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iiiA minha noiva Lucimare e em especialminha filha Ana Letícia
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viiÍndiceLista de Figuras....................................................................................................
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ixIV.4 Metodologia Utilizada para Comparar os Resultados das Medições eSimulações............................................
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xiFigura 23 – Organograma para o algoritmo de solução do fluxo de potência trifásicopelo método de injeção de correntes......
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  1. 1. MODELAGEM DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE DISTRIBUIÇÃOPARA ESTUDOS DE FLUXO DE POTÊNCIAFABRÍCIO LUIZ SILVADISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOSPROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADEFEDERAL DE JUIZ DE FORA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOSPARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIAELÉTRICA.Aprovada por:__________________________________________________Prof. Márcio de Pinho Vinagre, D.Sc - Orientador - UFJF.__________________________________________________Prof. José Luiz Resende Pereira, Ph.D.__________________________________________________Prof. Paulo Augusto Nepomuceno Garcia , D.Sc.__________________________________________________Prof. Sandoval Carneiro Junior, Ph.D.JUIZ DE FORA, MG – BRASILSETEMBRO DE 2004
  2. 2. iiSILVA, FABRÍCIO LUIZModelagem de TransformadoresTrifásicos de Distribuição para Estudos deFluxo de Potência [Juiz de Fora] 2004XV, 99 p. 29,7 cm, il. (UFJF, M.Sc.,Engenharia Elétrica, 2004)Tese – Universidade Federal de Juiz deFora1. Modelagem de Transformadores Trifásicos2. Fluxo de Potência Trifásico3. Sistemas de DistribuiçãoI. UFJF II. Título (Série)
  3. 3. iiiA minha noiva Lucimare e em especialminha filha Ana Letícia
  4. 4. ivAGRADECIMENTOSAo Professor Márcio de Pinho Vinagre pela excelente orientação e amizadedurante todo o trabalho, o que foi de fundamental importância para o meuaprimoramento profissional.A minha mãe Elza Domingos e minha tia Dalva Faria pelo apoio e incentivodurante a realização deste trabalho.Ao LABSPOT (Laboratório de Sistemas de Potência da Faculdade de EngenhariaElétrica da Universidade Federal de Juiz de Fora), pela disponibilidade de utilização derecursos computacionais.Ao LABSEL (Laboratório de Sistemas Eletrônicos da Faculdade de EngenhariaElétrica da Universidade Federal de Juiz de Fora), pela disponibilidade de utilização derecursos técnicos.Ao amigo Leandro Ramos Araújo pelas discussões técnicas e pelo apoio naimplementação computacional.Aos colegas do curso de mestrado em Engenharia Elétrica da UFJF, pelo apoio àrealização deste trabalho.Ao corpo docente do curso de mestrado em Engenharia Elétrica da UFJF, pelosconhecimentos obtidos durante o curso.Ao CNPq pelo suporte financeiro.Aos meus familiares e amigos, pelo incentivo durante toda a realização do curso.
  5. 5. vResumo da Dissertação apresentada à UFJF como parte dos requisitos necessários paraa obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)MODELAGEM DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE DISTRIBUIÇÃOPARA ESTUDOS DE FLUXO DE POTÊNCIAFABRÍCIO LUIZ SILVASetembro / 2004Orientador: Márcio de Pinho Vinagre, D.Sc.Programa: Engenharia ElétricaEste trabalho propõe um modelo matemático para representar os transformadorestrifásicos de distribuição em estudos de fluxo de potência utilizando coordenadas defase. O transformador trifásico é representado por uma matriz de admitância obtidaatravés da análise de seu circuito magnético equivalente. O modelo exige como dadosde entrada, as reatâncias de dispersão, a reatância de magnetização e as resistências dosseus enrolamentos, parâmetros estes obtidos por ensaios normalizados pelos fabricantes.As várias possibilidades de conexões dos transformadores trifásicos são facilmenterepresentadas pela matriz de incidência nodal apropriada. Além disso, não há limitaçõesna representação de transformadores de núcleo envolvido ou envolvente. O modeloapresenta uma grande robustez numérica, além de permitir a representação detransformadores trifásicos de três enrolamentos e a utilização de impedâncias deaterramento em ambos os lados do transformador, de tal forma que o condutor neutropossa ser detalhadamente representado.O modelo de transformador proposto foi incorporado ao fluxo de potência trifásico pelométodo de injeção de correntes (MICT) implementado em MATLAB. A metodologiaproposta foi testada e comparada com resultados experimentais obtidos em laboratório,permitindo assim a validação do modelo.
  6. 6. viAbstract of Dissertation presented to UFJF as a partial fulfillment of the requirementsfor the degree of Master of Sciences (M.Sc.).THREE-PHASE DISTRIBUTION TRANSFORMERS MODELING TO LOADFLOW STUDIESFABRÍCIO LUIZ SILVASeptember / 2004Supervisor: Márcio de Pinho Vinagre, D.Sc.Department: Electrical EngineeringThis work proposes a mathematical model to represent three-phase distributiontransformers for load flow studies using phase-coordinates. The three-phasetransformers are represented by admittance matrix obtained from transformersequivalent magnetic circuit analysis. As input data, the model requires the leakagereactance, magnetizing reactance and resistances of the transformer windings; theseparameters are easily obtained from standard tests. Using node incidence matrix easilyrepresents the various possible three-phase transformers connections. Moreover, thereare no restrictions for representation of either the core-type or shell-type transformers.The model presents numerical robustness and also permits the representation of thethree-winding transformers and the utilization of the grounding impedance on both sidesof the transformer, in such a way that the neutral conductor can be represented.The transformer model proposed has been incorporated in a three-phase power flowusing the current injection method (TCIM) in MATLAB. The proposed model has beenimplemented and the results compared with the ones obtained from laboratory tests, inorder to validate the model.
  7. 7. viiÍndiceLista de Figuras.................................................................................................................xLista de Tabelas...............................................................................................................xiiCapítulo I - Introdução ..................................................................................................... 1I.1 Considerações Iniciais....................................................................................... 1I.2 Revisão Bibliográfica ........................................................................................ 2I.3 Objetivos da Dissertação ................................................................................... 5I.4 Principais Contribuições da Dissertação ........................................................... 5I.5 Estrutura da Dissertação.................................................................................... 6Capítulo II - Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência...................................................................... 8II.1 Considerações Iniciais....................................................................................... 8II.2 Aspectos Básicos Sobre Modelagem de Transformadores Trifásicos............... 9II.3 Representação dos Transformadores Trifásicos no Problema de Fluxo dePotência ........................................................................................................... 10II.3.1Matriz Admitância Primitiva.................................................................. 11II.3.2Matriz de Incidência Nodal .................................................................... 14II.3.2.1 Problemas na Representação da Conexão dos Enrolamentos dosTransformadores em Delta. ..................................................... 17II.3.3Matriz Admitância de Barras.................................................................. 18II.4 Principais Modelos de Transformadores Trifásicos........................................ 19II.4.1Transformadores Trifásicos Representados por Bancos deTransformadores Monofásicos ............................................................... 19II.4.1.1 Modelo de Transformador Trifásico Descrito em CHEN eDILLON (1974)....................................................................... 19II.4.2Transformadores Trifásicos de Dois Enrolamentos ............................... 22II.4.2.1 Modelo de Transformador Trifásico Descrito em GORMAN eGRAINGER (1992a) e (1992b)............................................... 22II.4.2.2 Modelo de Transformador Descrito em DUGAN e SANTOSO(2003) ...................................................................................... 23
  8. 8. viiiII.5 Sumário do Capítulo........................................................................................ 26Capítulo III - Modelo de Transformador Trifásico Proposto ......................................... 27III.1 Considerações Iniciais..................................................................................... 27III.2 Modelo Proposto para Representar os Transformadores Trifásicos deDistribuição ..................................................................................................... 27III.2.1Determinação da Matriz Admitância Primitiva para o TransformadorTrifásico.................................................................................................. 27III.2.2 Representação das Impedâncias de Aterramento de Transformadores 34III.2.3 Cálculo da Matriz Admitância Primitiva em Valores por Unidade (P.U.)................................................................................................................ 36III.2.4 Determinação da Equação de Mudança de Base.................................. 37III.2.5 Representação das Conexões dos Transformadores............................. 38III.2.5.1 Conexões com as polaridades Invertidas................................. 41III.2.5.2 Problema da Falta de Referência devido a Conexão DeltaUtilizando o Modelo de Transformador Proposto................... 42III.2.6 Matriz Admitância de Barras para o Transformador............................ 44III.3 Exemplo Numérico.......................................................................................... 44III.4 Sumário do Capítulo........................................................................................ 47Capítulo IV - Resultados ................................................................................................ 48IV.1 Considerações Gerais ...................................................................................... 48IV.2 Modelos de Componentes dos Sistemas Testes .............................................. 48IV.2.1 Modelos Reais...................................................................................... 49IV.2.1.1 Fonte de Potência .................................................................... 49IV.2.1.2 Linhas de Distribuição............................................................. 49IV.2.1.3 Transformadores...................................................................... 50IV.2.1.4 Cargas...................................................................................... 51IV.2.2 Modelos Matemáticos para Simulação de Resultados ......................... 52IV.2.2.1 Fonte de Potência .................................................................... 52IV.2.2.2 Linhas de Distribuição............................................................. 53IV.2.2.3 Transformadores...................................................................... 53IV.2.2.4 Cargas...................................................................................... 54IV.3 Equipamento de Medição................................................................................ 55
