Projeto interdisciplinar de arte e matemática

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A Geometria da Arte

2. 1. Arte e Matemática
A Matemá ca tem uma ín ma ligação com a Arte e as obras dos ar stas que veremos a seguir são
exemplos disso.
Vamos começar pelo Brasil. Na História da Arte do nosso país, temos grandes ar stas que u lizaram
as formas geométricas como elementos em suas obras, como Tarsila do Amaral e Athos Bulcão .
(1886-
2. Tarsila do Amaral (1886-1973)
Tarsila par cipou a vamente da renovação da arte brasileira que ocorreu na década de 1920, quan-
do aconteceu, também, a Semana de Arte Moderna, realizada entre 11 e 18 de fevereiro de 1922 no
Teatro Municipal de São Paulo e que contou com a par cipação de ar stas plás cos, músicos, escri-
tores e arquitetos.
A ar sta não par cipou na Semana porque morava no exterior, mas integrou-se ao movimento mo-
dernista e ligou-se com especial interesse à questão da brasilidade, defendida pelo grupo.
De volta ao Brasil após uma temporada na Europa, em 1924, Tarsila do Amaral iniciou a fase que ela
própria denominou de pau-brasil, na qual suas obras já con nham uma notável influência cubista.
Nessa fase da sua carreira, é possível observar uma forte tendência geométrica em suas obras.
TARSILA DO AMARAL. São Paulo, 1924. Óleo sobre tela.
67 X 90 cm. Pinacoteca do Estado de São Paulo. São Paulo.
http://www.base7.com.br/tarsila/
TARSILA DO AMARAL. E.F.C.B., 1924.
Óleo sobre tela. 142 X 127 cm.
Museu de Arte Contemporânea. São Paulo.
http://www.base7.com.br/tarsila/

3. (1918-
3. Athos Bulcão (1918-2008)
Athos Bulcão, renomado pintor, mosaicista, desenhista e escultor brasileiro é outro ar sta brasileiro
em cuja obra a geometria sempre esteve muito presente.
Bulcão nasceu no Rio de Janeiro, mas mudou-se para Brasília em 1958, no auge da construção da ci-
dade, onde trabalhou muito próximo do arquiteto Oscar Niemeyer e elaborou obras de reves men-
to, painéis e murais que integraram as obras arquitetônicas. Aliás, esse ar sta se auto definia como
“ar sta plás co que faz integrações arquitetônicas”.
São inúmeras as contribuições de Bulcão para a arquitetura da cidade de Brasília. Seu nome está in-
delevelmente ligado ao da capital do Brasil.
O painel de azulejos abaixo faz parte
da decoração de uma igreja e mostra
duas caracterís cas predominantes
na sua obra: a cor azul e a preferên-
cia pelo geométrico.
ATHOS BULCÃO. Painel em mural vidrotil. Edifício de Apartamentos
da Rua Bolívar, 1955.
http://www.fundathos.org.br/abreGaleria.php?idgal=109
ATHOS BULCÃO. Painel de azulejos, 1957. Igrejinha Nossa
Senhora de Fátima. Brasília
http://manoelaafonso.wordpress.com/category/athos-bulcao/
Detalhe
3

4. (1872-
4. Piet Mondrian (1872-1944)
A obra do ar sta holandês Piet Mondrian revela sua tendência à geometrização e à síntese da realida-
de. Ele se destacou com obras abstratas geométricas, principalmente trabalhando com formatos re-
tangulares.
Mondrian foi fortemente influenciado pelo movimento cubista, entretanto, ao contrário dos cubistas,
tentava reconciliar a pintura com a sua busca espiritual e, em 1913, começou a se fundir a sua arte e
seus estudos teosóficos em uma teoria que sinalizou sua ruptura final da pintura representacional: o
neoplas cismo. Para esse ar sta, as formas geométricas nham um sen do que transcendia a esté -
ca, como deixa claro numa carta que escreveu em 1914 para o ar sta plás co H.P. Bremmer:
“Eu acredito que é possível,
através de linhas horizontais e
ver cais construídas com
consciência, mas não com cál-
culos, guiadas por elevada
intuição, e trazidas para a har-
monia e o ritmo, estas formas
básica, de beleza, comple-
mentadas se necessário por
outras linhas diretas ou cur-
vas, podem se tornar uma
obra de arte, tão forte quanto PIET MONDRIAN. Composição com vermelho, amarelo e azul, 1921.
óleo sobre tela, 40 X 35cm. Coleção Haags Gemeentemuseum, Haia.
verdadeira”.
http://www.mondrian.kit.net/Obras/compveramazul.htm
Sua obra inspirou es listas como Yves Saint Laurent que, nos anos 60, se apropriou do es lo de Mon-
drian e u lizou, em suas criações, além do geometrismo, as cores primárias (vermelho, azul, branco,
preto, amarelo) que o ar sta considerava como as cores elementares do Universo.
http://www.metmuseum.org/toah/works-of-art/
YVES ST.LAURENT. "Mondrian" vestido de dia,
coleção outono de 1965 .

