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1.1Viagens com
GPS
19
Conceitos-chave nesta secção:
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20
Ténis que dispõem de um receptor
de GPS e de um emissor
de rádio que informa
permanentemente
qual é a posição
dos seus
portadores...
Pode ser utilizado
para os pais
saberem em que
local se encontram os filhos (utilizando uma página na
Internet) e pode até ser programado para produzir um
sinal sonoro se se afastarem demasiado...
1	 “Invente” uma possível utilização para um GPS que seja útil para um técnico florestal.
2	 Os relógios do sistema GPS têm de ter elevada precisão. Explique porquê em duas ou três
frases.
3	 Que precisão aproximada deveria ter o sistema GPS para que pudesse ser utilizado
adequadamente numa bola de futebol para saber quando era ou não golo?
O sistema GPS (“Global Positioning System”, Sistema
de Posicionamento Global) permite a localização de
qualquer objecto na Terra com elevada precisão
(incerteza de poucos metros, ou menor). Foi desen-
volvido pelo Ministério da Defesa dos Estados Unidos
da América e está disponível desde a década de 1980
para uso não militar, em todo o mundo. Na década de
2000, generalizou-se a utilização do GPS em automó-
veis, depois de se ter igualmente generalizado o seu
uso na ajuda à navegação no mar e no ar.
O sistema inclui um conjunto de dezenas de saté-
lites em órbita terrestre, que emitem radiação elec-
tromagnética (microondas) que é recebida pelos apa-
relhos receptores na Terra. A recepção dos sinais de
pelo menos quatro satélites, em simultâneo, permite
aos aparelhos de recepção calcular a posição
na Terra, bem como a magnitude e a direcção
da velocidade, no caso do aparelho receptor estar
em movimento. A ciência e a tecnologia que estão na
base do sistema GPS é extremamente complexa. Por
exemplo, exige relógios que conseguem distinguir mi-
lésimos de milionésimo de segundo. Só com relógios
tão precisos é possível calcular o tempo que demora
os sinais entre os satélites e os receptores na Terra,
quando se percorre distâncias pequenas.
É enorme a importância actual do GPS, desde a
sua utilização militar (nos mísseis, por exemplo) e
na navegação (onde praticamente substi-
tuiu todos os processos anteriores de
fazer navegação) até à elaboração e
verificação de mapas, passando pela
determinação da velocidade e dis-
tância percorrida por atletas até
ao controlo de pessoas idosas com
risco de perdas de memória (ou de
crianças e jovens pelos pais, ver
imagem ao lado). E todos os anos
surgem novas aplicações do GPS, à
medida que os circuitos receptores
diminuem de tamanho e de preço.
Funcionamento e aplicações do sistema GPS
À esquerda: um
GPS utilizado
principalmente
para navegação
no mar e
em passeios
pedestres. À
direita, um GPS
para uso em
automóveis.
Um dos circuitos de
recepção mais utilizados
nos aparelhos de GPS
(circuito Sirf III).
Conhecendo a distância a
vários satélites, bem como
a posição dos satélites, é
possível determinar a posição
do receptor na Terra.
21
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1	 Qual das cidades assinaladas na figura tem latitude
sul? E a longitude dessa cidade é este ou oeste?
2	 Estime um valor aproximado, em graus, para a
longitude de Londres. Fundamente a resposta.
3	 Estime um valor aproximado (às dezenas) para
a latitude de Londres, sabendo que a latitude de
Lisboa é N39º.
A determinação da posição de um objecto pode ser
feita utilizando as chamadas coordenadas de posi-
ção que não são mais do que quantidades físicas que
medem distâncias e, ou, ângulos.
Para posições na superfície terrestre costu-
mam-se utilizar dois ângulos e uma distância, as
chamadas coordenadas geográficas:
• a latitude, que é um ângulo medido no me-
ridiano do lugar a partir do equador, para
norte ou para sul; varia
de 0º a 90º norte ou de
0º a 90º sul (0º a 90º N
e 0º a 90º S);
• e a longitude, um ân-
gulo medido no para-
lelo do lugar, para oeste
ou para este, a partir do
meridiano de referência
(meridiano que passa por
Greenwich, uma locali-
dade perto de Londres, na
Inglaterra); varia de 0º a 180º oeste ou de 0º a
180º este (0º a 180º W e 0º a 180º E);
• a altitude, que é a distância do objecto ao nível
médio do mar.
Os ângulos das coordenadas geográficas medem-se
em graus (º). Um grau é a fracção 1/90 de um ângulo
recto. Cada grau tem 60 minutos de arco (60’) e cada
minuto de arco tem 60 segundos de arco (60’’). Com
frequência, em vez de se usar segundos de arco, utili-
zam-se fracções decimais do minuto.
Por exemplo, as coordenadas geográ-
ficas do farol do Cabo da Roca (o ponto
mais ocidental da Europa, na foto), são
N38°46.9’, W9°29.8’, 165 m. Isto significa
que: a latitude do farol é 38 graus e 46,9
minutos norte; a longitude do farol é 9
graus e 29,8 minutos oeste; a altitude do
farol é 165 m.
Posição na Terra e coordenadas geográficas
Pólo Norte
Pólo Sul
(latitude = 0°)
Meridiano de Greenwich
(longitude = 0°)
A
Este ângulo
mede a
latitude
do lugar A
OESTE
ESTE
Este ângulo mede a
longitude do lugar A
Eixo de rotação da Terra
Meridiano que passa
no lugar A
Paralelo que
passa no lugar A
Equador
Hemisfério norte
Hemisfério sul
Pólo Norte
Pólo Sul
Equador
(latitude = 0°)
Meridiano de Greenwich
(longitude = 0°)
Lisboa
Moscovo
Londres
Rio de
Janeiro
Norte (N)
Sul (S)
Oeste (W) Este (E)
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22
O sistema GPS é um exemplo
de como a ciência pura e
abstracta pode vir a ter
aplicações inesperadas tempos
depois...
De facto, quem diria que as
ideias de Galileu e Newton,
sobre o movimento dos
objectos na Terra e nos céus,
poderiam ter utilidade prática
trezentos anos depois...?
Quem diria que a teorias
matemáticas muito complexas
desenvolvidas no século XIX
e as teorias de Einstein,
desenvolvidas no princípio do
século XX, acerca da natureza
do espaço e do tempo,
poderiam ter utilidade prática
algumas dezenas de anos
depois...?
Ao lado, com as órbitas à
escala, pode observar-se
uma imagem da constelação
de 28 satélites em 6 planos
orbitais. Cada um dá uma volta
à Terra duas vezes por dia a
uma altitude de 20200 km à
velocidade de 11265 km/h.
Cada satélite tem um relógio
atómico e comunica com
um conjunto de estações de
observação terrestres.
Os receptores necessitam de
receber os sinais de quatro
satélites para determinar as
suas próprias coordenadas.
Para tal, o receptor calcula a
distância a cada um dos quatro
satélites pelo intervalo de
tempo entre o instante local
e o instante em que os sinais
foram enviados. Conhecendo
as localizações dos satélites a
partir dos sinais dos satélites,
o receptor pode situar-se na
intersecção de quatro calotes,
uma para cada satélite.
Nas imagens ao lado, pode
observar-se um percurso de
carro sobreposto no Google
Earth (earth.google.com),
visto em perspectiva e visto
directamente na vertical.
A precisão do GPS permite
distinguir em que lado
(esquerda/direita) se vai numa
estrada...
23
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O uso do GPS alterou
completamente, na década de
1990, como se faz navegação,
isto é, como se determina a
posição de um objecto no mar,
no ar ou em terra e como se
determina para onde deve
aponta a velocidade desse
objecto quando se pretende
atingir um determinado lugar.
Ao lado, pode observar
um percurso no mar, perto
de Cascais, registado em
perspectiva e na vertical, no
Google Earth, e registado numa
carta náutica digital (em baixo).
O registo na carta náutica
inclui ainda a magnitude
da velocidade: o código de
cores utilizado na trajectória
representa as velocidades mais
elevadas a vermelho e as mais
baixas a amarelo.
No site do Programa Ciência
Viva, na página do projecto
Latitude e Longitude,
Instrumentos e Medição,
www.cienciaviva.pt/latlong,
existem textos e actividades
sobre o GPS e sobre a história
dos instrumentos de navegação,
nomeadamente os utilizados
nas viagens dos descobrimentos
portugueses nos séculos XIV e
XV. Essa página pode ser um
bom ponto de partida quer para
a construção de instrumentos
simples quer para a realização
de outros trabalhos sobre as
tecnologias e a ciência da
navegação.
http://www.cienciaviva.pt/latlong
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24
1	 Desceva dois exemplos de movimentos com trajectória rectilínea.
2	 Descreva dois exemplos de movimentos com trajectória circular. 	
3	 Será possível utilizar apenas uma coordenada cartesiana para descrever a posição de um
objecto em movimento circular? Fundamente a resposta.
