O documento aborda o cálculo diferencial e integral, focando na derivação implícita, onde uma função pode ser definida implicitamente por uma equação. Apresenta exemplos práticos, como a determinação de funções a partir de curvas e a aplicação da derivação implícita em funções trigonométricas inversas e problemas de taxas relacionadas. Além disso, discute derivadas sucessivas e fornece exercícios propostos para prática.

1. 1
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I
Prof. Nilson Costa
nilson.mtm@hotmail.com
São Luis 2011

2. 2
Derivação Implícita
Uma expressão da forma F(x, y) = 0 representa em
geral uma curva no plano xy.
Exemplo 1. Dada a expressão F(x, y) = x2 + y2 − 1, a
equação x2 + y2 − 1 = 0, representa um círculo de
centro na origem e raio unitário.

3. 3
Derivação Implícita
Percebemos através do gráfico anterior, que em geral,
existem partes da curva que são gráficos de uma
função.
Logo, podemos obter outras funções implícitas da
equação x2+y2-1=0. Se tomarmos um números real c
qualquer entre -1 e 1, podemos definir a função
2
2
1 ,
( )
1 ,
x para x c
h x
x para x c
  

 
  



4. 4
Derivação Implícita
Pelo gráfico podemos observar que esta função não é
contínua no ponto c e, portanto, não é derivável.
Atribuindo diferentes valores a c, podemos obter
tantas funções quantas queríamos. Assim, a equação
x2+y2-1=0 defini implicitamente uma infinidade de
funções.

5. 5
Derivação Implícita
O que fizemos agora pouco sugere que, sob certas
condições, podemos obter localmente, a partir de uma
curva dada, uma expressão que define explicitamente
uma função.
Mas, nem todas as funções estão definidas de forma
explicita, por como no exemplo a seguir.
Exemplo 2. x6 − 2x = 3y6 + y5 − y2 não podemos
escrever y em termos de x.

6. 6
Derivação Implícita
Além disso, podem existir uma ou mais funções
y = f(x), para as quais essa última equação é
satisfeita, isto é, tais que a equação
x6 − 2x = 3y6 + y5 − y2 com y = f(x)
x6 − 2x = 3[f (x)]6 + [f (x)]5 − [f (x)]2 seja válida,
para todos os valores de x no domínio de f .
Definição 1. Dizemos que uma função y = f(x) é dada
implicitamente por tal equação se, para todo x no
domínio de f, o ponto (x, f(x)) for solução da equação.

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Derivação Implícita
Logo, surge, naturalmente, uma questão:
Como derivar uma função dada implicitamente?
No caso da equação x2 + y2 − 1 = 0, é fácil, já que
fomos capazes de explicitar y como função de x .
O mesmo não ocorre para
x6 − 2x = 3[f (x)]6 + [f (x)]5 − [f (x)]2.
Vejamos então como proceder.
O lado esquerdo dessa equação é uma função de x,
enquanto o lado direito é uma função de y.

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Derivação Implícita
Pondo f (x) = x6 −2x
e
g(y) = 3y6 +y5 −y2, onde y = f (x), podemos escrever
x6 − 2x = 3y6 + y5 − y2 como f (x) = g(f (x)).
Essa equação está definida para todos os valores de x
no domínio de f para os quais g(f (x)) existe.
Dx (x6 − 2x) = Dx (3y6 + y5 − y2).
A derivada do primeiro membro é facilmente
encontrada: D (x6 − 2x) = 6x5 −2

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Derivação Implícita
Para o segundo membro, utilizaremos a regra da
cadeia:
Dx (3y6 + y5 − y2) =
Portanto, Dx (x6 − 2x) = Dx (3y6 + y5 − y2) equivale a
ou

10. 10
Derivação Implícita
Exemplo 3. Determine dy/dx para a equação
3x4y2 − 7xy3 = 4 − 8y.
Solução: Derivando implicitamente a equação
3x4y2 − 7xy3 = 4 − 8y ficamos com:

