Graficos exemplos resolução.pdf

Controle Estatístico de Qualidade
Capítulo 6
(montgomery)

Gráficos de Controle para Atributos
Introdução
– Muitas características da qualidade não podem ser
representadas numericamente.
representadas numericamente.
– Nestes casos, classificamos cada item
inspecionado como conforme ou não-conforme
– Tais características são chamadas de atributos.
Exemplos: Haste empenada, Chips que não funcionam,
Embalagens com defeitos.
– Os gráficos de atributos não são tão informativos
quanto o de variáveis.
Uma medida numérica retém mais informação do que uma
classificação: conforme ou não-conforme

Gráficos de Controle para Atributos
Introdução
– Por outro lado, esses gráficos tem aplicações
importantes:
importantes:
Na indústria de serviços ou na melhoria da qualidade fora
da indústria muitas características não são mensuradas
em escala numérica. Por exemplo: Satisfação com um
serviço.
– Iremos estudas 3 gráficos para atributos
Gráfico p: analisa a fração de itens não-conformes
Gráfico c: analisa o número de defeitos ou não-conformes
Gráfico u: analisa o número de defeitos por unidade
produzida

Gráficos de Controle para Fração
de Não-Conformes (Gráfico p)
Introdução
– Fração não conforme: definida como a razão entre
o número de itens não-conformes em uma
o número de itens não-conformes em uma
população e o total de itens naquela população;
– Um item pode ter várias características da
qualidade que são examinadas. Se ao menos uma
não satisfaz o padrão, ele é classificado como não-
conforme;
– Os princípios estatísticos para construção do
Gráfico p se baseiam na distribuição Binomial.

Suposições
– p = probabilidade de que uma unidade (item) não
esteja dentro dos padrões de especificação
esteja dentro dos padrões de especificação
– As sucessivas unidades produzidas são
independentes
– Logo, cada unidade produzida segue uma
distribuição de Bernoulli (p)
– Se uma amostra aleatória de n unidades é
selecionada e se D é o número de unidades não
conformes, então
D ~ Binomial (n, p)

– Logo
– onde E(D) = np e Var(D) = np(1-p)
.
,
,
1
,
0
,
)
1
(
)
( n
x
p
p
x
n
x
D
P x
n
x
K
=
−








=
= −

Suposições
– Fração amostral não-conforme: razão entre o
número de unidades não-conformes na amostra (D)
número de unidades não-conformes na amostra (D)
e o tamanho da amostra (n)
– Da aproximação da Binomial para Normal, temos
que
n
D
p =
ˆ





 −
n
p
p
p
Normal
p
)
1
(
,
~
ˆ

Desenvolvimento e Operação
– Suponha que a verdadeira fração não-conforme (p)
é conhecida ou especificada. Logo, a linha central e
é conhecida ou especificada. Logo, a linha central e
os limites de controle do Gráfico p são definidos
por
– O desvio padrão do processo é dado por
n
p
p
p
LIC
p
LM
n
p
p
p
LSC
)
1
(
3
)
1
(
3
−
−
=
=
−
+
=
n
p
p
p
)
1
( −
=
σ

– No entanto, normalmente a fração não-conforme
(p) não é conhecida e precisa ser estimada a partir
(p) não é conhecida e precisa ser estimada a partir
dos dados observados.
– A operação deste gráfico consiste em:
Tomada de amostras subsequentes de tamanho n;
Calculo da fração amostral não conforme ;
Marcação de no gráfico;
Verificar se o processo se encontra sob controle (idêntico
ao gráfico para variáveis).
p̂
p̂

Estimando a fração não conforme (p)
– Seleção de m amostras preliminares (20 a 25),
cada uma de tamanho n.
cada uma de tamanho n.
– Se há Di unidades não conformes na amostra i,
calculamos a fração não conforme na i-ésima
amostra como
– e a média dessas frações como
.
,
,
1
,
ˆ m
i
n
D
p i
i K
=
=
m
p
n
m
D
p
m
i
i
m
i
i ∑
∑ =
=
=
= 1
1
ˆ
.