4	 O comprimento da trajectória é sempre igual à distância percorrida? Fundamente a resposta,
utilizando exemplos adequados.
Em certas situações como, por exemplo, para descre-
ver a posição numa zona relativamente pequena, não
é prático utilizar as coordenadas geográficas latitude,
longitude e altitude. No século XVII, o filósofo e ma-
temático René Descartes inventou outro modo de des-
crever a posição através das chamadas coordenadas
cartesianas.
As coordenadas cartesianas definem-se num re-
ferencial cartesiano, que é apenas um sistema de
eixos perpendiculares entre si e que começam num
certo ponto, a chamada origem do referencial. A ori-
gem representa­‑se por O. Os eixos do referencial são
convencionalmente designados por eixos Ox, Oy e Oz
(ou eixos dos xx, dos yy e dos zz).
Para certos movimentos como, por exemplo, o mo-
vimento de um projéctil, que ocorre num plano vertical,
são necessários apenas dois eixos para descrever as po-
sições do projéctil. E se o movimento for segundo uma
linha recta, então basta apenas um eixo para descrever
a posição nessa linha. Já a posição de uma mosca, com
uma trajectória curvilínea irregular, necessita de três ei-
xos para ser correctamente descrita.
Posição num referencial e coordenadas cartesianas
O
y
x
O
O
x
Para descrever a posição da mosca no espaço
é necessário utilizar três coordenadas (duas
coordenadas horizontais e uma coordenada
vertical).
Para descrever a posição de um projéctil no espaço pode
utilizar-se duas coordenadas (uma coordenada horizontal e uma
coordenada vertical).
Para descrever a posição da pessoa numa linha recta
pode utilizar-se uma única coordenada horizontal.
25
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1	 Na foto acima da queda da esfera, a foto evidencia que a esfera move-se cada vez mais
depressa. Porquê?
2	 Quantas coordenadas são necessárias para descrever a posição da esfera? Porquê?
3	 Admita que coloca a origem do referencial no ponto em que a esfera atinge o chão e que o
eixo Oy aponta para cima. Nesse caso, quanto vale a coordenada da esfera no instante em que
atinge o solo?
O tempo é uma grandeza física que se pode
medir com relógios. Não é fácil definir o tempo de
outro modo. Santo Agostinho, um filósofo que vi-
veu há mais de 1500 anos, escreveu “se não me
perguntarem o que é o tempo, eu sei o que é, mas
se me perguntarem então já não sei o que é o
tempo...”.
Um objecto em movimento evidencia a pas-
sagem do tempo. Tempo e movimento são, pois,
conceitos intimamente associados. O conceito de
movimento é mais facilmente definido: há movi-
mento quando há mudança de posição.
Como representar numa folha de papel um ob-
jecto em movimento, se qualquer imagem no papel
está necessariamente parada? Há várias formas de
o fazer, como já se fez na página anterior: o trace-
jado do caminho da mosca no espaço sugere por
onde a mosca se moveu... e as várias representa-
ções da bala de canhão sugerem que a bala esteve
em várias posições!
A trajectória de um objecto em movimento é o
conjunto de todas as posições do objecto à medida
que o tempo passa. Há trajectórias “simples”, como
as trajectórias rectilíneas e as trajectórias circu-
lares, mas a maioria das trajectórias são bastante
complexas. Algumas trajectórias curvilíneas, como
a trajectória do movimento de um projéctil em cer-
tas condições, são descritas matematicamente, sem
dificuldade.
Uma forma muito prática de representar um
objecto em movimento, numa folha de papel, é
através da chamada representação estrobos-
cópica: neste tipo de representação, o objecto é
representado em várias posições de tal modo que
entre duas posições sucessivas passa sempre
o mesmo intervalo de tempo. Utilizando uma
lâmpada estroboscópica (acende e apaga a interva-
los de tempo constante) podem fazer-se fotografias
estroboscópicas.
Tempo, trajectória e representações do movimento
Uma foto estroboscópica do movimento de queda
livre de uma esfera. Entre cada duas imagens
sucessivas decorre o mesmo intervalo de tempo.
A trajectória da esfera é vertical. A esfera
inicialmente estava atraída magneticamente ao
suporte S, atracção essa que pode ser desligada
utilizando um interrutor. Quando o interruptor é
desligado, inicia-se a contagem do tempo no relógio
digital R. A contagem do tempo termina quando a
esfera bate na placa P (a colisão envia um sinal ao
relógio).
Uma lâmpada estroboscópica.
P R
S
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26
1	 Que significa dizer que uma variável é função de outra variável?
2	 Em geral, utiliza-se o eixo Oy para representar um eixo vertical. Poder-se-á utilizar um eixo Ox
em vez de Oy? Porquê?
3	 Alguns alunos mais distraídos confundem a trajectória de um objecto em movimento com o
gráfico da posição desse objecto em função do tempo. Como é que explicaria a um desses
“distraídos” que essa confusão não tem “lógica”?
Um bom modo de representar o movimento
de um objecto é utilizar gráficos e tabelas
que mostrem os valores da distância percor-
rida e da posição em função do tempo, num
referencial conveniente. Vejamos alguns
exemplos para o mo-
vimento de queda de
uma pequena esfera
(os valores foram ob-
tidos com o modelo
matemático que será
estudado adiante).
Distância percorrida
pela esfera na queda,
em função do tempo
decorrido desde o início
da queda.
Referencial com eixo Oy
apontando para baixo,
com origem no ponto
de partida.
Posição no eixo Oy,
em função do tempo
decorrido desde o início
da queda.
Referencial com eixo Oy
apontando para cima,
com origem no solo.
Posição no eixo Oy,
em função do tempo
decorrido desde o início
da queda. A altura do
ponto de partida, acima
da origem O, era de
1,400 m.
Gráficos e tabelas da distância percorrida e da posição em
função do tempo
O
O
y
y
x
x
27
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1	 Qual foi a velocidade da pessoa entre 100 s e 120 s no percurso referido acima? Fundamente a
resposta.
2	 No percurso total, ida e volta, qual foi a distância percorrida?
3	 Distância percorrida e distância ao ponto de partida têm sempre o mesmo valor? Fundamente
a resposta, dando exemplos adequados.
Como calcular a velocidade, quando a velocidade é constante
85 s – 10 s = 75 s
105 m – 0 m = 105 m
205 m – 105 m = 100 m
190 s – 125 s = 65 s
Primeira parte do percurso:
afastando-se da praia...
Segunda parte do percurso:
aproximando-se da praia...
(Nota: como a posição determinada
pelo GPS tem um pequeno erro, a
trajectória sobreposta no Google Earth
ficou um pouco deslocada em relação
ao percurso efectivamente realizado).
O movimento de queda livre é um movimento em que
a velocidade aumenta à medida que o tempo passa
(até atingir o solo, claro). Outros movimentos podem
decorrer com velococidade constante, ou aproxima-
damente constante.
A foto ao lado mostra um percurso a pé, aproxi-
madamente rectilíneo, feito com um GPS num pontão
numa praia: o movimento iniciou-se na praia, foi-se até
ao final do pontão e regressou-se. Mas, como se pode
ver no gráfico, nem sempre se esteve em movimento...
O gráfico representa a distância percorrida, a partir do
ponto de partida, em função do tempo decorrido.
O movimento iniciou-se 10 s depois de se começar a
registar os dados: durante os primeiros 10 s, a distân-
cia percorrida foi, pois, nula...
A seguir, durante 75 s, entre 10 s e 85 s, a pessoa
andou 105 m e depois esteve cerca de 40 s parada no
extremo do pontão...
Ao fim de 125 s, voltou para o ponto de partida,
demorando um intervalo de tempo menor do que no
percurso de ida (na volta demorou 65 s, quando tinha
demorado 75 s na ida).
No percurso de ida,
a velocidade foi apro-
ximadamente cons-
tante (por exemplo,
em cada 10 s percorreu
sempre a mesma dis-
tância). A magnitude
da velocidade, no per-
curso de ida, vale
105 m
1,4 m/s
75 s
Quando a velocidade é constante, basta di-
vidir a distância percorrida pelo tempo gasto
para obter a magnitude da velocidade.
N
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28
A magnitude da velocidade e o declive do gráfico da distância
percorrida em função do tempo
variação da
grandeza no
eixo horizontal
variação da grandeza
no eixo vertical
205 m – 150 m = 55 m
150 m – 105 m = 45 m
160 s – 125 s = 35 s
190 s – 160 s = 30 s
1	 Descreva numa ou duas frases o que é o declive de uma linha num gráfico.
2	 Qual é o declive da linha do gráfico entre 100 s e 110 s? Fundamente a resposta.
3	 Qual é a magnitude da velocidade entre 100 s e 110 s? Fundamente a resposta.
4	 O declive da linha entre 10 s e 20 s é maior/menor/igual [riscar o que estiver errado] ao
declive da linha entre 20 s e 30 s. Que significado tem essa relação?
magnitude da velocidade, entre 125 s e 160 s
magnitude da velocidade, entre 160 s e 190 s
Vejamos novamente os dados referentes ao movimento da
página anterior, no pontão da praia.