  9. 9. ixIV.4 Metodologia Utilizada para Comparar os Resultados das Medições eSimulações....................................................................................................... 55IV.5 Sistema Teste de 6 Barras Radial .................................................................... 56IV.5.1 Cargas Desequilibradas........................................................................ 57IV.5.2 Cargas Altamente Desequilibradas ...................................................... 61IV.6 Sistema Teste de 6 Barras em Anel................................................................. 63IV.6.1 Cargas Desequilibradas........................................................................ 63IV.6.2 Cargas Altamente Desequilibradas ...................................................... 65IV.7 Sistema Teste Radial de 5 Barras .................................................................... 66IV.7.1 Cargas Altamente Desequilibradas ...................................................... 66IV.8 Sumário do Capítulo........................................................................................ 67Capítulo V - Conclusões................................................................................................. 69V.1 Considerações Gerais ...................................................................................... 69V.2 Trabalhos Futuros............................................................................................ 70Apêndice A – Fluxo de Potência Trifásico pelo Método de Injeção de Correntes..........71Bibliografia......................................................................................................................83
  10. 10. xLISTA DE FIGURASFigura 1 – Diagrama para representar os transformadores trifásicos............................. 10Figura 2 – Tipos de configurações de núcleos trifásicos. (a) Núcleo trifásico de trêspernas (b) Núcleo trifásico de quatro pernas (c) Núcleo trifásico de cincopernas............................................................................................................ 12Figura 3 – Transformador trifásico de dois enrolamentos conectado em Yaterrado –delta. ............................................................................................................. 16Figura 4 – Sub-rede isolada devido a conexão delta. ..................................................... 17Figura 5 – Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico de doisenrolamentos................................................................................................. 23Figura 6 – Esquema de ligação para um transformador trifásico de dois enrolamentosconectado em Y-Delta. ................................................................................. 25Figura 7 – Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico de trêsenrolamentos................................................................................................. 28Figura 8- Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico com umenrolamento no primário e dois enrolamentos no secundário para cada fase. 32Figura 9– Transformador de três enrolamentos conectado em Delta – Yaterrado......... 39Figura 10– Transformador de três enrolamentos conectado em delta – estrela – delta.. 40Figura 11– Transformador de três enrolamentos conectado em Delta – Yaterrado comsuas bobinas invertidas................................................................................. 42Figura 12– Circuito π equivalente de uma linha trifásica a parâmetros concentrados... 43Figura 13– Linha de distribuição trifásica construída em núcleo de ferrite................... 50Figura 14– Transformadores trifásicos utilizados nos sistemas testes. .......................... 51Figura 15– Cargas trifásicas representadas por lâmpadas incandescentes..................... 52Figura 16– Fonte de potência trifásica conectada em estrela aterrada. .......................... 53Figura 17– Esquema de ligação para carga ligada em estrela: (a) Monofásica (b)Bifásica(c) Trifásica .................................................................................................. 54Figura 18– Medidor utilizado nas medições................................................................... 55Figura 19– Sistema teste de 6 barras radial.................................................................... 56Figura 20– Visão panorâmica do sistema teste de 6 barras radial no laboratório .......... 57Figura 21– Sistema teste de 6 barras em anel................................................................. 63Figura 22– Sistema teste de 5 barras radial.................................................................... 66
  11. 11. xiFigura 23 – Organograma para o algoritmo de solução do fluxo de potência trifásicopelo método de injeção de correntes............................................................. 82
  12. 12. xiiLISTA DE TABELASTabela 1 – Ligações comuns para os transformadores trifásicos ................................... 15Tabela 2 - Submatrizes usadas na formulação da matriz admitância de barras ............. 21Tabela 3 – Principais ligações para o transformador trifásico de três enrolamentos comas duas bobinas do secundário possuindo conexões distintas ...................... 39Tabela 4 – Dados do transformador trifásico de três enrolamentos ............................... 44Tabela 5 – Parâmetros das linhas de distribuição dos sistemas testes obtidos através demedições....................................................................................................... 50Tabela 6 – Parâmetros dos transformadores trifásicos obtidos pelos ensaios de circuitoaberto e de curto-circuito.............................................................................. 51Tabela 7 – Potências ativas e reativas consumidas pelas cargas desequilibradas dosistema radial de 6 barras ............................................................................. 57Tabela 8 – Módulos e ângulos das tensões nas barras do sistema de 6 barras radial,contendo cargas desequilibradas .................................................................. 58Tabela 9 – Módulos e ângulos das correntes nos circuitos do sistema de 6 barras radial,contendo cargas desequilibradas .................................................................. 58Tabela 10 – Tensões de linha nas barras do sistema de 6 barras radial.......................... 59Tabela 11 – Soma fasorial das correntes nos circuitos do sistema de 6 barras radial .... 59Tabela 12 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculados e medidos,nas barras com conexão estrela do sistema de 6 barras radial alimentandocargas desequilibradas............................................................................... 60Tabela 13 – Comparação entre os módulos das tensões de linha calculados e medidos,nas barras com conexão delta do sistema de 6 barras radial alimentandocargas desequilibradas............................................................................... 60Tabela 14 – Comparação entre os módulos das correntes nos circuitos calculados emedidos no sistema de 6 barras radial apresentando cargas desequilibradas................................................................................................................... 61Tabela 15 – Potências ativas e reativas consumidas pelas cargas altamentedesequilibradas no sistema radial de 6 barras............................................... 61Tabela 16 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculadas e medidas,nas barras com conexão estrela do sistema de 6 barras radial alimentandocargas altamente desequilibradas.................................................................. 62
  13. 13. xiiiTabela 17 – Comparação entre os módulos das tensões de linha calculadas e medidas,nas barras com conexão delta do sistema de 6 barras radial com cargasaltamente desequilibradas............................................................................. 62Tabela 18 – Comparação entre os módulos das correntes calculadas e medidas noscircuitos do sistema de 6 barras radial alimentando cargas altamentedesequilibradas ............................................................................................. 62Tabela 19 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculadas e medidas nasbarras com conexão estrela do sistema de 6 barras em anel com cargasdesequilibradas ............................................................................................. 64Tabela 20 – Comparação entre os módulos das tensões de linha calculadas e medidas,nas barras com conexão delta do sistema de 6 barras em anel alimentandocargas desequilibradas.................................................................................. 64Tabela 21 – Comparação entre os módulos das correntes calculadas e medidas, noscircuitos do sistema de 6 barras em anel com cargas desequilibradas ......... 64Tabela 22 – Comparação entre os módulos das tensões de fase nas barras com conexãoestrela do sistema de 6 barras em anel com ramais monofásicos e bifásicos....................................................................................................................... 65Tabela 23 – Comparação entre os módulos das tensões de linha nas barras com conexãodelta do sistema de 6 barras em anel com ramais monofásicos e bifásicos.. 65Tabela 24 – Comparação entre os módulos das correntes nos circuitos do sistema de 6barras em anel com ramais monofásicos e bifásicos.................................... 65Tabela 25 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculadas e medidas nasbarras com conexão estrela do sistema de 5 barras radial alimentando cargasaltamente desequilibradas............................................................................. 67Tabela 26 – Comparação entre os módulos das tensões de linha calculadas e medidas,nas barras com conexão delta do sistema de 5 barras radial alimentandocargas altamente desequilibradas.................................................................. 67Tabela 27 – Comparação entre os módulos das correntes calculadas e medidas noscircuitos do sistema de 5 barras radial com cargas altamente desequilibradas...................................................................................................................... 67
  14. 14. Capítulo IIntroduçãoI.1 Considerações IniciaisOs sistemas de distribuição de energia elétrica em geral são grandes e complexos,e as empresas distribuidoras de energia elétrica procuram cada vez mais operá-los deforma otimizada, buscando a redução dos custos operacionais assim como a redução dasperdas de energia. Em paralelo aos aspectos anteriormente descritos, a crescentepenetração da informática em todas as atividades econômicas, a automação de linhas deprodução juntamente com complexos processos industriais, vêm tornando crescentes asexigências dos consumidores em relação à qualidade e à confiabilidade dos serviços defornecimento de energia elétrica. Dentro deste cenário têm-se elevado o número demedições e simulações com o objetivo de assegurar a mais completa integridade dossistemas de distribuição de energia elétrica.A análise destes sistemas através de medições permite verificar o exato estado darede elétrica, porém para que as medidas efetuadas sejam confiáveis necessita-se daexperiência prévia de técnicos e engenheiros, além de equipamentos sofisticados quenormalmente possuem um custo elevado. Devido ao tamanho dos sistemas dedistribuição torna-se praticamente inviável a instalação de equipamentos de medição emtodos os pontos do mesmo, restringindo assim consideravelmente o seu estudo.Com o desenvolvimento dos programas voltados para o estudo dos sistemaselétricos de potência, a análise através de simulações apresenta-se como uma alternativaeficiente, pois possibilita avaliar todo o sistema, desde as subestações de distribuição atéos ramais secundários que interligam os consumidores ao mesmo. Estas ferramentaspermitem ainda avaliar o sistema para diferentes cenários, onde se podem fazerprevisões quanto ao estado da rede elétrica com grande precisão.Porém, para que seja feito um estudo consistente dos sistemas de distribuiçãoatravés de simulações são necessárias ferramentas robustas, onde o cálculo do fluxo depotência se destaca como sendo uma das ferramentas mais utilizadas no estudo doplanejamento, controle e operação dos sistemas elétricos de potência. Além disso, é
