santos
Augusto Manuel Antonio
Eduardo Xavier Chocankhunene
Lucídio Fernando Saidoni
Maesso Veremo Fuledi
Merito Panganane
Paulo João Benate
Fundamentos da Mecânica Quântica Relativista
Licenciatura em Ensino de Física
Universidade Púnguè
Tete
2022

Aly Francisco da Graça Domingos
Aliquidrino José Santos
Augusto Manuel Antonio
Eduardo Xavier Chocankhunene
Lucídio Fernando Saidoni
Maesso Veremo Fuledi
Merito Panganane
Paulo João Benate
Fundamentos da Mecânica Quântica Relativista
Licenciatura em Ensino de Física
Universidade Púnguè
Tete
2022
Trabalho de Pesquisa a ser apresentado no
Departamento de Ciências Naturais e
Matemática como um requisito parcial de
avaliação na Cadeira de Mecânica Quântica.
Docente: Ivan Latinho Naite

Índice
Introdução...................................................................................................................................4
Metodologias usadas no trabalho ...............................................................................................4
Objectivo Geral...........................................................................................................................4
Objectivos específicos................................................................................................................4
Fundamentos da Mecânica Quântica Relativista........................................................................5
História da Mecânica Quântica Relativista.............................................................................5
Descrição relativista de partículas em fenómenos quânticos..................................................5
Localidade não-local e relativista quântica.............................................................................5
Conceito e sua formulação......................................................................................................6
Combinando relatividade especial e mecânica quântica.........................................................7
Espaço e tempo .......................................................................................................................9
Hamiltonians não relativísticos e relativistas........................................................................10
A equação de Klein-Gordon e Dirac para partículas livres ..................................................10
Densidades e correntes..........................................................................................................11
Spin e partículas electromagneticamente interactivas ..........................................................12
Operador de velocidade ........................................................................................................13
Lagrangians quânticos relativistas........................................................................................13
Momento angular quântico relativista ..................................................................................14
Conclusão .................................................................................................................................16
Referencias Bibliográficas........................................................................................................18

4
Introdução
No presente trabalho, abordamos sobre a Mecânica Quântica Relativista e no
desenvolvimento, fazemos a referência histórica da Mecânica Quântica Relativista onde se fez
a menção de alguns Físicos importantes que contribuíram com os seus pensamentos e teorias
com as respectivas equações matemáticas.
O presente trabalho faz a caracterização teórica e formulação matemática de alguns conceitos
físicos na perspectiva da Mecânica Quântica Relativista como o momento angular e outros
conceitos que na Física Newtoniana não se consegue explicar com exactidão.
Na física , a mecânica quântica relativista (RQM) é qualquer formulação covariante de
Poincaré da mecânica quântica (QM). Esta teoria é aplicável a partículas massivas que
se propagam em todas as velocidades até aquelas comparáveis à velocidade da luz c , e
podem acomodar partículas sem massa . A teoria tem aplicação na física de altas
energias , física de partículas e aceleração física , assim como física atómica , química e
física.
Metodologias usadas no trabalho
Para a materialização deste trabalho, os autores recorreram como metodologia, a pesquisa
bibliográfica onde buscou-se vários autores que têm obras que aborda sobre o tema em
destaque e algumas pesquisas na internet em algumas páginas. Alguns obras consultadas
foram mencionadas nas referências bibliográfica.
Objectivo Geral
 Conhecer os fundamentos e as formulações da Mecânica Quântica Relativista.
Objectivos específicos
 Traçar o percurso histórico da mecânica quântica relativista;
 Apresentar os fundamentos e Formulações Matemáticas da Mecânica Quântica
Relativista.
 Descrever os conceitos físicos na perspectiva da Mecânica Quântica Relativista.

