aula_10_geoid_determination.pdf

29/11/16
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DETERMINAÇÃO DO GEÓIDE
Aula 10
INSTITUTO FEDERAL DE
EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
SUL DE MINAS GERAIS
Câmpus Inconfidentes
INTRODUÇÃO
Segundo ARANA (2009) a determinação do geóide tem o
significado da determinação da posição que este ocupa em
relação ao elipsóide. Assim, determinar o geóide consiste na
obtenção da separação, em todos os pontos, das superfícies
do elipsóide e do geóide. Convencionalmente, são atribuídos
os sinais positivos às ondulações acima do elipsóide e negativos
em caso contrário.

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INTRODUÇÃO
A tecnologia GNSS e a popularização dos equipamentos que fazem uso dela,
deram mais relevância ao geóide, pois, sua determinação deixa de ser
importante apenas no posicionamento horizontal e faz-se importantíssimo no
posicionamento vertical.
Atualmente, uma operação relativamente simples com receptores GNSSS,
permite a determinação das coordenadas cartesianas de um ponto P(X,Y,Z)
sobre a superfície terrestre. A partir dos parâmetros elipsoidais do sistema de
referência, pode-se calcular as correspondentes coordenadas geodésicas
desse ponto P(ϕ,λ,h).
O cálculo da altitude ortométrica (H) do ponto envolve o conhecimento da
ondulação do geoidal (N) no ponto considerado, pois as altitudes geométricas
e as ortométricas estão relacionadas pela equação, que segue:
H = h - N
INTRODUÇÃO
De acordo com ARANA (2009), existem três métodos para a determinação de N e, que
apesar da longa existência destes métodos eles se mantém atuais.
• O primeiro método adota a fórmula proposta por STOKES e o geóide obtido é denominado
de geóide gravimétrico, visto que N é obtida a partir da anomalia da gravidade.
• O segundo método utiliza o desvio da vertical, obtido pela comparação das coordenadas
astronômicas e geodésicas, o geóide assim determinado é denominado de
astrogeodésico, utilizando-se fórmulas de Vening-Meinesz que através das anomalias da
gravidade, determina-se as componentes dos desvios da vertical e a partir destas a
ondulação do geóide é determinada em relação a outro ponto cuja ondulação do
geóide seja conhecida.
• O terceiro método utiliza dados obtidos das observações aos satélites artificiais.
Classificados em dois grupos:
• satélites para aplicações geométricas; e
• satélites para aplicações dinâmicas.

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INTRODUÇÃO
Segundo SÁ (1993) apud ARANA (2009), as técnicas mais usadas
para a determinação do geóide com alta precisão, visando o
nivelamento com GNSS, consistem basicamente na representação
das altitudes geoidais através de componentes distintas,
denominadas global, a regional e local.
• A componente global é determinada a partir dos coeficientes que
representam o esferoide (elipsóide de revolução (TORGE, W. 1980));
• A componente regional é determinada a partir de dados do campo de
gravidade reduzidos ao esferoide; e
• A componente local introduz correções calculadas através de dados
complementares, tais como modelos digitais da topografia e da densidade da
crosta.
Determinar N
a partir da anomalia da gravidade
De acordo com GEMAEL (2012) no trabalho de Stokes, publicado com o
título de: On the variation of gravity at the surface of the Earth. São tratados
dois tópicos:
1. Conhecendo-se a forma de uma superfície equipotencial S, limitante de
um sistema de massas atrativas dotado de movimento de rotação, e o
valor da gravidade em um ponto da superfície, determinar o campo
externo independente de qualquer hipótese sobre a distribuição das
massas no interior da superfície;
2. Inversamente, conhecendo-se o valor da gravidade em todos os pontos
de uma superfície equipotencial, determinar a forma dessa superfície.
No ano de 1849, o matemático George Gabriel Stokes
desenvolveu a fórmula que leva seu nome, fundamental à
Geodésia Física, pois proporciona a determinação da
separação geóide - elipsóide em função da anomalia da
gravidade. Fonte: Wikipédia