Estimando a fração não conforme (p)
– A estatística estima a fração não conforme
desconhecida p
p
desconhecida p
– Lembre que esses limites são, inicialmente, os
limites tentativos de controle e devem ser validados
(idêntico ao gráfico para variáveis).
n
p
p
p
LIC
p
LM
n
p
p
p
LSC
)
1
(
3
)
1
(
3
−
−
=
=
−
+
=

Gráfico p: Cálculo do tamanho de amostra
– Abordagem 1: Escolher n tal que a probabilidade
de encontrar ao menos 1 unidade defeituosa seja
de encontrar ao menos 1 unidade defeituosa seja
pelo menos γ
γ
γ
γ
– Exemplo: suponha p = 0,01 e que P(D ≥ 1) ≥ 0,95.
Usando a aproximação da Poisson para Binomial
(λ
λ
λ
λ=np), ou seja, D agora será
γ
≥
≥ )
1
(D
P
!
)
(
k
e
k
D
P
k
λ
λ
−
=
=

– Temos que
95
,
0
1
)
0
(
1
)
1
( ≥
−
=
=
−
=
≥ −λ
e
D
P
D
P
– Lembrando que pela aproximação da Poisson para
Binomial, λ
λ
λ
λ=np, então
95
,
0
1
)
0
(
1
)
1
( ≥
−
=
=
−
=
≥ −λ
e
D
P
D
P
λ
λ
λ
−
≥
⇒
≥
⇒
≥
− −
−
)
05
,
0
ln(
05
,
0
95
,
0
1 e
e
300
01
,
0
3
=
⇒
=
⇒
= n
n
np λ
00
,
3
99
,
2
)
05
,
0
ln( ≅
≥
⇒
−
≥ λ
λ

– Abordagem 2 (Duncan – 1986): Escolher n de
modo que uma mudança de tamanho δ na fração
modo que uma mudança de tamanho δ na fração
não conforme indique que o processo está fora de
controle.
Logo, basta escolher n de modo que a mudança δ
δ
δ
δ na
fração não conforme coincida com o limite de controle
Assim,
n
p
p
L
)
1
( −
=
δ
)
1
(
2
p
p
L
n −






=
δ

– Abordagem 2 (Duncan – 1986)
Exemplo:
– Exemplo:
p = 0,01
L = 3
δ
δ
δ
δ = 0,04 (mudança de p0 = 0,01 p1 = 0,05)
56
)
01
,
0
1
(
01
,
0
04
,
0
3
)
1
(
2
2
≅
−






=
−






= p
p
L
n
δ

– Abordagem 3: Escolher n grande o bastante para
que LIC seja positivo (maior que zero)
que LIC seja positivo (maior que zero)
Isso garante que iremos investigar um número mínimo de
itens não conformes
Logo
0
)
1
(

−
−
=
n
p
p
L
p
LIC
2
)
1
(
L
p
p
n
−

– Abordagem 3
– Exemplo:
p = 0,05
L = 3
171
)
3
(
05
,
0
)
05
,
0
1
(
)
1
( 2
2
≅
−
=
−
L
p
p
n

Considerações
– O Gráfico p não é um modelo universal para
monitorar dados sobre fração de não conformes;
monitorar dados sobre fração de não conformes;
– Lembre-se que o Gráfico p baseia-se no modelo
Binomial
Probabilidade de ocorrência de uma unidade não
conforme é constante
As unidades de produção sucessivas são independentes
– O Gráfico p não é válido quando, por exemplo,
Probabilidade de uma unidade não conforme depende da
unidade anterior ter sido não conforme (ou não)

Considerações
– Deve-se ter cautela ao analisar pontos que se
localizam abaixo do limite inferior de controle. Tais
pontos podem não representar melhoria real na
qualidade do processo. Segundo Montgomery, isso
pode ocorrer devido
Erros no processo de inspeção
Inspetores inadequadamente treinados ou inexperientes
Equipamentos de inspeção inadequadamente calibrados
Omissão de unidades não conformes por inspetores

