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MECANISMOS
R. Krüger
Salvador, 2015

MECANISMOS CAPÍTULO 1
1
1. INTRODUÇÃO
1.1 Introdução ao Estudo de Mecanismos. O estudo de mecanismos é muito importante.
Com o enorme avanço realizado no projeto de instrumentos, controles automáticos e
equipamentos automatizados, o estudo de mecanismos tomou novo significado. Mecanismo pode
ser definido como a parte de projeto de máquinas relacionadas com o projeto cinemático de
sistemas articulados, cames, engrenagens e trens de engrenagens. O projeto cinemático se
baseia nos requisitos relativos ao movimento, diferindo do projeto baseado em requisitos de
resistência. Será apresentado um exemplo de cada mecanismo acima mencionado, a fim de
proporcionar uma descrição compreensiva dos componentes a serem estudados.
A Fig. 1.1 representa o esboço de um mecanismo conhecido por mecanismo cursor-manivela.
A peça 1 é o suporte e é estacionária, a peça 2 é a manivela, a peça 3 é a biela e a peça 4 o
cursor. Uma aplicação comum deste mecanismo aparece no motor de combustão interna, onde a
peça 4 é o pistão (Fig. 1.2a). Essa figura também demonstra quão difícil pode ser para discernir o
dispositivo cinemático básico quando se olha para uma fotografia ou um desenho de uma
máquina completa. A figura 1.2b mostra o diagrama cinemático do mecanismo cursor-manivela,
correspondente ao conjunto manivela-biela-pistão do lado esquerdo da fotografia 1.2a. O
diagrama cinemático facilita o trabalho e permite ao projetista separar as considerações
cinemáticas do problema maior referente ao projeto da máquina.
Figura 1.1 Mecanismo cursor-manivela
Figura 1.2a Motor V-8 onde se vê o mecanismo biela-manivela
Figura 1.2b Diagrama cinemático do mecanismo do motor
A figura 1.3 mostra o esboço de uma came com seguidor. A came gira a uma velocidade
angular constante e o seguidor se movimenta para cima e para baixo, em movimento alternativo.
A elevação do seguidor é comandada pelo excêntrico e o retorno por ação da gravidade ou de
uma mola. As cames são usadas em muitas máquinas e um dos empregos mais comuns aparece

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no motor de automóvel, onde são empregadas duas cames em cada cilindro para acionar as
válvulas de admissão e de escapamento, também mostradas na Fig. 1.2a. Uma came
tridimensional é apresentada na Fig. 1.4. Nesse mecanismo, o movimento do seguidor depende
não somente da rotação da came, mas, também de seu movimento axial.
Figura 1.3 Came bidimensional Figura 1.4 Came tridimensional
As engrenagens são usadas em muitas aplicações para transmitir movimento entre eixos com
uma razão de velocidades angulares constante. A Fig. 1.5 mostra algumas engrenagens
comumente empregadas.
Figura 1.6
Figura 1.5
Em dispositivos tais como instrumentos e controles automáticos, a obtenção do movimento
correto é de suma importância. A potência transmitida pelos elementos pode ser muito pequena,
chegando a ser desprezível, o que permite que os componentes sejam dimensionados
inicialmente apenas por seu aspecto cinemático, passando a ter importância secundária o
problema da resistência das peças.
Há outras máquinas, entretanto, onde a análise cinemática é somente uma fase do projeto.
Depois que for determinado como as diversas peças da máquina funcionarão para a realização do
trabalho desejado, as forças que atuam nessas peças devem ser analisadas, permitindo em
seguida o dimensionamento de seus elementos. Uma máquina operatriz é um bom exemplo: sua
resistência e sua rigidez são mais problemáticas do que os movimentos desejados.
É importante, nesta altura, definir os termos empregados no estudo de mecanismos, o que
será feito nos parágrafos seguintes.