No regresso, depois de estar parada cerca de 20 s no
final do pontão, a pessoa voltou, andando mais devagar...
durante cerca de 35 s, até meio do pontão, e depois voltou a
andar mais depressa, do meio do pontão até ao ponto
de partida. Como se pode saber se anda mais de-
pressa ou mais devagar apenas a partir do gráfico da
distância percorrida em função do tempo?
Para responder a este tipo de questões, calcula‑se
o chamado declive da “linha” que representa a distância
percorrida em função do tempo decorrido, para um determi-
nado intervalo de tempo. O declive é o quociente entre a
variação da grandeza no eixo vertical (neste caso, eixo
da distância percorrida) e a variação da grandeza no eixo
horizontal (neste caso, eixo do tempo decorrido).
Calculemos então a magnitude da velocidade no percurso
de volta, onde primeiro se andou mais devagar e depois um
pouco mais depressa (entre 125 s e 160 s o declive é menor
que entre 160 s e 190 s):
variação da grandeza no eixo vertical
declive
variação da grandeza no eixo horizontal
45 m
1,3 m/s
35 s
55 m
1,8 m/s
30 s
declive menor...
declive maior...
29
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Gráficos posição-tempo e cálculo da velocidade
5 m – 60 m = – 55 m
60 m – 105 m = – 45 m
160 s – 125 s = 35 s
190 s – 160 s = 30 s
1	 Sobreponha ao gráfico posição-tempo acima, o respectivo gráfico distância percorrida-tempo
(indique com um nome adequado a linha correspondente ao novo gráfico).
2	 No percurso de A para B, para onde aponta a velocidade?
3	 No percurso de B para A, para onde aponta a velocidade?
declive da linha correspon-
dente ao intervalo de tempo
entre 125 s e 160 s:
declive da linha correspondente ao
intervalo de tempo entre 160 s e
190 s:
A distância percorrida por um objecto em movimento está sempre
a aumentar. O mesmo não sucede necessariamente com a coorde-
nada de posição.
Por exemplo, no percurso estudado nas páginas anteriores, uma
pessoa iniciou um movimento na praia, foi até ao extremo do pontão
e voltou para trás até ao ponto de partida. A distância percorrida au-
mentou ao longo do tempo (excepto quando se esteve parado, claro!)
mas a coordenada de posição x no eixo Ox, que coincide com a
trajectória, primeiro aumentou e depois diminuiu (ver representação
do eixo ao lado sobre a foto: a origem O está no ponto de partida). O
gráfico abaixo mostra essa coordenada x, em função do tempo decor-
rido.
A magnitude da velocidade pode ser calculada quer a partir do
gráfico distância percorrida-tempo quer do gráfico posição-tempo. Se
houver movimento, o declive obtido no gráfico distância percorrida-
tempo é sempre positivo, porque a variação da distância percorrida
é sempre positiva. Mas num gráfico posição-tempo, a variação
da coordenada de posição pode ser positiva ou negativa, con-
soante a coordenada aumente ou diminua. Assim, o declive da
linha, num gráfico posição-tempo, pode ser negativo ou positivo.
Note-se que isto não significa que “a velocidade possa ser negativa”!
De facto, não há vectores negativos... Nas páginas seguintes vamos
ver qual é o significado deste declive negativo.
O
x
y
55 m
1,8 m/s
30 s
-
= -
45 m
1,3 m/s
35 s
-
= -
N
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30
O GPS de um atleta informa que a magnitude da velocidade
do atleta é, num certo instante, 20 km/h e a direcção é
295º (ver foto).
1	 Para onde aponta a velocidade do atleta?
2	 Que ângulo faz essa velocidade com o norte? E com o
oeste? E com o noroeste?
3	 Como se caracteriza a velocidade do atleta, utilizando os
dois significados do termo velocidade?
Já no ano anterior se usaram vectores para representar quantida-
des físicas. Um vector é um “objecto matemático” que:
• tem um determinado valor (esse valor designa-se por mag-
nitude, mas também se usam os termos módulo e norma);
• “aponta” para um certo lado.
Vimos também que o lado para onde um vector aponta é de-
signado internacionalmente por direcção do vector. Por exemplo,
se a velocidade de um barco aponta para nordeste, diz-se que a
sua velocidade tem a direcção nordeste ou 045 (faz um ângulo de
45º com o norte).
Mas em Portugal utiliza-se frequentemente a convenção se-
gundo a qual uma direcção é uma linha e cada linha tem dois
sentidos. Usando esta linguagem, no caso de um barco a dirigir‑se
para nordeste, diz-se que o barco se move numa direcção
sudoeste-nordeste, sentido para nordeste.
Dizer que uma direcção é uma linha com dois sentidos é uma
linguagem um pouco mais “complicada” que a usada internacio-
nalmente e irá, certamente, cair em desuso, porque é desneces-
sária. E é pouco prático estar a identificar deste modo a direcção
quando, por exemplo, se utiliza um GPS (onde a palavra direcção
tem sempre o significado usado internacionalmente).
Vectores, magnitude e direcção
Este vector aponta na
direcção sudoeste
Significado utilizado internacionalmente
para a palavra “direcção”, um exemplo:
Significado utilizado em Portugal para a
palavra “direcção”, um exemplo:
Este vector tem direcção
sudoeste-nordeste,
sentido sudoeste
Este vector aponta na
direcção nordeste
Este vector tem direcção
sudoeste-nordeste,
sentido nordeste
31
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1	 Um vector é independente das suas componentes... As componentes é que dependem do
vector. Explique o significado desta afirmação.
2	 Em que condições é que as componentes escalares de um vector são ambas positivas e têm
igual valor?
3	 Em que condições é que a componente escalar de um vector segundo Oy é nula?
4	 Em que condições é que a componente escalar de um vector segundo Ox é nula?
Vectores e componentes vectoriais
Uma ideia importante acerca dos vectores é que não há “vectores
negativos”. Quando se coloca um sinal “menos” atrás da letra que
representa o vector, está-se a indicar o vector simétrico (aponta
para o lado oposto), não um vector negativo.
Para se poder “fazer contas” com vectores, sem ser com regras
gráficas como as que já vimos no ano anterior (por exemplo, a re-
gra cabeça-contra-cauda ou a regra do paralelogramo), utilizam-se
as chamadas componentes de um vector segundo um eixo.
A componente vectorial de um vector segundo um eixo ob-
tém‑se projectando o vector nesse eixo:
Utilizando dois eixos perpendiculares, obtêm-se as componen-
tes vectoriais do vector segundo cada um dos eixos. A cada com-
ponente vectorial corresponde um número, positivo ou negativo,
a chamada componente escalar. As componentes costumam ser
representadas com um índice, que indica a que eixo de referem.
As componentes escalares podem ser calculadas conhecendo a
magnitude do vector e o ângulo com um dos eixos:
O x
vector
componente do vector segundo o eixo Ox
O x
componente escalar do vector
segundo o eixo Ox = + 8
unidades
cálculo da componente, a partir
do ângulo e da magnitude de v:
a = 26,6º
cálculo da componente, a partir
do ângulo e da magnitude de v:
ou:
90 – a
cálculo da magnitude de v, a
partir das componentes:
Recorde que:
componente escalar do vector
segundo o eixo Oy = + 4
unidades
5
5 
v

yv
v­x = + 8
vy = + 4
vector soma
vector soma
Exemplo da aplicação da regra
cabeça-contra-cauda:
Como somar vectores
Exemplo da aplicação da regra
do paralelogramo:

yv v = +
=
4 8
8 94
2 2
, unidades
cos
cos( º )
a
a
= =
- =
cateto adjacente
hipotenusa
cateto adjac
v
v
x
90
eente
hipotenusa
cateto oposto
hipotenusa
=
= =
v
v
v
v
y
y
sina
v vx = ´
= ´
= ´
= ´
=
cos
, cos
, cos . º
, ,
a
a8 94
8 94 26 6
8 94 0 8944
8
v vy = ´ -
= ´ -
= ´
= ´
cos( º )
, cos( º . º)
, cos , º
, ,
90
8 94 90 26 6
8 94 63 4
8 94 0 4
a
4472
4=
v vy = ´
= ´
= ´ =
sin
, sin , º
, ,
a
8 94 26 6
8 94 0 4472 4
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32
Velocidade: magnitude versus componente escalar (positiva ou
negativa)
160 s – 125 s = 35 s85 s – 10 s = 75 s
1	 Calcule a componente escalar da velocidade no final da segunda parte do percurso, enquanto a
pessoa se aproxima de terra, mais depressa.
