Apostila so bre transformadores trifásicos.

MODELAGEM DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE DISTRIBUIÇÃO
PARA ESTUDOS DE FLUXO DE POTÊNCIA
FABRÍCIO LUIZ SILVA
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DE JUIZ DE FORA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS
PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA
ELÉTRICA.
Aprovada por:
__________________________________________________
Prof. Márcio de Pinho Vinagre, D.Sc - Orientador - UFJF.
__________________________________________________
Prof. José Luiz Resende Pereira, Ph.D.
__________________________________________________
Prof. Paulo Augusto Nepomuceno Garcia , D.Sc.
__________________________________________________
Prof. Sandoval Carneiro Junior, Ph.D.
JUIZ DE FORA, MG – BRASIL
SETEMBRO DE 2004

ii
SILVA, FABRÍCIO LUIZ
Modelagem de Transformadores
Trifásicos de Distribuição para Estudos de
Fluxo de Potência [Juiz de Fora] 2004
XV, 99 p. 29,7 cm, il. (UFJF, M.Sc.,
Engenharia Elétrica, 2004)
Tese – Universidade Federal de Juiz de
Fora
1. Modelagem de Transformadores Trifásicos
2. Fluxo de Potência Trifásico
3. Sistemas de Distribuição
I. UFJF II. Título (Série)

iii
A minha noiva Lucimare e em especial
minha filha Ana Letícia

iv
AGRADECIMENTOS
Ao Professor Márcio de Pinho Vinagre pela excelente orientação e amizade
durante todo o trabalho, o que foi de fundamental importância para o meu
aprimoramento profissional.
A minha mãe Elza Domingos e minha tia Dalva Faria pelo apoio e incentivo
durante a realização deste trabalho.
Ao LABSPOT (Laboratório de Sistemas de Potência da Faculdade de Engenharia
Elétrica da Universidade Federal de Juiz de Fora), pela disponibilidade de utilização de
recursos computacionais.
Ao LABSEL (Laboratório de Sistemas Eletrônicos da Faculdade de Engenharia
Elétrica da Universidade Federal de Juiz de Fora), pela disponibilidade de utilização de
recursos técnicos.
Ao amigo Leandro Ramos Araújo pelas discussões técnicas e pelo apoio na
implementação computacional.
Aos colegas do curso de mestrado em Engenharia Elétrica da UFJF, pelo apoio à
realização deste trabalho.
Ao corpo docente do curso de mestrado em Engenharia Elétrica da UFJF, pelos
conhecimentos obtidos durante o curso.
Ao CNPq pelo suporte financeiro.
Aos meus familiares e amigos, pelo incentivo durante toda a realização do curso.

v
Resumo da Dissertação apresentada à UFJF como parte dos requisitos necessários para
a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
MODELAGEM DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE DISTRIBUIÇÃO
PARA ESTUDOS DE FLUXO DE POTÊNCIA
Setembro / 2004
Orientador: Márcio de Pinho Vinagre, D.Sc.
Programa: Engenharia Elétrica
Este trabalho propõe um modelo matemático para representar os transformadores
trifásicos de distribuição em estudos de fluxo de potência utilizando coordenadas de
fase. O transformador trifásico é representado por uma matriz de admitância obtida
através da análise de seu circuito magnético equivalente. O modelo exige como dados
de entrada, as reatâncias de dispersão, a reatância de magnetização e as resistências dos
seus enrolamentos, parâmetros estes obtidos por ensaios normalizados pelos fabricantes.
As várias possibilidades de conexões dos transformadores trifásicos são facilmente
representadas pela matriz de incidência nodal apropriada. Além disso, não há limitações
na representação de transformadores de núcleo envolvido ou envolvente. O modelo
apresenta uma grande robustez numérica, além de permitir a representação de
transformadores trifásicos de três enrolamentos e a utilização de impedâncias de
aterramento em ambos os lados do transformador, de tal forma que o condutor neutro
possa ser detalhadamente representado.
O modelo de transformador proposto foi incorporado ao fluxo de potência trifásico pelo
método de injeção de correntes (MICT) implementado em MATLAB. A metodologia
proposta foi testada e comparada com resultados experimentais obtidos em laboratório,
permitindo assim a validação do modelo.

vi
Abstract of Dissertation presented to UFJF as a partial fulfillment of the requirements
for the degree of Master of Sciences (M.Sc.).
THREE-PHASE DISTRIBUTION TRANSFORMERS MODELING TO LOAD
FLOW STUDIES
September / 2004
Supervisor: Márcio de Pinho Vinagre, D.Sc.
Department: Electrical Engineering
This work proposes a mathematical model to represent three-phase distribution
transformers for load flow studies using phase-coordinates. The three-phase
transformers are represented by admittance matrix obtained from transformers
equivalent magnetic circuit analysis. As input data, the model requires the leakage
reactance, magnetizing reactance and resistances of the transformer windings; these
parameters are easily obtained from standard tests. Using node incidence matrix easily
represents the various possible three-phase transformers connections. Moreover, there
are no restrictions for representation of either the core-type or shell-type transformers.
The model presents numerical robustness and also permits the representation of the
three-winding transformers and the utilization of the grounding impedance on both sides
of the transformer, in such a way that the neutral conductor can be represented.
The transformer model proposed has been incorporated in a three-phase power flow
using the current injection method (TCIM) in MATLAB. The proposed model has been
implemented and the results compared with the ones obtained from laboratory tests, in
order to validate the model.

vii
Índice
Lista de Figuras.................................................................................................................x
Lista de Tabelas...............................................................................................................xii
Capítulo I - Introdução ..................................................................................................... 1
I.1 Considerações Iniciais....................................................................................... 1
I.2 Revisão Bibliográfica ........................................................................................ 2
I.3 Objetivos da Dissertação ................................................................................... 5
I.4 Principais Contribuições da Dissertação ........................................................... 5
I.5 Estrutura da Dissertação.................................................................................... 6
Capítulo II - Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos para
Estudos de Fluxo de Potência...................................................................... 8
II.1 Considerações Iniciais....................................................................................... 8
II.2 Aspectos Básicos Sobre Modelagem de Transformadores Trifásicos............... 9
II.3 Representação dos Transformadores Trifásicos no Problema de Fluxo de
Potência ........................................................................................................... 10
II.3.1Matriz Admitância Primitiva.................................................................. 11
II.3.2Matriz de Incidência Nodal .................................................................... 14
II.3.2.1 Problemas na Representação da Conexão dos Enrolamentos dos
Transformadores em Delta. ..................................................... 17
II.3.3Matriz Admitância de Barras.................................................................. 18
II.4 Principais Modelos de Transformadores Trifásicos........................................ 19
II.4.1Transformadores Trifásicos Representados por Bancos de
Transformadores Monofásicos ............................................................... 19
II.4.1.1 Modelo de Transformador Trifásico Descrito em CHEN e
DILLON (1974)....................................................................... 19
II.4.2Transformadores Trifásicos de Dois Enrolamentos ............................... 22
II.4.2.1 Modelo de Transformador Trifásico Descrito em GORMAN e
GRAINGER (1992a) e (1992b)............................................... 22
II.4.2.2 Modelo de Transformador Descrito em DUGAN e SANTOSO
(2003) ...................................................................................... 23

viii
II.5 Sumário do Capítulo........................................................................................ 26
Capítulo III - Modelo de Transformador Trifásico Proposto ......................................... 27
III.1 Considerações Iniciais..................................................................................... 27
III.2 Modelo Proposto para Representar os Transformadores Trifásicos de
Distribuição ..................................................................................................... 27
III.2.1Determinação da Matriz Admitância Primitiva para o Transformador
Trifásico.................................................................................................. 27
III.2.2 Representação das Impedâncias de Aterramento de Transformadores 34
III.2.3 Cálculo da Matriz Admitância Primitiva em Valores por Unidade (P.U.)
................................................................................................................ 36
III.2.4 Determinação da Equação de Mudança de Base.................................. 37
III.2.5 Representação das Conexões dos Transformadores............................. 38
III.2.5.1 Conexões com as polaridades Invertidas................................. 41
III.2.5.2 Problema da Falta de Referência devido a Conexão Delta
Utilizando o Modelo de Transformador Proposto................... 42
III.2.6 Matriz Admitância de Barras para o Transformador............................ 44
III.3 Exemplo Numérico.......................................................................................... 44
III.4 Sumário do Capítulo........................................................................................ 47
Capítulo IV - Resultados ................................................................................................ 48
IV.1 Considerações Gerais ...................................................................................... 48
IV.2 Modelos de Componentes dos Sistemas Testes .............................................. 48
IV.2.1 Modelos Reais...................................................................................... 49
IV.2.1.1 Fonte de Potência .................................................................... 49
IV.2.1.2 Linhas de Distribuição............................................................. 49
IV.2.1.3 Transformadores...................................................................... 50
IV.2.1.4 Cargas...................................................................................... 51
IV.2.2 Modelos Matemáticos para Simulação de Resultados ......................... 52
IV.2.2.1 Fonte de Potência .................................................................... 52
IV.2.2.2 Linhas de Distribuição............................................................. 53
IV.2.2.3 Transformadores...................................................................... 53
IV.2.2.4 Cargas...................................................................................... 54
IV.3 Equipamento de Medição................................................................................ 55

ix
IV.4 Metodologia Utilizada para Comparar os Resultados das Medições e
Simulações....................................................................................................... 55
IV.5 Sistema Teste de 6 Barras Radial .................................................................... 56
IV.5.1 Cargas Desequilibradas........................................................................ 57
IV.5.2 Cargas Altamente Desequilibradas ...................................................... 61
IV.6 Sistema Teste de 6 Barras em Anel................................................................. 63
IV.6.1 Cargas Desequilibradas........................................................................ 63
IV.7 Sistema Teste Radial de 5 Barras .................................................................... 66
IV.8 Sumário do Capítulo........................................................................................ 67
Capítulo V - Conclusões................................................................................................. 69
V.1 Considerações Gerais ...................................................................................... 69
V.2 Trabalhos Futuros............................................................................................ 70
Apêndice A – Fluxo de Potência Trifásico pelo Método de Injeção de Correntes..........71
Bibliografia......................................................................................................................83

x
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Diagrama para representar os transformadores trifásicos............................. 10
Figura 2 – Tipos de configurações de núcleos trifásicos. (a) Núcleo trifásico de três
pernas (b) Núcleo trifásico de quatro pernas (c) Núcleo trifásico de cinco
pernas............................................................................................................ 12
Figura 3 – Transformador trifásico de dois enrolamentos conectado em Yaterrado –
delta. ............................................................................................................. 16
Figura 4 – Sub-rede isolada devido a conexão delta. ..................................................... 17
Figura 5 – Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico de dois
enrolamentos................................................................................................. 23
Figura 6 – Esquema de ligação para um transformador trifásico de dois enrolamentos
conectado em Y-Delta. ................................................................................. 25
Figura 7 – Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico de três
enrolamentos................................................................................................. 28
Figura 8- Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico com um
enrolamento no primário e dois enrolamentos no secundário para cada fase. 32
Figura 9– Transformador de três enrolamentos conectado em Delta – Yaterrado......... 39
Figura 10– Transformador de três enrolamentos conectado em delta – estrela – delta.. 40
Figura 11– Transformador de três enrolamentos conectado em Delta – Yaterrado com
suas bobinas invertidas................................................................................. 42
Figura 12– Circuito π equivalente de uma linha trifásica a parâmetros concentrados... 43
Figura 13– Linha de distribuição trifásica construída em núcleo de ferrite................... 50
Figura 14– Transformadores trifásicos utilizados nos sistemas testes. .......................... 51
Figura 15– Cargas trifásicas representadas por lâmpadas incandescentes..................... 52
Figura 16– Fonte de potência trifásica conectada em estrela aterrada. .......................... 53
Figura 17– Esquema de ligação para carga ligada em estrela: (a) Monofásica (b)Bifásica
(c) Trifásica .................................................................................................. 54
Figura 18– Medidor utilizado nas medições................................................................... 55
Figura 19– Sistema teste de 6 barras radial.................................................................... 56
Figura 20– Visão panorâmica do sistema teste de 6 barras radial no laboratório .......... 57
Figura 21– Sistema teste de 6 barras em anel................................................................. 63
Figura 22– Sistema teste de 5 barras radial.................................................................... 66

xi
Figura 23 – Organograma para o algoritmo de solução do fluxo de potência trifásico
pelo método de injeção de correntes............................................................. 82

xii
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Ligações comuns para os transformadores trifásicos ................................... 15
Tabela 2 - Submatrizes usadas na formulação da matriz admitância de barras ............. 21
Tabela 3 – Principais ligações para o transformador trifásico de três enrolamentos com
as duas bobinas do secundário possuindo conexões distintas ...................... 39
Tabela 4 – Dados do transformador trifásico de três enrolamentos ............................... 44
Tabela 5 – Parâmetros das linhas de distribuição dos sistemas testes obtidos através de
medições....................................................................................................... 50
Tabela 6 – Parâmetros dos transformadores trifásicos obtidos pelos ensaios de circuito
aberto e de curto-circuito.............................................................................. 51
Tabela 7 – Potências ativas e reativas consumidas pelas cargas desequilibradas do
sistema radial de 6 barras ............................................................................. 57
Tabela 8 – Módulos e ângulos das tensões nas barras do sistema de 6 barras radial,
contendo cargas desequilibradas .................................................................. 58
Tabela 9 – Módulos e ângulos das correntes nos circuitos do sistema de 6 barras radial,
contendo cargas desequilibradas .................................................................. 58
Tabela 10 – Tensões de linha nas barras do sistema de 6 barras radial.......................... 59
Tabela 11 – Soma fasorial das correntes nos circuitos do sistema de 6 barras radial .... 59
Tabela 12 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculados e medidos,
nas barras com conexão estrela do sistema de 6 barras radial alimentando
cargas desequilibradas............................................................................... 60
Tabela 13 – Comparação entre os módulos das tensões de linha calculados e medidos,
nas barras com conexão delta do sistema de 6 barras radial alimentando
cargas desequilibradas............................................................................... 60
Tabela 14 – Comparação entre os módulos das correntes nos circuitos calculados e
medidos no sistema de 6 barras radial apresentando cargas desequilibradas
................................................................................................................... 61
Tabela 15 – Potências ativas e reativas consumidas pelas cargas altamente
desequilibradas no sistema radial de 6 barras............................................... 61
Tabela 16 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculadas e medidas,
nas barras com conexão estrela do sistema de 6 barras radial alimentando
cargas altamente desequilibradas.................................................................. 62

xiii
Tabela 17 – Comparação entre os módulos das tensões de linha calculadas e medidas,
nas barras com conexão delta do sistema de 6 barras radial com cargas
altamente desequilibradas............................................................................. 62
Tabela 18 – Comparação entre os módulos das correntes calculadas e medidas nos
circuitos do sistema de 6 barras radial alimentando cargas altamente
desequilibradas ............................................................................................. 62
Tabela 19 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculadas e medidas nas
barras com conexão estrela do sistema de 6 barras em anel com cargas
desequilibradas ............................................................................................. 64
nas barras com conexão delta do sistema de 6 barras em anel alimentando
cargas desequilibradas.................................................................................. 64
Tabela 21 – Comparação entre os módulos das correntes calculadas e medidas, nos
circuitos do sistema de 6 barras em anel com cargas desequilibradas ......... 64
Tabela 22 – Comparação entre os módulos das tensões de fase nas barras com conexão
estrela do sistema de 6 barras em anel com ramais monofásicos e bifásicos.
...................................................................................................................... 65
Tabela 23 – Comparação entre os módulos das tensões de linha nas barras com conexão
delta do sistema de 6 barras em anel com ramais monofásicos e bifásicos.. 65
Tabela 24 – Comparação entre os módulos das correntes nos circuitos do sistema de 6
barras em anel com ramais monofásicos e bifásicos.................................... 65
Tabela 25 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculadas e medidas nas
barras com conexão estrela do sistema de 5 barras radial alimentando cargas
altamente desequilibradas............................................................................. 67
nas barras com conexão delta do sistema de 5 barras radial alimentando
cargas altamente desequilibradas.................................................................. 67
Tabela 27 – Comparação entre os módulos das correntes calculadas e medidas nos
circuitos do sistema de 5 barras radial com cargas altamente desequilibradas
...................................................................................................................... 67

Capítulo I
Introdução
I.1 Considerações Iniciais
Os sistemas de distribuição de energia elétrica em geral são grandes e complexos,
e as empresas distribuidoras de energia elétrica procuram cada vez mais operá-los de
forma otimizada, buscando a redução dos custos operacionais assim como a redução das
perdas de energia. Em paralelo aos aspectos anteriormente descritos, a crescente
penetração da informática em todas as atividades econômicas, a automação de linhas de
produção juntamente com complexos processos industriais, vêm tornando crescentes as
exigências dos consumidores em relação à qualidade e à confiabilidade dos serviços de
fornecimento de energia elétrica. Dentro deste cenário têm-se elevado o número de
medições e simulações com o objetivo de assegurar a mais completa integridade dos
sistemas de distribuição de energia elétrica.
A análise destes sistemas através de medições permite verificar o exato estado da
rede elétrica, porém para que as medidas efetuadas sejam confiáveis necessita-se da
experiência prévia de técnicos e engenheiros, além de equipamentos sofisticados que
normalmente possuem um custo elevado. Devido ao tamanho dos sistemas de
distribuição torna-se praticamente inviável a instalação de equipamentos de medição em
todos os pontos do mesmo, restringindo assim consideravelmente o seu estudo.
Com o desenvolvimento dos programas voltados para o estudo dos sistemas
elétricos de potência, a análise através de simulações apresenta-se como uma alternativa
eficiente, pois possibilita avaliar todo o sistema, desde as subestações de distribuição até
os ramais secundários que interligam os consumidores ao mesmo. Estas ferramentas
permitem ainda avaliar o sistema para diferentes cenários, onde se podem fazer
previsões quanto ao estado da rede elétrica com grande precisão.
Porém, para que seja feito um estudo consistente dos sistemas de distribuição
através de simulações são necessárias ferramentas robustas, onde o cálculo do fluxo de
potência se destaca como sendo uma das ferramentas mais utilizadas no estudo do
planejamento, controle e operação dos sistemas elétricos de potência. Além disso, é