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Determinar N
Convém antecipar que Stokes, em sua dedução original,
admitiu a inexistência de massas externas à superfície
equipotencial, o que não ocorre com a Terra, pois as massas
topográficas são externas ao geoide. Também admitiu uma
aproximação esférica, negligenciando quantidades da ordem
de 0,003N; como N < 100m, isso significa negligenciar valores
não superiores a 30 cm.
Determinar N
Onde:
• R = raio médio terrestre;
• α = é o azimute em torno do ponto de cálculo;
• γ = é a gravidade normal na superfície do elipsóide de referência geocêntrico;
• Ψ = é o ângulo geocêntrico, ou distância esférica, entre o ponto de interesse e o
ponto utilizado na integração;
• Δg = anomalia média da gravidade;
• S(Ψ) = função de Stokes, obtida em função da distância angular entre o ponto
onde se calcula a ondulação e o elemento de área dS, que contribui na
determinação de N.
α
dA
dS
Ψ
dΨ
Segundo LOBIANCO (2005) podemos definir a
Integral de Stokes como:

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Determinar N
Como: dS = R2senΨdΨdα
Podemos escrever N da seguinte forma:
Podemos também utilizar coordenadas geográficas (φ,λ); e como estamos
admitindo a hipótese esférica, ν e φ são, respectivamente, colatitude e latitude
geocêntricas e, como tal, grandezas complementares.
Então, fazendo dS = R2cosφ’dφ’dλ’. N irá assumir a seguinte forma:
Integra λ
Integra φ
Determinar N
Sendo (φ’,λ’) as coordenadas do elemento de área associado à anomalia Δg’; N é a
ondulação geoidal no ponto P(Ψ, λ) com: cosΨ = senφsenφ’+ cosφcosφ’cos(λ’– λ) .
λ-λ’
φ’
φ
Ψ
α
dσ
P

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Determinar N
A aplicação da integral de Stokes pressupõe a inexistência de massas externas ao
geoide.
A supressão das massas topográficas (externas ao geoide) e das correspondentes
massas de compensação isostática, normalmente processada na redução de
valores observados de g, satisfaz a condição da aplicação da integral de Stokes.
Porém, por outro lado, acarreta um novo problema: produz uma Terra fictícia, com
a consequente alteração do potencial gravífico.
O Valor de N proporcionado em tais condições pela fórmula de Stokes representa a
separação entre o elipsoide de referência e um “geoide fictício” denominado
cogeoide.
Cogeoide
Determinar N
• Aproximação esférica;
• A integração deve ser estendida a toda superfície terrestre, isto é, torna-se
necessário dispor de estações gravimétricas em quantidade e distribuição
geográfica convenientes;
• O potencial perturbador deve ser harmônico em qualquer ponto externo do
geoide;
• A fórmula de Stokes propicia a separação cogeoide-elipsoide;
• A dedução de Stokes exige a igualdade das massa do elipsoide e da Terra;
• Pressupõe que o esferopotencial sobre o elipsoide seja numericamente igual ao
geopotencial sobre o geoide;
• O centro de massa da Terra deve coincidir com o do elipsoide;
Restrições e dificuldades na aplicação da Integral de Stokes

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Determinar N
a partir da desvio astrogeodésico
O desvio da vertical em um ponto é definido como sendo o ângulo
compreendido entre a vertical e a normal neste ponto. Usualmente este
ângulo é decomposto em duas componentes; a componente meridiana e
a componente primeiro vertical.
Através das coordenadas astronômicas e geodésicas, pode-se calcular as
componentes do desvio da vertical através das fórmulas de Laplace.
Fonte: ARANA (2009)
Determinar N
a partir da desvio astrogeodésico
Nota-se na figura anterior que a diferença da ondulação do geóide entre
dois pontos, separados a uma distância infinitesimal ds, será de
O símbolo ε representa o desvio da vertical na direção. Para manter a
coerência do sinal das componentes do desvio da vertical, positivo nos
sentidos sul-norte e oeste-leste, adota-se o sinal negativo na equação.
Para pontos separados por uma distância maior, a diferença da ondulação
geoidal de dois pontos A e B, será determinada pela função:
onde:

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EXERCÍCIO
1. Calcular a ondulação geoidal (N) entre os pontos A e B
referenciados ao SAD69:
A. φa = -20º 08’ 41,5”, λa = -50º 11’ 40,6” e φ = -20º 08’ 43,6”, λ = -50º 11’ 39,3”
B. φa = -19º 55’ 22,8”, λa = -50º 42’ 14,8” e φ = -19º 55’ 20,8”, λ = -50º 42’ 00,2”
ΔN = R*105*sin(1”)*sin(1’)*(ξ”Δφ’+ η”Δλ’cosφ)
Onde:
ξ” = 0,5(ξA + ξB)
η” = 0,5(ηA + ηB)
Δφ’ = φB – φA
Δλ’= λB – λA
R = raio da Terra considerando o modelo esférico
Determinar N
a partir de modelos geoponteciais
De acordo com RAPP (1996) apud ARANA (2009), a representação do potencial gravitacional da
Terra através de séries harmônicas esféricas tem sido um dos objetivos da comunidade geodésica a
mais de 40 anos. Dados gravimétricos obtidos de satélites e de superfície tem possibilitado uma
maior e mais precisa representação do geopotencial. A combinação destes dados permitiram os
cálculos dos coeficientes dos modelos do geopotencial até o grau 360.
Os modelos de alto grau podem ser usados para uma variedade de aplicações, dentre as quais,
cita-se:
• cálculo da predição das órbitas de satélites;
• uso em estudos simulados que envolvem quantidades gravimétricas; e
• cálculos de ondulações geoidais.
O uso mais frequente dos modelos geopotencias de alto grau tem sido na determinação da
ondulação do geóide ou da anomalia de altitude. Este uso é devido à facilidade proporcionada
pelo GNSS nas determinações da altura geométrica e consequente necessidade do conhecimento
da altura geoidal.

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Determinar N
Os modelos mais divulgados são:
• os da série Smithsonian Astrophysical Observatory Standar Earth (SAO-SE);
• o Goddard Earth Model – Natinal Aeronautics and Space Administration (NASA –
GEM);
• o Ohio State University (OSU);
• o Groupe de Recherche Spatial – Institut Universität Müchen (GRIM); e
• o GeoPotential Model (GPM).
Alguns destes modelos foram determinados a partir de dados orbitais de satélites (GEM-T1 e
GEM-T2), enquanto outros combinam estes elementos com observações gravimétricas e
altimétricas (OSU-86, OSU-89, OSU91A, GPM1 e GPM2).
Determinar N
O Modelo OSU91A
Desenvolvido pela Ohio State University no ano de 1991. Os coeficientes do grau de 2 à
50 foram gerado a partir do modelo GEM-T2 e de anomalias de gravidade médias em
blocos de 30’x30’ e de dados altimétricos da superfície dos oceanos gerados pelo
Geosat. As anomalias da gravidade terrestres foram combinadas com anomalias
estimadas. Os coeficientes de grau 51 à 360 foram obtidos a partir do modelo GEM-T2
combinados com anomalias da gravidade espaçadas de 30’.

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Determinar N
O Modelo EGM2008
Nas últimas décadas (1990-2000), tem havido uma soma de esforços envolvendo a
colaboração, análises e recursos do National Imagery and Mapping Agency (NIMA), da NASA
Goddard Space Flight Center (NASA/GSFC) e da Ohio State University.
Como resultado desta junção de esforços, tem-se o novo modelo global do campo
gravitacional da Terra denominado Earth Gravitational Model 1996 (EGM96). A forma do modelo
EGM96 é uma expansão do potencial gravitacional (V).
O desenvolvimento do EGM96 deu-se com uso dos dados da gravidade do NIMA e dados de
satélites da NASA/GSFC. A NIMA proporcionou dados da anomalia da gravidade de todo o
globo terrestre de 30’ e 1º , esta anomalia foram determinada a partir de pontos de anomalia da
gravidade de 5’X5’ obtidos do arquivo de altura do geóide do GEOSAT Geodetic Mission.
Dando sequência ao EGM96, foi elaborado o modelo gravimétrico EGM2008, onde o mesmo é
composto coeficientes que o representam a ondulação geoidal por grau 2190 e ordem 2159.
Determinar N
a partir de GNSS & Nivelamento Geométrico
A realização do rastreamento dos satélites do sistema GNSS sobre duas RN
(Referência de Nível) propicia a determinação da ondulação do geóide. Assim, em
uma linha formada por duas RN com alturas geométricas conhecidas, pode-se
interpolar a ondulação do geóide em pontos desta linha, ou próximo a ela.
Onde:
HX – representa a altitude ortométrica do ponto X a ser interpolado;
HA – representa a altitude ortométrica da RNA;
ΔhAX – diferença de altura geométrica do ponto X a ser interpolado e a RNA;
lAX – distância entre o ponto X a ser interpolado e a RNA;
lAB – distância entre as RNA e RNB;
ΔNAB – diferença de ondulação geoidal entre as RNA e RNB;