  15. 15. Capítulo I - Introdução2imprescindível que os vários componentes destes sistemas (condutores,transformadores, geradores, cargas, etc) sejam representados por modelos matemáticosadequados que reproduzam seus comportamentos reais. Os parâmetros de entradarequeridos pelos modelos também são importantes, pois dados incorretos levarão aosusuários dos programas resultados errôneos, podendo ocasionar sérios erros na operaçãoe planejamento dos sistemas de distribuição.Dentre os dispositivos que compõem tais sistemas, o transformador pode serconsiderado como sendo o equipamento mais comum. Contudo, a incorporação dostransformadores em ferramentas de análise de sistemas elétricos trifásicos pode serproblemática devido ao grande número destes equipamentos na rede, à variedade deconexões e às formas de representação (DUGAN, 2003). Assim, o impacto dosinúmeros transformadores no estudo dos sistemas de distribuição de energia elétrica ésignificante, pois os mesmos afetam as perdas no sistema, os métodos de aterramento,as estratégias de proteção, etc.Devido à grande importância dos modelos de transformadores trifásicos na análisecomputacional, demandando cada vez mais o desenvolvimento de novas ferramentaspara o estudo dos sistemas elétricos de distribuição, surge assim, uma motivação para odesenvolvimento de modelos mais abrangentes de transformadores.I.2 Revisão BibliográficaMuitos modelos de componentes dos sistemas de distribuição são limitados àanálise de sistemas trifásicos equilibrados. Estes modelos são construídos supondo queo sistema trifásico opera em condições de equilíbrio e desta forma adota-se umamodelagem monofásica (seqüência positiva) para o problema. Considerando o circuitomonofásico equivalente na análise, são muitos os trabalhos que apresentam algoritmosde solução do fluxo de potência, bem como modelos de componentes dos sistemaselétricos, entre os quais se destacam TINNEY (1967); DOMMEL (1970); STOTT(1974); MONTICELLI (1983) e DA COSTA (1999).Entretanto, para sistemas de distribuição de energia elétrica, a simplificaçãoadotada não é suficiente para sua correta avaliação, pois estes sistemas são em geralaltamente desequilibrados, devido as diferentes cargas conectadas as fases, a assimetria
  16. 16. Capítulo I - Introdução3das linhas sem transposição e da existência de circuitos monofásicos, bifásicos etrifásicos. Sendo assim é de fundamental importância o desenvolvimento de ferramentase modelos de componentes para a análise dos sistemas elétricos trifásicos (CHEN eDILLON, 1974); (CHENG, 1995); (GARCIA, 2000); (GARCIA, 2001) e(MAYORDOMO, 2002).A referência CHEN e DILLON (1974) propõe um modelo de transformadortrifásico que possibilita representar as suas várias conexões comuns. Neste modelo ostransformadores trifásicos são representados por bancos de transformadoresmonofásicos, desprezando-se assim o acoplamento magnético existente entre as fases dotransformador. Devido a algumas simplificações adotadas durante a elaboração destemodelo, o mesmo apresenta certa dificuldade numérica em representar ostransformadores trifásicos cujos enrolamentos estejam conectados em delta.Buscando solucionar os problemas numéricos apresentados pelo modelo detransformador trifásico desenvolvido em CHEN e DILLON (1974) a referência CHENet al (1991) apresenta um aperfeiçoamento deste modelo de transformador, onde osautores utilizam uma técnica de implementação na qual é usado um método de injeçãode correntes, possibilitando assim que a ligação dos enrolamentos do transformador emdelta possa ser representada. Em CARNEIRO E MARTINS (2003) foi desenvolvido umtrabalho que compara a matriz de admitância de barras que representa o transformadorobtido com o modelo descrito em CHEN E DILLON (1974) com uma matriz cujoselementos foram determinados através de medições, onde pode ser verificado que asaproximações feitas em tal modelo apresentam valores que são de certa formaaceitáveis.Em GORMAN e GRAINGER (1992a) e (1992b) os transformadores trifásicos sãomodelados a partir da análise de seu circuito magnético equivalente, onde o mesmo érepresentado por uma matriz de permeância dividida em duas componentes: umarelacionada com o núcleo ferromagnético e a outra relacionada com os caminhos dedispersão. Neste modelo para se determinar a matriz de admitância de barras querepresenta o transformador é necessário conhecer o valor da permeabilidade magnéticado núcleo, seu comprimento médio e a sua área. Estes parâmetros em muitos casos nãosão conhecidos e são difíceis de se obter, o que dificulta o uso do modelo.No modelo desenvolvido em DUGAN e SANTOSO (2003) os transformadorestrifásicos são modelados em coordenadas de fase, onde se utiliza como parâmetros de
  17. 17. Capítulo I - Introdução4entrada as impedâncias próprias e mútuas entre as bobinas do transformador obtidasatravés de medições e expressas em Ohms.Nos sistemas de distribuição e industriais são encontrados diferentes tipos deconexões para os transformadores trifásicos visando atender os seus inúmerosconsumidores e otimizar a operação e o planejamento do sistema. Sendo assim, para queos modelos de transformadores trifásicos possam ser utilizados sem nenhuma limitaçãoquanto ao tipo de ligação de seus enrolamentos, os mesmos devem permitir que todasestas conexões sejam representadas.Com este objetivo a referência CHEN e CHANG (1996) propõe um modelo detransformador trifásico que também permite representar as ligações delta aberto e Scott.Neste modelo os transformadores trifásicos são considerados como ideais e as suascargas e perdas são agrupadas de maneira que o conjunto seja representado por cargasequivalentes. Para conexões de transformadores diferentes das apresentadas no trabalho,devem ser determinadas as novas equações que representam o transformador.Nas referências CHEN et al (1996); DUGAN (2004) e KERSTING (2004) sãomodelados os transformadores monofásicos com derivação central conectados em bancotrifásico possibilitando a alimentação de cargas monofásicas e trifásicassimultaneamente.Em CHEN e GUO (1996) é dada atenção especial às ligações delta aberto, Scott,Le Blanc e Modified-Woodbridge, onde o circuito equivalente para o transformador éobtido em componentes simétricos.Na referência BARAN e STATON (1997) é proposto um método para inclusãodos transformadores de distribuição na análise de alimentadores baseado em injeções decorrentes atualizadas usando-se o procedimento de ‘forward-backward sweep’.Em HONG e WANG (1997) são investigados os impactos das diferentesconexões dos transformadores trifásicos e dos modelos de cargas em um sistema depotência desequilibrado. O modelo de transformador proposto no trabalho é derivado deuma nova matriz de impedância primitiva constituída por elementos de seqüênciapositiva, negativa e zero. São avaliados os modelos de carga do tipo potência constantee impedância constante.Os transformadores de três enrolamentos são encontrados freqüentemente emaplicações onde existe a necessidade de utilização de duas tensões. Em OOMEN eKOHLER (1999) é apresentado um modelo de transformador de três enrolamentos ondeo mesmo é modelado como um sistema de três barras na qual são desprezadas as
  18. 18. Capítulo I - Introdução5impedâncias mútuas entre o secundário e o terciário. De outra maneira, no modeloapresentado em MOORTHY e HOADLEY (2002) os transformadores são modeladosem coordenadas de fase onde se podem representar os transformadores de dois e trêsenrolamentos incorporando os efeitos dos acoplamentos entre as fases.Em IRVING e AL-OTHMAN (2003) é desenvolvido um modelo detransformador que permite representar as suas várias configurações de impedâncias deaterramento do ponto neutro, onde os transformadores trifásicos são representados porbancos de transformadores monofásicos.I.3 Objetivos da DissertaçãoObserva-se uma grande quantidade de artigos técnicos que enfocam a modelagemdos transformadores, evidenciando a grande importância dos modelos detransformadores trifásicos no estudo dos sistemas de distribuição. A maioria dosmodelos de transformadores quando incorporados em ferramentas para análise trifásicadestes sistemas apresentam alguma dificuldade, seja devido a problemas numéricosinerentes a simplificações adotadas durante a modelagem, seja pela necessidade demuitos parâmetros de entrada para o modelo. Esta dissertação tem como objetivo aapresentação de um modelo geral que permita representar os transformadores trifásicosde distribuição de dois ou três enrolamentos com suas inúmeras formas de conexõespara análise de sistemas trifásicos equilibrados e desequilibrados. Como o bancotrifásico de transformadores, matematicamente, é um caso particular do transformadortrifásico a modelagem aqui apresentada também se aplica a bancos trifásicos detransformadores, mais freqüentes em sistemas de transmissão de energia elétrica.I.4 Principais Contribuições da DissertaçãoAs principais contribuições desta dissertação podem ser resumidas nos seguintespontos:
  19. 19. Capítulo I - Introdução6• A modelagem proposta permite determinar a matriz de admitânciaprimitiva completa para representar os transformadores trifásicos atravésda análise de seu circuito magnético equivalente;• A necessidade de apenas alguns parâmetros dos transformadores comodados de entrada, os quais podem ser obtidos por ensaios normalizados porfabricantes, o que facilita o uso do modelo de transformador trifásicoproposto;• O desenvolvimento de um modelo geral que permite representar tanto ostransformadores trifásicos de dois ou três enrolamentos e os bancos detransformadores monofásicos quanto as diferentes conexões dostransformadores de distribuição, além de se poder representar mais do queum enrolamento por fase;• A possibilidade de representar as impedâncias de aterramento detransformadores;• O desenvolvimento de um modelo matemático robustocomputacionalmente podendo ser inserido nos programas para o cálculodo fluxo de potência sem alterar a eficiência dos métodos de solução;• A elaboração de um método para determinar a matriz de admitância nodalem p.u., não deixando dúvidas quanto aos valores que devem serescolhidos como bases para o transformador, evitando assim o usoinadequado de bases.I.5 Estrutura da DissertaçãoAlém deste capítulo, esta dissertação contém mais quatro capítulos e um apêndice,os quais serão descritos sucintamente a seguir.O Capítulo II apresenta as várias características importantes que devem serobservadas durante a modelagem de transformadores e também uma breve revisão dosprincipais modelos de transformadores trifásicos disponíveis na literatura.No Capítulo III são apresentados os conceitos da modelagem do transformadortrifásico proposto por este trabalho. É apresentado também um exemplo numérico como objetivo de ilustrar a metodologia proposta.
  20. 20. Capítulo I - Introdução7No Capítulo IV são apresentados e discutidos os resultados referentes àsaplicações do modelo de transformador trifásico proposto em estudos de fluxo depotência utilizando-se pequenos sistemas testes desenvolvidos em laboratório.E finalmente no Capítulo V encontram-se as principais conclusões deste trabalho,considerações finais e sugestões para trabalhos futuros.No Apêndice A é apresentada uma revisão sobre o método de solução do fluxo depotência trifásico por injeção de correntes (MICT), pois esta foi à ferramenta utilizadapara a análise dos sistemas trifásicos descritos neste trabalho.