Capítulo I - Introdução
2
imprescindível que os vários componentes destes sistemas (condutores,
transformadores, geradores, cargas, etc) sejam representados por modelos matemáticos
adequados que reproduzam seus comportamentos reais. Os parâmetros de entrada
requeridos pelos modelos também são importantes, pois dados incorretos levarão aos
usuários dos programas resultados errôneos, podendo ocasionar sérios erros na operação
e planejamento dos sistemas de distribuição.
Dentre os dispositivos que compõem tais sistemas, o transformador pode ser
considerado como sendo o equipamento mais comum. Contudo, a incorporação dos
transformadores em ferramentas de análise de sistemas elétricos trifásicos pode ser
problemática devido ao grande número destes equipamentos na rede, à variedade de
conexões e às formas de representação (DUGAN, 2003). Assim, o impacto dos
inúmeros transformadores no estudo dos sistemas de distribuição de energia elétrica é
significante, pois os mesmos afetam as perdas no sistema, os métodos de aterramento,
as estratégias de proteção, etc.
Devido à grande importância dos modelos de transformadores trifásicos na análise
computacional, demandando cada vez mais o desenvolvimento de novas ferramentas
para o estudo dos sistemas elétricos de distribuição, surge assim, uma motivação para o
desenvolvimento de modelos mais abrangentes de transformadores.
I.2 Revisão Bibliográfica
Muitos modelos de componentes dos sistemas de distribuição são limitados à
análise de sistemas trifásicos equilibrados. Estes modelos são construídos supondo que
o sistema trifásico opera em condições de equilíbrio e desta forma adota-se uma
modelagem monofásica (seqüência positiva) para o problema. Considerando o circuito
monofásico equivalente na análise, são muitos os trabalhos que apresentam algoritmos
de solução do fluxo de potência, bem como modelos de componentes dos sistemas
elétricos, entre os quais se destacam TINNEY (1967); DOMMEL (1970); STOTT
(1974); MONTICELLI (1983) e DA COSTA (1999).
Entretanto, para sistemas de distribuição de energia elétrica, a simplificação
adotada não é suficiente para sua correta avaliação, pois estes sistemas são em geral
altamente desequilibrados, devido as diferentes cargas conectadas as fases, a assimetria

3
das linhas sem transposição e da existência de circuitos monofásicos, bifásicos e
trifásicos. Sendo assim é de fundamental importância o desenvolvimento de ferramentas
e modelos de componentes para a análise dos sistemas elétricos trifásicos (CHEN e
DILLON, 1974); (CHENG, 1995); (GARCIA, 2000); (GARCIA, 2001) e
(MAYORDOMO, 2002).
A referência CHEN e DILLON (1974) propõe um modelo de transformador
trifásico que possibilita representar as suas várias conexões comuns. Neste modelo os
transformadores trifásicos são representados por bancos de transformadores
monofásicos, desprezando-se assim o acoplamento magnético existente entre as fases do
transformador. Devido a algumas simplificações adotadas durante a elaboração deste
modelo, o mesmo apresenta certa dificuldade numérica em representar os
transformadores trifásicos cujos enrolamentos estejam conectados em delta.
Buscando solucionar os problemas numéricos apresentados pelo modelo de
transformador trifásico desenvolvido em CHEN e DILLON (1974) a referência CHEN
et al (1991) apresenta um aperfeiçoamento deste modelo de transformador, onde os
autores utilizam uma técnica de implementação na qual é usado um método de injeção
de correntes, possibilitando assim que a ligação dos enrolamentos do transformador em
delta possa ser representada. Em CARNEIRO E MARTINS (2003) foi desenvolvido um
trabalho que compara a matriz de admitância de barras que representa o transformador
obtido com o modelo descrito em CHEN E DILLON (1974) com uma matriz cujos
elementos foram determinados através de medições, onde pode ser verificado que as
aproximações feitas em tal modelo apresentam valores que são de certa forma
aceitáveis.
Em GORMAN e GRAINGER (1992a) e (1992b) os transformadores trifásicos são
modelados a partir da análise de seu circuito magnético equivalente, onde o mesmo é
representado por uma matriz de permeância dividida em duas componentes: uma
relacionada com o núcleo ferromagnético e a outra relacionada com os caminhos de
dispersão. Neste modelo para se determinar a matriz de admitância de barras que
representa o transformador é necessário conhecer o valor da permeabilidade magnética
do núcleo, seu comprimento médio e a sua área. Estes parâmetros em muitos casos não
são conhecidos e são difíceis de se obter, o que dificulta o uso do modelo.
No modelo desenvolvido em DUGAN e SANTOSO (2003) os transformadores
trifásicos são modelados em coordenadas de fase, onde se utiliza como parâmetros de

4
entrada as impedâncias próprias e mútuas entre as bobinas do transformador obtidas
através de medições e expressas em Ohms.
Nos sistemas de distribuição e industriais são encontrados diferentes tipos de
conexões para os transformadores trifásicos visando atender os seus inúmeros
consumidores e otimizar a operação e o planejamento do sistema. Sendo assim, para que
os modelos de transformadores trifásicos possam ser utilizados sem nenhuma limitação
quanto ao tipo de ligação de seus enrolamentos, os mesmos devem permitir que todas
estas conexões sejam representadas.
Com este objetivo a referência CHEN e CHANG (1996) propõe um modelo de
transformador trifásico que também permite representar as ligações delta aberto e Scott.
Neste modelo os transformadores trifásicos são considerados como ideais e as suas
cargas e perdas são agrupadas de maneira que o conjunto seja representado por cargas
equivalentes. Para conexões de transformadores diferentes das apresentadas no trabalho,
devem ser determinadas as novas equações que representam o transformador.
Nas referências CHEN et al (1996); DUGAN (2004) e KERSTING (2004) são
modelados os transformadores monofásicos com derivação central conectados em banco
trifásico possibilitando a alimentação de cargas monofásicas e trifásicas
simultaneamente.
Em CHEN e GUO (1996) é dada atenção especial às ligações delta aberto, Scott,
Le Blanc e Modified-Woodbridge, onde o circuito equivalente para o transformador é
obtido em componentes simétricos.
Na referência BARAN e STATON (1997) é proposto um método para inclusão
dos transformadores de distribuição na análise de alimentadores baseado em injeções de
correntes atualizadas usando-se o procedimento de ‘forward-backward sweep’.
Em HONG e WANG (1997) são investigados os impactos das diferentes
conexões dos transformadores trifásicos e dos modelos de cargas em um sistema de
potência desequilibrado. O modelo de transformador proposto no trabalho é derivado de
uma nova matriz de impedância primitiva constituída por elementos de seqüência
positiva, negativa e zero. São avaliados os modelos de carga do tipo potência constante
e impedância constante.
Os transformadores de três enrolamentos são encontrados freqüentemente em
aplicações onde existe a necessidade de utilização de duas tensões. Em OOMEN e
KOHLER (1999) é apresentado um modelo de transformador de três enrolamentos onde
o mesmo é modelado como um sistema de três barras na qual são desprezadas as

5
impedâncias mútuas entre o secundário e o terciário. De outra maneira, no modelo
apresentado em MOORTHY e HOADLEY (2002) os transformadores são modelados
em coordenadas de fase onde se podem representar os transformadores de dois e três
enrolamentos incorporando os efeitos dos acoplamentos entre as fases.
Em IRVING e AL-OTHMAN (2003) é desenvolvido um modelo de
transformador que permite representar as suas várias configurações de impedâncias de
aterramento do ponto neutro, onde os transformadores trifásicos são representados por
bancos de transformadores monofásicos.
I.3 Objetivos da Dissertação
Observa-se uma grande quantidade de artigos técnicos que enfocam a modelagem
dos transformadores, evidenciando a grande importância dos modelos de
transformadores trifásicos no estudo dos sistemas de distribuição. A maioria dos
modelos de transformadores quando incorporados em ferramentas para análise trifásica
destes sistemas apresentam alguma dificuldade, seja devido a problemas numéricos
inerentes a simplificações adotadas durante a modelagem, seja pela necessidade de
muitos parâmetros de entrada para o modelo. Esta dissertação tem como objetivo a
apresentação de um modelo geral que permita representar os transformadores trifásicos
de distribuição de dois ou três enrolamentos com suas inúmeras formas de conexões
para análise de sistemas trifásicos equilibrados e desequilibrados. Como o banco
trifásico de transformadores, matematicamente, é um caso particular do transformador
trifásico a modelagem aqui apresentada também se aplica a bancos trifásicos de
transformadores, mais freqüentes em sistemas de transmissão de energia elétrica.
I.4 Principais Contribuições da Dissertação
As principais contribuições desta dissertação podem ser resumidas nos seguintes
pontos:

6
• A modelagem proposta permite determinar a matriz de admitância
primitiva completa para representar os transformadores trifásicos através
da análise de seu circuito magnético equivalente;
• A necessidade de apenas alguns parâmetros dos transformadores como
dados de entrada, os quais podem ser obtidos por ensaios normalizados por
fabricantes, o que facilita o uso do modelo de transformador trifásico
proposto;
• O desenvolvimento de um modelo geral que permite representar tanto os
transformadores trifásicos de dois ou três enrolamentos e os bancos de
transformadores monofásicos quanto as diferentes conexões dos
transformadores de distribuição, além de se poder representar mais do que
um enrolamento por fase;
• A possibilidade de representar as impedâncias de aterramento de
transformadores;
• O desenvolvimento de um modelo matemático robusto
computacionalmente podendo ser inserido nos programas para o cálculo
do fluxo de potência sem alterar a eficiência dos métodos de solução;
• A elaboração de um método para determinar a matriz de admitância nodal
em p.u., não deixando dúvidas quanto aos valores que devem ser
escolhidos como bases para o transformador, evitando assim o uso
inadequado de bases.
I.5 Estrutura da Dissertação
Além deste capítulo, esta dissertação contém mais quatro capítulos e um apêndice,
os quais serão descritos sucintamente a seguir.
O Capítulo II apresenta as várias características importantes que devem ser
observadas durante a modelagem de transformadores e também uma breve revisão dos
principais modelos de transformadores trifásicos disponíveis na literatura.
No Capítulo III são apresentados os conceitos da modelagem do transformador
trifásico proposto por este trabalho. É apresentado também um exemplo numérico com
o objetivo de ilustrar a metodologia proposta.

7
No Capítulo IV são apresentados e discutidos os resultados referentes às
aplicações do modelo de transformador trifásico proposto em estudos de fluxo de
potência utilizando-se pequenos sistemas testes desenvolvidos em laboratório.
E finalmente no Capítulo V encontram-se as principais conclusões deste trabalho,
considerações finais e sugestões para trabalhos futuros.
No Apêndice A é apresentada uma revisão sobre o método de solução do fluxo de
potência trifásico por injeção de correntes (MICT), pois esta foi à ferramenta utilizada
para a análise dos sistemas trifásicos descritos neste trabalho.

Capítulo II
Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores
Trifásicos para Estudos de Fluxo de Potência
II.1 Considerações Iniciais
Atualmente, o grande interesse em se representar os sistemas de potência por seus
modelos trifásicos têm levado a importantes debates com o objetivo de estabelecer
regras para a sua correta modelagem. Estes debates envolvem discussões a respeito de
qual seria a melhor ferramenta de análise dos sistemas elétricos, colocando em
confronto a modelagem utilizando o método dos componentes simétricos e a
modelagem em coordenadas de fase. Têm se discutido também como os programas para
análise dos sistemas de potência devem ser desenvolvidos, seja com os seus parâmetros
expressos em valores reais da rede (volts, amperes, ohms) ou expressos em valores por
unidade (p.u.) (DUGAN, 2003).
O tradicional sistema por unidade e o método dos componentes simétricos foram
desenvolvidos para facilitar os cálculos manuais para os sistemas trifásicos com
diferentes níveis de tensão. Muitos engenheiros defendem a idéia de que a melhor
maneira de representar o sistema elétrico é utilizando o sistema p.u. Por outro lado estão
os que se opõem ao uso destas metodologias na representação dos sistemas de potência,
tendo como premissa que a forma correta de se trabalhar com o sistema elétrico é
utilizando a sua modelagem em coordenadas de fase com os parâmetros da rede
expressos por seus valores reais. Entre as principais vantagens oferecidas por tais
metodologias, citadas em DUGAN (2003), pode-se destacar o fato de que estes valores
são características dos equipamentos, não estando sujeitos a alterações providas de
aplicações do mesmo, como também elimina a chance de confusão devido à escolha de
valores ambíguos para as bases do sistema.
Segundo DUGAN (2003), com o grande avanço dos microcomputadores,
permitindo efetuar os cálculos de maneira rápida e precisa por mais complexos que
estes sejam e a constante busca em aproximar os valores obtidos através de simulações e

Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos para
Estudos de Fluxo de Potência
9
medições, cria-se uma perspectiva de que a modelagem utilizando coordenadas de fase,
com os parâmetros da rede elétrica expressa por seus verdadeiros valores, seja
escolhida.
Como ainda não existe uma regra que defina a melhor ferramenta para
modelagem dos sistemas elétricos de potência, são muitos os modelos matemáticos que
visam representar os transformadores trifásicos. O objetivo deste capítulo é,
basicamente, apresentar as principais características que devem ser observadas durante a
elaboração de um bom modelo de transformador, a metodologia normalmente
empregada na modelagem, bem como alguns dos principais modelos de
transformadores trifásicos, de maneira a permitir uma comparação e a compreensão das
principais contribuições do modelo de transformador trifásico proposto por este
trabalho.
II.2 Aspectos Básicos Sobre Modelagem de Transformadores
Trifásicos
O procedimento adotado na modelagem de transformadores deve ser adequado de
forma a possibilitar a representação fiel dos vários tipos de transformadores trifásicos
existentes. Normalmente os transformadores são modelados em termos de seus
componentes simétricos. São utilizadas como parâmetros de entrada as suas
impedâncias de dispersão, obtidas através do teste de curto-circuito, expressas em
valores por unidade (p.u.). Em estudos de fluxo de potência os efeitos não lineares da
saturação do núcleo ferromagnético podem ser desprezados. Segundo KERSTING et al
(1999) as principais características que devem ser observadas nos modelos de
transformadores trifásicos são:
• Os modelos de transformadores trifásicos para estudos de fluxo de
potência devem satisfazer as leis de Kirchhoff de tensão e corrente, bem
como as relações existentes entre estas grandezas elétricas nos dois lados
do transformador;
• Os modelos de transformadores trifásicos devem ser capazes de
representar as suas várias formas de conexões;
• Caso exista qualquer mudança no ângulo de fase das grandezas elétricas,
entre primário e secundário resultante de uma conexão em particular, o

10
modelo de transformador deve ser capaz de representar esta diferença de
fase naturalmente, sem a introdução de fatores extras, por exemplo: o
aparecimento inesperado do termo 3 , ou fatores complexos ( 6
π
j
e e
6
π
j
e
−
), forçando o resultado correto;
• Por fim, é de extrema importância, que os modelos de transformadores
trifásicos utilizados nas ferramentas de análise dos sistemas elétricos
apresentem tensões e correntes que se aproximem ao máximo das
grandezas elétricas do equipamento real.
II.3 Representação dos Transformadores Trifásicos no
Problema de Fluxo de Potência
Nas ferramentas trifásicas desenvolvidas para análise dos sistemas de distribuição,
os transformadores trifásicos são representados por uma matriz de admitância de barras
que contém as admitâncias próprias e mútuas entre as fases do transformador e a
informação de como as bobinas dos transformadores estão conectadas. A Figura 1
apresenta um transformador trifásico entre as barras K e M representado por sua matriz
admitância de barras.
YABC
A
K
B C A B C
M
Primário SecundárioMatriz
Admitância de
Barras
Barra
Figura 1 – Diagrama para representar os transformadores trifásicos

11
Uma forma eficiente de obter a matriz que representa o transformador é utilizando
a teoria da matriz primitiva de Kron. Por meio desta metodologia os transformadores
trifásicos são representados a partir de uma matriz de admitância primitiva ( primY ), a
qual é obtida sem levar em consideração a maneira como as bobinas dos
transformadores estão conectadas. Os vários tipos de ligações trifásicas para os
transformadores são representados facilmente pela matriz de incidência nodal ( A ).
Desta forma a matriz de admitância de barras que representa os transformadores
trifásicos com suas respectivas conexões pode ser determinada por um simples produto
de matrizes ( t
barra primY A Y A= ).
Para que se possa compreender como os modelos de transformadores trifásicos
que são apresentados neste trabalho foram desenvolvidos, esta metodologia será descrita
detalhadamente a seguir.
II.3.1 Matriz Admitância Primitiva
Nos sistemas de distribuição de energia elétrica são encontrados inúmeros
transformadores, onde estes assumem comportamentos diferentes devido ao seu aspecto
construtivo e tipos de ligações. Quanto ao aspecto construtivo os transformadores
utilizados nos sistemas trifásicos podem ser trifásicos ou constituídos de bancos de
transformadores monofásicos. Nos primeiros os enrolamentos dos transformadores
estão envoltos ou envolvidos em um único núcleo ferromagnético, de maneira que
exista um total acoplamento magnético entre as fases do transformador. A Figura 2
ilustra alguns tipos de núcleos empregados na construção de transformadores trifásicos.
Os bancos de transformadores são constituídos de três transformadores
monofásicos, agrupados de forma a serem usados como se fosse um transformador
trifásico.