5. (1898-
5. Maurits Cornelis Escher (1898-1972)
A obra na qual a matemá ca parece ter sido mais preponderante é a do ar sta gráfico holandês M. C.
Escher .
Suas gravuras são cheias de surpresas conceituais e se situam entre o verossímil e o inverossímil, en-
tre o possível e o impossível. Elas são o resultado da sua capacidade de gerar imagens com impressio-
nantes efeitos de ilusão de óp ca, respeitando as re-
gras geométricas do desenho e da perspec va.
Numa visita à Alhambra, na Espanha, o ar sta conhe-
ceu e se encantou pelos mosaicos de um palácio de
construção árabe e isso despertou seu interesse pela
divisão regular da super cie.
Este tema se tornou um dos eixos fundamentais do seu
trabalho com ciclos, aproximação ao infinito e meta-
morfoses (transmutação de figuras geométricas em
formas como plantas, pessoas e répteis).
Algumas das questões matemá cas mais trabalhadas
por Escher são: o infinito, a divisão regular da super -
M.C. ESCHER. Ascending and Descending, 1960. Litografia. cie, a perspec va, a representação de figuras tridimen-
35.5 cm × 28.5 cm . Cordon Art-Baarn-the Netherlands .http://
www.mcescher.com/Biography/lw435f2.jpg sionais em planos bidimensionais e os sólidos impossí-
veis, como veremos a seguir.
5.1. Escher e a Matemá ca
5.1.2. Estruturas Espaciais:
♦ Composições paisagís cas
♦ Interpenetração de mundos diferentes
♦ Sólidos matemá cos
Em suas obras, Escher usava a mate-
mática e o princípio da perspectiva
para a representação de figuras tridi-
mensionais dando a impressão de
realidade, como na imagem ao lado.
ESCHER. Hand with Reflecting Sphere, 1935
Litografia. 31.7 x 21.3 cm. Coleção Rosenwald.
http://www.nga.gov/collection/gallery/ggescher/
ggescher-47949.html
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6. 5.1.3 Estruturas da Super cie:
♦ Metamorfoses
♦ Ciclos
♦ Infinito
A técnica do ladrilhamento foi a utilizada pelo
artista na composição de imagens como a da
xilogravura ao lado. Significa que um plano (o
papel, por exemplo) é preenchido com uma sé-
rie de figuras repetidas sem deixar espaços vazi-
os entre elas., encaixando-as perfeitamente, ESCHER. Circle Limit IV (Heaven and Hell), 1960.
como num quebra-cabeças ou num mosaico. Xilogravura. Diametro: 416mm.
http://euler.slu.edu/escher/index.php/Circle_Limit_IV_
5.1.4 Representação de espaços tridimensionais em super cies planas:
♦ Conflito espaço x super cie
♦ Perspec va
♦ Figuras impossíveis
A gravura de Escher ilustra
o "triângulo impossível" descrito pe-
lo matemático britânico Roger Penrose em
um artigo de 1958 sobre ilusão de óti-
ca: "Aqui está um desenho em perspectiva,
do qual cada parte é percebida co-
mo representando uma estrutura retangu-
lar tridimensional. As linhas do desenho
são, no entanto, ligadas de tal forma
a reproduzir uma impossibilidade. Como o
olho persegue as linhas da figura, mudan-
ças bruscas na interpretação de distância
ESCHER. Waterfall, 1961. Litogravura. 38.1 x 29.9 cm
do objeto do observador são necessárias".
Coleção Cornelius Van S. Roosevelt .
(Tradução nossa)
http://www.nga.gov/fcgi-bin/timage_f?

