Teoria dos conjuntos

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Teoria dos Conjuntos
Uma condição é uma expressão ( ) envolvendo uma variável , tal que, substituindo por
um objeto , obtem-se uma proposição ( )
Quando temos uma condição e se substituirmos a variável por um número por forma a
tornar essa condição numa proposição verdadeira, emprega-se o quantificador universal.
O símbolo  designa-se por quantificador universal.
No emprego do quantificador existencial, para que uma proposição seja verdadeira, deve
existir pelo menos um objeto que a torne numa proposição verdadeira.
O símbolo designa-se por quantificador existencial.
O domínio de uma proposição é o conjunto de valores das variáveis para os quais a expressão
tem significado no universo considerado.
Classificação de condições num dado universo:
Condições {
{
1- Condição Universal
Uma condição ( ) é universal quando qualquer concretização da variável
transforme ( ) numa proposição verdadeira.
Uma condição ( ) é universal num conjunto A se  , ( ) for uma proposição
verdadeira.
2- Condição Possível
Uma condição ( ) é possível se a proposição ( ) for uma proposição
verdadeira.
3- Condição Impossível
Uma condição ( ) é impossível quando qualquer concretização da variável
transforme ( ) numa proposição falsa.
Propriedades da disjunção de condições:
1- A disjunção de uma condição qualquer com uma condição impossível é uma condição
possível.
2- A disjunção de uma condição qualquer com uma condição universal é uma condição
universal.
3- A disjunção de uma condição qualquer com uma condição impossível é equivalente à
primeira condição.

2. numerosnamente 2
A disjunção de condições corresponde à reunião de conjuntos.
Propriedades da conjunção de condições:
1- A conjunção de uma condição qualquer com uma condição universal é equivalente à
primeira condição.
2- A conjunção de uma condição qualquer com uma condição impossível é uma condição
impossível. Estamos na presença de condições incompatíveis e os conjuntos que
definem as condições são disjuntos.
A conjunção de condições, corresponde à interseção de conjuntos.
Segundas Leis de De Morgan
1- A negação da proposição  , ( ) é a proposição ( )
2- A negação da proposição ( ) é a proposição  ( )
Negação de uma condição
- A negação de um condição universal é uma condição impossível.
- A negação de uma condição impossível é uma condição universal
- A negação de uma condição possível é o complementar dessa condição.
-A negação de uma disjunção (reunião) de conjuntos é a conjunção (interseção) de conjuntos.
-A negação de uma conjunção (interseção) de conjuntos e a disjunção (reunião) de conjuntos.
-A dupla negação de uma condição é a própria condição.
Negação de uma implicação
( ( ) ( )) ( ) ( )
Conjuntos e Condições:
1- Conjunto em extensão.
Os seus elementos estão representados dentro de chavetas e separados por vírgulas.
Por exemplo:
Considere o conjunto A, dos números naturais menores que 7:
A = 1,2,3,4,5,6

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2- Conjunto em compreensão.
O conjunto está representado por um condição definida num determinado domínio.
Por exemplo:
A= 
3- Igualdade de conjuntos.
Dois conjuntos são iguais se e somente se tiverem os mesmos elementos.
Por exemplo:
A = B se e somente se 
4- Equivalência de condições.
Duas condições são equivalente num determinado conjunto A se e somente se
definem o mesmo conjunto A.
5- Interseção de dois conjuntos.
Dados dois conjuntos A e B, a interseção de A com B é o conjunto de todos os
elementos comuns aos dois conjuntos.
A  B =  A B
Nota que:
P  Q = Q  P
(P  Q)  R = P  (Q  R)
P  U = P , com U=universal
P  =
P  P = P
6- Reunião de dois conjuntos.
Dados dois conjuntos A e B, a reunião de A com B é o conjunto de todos os elementos
que pertencem a pelo menos um dos conjunta ou B.
A  B =  A  B
Note que:
P  Q = Q  P
(P  Q )  R = P  (Q  R)
P  U = U , com U=universal
P  = P
7- Relação de inclusão entre dois conjuntos.
Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B ou A é parte de B quando:
 A B
8- Complementar de um conjunto em relação a outro (diferença entre dois conjuntos).
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B ao conjunto dos
elementos de A que não pertencem a B:
AB =  A B

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Implicação entre condições:
1- Dupla implicação
 ( ) ( )  ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
2- Princípio da dupla inclusão
Dados dois conjuntos A e B, A=B se e somente se A  B e B  A .
3- Contrarrecíproco
Dadas as condições ( )e ( )
 ( ( ) ( ))  ( ( ) ( ))