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Relatividade

  1. 1. 3ª Série - Murakami FÍSICA - ROGÉRIO PORTO Teoria da Relatividade Especial 1ª Parte: A questão da Simultaneidade Vamos considerar a seguinte situação: dois raios caem nas extremidades de um vagão que se desloca com velocidade v  , em relação aos trilhos, conforme é ilustrado na figura abaixo. Imagine que, além do observador na plataforma, também há um observador que viaja dentro do vagão e que vê os raios caindo. O que você diria da seguinte questão: Seriam esses dois eventos simultâneos em relação ao observador no solo e em relação ao observador dentro do vagão? Para responder, vamos analisar o que diz cada observador.  Para o observador parado na plataforma, os raios que partem das extremidades do vagão irão encontrar-se no local onde está o observador. Ele pode afirmar que os dois eventos (queda dos raios) são simultâneos.  Para o observador, dentro do vagão, ele se movimenta ao encontro do raio que cai na extremidade à sua frente, ao mesmo tempo ele se afasta do raio que cai na outra extremidade. Portanto ele recebe um raio antes do outro e os dois eventos (queda dos raios) não são simultâneos. Antes do trabalho de Einstein ter sido divulgado, os físicos sempre admitiam que o significado das indicações do tempo era absoluto, isto é, não dependia do referencial adotado. Observamos no exemplo da queda dos dois raios que dois eventos, sendo simultâneos em um determinado sistema de referência, não necessariamente devem ser simultâneos em outro sistema de referência que se movimenta em relação ao primeiro. Concluindo! Dois observadores em movimento relativo podem não concordar quanto à simultaneidade de dois eventos. Se um dos observadores os considera simultâneos, o outro observador poderá concluir que não são simultâneos. 2ª Parte: Dilatação do Tempo Vamos considerar uma nave que se desloca com velocidade 풗⃗⃗ , em relação à Terra. Considere, no interior da nave, o chamado relógio de luz que consiste em uma caixa transparente contendo na parte inferior uma fonte de luz e um receptor e na parte superior um espelho plano. Suponha que um pulso de luz emitido na parte inferior viaje para cima, sendo refletido pelo espelho e captado pelo receptor. (Observador no interior da nave) Entre um tique e um taque, temos uma unidade de tempo do nosso relógio. Essa unidade de tempo corresponde à duração do percurso da luz entre o emissor e o espelho (ida e volta). Considerando um observador dentro da nave, o cronômetro indica o intervalo de tempo  to (tempo próprio). Sendo a altura da nave representada por D, teremos:  to = (tempo de subida) + (tempo de descida) D c tt o o D c D c 2      (Observador na Terra) Considerando o observador em repouso no solo, este observador, ao ver passar a nave com velocidade v, verá que o pulso emitido pela fonte apresenta comportamento diferente. Isto é, quando a luz chega ao espelho, a nave já se encontra em outro ponto e, quando o pulso retorna, a nave percorreu a distância 2L = v. t, intervalo de tempo dilatado. O intervalo de tempo  t é determinado com o cronômetro, do local onde o pulso é emitido até o local de retorno do pulso luminoso, em relação ao solo. Considerando o triângulo retângulo indicado abaixo, podemos, com o auxílio do teorema de Pitágoras, obter:
  2. 2. 2 2 2 t  2 0 2 0 2 c  t 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 1 ( ). 4 4 4 v c t c v t c v t c t c t v t c t                  2 2  1 v c t t o    Com essa demonstração algébrica, chegamos ao resultado chamado dilatação do tempo, ou seja,  t   to. Em outras palavras, o intervalo de tempo de um evento físico, medido por um observador em repouso no solo ( t), é maior do que o intervalo de tempo medido pelo observador dentro da nave ( to), ou seja, em repouso em relação ao relógio de luz. Concluindo: “O tempo entre dois eventos é mais curto quando medido em um referencial no qual os dois eventos ocorrem no mesmo lugar.” 3ª Parte: Contração das distâncias Vimos que os intervalos de tempo não são absolutos, eles dependem do referencial adotado. As medidas das distâncias também dependem do referencial. Vamos analisar o resultado da medida da distância entre a Terra e Alfa Centauri (sistema estelar mais próximo do Sol), calculadas por dois referenciais inerciais – um situado na Terra e outro numa nave. 1ªParte: observador na Terra Para o observador na Terra, a distância percorrida nessa viagem é dada por Lo = v.Δt. observador na nave Para o observador na nave, a distância percorrida nessa viagem é igual a por L = v.Δto Utilizando esses dois resultados, teremos: L    o L o t t S t v      2 2   1 o v c t t L L t t L L o o o o         2 2 1 v c L Lo    Concluindo: Esse resultado mostra que o comprimento Lo, medido pelo observador fixo na Terra, é maior que o comprimento L, medido pelo observador fixo na nave. 4ª Parte: relação entre Energia e Massa Tendo compreendido os postulados da Teoria da Relatividade e analisado a relação entre espaço e tempo, voltamos nossa atenção para a Dinâmica Relativística, analisando as grandezas, massa, quantidade de movimento e energia. Durante esse desenvolvimento, é necessário introduzir pelo menos uma dessas grandezas; vamos escolher a quantidade de movimento. Comecemos o estudo da Dinâmica Relativística com uma nova definição para a quantidade de movimento. 퐩⃗⃗ = 풎ퟎ 퐯ퟐ √ퟏ − 퐯 ퟐ 퐜ퟐ em que 퐦ퟎ é denominada massa de repouso e 퐯⃗ é a velocidade da partícula. Essa nova definição para a quantidade de movimento garante sua conservação para todos os referenciais inerciais. Analisando o comportamento relativístico da quantidade de movimento, podemos escrever a expressão relativística para a massa. 퐦 = 퐦ퟎ √ퟏ − 퐯 ퟐ 퐜ퟐ Nessa expressão, quanto maior a velocidade da partícula, maior sua massa. Quando a velocidade é nula, a massa da partícula apresenta valor m0, daí o termo massa de repouso. Cuidado para não confundir, no estudo da relatividade, matéria e massa, pois, quando a velocidade apresenta uma variação, temos também uma variação de massa (Δ퐦), e nenhuma variação na quantidade de matéria – são grandezas bem diferentes. Para termos uma ideia melhor: uma partícula com massa de repouso igual a 2 g, que se move a uma velocidade de 0,6c, possui uma
  3. 3. massa relativística de 2,5 g, ou seja, possui uma massa 25% maior que sua massa de repouso e mesma quantidade de matéria. Qualquer forma de energia possui inércia, e a massa inercial m associada à energia E é dada pela relação de Einstein. A lei de conservação da massa é um caso particular da lei de conservação da energia (palavras de Einstein). Quando uma partícula encontra-se em repouso (v = 0), teremos: 퐄퐫퐞퐩퐨퐮퐬퐨 = 퐦퐫퐞퐩퐨퐮퐬퐨 ∙ 퐜ퟐ → 퐄ퟎ = 퐦ퟎ ∙ 퐜ퟐ Estando a partícula em movimento, sua energia cinética pode ser analisada pela diferença entre a energia total e a energia de repouso da partícula, ou seja: 퐄퐜 = 퐄 − 퐄ퟎ → 퐄퐜 = (퐦 − 퐦ퟎ ) ∙ 퐜ퟐ 퐄퐜 = Δ퐄 = Δ퐦 ∙ 퐜ퟐ Finalizando, podemos analisar a expressão Δ퐦 = Δ퐄 퐜ퟐ como sendo a variação de massa devido à transferência da energia Δ퐄. QUESTÕES PROPOSTAS 1. Observe esta figura: Paulo Sérgio, viajando em sua nave, aproxima-se de uma plataforma espacial, com velocidade de 0,7c, em que c é a velocidade da luz. Para se comunicar com Paulo Sérgio, Priscila, que está na plataforma, envia um pulso luminoso em direção à nave. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a velocidade do pulso medida por Paulo Sérgio é de A) 0,7 c. B) 1,0 c. C) 0,3 c. D) 1,7 c. E) 1,9 c. 2. Em 2005, Ano Mundial da Física, comemora-se o centenário da Teoria da Relatividade de Albert Einstein. Entre outras consequências esta teoria poria fim à ideia do éter, meio material necessário, semelhantemente ao som, através do qual a luz se propagava. O jargão popular "tudo é relativo" certamente não se deve a ele, pois seus postulados estão fundamentados em algo absoluto: a velocidade da luz no vácuo - 300000 km/s. Hoje sabe-se que: I. O som propaga-se no vácuo. II. A luz propaga-se no vácuo. III. A velocidade da luz no vácuo é a velocidade limite do universo. É (são) verdadeira(s): A) todas B) somente I C) somente II D) II e III E) somente III 3. A figura representa uma nave espacial que se move com uma grande velocidade constante v em relação à plataforma. O1 é um observador localizado no centro da nave e O2 é um observador externo, localizado no centro da plataforma. Cada observador tem dois telefones celulares, um CA e um CB , junto aos seus ouvidos. A e B são fontes de radiação eletromagnética localizadas na extremidade da plataforma. 푣 = 푐푡푒 Suponha que, no instante representado, são emitidos simultaneamente um sinal do ponto A da plataforma, na frequência de recepção dos celulares CA , e outro sinal do ponto B da plataforma, na frequência de recepção dos celulares CB . De acordo com a Teoria da Relatividade Especial, pode-se afirmar que os sinais captados pelos celulares CA e CB são simultâneos para A) ambos os observadores. B) O1 , mas para O2 o celular CA capta primeiro. C) O1 , mas para O2 o celular CB capta primeiro. D) O2 , mas para O1 o celular CA capta primeiro. E)) O2 , mas para O1 o celular CB capta primeiro. 10. Uma pessoa está de pé ao lado dos trilhos de uma estrada de ferro quando é surpreendida pela passagem de um trem relativístico, como mostra a figura. No interior de um dos vagões, um passageiro dispara um pulso de laser em direção à parte traseira do vagão. A) A velocidade do pulso medida pela pessoa que está do lado de fora do vagão é maior do que a velocidade medida pela pessoa dentro do vagão. B) A velocidade do pulso medida pela pessoa que está dentro do vagão é maior do que a velocidade medida pela pessoa que está fora do vagão. C) O intervalo de tempo que o pulso leva para chegar à extremidade posterior do vagão é maior para a pessoa dentro do vagão. D) A razão entre o intervalo de tempo medido pela pessoa fora do vagão e o intervalo de tempo medido pela pessoa no vagão é maior do que 1. E) O intervalo de tempo que o pulso leva para chegar à extremidade posterior do vagão não depende da pessoa que está observando. 5. Um astronauta é colocado a bordo de uma espaçonave e enviado para uma estação espacial a uma velocidade constante v = 0,8c, onde c é a velocidade da luz no vácuo. No referencial da espaçonave, o tempo transcorrido entre o lançamento e a chegada na estação espacial foi de 12 meses. Qual o tempo transcorrido no referencial da Terra, em meses? A) 20 meses B) 25 meses C) 30 meses