2	 Se o eixo Ox apontasse para terra, em lugar de apontar para o mar, que valores teriam as
componentes escalares da velocidade, no percurso de ida e no percurso de volta?
3	 Por que motivo não faz sentido dizer uma velocidade é negativa ou positiva? Explique o seu
raciocínio, utilizando um ou vários exemplos.
declive da linha correspondente ao intervalo
de tempo entre 125 s e 160 s:
declive da linha
correspondente ao
intervalo de tempo entre
10 s e 85 s:
ida, velocidade aponta para o
mar, vx = 1,4 m/s
regresso, entre 125 s e 160 s,
velocidade aponta para terra,
vx = ­­– 1,3 m/s
Na ida, a velocidade tem
magnitude 1,4 m/s e aponta
para o mar.
Na volta, entre 125 s e 160 s,
a velocidade tem magnitude
1,3 m/s e aponta para terra.
No percurso estudado nas páginas anteriores, em que uma pessoa
iniciou um movimento na praia, foi até ao extremo do pontão e
voltou para trás até ao ponto de partida, a velocidade na primeira
parte do percurso apontava para o mar e no regresso apontava
para terra.
Não faz qualquer sentido dizer que a velocidade primeiro era
“positiva” e depois era “negativa” no regresso. De facto, a velo-
cidade, bem como qualquer grandeza vectorial, nunca pode ser
negativa ou positiva. A magnitude da velocidade é, sempre,
positiva ou nula, mas a velocidade em si mesmo não é nem posi-
tiva nem negativa! A linguagem correcta e sem ambiguidades que
se deve utilizar é indicar a direcção sempre que necessário: por
exemplo, podemos dizer que a direcção da velocidade apontava
para o mar na primeira parte do percurso e no regresso apontava
para terra.
Mas se utilizarmos um referencial, como o da figura, em que
o eixo Ox coincide parcialmente com a trajectória, podemos dizer
que na primeira parte do percurso a velocidade tinha uma compo-
nente escalar positiva segundo o eixo Ox e no regresso tinha uma
componente escalar negativa, segundo esse mesmo eixo. Ora é
precisamente esta componente escalar da velocidade que é
calculada pelo declive da linha no gráfico da coordenada de
posição x em função do tempo: O
x
y
45 m
1,3 m/s
35 s
-
= -
N
105 m
60 m – 105 m = – 45 m
105 m
1,4 m/s
75 s
33
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Como calcular a velocidade, utilizando um gráfico, quando a
velocidade não é constante
1	 Verifique que a magnitude da velocidade no instante t = 30 s é
(160 m – 40 m) / (36 s – 26 s) = 12 m/s.
2	 Calcule a magnitude da velocidade no instante t = 34 s.
3	 Identifique dois instantes, em posições distintas, em que a velocidade seja nula. Fundamente a
resposta.
Até agora calculámos a magnitude da velocidade, em intervalos de tempo em
que a velocidade era constante (ou melhor, aproximadamente constante...).
Mas também é possível calcular a magnitude da velocidade quando a veloci-
dade está a aumentar ou quando está a diminuir.
Os dados do gráfico abaixo foram obtidos com um GPS num carro que an-
dou 135 m em linha recta durante 44 s: esteve parado cerca de 10 s, arran-
cou... travou e voltou a parar durante poucos segundos, acelerou novamente
e finalmente travou! Determinando o declive da linha tangente no gráfico,
em diversos instantes, é possível calcular a velocidade nesses instantes.
Por exemplo, no instante t = 24 s (note que a menor divisão no eixo do
tempo vale 2 s e a menor divisão no eixo da distância vale 20 m/5 = 4 m), o
declive da linha pode ser calculado utilizando os catetos do triângulo a verde,
cuja hipotenusa é tangente à linha do gráfico nesse instante. A altura do tri-
ângulo vale 60 m – 0 m = 60 m e a base vale 28 s – 21 s = 7 s. Assim, re-
presentando a magnitude da velocidade nesse instante por v24, temos:
t = 12 s
t = 24 s
t = 30 s
t = 34 s
24
60 m 0 m 60 m
8,6 m/s
28 s 21 s 7 s
v
N
Trajectória do carro durante 44 s, de A para B
(distância 135 m). A velocidade do carro não
foi constante.
A
B
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34
Velocidade num “instante”: o significado físico
1	 A largura da estrada da rotunda foto é de aproximadamente 20 m. Faça uma estimativa do
erro do GPS, admitindo que o mapa do Google não tem erro...
2	 Por que razão se afirmou na questão anterior que o mapa do Google não tem erro? Que
origens pode ter o erro na trajectória numa foto como a da figura acima?
3	 Se um carro andar 42 km numa hora às voltas na rotunda (que enjoo...!), que distância se
desloca em relação ao ponto de partida?
A velocidade de um objecto é uma grandeza vectorial que se refere a um
“instante”. Por exemplo, quando dizemos que a velocidade de um carro é
42 km/h, num certo instante, isso indica que se o carro se mantiver àquela
velocidade durante uma hora, deslocar-se-á para uma posição a 42 km, na
direcção da velocidade.
Na linguagem comum, a palavra velocidade refere-se muitas vezes ape-
nas à magnitude da velocidade. Assim, de modo semelhante, quando não se
tem em conta a direcção da velocidade, se dissermos que a velocidade de
um carro é 42 km/h, num certo instante, isso indica que se o carro se man-
tiver com aquela magnitude de velocidade, durante uma hora, percorrerá a
distância de 42 km, qualquer que seja a trajectória (até pode andar às vol-
tas!).
Por vezes, estamos interessados apenas na distância percorrida. Nesse
caso, a magnitude da velocidade é suficiente para se fazer cálculos. Mas,
noutras situações, podemos estar interessados também em conhecer para
onde se deu ou se vai dar a mudança de posição. Ora, isso só é possível se
se conhecer a direcção da velocidade... Em percursos em terra firme, a mag-
nitude da velocidade é, em geral, suficiente, porque os percursos não são
em linha recta. Mas no mar e no ar, a direcção da velocidade é fundamental,
porque os percursos podem ser em linha recta.
N
263º, 42 km/h230º, 38 km/h
168º, 34 km/h
077º, 41 km/h
269º, 45 km/h
312º, 44 km/h
Numa hora, o carro
deslocar-se-ia 42 km nesta
direcção, se a velocidade
no instante 1 s se
mantivesse constante...
Numa hora, o
carro percorreria a
distância de 42 km,
se a magnitude da
velocidade no instante
1 s se mantivesse
constante...
A velocidade do carro, 1 s depois
de se começar a medir o tempo,
era de 42 km/h, na direcção 263º
(apontava aproximadamente para
oeste)
Começou-se a
medir o tempo
aqui...
(Nota: como a posição determinada
pelo GPS tem um pequeno erro, a
trajectória sobreposta no Google
Earth ficou um pouco deslocada em
relação ao percurso efectivamente
realizado).
35
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Velocidade média e rapidez média: diferenças entre linguagem
do dia a dia e linguagem física
1	 Na linguagem comum, que significa velocidade média?
2	 Na linguagem física, que significa velocidade média?
3	 Na linguagem física, velocidade é uma grandeza que se refere a um instante. Por exemplo,
num certo instante, a velocidade do carro valia 42 km/h e apontava para oeste. Que
significado tem a velocidade num instante?
Na linguagem do dia a dia, “velocidade média” indica a distância percorrida
por unidade de tempo, em média. Por exemplo, num percurso feito à ve-
locidade média de 80 km/h, em média, em cada hora, percorre-se 80 km.
Claro que não se necessita de andar uma hora... nem percorrer 80 km...! Por
exemplo, de se percorrer apenas 40 km, em meia hora, a “velocidade média”
é de 40 km / 0,5 h = 80 km/h.
Na linguagem rigorosa da Física, a velocidade de um objecto é uma gran-
deza vectorial e refere-se a um instante, não a um intervalo de tempo. Por
isso, a “velocidade média” da linguagem do dia a dia é algo com um signi-
ficado diferente da linguagem física. Deste modo, é mais correcto falar em
rapidez média em vez de velocidade média. A rapidez média diz respeito à
distância percorrida, em média, por unidade de tempo. A distância percorrida
é uma grandeza escalar (só interessa quanto vale): por isso, a rapidez mé-
dia é também uma grandeza escalar.
A palavra velocidade fica, assim, reservada para a grandeza vectorial,
com o significado explicado na página anterior: por exemplo, um objecto
com a velocidade de 80 km/h, movendo-se na direcção oeste, estará num
ponto a 80 km, a oeste do ponto de partida, uma hora depois.
Na linguagem da Física, velocidade média é, de facto, um vector: re-
laciona um deslocamento (que é uma grandeza vectorial) com o tempo que
demora esse deslocamento. Mas, como facilmente se compreende, esta defi-
nição física de velocidade média pouca utilidade tem para percursos em terra
firme, uma vez que os estes percursos são em geral linhas curvas e a mag-
nitude do deslocamento é diferente da distância percorrida.