12
(a) (b)
(c)
Figura 2 – Tipos de configurações de núcleos trifásicos. (a) Núcleo trifásico de três pernas (b) Núcleo
trifásico de quatro pernas (c) Núcleo trifásico de cinco pernas
Independentemente do tipo de núcleo empregado na construção dos
transformadores trifásicos, para um transformador com um enrolamento no primário e
um enrolamento no secundário para cada fase, comumente chamado de transformador
trifásico de dois enrolamentos, a matriz de impedância primitiva que o representa é dada
pela Equação (2.1), onde para transformadores construídos em núcleos trifásicos esta
matriz apresenta-se cheia, ou seja, com todos os seus elementos diferentes de zero.
p p p p p p s p s p s
s p s p s p s s s s s
A A B A C A A A B A C
B A B B C B A B B B C
C A C B C C A C B C C
prim
A A A B A C A A B A C
B A B B B C B A A B C
C A C B C C C A C B A
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
Z
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(2.1)

13
Onde:
CBA e, : Representam as fases;
sp e : Representam as grandezas do primário e do secundário respectivamente.
Em bancos de transformadores monofásicos, como os enrolamentos das fases
estão envoltos ou envolvidos em núcleos distintos, as impedâncias mútuas entre as fases
diferentes são nulas, como mostra a Equação (2.2).
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
p p s
p p s
p p s
s p s
s p s
s p s
A A A
B B B
C C C
prim
A A A
B B A
C C A
Z Z
Z Z
Z Z
Z
Z Z
Z Z
Z Z
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(2.2)
A Equação (2.1) pode ser escrita na sua forma compacta, como mostra a Equação
(2.3).
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
= ABC
s
ABC
sp
ABC
ps
ABC
pABC
prim
ZZ
ZZ
Z (2.3)
A matriz de admitância primitiva é calculada por:
( )
1
prim primY Z
−
= (2.4)
Para que se obtenha bons resultados nas simulações todos os elementos que
compõem a matriz de impedância primitiva devem ser determinados. Estes elementos
podem ser obtidos através de medições energizando-se o enrolamento x ( [ ], ,x A B C∈ )
do lado y ( [ ],y p s∈ ) e aplicando-se curto circuito nos demais enrolamentos (GARCIA,
2001). Desta forma todos os elementos da matriz de impedância primitiva serão
calculados pela Equação (2.5).

14
1
1
x
x
xx
I
V
Z = (2.5)
Onde:
1xI : Corrente medida no enrolamento 1x ( [ ]CB,A,1 ∈x ).
xV : Tensão aplicada no enrolamento x .
Assim, para determinar todos os elementos da matriz de impedância primitiva
para um transformador trifásico de dois enrolamentos, considerando a natureza
recíproca da impedância mútua, seriam necessários vinte e um testes de curto-circuito.
Todavia, isto seria inviável devido a enorme quantidade de transformadores existentes
nos sistemas de distribuição.
Visando obter esta matriz de forma algébrica e não através de medições, o tipo de
núcleo empregado na construção do transformador deve ser considerado. A maioria dos
transformadores trifásicos de distribuição são construídos usando o núcleo trifásico de
três pernas, Figura 2-a; assim, praticamente todos os modelos de transformador trifásico
são elaborados considerando que o mesmo foi construído utilizando este tipo de
estrutura. Os modelos de transformadores trifásicos diferenciam-se principalmente
quanto à maneira de determinar os elementos da matriz de impedância primitiva,
buscando sempre um cálculo correto com um mínimo de parâmetros de entrada.
II.3.2 Matriz de Incidência Nodal
Nos sistemas de distribuição de energia elétrica são encontrados vários tipos de
conexões para os transformadores trifásicos. Cada uma destas conexões causa efeitos
diferentes nos transformadores, mudando consideravelmente suas tensões e ângulos de
fase.
A Tabela 1 apresenta algumas das ligações mais comuns para os transformadores
trifásicos.

15
Tabela 1 – Ligações comuns para os transformadores trifásicos
Conexões dos Transformadores
Primário Secundário
Yaterrado Yaterrado
Yaterrado Y
Yaterrado Delta
Y Yaterrado
Y Y
Y Delta
Delta Y
Delta Yaterrado
Delta Delta
Em relação a estas conexões podem ser observadas as seguintes características:
a) Ligação Yaterrado – Delta: Neste tipo de conexão existe uma diferença
angular de –30º entre as tensões de fase do primário e do secundário.
b) Ligação Delta – Yaterrado: Ao contrário da ligação Yaterrado - Delta este
tipo de configuração provoca uma defasagem de +30º entre as tensões de
fase do primário e secundário.
c) Ligação Yaterrado – Yaterrado: Este tipo de ligação é usado para
alimentar cargas monofásicas e trifásicas em um sistema multi-aterrado a
quatro condutores. Diferentemente das conexões Delta - Yaterrado e
Yaterrado - Delta, a mesma não causa diferença angular entre as tensões
de fase dos dois lados do transformador.
d) Ligação Delta – Delta: Esta conexão é utilizada em sistemas trifásicos a
três condutores para alimentar cargas trifásicas em sistemas não
aterrados.
Para representar as várias conexões dos transformadores trifásicos é utilizada a
matriz de incidência nodal, onde esta é dada pela Equação (2.6).

16
11 12 1
21 22 2
1 2
m
m
b b bm
a a a
a a a
A
a a a
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
L
L
L L L M
L
(2.6)
Onde:
1pqa = + Se a corrente no ramo pq está saindo do nó.
1pqa = − Se a corrente no ramo pq está chegando no nó.
0pqa = Se o nó p não está conectado ao nó q.
Como exemplo, considere um transformador trifásico de dois enrolamentos com
seu primário ligado em estrela solidamente aterrado e o seu secundário ligado em delta,
como mostra a Figura 3.
VAp
VBp
VCp
IAp
IBp
ICp
VAs
VBs
VCs
IAs
IBs
ICs
VNp
T (Terra)
Figura 3 – Transformador trifásico de dois enrolamentos conectado em Yaterrado – delta.
A matriz de incidência nodal que representa esta conexão é dada pela Equação
(2.7), onde as linhas da matriz representam os ramos e as colunas os nós.

17
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
1000000
0101000
0110000
0011000
1000100
1000010
1000001
V|V|V|V|V|V|V
TV
VV
VV
VV
VV
VV
VV
NpCsBsAsCpBpAp
Np
AsCs
CsBs
BsAs
NpCp
NpBp
NpAp
(2.7)
A Equação (2.6) pode ser facilmente aplicada para determinar todas as ligações
citadas na Tabela 1, entre outras, que serão apresentadas neste trabalho.
II.3.2.1 Problemas na Representação da Conexão dos Enrolamentos
dos Transformadores em Delta.
Um problema comum que pode ser encontrado na modelagem de transformadores
é a presença de sub-redes isoladas. Isto ocorre, por exemplo, quando se conecta os
enrolamentos do transformador em delta, onde se forma uma sub-rede que não contém
impedâncias ligadas ao nó de referência. Para facilitar a compreensão do problema,
considere a rede ilustrada na Figura 4, formada por dois transformadores e uma linha de
transmissão.
TR1 TR2Linha
terraterra
Sub-rede
isolada
Figura 4 – Sub-rede isolada devido a conexão delta.

18
No cálculo do fluxo de potência obtém-se como resultado os módulos e ângulos
das tensões de fase em relação ao nó de referência, normalmente considerado como
sendo a terra. Na Figura 4 pode-se observar que a sub-rede formada pelo secundário do
transformador TR1, linha de transmissão e primário do transformador TR2, não
apresenta nenhum elemento conectado à referência, impossibilitando assim a
determinação correta das tensões de fase para esta parte da rede, afetando o cálculo de
todas as tensões e correntes do sistema. Esta parte do sistema pode apresentar resultados
imprecisos.
Para solucionar este problema, normalmente é utilizado um dos seguintes métodos
(DUGAN, 2003):
a) Conectar uma impedância de valor elevado entre um dos nós da conexão
delta e a referência;
b) Adicionar elementos de pequeno valor aos elementos diagonais da matriz
primY , de tal maneira que ela se torne inversível;
c) Utilizar um método de implementação onde primeiro conecta-se os
enrolamentos do primário e do secundário em estrela aterrada e logo após
conecta-se o transformador com a verdadeira conexão em que se
encontra.
II.3.3 Matriz Admitância de Barras
Os transformadores trifásicos podem ser descritos por suas matrizes admitâncias
de barras. Esta matriz varia conforme as conexões dos enrolamentos do transformador e
é dada pela Equação (2.8).
t
barra primY A Y A= (2.8)
Onde:
t
A : É a matriz de incidência nodal transposta.

19
II.4 Principais Modelos de Transformadores Trifásicos
II.4.1 Transformadores Trifásicos Representados por Bancos de
Transformadores Monofásicos
II.4.1.1 Modelo de Transformador Trifásico Descrito em CHEN e
DILLON (1974)
Em alguns modelos, os transformadores trifásicos são representados por bancos de
transformadores monofásicos. Em CHEN e DILLON (1974) é descrito um
procedimento interessante utilizando esta metodologia, o qual será detalhado a seguir.
No modelo desenvolvido por CHEN e DILLON (1974) o transformador trifásico
é representado por uma matriz de admitância primitiva dada pela Equação (2.9).
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
p p s
p p s
p p s
s p s
s p s
s p s
A A A
B B B
C C C
prim
A A A
B B A
C C A
Y Y
Y Y
Y Y
Y
Y Y
Y Y
Y Y
−⎡ ⎤
⎢ ⎥
−⎢ ⎥
⎢ ⎥
−⎢ ⎥
= ⎢ ⎥−
⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎣ ⎦
(2.9)
Considerando que os três transformadores monofásicos são idênticos e que ocorre
uma distribuição simétrica do fluxo magnético, as admitâncias próprias das fases A,B e
C serão iguais e representadas por pY e sY para o primário e o secundário
respectivamente. As admitâncias mútuas entre primário e secundário também serão
iguais e representadas por mY , obtendo assim uma matriz de admitância primitiva
simétrica como mostra a Equação (2.10).

20
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
p m
p m
p m
prim
m s
m s
m s
Y Y
Y Y
Y Y
Y
Y Y
Y Y
Y Y
−⎡ ⎤
⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥−
= ⎢ ⎥
−⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.10)
Os autores consideram ainda que ao se trabalhar com a matriz de admitância
primitiva expressa em valores por unidade (p.u.), os valores numéricos de pY , sY e mY
são aproximadamente iguais a admitância de dispersão dY do transformador obtida pelo
ensaio de curto-circuito. Assim para determinar a matriz de admitância primitiva que
representa o transformador trifásico é necessário apenas um parâmetro que pode ser
determinado facilmente. Desta forma a Equação (2.10) pode ser reescrita da seguinte
maneira:
( )
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
d d
d d
d d
prim
d d
d d
d d
Y Y
Y Y
Y Y
Y pu
Y Y
Y Y
Y Y
−⎡ ⎤
⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥−
= ⎢ ⎥
−⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.11)
Utilizando a teoria da matriz de incidência nodal apresentada na seção II.3.2 e
calculando a matriz admitância de barras pela Equação (2.8), pode-se determinar a
matriz admitância de barras para os tipos mais comuns de transformadores através da
Tabela 2.

21
Tabela 2 - Submatrizes usadas na formulação da matriz admitância de barras
Tipo de Conexão Admitância Própria Admitância Mútua
Barra K Barra M ABC
pY ABC
sY ABC
psY ABC
spY
Yaterrado Yaterrado IY IY IY− IY−
Yaterrado Y IIY IIY IIY− IIY−
Yaterrado Delta IY IIY IIIY t
IIIY
Y Yaterrado IIY IIY IIY− IIY−
Y Y IIY IIY IIY− IIY−
Y Delta IIY IIY IIIY t
IIIY
Delta Yaterrado IIY IY t
IIIY IIIY
Delta Y IIY IIY t
IIIY IIIY
Delta Delta IIY IIY IIY− IIY−
Onde:
As matrizes IY , IIY e IIIY são definidas por:
0 0
0 0
0 0
d
I d
d
y
Y y
y
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.12)
2
1
2
3
2
d d d
II d d d
d d d
y y y
Y y y y
y y y
− −⎡ ⎤
⎢ ⎥= − −⎢ ⎥
⎢ ⎥− −⎣ ⎦
(2.13)
0
3
0
3
0
d d
II d d
d d
y y
Y y y
y y
−⎡ ⎤
⎢ ⎥= − −⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
(2.14)
O modelo de transformador elaborado por CHEN e DILLON (1974) tem sido
usado por muitos autores em seus trabalhos voltados para análise dos sistemas elétricos
de potência, mas, recentemente este modelo tem recebido muitas críticas (DUGAN,
2003) , (KERSTING et al, 1999), devido as várias simplificações adotadas na obtenção

22
da matriz admitância primitiva como também referente aos termos
3
1 e
3
3 que
aparecem multiplicando as matrizes das Equações (2.13) e (2.14), pois estas constantes
não aparecem naturalmente ao utilizar a matriz de admitância primitiva da Equação
(2.11) no cálculo da matriz admitância de barras.
Como já era conhecida a principal característica presente nas conexões do
transformador em delta, que é a diferença angular entre as tensões de fase do primário e
do secundário, as constantes anteriormente citadas foram cuidadosamente inseridas no
modelo, de tal maneira a se obter o resultado correto, o que tem sido considerado por
muitos como inaceitável.
II.4.2 Transformadores Trifásicos de Dois Enrolamentos
II.4.2.1 Modelo de Transformador Trifásico Descrito em GORMAN e
GRAINGER (1992a) e (1992b)
No modelo de transformador trifásico descrito em GORMAN e GRAINGER
(1992a) e (1992b), o transformador é representado por uma matriz de impedância
primitiva que pode ser dividida em duas componentes: uma parcela que representa o
núcleo ferromagnético e outra que representa os seus enrolamentos, como mostra a
Equação (2.15).
( ) ( ) ( )443442143421
bobinanucleo Z
db
Z
mnpirm sTKRKsTRpuZ 1+++=
(2.15)
Onde:
mT : É uma matriz que representa o núcleo ferromagnético do transformador.
dT : É uma matriz que representa os caminhos de dispersão.
s : É a freqüência complexa j(2πf).
K e 1K : São constantes relacionadas com a magnetização e a dispersão do núcleo
respectivamente.

23
Os elementos da matriz que representa o núcleo ferromagnético do transformador
( mT ) são determinados pela análise de seu circuito elétrico equivalente, como mostra a
Figura 5, onde é necessário conhecer o valor da relutância do circuito magnético, onde
esta é função da permeabilidade magnética do núcleo, do seu comprimento médio e da
sua área. Estes parâmetros em muitos casos não são conhecidos e são difíceis de se
obter, o que dificulta o uso do modelo.
R1 R1R1
N p IAp N p ICpN p IBp
N s IAs N s ICsN s IBs
Figura 5 – Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico de dois enrolamentos.
A matriz dT é uma matriz diagonal que contém as reatâncias de dispersão, as
quais podem ser determinadas pelo ensaio de curto-circuito do transformador. As
constantes K e 1K são estimadas através de vários ensaios a vazio e em curto-circuito.
Assim utilizando as Equações (2.6) e (2.8) pode-se determinar a matriz de
incidência nodal e a matriz admitância de barras para o transformador respectivamente.
II.4.2.2 Modelo de Transformador Descrito em DUGAN e SANTOSO
(2003)
O método apresentado em DUGAN e SANTOSO (2003) permite determinar os
modelos de transformadores trifásicos de dois ou mais enrolamentos, onde são exigidos
como parâmetros de entrada, a impedância de curto-circuito entre cada par de
enrolamentos e o número de espiras ou tensões nominais de cada enrolamento.
Conhecendo-se as impedâncias de curto-circuito, pode-se determinar uma matriz
de impedância primitiva onde um enrolamento é escolhido como referência, processo

24
semelhante ao usado para formar a matriz de impedância para sistemas de potência com
a barra infinita na referência, desta forma se obtém uma matriz de dimensões (m-1) X
(m-1), onde m é o número de enrolamentos do transformador.
A matriz de impedância primitiva que representa o transformador é dada por:
• Elementos da Diagonal:
( ) ( ) baseprim ZiZsciiZ *1,1, += , para i=1 até m-1 (2.16)
Onde:
( ),SCZ i j : É a impedância de curto-circuito entre os enrolamentos i e j expressa
em p.u.
baseZ : É a impedância base utilizada para converter scZ em valores ôhmicos.
• Demais elementos:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]baseprimprimprim ZiZscjjZiiZjiZ *1,1,,*5,0, +−+= (2.17)
Para representar as conexões dos transformadores o autor propõe um novo método
de implementação, com o objetivo de evitar qualquer problema referente à ligação delta,
onde o transformador tem os seus enrolamentos primário e secundário conectados à
referência antes que a eles sejam aplicadas as suas verdadeiras conexões, como mostra a
Figura 6.