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Exemplo 4. Encontre a reta tangente da equação da
curva x3+y3=6xy chamada fólio de descartes no ponto
(3,3).
Derivação Implícita

12. 12
2)Solução:
Derivação Implícita

13. 13
Derivação Implícita

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Isso não é bem uma aplicação. Vamos utilizar a
derivação implícita para calcular a derivação de
funções trigonométricas inversas, supondo que essas
funções sejam diferenciáveis.
De fato, qualquer que seja a função f diferenciável e
um a um, pode ser provado que a sua inversa, f -1, é
também diferenciável exceto onde suas tangentes são
verticais.
Isso é plausível, pois o gráfico de uma função
diferenciável não possui bicos ou dobras e se o
refletimos em torno de y=x, o gráfico de sua função
inversa não terá bicos ou dobras.
Aplicação de Derivação Implícita

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Derivada das F. Trig. Inversas
A Função Arco Seno
Definição. Definimos a função arco seno y =
arcsen(x) à função que associa cada número real do
intervalo [−1, 1] ao ângulo y, −π/2 ≤ y ≤ π/2.
Simbolicamente

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A Função Arco Cosseno
Definição. Definimos a função arco cosseno y =
arccos(x) à função que associa cada número real do
intervalo [−1, 1] ao ângulo y, 0 ≤ y ≤ π.
Simbolicamente,
Derivada das F. Trig. Inversas

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Lembre-se de que a função inversa da função seno foi
dada por:
y= sen-1x significa sen y= x e
Diferenciando sen y=x implicitamente em relação a x
obtemos
Como cos y ≥ 0, uma vez que
Aplicação de Derivação Implícita
2 2
y
 
  
1
cos
dy
dx y

, log
2 2
y o
 
  
cos y  2
1 sen y
  2
1 x

1
cos
dy
dx y

2
1
1 x



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Esse mesmo método pode ser utilizado para obter a
fórmula da derivada de qualquer função inversa.
Ficando como atividade para você aluno o cálculo
das outras derivadas das funções trigonométricas
inversas.
y= arc cos x
y=arc tg x
y= arc cotg x
y= arc sec x
y= arc cosec x
Aplicação de Derivação Implícita

19. 19
Aplicação de Derivação Implícita
Famílias Ortogonais
Duas curvas são chamadas ortogonais se em cada
ponto de interseção suas tangentes são
perpendiculares.
No próximo exemplo vamos usar a diferenciação
implícita para mostrar que duas famílias de curvas
são trajetórias ortogonais uma da outra; isto é, cada
curva em uma família é ortogonal a todas as curvas
da outra família.
As famílias ortogonais surgem em várias áreas da
física .

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Aplicação de Derivação Implícita
Por exemplo, as linhas de forças em campo
eletrostático são ortogonais às linhas de potencial
constante.
Em termodinâmica, as isotérmicas (curvas de mesma
temperatura) são ortogonais às linhas de fluxo de
calor.
As linhas aerodinâmicas(curvas de direção do fluxo de
ar) são trajetórias ortogonais às curvas velocidade-
equipotenciais.

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Aplicação de Derivação Implícita

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Aplicação de Derivação Implícita
Gráfico da equação
[1]xy = c com c ≠ 0
e
[2] x2 – y2 = k com k ≠ 0

23. 23
Aplicação de Derivação Implícita

24. 24
Aplicação de Derivação Implícita

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Taxas Relacionadas
Um problema envolvendo taxas de variação de
variáveis relacionadas é chamado de um problema de
taxas relacionadas.
Nesses problemas as variáveis têm uma relação
específica para os valores de t, onde t é a medida do
tempo.
Os valores das variáveis e as taxas de variação das
variáveis em relação a t são frequentemente dados
num determinado instante.
Aplicação de Derivação Implícita