5
Fundamentos da Mecânica Quântica Relativista
História da Mecânica Quântica Relativista
Mais de meio século de pesquisa experimental e teórica da década de 1890 até a década de
1950, na nova e misteriosa teoria quântica, surgiu e veio revelando que vários fenómenos não
podem ser explicados apenas pela QM. SR, encontrado na virada do século 20, foi encontrado
para ser um componente necessário, levando à unificação: RQM. Previsões teóricas e
experimentos focados principalmente na física nuclear recém-descoberta, física nuclear e
física de partículas; considerando espectroscopia, difracção e dispersão de partículas, e os
elétrons e núcleos dentro de átomos e moléculas. Numerosos resultados são atribuídos aos
efeitos do spin.
Descrição relativista de partículas em fenómenos quânticos
Einstein em 1905 explicou o efeito fotoeléctrico; uma descrição de partículas de luz como
fótons . Em 1916, Sommerfeld explica a estrutura fina; a divisão das linhas espectrais de
átomos devido a correcções relativísticas de primeira ordem. O efeito Compton de 1923
forneceu mais evidências de que a relatividade especial se aplica; neste caso, para uma
descrição de partícula de espalhamento de fótons e elétrons. de Broglie estende a dualidade
onda-partícula à matéria : as relações de Broglie , que são consistentes com a relatividade
especial e a mecânica quântica. Em 1927,Davisson e Germer e separadamente G. Thomson
difractar com sucesso electrões, fornecendo evidência experimental da dualidade onda-
partícula.
Localidade não-local e relativista quântica
Em 1935; Einstein, Rosen , Podolsky publicaram um artigo sobre o emaranhamento quântico
de partículas, questionando a não - localidade quântica e a aparente violação da causalidade
mantida na RS: as partículas podem parecer interagir instantaneamente a distâncias
arbitrárias. Este foi um equívoco, uma vez que a informação não é e não pode ser transferida
nos estados entrelaçados; em vez disso, a transmissão de informação está em processo de
medição por dois observadores (um observador tem que enviar um sinal para o outro, o que
não pode exceder c). QM não viola SR.
Em 1959, Bohm e Aharonovpublicar um artigo sobre o efeito Aharonov-Bohm , questionando
o status dos potenciais electromagnéticos em QM. O tensor de campo EM e EM-4 potenciais
formulações são ambas aplicáveis em SR, mas em QM os potenciais de entrar no
Hamiltoniano (ver acima) e influenciar o movimento de partículas carregadas, mesmo em

6
regiões onde os campos são zero. Em 1964, o teorema de Bell foi publicado em um artigo
sobre o paradoxo EPR, mostrando que QM não pode ser derivado de teorias de variáveis
ocultas locais se a localidade for mantida.
Conceito e sua formulação
Na física , a mecânica quântica relativista (RQM) é qualquer formulação covariante de
Poincaré da mecânica quântica (QM). Esta teoria é aplicável a partículas massivas que
se propagam em todas as velocidades até aquelas comparáveis à velocidade da luz c , e
podem acomodar partículas sem massa . A teoria tem aplicação na física de altas
energias , física de partículas e aceleração física , assim como física atómica , química e
física da matéria condensada.
A mecânica quântica não-relativista refere-se à formulação matemática da mecânica
quântica aplicada no contexto da relatividade de Galileu , mais especificamente quantizando
as equações da mecânica clássica substituindo as variáveis dinâmicas
pelos operadores . Mecânica quântica relativista (RQM) é a mecânica quântica aplicada
com relatividade especial , mas não a relatividade geral . Embora as formulações anteriores,
como a imagem de Schrödinger e a Heisenberg foram originalmente formulados em um
contexto não relativista, essas imagens da mecânica quântica também se aplicam à
relatividade especial.
A formulação relativista é mais bem-sucedida do que a mecânica quântica originais em alguns
contextos, em particular: a predição de antimatéria , spin do electrão , girar momentos
magnéticos de elementar rotação 1/2 fermiones, estrutura fina , e dinâmica quântica
de partículas carregadas em campos electromagnéticos . O resultado chave é a equação de
Dirac , da qual essas previsões emergem automaticamente. Em contraste, na mecânica
quântica, os termos devem ser introduzidos artificialmente no operador hamiltoniano para
conseguir concordância com observações experimentais.
No entanto, o RQM é apenas uma aproximação de uma teoria relativista totalmente Auto
consistente de interacções de partículas conhecidas, porque não descreve casos em que o
número de partículas (elementares) muda; por exemplo, na criação e aniquilação da
matéria . Por outro avanço teórico, uma teoria mais precisa que permite essas ocorrências e
outras previsões é a teoria do campo quântico relativista , na qual partículas são interpretadas
como quanta de campo.