25
N1
:1
Y1
Y1
Y1
N1
:1
N1
:1
1: N2
1: N2
1: N2
Estrela Delta
Yw
Yprim
Figura 6 – Esquema de ligação para um transformador trifásico de dois enrolamentos conectado em Y-
Delta.
A matriz admitância de barras que representa o transformador é dada por:
( ) ttt
primbarra ANBZANBY
1−
= (2.18)
Onde:
B: É uma matriz de incidência com dimensões (m x m-1), cujos elementos são
compostos por 1, -1 e 0;
A: É a matriz de incidência nodal, como descrita na seção II.3.2;
N: É uma matriz diagonal, quadrada, de ordem m que contém como elementos
diferentes de zero, o inverso do número de espiras dos enrolamentos.
O modelo elaborado por DUGAN e SANTOSO (2003) não apresenta fatores que
forçam o aparecimento do resultado correto como em CHEN e DILLON (1974), mas o
mesmo exige que todas as impedâncias próprias e mútuas entre os enrolamentos do
transformador sejam conhecidas, parâmetros estes, como mencionado anteriormente,

26
são difíceis de se obter devido ao grande número de transformadores presentes nos
sistemas de distribuição.
II.5 Sumário do Capítulo
Este capítulo apresenta primeiramente, as principais características que um bom
modelo de transformador trifásico deve apresentar. Foi descrita uma metodologia muito
utilizada para incorporar os transformadores no problema de fluxo de potência
utilizando coordenadas de fase. Os transformadores trifásicos são comumente
representados por uma matriz de admitância de barras, na qual podem ser inseridas as
características do núcleo ferromagnético e de seus enrolamentos, bem como a maneira
em que estes estão conectados.
Em seguida são apresentados alguns dos principais modelos de transformadores
trifásicos existentes na literatura. Os modelos visam representar os bancos de
transformadores monofásicos e os transformadores trifásicos de dois e três
enrolamentos, onde podem ser observadas todas as particularidades que envolvem a
representação dos transformadores trifásicos.

Capítulo III
Modelo de Transformador Trifásico Proposto
III.1 Considerações Iniciais
A metodologia que utiliza matrizes primitivas para representar os transformadores
trifásicos tem se apresentado como uma ferramenta matematicamente robusta e de fácil
implementação. No intuito de contribuir com as ferramentas para análise dos sistemas
de distribuição, que normalmente são altamente desequilibrados, exigindo que a rede
elétrica seja representada por seus modelos completos, apresenta-se neste capítulo um
novo modelo de transformador trifásico baseado nesta mesma metodologia onde o
mesmo difere dos demais modelos apresentados até aqui, principalmente quanto à forma
de obter a matriz de admitância primitiva, bem como ao cálculo da mesma em valores
por unidade.
A seguir são descritos detalhadamente os conceitos utilizados na elaboração do
modelo de transformador trifásico proposto por este trabalho.
III.2 Modelo Proposto para Representar os Transformadores
Trifásicos de Distribuição
III.2.1 Determinação da Matriz Admitância Primitiva para o
Transformador Trifásico
O primeiro passo para se determinar o modelo de transformador descrito neste
trabalho, é a obtenção de sua matriz de admitância primitiva. Esta matriz não representa
uma conexão particular do transformador e pode ser obtida através da inversão da
matriz impedância primitiva. Neste trabalho iremos considerar um transformador
trifásico de distribuição, com núcleo de três pernas e com dois enrolamentos no
secundário para cada fase. Desta maneira é possível representar os transformadores
trifásicos de três enrolamentos e ligações como a estrela ziguezague.

Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto
28
A Figura 7 ilustra o circuito magnético equivalente para este transformador. Os
pontos marcados nas bobinas indicam o sentido positivo da tensão induzida.
VAs
IBp
IBs
IBtIAt
IAs
IAp
ICp
ICs
ICt
VBp
VBt
VAp
VAt
VCp
VCt
VBs VCs
Figura 7 – Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico de três enrolamentos.
Por inspeção pode-se observar que o circuito magnético da Figura 7 pode ser
representado por uma matriz de impedância primitiva contendo as impedâncias próprias
e mútuas entre as fases do transformador, como mostra a Equação (3.1).
Ap ApBp ApCp ApAs ApBs ApCs ApAt ApBt ApCt
BpAp Bp BpCp BpAs BpBs BpCs BpAt BpBt BpCt
CpAp CpBp Cp CpAs CpBs CpCs CpAt CpBt CpCt
AsAp AsBp AsCp As AsBs AsCs AsAt AsBt AsCt
BsAp BsBp BsCp BsAs Bprim
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z ZZ = s BsCs BsAt BsBt BsCt
CsAp CsBp CsCp CsAs CsBs Cs CsAt CsBt CsCt
AtAp AtBp AtCp AtAs AtBs AtCs At AtBt AtCt
BtAp BtBp BtCp BtAs BtBs BtCs BtAt Bt BtCt
CtAp CtBp CtCp CtAs CtBs CtCs CtAt CtBt Ct
Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎦
(3.1)
Onde:
, ep s t : Representam as grandezas do primário, secundário e terciário
respectivamente.
, eA B C : Representam as fases.

29
Na Equação (3.1) somente as impedâncias da diagonal principal da matriz
possuem parte real, devido às resistências dos enrolamentos do transformador, como
mostra a Equação (3.2).
p p p p p p p s p s p s p t p t p t
s p s p s p s s
A A A B A C A A A B A C A A A B A C
B A B B B C B A B B B C B A B B B C
C A C B C C C A C B C C C A C B C C
A A A B A C A A
prim
R jX jX jX jX jX jX jX jX jX
jX R jX jX jX jX jX jX jX jX
jX jX R jX jX jX jX jX jX jX
jX jX jX R jX
Z
+
+
+
+
=
s s s s s t s t s t
s p s p s p s s s s s s s t s t s t
s p s p s p s s s s s s s t s t s t
t p t p t p t s t s t s t t t t t t
A B A C A A A B A C
C A C B C C C A C B C C C A C B C C
A A A B A C A A A B AC A A A B AC
jX jX jX jX jX
jX jX jX jX R jX jX jX jX jX
jX jX jX jX jX R jX jX jX jX
jX jX jX jX jX jX R jX jX jX
jX
+
+
+
C A C B C C C A B B C C C A C B B B
jX jX jX jX jX jX R jX jX
jX jX jX jX jX jX jX jX R jX
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
+⎢ ⎥
⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(3.2)
Escrevendo a Equação (3.1) na sua forma compacta, utilizando submatrizes
contendo as impedâncias primitivas dos ramos, tem-se:
ABC ABC ABC
p ps pt
ABC ABC ABC ABC
prim sp s st
ABC ABC ABC
tp ts t
Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(3.3)
Para que o modelo de transformador proporcione bons resultados é necessário que
os valores de todas estas impedâncias sejam conhecidos. Considerando a natureza
recíproca da impedância mútua, o que torna a matriz da Equação (3.1) simétrica, para
determinar todos os elementos desta matriz, basta conhecer os elementos da parte
triangular superior. As resistências dos enrolamentos do transformador podem ser
obtidas a partir da folha de dados do transformador ou determinadas facilmente por
medição direta da resistência ou através do ensaio de curto-circuito. Para determinar as
reatâncias serão feitas as seguintes considerações em relação às indutâncias próprias e
mútuas do transformador:
• Indutâncias próprias dos enrolamentos primário, secundário e terciário.
Ap Bp CpL L L= = (3.4)

30
As Bs CsL L L= = (3.5)
At Bt CtL L L= = (3.6)
• Indutâncias mútuas entre os enrolamentos primário e secundário, primário e
terciário e secundário e terciário de mesma fase.
ApAs BpBs CpCsL L L= = (3.7)
ApAt BpBt CpCtL L L= = (3.8)
AsAt BsBt CsCtL L L= = (3.9)
• Indutâncias mútuas entre os enrolamentos de fases diferentes.
ApBp BpCp CpApL L L= = (3.10)
AsBs BsCs CsAsL L L= = (3.11)
AtBt BtCt CtAtL L L= = (3.12)
ApBs ApCs BpAs BpCs CpAs CpBsL L L L L L= = = = = (3.13)
AsBt AsCt BsAt BsCt CsAt CsBtL L L L L L= = = = = (3.14)
ApBt ApCt BpAt BpCt CpAt CpBtL L L L L L= = = = = (3.15)
A indutância é definida como sendo o enlace de fluxo dividido pela corrente
elétrica que o produz (COMPTON, 1943):
L
I
λ
= (3.16)
O enlace de fluxo em um enrolamento k será :
1
M
k i i
i
Nλ φ
=
= ∑ (3.17)
Onde:

31
M é o número de espiras do enrolamento k;
Φi é fluxo que atravessa a i-ésima espira.
O fluxo magnético é a razão entre a força magnetomotriz e a relutância do circuito
magnético.
NI
φ =
ℜ
(3.18)
Desta forma, sem considerar o tipo de núcleo ou o número de bobinas do
transformador as indutâncias próprias e mútuas podem ser obtidas de acordo com as
Equações (3.19) e (3.20) respectivamente.
2
pp d
N
L L= +
ℜ
(3.19)
2
m
N
L = ±
ℜ
(3.20)
Onde:
dL : É a indutância de dispersão.
As indutâncias próprias são compostas de duas parcelas: uma devido ao fluxo de
dispersão e a outra devido ao fluxo de magnetização. Devido ao caráter construtivo do
núcleo trifásico, algumas indutâncias mútuas em um transformador possuem sinais
negativos. Esta particularidade será observada nas indutâncias mútuas entre os
enrolamentos de fases diferentes.
Substituindo o circuito magnético que representa o transformador trifásico de três
enrolamentos mostrado na Figura 7 pelo seu análogo elétrico como ilustra a Figura 8,
onde é considerado que o fluxo magnetizante de projeto leva a uma relutância constante
(Compton, 1943), cada perna do circuito magnético pode ser modelada por uma
relutância 1R em série com uma força magnetomotriz; esta é dada pelo produto do
número de espiras pela corrente elétrica que nela circula ( NI ).

32
R1 R1R1
N p IAp N p ICpN p IBp
N s IAs N s ICsN s IBs
N t ICtN t IBtN t IAt
Figura 8- Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico com um enrolamento no
primário e dois enrolamentos no secundário para cada fase.
Desta forma utilizando-se os conceitos anteriormente descritos as indutâncias
denotadas nas Equações (3.4) a (3.15), serão determinadas de acordo com as equações
a seguir:
• Indutâncias próprias.
2
1
2
3
f
mf d mf
N
L L
R
= + (3.21)
• Indutâncias mútuas de mesma fase.
1
2
, com
3
f g
mfmg
N N
L f g
R
= ≠ (3.22)
• Indutâncias mútuas de fases diferentes.
1
1
, com
3
f g
mfng
N N
L m n
R
= − ≠ (3.23)
Onde:
,m n : Representam as fases A,B ou C.

33
,f g : Representa o primário (p), secundário (s) ou terciário (t) do transformador.
N : É o número de espiras de cada bobina.
Como pode ser observado pela Equação (3.22), para um transformador com este
tipo de núcleo, a indutância de magnetização vista do primário em relação ao secundário
pode ser expressa pela Equação (3.24).
1
2
3
p s
M
N N
L
R
= (3.24)
Nas Equações (3.21), (3.22) e (3.23) a relutância 1R é uma variável indesejável,
visto que, para se determinar a mesma deve-se conhecer a permeabilidade do material
ferromagnético do qual o núcleo do transformador foi fabricado, seu comprimento
médio e sua área, parâmetros importantes no projeto do transformador mas
indisponíveis nas folhas de dados do transformador. Para contornar esta dificuldade,
explicita-se a relutância 1R na Equação (3.24), substituindo-a nas equações (3.21),
(3.22) e (3.23) e multiplicando-as por jω as reatâncias primitivas serão calculadas
pelas equações:
2
f
mf dmf M
p s
N
jX jX jX
N N
= + (3.25)
, comf g
mfmg M
p s
N N
jX jX f g
N N
= ≠ (3.26)
1
, com
2
f g
mfng M
p s
N N
jX jX m n
N N
= − ≠ (3.27)
Onde:
dX : É a reatância de dispersão.
MX : É a reatância de magnetização vista do primário.
Com as manipulações feitas anteriormente pode-se determinar a matriz de
impedância primitiva da Equação (3.1) bastando-se conhecer as reatâncias de dispersão,

34
a reatância de magnetização e as resistências dos enrolamentos. Estes parâmetros são
facilmente obtidos pelos ensaios de curto-circuito e de circuito aberto ou fornecidos
pelos fabricantes. O número de espiras dos enrolamentos dos transformadores
normalmente não são conhecido, mas, devido ao fato de se operar somente com razões
entre espiras nas Equações (3.25) a (3.27), pode-se considerar que tais relações são
iguais as próprias tensões em suas bobinas.
A matriz de admitância primitiva que representa o transformador é dada pela
Equação (3.28).
1
prim primY Z−
= (3.28)
III.2.2 Representação das Impedâncias de Aterramento de
Transformadores
Em configurações nas quais os enrolamentos dos transformadores são ligados em
estrela, o ponto comum da ligação, ou ponto neutro, pode apresentar as seguintes
características em relação ao nó terra:
1. Neutro do transformador não aterrado;
2. Neutro do transformador aterrado por impedâncias;
3. Neutro do transformador solidamente aterrado.
Para que o modelo possa retratar os transformadores com precisão, estes tipos de
ligações devem ser representados (IRVING, 2003). Uma forma eficaz de representar
estas conexões é acrescentar linhas e colunas adicionais na Equação (3.1) o que leva à
Equação (3.29).

35
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Ap ApBp ApCp ApAs ApBs ApCs ApAt ApBt ApCt
BpAp Bp BpCp BpAs BpBs BpCs BpAt BpBt BpCt
CpAp CpBp Cp CpAs CpBs CpCs CpAt CpBt CpCt
AsAp AsBp AsCp As AsBs AsCs AsAt AsBt AsCt
BsAp BsBp
prim
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z
Z =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
BsCp BsAs Bs BsCs BsAt BsBt BsCt
CsAp CsBp CsCp CsAs CsBs Cs CsAt CsBt CsCt
AtAp AtBp AtCp AtAs AtBs AtCs At AtBt AtCt
BtAp BtBp BtCp BtAs BtBs BtCs BtAt Bt BtCt
CtAp CtBp CtCp CtAs CtBs
Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
CtCs CtAt CtBt Ct
np
ns
nt
Z Z Z
Z
Z
Z
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(3.29)
Onde:
, enp ns ntZ Z Z : Representam as impedâncias de aterramento do neutro do lado
primário, secundário e terciário respectivamente.
Na sua forma compacta, temos:
0
0
0
0 0 0
ABC ABC ABC
p ps pt
ABC ABC ABC
sp s stABC
prim ABC ABC ABC
tp ts t
pst
terra
Z Z Z
Z Z Z
Z
Z Z Z
Z
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
(3.30)
Para representar um transformador conectado em estrela, com o ponto neutro não
aterrado, utiliza-se como artifício de cálculo, a substituição da impedância de
aterramento do neutro por um número de valor elevado. Analogamente, para representar
uma ligação em estrela com o neutro do transformador solidamente aterrado, a
impedância de aterramento é substituída por um número de valor muito baixo. Nos
testes realizados verificou-se que valores da ordem de 1010
e 10-10
apresentaram bons
resultados.