Neste percurso, a distância percorrida foi de 508 m, em 43 s
(registados no GPS). Portanto, a rapidez média no percurso foi
	 508 m / 43 s = 11,8 m/s ,
ou seja
	 0,508 km / (43/3600) h = 42,5 km/h.
Para se calcular a velocidade média neste percurso (definida
na linguagem rigorosa da Física), era necessário determinar a
magnitude do deslocamento e dividir esse vector pelo intervalo
de tempo que demorou o deslocamento...
A grandeza velocidade média, tal como é definida rigorosamente
na linguagem da Física, é pouco útil, principalmente quando os
percursos não são rectilíneos.
O vector deslocamento num certo intervalo de
tempo une a posição inicial à posição final, nesse
intervalo de tempo (vector representado a branco).

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GPS para localização precisa

  • 3. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 20 Ténis que dispõem de um receptor de GPS e de um emissor de rádio que informa permanentemente qual é a posição dos seus portadores... Pode ser utilizado para os pais saberem em que local se encontram os filhos (utilizando uma página na Internet) e pode até ser programado para produzir um sinal sonoro se se afastarem demasiado... 1 “Invente” uma possível utilização para um GPS que seja útil para um técnico florestal. 2 Os relógios do sistema GPS têm de ter elevada precisão. Explique porquê em duas ou três frases. 3 Que precisão aproximada deveria ter o sistema GPS para que pudesse ser utilizado adequadamente numa bola de futebol para saber quando era ou não golo? O sistema GPS (“Global Positioning System”, Sistema de Posicionamento Global) permite a localização de qualquer objecto na Terra com elevada precisão (incerteza de poucos metros, ou menor). Foi desen- volvido pelo Ministério da Defesa dos Estados Unidos da América e está disponível desde a década de 1980 para uso não militar, em todo o mundo. Na década de 2000, generalizou-se a utilização do GPS em automó- veis, depois de se ter igualmente generalizado o seu uso na ajuda à navegação no mar e no ar. O sistema inclui um conjunto de dezenas de saté- lites em órbita terrestre, que emitem radiação elec- tromagnética (microondas) que é recebida pelos apa- relhos receptores na Terra. A recepção dos sinais de pelo menos quatro satélites, em simultâneo, permite aos aparelhos de recepção calcular a posição na Terra, bem como a magnitude e a direcção da velocidade, no caso do aparelho receptor estar em movimento. A ciência e a tecnologia que estão na base do sistema GPS é extremamente complexa. Por exemplo, exige relógios que conseguem distinguir mi- lésimos de milionésimo de segundo. Só com relógios tão precisos é possível calcular o tempo que demora os sinais entre os satélites e os receptores na Terra, quando se percorre distâncias pequenas. É enorme a importância actual do GPS, desde a sua utilização militar (nos mísseis, por exemplo) e na navegação (onde praticamente substi- tuiu todos os processos anteriores de fazer navegação) até à elaboração e verificação de mapas, passando pela determinação da velocidade e dis- tância percorrida por atletas até ao controlo de pessoas idosas com risco de perdas de memória (ou de crianças e jovens pelos pais, ver imagem ao lado). E todos os anos surgem novas aplicações do GPS, à medida que os circuitos receptores diminuem de tamanho e de preço. Funcionamento e aplicações do sistema GPS À esquerda: um GPS utilizado principalmente para navegação no mar e em passeios pedestres. À direita, um GPS para uso em automóveis. Um dos circuitos de recepção mais utilizados nos aparelhos de GPS (circuito Sirf III). Conhecendo a distância a vários satélites, bem como a posição dos satélites, é possível determinar a posição do receptor na Terra.
  • 4. 21 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 1 Qual das cidades assinaladas na figura tem latitude sul? E a longitude dessa cidade é este ou oeste? 2 Estime um valor aproximado, em graus, para a longitude de Londres. Fundamente a resposta. 3 Estime um valor aproximado (às dezenas) para a latitude de Londres, sabendo que a latitude de Lisboa é N39º. A determinação da posição de um objecto pode ser feita utilizando as chamadas coordenadas de posi- ção que não são mais do que quantidades físicas que medem distâncias e, ou, ângulos. Para posições na superfície terrestre costu- mam-se utilizar dois ângulos e uma distância, as chamadas coordenadas geográficas: • a latitude, que é um ângulo medido no me- ridiano do lugar a partir do equador, para norte ou para sul; varia de 0º a 90º norte ou de 0º a 90º sul (0º a 90º N e 0º a 90º S); • e a longitude, um ân- gulo medido no para- lelo do lugar, para oeste ou para este, a partir do meridiano de referência (meridiano que passa por Greenwich, uma locali- dade perto de Londres, na Inglaterra); varia de 0º a 180º oeste ou de 0º a 180º este (0º a 180º W e 0º a 180º E); • a altitude, que é a distância do objecto ao nível médio do mar. Os ângulos das coordenadas geográficas medem-se em graus (º). Um grau é a fracção 1/90 de um ângulo recto. Cada grau tem 60 minutos de arco (60’) e cada minuto de arco tem 60 segundos de arco (60’’). Com frequência, em vez de se usar segundos de arco, utili- zam-se fracções decimais do minuto. Por exemplo, as coordenadas geográ- ficas do farol do Cabo da Roca (o ponto mais ocidental da Europa, na foto), são N38°46.9’, W9°29.8’, 165 m. Isto significa que: a latitude do farol é 38 graus e 46,9 minutos norte; a longitude do farol é 9 graus e 29,8 minutos oeste; a altitude do farol é 165 m. Posição na Terra e coordenadas geográficas Pólo Norte Pólo Sul (latitude = 0°) Meridiano de Greenwich (longitude = 0°) A Este ângulo mede a latitude do lugar A OESTE ESTE Este ângulo mede a longitude do lugar A Eixo de rotação da Terra Meridiano que passa no lugar A Paralelo que passa no lugar A Equador Hemisfério norte Hemisfério sul Pólo Norte Pólo Sul Equador (latitude = 0°) Meridiano de Greenwich (longitude = 0°) Lisboa Moscovo Londres Rio de Janeiro Norte (N) Sul (S) Oeste (W) Este (E)
  • 5. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 22 O sistema GPS é um exemplo de como a ciência pura e abstracta pode vir a ter aplicações inesperadas tempos depois... De facto, quem diria que as ideias de Galileu e Newton, sobre o movimento dos objectos na Terra e nos céus, poderiam ter utilidade prática trezentos anos depois...? Quem diria que a teorias matemáticas muito complexas desenvolvidas no século XIX e as teorias de Einstein, desenvolvidas no princípio do século XX, acerca da natureza do espaço e do tempo, poderiam ter utilidade prática algumas dezenas de anos depois...? Ao lado, com as órbitas à escala, pode observar-se uma imagem da constelação de 28 satélites em 6 planos orbitais. Cada um dá uma volta à Terra duas vezes por dia a uma altitude de 20200 km à velocidade de 11265 km/h. Cada satélite tem um relógio atómico e comunica com um conjunto de estações de observação terrestres. Os receptores necessitam de receber os sinais de quatro satélites para determinar as suas próprias coordenadas. Para tal, o receptor calcula a distância a cada um dos quatro satélites pelo intervalo de tempo entre o instante local e o instante em que os sinais foram enviados. Conhecendo as localizações dos satélites a partir dos sinais dos satélites, o receptor pode situar-se na intersecção de quatro calotes, uma para cada satélite. Nas imagens ao lado, pode observar-se um percurso de carro sobreposto no Google Earth (earth.google.com), visto em perspectiva e visto directamente na vertical. A precisão do GPS permite distinguir em que lado (esquerda/direita) se vai numa estrada...