  21. 21. Capítulo IITécnicas Usuais para Modelagem de TransformadoresTrifásicos para Estudos de Fluxo de PotênciaII.1 Considerações IniciaisAtualmente, o grande interesse em se representar os sistemas de potência por seusmodelos trifásicos têm levado a importantes debates com o objetivo de estabelecerregras para a sua correta modelagem. Estes debates envolvem discussões a respeito dequal seria a melhor ferramenta de análise dos sistemas elétricos, colocando emconfronto a modelagem utilizando o método dos componentes simétricos e amodelagem em coordenadas de fase. Têm se discutido também como os programas paraanálise dos sistemas de potência devem ser desenvolvidos, seja com os seus parâmetrosexpressos em valores reais da rede (volts, amperes, ohms) ou expressos em valores porunidade (p.u.) (DUGAN, 2003).O tradicional sistema por unidade e o método dos componentes simétricos foramdesenvolvidos para facilitar os cálculos manuais para os sistemas trifásicos comdiferentes níveis de tensão. Muitos engenheiros defendem a idéia de que a melhormaneira de representar o sistema elétrico é utilizando o sistema p.u. Por outro lado estãoos que se opõem ao uso destas metodologias na representação dos sistemas de potência,tendo como premissa que a forma correta de se trabalhar com o sistema elétrico éutilizando a sua modelagem em coordenadas de fase com os parâmetros da redeexpressos por seus valores reais. Entre as principais vantagens oferecidas por taismetodologias, citadas em DUGAN (2003), pode-se destacar o fato de que estes valoressão características dos equipamentos, não estando sujeitos a alterações providas deaplicações do mesmo, como também elimina a chance de confusão devido à escolha devalores ambíguos para as bases do sistema.Segundo DUGAN (2003), com o grande avanço dos microcomputadores,permitindo efetuar os cálculos de maneira rápida e precisa por mais complexos queestes sejam e a constante busca em aproximar os valores obtidos através de simulações e
  22. 22. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência9medições, cria-se uma perspectiva de que a modelagem utilizando coordenadas de fase,com os parâmetros da rede elétrica expressa por seus verdadeiros valores, sejaescolhida.Como ainda não existe uma regra que defina a melhor ferramenta paramodelagem dos sistemas elétricos de potência, são muitos os modelos matemáticos quevisam representar os transformadores trifásicos. O objetivo deste capítulo é,basicamente, apresentar as principais características que devem ser observadas durante aelaboração de um bom modelo de transformador, a metodologia normalmenteempregada na modelagem, bem como alguns dos principais modelos detransformadores trifásicos, de maneira a permitir uma comparação e a compreensão dasprincipais contribuições do modelo de transformador trifásico proposto por estetrabalho.II.2 Aspectos Básicos Sobre Modelagem de TransformadoresTrifásicosO procedimento adotado na modelagem de transformadores deve ser adequado deforma a possibilitar a representação fiel dos vários tipos de transformadores trifásicosexistentes. Normalmente os transformadores são modelados em termos de seuscomponentes simétricos. São utilizadas como parâmetros de entrada as suasimpedâncias de dispersão, obtidas através do teste de curto-circuito, expressas emvalores por unidade (p.u.). Em estudos de fluxo de potência os efeitos não lineares dasaturação do núcleo ferromagnético podem ser desprezados. Segundo KERSTING et al(1999) as principais características que devem ser observadas nos modelos detransformadores trifásicos são:• Os modelos de transformadores trifásicos para estudos de fluxo depotência devem satisfazer as leis de Kirchhoff de tensão e corrente, bemcomo as relações existentes entre estas grandezas elétricas nos dois ladosdo transformador;• Os modelos de transformadores trifásicos devem ser capazes derepresentar as suas várias formas de conexões;• Caso exista qualquer mudança no ângulo de fase das grandezas elétricas,entre primário e secundário resultante de uma conexão em particular, o
  23. 23. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência10modelo de transformador deve ser capaz de representar esta diferença defase naturalmente, sem a introdução de fatores extras, por exemplo: oaparecimento inesperado do termo 3 , ou fatores complexos ( 6πje e6πje−), forçando o resultado correto;• Por fim, é de extrema importância, que os modelos de transformadorestrifásicos utilizados nas ferramentas de análise dos sistemas elétricosapresentem tensões e correntes que se aproximem ao máximo dasgrandezas elétricas do equipamento real.II.3 Representação dos Transformadores Trifásicos noProblema de Fluxo de PotênciaNas ferramentas trifásicas desenvolvidas para análise dos sistemas de distribuição,os transformadores trifásicos são representados por uma matriz de admitância de barrasque contém as admitâncias próprias e mútuas entre as fases do transformador e ainformação de como as bobinas dos transformadores estão conectadas. A Figura 1apresenta um transformador trifásico entre as barras K e M representado por sua matrizadmitância de barras.YABCAKB C A B CMPrimário SecundárioMatrizAdmitância deBarrasBarraFigura 1 – Diagrama para representar os transformadores trifásicos
  24. 24. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência11Uma forma eficiente de obter a matriz que representa o transformador é utilizandoa teoria da matriz primitiva de Kron. Por meio desta metodologia os transformadorestrifásicos são representados a partir de uma matriz de admitância primitiva ( primY ), aqual é obtida sem levar em consideração a maneira como as bobinas dostransformadores estão conectadas. Os vários tipos de ligações trifásicas para ostransformadores são representados facilmente pela matriz de incidência nodal ( A ).Desta forma a matriz de admitância de barras que representa os transformadorestrifásicos com suas respectivas conexões pode ser determinada por um simples produtode matrizes ( tbarra primY A Y A= ).Para que se possa compreender como os modelos de transformadores trifásicosque são apresentados neste trabalho foram desenvolvidos, esta metodologia será descritadetalhadamente a seguir.II.3.1 Matriz Admitância PrimitivaNos sistemas de distribuição de energia elétrica são encontrados inúmerostransformadores, onde estes assumem comportamentos diferentes devido ao seu aspectoconstrutivo e tipos de ligações. Quanto ao aspecto construtivo os transformadoresutilizados nos sistemas trifásicos podem ser trifásicos ou constituídos de bancos detransformadores monofásicos. Nos primeiros os enrolamentos dos transformadoresestão envoltos ou envolvidos em um único núcleo ferromagnético, de maneira queexista um total acoplamento magnético entre as fases do transformador. A Figura 2ilustra alguns tipos de núcleos empregados na construção de transformadores trifásicos.Os bancos de transformadores são constituídos de três transformadoresmonofásicos, agrupados de forma a serem usados como se fosse um transformadortrifásico.
  25. 25. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência12(a) (b)(c)Figura 2 – Tipos de configurações de núcleos trifásicos. (a) Núcleo trifásico de três pernas (b) Núcleotrifásico de quatro pernas (c) Núcleo trifásico de cinco pernasIndependentemente do tipo de núcleo empregado na construção dostransformadores trifásicos, para um transformador com um enrolamento no primário eum enrolamento no secundário para cada fase, comumente chamado de transformadortrifásico de dois enrolamentos, a matriz de impedância primitiva que o representa é dadapela Equação (2.1), onde para transformadores construídos em núcleos trifásicos estamatriz apresenta-se cheia, ou seja, com todos os seus elementos diferentes de zero.p p p p p p s p s p sp p p p p p s p s p sp p p p p p s p s p ss p s p s p s s s s ss p s p s p s s s s ss p s p s p s s s s sA A B A C A A A B A CB A B B C B A B B B CC A C B C C A C B C CprimA A A B A C A A B A CB A B B B C B A A B CC A C B C C C A C B AZ Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z ZZZ Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦(2.1)
  26. 26. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência13Onde:CBA e, : Representam as fases;sp e : Representam as grandezas do primário e do secundário respectivamente.Em bancos de transformadores monofásicos, como os enrolamentos das fasesestão envoltos ou envolvidos em núcleos distintos, as impedâncias mútuas entre as fasesdiferentes são nulas, como mostra a Equação (2.2).0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0p p sp p sp p ss p ss p ss p sA A AB B BC C CprimA A AB B AC C AZ ZZ ZZ ZZZ ZZ ZZ Z⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦(2.2)A Equação (2.1) pode ser escrita na sua forma compacta, como mostra a Equação(2.3).⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= ABCsABCspABCpsABCpABCprimZZZZZ (2.3)A matriz de admitância primitiva é calculada por:( )1prim primY Z−= (2.4)Para que se obtenha bons resultados nas simulações todos os elementos quecompõem a matriz de impedância primitiva devem ser determinados. Estes elementospodem ser obtidos através de medições energizando-se o enrolamento x ( [ ], ,x A B C∈ )do lado y ( [ ],y p s∈ ) e aplicando-se curto circuito nos demais enrolamentos (GARCIA,2001). Desta forma todos os elementos da matriz de impedância primitiva serãocalculados pela Equação (2.5).
  27. 27. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência1411xxxxIVZ = (2.5)Onde:1xI : Corrente medida no enrolamento 1x ( [ ]CB,A,1 ∈x ).xV : Tensão aplicada no enrolamento x .Assim, para determinar todos os elementos da matriz de impedância primitivapara um transformador trifásico de dois enrolamentos, considerando a naturezarecíproca da impedância mútua, seriam necessários vinte e um testes de curto-circuito.Todavia, isto seria inviável devido a enorme quantidade de transformadores existentesnos sistemas de distribuição.Visando obter esta matriz de forma algébrica e não através de medições, o tipo denúcleo empregado na construção do transformador deve ser considerado. A maioria dostransformadores trifásicos de distribuição são construídos usando o núcleo trifásico detrês pernas, Figura 2-a; assim, praticamente todos os modelos de transformador trifásicosão elaborados considerando que o mesmo foi construído utilizando este tipo deestrutura. Os modelos de transformadores trifásicos diferenciam-se principalmentequanto à maneira de determinar os elementos da matriz de impedância primitiva,buscando sempre um cálculo correto com um mínimo de parâmetros de entrada.II.3.2 Matriz de Incidência NodalNos sistemas de distribuição de energia elétrica são encontrados vários tipos deconexões para os transformadores trifásicos. Cada uma destas conexões causa efeitosdiferentes nos transformadores, mudando consideravelmente suas tensões e ângulos defase.A Tabela 1 apresenta algumas das ligações mais comuns para os transformadorestrifásicos.
  28. 28. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência15Tabela 1 – Ligações comuns para os transformadores trifásicosConexões dos TransformadoresPrimário SecundárioYaterrado YaterradoYaterrado YYaterrado DeltaY YaterradoY YY DeltaDelta YDelta YaterradoDelta DeltaEm relação a estas conexões podem ser observadas as seguintes características:a) Ligação Yaterrado – Delta: Neste tipo de conexão existe uma diferençaangular de –30º entre as tensões de fase do primário e do secundário.b) Ligação Delta – Yaterrado: Ao contrário da ligação Yaterrado - Delta estetipo de configuração provoca uma defasagem de +30º entre as tensões defase do primário e secundário.c) Ligação Yaterrado – Yaterrado: Este tipo de ligação é usado paraalimentar cargas monofásicas e trifásicas em um sistema multi-aterrado aquatro condutores. Diferentemente das conexões Delta - Yaterrado eYaterrado - Delta, a mesma não causa diferença angular entre as tensõesde fase dos dois lados do transformador.d) Ligação Delta – Delta: Esta conexão é utilizada em sistemas trifásicos atrês condutores para alimentar cargas trifásicas em sistemas nãoaterrados.Para representar as várias conexões dos transformadores trifásicos é utilizada amatriz de incidência nodal, onde esta é dada pela Equação (2.6).
  29. 29. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência1611 12 121 22 21 2mmb b bma a aa a aAa a a⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦LLL L L ML(2.6)Onde:1pqa = + Se a corrente no ramo pq está saindo do nó.1pqa = − Se a corrente no ramo pq está chegando no nó.0pqa = Se o nó p não está conectado ao nó q.Como exemplo, considere um transformador trifásico de dois enrolamentos comseu primário ligado em estrela solidamente aterrado e o seu secundário ligado em delta,como mostra a Figura 3.VApVBpVCpIApIBpICpVAsVBsVCsIAsIBsICsVNpT (Terra)Figura 3 – Transformador trifásico de dois enrolamentos conectado em Yaterrado – delta.A matriz de incidência nodal que representa esta conexão é dada pela Equação(2.7), onde as linhas da matriz representam os ramos e as colunas os nós.