7. São também deste período da temá ca das figuras impossíveis algumas das gravuras mais impor-
tantes de sua obra, tais como: Rela vidade, Côncavo e Convexo, Belvedere e Escada acima e Esca-
da abaixo.
Nessas obras, Escher trabalha com a ilusão de ó ca, que resulta da forma como o nosso cérebro
interpreta as imagens, nos fazendo ver coisas que, na verdade, não estão na imagem ou que seri-
am impossíveis na realidade.
Convex and Concave, 1955. Litografia. 275 x 335 mm. Coleção
ESCHER. Relativity, 1953. Litografia. 28 x 29.1 cm.
Cornelius Van S. Roosevelt .
Coleção Cornelius Van S. Roosevelt
http://euler.slu.edu/escher/index.php/Convex_and_Concave
http://www.nga.gov/collection/gallery/ggescher/ggescher-
5.1.5 O infinito:
5.1.5. Ponto de fuga
As ilusões criadas por Escher simulam objetos tridi-
mensionais, como já dissemos. Em seus desenhos,
em um plano existem duas dimensões – largura e
altura – chamados de bidimensional. Ao ser acres-
centada a profundidade é dado o volume e a figura
passa a ser denominada tridimensional.
ESCHER. Cada vez menor I, 1956.
Xilografia.
ESCHER. Belvedere, 1958 Litografia. 46.2 x
29.5 cm. Coleção Rosenwald.
http://www.artchive.com/artchive/E/escher/
escher_belvedere.jpg.html
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8. O úl mo trabalho de Escher, a xilogravura Serpentes, feita em três blocos de madeira nas cores laran-
ja, verde e preto, também foi elaborada dentro do conceito de infinito.
ESCHER. Snakes, 1969
Xilografia. 49.8 x 44.1 cm. Cornelius Van S. Roosevelt Collection.
http://www.nga.gov/collection/gallery/ggescher/ggescher-
61294.html
Nas páginas anteriores, pudemos observar as obras de ar stas nacionais e internacionais que u liza-
ram da geometria e de outros princípios matemá cos em seus trabalhos.
Entretanto, o uso das formas geométricas em manifestações ar s cas é muito mais an go!
Por exemplo: o mundo islâmico tem uma tradição ar s ca rica em criar ornamentações altamente
geométricas e simétricas, pois, figuras com formas humanas e animais não podem ser u lizadas na
decoração de construções religiosas do islã, como as mesquitas. O processo de criação de ladrilhos
islâmicos foi se aprimorando com o passar dos séculos, mas essa norma que nunca foi descumprida.
Por isto, a arte islâmica tem uma grande tradição no complexo uso de padrões geométricos.
Também vimos ar stas que u lizaram as técnicas de mosaicos (Athos Bulcão, Por nari, Di Cavalcan-
...), mas o que significa ladrilhamento e o que são mesmo os mosaicos?

9. 6. Arte Musiva
6.1. Introdução
O mosaico é uma expressão artística na qual o artista organiza pequenas peças coloridas e as cola sobre uma
superfície formando imagens. As peças a serem utilizadas em um mosaico normalmente são pequenos frag-
mentos de pedras, como mármore, granito, pedaços de vidro, pastilhas de vidro, seixos, e até mesmo pedras
semipreciosas e outros materiais, sobre qualquer superfície, seja ela fixa ou transportável: pode ser uma pare-
de, uma tela, um papel, etc.
6.2. Breve história da Arte Musiva
O Estandarte de Ur (3500 a.C) é considerado, pela maioria dos historiadores, como o mosaico mais
an go da História.
Foi encontrado na Suméria (an ga
Mesopotâmia), atual Iraque. Com-
põe-se de dois painéis retangula-
res de 55 cm
de arenito avermelhado e lápis-
lazúli: um dos murais narra cenas
de guerra e o outro, cenas domés-
cas.
Porém, embora conhecido desde a Estandarte de Ur, c. 3.500 a.C. British Museum, Londres.
an guidade, o Mosaico como ex- http://pt.wikipedia.org/wiki/Estandarte_de_Ur
pressão ar s ca está par cular-
mente associado à cultura bizan -
na, que o disseminou. Graças a
sua localização (Constan nopla)
http://miriamsantoromosaicos.blogspot.com/
a arte bizan na sofreu influências
de Roma, Grécia e do Oriente.
Do século V em diante, os mosai-
Mosaico bizantino.
cos passaram a ser a técnica prefe-
rida para decorar paredes de Igre-
jas com cenas de passagens cristãs.
Uma nova linguagem figura va se
desenvolveu e se aperfeiçoou em
Bizâncio, que abre para o mosaico
uma nova era, pois a arte bizan na
é o verdadeiro triunfo das artes
visuais do cris anismo.
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10. 7. Mosaicos na arte brasileira
No Brasil o mosaico foi u lizado por Cândido Por nari, Di Cavalcan e Tomie Ohtake em diversas
de suas obras.
A arte musiva ainda está presente principalmente na construção civil e pode ser vista em imensos
painéis, na decoração de piscinas e em pisos e paredes dos mais diversos ambientes.
Abaixo um mosaico abstrato em pas lhas e cerâmica, projetado em 1949 pelo arquiteto Arthur
Arcuri com desenho de Di Cavalcan (1897-1976), representa o marco do centenário da cidade mi-
neira, inaugurado em 1951.
http://www.veraoliveira.com.br/blog/mural-de-mosaico-por-di-cavalcanti/#more-4
O Salão de Atos Tiradentes abri-
ga a mais importante obra musi-
va de Cândido Por nari, o Painel
Tiradentes, de 1948, com 18
metros de comprimento e 3 me-
tros de altura (detalhe da obra
ao lado).
http://apredizartes.blogspot.com/2010/07/projeto-do-muralismo-ao-grafite.html