7
Neste artigo, as equações são escritas em familiar a notação de cálculo vectorial 3D e usam
chapéus para operadores (não necessariamente na literatura), e onde os componentes de
espaço e tempo podem ser colectados, a notação de índice tensorial também é mostrada
(frequentemente usada na literatura) Além disso, a convenção de somatório do Einstein é
usada. Unidades SI são usadas aqui; Unidades gaussianas e unidades naturais são alternativas
comuns. Todas as equações estão na representação de posição; para a representação de
momento, as equações devem ser transformadas por Fourier .
Combinando relatividade especial e mecânica quântica
Uma abordagem é modificar o quadro de Schrödinger para ser consistente com a relatividade
especial.
Um postulado da mecânica quântica é que a evolução temporal de qualquer sistema quântico
é dada pela equação de Schrödinger :
𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
ψ = H
̂ψ
usando um operador hamiltoniano adequado Ĥ correspondente ao sistema. A solução é
um complexo -valued função de onda 𝜓(𝑹 , 𝑡 ) , uma função da 3d posição vector r da
partícula no momento t , que descreve o comportamento do sistema.
Cada partícula tem um não negativo spin número s . O número 2 s é um número inteiro, ímpar
para férmions e até para bósons . Cada s tem números quânticos de projecção de
2 𝑠 + 1 𝑧 ; 𝜎 = 𝑠 , 𝑠 − 1, . . . , − 𝑠 + 1, − 𝑠 . Esta é uma variável discreta adicional que
a função de onda requer; 𝜓 ( 𝒓 , 𝑡 , 𝜎 ) .
Historicamente, no início da década de 1920 , Pauli , Kronig , Uhlenbeck e Goudsmit foram
os primeiros a propor o conceito de spin. A inclusão do spin na função de onda incorpora
o princípio de exclusão de Pauli (1925) e o teorema mais geral de spin-estatística (1939)
devido a Fierz , rederido por Pauli um ano depois. Esta é a explicação para uma gama diversa
de comportamento e fenómenos de partículas subatómicas : a partir das configurações
electrónicas de átomos, núcleos (e, portanto, todos os elementos da tabela periódica e
sua química), para as configurações de quarks e carga de cor (daí as propriedades
de barões e mésons ).

8
Uma previsão fundamental da relatividade especial é a relação energia-
momento relativista ; para uma partícula de resto de massa m , e em especial uma estrutura de
referência com energia E e 3- impulso com dimensão em termos de produto de ponto,
𝑝 =
𝑝
√𝑝. 𝑝
que:
𝐸2
= 𝑐2
𝑝. 𝑝 + (𝑚. 𝑐2)2
.
Essas equações são usadas em conjunto com os operadores de energia e momento, que são
respectivamente:
𝐸
̂ = 𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
, 𝑝̂ = −𝑖ℏ∇
construir uma equação de onda relativista (RWE): uma equação diferencial parcial consistente
com a relação energia-momento, e é resolvida para ψ predizer a dinâmica quântica da
partícula. Para que espaço e tempo sejam colocados em pé de igualdade, como na
relatividade, as ordens de derivadas parciais de espaço e tempo devem ser iguais e,
idealmente, tão baixas quanto possível, de modo que nenhum valor inicial dos derivados
precise ser especificada. Isso é importante para interpretações de probabilidade,
exemplificadas abaixo. A menor ordem possível de qualquer equação diferencial é a primeira
(derivadas de ordem zero não formam uma equação diferencial).
A imagem de Heisenberg é outra formulação de QM, em cujo caso a função de
onda ψ é independente do tempo , e os operadores 𝐴( 𝑡 ) contêm a dependência de tempo,
governada pela equação de movimento:
𝑑
𝑑𝑡
𝐴 =
1
𝑖ℏ
[𝐴, 𝐻
̂] +
𝜕
𝜕𝑡
𝐴
Essa equação também é verdadeira no RQM, desde que os operadores de Heisenberg sejam
modificados para serem consistentes.
Historicamente, por volta de 1926, Schrödinger e Heisenberg mostram que a mecânica das
ondas e a mecânica matricial são equivalentes, posteriormente promovidas por Dirac usando
a teoria da transformação .