3
1.2 Mecanismo, Máquina. No estudo de mecanismos esses termos serão empregados
repetidamente e são definidos da seguinte maneira:
Mecanismo é uma combinação de corpos rígidos ou resistentes de tal modo compostos e
ligados que se movem entre si com movimento relativo definido.
Um exemplo é o sistema cursor-manivela de um motor de combustão interna mostrado
esquematicamente na Fig. 1.1.
Máquina é um mecanismo, ou conjunto de mecanismos, que transmite força de uma fonte de
potência para a resistência a ser superada. Um exemplo é o motor de combustão interna.
1.3 Movimento. Tratando-se de estudo de mecanismos, é necessário definir os vários tipos
de movimento produzidos por estes mecanismos.
Movimento plano. TRANSLAÇÃO. Um corpo tem movimento de translação quando uma reta,
definida por dois pontos quaisquer desse corpo, fica constantemente paralela a si mesma.
1. Translação retilínea. Todos os pontos do corpo têm como trajetórias retas paralelas. Quando
o corpo se move desta forma, de um lado para o outro, diz-se que tem movimento alternativo. Isto
está ilustrado na Fig. 1.7, onde a peça 4 desliza alternadamente entre os limites B' e B".
Figura 1.7
2. Translação curvilínea. As trajetórias dos pontos são curvas idênticas, paralelas a um plano fixo.
A Fig. 1.8 mostra o mecanismo que era usado na ligação das rodas motrizes de uma
locomotiva a vapor. Neste mecanismo a barra 3 tem translação curvilínea e todos os seus pontos
determinam trajetórias cicIoidais durante o movimento de rolamento das rodas 2 e 4 sobre o trilho
1. A peça 5 se move em translação retilínea.
Figura 1.8
ROTAÇÃO. Se cada ponto de um corpo rígido, em movimento plano, permanece a uma
distância constante de um eixo fixo, normal ao plano do movimento, diz-se que esse corpo tem
movimento de rotação. Se o corpo gira de um lado para o outro dentro de um determinado ângulo,
o movimento é de oscilação. Isto é mostrado na Fig. 1.9 onde a manivela 2 gira e a barra 4 oscila
entre as posições B' e B".
Figura 1.9
ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO. Muitos corpos têm movimento que é uma combinação de
rotação e translação. A biela 3 na Fig. 1.7, as rodas 2 e 4 na Fig. 1.8 e a barra 3 na Fig. 1.9 são
exemplos deste tipo de movimento.

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Movimento helicoidal. Quando um corpo rígido se move de modo que seus pontos tenham
movimento de rotação em torno de um eixo fixo e ao mesmo tempo possua uma translação
paralela a esse eixo, diz-se que o corpo tem movimento helicoidal. Um exemplo deste movimento
é o de uma porca sendo atarraxada a um parafuso.
Movimento esférico. Quando um corpo rígido se move de modo que todos os seus pontos
girem em torno de um ponto fixo, mantendo uma distância constante desse ponto, diz-se que o
corpo tem movimento esférico.
Movimento espacial. Um corpo se movendo com rotação sobre três eixos não paralelos e
translação em três direções independentes é dito como estando em movimento espacial geral.
1.4 Ciclo, Período e Fase do Movimento. Quando as peças de um mecanismo, partindo de
uma posição inicial, tiverem passado por todas as posições intermediárias possíveis e retornarem
à mesma posição inicial, essas peças terão completado um ciclo do movimento. O tempo
necessário para completar um ciclo é chamado período. As posições relativas de um mecanismo
em um determinado instante, durante um ciclo, constituem uma fase.
1.5 Pares de Elementos. São as formas geométricas pelas quais dois membros de um
mecanismo são articulados de modo que o movimento relativo entre estes dois membros seja
coerente. Se o contato entre os dois membros for uma superfície tal como um eixo e um mancal,
essa articulação é denominada de par inferior. Se o contato for realizado segundo um ponto ou ao
longo de uma linha tal como em um rolamento de esferas ou entre dois dentes de engrenagens
em contato, essa articulação é chamada de par superior. Um par que permite somente rotação
relativa é chamado de par rotativo e o que permite somente deslizamento é um par deslizante. Um
par rotativo pode ser inferior ou superior dependendo da articulação empregada, se um eixo e um
mancal ou rolamento de esferas. Um exemplo de par deslizante inferior é o existente entre o
pistão e as paredes do cilindro de um motor.
1.6 Peça, Cadeia Cinemática. Uma peça é um corpo rígido que tem dois ou mais pares de
elementos pelos quais pode ser ligada a outros corpos para transmitir força ou movimento.
Geralmente uma peça é um elemento rígido que pode ser ligada em cada extremidade a dois ou
mais outros elementos. Isto pode ser estendido de modo a incluir três, quatro ou mais
articulações. As Figuras 1.10a, b e c mostram esses arranjos. Talvez o caso extremo de uma peça
com articulações múltiplas seja a biela mestra de um motor radial de nove cilindros apresentada
na Fig. 1.10d.
Figura 1.10
Um exemplo bem conhecido de uma peça com três articulações é a alavanca mostrada nas
Figuras 1.11a e b. Esta peça é usada geralmente para redução de movimento e pode ser
dimensionada para uma determinada relação de deslocamentos com um mínimo de distorção
desses movimentos.
Figura 1.11