  30. 30. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência17⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−1000000010100001100000011000100010010000101000001V|V|V|V|V|V|VTVVVVVVVVVVVVVNpCsBsAsCpBpApNpAsCsCsBsBsAsNpCpNpBpNpAp(2.7)A Equação (2.6) pode ser facilmente aplicada para determinar todas as ligaçõescitadas na Tabela 1, entre outras, que serão apresentadas neste trabalho.II.3.2.1 Problemas na Representação da Conexão dos Enrolamentosdos Transformadores em Delta.Um problema comum que pode ser encontrado na modelagem de transformadoresé a presença de sub-redes isoladas. Isto ocorre, por exemplo, quando se conecta osenrolamentos do transformador em delta, onde se forma uma sub-rede que não contémimpedâncias ligadas ao nó de referência. Para facilitar a compreensão do problema,considere a rede ilustrada na Figura 4, formada por dois transformadores e uma linha detransmissão.TR1 TR2LinhaterraterraSub-redeisoladaFigura 4 – Sub-rede isolada devido a conexão delta.
  31. 31. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência18No cálculo do fluxo de potência obtém-se como resultado os módulos e ângulosdas tensões de fase em relação ao nó de referência, normalmente considerado comosendo a terra. Na Figura 4 pode-se observar que a sub-rede formada pelo secundário dotransformador TR1, linha de transmissão e primário do transformador TR2, nãoapresenta nenhum elemento conectado à referência, impossibilitando assim adeterminação correta das tensões de fase para esta parte da rede, afetando o cálculo detodas as tensões e correntes do sistema. Esta parte do sistema pode apresentar resultadosimprecisos.Para solucionar este problema, normalmente é utilizado um dos seguintes métodos(DUGAN, 2003):a) Conectar uma impedância de valor elevado entre um dos nós da conexãodelta e a referência;b) Adicionar elementos de pequeno valor aos elementos diagonais da matrizprimY , de tal maneira que ela se torne inversível;c) Utilizar um método de implementação onde primeiro conecta-se osenrolamentos do primário e do secundário em estrela aterrada e logo apósconecta-se o transformador com a verdadeira conexão em que seencontra.II.3.3 Matriz Admitância de BarrasOs transformadores trifásicos podem ser descritos por suas matrizes admitânciasde barras. Esta matriz varia conforme as conexões dos enrolamentos do transformador eé dada pela Equação (2.8).tbarra primY A Y A= (2.8)Onde:tA : É a matriz de incidência nodal transposta.
  32. 32. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência19II.4 Principais Modelos de Transformadores TrifásicosII.4.1 Transformadores Trifásicos Representados por Bancos deTransformadores MonofásicosII.4.1.1 Modelo de Transformador Trifásico Descrito em CHEN eDILLON (1974)Em alguns modelos, os transformadores trifásicos são representados por bancos detransformadores monofásicos. Em CHEN e DILLON (1974) é descrito umprocedimento interessante utilizando esta metodologia, o qual será detalhado a seguir.No modelo desenvolvido por CHEN e DILLON (1974) o transformador trifásicoé representado por uma matriz de admitância primitiva dada pela Equação (2.9).0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0p p sp p sp p ss p ss p ss p sA A AB B BC C CprimA A AB B AC C AY YY YY YYY YY YY Y−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦(2.9)Considerando que os três transformadores monofásicos são idênticos e que ocorreuma distribuição simétrica do fluxo magnético, as admitâncias próprias das fases A,B eC serão iguais e representadas por pY e sY para o primário e o secundáriorespectivamente. As admitâncias mútuas entre primário e secundário também serãoiguais e representadas por mY , obtendo assim uma matriz de admitância primitivasimétrica como mostra a Equação (2.10).
  33. 33. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência200 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0p mp mp mprimm sm sm sY YY YY YYY YY YY Y−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦(2.10)Os autores consideram ainda que ao se trabalhar com a matriz de admitânciaprimitiva expressa em valores por unidade (p.u.), os valores numéricos de pY , sY e mYsão aproximadamente iguais a admitância de dispersão dY do transformador obtida peloensaio de curto-circuito. Assim para determinar a matriz de admitância primitiva querepresenta o transformador trifásico é necessário apenas um parâmetro que pode serdeterminado facilmente. Desta forma a Equação (2.10) pode ser reescrita da seguintemaneira:( )0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0d dd dd dprimd dd dd dY YY YY YY puY YY YY Y−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦(2.11)Utilizando a teoria da matriz de incidência nodal apresentada na seção II.3.2 ecalculando a matriz admitância de barras pela Equação (2.8), pode-se determinar amatriz admitância de barras para os tipos mais comuns de transformadores através daTabela 2.
  34. 34. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência21Tabela 2 - Submatrizes usadas na formulação da matriz admitância de barrasTipo de Conexão Admitância Própria Admitância MútuaBarra K Barra M ABCpY ABCsY ABCpsY ABCspYYaterrado Yaterrado IY IY IY− IY−Yaterrado Y IIY IIY IIY− IIY−Yaterrado Delta IY IIY IIIY tIIIYY Yaterrado IIY IIY IIY− IIY−Y Y IIY IIY IIY− IIY−Y Delta IIY IIY IIIY tIIIYDelta Yaterrado IIY IY tIIIY IIIYDelta Y IIY IIY tIIIY IIIYDelta Delta IIY IIY IIY− IIY−Onde:As matrizes IY , IIY e IIIY são definidas por:0 00 00 0dI ddyY yy⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦(2.12)21232d d dII d d dd d dy y yY y y yy y y− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦(2.13)03030d dII d dd dy yY y yy y−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦(2.14)O modelo de transformador elaborado por CHEN e DILLON (1974) tem sidousado por muitos autores em seus trabalhos voltados para análise dos sistemas elétricosde potência, mas, recentemente este modelo tem recebido muitas críticas (DUGAN,2003) , (KERSTING et al, 1999), devido as várias simplificações adotadas na obtenção
  35. 35. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência22da matriz admitância primitiva como também referente aos termos31 e33 queaparecem multiplicando as matrizes das Equações (2.13) e (2.14), pois estas constantesnão aparecem naturalmente ao utilizar a matriz de admitância primitiva da Equação(2.11) no cálculo da matriz admitância de barras.Como já era conhecida a principal característica presente nas conexões dotransformador em delta, que é a diferença angular entre as tensões de fase do primário edo secundário, as constantes anteriormente citadas foram cuidadosamente inseridas nomodelo, de tal maneira a se obter o resultado correto, o que tem sido considerado pormuitos como inaceitável.II.4.2 Transformadores Trifásicos de Dois EnrolamentosII.4.2.1 Modelo de Transformador Trifásico Descrito em GORMAN eGRAINGER (1992a) e (1992b)No modelo de transformador trifásico descrito em GORMAN e GRAINGER(1992a) e (1992b), o transformador é representado por uma matriz de impedânciaprimitiva que pode ser dividida em duas componentes: uma parcela que representa onúcleo ferromagnético e outra que representa os seus enrolamentos, como mostra aEquação (2.15).( ) ( ) ( )443442143421bobinanucleo ZdbZmnpirm sTKRKsTRpuZ 1+++=(2.15)Onde:mT : É uma matriz que representa o núcleo ferromagnético do transformador.dT : É uma matriz que representa os caminhos de dispersão.s : É a freqüência complexa j(2πf).K e 1K : São constantes relacionadas com a magnetização e a dispersão do núcleorespectivamente.
  36. 36. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência23Os elementos da matriz que representa o núcleo ferromagnético do transformador( mT ) são determinados pela análise de seu circuito elétrico equivalente, como mostra aFigura 5, onde é necessário conhecer o valor da relutância do circuito magnético, ondeesta é função da permeabilidade magnética do núcleo, do seu comprimento médio e dasua área. Estes parâmetros em muitos casos não são conhecidos e são difíceis de seobter, o que dificulta o uso do modelo.R1 R1R1N p IAp N p ICpN p IBpN s IAs N s ICsN s IBsFigura 5 – Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico de dois enrolamentos.A matriz dT é uma matriz diagonal que contém as reatâncias de dispersão, asquais podem ser determinadas pelo ensaio de curto-circuito do transformador. Asconstantes K e 1K são estimadas através de vários ensaios a vazio e em curto-circuito.Assim utilizando as Equações (2.6) e (2.8) pode-se determinar a matriz deincidência nodal e a matriz admitância de barras para o transformador respectivamente.II.4.2.2 Modelo de Transformador Descrito em DUGAN e SANTOSO(2003)O método apresentado em DUGAN e SANTOSO (2003) permite determinar osmodelos de transformadores trifásicos de dois ou mais enrolamentos, onde são exigidoscomo parâmetros de entrada, a impedância de curto-circuito entre cada par deenrolamentos e o número de espiras ou tensões nominais de cada enrolamento.Conhecendo-se as impedâncias de curto-circuito, pode-se determinar uma matrizde impedância primitiva onde um enrolamento é escolhido como referência, processo
  37. 37. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência24semelhante ao usado para formar a matriz de impedância para sistemas de potência coma barra infinita na referência, desta forma se obtém uma matriz de dimensões (m-1) X(m-1), onde m é o número de enrolamentos do transformador.A matriz de impedância primitiva que representa o transformador é dada por:• Elementos da Diagonal:( ) ( ) baseprim ZiZsciiZ *1,1, += , para i=1 até m-1 (2.16)Onde:( ),SCZ i j : É a impedância de curto-circuito entre os enrolamentos i e j expressaem p.u.baseZ : É a impedância base utilizada para converter scZ em valores ôhmicos.• Demais elementos:( ) ( ) ( ) ( )[ ]baseprimprimprim ZiZscjjZiiZjiZ *1,1,,*5,0, +−+= (2.17)Para representar as conexões dos transformadores o autor propõe um novo métodode implementação, com o objetivo de evitar qualquer problema referente à ligação delta,onde o transformador tem os seus enrolamentos primário e secundário conectados àreferência antes que a eles sejam aplicadas as suas verdadeiras conexões, como mostra aFigura 6.