  • 6. 23 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... O uso do GPS alterou completamente, na década de 1990, como se faz navegação, isto é, como se determina a posição de um objecto no mar, no ar ou em terra e como se determina para onde deve aponta a velocidade desse objecto quando se pretende atingir um determinado lugar. Ao lado, pode observar um percurso no mar, perto de Cascais, registado em perspectiva e na vertical, no Google Earth, e registado numa carta náutica digital (em baixo). O registo na carta náutica inclui ainda a magnitude da velocidade: o código de cores utilizado na trajectória representa as velocidades mais elevadas a vermelho e as mais baixas a amarelo. No site do Programa Ciência Viva, na página do projecto Latitude e Longitude, Instrumentos e Medição, www.cienciaviva.pt/latlong, existem textos e actividades sobre o GPS e sobre a história dos instrumentos de navegação, nomeadamente os utilizados nas viagens dos descobrimentos portugueses nos séculos XIV e XV. Essa página pode ser um bom ponto de partida quer para a construção de instrumentos simples quer para a realização de outros trabalhos sobre as tecnologias e a ciência da navegação. http://www.cienciaviva.pt/latlong
  • 7. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 24 1 Desceva dois exemplos de movimentos com trajectória rectilínea. 2 Descreva dois exemplos de movimentos com trajectória circular. 3 Será possível utilizar apenas uma coordenada cartesiana para descrever a posição de um objecto em movimento circular? Fundamente a resposta. 4 O comprimento da trajectória é sempre igual à distância percorrida? Fundamente a resposta, utilizando exemplos adequados. Em certas situações como, por exemplo, para descre- ver a posição numa zona relativamente pequena, não é prático utilizar as coordenadas geográficas latitude, longitude e altitude. No século XVII, o filósofo e ma- temático René Descartes inventou outro modo de des- crever a posição através das chamadas coordenadas cartesianas. As coordenadas cartesianas definem-se num re- ferencial cartesiano, que é apenas um sistema de eixos perpendiculares entre si e que começam num certo ponto, a chamada origem do referencial. A ori- gem representa­‑se por O. Os eixos do referencial são convencionalmente designados por eixos Ox, Oy e Oz (ou eixos dos xx, dos yy e dos zz). Para certos movimentos como, por exemplo, o mo- vimento de um projéctil, que ocorre num plano vertical, são necessários apenas dois eixos para descrever as po- sições do projéctil. E se o movimento for segundo uma linha recta, então basta apenas um eixo para descrever a posição nessa linha. Já a posição de uma mosca, com uma trajectória curvilínea irregular, necessita de três ei- xos para ser correctamente descrita. Posição num referencial e coordenadas cartesianas O y x O O x Para descrever a posição da mosca no espaço é necessário utilizar três coordenadas (duas coordenadas horizontais e uma coordenada vertical). Para descrever a posição de um projéctil no espaço pode utilizar-se duas coordenadas (uma coordenada horizontal e uma coordenada vertical). Para descrever a posição da pessoa numa linha recta pode utilizar-se uma única coordenada horizontal.
  • 8. 25 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 1 Na foto acima da queda da esfera, a foto evidencia que a esfera move-se cada vez mais depressa. Porquê? 2 Quantas coordenadas são necessárias para descrever a posição da esfera? Porquê? 3 Admita que coloca a origem do referencial no ponto em que a esfera atinge o chão e que o eixo Oy aponta para cima. Nesse caso, quanto vale a coordenada da esfera no instante em que atinge o solo? O tempo é uma grandeza física que se pode medir com relógios. Não é fácil definir o tempo de outro modo. Santo Agostinho, um filósofo que vi- veu há mais de 1500 anos, escreveu “se não me perguntarem o que é o tempo, eu sei o que é, mas se me perguntarem então já não sei o que é o tempo...”. Um objecto em movimento evidencia a pas- sagem do tempo. Tempo e movimento são, pois, conceitos intimamente associados. O conceito de movimento é mais facilmente definido: há movi- mento quando há mudança de posição. Como representar numa folha de papel um ob- jecto em movimento, se qualquer imagem no papel está necessariamente parada? Há várias formas de o fazer, como já se fez na página anterior: o trace- jado do caminho da mosca no espaço sugere por onde a mosca se moveu... e as várias representa- ções da bala de canhão sugerem que a bala esteve em várias posições! A trajectória de um objecto em movimento é o conjunto de todas as posições do objecto à medida que o tempo passa. Há trajectórias “simples”, como as trajectórias rectilíneas e as trajectórias circu- lares, mas a maioria das trajectórias são bastante complexas. Algumas trajectórias curvilíneas, como a trajectória do movimento de um projéctil em cer- tas condições, são descritas matematicamente, sem dificuldade. Uma forma muito prática de representar um objecto em movimento, numa folha de papel, é através da chamada representação estrobos- cópica: neste tipo de representação, o objecto é representado em várias posições de tal modo que entre duas posições sucessivas passa sempre o mesmo intervalo de tempo. Utilizando uma lâmpada estroboscópica (acende e apaga a interva- los de tempo constante) podem fazer-se fotografias estroboscópicas. Tempo, trajectória e representações do movimento Uma foto estroboscópica do movimento de queda livre de uma esfera. Entre cada duas imagens sucessivas decorre o mesmo intervalo de tempo. A trajectória da esfera é vertical. A esfera inicialmente estava atraída magneticamente ao suporte S, atracção essa que pode ser desligada utilizando um interrutor. Quando o interruptor é desligado, inicia-se a contagem do tempo no relógio digital R. A contagem do tempo termina quando a esfera bate na placa P (a colisão envia um sinal ao relógio). Uma lâmpada estroboscópica. P R S
  • 9. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 26 1 Que significa dizer que uma variável é função de outra variável? 2 Em geral, utiliza-se o eixo Oy para representar um eixo vertical. Poder-se-á utilizar um eixo Ox em vez de Oy? Porquê? 3 Alguns alunos mais distraídos confundem a trajectória de um objecto em movimento com o gráfico da posição desse objecto em função do tempo. Como é que explicaria a um desses “distraídos” que essa confusão não tem “lógica”? Um bom modo de representar o movimento de um objecto é utilizar gráficos e tabelas que mostrem os valores da distância percor- rida e da posição em função do tempo, num referencial conveniente. Vejamos alguns exemplos para o mo- vimento de queda de uma pequena esfera (os valores foram ob- tidos com o modelo matemático que será estudado adiante). Distância percorrida pela esfera na queda, em função do tempo decorrido desde o início da queda. Referencial com eixo Oy apontando para baixo, com origem no ponto de partida. Posição no eixo Oy, em função do tempo decorrido desde o início da queda. Referencial com eixo Oy apontando para cima, com origem no solo. Posição no eixo Oy, em função do tempo decorrido desde o início da queda. A altura do ponto de partida, acima da origem O, era de 1,400 m. Gráficos e tabelas da distância percorrida e da posição em função do tempo O O y y x x
  • 10. 27 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 1 Qual foi a velocidade da pessoa entre 100 s e 120 s no percurso referido acima? Fundamente a resposta. 2 No percurso total, ida e volta, qual foi a distância percorrida? 3 Distância percorrida e distância ao ponto de partida têm sempre o mesmo valor? Fundamente a resposta, dando exemplos adequados. Como calcular a velocidade, quando a velocidade é constante 85 s – 10 s = 75 s 105 m – 0 m = 105 m 205 m – 105 m = 100 m 190 s – 125 s = 65 s Primeira parte do percurso: afastando-se da praia... Segunda parte do percurso: aproximando-se da praia... (Nota: como a posição determinada pelo GPS tem um pequeno erro, a trajectória sobreposta no Google Earth ficou um pouco deslocada em relação ao percurso efectivamente realizado). O movimento de queda livre é um movimento em que a velocidade aumenta à medida que o tempo passa (até atingir o solo, claro). Outros movimentos podem decorrer com velococidade constante, ou aproxima- damente constante. A foto ao lado mostra um percurso a pé, aproxi- madamente rectilíneo, feito com um GPS num pontão numa praia: o movimento iniciou-se na praia, foi-se até ao final do pontão e regressou-se. Mas, como se pode ver no gráfico, nem sempre se esteve em movimento... O gráfico representa a distância percorrida, a partir do ponto de partida, em função do tempo decorrido. O movimento iniciou-se 10 s depois de se começar a registar os dados: durante os primeiros 10 s, a distân- cia percorrida foi, pois, nula... A seguir, durante 75 s, entre 10 s e 85 s, a pessoa andou 105 m e depois esteve cerca de 40 s parada no extremo do pontão... Ao fim de 125 s, voltou para o ponto de partida, demorando um intervalo de tempo menor do que no percurso de ida (na volta demorou 65 s, quando tinha demorado 75 s na ida). No percurso de ida, a velocidade foi apro- ximadamente cons- tante (por exemplo, em cada 10 s percorreu sempre a mesma dis- tância). A magnitude da velocidade, no per- curso de ida, vale 105 m 1,4 m/s 75 s Quando a velocidade é constante, basta di- vidir a distância percorrida pelo tempo gasto para obter a magnitude da velocidade. N
  • 11. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 28 A magnitude da velocidade e o declive do gráfico da distância percorrida em função do tempo variação da grandeza no eixo horizontal variação da grandeza no eixo vertical 205 m – 150 m = 55 m 150 m – 105 m = 45 m 160 s – 125 s = 35 s 190 s – 160 s = 30 s 1 Descreva numa ou duas frases o que é o declive de uma linha num gráfico. 2 Qual é o declive da linha do gráfico entre 100 s e 110 s? Fundamente a resposta. 3 Qual é a magnitude da velocidade entre 100 s e 110 s? Fundamente a resposta. 4 O declive da linha entre 10 s e 20 s é maior/menor/igual [riscar o que estiver errado] ao declive da linha entre 20 s e 30 s. Que significado tem essa relação? magnitude da velocidade, entre 125 s e 160 s magnitude da velocidade, entre 160 s e 190 s Vejamos novamente os dados referentes ao movimento da página anterior, no pontão da praia. No regresso, depois de estar parada cerca de 20 s no final do pontão, a pessoa voltou, andando mais devagar... durante cerca de 35 s, até meio do pontão, e depois voltou a andar mais depressa, do meio do pontão até ao ponto de partida. Como se pode saber se anda mais de- pressa ou mais devagar apenas a partir do gráfico da distância percorrida em função do tempo? Para responder a este tipo de questões, calcula‑se o chamado declive da “linha” que representa a distância percorrida em função do tempo decorrido, para um determi- nado intervalo de tempo. O declive é o quociente entre a variação da grandeza no eixo vertical (neste caso, eixo da distância percorrida) e a variação da grandeza no eixo horizontal (neste caso, eixo do tempo decorrido). Calculemos então a magnitude da velocidade no percurso de volta, onde primeiro se andou mais devagar e depois um pouco mais depressa (entre 125 s e 160 s o declive é menor que entre 160 s e 190 s): variação da grandeza no eixo vertical declive variação da grandeza no eixo horizontal 45 m 1,3 m/s 35 s 55 m 1,8 m/s 30 s declive menor... declive maior...