5
Quando um número de peças for ligado através de pares, o sistema resultante é chamado de
cadeia cinemática. Se as peças forem ligadas de tal maneira que não seja possível haver
movimento, esse sistema será denominado de estrutura. Obtém-se uma cadeia restrita quando as
peças forem ligadas de modo que o movimento relativo entre as peças seja sempre o mesmo,
independendo do número de ciclos realizados. É possível também a ligação de peças de modo a
resultar uma cadeia livre, o que significa que o tipo de movimento irá variar dependendo do atrito
existente nas articulações. Se fixarmos uma das peças de uma cadeia restrita, o resultado será
um mecanismo.
1.7 Inversão. Em um mecanismo, se for liberada uma peça que originalmente era fixa e a
outra peça passar a ser fixa, diz-se que esse mecanismo está invertido. A inversão de um
mecanismo não altera o movimento relativo entre suas peças, entretanto modifica seus
movimentos absolutos.
1.8 Transmissão de Movimento. No estudo de mecanismos é necessário investigar o
método pelo qual o movimento pode ser transmitido de um membro para outro. Pode-se transmitir
movimento de três maneiras: (a) contato direto entre dois corpos, tal como entre um excêntrico e
um seguidor ou entre duas engrenagens, (b) através de um elemento rígido intermediário ou uma
biela e (c) por uma ligação flexível, como uma correia ou uma corrente.
Pode-se determinar a razão de velocidades angulares para o caso de dois corpos em contato.
A Fig. 1.12 mostra a came 2 e o seguidor 3 em contato no ponto P. A came gira no sentido horário
e a velocidade do ponto P, considerado como um ponto da peça 2, é representada pelo vetor PM2.
A linha NN' é a normal às duas superfícies no ponto P e é conhecida por normal comum, linha de
transmissão ou linha de ação. A tangente comum é representada por TT’. O vetor PM2 é
decomposto em duas componentes Pn ao longo da normal comum e Pt2, ao longo da tangente
comum. A came e o seguidor são corpos rígidos e devem permanecer em contato, por isso, a
componente da velocidade de P, considerado como um ponto da peça 3, deve ser igual à
componente normal da velocidade de P, considerado como pertencente à peça 2. Portanto,
conhecendo-se a direção do vetor velocidade P como pertencente à peça 3 e sabendo-se que ela
é perpendicular ao raio O3P, e conhecendo-se também sua componente normal, é possível a
determinação do vetor velocidade PM3, conforme mostrado na Fig. 1.12. A partir desse vetor,
pode-se determinar a velocidade angular do seguidor através da relação V = , onde V é a
velocidade linear de um ponto que se move ao longo de uma trajetória de raio R e é a
velocidade angular do raio R.
Figura 1.12
Nos mecanismos em que há contato direto, é necessário determinar a velocidade de
deslizamento. Da figura pode-se ver que a velocidade de deslizamento é a diferença vetorial entre
as componentes tangenciais das velocidades dos pontos em contato. Essa diferença é dada pela
distância t2t3 porque a componente Pt3 tem direção contrária à de Pt2. Se t2 e t3 estiverem do
mesmo lado de P, a velocidade relativa será dada pela diferença dos segmentos Pt3 e Pt2. Se o
ponto de contato estiver na linha de centros, os vetores PM2 e PM3 serão iguais e, em
conseqüência, terão a mesma direção. Portanto, as componentes tangenciais serão iguais e a
velocidade de deslizamento será nula. As duas peças terão, portanto, um movimento de
rolamento puro. Assim pode-se dizer que a condição para que exista rolamento puro é que o