11. 7.1. Mosaicos no co diano
O mosaico consiste na junção de peças recortadas, que coladas próximas umas das outras, produzem
um determinado efeito visual, como um desenho ou imagem.
Estas peças podem ser feitas de diversos materiais, embora a mais comum seja a pas lha de vidro.
São inúmeras as aplicações do mosaico: peças pequenas e grandes que vão desde tampas de caixas
até grandes painéis arquitetônicos. Veja algumas aplicações de mosaico em peças de decoração:
Tampo de Mesa
http://www.click21.mypage.com.br/MyFlog/
visualiza_modPH.asp?
Diversas peças em mosaico
http://ajuntandopedacinhos.blogspot.com/
Luminária
http://ymaguaremosaicos.blogspot.com/2009/10/pequenas-
pecas-em-mosaico.html
Vaso
http://jotagemosaicos.wordpress.com/category/
vasos/
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12. 8. Sólidos Geométricos
Mas, do que trata a Geometria? O que são esses elementos que os ar stas u lizaram em suas
obras?
A geometria é a parte da matemá ca cujo objeto de estudo é o espaço e as figuras que podem
ocupá-lo. Em geral, acredita-se que a origem da geometria seja egípcia , o que é natural, pois, pa-
ra a construção das pirâmides e outros monumentos localizados no Egito, seriam necessários co-
nhecimentos geométricos. Entretanto, estudos mais recentes contrariam esta teoria e referem
que os egípcios foram buscar na civilização babilônica muito do seu saber.
Um sólido geométrico é uma região do espaço limitada por uma super cie fechada. Há dois pos
de sólidos geométricos: os poliedros e os não poliedros.
Sólidos Geométricos
Poliedros são sólidos geométricos cuja super cies são compostas por um número finito de faces,
em que cada uma das faces é um polígono. Os seus elementos mais importantes são as faces, as
arestas e os vér ces. Ex.: cubo, dodecaedro, paralelepípedo.
Não poliedros são todos os demais sólidos geométricos que não se encaixam na categoria
de poliedro, ou seja, ao menos uma de suas faces não é um polígono. Ex.: esfera, cone, cilindro.
Esfera Cilindro
Cone

13. 9. Oficina de Mosaicos
Agora que você já sabe um pouco mais sobre as possibilidades de parceria entre a Arte e a Matemá -
ca e também já conhece os sólidos geométricos, que tal colocar o que aprendeu em prá ca?
A nossa proposta é uma Oficina de Mosaicos, onde você vai u lizar o editor de imagens “Paint”, da
Microso , ou um programar similar (editor de imagens) que esteja disponível no computador que se-
rá u lizado. Um bom local para baixar esses editores, inclusive vários deles gratuitos, é o portal BAI-
XAKI: ele traz informações sobre cada editor, prós e contras, ra-dúvidas, tutoriais para aprender a
usá-los, enfim, são várias informações bem úteis sobre os diversos programas.
Eu preparei um tutorial bem simples para você u lizar o PAINT para fazer os mosaicos, para visualizar
ou baixar esse arquivo clique aqui.
Você poderá fazer mosaicos combinando sólidos iguais de cores diferentes:
Mosaico de triângulos
Mosaico de quadrados
Mosaico d pentágonos
Ou poderá, ainda, combinar diversos sólidos de variadas cores para formar a imagem figura va ou
abstrata que desejar.
Fotos das oficinas de mosaicos serão postadas no Picasa Web, clique aqui para acessar os álbuns. Esse
projeto também tem um Blog: faça uma visita!
Então, vamos lá? Agora é mãos à obra!
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14. 10. Créditos Este trabalho integra o projeto interdisciplinar
de arte e matemá ca “A Geometria da Arte”,
Edição apresentado para a disciplina PIEA-2 no 8º
semestre do curso de Artes Visuais da
Suzy Nobre
UnB -Universidade de Brasília.
Contato: nobre_suzy@yahoo.com.br
Para saber mais sobre: Mosaicos
Arte e Matemá ca h p://taislc.blogspot.com/2010/01/arte-do-
mosaico.html
h p://bloguinfo.blogspot.com/2008/03/
matem ca-atravs-da-arte.html h p://www.infoescola.com/artes/mosaicos/
h p://www.portugaljovem.net/mariolima/ h p://artemusiva.tripod.com/
matema ca/temas/diversos/arte.htm h p://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/
mosaico/mosaico-27.php
Athos Bulcão
h p://www.fundathos.org.br/ Piet Mondrian
h p://www.pietmondrian.org/ (em inglês)
Cândido Por nari h p://www.mondrian.kit.net/
h p://www.por nari.org.br/
Sólidos geométricos
Emiliano Di Cavalcan h p://www.si odosmiudos.pt/matema ca/
default.asp?url_area=E
h p://www.dicavalcan .com.br/
h p://www.slideshare.net/gladislsantos/solidos-
geometricos-410103
Maurits C. Escher h p://web.educom.pt/pr1305/
mat_geometri_solidos.htm
h p://www.mcescher.com/ (em inglês)
h p://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/
seminario/escher/escher1.html Tarsila do Amaral
h p://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/ h p://www.tarsiladoamaral.com.br/
Escher.htm
Blog: suzynobre.jux.com
Álbuns: picasaweb.google.com/smdnobre