9
Espaço e tempo
Na mecânica clássica e na MQ não relativista, o tempo é uma quantidade absoluta que todos
os observadores e partículas podem sempre concordar, "assinalando" em segundo plano,
independentemente do espaço. Assim, não relativista QM um tem para um sistema de muitos
partícula 𝜓 ( 𝑹1 , 𝑹2 , 𝑹3 , . . . , 𝑡 , 𝜎1 𝜎2 𝜎3 . . . ) .
Na mecânica relativista , as coordenadas espaciais e o tempo
coordenado não são absolutos; quaisquer dois observadores se movendo em relação um ao
outro podem medir diferentes locais e tempos de eventos . As coordenadas de posição e
tempo se combinam naturalmente em uma posição espaço-temporal quadridimensional 𝑿 =
(𝑐𝑡 , 𝒓) correspondente a eventos, e a energia e o momento 3 combinam-se naturalmente
nos quatro momentos 𝑷 = ( 𝐸 / 𝑐 , 𝒑) de uma dinâmica partícula, medida em alguns quadro
de referência , mude de acordo com uma transformação de Lorentz conforme se mede em um
quadro diferente impulsionado e / ou girado em relação ao quadro original em
consideração. Os operadores de derivativos e, portanto, os operadores de energia e de 3
momentos, também são não-invariantes e mudam sob as transformações de Lorentz.
Sob uma transformação Lorentz ortocrônica adequada ( 𝒓 , 𝑡 ) → 𝛬 ( 𝒓 , ) no espaço de
Minkowski , todos os estados quânticos de uma partícula ψ σ transformam localmente sob
alguma representação D do grupo de Lorentz :
𝜓𝜎(𝑟, 𝑡) → 𝐷(𝛬)𝜓_𝜎(𝛬−1
(𝑟, 𝑡)
onde 𝐷(𝛬) é uma representação de dimensão finita, em outras palavras, uma matriz
quadrada (2 𝑠 + 1) × (2 𝑠 + 1) . Mais uma vez, ψ é pensado como um vector de coluna que
contém os componentes com os (2 𝑠 + 1) permitiu valores de σ .
Os números quânticos se σ , assim como outros rótulos, contínuos ou discretos, representando
outros números quânticos são suprimidos. Um valor de σ pode ocorrer mais de uma vez
dependendo da representação.

10
Hamiltonians não relativísticos e relativistas
Operador Hamiltoniano
O hamiltoniano clássico para uma partícula em um potencial é a energia cinética
𝑝.𝑝
2 𝑚
mais
a energia potencial 𝑉 ( 𝒓 , 𝑡) , com o operador quântico correspondente no quadro de
Schrödinger :
𝐻
̂ =
𝑝̂. 𝑝̂
2 𝑚
+ 𝑉(𝑟, 𝑡)
e substituí-la pela equação de Schrödinger acima fornece uma equação QM não relativista
para a função de onda: o procedimento é uma simples substituição de uma expressão
simples. Por contraste, isso não é tão fácil no RQM; a equação energia-momento é quadrática
em energia e momento levando a dificuldades. Configuração ingenuamente:
𝐻
̂ = 𝐸
̂ = √𝑐2𝑝̂. 𝑝̂ + (𝑚𝑐2)2 → 𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
𝜓 = √𝑐2𝑝̂. 𝑝̂ + (𝑚𝑐2)2𝜓
A equação de Klein-Gordon e Dirac para partículas livres
Substituir os operadores de energia e momentum directamente na relação energia-momento
pode, à primeira vista, parecer atraente, para obter a equação de Klein-Gordon : pode, à
primeira vista, parecer atraente, para obter a equação de Klein-Gordon:
𝐸2𝜓 = 𝑐2𝑝̂. 𝑝̂𝜓 + (𝑚𝑐2)2𝜓
̂
e foi descoberto por muitas pessoas por causa da maneira directa de obtê-lo, notavelmente por
Schrödinger em 1925, antes de encontrar a equação não-relativista em sua homenagem, e por
Klein e Gordon em 1927, que incluíam interacções electromagnéticas na equação. Isso é
relativisticamente invariante, mas essa equação sozinha não é uma base suficiente para o
RQM por algumas razões; uma é que estados de energia negativa são soluções, outra é a
densidade (dada abaixo), e esta equação, tal como está, é aplicável apenas a partículas sem
spin. Essa equação pode ser fatorada na forma:
( 𝐸
̂ − 𝑐𝛼. 𝑝̂ − 𝛽𝑚𝑐2
)(𝐸
̂ + 𝑐𝛼. 𝑝̂ + 𝛽𝑚𝑐2
)𝜓 = 0