36
III.2.3 Cálculo da Matriz Admitância Primitiva em Valores por
Unidade (P.U.)
O modelo de transformador descrito no presente trabalho permite utilizar a sua
matriz de impedância primitiva expressa em ohms ou em valores por unidade. Caso seja
necessário representar os transformadores em valores por unidade, conhecendo-se as
bases do sistema em uso e as impedâncias primitivas dos ramos, pode-se calcular a
matriz de impedância primitiva da Equação (3.3) em p.u. Para tanto ,considera-se a
Equação (3.31) relacionando tensões e correntes nos terminais dos enrolamentos do
transformador trifásico:
ABC ABC ABC ABC ABC
p p ps pt p
ABC ABC ABC ABC ABC
s sp s st s
ABC ABC ABC ABC ABC
t tp ts t t
V Z Z Z I
V Z Z Z I
V Z Z Z I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(3.31)
Pré-multiplicando o vetor de tensões pela matriz identidade da Equação (3.32) e o
vetor de correntes pela Equação (3.33), a Equação (3.31) não se altera e após efetuar-se
uma pequena manipulação algébrica, pode ser reescrita pela Equação (3.34).
( )
( )
( )
1
, ,
1
, ,
1
, ,
p b p b
V s b s b
t b t b
V V
I V V
V V
−
−
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
(3.32)
( )
( )
( )
1
, ,
1
, ,
1
, ,
p b p b
I s b s b
t b t b
I I
I I I
I I
−
−
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
(3.33)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1
, ,
, ,
1
, , ,
1
, ,
,
ABC ABC
ABC ABC ABCp b p p b p
p b p ps pt p b
ABC ABC ABC ABC
s b s s b sp s st s b
ABC ABC ABC
ABC t b tp ts t t b
t b t
Z pu
V pu
V V I I
V Z Z Z I
V V V Z Z Z I
V Z Z Z I
V V
− −
−
−
−
⎡ ⎤
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎢ ⎥⎣ ⎦ 144444444424444444443
1442443
( )
( )
( )
1
,
1
,
ABC
s b s
ABC
t b t
I pu
I I
I I
−
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦1442443
(3.34)

37
Onde:
, , , , eABC ABC ABC ABC ABC ABC
p s t p s tV V V I I I : São os vetores contendo os valores das
tensões e correntes de fase do primário, secundário e terciário respectivamente.
, , , , , ,, , , , ep b s b t b p b s b t bV V V I I I : São matrizes diagonais contendo as tensões e
correntes de fase tomadas como bases para o primário, secundário e terciário
respectivamente.
Efetuando-se os cálculos na Equação (3.34) a matriz de impedância primitiva em
p.u. para o transformador é calculada pela Equação (3.35), de uma maneira simples, sem
colocar em dúvida quais serão os valores de tensão e correntes bases que se deva utilizar
em relação as impedância mútuas.
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
, , , , , ,
1 1 1
, , , , , ,
1 1 1
, , , , , ,
ABC ABC ABC
p b p p b p b ps s b p b pt t b
ABC ABC ABC ABC
prim s b sp p b s b s s b s b st t b
ABC ABC ABC
t b tp p b t b ts s b t b t t b
V Z I V Z I V Z I
Z pu V Z I V Z I V Z I
V Z I V Z I V Z I
− − −
− − −
− − −
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
(3.35)
III.2.4 Determinação da Equação de Mudança de Base
No estudo dos sistemas elétricos utilizando-se valores por unidade, normalmente
se escolhe um valor de potência e tensão base para os quais as grandezas elétricas de
todos os equipamentos da rede devem estar referenciadas. Para um transformador cujos
parâmetros são dados em p.u. tendo sido usados como bases os seus valores nominais
de potência e tensão a matriz de impedância primitiva em p.u. nas bases do
transformador pode ser convertida para a base do sistema através da Equação (3.36).
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
p p ps ps pt pt
n
prim sp sp s s st st
tp tp ts ts t t
Z pu W Z pu W Z pu W
Z pu Z pu W Z pu W Z pu W
Z pu W Z pu W Z pu W
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(3.36)

38
Onde:
( ) ( ) ( )
1 1
, , , ,
n n
p p b p b p b p bW pu V I V I
− −
=
( ) ( ) ( )
1 1
, , , ,
n n
ps p b s b p b s bW pu V I V I
− −
=
( ) ( ) ( )
1 1
, , , ,
n n
pt p b t b p b t bW pu V I V I
− −
=
( ) ( ) ( )
1 1
, , , ,
n n
sp s b p b s b p bW pu V I V I
− −
=
( ) ( ) ( )
1 1
, , , ,
n n
s s b s b s b s bW pu V I V I
− −
=
( ) ( ) ( )
1 1
, , , ,
n n
st s b t b s b t bW pu V I V I
− −
=
( ) ( ) ( )
1 1
, , , ,
n n
tp t b p b t b p bW pu V I V I
− −
=
( ) ( ) ( )
1 1
, , , ,
n n
ts t b s b t b s bW pu V I V I
− −
=
( ) ( ) ( ) 1
,
1
,,,
−−
= bt
n
bt
n
btbtt IVIVpuW
, , , , , ,, , , , en n n n n n
p b s b t b p b s b t bV V V I I I : São as matrizes diagonais contendo as tensões e
correntes da nova base.
III.2.5 Representação das Conexões dos Transformadores
As várias conexões dos transformadores serão representadas pela matriz de
incidência nodal, como descrito na seção II.3.2. No modelo de transformador proposto,
o transformador trifásico possui dois enrolamentos no secundário para cada fase, onde
os mesmos podem ser conectados em série ou em paralelo, formando um transformador
trifásico de dois enrolamentos ou os mesmos podem possuir ligações distintas, como
apresentadas em transformadores trifásicos de três enrolamentos. Além das diversas
conexões apresentadas na Tabela 1, a Tabela 3 apresenta mais algumas conexões que
podem ser representadas pelo modelo de transformador proposto.

39
Tabela 3 – Principais ligações para o transformador trifásico de três enrolamentos com as duas bobinas do
secundário possuindo conexões distintas
Tipos de Ligações para o Transformador de Três Enrolamentos
Primário Secundário Terciário Primário Secundário Terciário
Yaterrado Yaterrado Yaterrado Y Y Y
Yaterrado Yaterrado Delta Y Y Delta
Yaterrado Delta Yaterrado Y Delta Y
Yaterrado Delta Delta Y Delta Delta
Delta Yaterrado Yaterrado Delta Y Y
Delta Yaterrado Delta Delta Y Delta
Delta Delta Yaterrado Delta Delta Y
Delta Delta Delta Delta Delta Delta
Como exemplo, considere o transformador trifásico descrito pela Figura 7 com
seu primário ligado em delta e os enrolamentos do secundário conectados em série e em
estrela solidamente aterrado, como mostra a Figura 9.
VAp
VBp
VCp
IAp
IBp
ICp
VAs
VBs
VCs
IAs
IBs
ICs
VNs
Zns Ins
VAst
VBst
VCst
T (terra)
Figura 9– Transformador de três enrolamentos conectado em Delta – Yaterrado.
A matriz de incidência nodal para este exemplo é dada pela Equação (3.37).

40
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1000000000
1100000000
0100100000
1010000000
0010010000
1001000000
0001001000
0000000101
0000000110
0000000011
V|V|V|V|V|V|V|V|V|V
TV
VV
VV
VV
VV
VV
VV
VV
VV
VV
NsCstBstAstCsBsAsCpBpAp
Ns
NsCst
CstCs
NsBst
BstBs
NsAst
AstAs
ApCp
CpBp
BpAp
(3.37)
Para um transformador de três enrolamentos, com seu primário e terciário
conectados em delta e o seu secundário em estrela, como ilustra a Figura 10, tem como
matriz de incidência nodal a Equação(3.38).
VAp
VBp
VCp
IAp
IBp
ICp
VAs
VBs
VCs
IAs
IBs
ICs
VNs
Zns Ins
VAt
IAt
IBt
VBt
ICt
VCt
T(terra)
Figura 10– Transformador de três enrolamentos conectado em delta – estrela – delta.

41
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−
−−
−
−
−
1000000000
0101000000
0110000000
0011000000
1010100000
1001010000
1001001000
0000000101
0000000110
0000000011
V|V|V|V|V|V|V|V|V|V
TV
VV
VV
VV
VV
VV
VV
VV
VV
VV
NsCtBtAtCsBsAsCpBpAp
Ns
AtCt
CtBt
BtAt
NsCs
NsBs
NsAs
ApCp
CpBp
BpAp
(3.38)
III.2.5.1 Conexões com as polaridades Invertidas
Na determinação das equações que regem o modelo de transformador trifásico
proposto foram consideradas as polaridades das bobinas, observando-se o circuito
magnético que representa o transformador ilustrado pela Figura 7, onde os pontos
marcados nas bobinas indicam o sentido positivo da corrente elétrica.
Desta forma, se o transformador for conectado como na Figura 9, será obtida uma
defasagem angular de +30º entre as tensões de fase do primário e do secundário, devido
à conexão Delta - Yaterrado. Se a polaridade das bobinas do lado delta forem invertidas
e o transformador também for conectado em Delta - Yaterrado como mostra a Figura
11, resultará uma defasagem de –30º entre as referidas tensões de fase. A matriz de
incidência nodal para esta ligação é dada por (3.39).

42
VAp
VBp
VCp
IAp
IBp
ICp
VAs
VBs
VCs
IAs
IBs
ICs
VNs
Zns Ins
VAst
VBst
VCst
T(terra)
Figura 11– Transformador de três enrolamentos conectado em Delta – Yaterrado com suas bobinas
invertidas.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1000000000
1100000000
0100100000
1010000000
0010010000
1001000000
0001001000
0000000110
0000000011
0000000011
V|V|V|V|V|V|V|V|V|V
TV
VV
VV
VV
VV
VV
VV
VV
VV
VV
NsCstBstAstCsBsAsCpBpAp
Ns
NsCst
CstCs
NsBst
BstBs
NsAst
AstAs
ApCp
CpBp
BpAp
(3.39)
Devido a esta propriedade, pode-se considerar as conexões indicadas nas Tabelas
1 e 3, com as polaridades diretas ou invertidas obtendo assim novas possíveis
configurações.
III.2.5.2 Problema da Falta de Referência devido a Conexão Delta
Utilizando o Modelo de Transformador Proposto

43
Como descrito na seção II.3.2.1 a conexão dos enrolamentos do transformador em
delta, leva os programas desenvolvidos para o cálculo do fluxo de potência a
apresentarem problemas numéricos devido a falta de elementos ligados a referência.
Durante as simulações que serão apresentadas neste trabalho, verificou-se que ao
representar as linhas trifásicas por seu circuito pi equivalente, conforme ilustra a Figura
12, ou matematicamente pelas Equações (3.40) e (3.41), este problema foi
completamente eliminado. É importante ressaltar que este procedimento foi verificado e
considerado satisfatório utilizando o modelo de transformador proposto. Não foram
realizados testes empregando outros modelos de transformadores.
ZCC
C
ZBB
ZAA
ZBC
ZAC
ZAB
B
A
YshAA YshBB YshCC YshAA YshBB YshCC
YshAB YshBC
YshAC
YshAB
YshBC
YshAC
K m
Figura 12– Circuito π equivalente de uma linha trifásica a parâmetros concentrados.
AA AB AC AA AB AC AA AB AC
ABC BA BB BC BA BB BC BA BB BC
CA CB CC CA CB CC CA CB CC
Z Z Z r r r X X X
Z Z Z Z r r r j X X X
Z Z Z r r r X X X
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(3.40)
AA AB AC
ABC BA BB BC
CA CB CC
bsh bsh bsh
Ysh j bsh bsh bsh
bsh bsh bsh
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
(3.41)
Para os sistemas de distribuição o efeito capacitivo das linhas pode ser
desprezado, assim matematicamente adota-se o artifício de substituir o termo em
derivação por um número de valor pequeno, por exemplo, 10-10
. Com esta técnica
assegura-se a não existência do termo em derivação e a presença de elementos

44
conectados a referência do lado delta. Desta forma, utilizando-se o modelo de
transformador proposto e o modelo pi equivalente para as linhas de transmissão, não foi
necessário elaborar nenhum método de implementação especial para representar a
ligação delta, como desenvolvido em (DUGAN,2003).
III.2.6 Matriz Admitância de Barras para o Transformador
A matriz que representa o transformador conectado é dada pela Equação (3.42).
t
barra primY A Y A= (3.42)
Onde:
t
A : É a matriz de incidência transposta.
III.3 Exemplo Numérico
Nesta seção a metodologia proposta para representar os transformadores trifásicos
de distribuição é utilizada para representar um transformador trifásico de três
enrolamentos, onde o primário, secundário e terciário foram conectados em Delta-
Yaterrado-Yaterrado respectivamente.
A Tabela 4 apresenta os parâmetros necessários para utilização do modelo de
transformador proposto. As resistências dos seus enrolamentos foram desprezadas.
Tabela 4 – Dados do transformador trifásico de três enrolamentos
Vp/Vs/Vt
(V)
S
(VA)
Xds
(Ω)
XM
(Ω)
508/220/220 2400 0,1350 311,44
Será admitido que o número de espiras de cada bobina é igual à própria tensão
nominal. As reatâncias de dispersão do primário e terciário podem ser obtidas referindo-
se a reatância de dispersão do secundário.

45
A matriz de impedância primitiva para o transformador expressa em ohms é
calculada pelas Equações (3.25), (3.26) e (3.27).
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
=
10
10
10
10
005,78935,38935,38870,77935,38935,38440,311720,155720,155
935,38005,78935,38935,38870,77935,38720,155440,311720,155
935,38935,38005,78935,38935,38870,77720,155720,155440,311
870,77935,38935,38005,78935,38935,38440,311720,155720,155
935,38870,77935,38935,38005,78935,38720,155440,311720,155
935,38935,38870,77935,38935,38005,78720,155720,155440,311
440,311720,155720,155440,311720,155720,155752,1247796,622796,622
720,155440,311720,155720,155440,311720,155796,622752,1247796,622
720,155720,155440,311720,155720,155440,311796,622796,622752,1247
jprimZ (3.43)
Considerando os valores das tensões de fase do transformador apresentado na
Tabela 4 como valores base, a matriz de impedância primitiva em valores por unidade é
calculada de acordo com a Equação (3.35), resultando:
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
=
−
−
10
10
10
10
869,3931,1931,1862,3931,1931,1696,6348,3348,3
931,1869,3931,1931,1862,3931,1348,3696,6348,3
931,1931,1869,3931,1931,1862,3348,3348,3696,6
862,3931,1931,1869,3931,1931,1696,6348,3348,3
931,1862,3931,1931,1869,3931,1348,3696,6348,3
931,1931,1862,3931,1931,1869,3348,3348,3696,6
696,6348,3348,3696,6348,3348,3627,11804,5804,5
348,3696,6348,3348,3696,6348,3804,5627,11804,5
348,3348,3696,6348,3348,3696,6804,5804,5627,11
jpuZ prim (3.44)
De acordo com a teoria clássica do sistema p.u., as impedâncias dos
transformadores quando expressas em valores por unidade são as mesmas em ambos os
lados do transformador, característica que pode ser observada na Equação (3.44). Caso
seja necessário determinar a matriz de impedância primitiva em uma nova base, por
exemplo, para uma base de 10KVA de potência e considerando as mesmas tensões base,
pode-se utilizar a Equação (3.36), onde o resultado é descrito pela Equação (3.45).

46
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
=
10
10
10
10
363,48140,24140,24280,48140,24140,24696,83848,41848,41
140,24363,48140,24140,24280,48140,24848,41696,83848,41
140,24140,24363,48140,24140,24280,48848,41848,41696,83
280,48140,24140,24363,48140,24140,24696,83848,41848,41
140,24280,48140,24140,24363,48140,24848,41696,83848,41
140,24140,24280,48140,24140,24363,48848,41848,41696,83
696,83848,41848,41696,83848,41848,41343,145546,72546,72
848,41696,83848,41848,41696,83848,41546,72343,145546,72
848,41848,41696,83848,41848,41696,83546,72546,72343,145
jpuprimZ (3.45)
A matriz de incidência nodal para o transformador com estas configurações de
enrolamento é dada pela Equação (3.46). A matriz admitância de barras que representa
o transformador pode ser calculada pela Equação (3.42) e é dada pela Equações (3.47) e
(3.48) para as bases de 0,8KVA e 10KVA respectivamente.
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
A
−⎡ ⎤
⎢ ⎥−
⎢ ⎥
−⎢ ⎥
⎢ ⎥
−⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥
= −⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥
−⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(3.46)
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−
−−−
−−−
=
028,4480343,149343,149343,149000000
0028,448000343,149343,149343,149000
343,1490168,116587,16587,16174,33587,16587,16705,280705,28
343,1490587,16168,116587,16587,16174,33587,16705,28705,280
343,1490587,16587,16168,116587,16587,16174,330705,28705,28
0343,149174,33587,16587,16168,116587,16587,16705,280705,28
0343,149587,16174,33587,16587,16168,116587,16705,28705,280
0343,149587,16587,16174,33587,16587,16168,1160705,28705,28
00705,28705,280705,28705,280272,66136,33136,33
000705,28705,280705,28705,28136,33272,66136,33
00705,280705,28705,280705,28136,33136,33272,66
jpuYbarra (3.47)

47
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−
−−−
−−−
=
842,350947,11947,11947,11000000
0842,35000947,11947,11947,11000
947,110293,9327,1327,1654,2327,1327,1296,20296,2
947,110327,1293,9327,1327,1654,2327,1296,2296,20
947,110327,1327,1293,9327,1327,1654,20296,2296,2
0947,11654,2327,1327,1293,9327,1327,1296,20296,2
0947,11327,1654,2327,1327,1293,9327,1296,2296,20
0947,11327,1327,1654,2327,1327,1293,90296,2296,2
00296,2296,20296,2296,20302,5651,2651,2
000296,2296,20296,2296,2651,2302,5651,2
00296,20296,2296,20296,2651,2651,2302,5
jpubarraY (3.48)
Redução de Kron para os nós de neutro:
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−
−−−
−−−
=
587,16587,16587,16174,33587,16587,16705,280705,28
140,24168,116587,16587,16174,33587,16705,28705,280
587,16587,16168,116587,16587,16174,330705,28705,28
174,33587,16587,16168,116587,16587,16705,280705,28
587,16174,33587,16587,16168,116587,16705,28705,280
587,16587,16174,33587,16587,16168,1160705,28705,28
705,28705,280705,28705,280272,66136,33136,33
0705,28705,280705,28705,28136,33272,66136,33
705,280705,28705,280705,28136,33136,33272,66
jpubarraY (3.49)
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−
−−−
−−−
=
293,9327,1327,1654,2327,1327,1296,20296,2
327,1293,9327,1327,1654,2327,1296,2296,20
327,1327,1293,9327,1327,1654,20296,2296,2
654,2327,1327,1293,9327,1327,1296,20296,2
327,1654,2327,1327,1293,9327,1296,2296,20
327,1327,1654,2327,1327,1293,90296,2296,2
296,2296,20296,2296,20302,5651,2651,2
0296,2296,20296,2296,2651,2302,5651,2
296,20296,2296,20296,2651,2651,2302,5
jpuYbarra (3.50)
III.4 Sumário do Capítulo
Neste capítulo é apresentada uma nova proposta para representar os
transformadores trifásicos de distribuição em estudos de fluxo de potência. O modelo é
baseado na metodologia das matrizes primitivas de Kron e é obtido pela análise do
circuito magnético equivalente do transformador. O modelo proposto permite
representar as diversas conexões dos transformadores, bem como a determinação de
todos os elementos da matriz de admitância que o representa. Para isto, são necessários
apenas alguns parâmetros que são facilmente obtidos pelos ensaios de curto-circuito e
de circuito aberto.