  4. 4. D) 35 meses E) 40 meses 6. Suponha que táxis-especiais do futuro movam-se pelo sistema solar com velocidade igual a 0,6c. Para uma corrida de uma hora, como medida por um relógio dentro do táxi, o pagamento do motorista é C$ 10,00 (dez cosmos). O sindicato dos motoristas exige que o pagamento seja feito com base no tempo da Terra, ao invés do tempo do táxi. Se a exigência está correta, qual seria o novo pagamento para a mesma corrida, em C$? A) 10,50 B) 12,50 C) 14,50 D) 15,00 E) 20,00 7. Um bloco de massa m = 4,0 kg, oscila verticalmente pendurado na extremidade de uma mola fixa no teto do vagão que movimenta-se com velocidade v = 2,4.108 m/s, em ralação a estação. A constante elástica da mola K = 1,6.103 N/m. Determine o período de oscilação do sistema massa – mola, em unidades de 10-2 s, em relação ao observador fixo na plataforma da estação. Adote  = 3. A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60 8. (UPE) Considere dois gêmeos, A e B. O gêmeo B realiza uma viagem espacial à estrela Arturus a uma velocidade constante 60% da velocidade da luz. Segundo os que estão na Terra, Arturus fica aproximadamente a 40 anos-luz de distância. Quais serão as idades dos gêmeos, quando B chegm.ar àquela estrela, sabendo-se que eles têm 20 anos de idade no início da viagem? A) A tem 72,33 anos, e B, 61,21 anos. B) A tem duas vezes a idade de B. C) A tem a mesma idade de B. D) A tem 92 anos, e B, 51 anos. E) A tem 86,66 anos, e B, 73,33 anos. 9. Um observador viaja no interior de uma nave com velocidade constante v = 0,8c em relação à Terra e avalia que o comprimento de uma barra fixa ao solo possui 1,20m. Para outro observador, em repouso na Terra, essa barra apresenta um comprimento: A) 50 cm menor. B) 80 cm maior. C) 30 cm maior. D) 20 cm menor. E) 40 cm maior. 10. (UPE) O carro de Doc Brown, do filme “DE VOLTA para o FUTURO”, ultra-rápido, com 4,00m de comprimento de repouso, passa por um abrigo. De acordo com o assistente de Doc Brown, o comprimento deste abrigo é de 2,00m, e o carro cabe exatamente nele ao passar, ou seja, o assistente observa que o carro tem o mesmo tamanho do abrigo. A velocidade com que o carro passa pelo abrigo, em m/s, é :(considere “c” a velocidade da luz) A) 0,707c. B) 0,866c. C) c. D) 1,12c. E) 0,50c 11. A figura mostra Sara com sua vassourinha observando um trem passar a uma velocidade v = 0,8 c constante . No interior do trem, Larissa segura os balões anti-stress que ganhou de dona Clara e observa uma barra de ferro fixa ao piso do trem. Se, observando a barra que se encontra no interior do trem, Sara mede seu comprimento como igual a 24 cm, para essa mesma barra, Larisssa medirá um comprimento quantos centímetros maior? A) 40 cm B) 35 cm C) 16 cm D) 20 cm E) 25 cm 12. De acordo com a Teoria da Relatividade quando objetos se movem através do espaço-tempo com velocidades da ordem da velocidade da luz, as medidas de espaço e tempo sofrem alterações. A distância Sol- Terra para um observador fixo na Terra é L0 = 1,5.1011. Para um nêutron com velocidade v = 0,6 c, essa distância é de A) 1,2.1010 m B) 7,5.1010 m C) 1,0.1011 m D) 1,2.1011 m E) 1,5.1011 m 13. A UNESCO declarou 2005 o Ano Internacional da Física, em homenagem a Albert Einstein, no transcurso do centenário dos seus trabalhos que revolucionaram nossas idéias sobre a Natureza. A equivalência entre massa e energia constitui um dos resultados importantes da Teoria da Relatividade. Determine a ordem de grandeza, em joules, do equivalente em energia da massa de um pãozinho de 50 g. A) 109 B) 1011 C) 1013 D) 1015 E) 1017 14. A relação massa-energia (E = mc2), atualmente, é vista como um emblema da Teoria da Relatividade Restrita, de 1905. Porém, já no início da década de 1890, a Física necessária para obter essa relação estava disponível, e implícita na equação do eletromagnetismo Clássico, que põe em correspondência a quantidade de movimento e a