  • 12. 29 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... Gráficos posição-tempo e cálculo da velocidade 5 m – 60 m = – 55 m 60 m – 105 m = – 45 m 160 s – 125 s = 35 s 190 s – 160 s = 30 s 1 Sobreponha ao gráfico posição-tempo acima, o respectivo gráfico distância percorrida-tempo (indique com um nome adequado a linha correspondente ao novo gráfico). 2 No percurso de A para B, para onde aponta a velocidade? 3 No percurso de B para A, para onde aponta a velocidade? declive da linha correspon- dente ao intervalo de tempo entre 125 s e 160 s: declive da linha correspondente ao intervalo de tempo entre 160 s e 190 s: A distância percorrida por um objecto em movimento está sempre a aumentar. O mesmo não sucede necessariamente com a coorde- nada de posição. Por exemplo, no percurso estudado nas páginas anteriores, uma pessoa iniciou um movimento na praia, foi até ao extremo do pontão e voltou para trás até ao ponto de partida. A distância percorrida au- mentou ao longo do tempo (excepto quando se esteve parado, claro!) mas a coordenada de posição x no eixo Ox, que coincide com a trajectória, primeiro aumentou e depois diminuiu (ver representação do eixo ao lado sobre a foto: a origem O está no ponto de partida). O gráfico abaixo mostra essa coordenada x, em função do tempo decor- rido. A magnitude da velocidade pode ser calculada quer a partir do gráfico distância percorrida-tempo quer do gráfico posição-tempo. Se houver movimento, o declive obtido no gráfico distância percorrida- tempo é sempre positivo, porque a variação da distância percorrida é sempre positiva. Mas num gráfico posição-tempo, a variação da coordenada de posição pode ser positiva ou negativa, con- soante a coordenada aumente ou diminua. Assim, o declive da linha, num gráfico posição-tempo, pode ser negativo ou positivo. Note-se que isto não significa que “a velocidade possa ser negativa”! De facto, não há vectores negativos... Nas páginas seguintes vamos ver qual é o significado deste declive negativo. O x y 55 m 1,8 m/s 30 s - = - 45 m 1,3 m/s 35 s - = - N
  • 13. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 30 O GPS de um atleta informa que a magnitude da velocidade do atleta é, num certo instante, 20 km/h e a direcção é 295º (ver foto). 1 Para onde aponta a velocidade do atleta? 2 Que ângulo faz essa velocidade com o norte? E com o oeste? E com o noroeste? 3 Como se caracteriza a velocidade do atleta, utilizando os dois significados do termo velocidade? Já no ano anterior se usaram vectores para representar quantida- des físicas. Um vector é um “objecto matemático” que: • tem um determinado valor (esse valor designa-se por mag- nitude, mas também se usam os termos módulo e norma); • “aponta” para um certo lado. Vimos também que o lado para onde um vector aponta é de- signado internacionalmente por direcção do vector. Por exemplo, se a velocidade de um barco aponta para nordeste, diz-se que a sua velocidade tem a direcção nordeste ou 045 (faz um ângulo de 45º com o norte). Mas em Portugal utiliza-se frequentemente a convenção se- gundo a qual uma direcção é uma linha e cada linha tem dois sentidos. Usando esta linguagem, no caso de um barco a dirigir‑se para nordeste, diz-se que o barco se move numa direcção sudoeste-nordeste, sentido para nordeste. Dizer que uma direcção é uma linha com dois sentidos é uma linguagem um pouco mais “complicada” que a usada internacio- nalmente e irá, certamente, cair em desuso, porque é desneces- sária. E é pouco prático estar a identificar deste modo a direcção quando, por exemplo, se utiliza um GPS (onde a palavra direcção tem sempre o significado usado internacionalmente). Vectores, magnitude e direcção Este vector aponta na direcção sudoeste Significado utilizado internacionalmente para a palavra “direcção”, um exemplo: Significado utilizado em Portugal para a palavra “direcção”, um exemplo: Este vector tem direcção sudoeste-nordeste, sentido sudoeste Este vector aponta na direcção nordeste Este vector tem direcção sudoeste-nordeste, sentido nordeste
  • 14. 31 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 1 Um vector é independente das suas componentes... As componentes é que dependem do vector. Explique o significado desta afirmação. 2 Em que condições é que as componentes escalares de um vector são ambas positivas e têm igual valor? 3 Em que condições é que a componente escalar de um vector segundo Oy é nula? 4 Em que condições é que a componente escalar de um vector segundo Ox é nula? Vectores e componentes vectoriais Uma ideia importante acerca dos vectores é que não há “vectores negativos”. Quando se coloca um sinal “menos” atrás da letra que representa o vector, está-se a indicar o vector simétrico (aponta para o lado oposto), não um vector negativo. Para se poder “fazer contas” com vectores, sem ser com regras gráficas como as que já vimos no ano anterior (por exemplo, a re- gra cabeça-contra-cauda ou a regra do paralelogramo), utilizam-se as chamadas componentes de um vector segundo um eixo. A componente vectorial de um vector segundo um eixo ob- tém‑se projectando o vector nesse eixo: Utilizando dois eixos perpendiculares, obtêm-se as componen- tes vectoriais do vector segundo cada um dos eixos. A cada com- ponente vectorial corresponde um número, positivo ou negativo, a chamada componente escalar. As componentes costumam ser representadas com um índice, que indica a que eixo de referem. As componentes escalares podem ser calculadas conhecendo a magnitude do vector e o ângulo com um dos eixos: O x vector componente do vector segundo o eixo Ox O x componente escalar do vector segundo o eixo Ox = + 8 unidades cálculo da componente, a partir do ângulo e da magnitude de v: a = 26,6º cálculo da componente, a partir do ângulo e da magnitude de v: ou: 90 – a cálculo da magnitude de v, a partir das componentes: Recorde que: componente escalar do vector segundo o eixo Oy = + 4 unidades 5 5  v  yv v­x = + 8 vy = + 4 vector soma vector soma Exemplo da aplicação da regra cabeça-contra-cauda: Como somar vectores Exemplo da aplicação da regra do paralelogramo:  yv v = + = 4 8 8 94 2 2 , unidades cos cos( º ) a a = = - = cateto adjacente hipotenusa cateto adjac v v x 90 eente hipotenusa cateto oposto hipotenusa = = = v v v v y y sina v vx = ´ = ´ = ´ = ´ = cos , cos , cos . º , , a a8 94 8 94 26 6 8 94 0 8944 8 v vy = ´ - = ´ - = ´ = ´ cos( º ) , cos( º . º) , cos , º , , 90 8 94 90 26 6 8 94 63 4 8 94 0 4 a 4472 4= v vy = ´ = ´ = ´ = sin , sin , º , , a 8 94 26 6 8 94 0 4472 4
  • 15. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 32 Velocidade: magnitude versus componente escalar (positiva ou negativa) 160 s – 125 s = 35 s85 s – 10 s = 75 s 1 Calcule a componente escalar da velocidade no final da segunda parte do percurso, enquanto a pessoa se aproxima de terra, mais depressa. 2 Se o eixo Ox apontasse para terra, em lugar de apontar para o mar, que valores teriam as componentes escalares da velocidade, no percurso de ida e no percurso de volta? 3 Por que motivo não faz sentido dizer uma velocidade é negativa ou positiva? Explique o seu raciocínio, utilizando um ou vários exemplos. declive da linha correspondente ao intervalo de tempo entre 125 s e 160 s: declive da linha correspondente ao intervalo de tempo entre 10 s e 85 s: ida, velocidade aponta para o mar, vx = 1,4 m/s regresso, entre 125 s e 160 s, velocidade aponta para terra, vx = ­­– 1,3 m/s Na ida, a velocidade tem magnitude 1,4 m/s e aponta para o mar. Na volta, entre 125 s e 160 s, a velocidade tem magnitude 1,3 m/s e aponta para terra. No percurso estudado nas páginas anteriores, em que uma pessoa iniciou um movimento na praia, foi até ao extremo do pontão e voltou para trás até ao ponto de partida, a velocidade na primeira parte do percurso apontava para o mar e no regresso apontava para terra. Não faz qualquer sentido dizer que a velocidade primeiro era “positiva” e depois era “negativa” no regresso. De facto, a velo- cidade, bem como qualquer grandeza vectorial, nunca pode ser negativa ou positiva. A magnitude da velocidade é, sempre, positiva ou nula, mas a velocidade em si mesmo não é nem posi- tiva nem negativa! A linguagem correcta e sem ambiguidades que se deve utilizar é indicar a direcção sempre que necessário: por exemplo, podemos dizer que a direcção da velocidade apontava para o mar na primeira parte do percurso e no regresso apontava para terra. Mas se utilizarmos um referencial, como o da figura, em que o eixo Ox coincide parcialmente com a trajectória, podemos dizer que na primeira parte do percurso a velocidade tinha uma compo- nente escalar positiva segundo o eixo Ox e no regresso tinha uma componente escalar negativa, segundo esse mesmo eixo. Ora é precisamente esta componente escalar da velocidade que é calculada pelo declive da linha no gráfico da coordenada de posição x em função do tempo: O x y 45 m 1,3 m/s 35 s - = - N 105 m 60 m – 105 m = – 45 m 105 m 1,4 m/s 75 s