11
onde 𝛼 = ( 𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 ) e β não são simplesmente números ou vectores, mas 4 × 4 matrizes
hermitianas que são necessárias para anti comutar para 𝑖 ≠ 𝑗 :
𝛼𝑖𝛽 = −𝛽𝛼𝑖 , 𝛼𝑗𝛼𝑖
e quadrado para a matriz de identidade
𝛼𝑖
2
= 𝛽2
= 𝐼
para que os termos com derivativos mistos de segunda ordem sejam cancelados enquanto as
derivadas de segunda ordem puramente no espaço e no tempo permanecem. O primeiro
factor:
( 𝑬
̂ − 𝒄𝜶. 𝒑
̂ − 𝜷𝒎𝒄𝟐
)𝝍 = 𝟎 ↔ 𝑯
̂ = 𝒄𝜶. 𝒑
̂ + 𝜷𝒎𝒄𝟐
é a equação de Dirac . O outro factor é também a equação de Dirac, mas para uma partícula de
massa negativa. Cada factor é relativisticamente invariante. O raciocínio pode ser feito ao
contrário: propor o Hamiltoniano na forma acima, como Dirac fez em 1928, em seguida, pré-
multiplicar a equação pelo outro factor de operadores 𝐸
̂ + 𝑐 𝛼 · 𝑝 + 𝛽𝑚𝑐2
A equação de Dirac ainda prediz soluções de energia negativa, então Dirac postulou que os
estados de energia negativa estão sempre ocupados, porque de acordo com o princípio de
Pauli, transições electrónicas de níveis de energia positiva para negativa em átomos seriam
proibidas.
Densidades e correntes
Na mecânica quântica não relativista, o módulo quadrado da função de onda ψ fornece a
função densidade de probabilidade 𝜌 = |𝜓|2
. Esta é a interpretação de Copenhague , por volta
de 1927. Em RQM, enquanto ψ ( r , t ) é uma função de onda, a interpretação de
probabilidade não é a mesma que em QM não relativista. Alguns RWEs não prever uma
densidade de probabilidade ρ ou probabilidade actual j (realmente significa probabilidade
densidade de corrente), porque eles são não funções definidas positivas de espaço e tempo. A
equação de Dirac faz:

12
onde o punhal denota o operador adjunto (autores escrevem geralmente 𝜓
̅ = 𝜓†
𝑦0
para o
adjunta de Dirac ) e 𝐽𝜇
é a probabilidade de quatro actual , enquanto que a equação de Klein-
Gordon não:
𝝆 =
𝒊ℏ
𝟐𝒎𝒄𝟐
(𝝍∗ 𝝏𝝍
𝝏𝒕
− 𝝍
𝝏𝝍∗
𝝏𝒕
) , 𝒋 = −
𝒊ℏ
𝟐𝒎
( 𝝍∗
𝛁𝝍 − 𝝍𝛁𝝍∗) ⇌ 𝑱𝝁
=
𝒊ℏ
𝟐𝒎
(𝝍∗
𝝏𝝁
𝝍 −
𝝍𝝏𝝁
𝝍∗)
Onde 𝜕𝜇
é o quatro gradiente . Como os valores iniciais de ψ e
𝜕𝜓
𝜕𝑡
podem ser escolhidos
livremente, a densidade pode ser negativa.
Em vez disso, o que parece à primeira vista uma "densidade de probabilidade" e uma
"corrente de probabilidade" devem ser reinterpretadas como densidade de carga e densidade
de corrente quando multiplicadas por carga eléctrica. Então, a função de onda ψ não é uma
função de onda, mas é reinterpretada como um campo. A densidade e corrente de carga
eléctrica sempre satisfazem uma equação de continuidade:
𝝏𝝆
𝝏𝒕
+ 𝛁. 𝑱 = 𝟎 ⇌ 𝝏𝝁𝑱𝝁
= 𝟎
Spin e partículas electromagneticamente interactivas
Incluindo interacções em RWEs é geralmente difícil. O acoplamento mínimo é uma maneira
simples de incluir a interacção electromagnética. Para uma partícula carregada de carga
eléctrica q num campo electromagnético, dado pelo vector magnético potencial A( r , t )
definido pelo campo magnético B = ∇ × A , e potencial escalar eléctrico ϕ ( r , t ) , isto é:
𝐸
̂ → 𝐸
̂ − 𝑞𝜙, 𝒑
̂ → 𝒑
̂ − 𝒒𝑨 ⇌ 𝑃
̂ → 𝑃
̂ − 𝑞𝐴𝜇
onde 𝑃
𝜇 é o quatro momento que tem um operador de 4 momentum correspondente , e 𝐴𝜇 o de
quatro potenciais . A seguir, o limite não relativístico refere-se aos casos limitantes:
𝐸 − 𝑒𝜙 ≈ 𝑚𝑐2
, 𝑷 ≈ 𝒎𝒗, isto é, a energia total da partícula é aproximadamente a
energia restante para pequenos potenciais elétricos, e o momento é aproximadamente o
momento clássico.