  38. 38. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência25N1:1Y1Y1Y1N1:1N1:11: N21: N21: N2Estrela DeltaYwYprimFigura 6 – Esquema de ligação para um transformador trifásico de dois enrolamentos conectado em Y-Delta.A matriz admitância de barras que representa o transformador é dada por:( ) tttprimbarra ANBZANBY1−= (2.18)Onde:B: É uma matriz de incidência com dimensões (m x m-1), cujos elementos sãocompostos por 1, -1 e 0;A: É a matriz de incidência nodal, como descrita na seção II.3.2;N: É uma matriz diagonal, quadrada, de ordem m que contém como elementosdiferentes de zero, o inverso do número de espiras dos enrolamentos.O modelo elaborado por DUGAN e SANTOSO (2003) não apresenta fatores queforçam o aparecimento do resultado correto como em CHEN e DILLON (1974), mas omesmo exige que todas as impedâncias próprias e mútuas entre os enrolamentos dotransformador sejam conhecidas, parâmetros estes, como mencionado anteriormente,
  39. 39. Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos paraEstudos de Fluxo de Potência26são difíceis de se obter devido ao grande número de transformadores presentes nossistemas de distribuição.II.5 Sumário do CapítuloEste capítulo apresenta primeiramente, as principais características que um bommodelo de transformador trifásico deve apresentar. Foi descrita uma metodologia muitoutilizada para incorporar os transformadores no problema de fluxo de potênciautilizando coordenadas de fase. Os transformadores trifásicos são comumenterepresentados por uma matriz de admitância de barras, na qual podem ser inseridas ascaracterísticas do núcleo ferromagnético e de seus enrolamentos, bem como a maneiraem que estes estão conectados.Em seguida são apresentados alguns dos principais modelos de transformadorestrifásicos existentes na literatura. Os modelos visam representar os bancos detransformadores monofásicos e os transformadores trifásicos de dois e trêsenrolamentos, onde podem ser observadas todas as particularidades que envolvem arepresentação dos transformadores trifásicos.
  40. 40. Capítulo IIIModelo de Transformador Trifásico PropostoIII.1 Considerações IniciaisA metodologia que utiliza matrizes primitivas para representar os transformadorestrifásicos tem se apresentado como uma ferramenta matematicamente robusta e de fácilimplementação. No intuito de contribuir com as ferramentas para análise dos sistemasde distribuição, que normalmente são altamente desequilibrados, exigindo que a redeelétrica seja representada por seus modelos completos, apresenta-se neste capítulo umnovo modelo de transformador trifásico baseado nesta mesma metodologia onde omesmo difere dos demais modelos apresentados até aqui, principalmente quanto à formade obter a matriz de admitância primitiva, bem como ao cálculo da mesma em valorespor unidade.A seguir são descritos detalhadamente os conceitos utilizados na elaboração domodelo de transformador trifásico proposto por este trabalho.III.2 Modelo Proposto para Representar os TransformadoresTrifásicos de DistribuiçãoIII.2.1 Determinação da Matriz Admitância Primitiva para oTransformador TrifásicoO primeiro passo para se determinar o modelo de transformador descrito nestetrabalho, é a obtenção de sua matriz de admitância primitiva. Esta matriz não representauma conexão particular do transformador e pode ser obtida através da inversão damatriz impedância primitiva. Neste trabalho iremos considerar um transformadortrifásico de distribuição, com núcleo de três pernas e com dois enrolamentos nosecundário para cada fase. Desta maneira é possível representar os transformadorestrifásicos de três enrolamentos e ligações como a estrela ziguezague.
  41. 41. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto28A Figura 7 ilustra o circuito magnético equivalente para este transformador. Ospontos marcados nas bobinas indicam o sentido positivo da tensão induzida.VAsIBpIBsIBtIAtIAsIApICpICsICtVBpVBtVApVAtVCpVCtVBs VCsFigura 7 – Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico de três enrolamentos.Por inspeção pode-se observar que o circuito magnético da Figura 7 pode serrepresentado por uma matriz de impedância primitiva contendo as impedâncias própriase mútuas entre as fases do transformador, como mostra a Equação (3.1).Ap ApBp ApCp ApAs ApBs ApCs ApAt ApBt ApCtBpAp Bp BpCp BpAs BpBs BpCs BpAt BpBt BpCtCpAp CpBp Cp CpAs CpBs CpCs CpAt CpBt CpCtAsAp AsBp AsCp As AsBs AsCs AsAt AsBt AsCtBsAp BsBp BsCp BsAs BprimZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z ZZ = s BsCs BsAt BsBt BsCtCsAp CsBp CsCp CsAs CsBs Cs CsAt CsBt CsCtAtAp AtBp AtCp AtAs AtBs AtCs At AtBt AtCtBtAp BtBp BtCp BtAs BtBs BtCs BtAt Bt BtCtCtAp CtBp CtCp CtAs CtBs CtCs CtAt CtBt CtZ Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦(3.1)Onde:, ep s t : Representam as grandezas do primário, secundário e terciáriorespectivamente., eA B C : Representam as fases.
  42. 42. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto29Na Equação (3.1) somente as impedâncias da diagonal principal da matrizpossuem parte real, devido às resistências dos enrolamentos do transformador, comomostra a Equação (3.2).p p p p p p p s p s p s p t p t p tp p p p p p p s p s p s p t p t p tp p p p p p p s p s p s p t p t p ts p s p s p s sA A A B A C A A A B A C A A A B A CB A B B B C B A B B B C B A B B B CC A C B C C C A C B C C C A C B C CA A A B A C A AprimR jX jX jX jX jX jX jX jX jXjX R jX jX jX jX jX jX jX jXjX jX R jX jX jX jX jX jX jXjX jX jX R jXZ++++=s s s s s t s t s ts p s p s p s s s s s s s t s t s ts p s p s p s s s s s s s t s t s tt p t p t p t s t s t s t t t t t tA B A C A A A B A CB A B B B C B A B B B C B A B B B CC A C B C C C A C B C C C A C B C CA A A B A C A A A B AC A A A B ACjX jX jX jX jXjX jX jX jX R jX jX jX jX jXjX jX jX jX jX R jX jX jX jXjX jX jX jX jX jX R jX jX jXjX+++t p t p t p t s t s t s t t t t t tt p t p t p t s t s t s t t t t t tB A B B B C B A B B B C B A B B B CC A C B C C C A B B C C C A C B B BjX jX jX jX jX jX R jX jXjX jX jX jX jX jX jX jX R jX⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦(3.2)Escrevendo a Equação (3.1) na sua forma compacta, utilizando submatrizescontendo as impedâncias primitivas dos ramos, tem-se:ABC ABC ABCp ps ptABC ABC ABC ABCprim sp s stABC ABC ABCtp ts tZ Z ZZ Z Z ZZ Z Z⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦(3.3)Para que o modelo de transformador proporcione bons resultados é necessário queos valores de todas estas impedâncias sejam conhecidos. Considerando a naturezarecíproca da impedância mútua, o que torna a matriz da Equação (3.1) simétrica, paradeterminar todos os elementos desta matriz, basta conhecer os elementos da partetriangular superior. As resistências dos enrolamentos do transformador podem serobtidas a partir da folha de dados do transformador ou determinadas facilmente pormedição direta da resistência ou através do ensaio de curto-circuito. Para determinar asreatâncias serão feitas as seguintes considerações em relação às indutâncias próprias emútuas do transformador:• Indutâncias próprias dos enrolamentos primário, secundário e terciário.Ap Bp CpL L L= = (3.4)
  43. 43. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto30As Bs CsL L L= = (3.5)At Bt CtL L L= = (3.6)• Indutâncias mútuas entre os enrolamentos primário e secundário, primário eterciário e secundário e terciário de mesma fase.ApAs BpBs CpCsL L L= = (3.7)ApAt BpBt CpCtL L L= = (3.8)AsAt BsBt CsCtL L L= = (3.9)• Indutâncias mútuas entre os enrolamentos de fases diferentes.ApBp BpCp CpApL L L= = (3.10)AsBs BsCs CsAsL L L= = (3.11)AtBt BtCt CtAtL L L= = (3.12)ApBs ApCs BpAs BpCs CpAs CpBsL L L L L L= = = = = (3.13)AsBt AsCt BsAt BsCt CsAt CsBtL L L L L L= = = = = (3.14)ApBt ApCt BpAt BpCt CpAt CpBtL L L L L L= = = = = (3.15)A indutância é definida como sendo o enlace de fluxo dividido pela correnteelétrica que o produz (COMPTON, 1943):LIλ= (3.16)O enlace de fluxo em um enrolamento k será :1Mk i iiNλ φ== ∑ (3.17)Onde:
  44. 44. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto31M é o número de espiras do enrolamento k;Φi é fluxo que atravessa a i-ésima espira.O fluxo magnético é a razão entre a força magnetomotriz e a relutância do circuitomagnético.NIφ =ℜ(3.18)Desta forma, sem considerar o tipo de núcleo ou o número de bobinas dotransformador as indutâncias próprias e mútuas podem ser obtidas de acordo com asEquações (3.19) e (3.20) respectivamente.2pp dNL L= +ℜ(3.19)2mNL = ±ℜ(3.20)Onde:dL : É a indutância de dispersão.As indutâncias próprias são compostas de duas parcelas: uma devido ao fluxo dedispersão e a outra devido ao fluxo de magnetização. Devido ao caráter construtivo donúcleo trifásico, algumas indutâncias mútuas em um transformador possuem sinaisnegativos. Esta particularidade será observada nas indutâncias mútuas entre osenrolamentos de fases diferentes.Substituindo o circuito magnético que representa o transformador trifásico de trêsenrolamentos mostrado na Figura 7 pelo seu análogo elétrico como ilustra a Figura 8,onde é considerado que o fluxo magnetizante de projeto leva a uma relutância constante(Compton, 1943), cada perna do circuito magnético pode ser modelada por umarelutância 1R em série com uma força magnetomotriz; esta é dada pelo produto donúmero de espiras pela corrente elétrica que nela circula ( NI ).
  45. 45. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto32R1 R1R1N p IAp N p ICpN p IBpN s IAs N s ICsN s IBsN t ICtN t IBtN t IAtFigura 8- Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico com um enrolamento noprimário e dois enrolamentos no secundário para cada fase.Desta forma utilizando-se os conceitos anteriormente descritos as indutânciasdenotadas nas Equações (3.4) a (3.15), serão determinadas de acordo com as equaçõesa seguir:• Indutâncias próprias.2123fmf d mfNL LR= + (3.21)• Indutâncias mútuas de mesma fase.12, com3f gmfmgN NL f gR= ≠ (3.22)• Indutâncias mútuas de fases diferentes.11, com3f gmfngN NL m nR= − ≠ (3.23)Onde:,m n : Representam as fases A,B ou C.