Exemplo
– Suco de Laranja é embalado em caixas de papelão.
O vazamento do suco devido a uma falha de
vedação na caixa caracteriza-se como uma
característica da qualidade.
– Deseja-se estabelecer um gráfico de controle para
melhorar a fração de embalagens não-conforme
produzidas por uma máquina.
– Considere que foram selecionadas 30 amostras,
com n=50 embalagens cada.

de Não Conformes (Gráfico p)
Exemplo
347
∑D
m
i
2313
,
0
)
50
)(
30
(
347
1
=
=
=
∑
=
mn
D
p i
i
0524
,
0
50
)
2313
,
0
1
(
2313
,
0
3
2313
,
0
)
1
(
3
2313
,
0
4102
,
0
50
)
2313
,
0
1
(
2313
,
0
3
2313
,
0
)
1
(
3
=
−
−
=
−
−
=
=
=
=
−
+
=
−
+
=
n
p
p
p
LIC
p
LM
n
p
p
p
LSC

0.5
0.4 UCL=0.4102
1
1
P Chart
Novo Material
Novo Operador
Revisão dos Limites Tentativos Retirando os Pontos Fora de Controle
28
25
22
19
16
13
10
7
4
1
0.3
0.2
0.1
0.0
Sample
Proportion
_
P=0.2313
LCL=0.0524

0.5
0.4 UCL=0.3893
1
1
1
P Chart
Novo Material
Novo Operador
Na amostra 21 não foi identificada causa atribuível. Assim, o ponto será
conservado e esses limites serão usados para monitorar o processo.
28
25
22
19
16
13
10
7
4
1
0.3
0.2
0.1
0.0
Sample
Proportion
_
P=0.215
LCL=0.0407

Tamanho de Amostra Variável
– Existem três abordagens para construção de um
gráfico de controle com tamanho de amostra variável.
gráfico de controle com tamanho de amostra variável.
– Abordagem 1
• Essa abordagem leva um consideração o tamanho da amostra
em cada subgrupo (ni).
i
i
n
p
p
p
LIC
p
LM
n
p
p
p
LSC
)
1
(
3
)
1
(
3
−
−
=
=
−
+
=
∑
∑
=
=
= m
i
i
m
i
i
n
D
p
1
1

– Abordagem 2 – Tamanho Médio de Amostra
Essa abordagem leva um consideração o tamanho médio
Essa abordagem leva um consideração o tamanho médio
das amostras ni
Pode ser interessante caso os futuros tamanhos de
amostras não sejam muito diferentes
n
p
p
p
LIC
n
p
p
p
LSC
)
1
(
3
)
1
(
3
−
−
=
−
+
=
m
n
n
m
i
i
∑
=
= 1

– Abordagem 3 – Gráfico de Controle Padronizado
Neste gráfico, teremos
Neste gráfico, teremos
– LSC = 3
– LM = 0
– LIC = -3
A variável plotada no gráfico será
(ou p, caso seja dado um valor padrão) é a fração não-
conforme do processo sob controle.
i
i
i
n
p
p
p
p
Z
)
1
(
ˆ
−
−
=
p

Tamanho de
Amostra
Amostra
Variável
– Exemplo
Abordagem 1

Exemplo Abordagem 1
∑
m
D
i
i
i
i
n
n
p
p
p
LIC
p
LM
n
n
p
p
p
LSC
)
904
,
0
(
096
,
0
3
096
,
0
)
1
(
3
096
,
0
)
904
,
0
(
096
,
0
3
096
,
0
)
1
(
3
−
=
−
−
=
=
=
+
=
−
+
=
096
,
0
2450
234
1
1
=
=
=
∑
∑
=
=
m
i
i
i
i
n
D
p

0.2
P Chart
3.0SL=0.1885
Amostra 11 encontra-se acima do LSC
Revisar os Limites Tentativos
25
20
15
10
5
0
0.1
0.0
Sample Number
Proportion
P=0.09551
-3.0SL=0.002565

Exemplo
Abordagem 3
i
i
i
i
i
i
n
p
Z
n
p
p
p
p
Z
)
904
,
0
(
096
,
0
096
,
0
ˆ
)
1
(
ˆ
−
=
=
−
−
=

Gráfico de Controle Padronizado
2
3
4
Amostra 11 encontra-se acima do LSC
-4
-3
-2
-1
0
1
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Subgrupo
Escore
Z

Considerações
– Aplicações não-industriais
O gráfico p pode ser aplicado em várias características da
qualidade em ambientes não industriais
– Ex: Número de entregas feitas fora do prazo.