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ponto de contato permaneça sobre a linha de centros.
Para o mecanismo da Fig. 1.12, o movimento entre a came e o seguidor será uma
combinação de rolamento e deslizamento. O rolamento puro somente poderá ocorrer quando o
ponto de contato P cair sobre a linha de centros. Entretanto, o contato nesse ponto poderá não ser
possível devido às proporções do mecanismo. Também poderá não ocorrer deslizamento puro
entre a came 2 e o seguidor 3. Para tal acontecer, um ponto de uma das peças, dentro dos limites
de seu curso, deverá entrar em contato com todos os pontos sucessivos da superfície ativa da
outra peça.
É possível determinar uma relação de modo que a razão de velocidades angulares de duas
peças em contato direto possa ser calculada sem a necessidade da construção geométrica
delineada acima. A partir dos centros O2 e O3 baixam-se perpendiculares à normal comum
cruzando-a nos pontos e e f, respectivamente. As seguintes relações são obtidas da Fig. 1.12:
2 = PM2 / O2P e 3 = PM3 / O3P
Logo,
3 / 2 = ( PM3 / O3P ) x ( O2P/ PM2 )
Como os triângulos PM2n e O2Pe são semelhantes,
PM2 / O2P = Pn / O2e
Também os triângulos PM3n e O3Pf são semelhantes; portanto,
PM3 / O3P = Pn / O3f
Assim,
3 / 2 = ( Pn / O3f ) x ( O2e / Pn ) = O2e / O3f
Figura 1.13
Com a normal comum cruzando a linha de centros no ponto K, os triângulos O2Ke e O3Kf são
semelhantes também e, portanto,
3 / 2 = O2e / O3f = O2K / O3K (1.1)
Assim, para um par de superfícies curvas em contato direto, as velocidades angulares são
inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha de centros por sua intersecção
com a normal comum. Conclui-se então que, para haver uma razão de velocidades angulares
constante, a normal comum deve cruzar a linha de centros em um ponto fixo.
Figura 1.14
É possível também a obtenção das relações acima para a transmissão de movimento através
de uma peça intermediária ou biela e para a transmissão de movimento por elemento flexível. As
Figuras 1.13 e 1.14 mostram os dois casos, respectivamente, onde a velocidade é dada por:
4 / 2 = O2K / O4K (1.2)

7
Na Fig. 1.14 a razão 4 2 independe da distância entre centros O2O4.
1.9 Mobilidade ou número de graus de liberdade. Mobilidade é um dos conceitos mais
fundamentais para o estudo da cinemática. Por definição, a mobilidade de um mecanismo é o
número de graus de liberdade que possui. Uma definição equivalente para mobilidade é o número
mínimo de parâmetros dependentes requeridos para especificar a posição de qualquer peça em
um mecanismo.
Figura 1.15
Uma peça simples limitada a se mover com movimento plano, como mostrado na Fig. 1.15a,
possui três graus de liberdade. As coordenadas x e y do ponto P ao longo do ângulo formam um
conjunto de três parâmetros independentes descrevendo sua posição. Duas peças desconectadas
com movimento plano são mostradas na Fig. 1.15b. Desde que cada peça possui três graus de
liberdade, essas duas peças possuem um total de seis graus de liberdade. Se as duas peças
estão conectadas por um pino como uma junta de rotação, conforme mostrado na Fig. 1.15c, o
sistema de duas peças possui quatro graus de liberdade. Quatro parâmetros independentes
descrevendo a posição das duas peças poderiam, por exemplo, ser as coordenadas x e y do
ponto P1, o ângulo 1, e o ângulo 2. Existem muitos outros parâmetros que poderiam ser
utilizados para especificar a posição dessas peças, mas apenas quatro podem ser independentes.
Desde que os valores dos parâmetros independentes sejam especificados, a posição de cada
ponto em ambas as peças pode ser determinada.
No exemplo simples descrito acima, conectar duas peças com uma junta de rotação tem o
efeito de remover dois graus de liberdade do sistema. Por outro lado, uma junta de rotação
permite um grau de liberdade (rotação pura) entre duas peças conectadas. Usando esse tipo de
lógica, é possível desenvolver uma equação geral que auxiliará a predizer a mobilidade de
qualquer mecanismo plano.
Por exemplo, um mecanismo plano possuindo n peças deverá ser projetado. Antes de se
fazer qualquer conexão, o sistema de n peças deverá ter o total de 3n graus de liberdade. O
reconhecimento de que pelo menos uma peça de qualquer mecanismo deverá ser sempre
considerada como fixada a uma base remove três graus de liberdade. Isso deixa o sistema com
um total de 3n – 3, ou 3(n – 1), graus de liberdade. Cada junta com um grau de liberdade remove
dois graus de liberdade do sistema. Similarmente, cada junta de dois graus de liberdade remove
um grau de liberdade do sistema. A mobilidade total do sistema é dada pela equação de Grübler:

8
M = 3(n – 1) – 2f1 – f2 (1.3)
Onde
M = mobilidade ou número de graus de liberdade
n = número total de peças incluindo a base
f1 = número de juntas com um grau de liberdade
f2 = número de juntas com dois graus de liberdade
Deve ser tomado cuidado ao se utilizar essa equação porque existem algumas geometrias
especiais de mecanismos onde ela não funciona. Embora não exista uma regra para predizer
onde a equação de mobilidade fornecerá um resultado incorreto, casos especiais freqüentemente
ocorrem quando muitas peças do mecanismo são paralelas. Por exemplo, ao ser aplicada a
equação de Grübler no mecanismo da Fig. 1.16 o resultado será
M = 3(5 – 1) – 2(6) = 0
Figura 1.16
Entretanto, esse dispositivo pode se mover como resultado de uma geometria especial e
possui um grau de liberdade. Deve também ser notado que uma junta conectando k peças em um
único ponto deve ser contada como k – 1 juntas. Por exemplo, uma junta de rotação conectando
três peças em um único ponto é contada como duas juntas.
Apenas quatro tipos de juntas são normalmente encontrados em mecanismos planos. Essas
são as juntas de rotação, prismáticas, e de contato de rolamento (cada uma com um grau de
liberdade), e as juntas de came ou engrenagens (com dois graus de liberdade). Essas juntas são
mostradas na Fig. 1.17. As seguintes definições são aplicadas para a mobilidade de um
dispositivo:
M 1: o dispositivo é um mecanismo de M graus de liberdade
M = 0: o dispositivo é uma estrutura estaticamente determinada
M –1: o dispositivo é uma estrutura estaticamente indeterminada
Tipo de Junta
(Símbolo)
Forma
Física
Representação
Esquemática
Graus de
Liberdade
Rotativa
(R)
1
(rotação pura)
Prismática
(P)
1
(escorregamento puro)
Came ou
Engrenagem
2
(rolamento e escorregamento)
Contato de
Rolamento
1
(rolamento sem
escorregamento)
Figura 1.17

9
Exemplo 1.1. Determine a mobilidade do mecanismo de quatro barras da Fig. 1.18.
Figura 1.18
São 4 peças e quatro juntas de rotação, cada qual com um grau de liberdade. A mobilidade é dada por
M = 3(4 – 1) – 2(4)
M = 1
Portanto esse é um mecanismo de um grau de liberdade.
Exemplo 1.2. Determine a mobilidade do dispositivo da Fig. 1.19.
Figura 1.19
São quatro peças conectadas por cinco juntas de um grau de liberdade (a junta que conecta três peças
conta como duas). A mobilidade é dada por
M = 3(4 – 1) – 2(5)
M = – 1
Essa é uma estrutura estaticamente indeterminada.
Exemplo 1.3. Determine a mobilidade do dispositivo da Fig. 1.20.
Figura 1.20
Existem três ligações, duas juntas de rotação com um grau de liberdade e uma junta tipo par superior com
dois graus de liberdade. Na junta tipo par superior, as duas peças de contato podem transladar ao longo da
linha de tangência comum ou rotacionar sobre o ponto de contato, resultando em dois graus de liberdade. A
mobilidade é dada por
M = 3(3 – 1) – 2(2) – 1(1)
M = 1
Esse é um mecanismo de um grau de liberdade.

