Lei dos senos e o cálculo do raio da terra

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Lei dos senos e o cálculo do raio da terra

  1. 1. LEI DOS SENOS E O CÁLCULO DO RAIO DA TERRA Lossian Miranda1, Oannes de Oliveira Miranda2 1 CEFET-PI/Coordenação de Matemática e Física/lossian@oi.com.br 2 Instituto Antoine de Lavoisier -Teresina- PI/zoannes@hotmail.com19/10/2012 1
  2. 2. Resumo Supondo que a Terra seja esférica e, usando os conceitos básicos da trigonometria do plano, mostramos o modelo teórico que possibilita o cálculo do raio terrestre. Revisitamos a grande experiência de Eratóstenes e usamos a lei dos senos para calcular a distância de um observador até a linha do horizonte.19/10/2012 2
  3. 3. Exclusivamente a partir do cálculo de um ângulo vertical e dois ângulos horizontais, na prática feitos com auxílio de teodolito, nossos resultados teóricos nos permitem encontrar o valor do raio da Terra, independentemente do cálculo da altura em que se encontra o observador juntamente com o teodolito. Palavras-chave: Raio da Terra, lei dos senos, teodolito.19/10/2012 3
  4. 4. Introdução Apesar de já se terem passado mais de dois mil anos desde que Eratóstenes realizou a experiência do cálculo do raio da Terra, inicialmente usando a proporcionalidade direta existente entre o comprimento de arco determinado por dois pontos de um meridiano e o valor dos ângulos por eles determinados, os experimentos relativos a este importante problema continuam a fascinar a Humanidade, e são sempre muito atuais, tendo em conta o fato de que nosso planeta encontra-se em constante mutação, e as correções para o raio terrestre em cada ponto são de grande importância para a indústria da navegação aérea e das telecomunicações.19/10/2012 4
  5. 5. No entanto, nosso objetivo ao abordarmos a questão é o de simplesmente levar aos alunos do ensino médio a mais extraordinária aplicação da trigonometria já planejada pelo homem. É uma experiência que mostra ao aluno a matemática como ação concreta na construção da história do Mundo e dos homens.19/10/2012 5
  6. 6. O raio da Terra como função da posição de um ponto no horizonte Entenderemos como horizonte uma curva imaginária, relativa à visão de um observador, a qual corresponde à fronteira entre o céu e a terra, ou entre o céu e o mar. Caso a Terra fosse uma perfeita esfera, o horizonte seria uma calota esférica. Chamaremos linha de visada do horizonte à semi-reta que vai do observador (mais precisamente da luneta de observação do observador postada em um teodolito, ou qualquer outro meio de observação), até um ponto do horizonte.19/10/2012 6
  7. 7. A união de todas as linhas de visada do horizonte corresponde a um cone com vértice no ponto de referência da observação. Todas as linhas de visada do horizonte são tangentes à superfície terrestre, e o centro da Terra, o ponto de referência da observação e o ponto de tangência (intersecção da linha de visada com a superfície da Terra), determinam um plano que passa pelo centro da Terra, estando a linha de visada, contida neste plano (veja figuras 01 e 02). Em nossa exposição, consideraremos a Terra como sendo uma perfeita esfera, hipótese razoável dentro de um grau de muita precisão, para as grandes distâncias que iremos procurar.19/10/2012 7
  8. 8. 19/10/2012 8
  9. 9.  Sejam:  a) O, o centro da Terra;  b) A, o ponto de referência do observador (na prática, local que corresponde ao centro da “mesa” de um teodolito);  c) C, ponto de intersecção da superfície da Terra com o segmento ;  d) B, um ponto qualquer escolhido no horizonte relativo ao observador postado, juntamente com seu teodolito (ou outro qualquer meio de observação de distâncias e ângulos, o qual chamaremos de agora em diante, simplesmente por teodolito);19/10/2012 9
  10. 10.  e) D, projeção ortogonal de B sobre o segmento OA f) 2, o ângulo entre os segmentos concorrentes OA e OB. g) 1, o ângulo entre os segmentos concorrentes OA e AB. h) r, o comprimento do segmento correspondente OB ao raio da Terra.19/10/2012 10
  11. 11. 19/10/2012 11
  12. 12. 19/10/2012 12
  13. 13. 19/10/2012 13
  14. 14. O teodolito e o cálculo da distânciaaté o horizonteA distância AB do observador até o horizonte pode ser calculada com o auxílio das medidas de ângulo feitas por um teodolito e conveniente uso da lei dos senos.19/10/2012 14
  15. 15. 19/10/2012 15
  16. 16. 19/10/2012 16
  17. 17. Bibliografia Lima, Elon Lages - Meu Professor de matemática e outras. Histórias - SBM - 1991.19/10/2012 17

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