Função Característica de Operação
– Será uma visualização gráfica da probabilidade de erro tipo II
versus a fração não conforme do processo.
versus a fração não conforme do processo.
– A probabilidade de erro tipo II é dada por
– Como D ~ Binomial (n,p), β pode ser calculado a partir da
distribuição binomial acumulada.
)
|
(
)
|
(
)
|
ˆ
(
)
|
ˆ
(
)
|
ˆ
(
p
nLIC
D
P
p
nLSC
D
P
p
LIC
p
P
p
LSC
p
P
p
LSC
p
LIC
P
≤
−

=
=
≤
−

=
=

=
β
β
β

– Exemplo
Considere um gráfico de controle para fração não
Considere um gráfico de controle para fração não
conforme com LIC = 0.0303, LSC = 0.3697, e
n=50
)
|
1
(
)
|
18
(
)
|
52
.
1
(
)
|
49
.
18
(
)
|
)
0303
.
0
)(
50
(
(
)
|
)
3697
.
0
)(
50
(
(
p
D
P
p
D
P
p
D
P
p
D
P
p
D
P
p
D
P
≤
−
≤
=
=
≤
−

=
=
≤
−

=
β
β
β
20
.
0
=
p

p P(D=18) P(D=1) Beta
0.01 1.0000 0.9106 0.0894
0.01 1.0000 0.9106 0.0894
0.03 1.0000 0.5553 0.4447
0.05 1.0000 0.2794 0.7206
0.10 1.0000 0.0338 0.9662
0.15 0.9999 0.0029 0.9970
0.20 0.9975 0.0002 0.9973
0.25 0.9713 0.0000 0.9713
0.30 0.8594 0.0000 0.8594
0.35 0.6216 0.0000 0.6216
0.40 0.3356 0.0000 0.3356
0.45 0.1273 0.0000 0.1273
0.50 0.0325 0.0000 0.0325
0.55 0.0053 0.0000 0.0053

Curva CO
(p_barra=0.2; LIC=0.0303 e LSC=0.3697)
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.01 0.03 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55
p
Beta

Gráficos de Controle para o
Número de Defeitos (Gráfico c)
Introdução
– Dependendo de sua natureza e gravidade, é
possível que um item contenha vários defeitos de
fabricação (não conformidades)
– Há várias situações práticas onde é preferível
trabalhar com o número de defeitos ao invés da
fração não conforme
Exemplo: nº de soldas com defeitos em 100m de oleoduto,
nº de defeitos em um equipamento eletrônico, etc.

Introdução
– É possível construir gráficos de controle tanto para
o número total de defeitos em uma unidade,
quanto para o número médio de defeitos por
unidade.
– Uma unidade de inspeção pode ser um subgrupo
(de tamanho constante) de itens
5 rádios
1 TV
Uma área de 4m2

Suposições
– Esses gráficos supõem que o número de defeitos
por unidade de inspeção é bem modelado pela
por unidade de inspeção é bem modelado pela
distribuição de Poisson
– Além disso,
O número de locais potenciais para defeitos deve ser
grande
Probabilidade de ocorrência de um defeito em qualquer
local é a mesma (constante)
A unidade de inspeção deve ser a mesma para cada
amostra

Suposições
– Considere que X = número de defeitos
defeitos em uma
uma
– Considere que X = número de defeitos
defeitos em uma
uma
unidade de inspeção
unidade de inspeção, segue a distribuição Poisson
com parâmetro “c”
– Sabe-se que, E(X) = c e Var(X) = c
K
,
2
,
1
,
0
,
!
)
( =
=
=
−
x
x
c
e
x
X
P
x
c