  46. 46. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto33,f g : Representa o primário (p), secundário (s) ou terciário (t) do transformador.N : É o número de espiras de cada bobina.Como pode ser observado pela Equação (3.22), para um transformador com estetipo de núcleo, a indutância de magnetização vista do primário em relação ao secundáriopode ser expressa pela Equação (3.24).123p sMN NLR= (3.24)Nas Equações (3.21), (3.22) e (3.23) a relutância 1R é uma variável indesejável,visto que, para se determinar a mesma deve-se conhecer a permeabilidade do materialferromagnético do qual o núcleo do transformador foi fabricado, seu comprimentomédio e sua área, parâmetros importantes no projeto do transformador masindisponíveis nas folhas de dados do transformador. Para contornar esta dificuldade,explicita-se a relutância 1R na Equação (3.24), substituindo-a nas equações (3.21),(3.22) e (3.23) e multiplicando-as por jω as reatâncias primitivas serão calculadaspelas equações:2fmf dmf Mp sNjX jX jXN N= + (3.25), comf gmfmg Mp sN NjX jX f gN N= ≠ (3.26)1, com2f gmfng Mp sN NjX jX m nN N= − ≠ (3.27)Onde:dX : É a reatância de dispersão.MX : É a reatância de magnetização vista do primário.Com as manipulações feitas anteriormente pode-se determinar a matriz deimpedância primitiva da Equação (3.1) bastando-se conhecer as reatâncias de dispersão,
  47. 47. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto34a reatância de magnetização e as resistências dos enrolamentos. Estes parâmetros sãofacilmente obtidos pelos ensaios de curto-circuito e de circuito aberto ou fornecidospelos fabricantes. O número de espiras dos enrolamentos dos transformadoresnormalmente não são conhecido, mas, devido ao fato de se operar somente com razõesentre espiras nas Equações (3.25) a (3.27), pode-se considerar que tais relações sãoiguais as próprias tensões em suas bobinas.A matriz de admitância primitiva que representa o transformador é dada pelaEquação (3.28).1prim primY Z−= (3.28)III.2.2 Representação das Impedâncias de Aterramento deTransformadoresEm configurações nas quais os enrolamentos dos transformadores são ligados emestrela, o ponto comum da ligação, ou ponto neutro, pode apresentar as seguintescaracterísticas em relação ao nó terra:1. Neutro do transformador não aterrado;2. Neutro do transformador aterrado por impedâncias;3. Neutro do transformador solidamente aterrado.Para que o modelo possa retratar os transformadores com precisão, estes tipos deligações devem ser representados (IRVING, 2003). Uma forma eficaz de representarestas conexões é acrescentar linhas e colunas adicionais na Equação (3.1) o que leva àEquação (3.29).
  48. 48. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto350 0 00 0 00 0 00 0 0Ap ApBp ApCp ApAs ApBs ApCs ApAt ApBt ApCtBpAp Bp BpCp BpAs BpBs BpCs BpAt BpBt BpCtCpAp CpBp Cp CpAs CpBs CpCs CpAt CpBt CpCtAsAp AsBp AsCp As AsBs AsCs AsAt AsBt AsCtBsAp BsBpprimZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ ZZ =0 0 00 0 00 0 00 0 0BsCp BsAs Bs BsCs BsAt BsBt BsCtCsAp CsBp CsCp CsAs CsBs Cs CsAt CsBt CsCtAtAp AtBp AtCp AtAs AtBs AtCs At AtBt AtCtBtAp BtBp BtCp BtAs BtBs BtCs BtAt Bt BtCtCtAp CtBp CtCp CtAs CtBsZ Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0CtCs CtAt CtBt CtnpnsntZ Z ZZZZ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦(3.29)Onde:, enp ns ntZ Z Z : Representam as impedâncias de aterramento do neutro do ladoprimário, secundário e terciário respectivamente.Na sua forma compacta, temos:0000 0 0ABC ABC ABCp ps ptABC ABC ABCsp s stABCprim ABC ABC ABCtp ts tpstterraZ Z ZZ Z ZZZ Z ZZ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦(3.30)Para representar um transformador conectado em estrela, com o ponto neutro nãoaterrado, utiliza-se como artifício de cálculo, a substituição da impedância deaterramento do neutro por um número de valor elevado. Analogamente, para representaruma ligação em estrela com o neutro do transformador solidamente aterrado, aimpedância de aterramento é substituída por um número de valor muito baixo. Nostestes realizados verificou-se que valores da ordem de 1010e 10-10apresentaram bonsresultados.
  49. 49. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto36III.2.3 Cálculo da Matriz Admitância Primitiva em Valores porUnidade (P.U.)O modelo de transformador descrito no presente trabalho permite utilizar a suamatriz de impedância primitiva expressa em ohms ou em valores por unidade. Caso sejanecessário representar os transformadores em valores por unidade, conhecendo-se asbases do sistema em uso e as impedâncias primitivas dos ramos, pode-se calcular amatriz de impedância primitiva da Equação (3.3) em p.u. Para tanto ,considera-se aEquação (3.31) relacionando tensões e correntes nos terminais dos enrolamentos dotransformador trifásico:ABC ABC ABC ABC ABCp p ps pt pABC ABC ABC ABC ABCs sp s st sABC ABC ABC ABC ABCt tp ts t tV Z Z Z IV Z Z Z IV Z Z Z I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦(3.31)Pré-multiplicando o vetor de tensões pela matriz identidade da Equação (3.32) e ovetor de correntes pela Equação (3.33), a Equação (3.31) não se altera e após efetuar-seuma pequena manipulação algébrica, pode ser reescrita pela Equação (3.34).( )( )( )1, ,1, ,1, ,p b p bV s b s bt b t bV VI V VV V−−−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦(3.32)( )( )( )1, ,1, ,1, ,p b p bI s b s bt b t bI II I II I−−−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦(3.33)( )( )( )( )( )( )1 11, ,, ,1, , ,1, ,,ABC ABCABC ABC ABCp b p p b pp b p ps pt p bABC ABC ABC ABCs b s s b sp s st s bABC ABC ABCABC t b tp ts t t bt b tZ puV puV V I IV Z Z Z IV V V Z Z Z IV Z Z Z IV V− −−−−⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ 1444444444244444444431442443( )( )( )1,1,ABCs b sABCt b tI puI II I−−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1442443(3.34)
  50. 50. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto37Onde:, , , , eABC ABC ABC ABC ABC ABCp s t p s tV V V I I I : São os vetores contendo os valores dastensões e correntes de fase do primário, secundário e terciário respectivamente., , , , , ,, , , , ep b s b t b p b s b t bV V V I I I : São matrizes diagonais contendo as tensões ecorrentes de fase tomadas como bases para o primário, secundário e terciáriorespectivamente.Efetuando-se os cálculos na Equação (3.34) a matriz de impedância primitiva emp.u. para o transformador é calculada pela Equação (3.35), de uma maneira simples, semcolocar em dúvida quais serão os valores de tensão e correntes bases que se deva utilizarem relação as impedância mútuas.( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1, , , , , ,1 1 1, , , , , ,1 1 1, , , , , ,ABC ABC ABCp b p p b p b ps s b p b pt t bABC ABC ABC ABCprim s b sp p b s b s s b s b st t bABC ABC ABCt b tp p b t b ts s b t b t t bV Z I V Z I V Z IZ pu V Z I V Z I V Z IV Z I V Z I V Z I− − −− − −− − −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦(3.35)III.2.4 Determinação da Equação de Mudança de BaseNo estudo dos sistemas elétricos utilizando-se valores por unidade, normalmentese escolhe um valor de potência e tensão base para os quais as grandezas elétricas detodos os equipamentos da rede devem estar referenciadas. Para um transformador cujosparâmetros são dados em p.u. tendo sido usados como bases os seus valores nominaisde potência e tensão a matriz de impedância primitiva em p.u. nas bases dotransformador pode ser convertida para a base do sistema através da Equação (3.36).( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )p p ps ps pt ptnprim sp sp s s st sttp tp ts ts t tZ pu W Z pu W Z pu WZ pu Z pu W Z pu W Z pu WZ pu W Z pu W Z pu W⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦(3.36)
  51. 51. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto38Onde:( ) ( ) ( )1 1, , , ,n np p b p b p b p bW pu V I V I− −=( ) ( ) ( )1 1, , , ,n nps p b s b p b s bW pu V I V I− −=( ) ( ) ( )1 1, , , ,n npt p b t b p b t bW pu V I V I− −=( ) ( ) ( )1 1, , , ,n nsp s b p b s b p bW pu V I V I− −=( ) ( ) ( )1 1, , , ,n ns s b s b s b s bW pu V I V I− −=( ) ( ) ( )1 1, , , ,n nst s b t b s b t bW pu V I V I− −=( ) ( ) ( )1 1, , , ,n ntp t b p b t b p bW pu V I V I− −=( ) ( ) ( )1 1, , , ,n nts t b s b t b s bW pu V I V I− −=( ) ( ) ( ) 1,1,,,−−= btnbtnbtbtt IVIVpuW, , , , , ,, , , , en n n n n np b s b t b p b s b t bV V V I I I : São as matrizes diagonais contendo as tensões ecorrentes da nova base.III.2.5 Representação das Conexões dos TransformadoresAs várias conexões dos transformadores serão representadas pela matriz deincidência nodal, como descrito na seção II.3.2. No modelo de transformador proposto,o transformador trifásico possui dois enrolamentos no secundário para cada fase, ondeos mesmos podem ser conectados em série ou em paralelo, formando um transformadortrifásico de dois enrolamentos ou os mesmos podem possuir ligações distintas, comoapresentadas em transformadores trifásicos de três enrolamentos. Além das diversasconexões apresentadas na Tabela 1, a Tabela 3 apresenta mais algumas conexões quepodem ser representadas pelo modelo de transformador proposto.
  52. 52. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto39Tabela 3 – Principais ligações para o transformador trifásico de três enrolamentos com as duas bobinas dosecundário possuindo conexões distintasTipos de Ligações para o Transformador de Três EnrolamentosPrimário Secundário Terciário Primário Secundário TerciárioYaterrado Yaterrado Yaterrado Y Y YYaterrado Yaterrado Delta Y Y DeltaYaterrado Delta Yaterrado Y Delta YYaterrado Delta Delta Y Delta DeltaDelta Yaterrado Yaterrado Delta Y YDelta Yaterrado Delta Delta Y DeltaDelta Delta Yaterrado Delta Delta YDelta Delta Delta Delta Delta DeltaComo exemplo, considere o transformador trifásico descrito pela Figura 7 comseu primário ligado em delta e os enrolamentos do secundário conectados em série e emestrela solidamente aterrado, como mostra a Figura 9.VApVBpVCpIApIBpICpVAsVBsVCsIAsIBsICsVNsZns InsVAstVBstVCstT (terra)Figura 9– Transformador de três enrolamentos conectado em Delta – Yaterrado.A matriz de incidência nodal para este exemplo é dada pela Equação (3.37).