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Determinar N
a partir de GNSS & Nivelamento Geométrico
Exercício: Determinar uma coordenada com GNSS sobre a linha de une os SAT do
IBGE: 93949 e 93953. Conforme ilustra a imagem abaixo:
Determinar N
a partir de GNSS & modelos geoponteciais
Os modelos do geopotencial tem a capacidade de representar, com fidelidade,
os longos comprimentos de ondas do campo da gravidade terrestre.
Como vimos anteriormente, a determinação da ondulação geoidal a partir do
rastreamento de satélites em pontos pertencentes à rede fundamental de
nivelamento do Brasil, nos possibilita calcular a “real” ondulação do geóide. Já os
modelos do geopotencial nos fornecem a ondulação do geoidal conforme o
modelo.
A diferença entre as ondulações geoidais do modelo com as ondulações
determinadas com GNSS/nivelamento permite o cálculo da “separação” entre o
modelo e o efetivo geóide; considerando-se o conceito de diferenças de
ondulações geoidais das várias RN existentes na região de estudo (Modelo
Geopotencial – GNSS/nivelamento).

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Determinar N
Assim, o procedimento para a determinação da ondulação do geóide pelos
modelos do geopotencial associado ao GNSS/nivelamento, deve-se
primeiramente:
• determinar a ondulação do geóide pelo modelo do geopotencial, em um
ponto qualquer de interesse pertencente à região;
• aplicar o modelo matemático ao ponto de interesse, determinando assim a
separação entre os modelos matemático e geopotencial;
• considerar a separação obtida na determinação da ondulação do geóide
a partir do GNSS associado ao modelo do geopotencial.
Fonte: ARANA (2009)

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Determinar N
O Modelo Geoidal do IBGE
O MAPGEO2010, assim como os modelos anteriores (MAPGEO92 , MAPGEO2004), foi
concebido e produzido conjuntamente pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(IBGE), através da Coordenação de Geodésia (CGED), e pela Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo – EPUSP. Este modelo foi calculado com uma resolução de 5’ de
arco, e o Sistema de Interpolação de Ondulações Geoidais foi atualizado.
Através deste sistema, os usuários podem obter a ondulação geoidal em um ponto ou
conjunto de pontos, cujas coordenadas refiram-se tanto a SIRGAS2000 quanto a SAD69.
Determinar N
O Modelo Geoidal do IBGE
O MAPGEO2010, assim como os modelos anteriores (MAPGEO92 , MAPGEO2004), foi
concebido e produzido conjuntamente pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(IBGE), através da Coordenação de Geodésia (CGED), e pela Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo – EPUSP. Este modelo foi calculado com uma resolução de 5’ de
arco, e o Sistema de Interpolação de Ondulações Geoidais foi atualizado.
Através deste sistema, os usuários podem obter a ondulação geoidal em um ponto ou
conjunto de pontos, cujas coordenadas refiram-se tanto a SIRGAS2000 quanto a SAD69.

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08,12 m
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARANA, J. Introdução a Geodésia Física. FCT-UNESP – Presidente Prudente, 2009.
CATALÃO, J. Geodésia Física. Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa –
Lisboa, 2000.
GEMAEL, C. Introdução à Geodesia Física. Ed. UFPR – Curitiba, 2012.
IBGE. http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/modelo_geoidal.shtm,
consultado em 01/11/2014.
LOBIANCO, M.C.B., BLITZKOW, D., MATOS, A.C.O.C. O Novo Modelo Geoidal para o
Brasil. IV Colóquio Brasileiro de Ciências Geodésicas - Curitiba, 2005.
SNEEUW, N. Physical Geodesy. Institude of Geodesy Universität Stuttgart – Stuttgart,
2006.

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DÚVIDAS?
e-mail:
luciano.barbosa@ifsuldeminas.edu.br
Fonte: BOLSTAD P., 2012.

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