– Suponha conhecido ou especificado o verdadeiro
número de defeitos. Logo, a linha central e os
número de defeitos. Logo, a linha central e os
limites(*) de controle do Gráfico c são definidos por
– (*) O risco α não é igualmente alocado para LIC/LSC já que a distribuição de Poisson é
assimétrica. Alguns autores sugerem o uso de limites probabilísticos.
c
c
LIC
c
LM
c
c
LSC
3
3
−
=
=
+
=

=
σ
– Entretanto, normalmente o verdadeiro número de defeitos (c)
não é conhecido e precisa ser estimado. Seja o número
médio de defeitos observado em uma amostra preliminar de
unidades de inspeção, temos que
c
c =
σ
c
c
c
LIC
c
LM
c
c
LSC
3
3
−
=
=
+
=

– Tais limites são considerados como limites
tentativos de controle.
– Deve-se examinar as amostras preliminares para
verificar se o processo estava sob controle, ou seja,
validar os limites tentativos.

Gráfico c
Exemplo
– Considere o número de
defeitos observados em
defeitos observados em
26 amostras sucessivas
de 100 placas de
circuito impresso. (1
amostra = 1 unidade de
inspeção)
85
,
19
26
516
=
=
c

Exemplo
– Assim, os limites de controles tentativos são dados
por
por
– O desvio padrão do processo pode ser estimado
por
46
,
4
85
,
19
ˆ =
=
= c
c
σ
48
,
6
85
,
19
3
85
,
19
3
85
,
19
22
,
33
85
,
19
3
85
,
19
3
=
−
=
−
=
=
=
=
+
=
+
=
c
c
LIC
c
LM
c
c
LSC

40
30
UCL=33.22
1
Temperatura
Controle de
C Chart
25
22
19
16
13
10
7
4
1
20
10
0
Sample
Sample
Count
_
C=19.85
LCL=6.48
1 Erro de inspeção
Amostra 6 e 20 encontram-se fora dos limites de controle
Revisar os Limites Tentativos

35
30
25
t
UCL=32.97
C Chart (without samples 6 and 20)
Novos Limites Tentativos
Nenhum padrão não aleatório foi identificado
23
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
1
25
20
15
10
5
Sample
Sample
Count
_
C=19.67
LCL=6.36

35
30
25
t
UCL=32.97
C Chart (20 new samples)
Processo continua sob controle. No entanto, o número de defeitos ainda
é alto. Necessária ação da gerência para melhorar o processo.
43
41
39
37
35
33
31
29
27
25
25
20
15
10
5
Sample
Sample
Count
_
C=19.67
LCL=6.36

Análise Adicional
– Dados sobre defeitos são mais informativos que a
fração não conforme.
fração não conforme.
– É possível identificar os diferentes tipos de defeitos.
– Através de um Gráfico de Pareto ou Diagrama de
Causa-Efeito pode-se identificar a causa mais
frequente.
– Tal informação é de grande utilidade no
desenvolvimento de planos de ação que devem
acompanhar os gráficos de controle

Gráfico u
Introdução
– Frequentemente o número de unidades que
compõem os subgrupos é variável. Nesses casos
estamos interessados em controlar a taxa de
defeitos por unidade e, o gráfico a ser utilizado será
o Gráfico u.