  5. 5. energia de uma onda eletromagnética. No entanto, cabe inegavelmente a Einstein o mérito de tê-la generalizado. Essa relação permite concluir que, se aquecermos um corpo, fazendo com que ele absorva 90 kJ, a sua massa irá aumentar: A) um décimo de grama. B) um centésimo de grama. C) um milésimo de grama. D) um milionésimo de grama. E) um bilionésimo de grama. 15. Uma fábrica de produtos metalúrgicos do Distrito Industrial de Fortaleza consome, por mês, cerca de 2,0.106 kWh de energia elétrica (1 kWh = 3,6.106 J). Suponha que essa fábrica possui uma usina capaz de converter diretamente massa em energia elétrica, de acordo com a relação de Einstein, E = mo.c2. neste caso, a massa necessária para suprimir a energia requerida pela fábrica, durante um mês, é , em gramas: A) 0,08 B) 0,8 C) 8 D) 80 E) 800 16. Em 1905, como consequência da sua Teoria da Relatividade Especial, Albert Einstein (1879 - 1955) mostrou que a massa pode ser considerada como mais uma forma de energia. Em particular, a massa m de uma partícula em repouso é equivalente a um valor de energia E dado pela famosa fórmula de Einstein: E = mc2, onde c é a velocidade de propagação da luz no vácuo, que vale aproximadamente 300000 km/s. Considere as seguintes afirmações referentes a aplicações da fórmula de Einstein. I - Na reação nuclear de fissão do U-235, a soma das massas das partículas reagentes é maior do que a soma das massas das partículas resultantes. II - Na reação nuclear de fusão de um próton e um nêutron para formar um dêuteron, a soma das massas das partículas reagentes é menor do que a massa da partícula resultante. III - A irradiação contínua de energia eletromagnética pelo Sol provoca uma diminuição gradual da massa solar. Quais estão corretas? A) Apenas I. B) Apenas II. C) Apenas III. D) Apenas I e II. E) Apenas I e III. 17. "O Sol terá liberado, ao final de sua vida, 1044 joules de energia em 10 bilhões de anos, correspondendo a uma conversão de massa em energia, em um processo governado pela equação E=mc2 (onde E é a energia, m é a massa e c2, a velocidade da luz ao quadrado), deduzida pelo físico alemão Albert Einstein (1879-1955), em sua teoria da relatividade, publicada em 1905" (Revista "Ciência Hoje" 27, número 160, pág. 36). A massa perdida pelo Sol durante esses 10 bilhões de anos será, aproximadamente, em quilogramas (use c=3x108m/s): A) 1021 B) 1023 C) 1025 D) 1027 E) 1029 18. (UPE) Uma partícula de carga q se desloca na presença de um campo magnético uniforme B, com o módulo da velocidade v = 0,8c, onde c é a velocidade da luz no vácuo. Sendo m0 sua massa de repouso, o raio de sua trajetória será: A) 5m0 c 2qB B) 7m0 c 2qB C) m0 c 2qB D) 4m0c 3qB E) 10m0 c 7qB 19. (UPE-modificado) Considerando-se um determinado LASER que emite um feixe de luz cuja potência vale 6,0 mW, é CORRETO afirmar que a força exercida por esse feixe de luz (c = 3,0.108 m/s), quando incide sobre uma superfície refletora, vale A) 1,8 x 104 N B) 1,8 x 105 N C) 1,8 x 106 N D) 2,0 x 1011 N E) 4,0 x 10-11 N 20. Em 1964, o físico britânico Peter Higgs propôs a existência de um campo, o qual, ao interagir com uma partícula, conferia a ela a sua massa. A unidade básica desse campo foi chamada de bóson de Higgs. Em julho de 2012, os cientistas do CERN (Centro Europeu de Pesquisas Nucleares) anunciaram terem identificado o bóson de Higgs, com uma massa de 125 GeV (1 giga = 109). Dados: 1eV = 1,6 x 10-19 J e c = 3,0 x 108 m/s. O valor dessa massa, em kg, é de: A) 4,50x10+24 B) 6,66x10-18 C) 2,22x10-25 D) 6,66x10-27 E) 2,22x10-34 GABARITO 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 A D E D A B C E B B 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C D D E A E D D E C

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