  53. 53. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto40⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−1000000000110000000001001000001010000000001001000010010000000001001000000000010100000001100000000011V|V|V|V|V|V|V|V|V|VTVVVVVVVVVVVVVVVVVVVNsCstBstAstCsBsAsCpBpApNsNsCstCstCsNsBstBstBsNsAstAstAsApCpCpBpBpAp(3.37)Para um transformador de três enrolamentos, com seu primário e terciárioconectados em delta e o seu secundário em estrela, como ilustra a Figura 10, tem comomatriz de incidência nodal a Equação(3.38).VApVBpVCpIApIBpICpVAsVBsVCsIAsIBsICsVNsZns InsVAtIAtIBtVBtICtVCtT(terra)Figura 10– Transformador de três enrolamentos conectado em delta – estrela – delta.
  54. 54. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto41⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−−1000000000010100000001100000000011000000101010000010010100001001001000000000010100000001100000000011V|V|V|V|V|V|V|V|V|VTVVVVVVVVVVVVVVVVVVVNsCtBtAtCsBsAsCpBpApNsAtCtCtBtBtAtNsCsNsBsNsAsApCpCpBpBpAp(3.38)III.2.5.1 Conexões com as polaridades InvertidasNa determinação das equações que regem o modelo de transformador trifásicoproposto foram consideradas as polaridades das bobinas, observando-se o circuitomagnético que representa o transformador ilustrado pela Figura 7, onde os pontosmarcados nas bobinas indicam o sentido positivo da corrente elétrica.Desta forma, se o transformador for conectado como na Figura 9, será obtida umadefasagem angular de +30º entre as tensões de fase do primário e do secundário, devidoà conexão Delta - Yaterrado. Se a polaridade das bobinas do lado delta forem invertidase o transformador também for conectado em Delta - Yaterrado como mostra a Figura11, resultará uma defasagem de –30º entre as referidas tensões de fase. A matriz deincidência nodal para esta ligação é dada por (3.39).
  55. 55. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto42VApVBpVCpIApIBpICpVAsVBsVCsIAsIBsICsVNsZns InsVAstVBstVCstT(terra)Figura 11– Transformador de três enrolamentos conectado em Delta – Yaterrado com suas bobinasinvertidas.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−1000000000110000000001001000001010000000001001000010010000000001001000000000011000000000110000000011V|V|V|V|V|V|V|V|V|VTVVVVVVVVVVVVVVVVVVVNsCstBstAstCsBsAsCpBpApNsNsCstCstCsNsBstBstBsNsAstAstAsApCpCpBpBpAp(3.39)Devido a esta propriedade, pode-se considerar as conexões indicadas nas Tabelas1 e 3, com as polaridades diretas ou invertidas obtendo assim novas possíveisconfigurações.III.2.5.2 Problema da Falta de Referência devido a Conexão DeltaUtilizando o Modelo de Transformador Proposto
  56. 56. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto43Como descrito na seção II.3.2.1 a conexão dos enrolamentos do transformador emdelta, leva os programas desenvolvidos para o cálculo do fluxo de potência aapresentarem problemas numéricos devido a falta de elementos ligados a referência.Durante as simulações que serão apresentadas neste trabalho, verificou-se que aorepresentar as linhas trifásicas por seu circuito pi equivalente, conforme ilustra a Figura12, ou matematicamente pelas Equações (3.40) e (3.41), este problema foicompletamente eliminado. É importante ressaltar que este procedimento foi verificado econsiderado satisfatório utilizando o modelo de transformador proposto. Não foramrealizados testes empregando outros modelos de transformadores.ZCCCZBBZAAZBCZACZABBAYshAA YshBB YshCC YshAA YshBB YshCCYshAB YshBCYshACYshABYshBCYshACK mFigura 12– Circuito π equivalente de uma linha trifásica a parâmetros concentrados.AA AB AC AA AB AC AA AB ACABC BA BB BC BA BB BC BA BB BCCA CB CC CA CB CC CA CB CCZ Z Z r r r X X XZ Z Z Z r r r j X X XZ Z Z r r r X X X⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦(3.40)AA AB ACABC BA BB BCCA CB CCbsh bsh bshYsh j bsh bsh bshbsh bsh bsh⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦(3.41)Para os sistemas de distribuição o efeito capacitivo das linhas pode serdesprezado, assim matematicamente adota-se o artifício de substituir o termo emderivação por um número de valor pequeno, por exemplo, 10-10. Com esta técnicaassegura-se a não existência do termo em derivação e a presença de elementos
  57. 57. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto44conectados a referência do lado delta. Desta forma, utilizando-se o modelo detransformador proposto e o modelo pi equivalente para as linhas de transmissão, não foinecessário elaborar nenhum método de implementação especial para representar aligação delta, como desenvolvido em (DUGAN,2003).III.2.6 Matriz Admitância de Barras para o TransformadorA matriz que representa o transformador conectado é dada pela Equação (3.42).tbarra primY A Y A= (3.42)Onde:tA : É a matriz de incidência transposta.III.3 Exemplo NuméricoNesta seção a metodologia proposta para representar os transformadores trifásicosde distribuição é utilizada para representar um transformador trifásico de trêsenrolamentos, onde o primário, secundário e terciário foram conectados em Delta-Yaterrado-Yaterrado respectivamente.A Tabela 4 apresenta os parâmetros necessários para utilização do modelo detransformador proposto. As resistências dos seus enrolamentos foram desprezadas.Tabela 4 – Dados do transformador trifásico de três enrolamentosVp/Vs/Vt(V)S(VA)Xds(Ω)XM(Ω)508/220/220 2400 0,1350 311,44Será admitido que o número de espiras de cada bobina é igual à própria tensãonominal. As reatâncias de dispersão do primário e terciário podem ser obtidas referindo-se a reatância de dispersão do secundário.
  58. 58. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto45A matriz de impedância primitiva para o transformador expressa em ohms écalculada pelas Equações (3.25), (3.26) e (3.27).⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=10101010005,78935,38935,38870,77935,38935,38440,311720,155720,155935,38005,78935,38935,38870,77935,38720,155440,311720,155935,38935,38005,78935,38935,38870,77720,155720,155440,311870,77935,38935,38005,78935,38935,38440,311720,155720,155935,38870,77935,38935,38005,78935,38720,155440,311720,155935,38935,38870,77935,38935,38005,78720,155720,155440,311440,311720,155720,155440,311720,155720,155752,1247796,622796,622720,155440,311720,155720,155440,311720,155796,622752,1247796,622720,155720,155440,311720,155720,155440,311796,622796,622752,1247jprimZ (3.43)Considerando os valores das tensões de fase do transformador apresentado naTabela 4 como valores base, a matriz de impedância primitiva em valores por unidade écalculada de acordo com a Equação (3.35), resultando:( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=−−10101010869,3931,1931,1862,3931,1931,1696,6348,3348,3931,1869,3931,1931,1862,3931,1348,3696,6348,3931,1931,1869,3931,1931,1862,3348,3348,3696,6862,3931,1931,1869,3931,1931,1696,6348,3348,3931,1862,3931,1931,1869,3931,1348,3696,6348,3931,1931,1862,3931,1931,1869,3348,3348,3696,6696,6348,3348,3696,6348,3348,3627,11804,5804,5348,3696,6348,3348,3696,6348,3804,5627,11804,5348,3348,3696,6348,3348,3696,6804,5804,5627,11jpuZ prim (3.44)De acordo com a teoria clássica do sistema p.u., as impedâncias dostransformadores quando expressas em valores por unidade são as mesmas em ambos oslados do transformador, característica que pode ser observada na Equação (3.44). Casoseja necessário determinar a matriz de impedância primitiva em uma nova base, porexemplo, para uma base de 10KVA de potência e considerando as mesmas tensões base,pode-se utilizar a Equação (3.36), onde o resultado é descrito pela Equação (3.45).
  59. 59. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto46( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=10101010363,48140,24140,24280,48140,24140,24696,83848,41848,41140,24363,48140,24140,24280,48140,24848,41696,83848,41140,24140,24363,48140,24140,24280,48848,41848,41696,83280,48140,24140,24363,48140,24140,24696,83848,41848,41140,24280,48140,24140,24363,48140,24848,41696,83848,41140,24140,24280,48140,24140,24363,48848,41848,41696,83696,83848,41848,41696,83848,41848,41343,145546,72546,72848,41696,83848,41848,41696,83848,41546,72343,145546,72848,41848,41696,83848,41848,41696,83546,72546,72343,145jpuprimZ (3.45)A matriz de incidência nodal para o transformador com estas configurações deenrolamento é dada pela Equação (3.46). A matriz admitância de barras que representao transformador pode ser calculada pela Equação (3.42) e é dada pela Equações (3.47) e(3.48) para as bases de 0,8KVA e 10KVA respectivamente.1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1A−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦(3.46)( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=028,4480343,149343,149343,1490000000028,448000343,149343,149343,149000343,1490168,116587,16587,16174,33587,16587,16705,280705,28343,1490587,16168,116587,16587,16174,33587,16705,28705,280343,1490587,16587,16168,116587,16587,16174,330705,28705,280343,149174,33587,16587,16168,116587,16587,16705,280705,280343,149587,16174,33587,16587,16168,116587,16705,28705,2800343,149587,16587,16174,33587,16587,16168,1160705,28705,2800705,28705,280705,28705,280272,66136,33136,33000705,28705,280705,28705,28136,33272,66136,3300705,280705,28705,280705,28136,33136,33272,66jpuYbarra (3.47)
  60. 60. Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto47( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=842,350947,11947,11947,110000000842,35000947,11947,11947,11000947,110293,9327,1327,1654,2327,1327,1296,20296,2947,110327,1293,9327,1327,1654,2327,1296,2296,20947,110327,1327,1293,9327,1327,1654,20296,2296,20947,11654,2327,1327,1293,9327,1327,1296,20296,20947,11327,1654,2327,1327,1293,9327,1296,2296,200947,11327,1327,1654,2327,1327,1293,90296,2296,200296,2296,20296,2296,20302,5651,2651,2000296,2296,20296,2296,2651,2302,5651,200296,20296,2296,20296,2651,2651,2302,5jpubarraY (3.48)Redução de Kron para os nós de neutro:( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=587,16587,16587,16174,33587,16587,16705,280705,28140,24168,116587,16587,16174,33587,16705,28705,280587,16587,16168,116587,16587,16174,330705,28705,28174,33587,16587,16168,116587,16587,16705,280705,28587,16174,33587,16587,16168,116587,16705,28705,280587,16587,16174,33587,16587,16168,1160705,28705,28705,28705,280705,28705,280272,66136,33136,330705,28705,280705,28705,28136,33272,66136,33705,280705,28705,280705,28136,33136,33272,66jpubarraY (3.49)( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ` ]

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