Gráfico u
– Redefinir o gráfico de controle, tomando como base
o número médio
médio de defeitos por unidade de
por unidade de
o número médio
médio de defeitos por unidade de
por unidade de
inspeção
inspeção
– Redefinindo
x = total de defeitos em uma amostra de n unidades de
inspeção
Então, o número médio de defeitos por unidade de
inspeção será
n
x
u =

Gráfico u
– Note que u segue a distribuição Poisson.
X ~ Poisson (c), onde E(X) = c e Var(X) = c.
X ~ Poisson (c), onde E(X) = c e Var(X) = c.
Seja
n
u
E
n
c
n
n
c
n
x
Var
u
Var
n
c
n
x
E
u
E
n
x
u
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
=
=
=
=
=
=
=

Gráfico u
u
E )
(
=
σ
– No entanto, normalmente o verdadeiro número médio de
defeitos por unidade “E(u)” não é conhecido e precisa ser
estimado. Seja o número médio amostral de defeitos
por unidade, temos que
n
u
E
u
)
(
=
σ
u
n
u
u
LIC
u
LM
n
u
u
LSC
3
3
−
=
=
+
=

Gráfico u
Exemplo
– Número de defeitos em
20 amostras de 5
Número da Tamanho da Não Conf.
Amostra Amostra (n) por unidade
1 5 10 2,0
2 5 12 2,4
3 5 8 1,6
4 5 14 2,8
5 5 10 2,0
6 5 16 3,2
u
20 amostras de 5
computadores cada
– Temos que
93
,
1
20
6
,
38
1
=
=
=
∑
=
m
u
u
m
i
i
7 5 11 2,2
8 5 7 1,4
9 5 10 2,0
10 5 15 3,0
11 5 9 1,8
12 5 5 1,0
13 5 7 1,4
14 5 11 2,2
15 5 12 2,4
16 5 6 1,2
17 5 8 1,6
18 5 10 2,0
19 5 7 1,4
20 5 5 1,0

Gráfico u
Exemplo
– Assim, os limites de controles tentativos são dados por
93
,
1
u
– O desvio padrão do processo pode ser estimado por
62
,
0
5
93
,
1
ˆ =
=
=
n
u
u
σ
07
,
0
5
93
,
1
3
93
,
1
3
93
,
1
79
,
3
5
93
,
1
3
93
,
1
3
=
−
=
+
=
=
=
=
+
=
+
=
n
u
u
LIC
u
LM
n
u
u
LSC

Gráfico u
er
Unit
4
3
UCL=3,794
U Chart
Nenhum ponto fora dos limites de controle
Sample
Sample
Count
Pe
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
2
1
0
_
U=1,93
LCL=0,066

– O procedimento é usar um gráfico u que terá linha
central constante, entretanto, os limites de
controle irão variar inversamente proporcional a
raiz quadrada do tamanho da amostra ni
∑
∑
=
=
= m
i
i
m
i
i
n
x
u
1
1
i
i
i
n
x
u =
i
i
n
u
u
LIC
u
LM
n
u
u
LSC
3
3
−
=
=
+
=

Gráfico u – Amostra variável
Exemplo
– Número de
defeitos a cada
Número da Metros Não Conf. Nº unidades
Amostra por unidade p/ 50m (n)
1 500 14 10,0 1,40
2 400 12 8,0 1,50
u
defeitos a cada
50 metros
3 650 20 13,0 1,54
4 500 11 10,0 1,10
5 475 7 9,5 0,74
6 500 10 10,0 1,00
7 600 21 12,0 1,75
8 525 16 10,5 1,52
9 600 19 12,0 1,58
10 625 23 12,5 1,84
153 107,5
42
,
1
5
,
107
153
1
1
=
=
=
∑
∑
=
=
m
i
i
m
i
i
n
x
u

Gráfico u – Amostra variável
Exemplo
– Assim, os limites de controles tentativos são dados por
i
i
i
n
n
u
u
LIC
u
LM
n
n
u
u
LSC
42
,
1
3
42
,
1
3
42
,
1
42
,
1
3
42
,
1
3
−
=
+
=
=
=
+
=
+
=

Gráfico u – Amostra Variável
er
Unit
3,0
2,5
2,0
UCL=2,436
U Chart (unequal sample sizes)
Nenhum ponto fora dos limites de controle
Sample
Sample
Count
Pe
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1,5
1,0
0,5
0,0
_
U=1,423
LCL=0,411