10
Problemas
1.1 Na Fig. 1.21, se 2 = 20 rad/min, calcular a velocidade angular da peça 3 para os dois
casos mostrados e os ângulos máximo e mínimo entre o seguidor e a horizontal.
Figura 1.21
1.2 Determinar a velocidade de escorregamento entre as peças 2 e 3 do Problema 1.1.
1.3 Se 2 = 20 rad/min para o mecanismo apresentado na Fig. 1.21, determinar as
velocidades angulares da peça 3 para uma volta completa da came empregando acréscimos de
60° a partir da posição em que 3 = 0. Calcular 3 em função do ângulo de rotação da came.
1.4 Para o mecanismo mostrado na Fig. 1.22, se 2 = 1800 rad/s, calcular a velocidade
angular da peça 3 e os ângulos mínimo e máximo do seguidor em relação a horizontal.
Figura 1.22

11
1.5 Determinar 4 e VB para o mecanismo mostrado na Fig. 1.23.
O2A = 100 mm
O4B = 130 mm
2 = 100 rad/s ah
Figura 1.23
1.6 Determinar 4 e VB para o mecanismo mostrado na Fig. 1.24.
O2O4 = 4 pol
O2A = 2,828 pol
AB = 2 pol
O4B = 2 pol
2 = 14,14 rad/s ah
Figura 1.24
1.7 Provar que, para o mecanismo mostrado na Fig. 1.13, as velocidades angulares das
peças conduzida e condutora são inversamente proporcionais aos segmentos determinados na
linha de centros por sua interseção com a linha de transmissão.
1.8 Provar que, para as polias e correia mostradas na Fig. 1.14, as velocidades angulares
das polias são inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha de centros por
sua interseção com a linha de transmissão.
1.9 No mecanismo da Fig. 1.13, a manivela 2 tem 19 mm de comprimento e gira a uma
velocidade angular constante de 15 rad/s. A barra 3 tem 38 mm de comprimento e a barra 4 tem
25 mm de comprimento. A distância entre os centros O2 e O4 é de 51 mm. Determinar a
velocidade angular da peça 4 quando a manivela 2 tiver girado de 45° no sentido anti-horário, a
partir da horizontal. Dizer se 4 é constante ou não.
1.10 Uma polia de 100 mm de diâmetro aciona outra de 200 mm de diâmetro através de
uma correia. Se a velocidade angular da polia condutora é de 65 rad/s e a distância entre os
centros das polias é de 400 mm, determinar a velocidade angular da polia conduzida. Sua
velocidade será constante?
1.11 Determinar a mobilidade (número de graus de liberdade) dos dispositivos mostrados
nas Figuras 1.25 a 1.32.

12
Figura 1.25
Figura 1.27
Figura 1.26
Figura 1.28 Figura 1.29
Figura 1.30
Figura 1.31 Figura 1.32
RESPOSTAS DE ALGUNS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1.1 (a) 3 = 0 (b) 3 = 2,86 rad/min (c) max = 30°, min = 9,6°;
1.2 (a) Vt2 = 750 mm/min, Vt3 = 0 (b) Vt2 = 428,6 mm/min, Vt3 = 0;
1.3 ( = 0°) = 0; ( = 60°) = 2,63 rad/min; ( = 120°) = 2,86 rad/min; ( = 180°) = 1,09 rad/min; ( = 240°) = 2,58 rad/min; ( = 300°) = 4,00 rad/min;
1.4 3 = 318,75 rad/s, max = 46,54°, min = 21,62°;
1.5 4 = 54,39 rad/s, VB2 = VB4 = 7071 mm/s;
1.6 4 = 14,14 rad/s, VB2 = 28,28 pol/s, VB4 = 63,24 pol/s;
1.9 4 = 5,41 rad/s (não é constante, pois o ponto K muda de posição);
1.10 4 = 32,5 rad/s (é constante, pois o ponto K é fixo);
1.11 Fig. 1.25, M = 0; Fig. 1.26, M = 2; Fig. 1.27, M = -2; Fig. 1.28, M = 2; Fig. 1.29, M = 1; Fig. 1.30, M = 3; Fig. 1.31, M = 1; Fig. 1.32, M = 1.

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