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Exemplo: Um tanque tem a forma de um cone
invertido com 16m de altura e uma base com 4m de
raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de 2
m3/mim. Com que velocidade o nível da água estará se
elevando quando sua profundidade for de 5m?
Solução:
Aplicação de Derivação Implícita

27. 27
Solução cont.
Seja t o tempo em minutos decorridos desde que a
água começou a fluir dentro do tanque;
h a altura em metros do nível de água em t mim;
r a medida em metros do raio da superfície da água
em t mim;
e V a medida, em metros cúbicos do volume de água
no tanque em t mim.
Aplicação de Derivação Implícita

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Em qualquer instante, o volume de água no tanque
pode ser expresso em termos do volume do cone.
V=(1/3)πr2h [*]
V, r e h são todas funções de t. Como a água está
fluindo no tanque a uma taxa de 2m3/mim,
Queremos encontrar a taxa que o nível da agua sobe
ou seja dh/dt quando h=5. Para expressar r em termos
de h, temos, dos triângulos semelhantes,
Aplicação de Derivação Implícita
2.
dV
dt

4
16
r
h
 1
4
r h
 

29. 29
Substituindo esse valor de r em [*], obtemos
Por derivação de ambos os lados dessa equação em
relação a t,
Substituindo dV/dt por 2 e resolvendo em dh/dt,
obtemos
Aplicação de Derivação Implícita
2
1
16
dV dh
h
dt dt


2
32
dh
dt h


2
3 3
1 1 1 1 1
( )
3 4 3 16 48
V h h h h
  
 
  
 
 

30. 30
Logo,
Assim sendo, o nível de água está subindo a uma taxa
de (32/25π)m/mim quando a profundidade da água é
de 5 m.
Aplicação de Derivação Implícita
5
32
25
h
dh
dt 






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Derivadas Sucessivas
Se a função f for derivável, então f ′ será chamada a
derivada primeira de f ou derivada de primeira ordem
de f .
Se a derivada de f ′ existir, ela será chamada de
derivada segunda de f , ou derivada de segunda de
ordem de f e será denotada por f ′′, onde lemos “f duas
linhas”.
Da mesma forma, a derivada terceira de f , ou a
derivada de terceira ordem de f , é definida como a
derivada de f ′′ e denotaremos por f ′′′.

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Derivadas Sucessivas
A derivada de ordem n, ou a enésima derivada da
função f , onde n é um número natural maior do que
1, é a derivada da (n − 1)ésima de f , a qual
denotamos por f (n).
Exemplo: Ache todas as derivadas da função
f (x) = x4 + 5x3 − x2 + 7.
Solução: f ′(x) = 4x3 + 15x2 − 2x,
f ′′(x) = 12x2 + 30x - 2,
f ′′′(x) = f (3)(x) = 24x+30,
f (4)(x) = 24,
f (5)(x) = 0. Logo, f (n)(x) = 0, ∀ n ≥ 5.

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Derivadas Sucessivas
Exemplo. Encontre a derivada de ordem n da função f
(x) = k · e x , k ∈ R∗.
Solução: Como (e x )′ = e x e k ∈ R, f (n)(x) = k · e x .
Os símbolos
são outras notações para a derivada de ordem n.

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Exercícios Propostos
1)Em cada item a seguir, ache dy/dx.

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Derivadas
AGORA É A SUA
VEZ BONS
ESTUDOS

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[1] IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; NILTON JOSÉ,
Machado. Fundamentos de Matemática Elementar – Vol. 8.
8a edição. São Paulo: Atual Editora Ltda, 2.004.
[2] ANTON, Howard. Cálculo: Um Novo Horizonte – Vol. 1.
6a edição. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000.
[3] LIMA, Elon Lages. Curso de Análise – Projeto Euclides
– Vol. 1. 10a edição. Rio de Janeiro: IMPA, 2.002.
[4] FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A. 5a edição. São
Paulo: Makron Books Ltda., 1.992.
Referências Bibliográficas