13
Helicidade e Quiralidade
O operador de helicidade é definido por;
ℎ
̂ = 𝑆
̂.
𝑝̂
|𝑝|
= 𝑆
̂.
𝑐𝑝̂
√𝐸2 − (𝑚0𝑐2)2
Onde p é o operador de momentum, S o operador de spin para uma partícula de spin s , E é a
energia total da partícula e m 0 sua massa de repouso. Helicity indica as orientações dos
vectores de spin e momento de translação. helicidade é dependente do quadro devido ao
momento 3 na definição e é quantizada devido à quantização do spin, que possui valores
positivos discretos para o alinhamento paralelo e valores negativos para o alinhamento
antiparalelo.
Uma ocorrência automática na equação de Dirac (e a equação Weyl), é a projecção do
spin 1/2 para o operador do 3-impulso (vezes c ), σ · c p , que é a helicidade (para o
spin 1/2 caso) vezes √𝐸2 − (𝑚0𝑐2)2.
Para partículas sem massa, a helicidade simplifica para: 𝒉
̂ = 𝑺
̂.
𝒑
̂
𝑬
Operador de velocidade
O operador de velocidade Schrödinger / Pauli pode ser definido para uma partícula massiva
usando a definição clássica p = m v e substituindo os operadores quânticos da maneira usual:
𝒗
̂ =
𝟏
𝒎
𝒑
̂ que possui Auto valores que levam algum valor. Em RQM, a teoria de Dirac, é:
𝒗
̂ =
𝒊
ℏ
[𝑯
̂, 𝒓
̂] que deve ter autovalores entre ± c . Veja a transformação Foldy – Wouthuysen
para mais informações teóricas.
Lagrangians quânticos relativistas
Os operadores hamiltonianos no quadro de Schrödinger são uma abordagem para formar as
equações diferenciais para ψ . Uma alternativa equivalente é determinar um Lagrangiano
(realmente significando densidade Lagrangeana), então gerar a equação diferencial pela
equação de Euler-Lagrange de campo-teoria:
𝜕𝜇 (
𝜕ℒ
𝜕(𝜕𝜇𝜓)
) −
𝜕ℒ
𝜕𝜓
= 0

14
Para alguns EETs, um lagrangeano pode ser encontrado por inspecção. Por exemplo, o Dirac
Lagrangian é:
e Klein-Gordon Lagrangian é:
Isso não é possível para todos os RWEs; e é uma das razões pelas quais a abordagem teórica
do grupo de Lorentz é importante e atraente: a invariância fundamental e as simetrias no
espaço e no tempo podem ser usadas para derivar EETs usando representações de grupo
apropriadas. A abordagem Lagrangiana com interpretação de campo de ψ é o assunto de QFT
em vez de RQM: a formulação integral de caminho de Feynman usa lagrangianas invariantes
ao invés de operadores Hamiltonianos, uma vez que o último pode se tornar extremamente
complicado.
Momento angular quântico relativista
Na QM não relativista, o operador momento angular é formado a partir da definição clássica
de pseudovalor L = r × p . No RQM, os operadores de posição e momento são inseridos
directamente onde aparecem no tensor do momento angular relativista orbital definido a partir
da posição e momento quadri-dimensional da partícula, equivalentemente um bivector no
formalismo da álgebra externa:
𝑴𝜶𝜷
= 𝑿𝜶
𝑷𝜷
− 𝑿𝜷
𝑷𝜶
= 𝟐𝑿[𝜶𝑷𝜷]
⇌ 𝑴 = 𝑿 ∧ 𝑷
que são seis componentes no total: três são o momento angular de 3 orbital não relativístico;
𝑀12
= 𝐿3
, 𝑀23
= 𝐿1
, 𝑀31
= 𝐿2
, e os outros três 𝑀01
, 𝑀02
, 𝑀03
são impulsos do centro
de massa do objecto em rotação. Um termo quântico relativista adicional deve ser adicionado
para partículas com spin. Para uma partícula de massa de repouso m , o tensor do momento
angular total é:
𝐽𝛼𝛽
= 2𝑋[𝛼𝑃𝛽]
+
1
𝑚2
𝜖𝛼𝛽𝛾𝛿
𝑊
𝛾𝑝𝛿 ⇌ 𝑱 = 𝑿 ∧ 𝑷 +
𝟏
𝒎𝟐
⋆ (𝑾 ∧ 𝑷)
onde a estrela denota a dupla Hodge , e