15. 11. Referências
BERRO, Roberto Tadeu. Relações entre arte e matemá ca: um estudo da obra de Maurits Cornelis Escher.
Ita ba, 2008. [Em linha] Disponível na internet via WWW. URL: h p://www.saofrancisco.edu.br/ita ba/
mestrado/educacao/uploadAddress/RobertoBerro%5B10461%5D.pdf. Acesso em: 24 de setembro de
2011.
DI CAVALCANTI - SITE OFICIAL. Biografia. [Em linha]. Disponível na internet via WWW. URL: h p://
www.dicavalcan .com.br/. Acesso em: 24 de setembro de 2011.
FUNDAÇÃO ATHOS BULCÃO. Biografia. [Em linha] Disponível na internet via WWW. URL: h p://
www.fundathos.org.br/. Acesso em: 24 de setembro de 2011.
GEOMETRIA. In: Wikipédia, a enciclopédia livre [Em linha]. Flórida: Wikimedia Founda on, 2011, rev. 6 Ou-
tubro 2011. Disponível em WWW:<h p://pt.wikipedia.org/w/index.php?
tle=Geometria&oldid=27166087>. Acesso em: 16 outubro de 2011.
HISTÓRIA DA ARTE. Tarsila do Amaral. [Em linha] Disponível na internet via WWW. URL: h p://
www.historiadaarte.com.br/tarsila.html. Acesso em: 24 de setembro de 2011.
PACHECO, Patrícia Carvalho. Figuras Geométricas e Tarsila do Amaral. [Em linha] Disponível na internet via
WWW. URL: h p://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=15056. Acesso em 25 de
setembro de 2011.
RIBEIRO, Maria Amélia Alves Ridolfe. Geometria com Tarsila do Amaral. [Em linha] Disponível na internet
via WWW. URL: h p://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=28027. Acesso em 25 de
setembro de 2011.
SANTANA, Ana Lucia. Mosaicos. In: Infoescola. [Em linha]. [Consult. 12 out. 2011]. Disponível em WWW:<
h p://www.infoescola.com/artes/mosaicos/>. Acesso em 25 de setembro de 2011.
SEMINÁRIO M. C. ESCHER. Entre a Arte e a Matemá ca. [Em linha] Disponível na internet via WWW.
URL: h p://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/escher/escher1.html. Acesso em 25 de se-
tembro de 2011.
SITE OFICIAL DE M. C. ESCHER. Biografia. [Em linha] Disponível na internet via WWW. URL: h p://
www.mcescher.com/. Acesso em: 24 de setembro de 2011.
SITE OFICIAL DE PIET MONDRIAN. Biografia. [Em linha] Disponível na internet via WWW. URL: h p://
www.pietmondrian.org/piet-mondrian.php. Acesso em 25 de setembro de 2011.
TARSILA - SITE OFICIAL. Biografia. [Em linha]. [Consult. 12 out. 2011]. Disponível na internet via WWW.
URL:<h p://www.tarsiladoamaral.com.br/>.
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