  • 16. 33 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... Como calcular a velocidade, utilizando um gráfico, quando a velocidade não é constante 1 Verifique que a magnitude da velocidade no instante t = 30 s é (160 m – 40 m) / (36 s – 26 s) = 12 m/s. 2 Calcule a magnitude da velocidade no instante t = 34 s. 3 Identifique dois instantes, em posições distintas, em que a velocidade seja nula. Fundamente a resposta. Até agora calculámos a magnitude da velocidade, em intervalos de tempo em que a velocidade era constante (ou melhor, aproximadamente constante...). Mas também é possível calcular a magnitude da velocidade quando a veloci- dade está a aumentar ou quando está a diminuir. Os dados do gráfico abaixo foram obtidos com um GPS num carro que an- dou 135 m em linha recta durante 44 s: esteve parado cerca de 10 s, arran- cou... travou e voltou a parar durante poucos segundos, acelerou novamente e finalmente travou! Determinando o declive da linha tangente no gráfico, em diversos instantes, é possível calcular a velocidade nesses instantes. Por exemplo, no instante t = 24 s (note que a menor divisão no eixo do tempo vale 2 s e a menor divisão no eixo da distância vale 20 m/5 = 4 m), o declive da linha pode ser calculado utilizando os catetos do triângulo a verde, cuja hipotenusa é tangente à linha do gráfico nesse instante. A altura do tri- ângulo vale 60 m – 0 m = 60 m e a base vale 28 s – 21 s = 7 s. Assim, re- presentando a magnitude da velocidade nesse instante por v24, temos: t = 12 s t = 24 s t = 30 s t = 34 s 24 60 m 0 m 60 m 8,6 m/s 28 s 21 s 7 s v N Trajectória do carro durante 44 s, de A para B (distância 135 m). A velocidade do carro não foi constante. A B
  • 17. OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... 34 Velocidade num “instante”: o significado físico 1 A largura da estrada da rotunda foto é de aproximadamente 20 m. Faça uma estimativa do erro do GPS, admitindo que o mapa do Google não tem erro... 2 Por que razão se afirmou na questão anterior que o mapa do Google não tem erro? Que origens pode ter o erro na trajectória numa foto como a da figura acima? 3 Se um carro andar 42 km numa hora às voltas na rotunda (que enjoo...!), que distância se desloca em relação ao ponto de partida? A velocidade de um objecto é uma grandeza vectorial que se refere a um “instante”. Por exemplo, quando dizemos que a velocidade de um carro é 42 km/h, num certo instante, isso indica que se o carro se mantiver àquela velocidade durante uma hora, deslocar-se-á para uma posição a 42 km, na direcção da velocidade. Na linguagem comum, a palavra velocidade refere-se muitas vezes ape- nas à magnitude da velocidade. Assim, de modo semelhante, quando não se tem em conta a direcção da velocidade, se dissermos que a velocidade de um carro é 42 km/h, num certo instante, isso indica que se o carro se man- tiver com aquela magnitude de velocidade, durante uma hora, percorrerá a distância de 42 km, qualquer que seja a trajectória (até pode andar às vol- tas!). Por vezes, estamos interessados apenas na distância percorrida. Nesse caso, a magnitude da velocidade é suficiente para se fazer cálculos. Mas, noutras situações, podemos estar interessados também em conhecer para onde se deu ou se vai dar a mudança de posição. Ora, isso só é possível se se conhecer a direcção da velocidade... Em percursos em terra firme, a mag- nitude da velocidade é, em geral, suficiente, porque os percursos não são em linha recta. Mas no mar e no ar, a direcção da velocidade é fundamental, porque os percursos podem ser em linha recta. N 263º, 42 km/h230º, 38 km/h 168º, 34 km/h 077º, 41 km/h 269º, 45 km/h 312º, 44 km/h Numa hora, o carro deslocar-se-ia 42 km nesta direcção, se a velocidade no instante 1 s se mantivesse constante... Numa hora, o carro percorreria a distância de 42 km, se a magnitude da velocidade no instante 1 s se mantivesse constante... A velocidade do carro, 1 s depois de se começar a medir o tempo, era de 42 km/h, na direcção 263º (apontava aproximadamente para oeste) Começou-se a medir o tempo aqui... (Nota: como a posição determinada pelo GPS tem um pequeno erro, a trajectória sobreposta no Google Earth ficou um pouco deslocada em relação ao percurso efectivamente realizado).
  • 18. 35 OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página... Velocidade média e rapidez média: diferenças entre linguagem do dia a dia e linguagem física 1 Na linguagem comum, que significa velocidade média? 2 Na linguagem física, que significa velocidade média? 3 Na linguagem física, velocidade é uma grandeza que se refere a um instante. Por exemplo, num certo instante, a velocidade do carro valia 42 km/h e apontava para oeste. Que significado tem a velocidade num instante? Na linguagem do dia a dia, “velocidade média” indica a distância percorrida por unidade de tempo, em média. Por exemplo, num percurso feito à ve- locidade média de 80 km/h, em média, em cada hora, percorre-se 80 km. Claro que não se necessita de andar uma hora... nem percorrer 80 km...! Por exemplo, de se percorrer apenas 40 km, em meia hora, a “velocidade média” é de 40 km / 0,5 h = 80 km/h. Na linguagem rigorosa da Física, a velocidade de um objecto é uma gran- deza vectorial e refere-se a um instante, não a um intervalo de tempo. Por isso, a “velocidade média” da linguagem do dia a dia é algo com um signi- ficado diferente da linguagem física. Deste modo, é mais correcto falar em rapidez média em vez de velocidade média. A rapidez média diz respeito à distância percorrida, em média, por unidade de tempo. A distância percorrida é uma grandeza escalar (só interessa quanto vale): por isso, a rapidez mé- dia é também uma grandeza escalar. A palavra velocidade fica, assim, reservada para a grandeza vectorial, com o significado explicado na página anterior: por exemplo, um objecto com a velocidade de 80 km/h, movendo-se na direcção oeste, estará num ponto a 80 km, a oeste do ponto de partida, uma hora depois. Na linguagem da Física, velocidade média é, de facto, um vector: re- laciona um deslocamento (que é uma grandeza vectorial) com o tempo que demora esse deslocamento. Mas, como facilmente se compreende, esta defi- nição física de velocidade média pouca utilidade tem para percursos em terra firme, uma vez que os estes percursos são em geral linhas curvas e a mag- nitude do deslocamento é diferente da distância percorrida. Neste percurso, a distância percorrida foi de 508 m, em 43 s (registados no GPS). Portanto, a rapidez média no percurso foi 508 m / 43 s = 11,8 m/s , ou seja 0,508 km / (43/3600) h = 42,5 km/h. Para se calcular a velocidade média neste percurso (definida na linguagem rigorosa da Física), era necessário determinar a magnitude do deslocamento e dividir esse vector pelo intervalo de tempo que demorou o deslocamento... A grandeza velocidade média, tal como é definida rigorosamente na linguagem da Física, é pouco útil, principalmente quando os percursos não são rectilíneos. O vector deslocamento num certo intervalo de tempo une a posição inicial à posição final, nesse intervalo de tempo (vector representado a branco).