“Gráfico c” e “Gráfico u”
– Tanto para o Gráfico c quanto para o Gráfico u, as
curvas características de operação (CO) são
curvas características de operação (CO) são
obtidas da distribuição de Poisson.
– CO: Gráfico c
Probabilidade β vs verdadeiro número médio de defeitos c
onde X ~ Poisson (c)
)
|
(
)
|
(
)
|
(
c
LIC
x
P
c
LSC
x
P
c
LSC
x
LIC
P
≤
−

=
=

=
β
β

– Exemplo
Considere o gráfico c com LIC = 6,48 e LSC = 33,22
Considere o gráfico c com LIC = 6,48 e LSC = 33,22
Lembrando que esses limites de controle foram obtidos de
um exemplo onde
)
|
6
(
)
|
33
(
)
|
48
,
6
(
)
|
22
,
33
(
c
x
P
c
x
P
c
x
P
c
x
P
≤
−
≤
=
=
≤
−

=
β
β
85
,
19
=
c

c P(X=33) P(X=6) Beta
1 1.0000 0.9999 0.0001
1 1.0000 0.9999 0.0001
3 1.0000 0.9665 0.0335
5 1.0000 0.7622 0.2378
7 1.0000 0.4497 0.5503
10 1.0000 0.1301 0.8699
15 1.0000 0.0076 0.9924
25 0.9502 0.0000 0.9502
33 0.5461 0.0000 0.5461
35 0.4102 0.0000 0.4102
40 0.1514 0.0000 0.1514
45 0.0383 0.0000 0.0383

Curva CO - Gráfico c
(LIC=6.48 e LSC=33.22)
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1 3 5 7 10 15 25 33 35 40
c
Beta
85
,
19
=
c

– CO: Gráfico u
Para o gráfico u podemos gerar uma curva CO a partir de
Para o gráfico u podemos gerar uma curva CO a partir de
onde X ~ Poisson (nu), dado que u=x/n, e 〈nLIC〉 denota o
menor inteiro maior ou igual que nLIC.
[ ]
∑
=
−
=
≤

=
=

=
nLSC
nLIC
x
x
nu
x
nu
e
nu
nLSC
x
nLIC
P
u
LSC
x
LIC
P
!
)
(
)
|
(
)
|
(
β
β

Exercício
Um processo que produz aros de roda de titânio para automóveis
com motores turbinados deve ser controlado pelo uso do gráfico
para a fração não conforme. Inicialmente, uma amostra de
tamanho 150 é retirada a cada dia, durante 20 dias.
tamanho 150 é retirada a cada dia, durante 20 dias.
a) Estabeleça um gráfico de controle para monitorar a produção
futura.
b) Qual o menor tamanho de amostra que pode ser usado para
esse processo e ainda fornecer um limite inferior de controle
positivo para o gráfico?
c) Trace a curva CO para esse gráfico de controle.
d) Qual a probabilidade a probabilidade de se detectar uma
mudança na fração não conforme para 0,03, na terceira amostra
após a mudança?

Exercício
Os dados a seguir representam o número de não conformidades
por 1000 metros em cabos de telefone.
a) Quais são a linha central e os limites de controle para monitorar a
a) Quais são a linha central e os limites de controle para monitorar a
produção com base no número total de não conformidades? Pela
análise desses dados, você concluiria que o processo está sob
controle estatístico?
b) Quais são a linha central e os limites de controle para um gráfico
de controle para a média de não conformidades por unidade,
usado para monitorar a produção futura?
c) Trace a curva da função característica de operação (CO) para o
número total de não conformidades (Gráfico c).

Exercício
Um gráfico de controle indica que a fração
corrente de não conformes do processo é
corrente de não conformes do processo é
0,02. Se 50 itens são inspecionados a cada
dia, qual é a probabilidade de se detectar uma
mudança na fração não conforme para 0,04,
no primeiro dia após a mudança? E no terceiro
dia após a mudança?

Exercício
Encontre os limites de probabilidade de 0,999
e 0,001 para um gráfico c quando a média do
e 0,001 para um gráfico c quando a média do
processo é igual a 16 não conformidades.
Compare com os limites utilizando a
distribuição normal.

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