Capítulo IV
Resultados
IV.1 Considerações Gerais
Neste capítulo são apresentados os resultados obtidos da implementação do
modelo de transformador trifásico proposto ao fluxo de potência trifásico por injeção de
correntes (MICT) (GARCIA et al, 2000) e os resultados obtidos através de medições
realizadas em pequenos sistemas testes. Ambos foram comparados com o objetivo de
validar o modelo de transformador proposto.
Foram considerados três sistemas testes:
( i ) Um sistema radial contendo 6 barras, 2 linhas e 3 transformadores;
( ii ) Um sistema em anel com 6 barras, 3 linhas e 3 transformadores;
( iii ) Um sistema radial contendo 5 barras, 1 linha e 2 transformadores, sendo um
transformador com terciário;
Para a obtenção da convergência global da solução dos sistemas considerados, foi
admitido que os resíduos das equações de injeção de correntes devem ser menores que
10-6
p.u., onde a base de potência usada é de 10 KVA e a freqüência é de 60 Hz.
Além disto, foram consideradas duas situações distintas para efeito de análise:
( i ) Sistemas com cargas desequilibradas;
( ii ) Sistemas com cargas altamente desequilibradas;
IV.2 Modelos de Componentes dos Sistemas Testes
Anteriormente à apresentação dos resultados das simulações será descrito como
foram construídos os sistemas testes, bem como os modelos matemáticos utilizados para
representar os seus componentes no programa de fluxo de potência.

Capítulo IV – Resultados
49
IV.2.1 Modelos Reais
IV.2.1.1 Fonte de Potência
Nos programas para o cálculo do fluxo de potência, a barra onde se encontram os
geradores é considerada como sendo uma barra infinita, onde as tensões trifásicas
assumem um valor constante em módulo e ângulo de fase, durante todo o tempo. Na
prática, devido à falta de equipamentos, não foi possível utilizar uma fonte de potência
que se comportasse de tal maneira. Por esta razão, nos sistemas testes que serão
apresentados, utilizou-se as próprias tensões trifásicas fornecidas pela concessionária
local.
Contudo, é sabido que estas tensões assumem valores completamente diferentes
durante o tempo, principalmente se forem tomados como referência períodos distintos
do dia, como por exemplo: o matutino e o vespertino onde foram observados tensões
com valores eficazes de aproximadamente 130 V e 125 V respectivamente.
Como o método utilizado para o cálculo do fluxo de potência (MICT) é
extremamente sensível à condição inicial, para cada medição foi verificado o valor das
tensões de fase da fonte, os quais serão previamente informados e utilizados como ponto
de partida.
IV.2.1.2 Linhas de Distribuição
Os cabos empregados nas linhas dos sistemas de distribuição de energia elétrica,
diferentemente das linhas de transmissão, não são transpostos, fazendo com que as
impedâncias mútuas existentes entre as fases A, B e C não sejam iguais.
Para representar estas linhas foram construídos pequenos protótipos utilizando-se
núcleos de ferrite envoltos por fios de cobre esmaltado representando as resistências e
as indutâncias próprias das fases, como mostra a Figura 13. As três bobinas foram
enroladas em um mesmo núcleo, possibilitando assim obter também as impedâncias
mútuas entre as fases.

50
Figura 13– Linha de distribuição trifásica construída em núcleo de ferrite.
A Tabela 5 apresenta os parâmetros das linhas de distribuição utilizadas nos
pequenos sistemas testes obtidos através de medições.
Tabela 5 – Parâmetros das linhas de distribuição dos sistemas testes obtidos através de medições
Linha
RA
(Ω)
XA
(Ω)
RB
(Ω)
XB
(Ω)
RC
(Ω)
XC
(Ω)
XAB
(Ω)
XBC
(Ω)
XCA
(Ω)
LD1 - 0,3880 - 0,4640 - 0,4410 0,0266 0,0154 0,0320
LD2 - 0,2450 - 0,3250 - 0,2023 0,0123 0,0105 0,0174
LD3 - 0,9000 - 0,8750 - 0,7890 0,0593 0,0420 0,0480
IV.2.1.3 Transformadores
Nos sistemas testes foram utilizados transformadores trifásicos contendo dois
enrolamentos no primário e quatro enrolamentos no secundário para cada fase como
ilustra a Figura 14, onde se pode obter diferentes configurações com as várias
possibilidades de conexões de suas bobinas.
Para assegurar que o transformador seja bem representado, escolheu-se
primeiramente as conexões a serem usadas nos sistemas, logo após foram feitos os

51
ensaios de circuito aberto e de curto-circuito, obtendo assim, os dados necessários para
as simulações, apresentados na Tabela 6.
Figura 14– Transformadores trifásicos utilizados nos sistemas testes.
Tabela 6 – Parâmetros dos transformadores trifásicos obtidos pelos ensaios de circuito aberto e de curto-
circuito
Trafo
VP/Vs
(V)
S
(VA)
Rs
(Ω)
XM
(Ω)
Xds
(Ω)
TR1 220/508 3000 3,7500 71,9500 1,3050
TR2 508/220 2400 0,2675 66,8800 0,0425
TR3 508/220 1500 0,6300 136,8150 0,1240
IV.2.1.4 Cargas
Sabe-se que o desenvolvimento da eletrônica de potência aplicada a dispositivos
domésticos tem elevado consideravelmente o número de cargas não lineares presentes
nos sistemas de distribuição. No âmbito residencial e comercial nota-se maior utilização
de lâmpadas fluorescentes compactas, aparelhos de ar condicionado com controle em
estado sólido, fontes para microcomputadores, etc. No âmbito industrial, encontram-se
os conversores aplicados a diversos fins de acionamento e a complexos processos

52
industriais. No entanto, para uma avaliação apurada do transformador, levando-se em
conta somente os primeiros harmônicos das tensões e correntes, considerou-se que as
cargas deviam possuir características fáceis de implementar, o que ocorre com as
lâmpadas incandescentes. Assim, neste trabalho a carga ativa foi modelada através de
lâmpadas incandescentes. A utilização de cargas não lineares está além do objetivo
deste trabalho, sugerindo-se experimentações desta natureza em trabalhos futuros.
É importante mencionar que as cargas foram conectadas em estrela aterrada. A
Figura 15 mostra um módulo experimental de carga.
Figura 15– Cargas trifásicas representadas por lâmpadas incandescentes.
IV.2.2 Modelos Matemáticos para Simulação de Resultados
IV.2.2.1 Fonte de Potência
A fonte de potência foi modelada como uma fonte ideal trifásica conectada em
estrela, com o ponto comum da ligação, ou ponto neutro solidamente aterrado, como
mostra a Figura 16.

53
A
B
C
V 0
V -120
V 120
Figura 16– Fonte de potência trifásica conectada em estrela aterrada.
Para o cálculo do fluxo de potência foram usados os valores eficazes das tensões
de fase, medidos na barra de geração do sistema. É considerado também que as tensões
de fase estão defasadas de 120º entre si e que possuem uma seqüência direta de fase
(ABC).
IV.2.2.2 Linhas de Distribuição
Para a análise em regime permanente, as linhas trifásicas serão representadas por
um circuito pi equivalente, como discutido na seção III.2.5.2, possibilitando assim a
eliminação da falta de referência devido as conexões em delta.
IV.2.2.3 Transformadores
Para modelar os transformadores dos sistemas testes foram considerados apenas o
modelo de transformador proposto por este trabalho. Não foram realizadas simulações
empregando-se outros modelos de transformadores, devido à dificuldade inerente à
obtenção de seus parâmetros de entrada.

54
IV.2.2.4 Cargas
Neste trabalho as cargas trifásicas serão representadas pelo modelo polinomial.
Desta forma tem-se:
jQPS += (4.1)
2
210 VPVPPP ++= (4.2)
2
210 VQVQQQ ++= (4.3)
Como as lâmpadas incandescentes apresentam um consumo de potência
praticamente constante durante o tempo, não havendo variações bruscas de tensão, desta
forma as cargas serão modeladas como potência constante. Assim tem-se:
0PP = (4.4)
0QQ = (4.5)
A Figura 17 mostra a representação esquemática de cargas monofásicas, bifásicas
e trifásicas conectadas em estrela-aterrada representadas pelo modelo de carga potência
constante.
C
B
A
C
B
A
SBSASA
C
B
A
SBSA SB
(A) (B) (C)
Figura 17– Esquema de ligação para carga ligada em estrela: (a) Monofásica (b)Bifásica (c) Trifásica

55
IV.3 Equipamento de Medição
Para efetuar as medições foi utilizado um medidor de qualidade de energia de
fabricação da RMS Sistemas Eletrônicos. O equipamento permite registrar os valores
das tensões e correntes nas fases, potências ativas e reativas entre outras grandezas
elétricas. A sua precisão foi de fundamental importância para um bom desenvolvimento
do trabalho. A Figura 18 ilustra o medidor.
Figura 18– Medidor utilizado nas medições
IV.4 Metodologia Utilizada para Comparar os Resultados das
Medições e Simulações
Como já mencionado neste trabalho, o cálculo do fluxo de potência trifásico
baseado no método de injeção de correntes é sensível às condições iniciais. Portanto
como as grandezas elétricas medidas nos sistemas testes apresentam uma pequena
variação durante o tempo, para que se possa comparar os resultados das medições e
simulações serão seguidos os seguintes passos:
1) Efetuar as medições nos sistemas testes;
2) Calcular a média dos valores das tensões amostradas em cada fase na barra
de referência para que os mesmos sejam utilizados como condições
iniciais;

56
3) Calcular a média das potências ativa e reativa medidas em cada fase nas
barras de carga, para que estes valores sejam utilizados no programa como
as verdadeiras potências consumidas pelas cargas;
4) E por fim, calcular as tensões e correntes através do modelo desenvolvido
e comparar os resultados com os valores médios das grandezas elétricas
medidas.
IV.5 Sistema Teste de 6 Barras Radial
O diagrama unifilar do sistema de 6 barras radial é apresentado na Figura 19 e
uma visão panorâmica deste sistema na Figura 20, onde a barra 1 é a barra de referência.
Os valores das tensões de linha e das potências dos transformadores, como também suas
conexões estão indicadas nessa figura. As barras 4 e 6 são as barras de carga.
1 2
TR1
3 4
TR2
LT1
LT2
5 6
TR3
CG1
CG2
3KVA
220 V / 508 V
2,4KVA
508 V / 220 V
1,5KVA
508 V / 220 V
Figura 19– Sistema teste de 6 barras radial

57
Figura 20– Visão panorâmica do sistema teste de 6 barras radial no laboratório
As análises referentes a este sistema são feitas considerando dois patamares de
carga, como descrito a seguir:
IV.5.1 Cargas Desequilibradas
Para o cálculo do fluxo de potência são utilizados como condições iniciais as
tensões na barra 1 de 124,4916V, 125,6838V e 124,8231V nas fases A,B e C
respectivamente e as cargas apresentadas na Tabela 7.
Tabela 7 – Potências ativas e reativas consumidas pelas cargas desequilibradas do sistema radial de 6
barras
Barra
PA
(W)
QA
(Var)
PB
(W)
QB
(Var)
PC
(W)
QC
(Var)
4 92,0876 15,5754 178,3696 14,1568 171,7972 13,0883
6 180,9392 15,0799 95,7902 10,5362 100,8963 9,7205

58
As Tabelas 8 e 9 mostram os resultados dos módulos e ângulos das tensões de
fase nas barras e das correntes nos circuitos respectivamente, obtidas com o programa
MICT e do sistema exemplo construído. No MICT ocorre convergência em 3 iterações.
Tabela 8 – Módulos e ângulos das tensões nas barras do sistema de 6 barras radial, contendo cargas
desequilibradas
Fase A Fase B Fase C
Barra | V |
(V)
∠ V
(graus)
| V |
(V)
∠ V
(graus)
| V |
(V)
∠ V
(graus)
1 124,4916 0,0000 125,6838 -120,0000 124,8231 120,0000
2 281,5164 -28,1425 282,5535 -147,9299 282,9055 91,7941
3 280,6715 -28,1531 281,6312 -147,9512 281,9842 91,7548
4 120,9435 2,6083 121,2569 -117,5199 120,8134 122,3302
5 281,2621 -28,1571 282,1685 -147,9493 282,6924 91,7896
6 119,7865 2,6090 121,0532 -117,3390 120,6622 122,3147
Tabela 9 – Módulos e ângulos das correntes nos circuitos do sistema de 6 barras radial, contendo cargas
desequilibradas
Circuito | I |
(A)
∠ I
(graus)
| I |
(A)
∠ I
(graus)
| I |
(A)
∠ I
(graus)
2-3 2,2737 -105,4794 2,1182 135,7795 2,2416 18,5719
4-CG1 0,7722 -6,9917 1,4756 -122,0579 1,4261 117,9736
2-5 1,1054 -89,9066 1,2603 145,8141 1,1140 20,8945
6-CG2 1,5158 -2,1552 0,7961 -123,6159 0,8401 116,8117
Vamos agora verificar se o transformador apresenta todas as principais
características descritas em Kersting et al (1999) e citadas neste trabalho na seção II.2.
Em um circuito trifásico, a soma fasorial das tensões de linha é nula não
importando o nível de desequilíbrio. Esta propriedade pode ser verificada somando-se
separadamente as tensões de linha nas barras do sistema, como mostra a Tabela 10.

59
Tabela 10 – Tensões de linha nas barras do sistema de 6 barras radial
Barra
| VAB |
(V)
∠ VAB
(graus)
| VBC |
(V)
∠ VBC
(graus)
| VCA |
(V)
∠ VCA
(graus)
|VAB|+|VBC|+|VCA|
(V)
2 487,9750 2,0249 490,3814 -118,0474 488,6480 121,7443 0,0000
3 486,4725 2,0045 488,8267 -118,0776 487,0483 121,7235 0,0000
4 209,8871 32,5869 209,7973 -87,6553 209,0737 152,4872 0,0000
5 487,4338 2,0002 489,8262 -118,0493 488,2682 121,7323 0,0000
6 208,5196 32,8092 209,6960 -87,5653 207,9257 152,3407 0,0000
Ao somar-se fasorialmente as correntes de linha nos circuitos, para o lado em
estrela tem-se como resultado a corrente de desequilíbrio devido a natureza das cargas
conectadas às barras do lado delta; como não existe um condutor neutro por onde
circularia a corrente de desequilíbrio, a soma das correntes de linha é igual a zero, como
mostra a Tabela 11.
Tabela 11 – Soma fasorial das correntes nos circuitos do sistema de 6 barras radial
Fase A Fase B Fase C Neutro
Cir | I |
(A)
∠ I
(graus)
| I |
(A)
∠ I
(graus)
| I |
(A)
∠ I
(graus)
| I |
(A)
∠ I
(graus)
2-3 2,2737 -105,4794 2,1182 135,7795 2,2416 18,5719 0,0000 -
4-CG1 0,7722 -6,9917 1,4756 -122,0579 1,4261 117,9736 0,6909 -172,92
2-5 1,1054 -89,9066 1,2603 145,8141 1,1140 20,8945 0,0000 -
6-CG2 1,5158 -2,1552 0,7961 -123,6159 0,8401 116,8117 0.6957 2,4562
As relações de transformação também são respeitadas, como pode ser observado
na Tabela 10. As tensões de linha nas barras do sistema condizem com os valores
nominais dos transformadores que são de 508V/220V, como mostrado na Figura 19.
Outra característica importante que deve ser observada na Tabela 8 são as
diferenças angulares entre o primário e secundário dos transformadores, devido a
conexão Yaterrado-Delta do transformador TR1 e a conexão Delta-Yaterrado dos
transformadores TR2 e TR3. No modelo proposto estas diferenças de fase são obtidas
naturalmente no processo de convergência do fluxo de potência.

60
Com o objetivo de verificar se são respeitadas as condições pré-estabelecidas para
um bom modelo de transformador, resta verificar se o modelo apresenta resultados
confiáveis. A Tabela 12 mostra uma comparação entre os módulos das tensões de fase
nas barras com conexão estrela, calculadas e medidas. Nas barras onde aparecem as
conexões delta serão comparadas as suas tensões de linha como ilustra a Tabela 13. Em
ambas as tabelas são apresentadas também um cálculo simples do erro existente entre os
valores simulados e medidos, onde se verifica que o mesmo é inferior a 3%, o que foi
considerado um resultado aceitável nos níveis de tensão adotados no experimento
realizado.
Tabela 12 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculados e medidos, nas barras com
conexão estrela do sistema de 6 barras radial alimentando cargas desequilibradas
Bar | Vcal |
(V)
| Vmed |
(V)
Erro
(%)
| Vcal |
(V)
| Vmed |
(V)
Erro
(%)
| Vcal |
(V)
| Vmed |
(V)
Erro
(%)
4 120,9435 123,8320 2,3326 121,2569 122,5535 1,0579 120,8134 120,0464 0,6389
6 119,7865 122,5317 2,2404 121,0532 122,6359 1,2906 120,6622 119,1543 1,2655
Tabela 13 – Comparação entre os módulos das tensões de linha calculados e medidos, nas barras com
conexão delta do sistema de 6 barras radial alimentando cargas desequilibradas
Barra
|VABcal|
(V)
|VABmed|
(V)
Erro
(%)
|VBCcal|
(V)
|VBCmed|
(V)
Erro
(%)
2 487,9750 481,8677 1,2674 490,3814 494,2507 0,7829
3 486,4725 492,9380 1,3116 488,8267 496,3537 1,5165
5 487,4338 495,8888 1,7050 489,8262 499,0041 1,8392
A Tabela 14 apresenta os resultados da comparação dos módulos das correntes
nos circuitos, onde também pode ser observada a eficiência do modelo de transformador
proposto apresentando um pequeno erro entre os valores simulados e medidos.