15
𝑊
𝛼 =
1
2
𝜖𝛼𝛽𝛾𝛿𝑀𝛽𝛾
𝑝𝛿
⇌ 𝑾 =⋆ (𝑴 ∧ 𝑷)
é o pseudovector de Pauli-Lubanski

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Conclusão
Na física , a mecânica quântica relativística (RQM) é qualquer formulação covariante de
Poincaré da mecânica quântica (QM). Esta teoria é aplicável a partículas massivas que
se propagam em todas as velocidades até aquelas comparáveis à velocidade da luz c , e
podem acomodar partículas sem massa . A teoria tem aplicação na física de altas
energias , física de partículas e aceleração física , assim como física atómica , química e
física.
Mecânica quântica relativista (RQM) é a mecânica quântica aplicada com relatividade
especial , mas não a relatividade geral
A formulação relativista é mais bem-sucedida do que a mecânica quântica originais em alguns
contextos, em particular: a predição de antimatéria , spin do electrão , girar momentos
magnéticos de elementar rotação 1/2 fermiones, estrutura fina , e dinâmica quântica
de partículas carregadas em campos electromagnéticos .
Um postulado da mecânica quântica é que a evolução temporal de qualquer sistema quântico
é dada pela equação de Schrödinger :
𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
ψ = H
̂ψ
Na mecânica clássica e na MQ não relativista, o tempo é uma quantidade absoluta que todos
os observadores e partículas podem sempre concordar, "assinalando" em segundo plano,
independentemente do espaço. Assim, não relativística QM um tem para um sistema de
muitos partícula 𝜓 ( 𝑹1 , 𝑹2 , 𝑹3 , . . . , 𝑡 , 𝜎1 𝜎2 𝜎3 . . . ) .
A equação de Dirac ainda prediz soluções de energia negativa, então Dirac postulou que os
estados de energia negativa estão sempre ocupados, porque de acordo com o princípio de
Pauli, transições electrónicas de níveis de energia positiva para negativa em átomos seriam
proibidas.
O operador de velocidade Schrödinger / Pauli pode ser definido para uma partícula massiva
usando a definição clássica p = m v e substituindo os operadores quânticos da maneira usual:
𝒗
̂ =
𝟏
𝒎
𝒑
̂ que possui Auto valores que levam algum valor. Em RQM, a teoria de Dirac, é:
𝒗
̂ =
𝒊
ℏ
[𝑯
̂, 𝒓
̂] que deve ter autovalores entre ± c . Veja a transformação Foldy – Wouthuysen
para mais informações teóricas.

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No RQM, os operadores de posição e momento são inseridos directamente onde aparecem no
tensor do momento angular relativista orbital definido a partir da posição e momento quadri-
dimensional da partícula, equivalentemente um bivector no formalismo da álgebra externa:
𝑴𝜶𝜷
= 𝑿𝜶
𝑷𝜷
− 𝑿𝜷
𝑷𝜶
= 𝟐𝑿[𝜶𝑷𝜷]
⇌ 𝑴 = 𝑿 ∧ 𝑷

18
Referencias Bibliográficas
M.Reiher, A.Wolf (2009). Química Quântica Relativista. John Wiley & Sons ISBN
STRANGE (1998). Mecânica Quântica Relativística: Com Aplicações em Matéria
Condensada e Física Atómica. Cambridge University Press.
MESSIAH (1981). Mecânica Quântica. 2 . Editora Norte-Holland. p. 875.
W. Greiner (2000). Mecânica Quântica Relativística. Equações de onda (3ª
ed.). Springer p. 70.
WACHTER do A. (2011). "Mecânica quântica relativista" . Springer p. 34
R. Resnick; R. Eisberg (1985). Física Quântica de Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e
Partículas (2ª ed.). John Wiley & Sons p.
T. Ohlsson (2011). Física Quântica Relativística: Da Mecânica Quântica Avançada à Teoria
Quântica Introdutória de Campos. Cambridge University Press. p. 10