1. Respostas das questões: 3.4; 3.6; 3.8; 3.10; 3.16; 3.19
3.4) Uma força P e aplicada ao pedal de freio em A. Sabendo que P =
450N e α =30º, determine o momento de P em relação a B.
R.: P = 450N
α = 30º
Px = P × cos 30º Py = P × sen 30º
Px = 450×√32 Py = 450 × 0,5
Px ≅389,7 î N Py = 250 ĵ N
Logo,
P= (389,7 î - 250 ĵ) N
ABx = 100mm
ABy = 240mm
MB = AB × P
MB = (-0,1î -0,24 ĵ) × (389,7 î - 250 ĵ)
MB = (-0,1 × 389,7)(î×î) + (0,1 × 225) (î× ĵ) – (0,24 × 389,7)(ĵ×î) + (0,24 ×
225)( ĵ×ĵ)
Como, (î×î) = 0 e (ĵ×î) = 0, temos:
MB = 22,5k + 93,5k
Então:
MB = 116 k
MB = 116 N.m
3.6) Uma força P de 400N é aplicada ao ponto A da figura. (a) Calcule o
momento da força P em relação a O decompondo a força segundo OA e na
B AB = (-0,1î -0,24
ĵ)m
A
2. direção perpendicular a OA. (b) Determine o módulo, a direção e o sentido
da menor força Q que aplicada a B produza o mesmo momento, em relação
a O, que a força P.
R.: A) Py
P
P = 400N
α α = 30º
Px
Decompondo P em componentes cartesianas, temos:
Px = P × cos 30º Py = P × sen 30º
Px = 400 × √32 Py = 400 × 0,5 P= (200î + 346,4ĵ)
Px ≅ 346,4N Py = 200N
OAy
A AB = 0,2m
⃒ ⃒
OAx
cos40º = OAx0,2 sin40º = OAy0,2
OAx = 0,2 × 0,766 OAy = 0,2 × 0,643
O
3. OAx = 0,1532m OAy = 0,1286m
Então,
OA = (0,1286î + 0,1532ĵ)
Calculando o momento em relação a O:
Mo = P × OA
Mo = 25,72 k - 53,07k
Mo = -27,4k
Mo = 27,4 N.m
B)
B OBy OB = 0,12m
⃒ ⃒
α α = 48º
OBx
cos 48º = OBx0,12 sin48º = OBy0,12
OBx = 0,12 × 0,669 OBy = 0,12 × 0,743
OBx = 0,08m OBy = 0,089m
Então,
OB = (0,08î + 0,089ĵ)m
Identificando a força Q:
Mo = Q × OB
27,4 = Q × 0,12
Q = 27,350,12
Logo, a força Q vale:
Q ≅ 228N
3.8) Sabe-se que a biela AB aplica no virabrequim uma força de 1,5 kN
dirigida para baixo e para a esquerda, ao longo do eixo de simetria de AB.
Determine o momento da força em relação a C.
4. AB = 1500N
⃒ ⃒
0,072m
B
Para decompor AB em componentes cartesianas, temos:
tgθ = 0,0210,072 ABx = AB × sin16,26º ABy
= AB × cos16,26º
tgθ = 0,2916 ABx = 1500 × 0,28 ABy =
1500 × 0,96
θ = tan-10,2916 ABx = 420N ABy =
1440N
θ=16,26º
Logo vetor AB em componentes vetoriais:
AB = (-420î - 1440ĵ)m
A C BC = BCx î + BCy ĵ
BC = (0,021î + 0,028ĵ)
0,028
0,021 B
Calculando o momento:
5. Mc = AB × BC
Mc = (-420î - 1440ĵ) × (0,021î + 0,028ĵ)
Mc = -11,76k + 30,24k
Logo:
Mc = 18,48k, ou seja, Mc = 18,5 N.m
3.10) A barra AB é mantida na posição pelo cabo AC. Sabendo que c =
1400mm e que o momento em relação a B da força exercida pela corda no
ponto A é de 420 N×m, determine a força de tração na corda.
θ MB = 420 N.m
T Ty
C
Calculando o ângulo θ, temos:
tg θ = 7621806
tg θ=0,422
θ = tan-10,422
θ≅22,88º
Decompondo T em componentes cartesianas:
Tx = T × cos 22,88º Ty = T × sin 22,88º
Tx = 0,921T Ty = 0,389T
Logo,
T = (-0,921T - 0,389T)
6. 0,762m A AB = (0,406î + 0,762ĵ)m
B 0,406m
Calculando a tração T:
MB = AB × T
MB = (0,406î + 0,762ĵ) × (-0,921T - 0,389T)
MB = -0,702Tk + 0,158Tk
420 k = -0,544Tk
Isolando T na equação:
T= -4200,544 ⇔ T ≅-772
Em módulo:
T = 772N
3.16) Uma força de 200N é aplicada ao suporte ABC, como ilustrado.
Determine o momento da força em relação a A.
Fz α = 30º
R.:
F α
Fy
7. Decompondo F em componentes cartesianas:
Fy = F × cos θy Fz = F × cos θz
Fy = 200 × cos 30º Fz = 200 × cos 60º
Fy ≅ 173,2 N Fz = 100N
Logo,
F = (0î – 173,2ĵ - 100k)
ACx = 0,06m C
ACy = 0,075m
A
AC = (-0,06î – 0,075ĵ)m
Determinando o momento em relação a A:
MA = AC × F
MA = (-0,06î – 0,075ĵ) × (0î – 173,2ĵ - 100k)
MA = (10,39k - 6ĵ +7,5î)
Reorganizando os termos:
MA = (7,5î - 6ĵ + 10,39k)N.m
3.19) O mastro AB, de 4,57m, tem uma extremidade fixa A. Um cabo de aço
é esticado da ponta livre B até o ponto C de uma parede vertical. Se a
tração no cabo é de 2535 N, determine o momento em relação a A da força
aplicada em B.
8. R.: C
y z
x B
Determinando os ângulos:
cos θx = 4,575,79 = 0,789 cos θy = 1,835,79 = 0,316
cosθz = 3,055,79 = 0,527
θx = cos-10,789 θy = cos-10,316 θz = cos-10,527
θx ≅ 37,9º θy ≅ 71,58º θz ≅ 58,20º
T2
= Tx
2
+ Ty
2
+ Tz
2
T2
= (4,57)2
+ (1,83)2
+ (3,05)2
T2
= 20,88 + 3,35 + 9,3
T = 33,53 ⇔ T = 5,79m
Determinando o vetor BC:
BC = (-2535×cos 37,9º + 2535×cos 71,58º - 2535×cos 58,20º)
BC = (-2000,3î + 801ĵ - 1336k)N
A B
Determinando o vetor AB:
AB = (4,57î +0ĵ +0k)m
Calculando o momento em A:
MA = AB × BC
MA = (4,57î +0ĵ +0k) × (-2000,3î + 801ĵ - 1336k)
MA = 3660,57k + 6105,52ĵ
Reorganizando:
MA = (0î + 6105,52 ĵ + 3660,57k)N.m