61
Tabela 14 – Comparação entre os módulos das correntes nos circuitos calculados e medidos no sistema de
6 barras radial apresentando cargas desequilibradas
Cir | Ical |
(A)
| Imed |
(A)
Erro
(%)
| Ical |
(A)
| Imed |
(A)
Erro
(%)
| Ical |
(A)
| Imed |
(A)
Erro
(%)
2-3 2,2737 2,3043 1,3279 2,1182 2,0951 1,1026 2,2416 2,3168 3,2459
4-CG1 0,7722 0,7542 2,3866 1,4756 1,4600 1,0685 1,4261 1,4352 0,6341
2-5 1,1054 1,0938 1,0605 1,2603 1,2772 1,3232 1,1140 1,1325 1,6336
6-CG2 1,5158 1,4817 2,3014 0,7961 0,7858 1,3108 0,8401 0,8506 1,2344
IV.5.2 Cargas Altamente Desequilibradas
Considere novamente o sistema radial ilustrado pela Figura 19 onde as cargas nas
barras 4 e 6 são altamente desequilibradas, como mostra a Tabela 15. As mesmas
representam um ramal monofásico na barra 4 e um ramal bifásico na barra 6.
Tabela 15 – Potências ativas e reativas consumidas pelas cargas altamente desequilibradas no sistema radial
de 6 barras
Barra
PA
(W)
QA
(Var)
PB
(W)
QB
(Var)
PC
(W)
QC
(Var)
4 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 300,2024 18,2525
6 177,8128 7,0042 174,0939 17,1075 0,0000 0,0000
A Tabela 16 mostra uma comparação entre os módulos das tensões de fase nas
barras com conexão estrela, calculadas e medidas. Na Tabela 17 é feita uma
comparação entre os módulos das tensões de linha para o lado delta. Como pode ser
observado o erro entre os valores simulados e medidos apresentados em ambas as
tabelas também apresentam valor muito pequenos, comprovando a robustez do modelo
perante cargas com um alto nível de desequilíbrio.

62
Tabela 16 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculadas e medidas, nas barras com
conexão estrela do sistema de 6 barras radial alimentando cargas altamente desequilibradas
Bar | Vcal |
(V)
| Vmed |
(V)
Erro
(%)
| Vcal |
(V)
| Vmed |
(V)
Erro
(%)
| Vcal |
(V)
| Vmed |
(V)
Erro
(%)
4 122,1129 123,6281 1,2256 122,9924 123,5884 0,4822 120,5604 118,9157 1,3831
6 120,7800 120,5801 0,1658 121,4449 120,3099 0,9434 121,5880 118,5973 2,5217
Tabela 17 – Comparação entre os módulos das tensões de linha calculadas e medidas, nas barras com
conexão delta do sistema de 6 barras radial com cargas altamente desequilibradas.
Barra
|VABcal|
(V)
|VABmed|
(V)
Erro
(%)
|VBCcal|
(V)
|VBCcal|
(V)
Erro
(%)
2 491,4493 483,8305 1,5747 494,8031 494,4758 0,0662
3 489,7634 495,9856 1,2545 493,4533 493,1304 0,0655
5 490,9994 494,5105 0,7100 494,2012 493,8747 0,0661
Na Tabela 18 são comparados os módulo das correntes elétricas medidas e
simuladas.
Tabela 18 – Comparação entre os módulos das correntes calculadas e medidas nos circuitos do sistema de
6 barras radial alimentando cargas altamente desequilibradas
Cir | Ical |
(A)
| Imed |
(A)
Erro
(%)
| Ical |
(A)
| Imed |
(A)
Erro
(%)
| Ical |
(A)
| Imed |
(A)
Erro
(%)
2-3 2,4960 2,4550 1,6701 2,1235 2,1838 2,7612 1,9109 1,9523 2,1206
4-CG1 0,0000 0,0000 - 0,0000 0,0000 - 2,4947 2,5291 1,3602
2-5 0,9127 0,9433 3,2439 1,2561 1,2376 1,4948 1,2735 1,3259 3,9520
6-CG2 1,4733 1,4757 0,1626 1,4404 1,4539 0,9285 0,0000 0,0000 -

63
IV.6 Sistema Teste de 6 Barras em Anel
Para verificar o comportamento do modelo de transformador proposto na análise
de sistemas malhados, foi montado em laboratório um sistema de 6 barras malhado,
baseado no sistema radial da Figura 19. Este sistema é mostrado na Figura 21.
As simulações realizadas para o sistema radial foram repetidas no sistema em
anel, utilizando-se novos valores de potência para as cargas, onde também pôde ser
comprovada a eficácia do modelo proposto, representando os transformadores do
referido sistema com bastante precisão perante as diferentes cargas desequilibradas.
1 2
TR1
3 4
TR2
LT1
LT2
5 6
TR3
CG1
CG2
LT3
3KVA
220 V / 508 V
2,4KVA
508 V / 220 V
1,5KVA
508 V / 220 V
Figura 21– Sistema teste de 6 barras em anel
IV.6.1 Cargas Desequilibradas
A Tabela 19 mostra os erros calculados entre as tensões de fase medidas e
calculadas do sistema de 6 barras em anel. Na Tabela 20 são apresentadas as
comparações feitas utilizando-se as tensões de linha do lado delta.

64
Tabela 19 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculadas e medidas nas barras com
conexão estrela do sistema de 6 barras em anel com cargas desequilibradas
Bar | Vcal |
(V)
| Vmed |
(V)
Erro
(%)
| Vcal |
(V)
| Vmed |
(V)
Erro
(%)
| Vcal |
(V)
| Vmed |
(V)
Erro
(%)
4 123,0317 123,7047 0,5440 123,4309 122,8158 0,5008 123,1318 120,3603 2,3027
6 122,7627 123,4681 0,5713 123,3567 122,9893 0,2987 123,1683 120,6615 2,0775
conexão delta do sistema de 6 barras em anel alimentando cargas desequilibradas.
Barra
|VABcal|
(V)
|VABmed|
(V)
Erro
(%)
|VBCcal|
(V)
|VBCcal|
(V)
Erro
(%)
2 495,9656 487,0652 1,8274 497,7716 496,4482 0,2666
3 494,3692 496,8692 0,5032 496,1288 494,1126 0,4080
5 495,4715 500,0118 0,9080 497,2510 497,1361 0,0231
A Tabela 21 mostra uma comparação entre os módulos das correntes calculados e
medidos nos circuitos do sistema malhado.
Tabela 21 – Comparação entre os módulos das correntes calculadas e medidas, nos circuitos do sistema
de 6 barras em anel com cargas desequilibradas
Cir | Ical |
(A)
| Imed |
(A)
Erro
(%)
| Ical |
(A)
| Imed |
(A)
Erro
(%)
| Ical |
(A)
| Imed |
(A)
Erro
(%)
2-3 2,3291 2,3713 1,7796 2,2835 2,2577 1,1428 2,2641 2,3015 1,6250
4-CG1 0,7926 0,7882 0,5582 1,4116 1,4186 0,4934 1,3920 1,4240 2,2472
2-5 1,0519 1,0675 1,4614 1,1407 1,1528 1,0496 1,1254 1,1435 1,5829
6-CG2 1,4517 1,4434 0,5750 0,7488 0,7510 0,2929 0,7389 0,7542 2,0286
4-6 0,6284 0,6191 1,5022 0,1955 0,1887 3,6036 0,1340 0,1315 1,9011

65
Mesmo com o sistema de 6 barras em anel operando com ramais monofásicos e
bifásicos, o que leva a um grande desequilíbrio entre as grandezas elétricas, o modelo de
transformador proposto mantém seu bom desempenho na representação dos
transformadores deste sistema como mostram as Tabelas 22, 23 e 24.
Tabela 22 – Comparação entre os módulos das tensões de fase nas barras com conexão estrela do sistema
de 6 barras em anel com ramais monofásicos e bifásicos.
Bar | Vcal |
(V)
| Vmed |
(V)
Erro
(%)
| Vcal |
(V)
| Vmed |
(V)
Erro
(%)
| Vcal |
(V)
| Vmed |
(V)
Erro
(%)
4 124,1396 123,8074 0,2683 124,4774 123,5244 0,7715 122,5476 120,1058 2,0330
6 123,8938 125,4102 1,2092 124,0038 125,3690 1,0889 122,7895 121,9083 0,7228
Tabela 23 – Comparação entre os módulos das tensões de linha nas barras com conexão delta do sistema
de 6 barras em anel com ramais monofásicos e bifásicos.
Barra
|VABcal|
(V)
|VABmed|
(V)
Erro
(%)
|VBCcal|
(V)
|VBCcal|
(V)
Erro
(%)
2 499,7830 494,1402 1,1419 500,7635 504,9513 0,8293
3 498,0902 503,6388 1,1017 499,1807 504,3993 1,0346
5 499,3347 499,5115 0,0354 500,2696 497,6802 0,5203
Tabela 24 – Comparação entre os módulos das correntes nos circuitos do sistema de 6 barras em anel com
ramais monofásicos e bifásicos.
Cir | Ical |
(A)
| Imed |
(A)
Erro
(%)
| Ical |
(A)
| Imed |
(A)
Erro
(%)
| Ical |
(A)
| Imed |
(A)
Erro
(%)
2-3 2,3758 2,3640 0,4992 2,3367 2,3198 0,7285 2,0847 2,1011 0,7805
4-CG1 0,0000 0,0000 - 0,0000 0,0000 - 2,1402 2,1837 1,9920
2-5 1,0214 1,0515 2,8626 1,0317 1,0045 2,7078 1,1659 1,1813 1,3036
6-CG2 1,4730 1,4551 1,2302, 1,4568 1,4409 1,1035 0,0000 0,0000 -
4 - 6 0,7519 0,7316 2,7747 1,0617 1,0932 2,8814 0,7927 0,7860 0,8524

66
IV.7 Sistema Teste Radial de 5 Barras
A Figura 22 ilustra o diagrama unifilar do sistema de 5 barras radial. Este sistema
possui um transformador de três enrolamentos, onde repetindo novamente as simulações
com as tensões e cargas apropriadas para este sistema, foi também constatada a grande
eficiência do modelo proposto, representando consistentemente o transformador de três
enrolamentos com suas respectivas ligações, não importando o nível de desequilíbrio
das cargas presentes nas barras.
1 2
TR1
LT1
3 4
TR2
CG1
CG2
5
3KVA
220 V / 508 V
2,4KVA
508 V / 220 V / 220V
Figura 22– Sistema teste de 5 barras radial
Na Tabela 25 é apresentada uma comparação entre os módulos das tensões de fase
medidas e calculadas nas barras do sistema de 5 barras radial com conexão em estrela.
Na Tabela 26 a comparação é feita utilizando as tensões de linha no lado em delta.
Como podem ser observadas em ambas as tabelas, as diferenças entre as grandezas
elétricas medidas e calculadas pelo programa são muito pequenas, comprovando a
capacidade do modelo proposto em representar os transformadores de três
enrolamentos.

67
Tabela 25 – Comparação entre os módulos das tensões de fase calculadas e medidas nas barras com
conexão estrela do sistema de 5 barras radial alimentando cargas altamente desequilibradas
Bar | Vcal |
(V)
| Vmed |
(V)
Erro
(%)
| Vcal |
(V)
| Vmed |
(V)
Erro
(%)
| Vcal |
(V)
| Vmed |
(V)
Erro
(%)
4 124,1846 125,2146 0,8226 124,5244 123,9705 0,4468 122,0686 121,2024 0,7147
5 123,9246 123,7912 0,1078 124,2707 122,7269 1,2579 122,4647 121,6271 0,6887
conexão delta do sistema de 5 barras radial alimentando cargas altamente desequilibradas.
Barra
|VABcal|
(V)
|VABmed|
(V)
Erro
(%)
|VBCcal|
(V)
|VBCcal|
(V)
Erro
(%)
2 501,1036 494,1997 1,3970 502,4042 502,7905 0,0768
3 498,7479 502,5724 0,7610 500,0532 500,0609 0,0015
A Tabela 27 compara os módulos das correntes nos circuitos.
Tabela 27 – Comparação entre os módulos das correntes calculadas e medidas nos circuitos do sistema de
5 barras radial com cargas altamente desequilibradas
Cir | Ical |
(A)
| Imed |
(A)
Erro
(%)
| Ical |
(A)
| Imed |
(A)
Erro
(%)
| Ical |
(A)
| Imed |
(A)
Erro
(%)
2-3 3,4056 3,4581 1,5182 3,3236 3,3723 1,4441 3,2130 3,1855 0,8633
4-CG1 0,0000 0,0000 - 0,0000 0,0000 - 2,2040 2,2197 0,7073
5-CG2 1.4434 1,4449 0,1038 1,4098 1,4274 1,2330 0,0000 0,0000 -
IV.8 Sumário do Capítulo
Neste capítulo foram apresentadas diversas simulações em pequenos sistemas
testes desenvolvidos com o objetivo de validar o modelo de transformador trifásico
proposto. Foram feitas comparações dos módulos das tensões nas barras e correntes nos
circuitos dos sistemas entre as grandezas calculadas e medidas.

68
A partir da observação dos resultados constatou-se a grande eficiência do modelo
proposto na representação dos transformadores, quando incorporados em ferramentas
trifásicas para a análise de sistemas radiais ou malhados apresentando cargas com
grandes desequilíbrios.

Capítulo V
Conclusões
V.1 Considerações Gerais
Neste trabalho é apresentado um modelo matemático para representar os
transformadores trifásicos de distribuição no estudo de fluxo de potência utilizando
coordenadas de fase. O transformador trifásico é representado por uma matriz de
admitância de barras obtida pela análise de seu circuito magnético equivalente. A
metodologia proposta foi incorporada ao fluxo de potência trifásico por injeção de
correntes (MICT) (GARCIA et al, 2000), onde foram feitas simulações as quais foram
comparadas com resultados de medições realizadas em pequenos sistemas testes,
montados em laboratório, permitindo a validação do modelo proposto.
Como mostrado no capítulo IV o modelo proposto permite representar
adequadamente os transformadores trifásicos, respeitando as leis de Kirchoff e
apresentando as várias características presentes nas suas diversas formas de conexões.
Os resultados apresentados mostram que o modelo pode ser facilmente inserido nas
ferramentas trifásicas para análise dos sistemas de distribuição, possibilitando o estudo
de redes elétricas que apresentam características radiais ou malhadas, mesmo contendo
cargas altamente desequilibradas.
Em comparação aos demais modelos de transformadores citados neste trabalho, o
modelo proposto apresenta algumas vantagens, as quais são apresentadas a seguir:
• A utilização de equações extraídas através da análise do circuito
magnético do transformador para a sua representação, apresenta resultados
que estão mais próximos do comportamento físico do equipamento, pois
desta forma pode-se obter suas características devido ao núcleo
ferromagnético e aos seus enrolamentos;
• O modelo proposto permite representar os bancos de transformadores
monofásicos e os transformadores trifásicos de dois ou três enrolamentos
com suas várias formas de conexões;

Capítulo V – Conclusões
70
• Mesmo com o grande número de indutâncias próprias e mútuas envolvidas
no modelo, a simetria e algumas considerações realísticas do equipamento
resultaram na necessidade de apenas alguns parâmetros dos
transformadores fornecidos por ensaios normalizados por fabricantes;
• A possibilidade de determinar a matriz de admitância de barras que
representa o transformador em valores por unidade, de uma forma simples,
não deixando dúvidas em relação às grandezas que devem ser escolhidas
como bases.
• Facilidade de se calcular as perdas no cobre do transformador nas diversas
conexões possíveis.
Finalizando conclui-se que o modelo de transformador proposto apresenta um
bom desempenho quando aplicado em ferramentas para o cálculo do fluxo de potência.
Além disso, o modelo é robusto computacionalmente e de fácil implementação, que o
torna uma ótima alternativa para representar os transformadores trifásicos.
V.2 Trabalhos Futuros
• Representar as perdas no núcleo do transformador trifásico e a aplicação do
modelo proposto em ferramentas para análise de curto-circuito;
• Avaliar o comportamento do transformador perante a atuação de
dispositivos de controle e cargas não lineares;
• Desenvolvimento de um modelo que possa ser utilizado em programas para
o cálculo do fluxo harmônico trifásico.
• Medição em campo de valores de tensão e corrente em transformadores de
maior potência.
• Avaliação do modelo em conexões menos comuns como a delta com
derivação central em uma das fases.

Apêndice A
Fluxo de Potência Trifásico pelo Método de Injeção de
Correntes
A.1 Introdução
O estudo do fluxo de potência baseado nas equações de injeção de corrente data
da década de 70 (DOMMEL, 1970). No entanto, devido a dificuldades apresentadas na
representação de barras do tipo PV esta ferramenta ficou inviabilizada. Recentemente
foi apresentada uma formulação para o cálculo do fluxo de potência baseado nas
equações de injeção de corrente (DA COSTA, 1999), onde foi solucionado o problema
de representação de barras PV. Essa formulação apresentou-se 30% mais rápida que o
método de Newton Raphson convencional em coordenadas polares.
Visto que a matriz jacobiana na metodologia de injeção de correntes é muito
próxima da matriz admitância de barras, essa ferramenta foi estendida para análise de
sistemas trifásicos (GARCIA, 2000), sendo denominada fluxo de potência pelo método
de injeção de correntes trifásico – MICT. Esta metodologia apresentou grande robustez
numérica, superando as dificuldades inerentes à análise de sistemas trifásicos
desbalanceados.
O modelo de transformador proposto neste trabalho foi incorporado ao MICT,
sendo assim, apresenta-se neste Apêndice o equacionamento matemático do fluxo de
potência trifásico pelo método de injeção de correntes.
A.2 Desenvolvimento Matemático
A.2.1 Equações Básicas
Considerando um sistema trifásico, a injeção líquida de corrente na barra k é dada
por:
( )( )sh sh
k p
s s s st s s s st
k k k ki k k i ki
i t
I jb V jb V V V y
α∈Ω ∈
= + Σ Σ + − (A.1)

Apêndice A – Fluxo de Potência Trifásico por Injeção de Corrente
72
Onde:
sh
s
kb : Susceptância em derivação na fase s da barra k;
s
kV : Fasor de tensão na barra k;
sh
st
kib : Susceptância em derivação do ramo k – i;
, ps t α∈ ;
{ }, ,p A B Cα = ;
kΩ : Conjunto de barras conectadas diretamente à barra k.
Colocando na forma matricial, tem-se:
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
ABC ABC ABC ABC ABC
n
ABC ABC ABC ABC ABC
n
ABC ABC ABC ABC ABC
n n n nn n
I Y Y Y V
I Y Y Y V
I Y Y Y V
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
L
L
M M M O M M
L
(A.2)
De forma simplificada:
I YV= (A.3)
A matriz Y é a matriz admitância de barras na forma trifásica e seus elementos são
dados por:
AA AB AC AA AB AC
km km km km km km
ABC ABC ABC BA BB BC BA BB BC
km km km km km km km km km
CA CB CC CA CB CC
km km km km km km
G G G B B B
Y G jB G G G j B B B
G G G B B B
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(A.4)
Para uma barra k do sistema, os vetores ABC
kI e ABC
kV em (A.2) são dadas
respectivamente por:

73
k k
k k
k k
A A A
k r m
ABC B B B
k k r m
C C C
k r m
I I I
I I I j I
I I I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(A.5)
k k
k k
k k
A A A
k r m
ABC B B B
k k r m
C C C
k r m
V V V
V V V j V
V V V
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(A.6)
Onde:
k
s
rI : Parte real do fasor da corrente injetada na fase s;
k
s
mI : Parte imaginária do fasor da corrente injetada na fase s;
k
s
rV : Parte real do fasor de tensão da fase s;
k
s
mV : Parte imaginária do fasor de tensão da fase s.
Considerando agora somente a barra k, a Equação matricial (A.2) reduz-se à
seguinte forma:
p k p
i k
s st s st s
k kk k ki i
t i t
I Y V Y V
α α
≠
∈ ∈Ω ∈
= Σ + Σ Σ (A.7)
Separando em partes real e imaginária, obtém-se:
( ) ( )k k k i i
p k p
i k
s st s st s st s st s
r kk r kk m ki r ki m
t i t
I G V B V G V B V
α α
≠
∈ ∈Ω ∈
= Σ − + Σ Σ − (A.8)
( ) ( )k k k i i
p k p
i k
s st s st s st s st s
m kk r kk m ki r ki m
t i t
I B V G V B V G V
α α
≠
∈ ∈Ω ∈
= Σ + + Σ Σ + (A.9)
Quando escrevemos as Equações (A.8) e (A.9) na forma matricial para um
sistema de n barras, obtém-se o sistema de equações dado por (A.10) ou de forma
simplificada (A.11).

74
1
1
2
2
11 11 12 12 1 1
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
21 21 22 22
n
n
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
m n n
r n n
m n n
ABC ABC ABC ABC A
r
ABC
m
ABC
r
I B G B G B G
I G B G B G B
I B G B G B G
I G B G B
I
I
⎡ ⎤
⎢ ⎥
− − −⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= − −⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
L
L
L
M
1
1
2
22 2
1 1 2 2
1 1 2 2
n
n
ABC
r
ABC
m
ABC
r
ABCBC ABC ABC
mn n
ABCABC ABC ABC ABC ABC ABC
rn n n n nn nn
ABCABC ABC ABC ABC ABC ABC
mn n n n nn nn
V
V
V
VG B
VB G B G B G
VG B G B G B
⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
− ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
L
MM M M M O M M
L
L
(A.10)
mr ret rmI Y V= (A.11)
A matriz Yret é a matriz admitância de barras para a formulação trifásica em
coordenadas retangulares.
Como as cargas de um sistema são especificadas através da potência ativa e
reativa injetadas na barra, torna-se necessário reescrever as equações de injeção de
corrente em função das potências injetadas. Assim sendo, para a barra k do sistema,
tem-se:
( )
*s s s s s
k k k k kS P jQ V I= + = (A.12)
Escrevendo em coordenadas retangulares, ou seja, aplicando as Equações (A.5) e
(A.6) em (A.12), obtém-se:
( )( )k k k k
s s s s s s s
k k k r m r mS P jQ V jV I jI= − = − + (A.13)
Separando as partes real e imaginária da Equação (A.13) e escrevendo para as
fases A, B e C, tem-se:
k k k k
k k k k
k k k k
A A A A
r r m m
ABC B B B B
k r r m m
C C C C
r r m m
V I V I
P V I V I
V I V I
⎡ ⎤+
⎢ ⎥
= +⎢ ⎥
⎢ ⎥+⎣ ⎦
(A.14)

75
k k k k
k k k k
k k k k
A A A A
m r r m
ABC B B B B
k m r r m
C C C C
m r r m
V I V I
Q V I V I
V I V I
⎡ ⎤−
⎢ ⎥
= −⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
(A.15)
A Equação (A.13) também pode ser escrita da seguinte forma:
( )k k
k k
s s
s sk k
r ms s
r m
P jQ
I jI
V V
−
= +
−
(A.16)
Multiplicando-se e dividindo-se o primeiro termo da Equação (A.16) por
( )k k
s s
r mV jV+ e separando-se as partes real e imaginária, tem-se:
( ) ( )
2 2
k k
k
k k
s s s s
k r k ms
r
s s
r m
P V Q V
I
V V
+
=
+
(A.17)
( ) ( )
2 2
k k
k
k k
s s s s
k m k rs
m
s s
r m
P V Q V
I
V V
−
=
+
(A.18)
A partir das equações básicas descritas nesta seção, pode-se desenvolver o fluxo
de potência por injeção de corrente. A seção seguinte descreve a aplicação do método
de Newton Raphson na formulação trifásica por injeção de correntes.
A.2.2 Formulação do Fluxo de Potência por Injeção de Correntes
A.2.2.1 Aplicação do Método de Newton Raphson
Combinando as Equações (A.3) e (A.12), para uma barra k, obtém-se:
( )
*
0
k p
k
s s
st tk k
ki i
i ts
P jQ
Y V
V α∈Ω ∈
−
− Σ Σ = (A.19)
Considerando as potências ativa ( s
kP ) e reativa ( s
kQ ) como especificadas, a
Equação (A.19) pode ser considerada como os resíduos das correntes injetadas na fase s
da barra k. Esses resíduos são chamados de s
kI∆ e são dados pela Equação (A.20).

76
( ) ( )
( )
*
k p
k
s ssp sp
k ks st t
k ki i
i ts
P j Q
I Y V
V α∈Ω ∈
−
∆ = − Σ Σ (A.20)
Expressando a equação acima em coordenadas retangulares, resulta:
( ) ( )
( )
( )( )* i i
k p
k
s ssp sp
k ks st st t t
k ki ki r m
i ts
P j Q
I G jB V jV
V α∈Ω ∈
−
∆ = − Σ Σ + + (A.21)
Separando as partes real e imaginária, tem-se:
( ) ( )
( ) ( )
( )2 2
k k
k i i
k p
k k
s ssp s sp s
k r k ms st t st t
r ki r ki m
i ts s
r m
P V Q V
I G V B V
V V α∈Ω ∈
+
∆ = − Σ Σ −
+
(A.22)
( ) ( )
( ) ( )
( )2 2
k k
k i i
k p
k k
s ssp s sp s
k m k rs st t st t
m ki m ki r
i ts s
r m
P V Q V
I G V B V
V V α∈Ω ∈
−
∆ = − Σ Σ −
+
(A.23)
Aplicando o método de Newton Raphson em (A.22) e (A.23), obtém-se:
( )h A A A A A AA
r r r r r rr
A B C A B C
r r r m m m
B B B B B BB
r r r r r rr
A B C A B C
r r r m m m
C C C C
r r r r
A B
r r
A
m
B
m
C
m
I I I I I II
V V V V V V
I I I I I II
V V V V V V
I I I I
V V V
I
I
I
∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆⎡ ⎤∆
⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆∆
⎢ ⎥
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥
⎢ ⎥∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆
⎢ ⎥
∂ ∂ ∂⎢ ⎥
= −⎢ ⎥∆
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
∆⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
∆⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
C C C
r r r
C A B C
r m m m
A A A A A A
m m m m m m
A B C A B C
r r r m m m
B B B B B B
m m m m m m
A B C A B C
r r r m m m
C C C C C C
m m m m m m
A B C A B C
r r r m m m
I I I
V V V
I I I I I I
V V V V V V
I I I I I I
V V V V V V
I I I I I I
V V V V V V
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢ ∂∆ ∂∆ ∂∆
⎢
∂ ∂ ∂
∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎦
(A.24)
Onde:
h: Contador de iterações.

77
Todavia, para o cálculo das derivadas parciais mostradas na Equação (A.24), é
necessário definir as potências ativa e reativa especificadas em função da geração, do
tipo de conexão de carga e dos modelos de carga. Desta forma, tem-se:
( ) k k
ssp s s
k G LP P P= − (A.25)
( ) k k
ssp s s
k G LQ Q Q= − (A.26)
Onde:
k
s
GP : Potência ativa injetada na fase s da barra k;
k
s
GQ : Potência reativa injetada na fase s da barra k;
k
s
LP : Potência ativa consumida na fase s da barra k;
k
s
LQ : Potência reativa consumida na fase s da barra k.
O modelo de carga adotado neste trabalho foi do tipo polinomial, como mostrado
na seção IV.2.2.4. Foi adotado também que todas as carga estão conectadas em estrela,
como as expressões das potências ativas e reativas especificadas variam conforme a
conexão da carga, a seguir será descrito as expressões para as cargas com conexão em
estrela.
As expressões para potência ativa e reativa injetadas em uma barra são dadas
respectivamente por:
( ) ( )( )2
0 1 2k k k k
ssp s s s s s s
k G k kP P P P V P V= − + + (A.27)
( ) ( )( )2
0 1 2k k k k
ssp s s s s s s
k G k kQ Q Q Q V Q V= − + + (A.28)
Definindo:
( ) s
k
s
Gk
s
k PPP 0
'
−= (A.29)
( ) s
k
s
Gk
s
k QQQ 0
'
−= (A.30)
Tem-se:

78
( ) ( ) ( )
2'
1 2k k
ssp s s s s
k k k kP P P V P V= − − (A.31)
( ) ( ) ( )
2'
1 2k k
ssp s s s s
k k k kQ Q Q V Q V= − − (A.32)
Considerando então um sistema composto de n barras e calculando as derivadas
parciais dadas em (A.24), obtém-se a seguinte equação matricial:
( )
( )
( )
1 1
1 1
2 2
2 2
11 12 1
21 11 2
1 2
n n
n n
ABC ABC ABC
ABC ABCn
m r
ABC ABC
r m
ABCABC ABCABC ABC
m rn
ABC ABC
r m
ABC ABC
m r
ABC AB
ABCr mABC ABC
n n nn
Y Y Y
I V
I V
I VY Y Y
I V
I V
I V
Y Y Y
•
•
•
⎡ ⎤
⎡ ⎤∆ ∆⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
∆ ∆=⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
∆ ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
L
L
M MM M O M
L
C
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
(A.33)
Os elementos fora da diagonal principal da matriz jacobiana são idênticos aos
correspondentes elementos da matriz admitância de barras. Para modelagem trifásica
em coordenadas retangulares, estes elementos têm dimensão 6X6 conforme mostrado
em (A.10). Os elementos diagonais da matriz jacobiano dependem do tipo de conexão e
do tipo de modelo adotado para as cargas. Estes elementos são da forma:
( )
( ) ( )
( ) ( )
' '
'' ''
ABC ABC
ABC kk kk
kk ABC ABC
kk kk
B G
Y
G B
•
⎡ ⎤
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
(A.34)
Para cargas conectadas em estrela, os elementos da matriz dada em (A.34)
assumem o seguinte aspecto:
( )'
A
k
ABC ABC B
kk kk k
C
k
a
B B a
a
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= − ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(A.35)

79
( )'
A
k
ABC ABC B
kk kk k
C
k
b
G G b
b
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= − ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(A.36)
( )''
A
k
ABC ABC B
kk kk k
C
k
c
G G c
c
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= − ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(A.37)
( )''
A
k
ABC ABC B
kk kk k
C
k
d
B B d
d
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= − − ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(A.38)
Os elementos s
ka , s
kb , s
kc e s
kd ( ps α∈ ) determinam a dependência da matriz
jacobiana ao modelo de carga adotado e são determinados por:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2' '
1 1
24 3
2k k k k
k k k k k
k
s ss s s s s s s s s
k r m r m k r m rs s
k
s s
k k
Q V V V V P V V P Q V
a Q
V V
⎡ ⎤− − +⎢ ⎥⎣ ⎦= + + (A.39)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2' '
1 1
24 3
2k k k k
k k k k k
k
k
s s
k k
P V V V V Q V V Q P V
b P
V V
⎡ ⎤− − +⎢ ⎥⎣ ⎦= − − (A.40)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2' '
1 1
24 3
2k k k k
k k k k k
k
k m r r m k r m ms s
k
s s
k k
P V V V V Q V V Q P V
c P
V V
⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦= + − (A.41)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2' '
1 1
24 3
2k k k k
k k k k k
k
k
s s
k k
Q V V V V P V V P Q V
d Q
V V
⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦= + − (A.42)
A.2.2.2 Determinação do Resíduos de Corrente
Para obtenção da solução do sistema de equações linearizadas dado em (A.33), é
necessária a determinação dos resíduos de corrente k
s
mI∆ e k
s
rI∆ . Sendo assim, para uma
barra genérica k, as Equações (A.22) e (A.23) que representam os resíduos de corrente
podem ser reescritas da seguinte forma:

80
( ) ( )
( ) ( )
( )2 2
k k
k k
k k
s ssp s sp s
calck r k ms s
r r
s s
r m
P V Q V
I I
V V
+
∆ = −
+
(A.43)
( ) ( )
( ) ( )
( )2 2
k k
k k
k k
s ssp s sp s
calck m k rs s
m m
s s
r m
P V Q V
I I
V V
−
∆ = −
+
(A.44)
Sabendo que os resíduos de potência ativa e reativa são dados por:
( ) ( )
sp calcs s s
k k kP P P∆ = − (A.45)
( ) ( )
sp calcs s s
k k kQ Q Q∆ = − (A.46)
Substituindo as Equações (A.14) e (A.15) e explicitando ( )
sps
kP e ( )
sps
kQ , obtém-
se:
( ) ( )k k k k
sps s s s s s
k k r r m mP P V I V I= ∆ + + (A.47)
( ) ( )k k k k
sps s s s s s
k k m r r mQ Q V I V I= ∆ + − (A.48)
Aplicando-se as equações acima em (A.43) e (A.44), determinam-se as expressões
necessárias para o cálculo dos resíduos de corrente, conforme mostrado a seguir:
( ) ( )
2 2
k k
k
k k
s s s s
r k m ks
r
s s
r m
V P V Q
I
V V
∆ + ∆
∆ =
+
(A.49)
( ) ( )
2 2
k k
k
k k
s s s s
m k r ks
m
s s
r m
V P V Q
I
V V
∆ − ∆
∆ =
+
(A.50)
A.2.2.3 Atualização das Tensões Nodais
As atualizações das tensões nas barras são realizadas em coordenadas retangulares
por:

81
( )
( )
( )
( )
( )
( )1
k k k
h h h
s s s
r r rV V V
+
= + ∆ (A.51)
( )
( )
( )
( )
( )
( )1
k k k
h h h
s s s
m m mV V V
+
= + ∆ (A.52)
Onde:
h Contador de iterações.

82
A.3 Algoritmo de Solução
O algoritmo de solução do fluxo de potência trifásico desequilibrado adotando-se
o método de injeção de corrente, é dado pela Figura 23.
Determinar a matriz admitância de
barras na forma retangular.
retY
Escolher os valores iniciais de tensão
e ajustar o contador de iterações.
0=h
Determinar as injeções de corrente e
as potências ativa e reativa através
das Equações (A.3), (A.14) e (A.15).
Calcular os resíduos de corrente
utilizando-se as Equações (A.49) e
(A.50).
( )
( )
M
h
s
MkI
R
h
s
RkI
ε
ε
≤
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛∆
≤
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛∆
max
e
max
Sim
Imprima os Resultados
Não
Atualizar a matriz jacobiana e
calcular o vetor para correção das
tensões dado pela Equação (A.33)
Atualizar as tensões nas barras
utilizando as Equações (A.51) e
(A.52)
Incrementar o contador de iterações.
( )1+= hh
Figura 23 – Organograma para o algoritmo de solução do fluxo de potência trifásico pelo método de
injeção de correntes.

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83
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