3. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)
Blu-ray HD DVD HD VMD DVD
Tasa de
transferencia
datos
36,0 / 54,0
Mbps
36,55 Mbps
40,0 Mbps (no
indica
si es datos o
audio/vídeo)
11,1 / 10,1
Mbps
Formatos
soportados
MPEG-2,
MPEG-4 AVC,
VC-1
MPEG-2, VC-1
(basado
en WMV), H.26
4/MPEG-4 AVC
MPEG-1,
MPEG-2,
MPEG-4 AVC,
VC-1
MPEG-1,
MPEG-2
Resolución
máxima de
vídeo
soportada
1080p 1080p 1080p 480p/576p
7. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)
Tempo real
Taxas em Mbps
Hardware compacto
Baixo custo
Como descomplexar
a alta complexidade OFDM
8. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)
Conceptos preliminares
1010.. 1010.. 1010.. 1010....................................
𝐹1 𝐹2 𝐹𝑛−1 𝐹𝑛
T
Ts Ts Ts Ts
Se a taxa de transmissão inicial R, nova R/N
Desvanecimento plano e não seletivo
Se o intervalo de símbolo ↓ → Sensibilidade ao espalhamento ↓
→ ISI ↓
9. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)
Conceptos preliminares Transmissão paralela de
símbolos
As portadoras Transmitem
informação modulados
digitalmente (BPSk, QPSK..)
Taxa de transmissão menor.
10. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)
Seja o tempo de símbolo Ts, caso uma só portadora.
))(()( 2 tfj
sc
c
etmts
Fc, Frequência de portadora, de transmissão RF.
A envoltória complexa pode ser representada:
n
sn nTtgdtm )()(
dn ∈ 𝐴𝑖 + 𝑗𝐵𝑖
𝑀
𝑖 = 1, 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜
g(t) pulso formato de sinal na transmissão
11. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)
s
s
T
B
2
1
A largura de faixa ocupada pelo sistema de uma só portadora:
A largura de faixa ocupada por cada M subportadora OFDM será:
M
B
B s
sub ↓Rs → Ts(OFDM)
Assim os parâmetros OFDM T e
𝑇 = 𝑀𝑇𝑠 𝑑𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠
𝐵 𝑜𝑓𝑑𝑚 = 𝑀𝐵𝑠𝑢𝑏 = 𝐵𝑠 largura de faixa
14. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)
Os sinais de cada uma das subportadores é:
Tt
Tted
ts
tffj
i
i
ci
,0,0
,0),(
)(
)(2
i=0,1,2,3...M-1
𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖 =
1
𝑇
di Representa o mapeamento dos símbolos na constelação de sinais
Tteedts tfj
t
T
i
j
ii
c
0),()( 2
)(2
Transmissão
15. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)
Se g(t) pulso formatador (Retangular unitário de duração T)
Tteetgdts
M
i
tfj
t
T
i
j
iofdm
c
0),)(()(
1
0
2
)(2
Envoltória complexa s(t) em relação a frequência fc
Recepção
Ttetgdts
M
i
t
T
i
j
i
0,)()(
1
0
)(2
No receptor, o sinal r(t) é correlacionado com funções base do tipo:
Ttetb tfj
i
i
0,)( )2( i=0,1,2....M-1
16. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)
dtedeetndttneder
M
k
t
T
k
j
k
T T ftjftj
M
k
t
T
k
j
k
T
ftj
i
iii
1
0
)2(
0 0
)2()2(
1
0
)2(
0
)2(
)()(
Saída do n-esimo correlator
1
0
0
)2(M
k
T t
T
ik
j
k
j
ii dtedenr
ri = Te-jdi + ni
A
implementação
paralela
demandaria M
osciladores e
filtros
analógicos
Inviável !!!
17. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)
Lembrando o equivalente passa-baixa de um símbolo OFDM é:
O sinal s(t) amostrado M vezes nos instantes t=lTs é: (T=MTs)
𝑙 = 0,1,2, … 𝑀 − 1
Ttetgdts
M
i
t
T
i
j
i
0,)()(
1
0
)(2
Ttedls
M
i
l
M
i
j
i
0,)(
1
0
)(2
18. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)
DFT (Discrete Fourier Transform) e IDFT (Inverse Discrete Fourier Transform)
A aplicação de DFT a um vector x de “M” componentes:
10,)(x
1
)(X
)(21
0
Mken
M
k M
i
kjM
i
10,)(X)(x
)(21
0
Miekn M
i
kjM
i
FDT
IFDT
Na transmissão
19. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)
Na recepção
1
0
)(2^ 1
))((
M
l
N
kl
j
lsk es
M
lTsDFTd
1
0
1
0
1
0
)(
21
0
^ 11 )(
2
M
l
M
n
l
M
l
kn
N
j
n
M
n
j
nk ed
M
ed
M
d
lkn
M
k
M
n kn
M
j
Mkn
M
j
nk d
e
e
d
M
d
1
0 )(
2
)(
2
^
1
11
20. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)
Para reduzir os efeitos IBI (Inter Block Interference) e introduzido um intervalo de
guarda de duração Tg em cada simbolo OFDM.
𝑇𝑜𝑓𝑑𝑚 = 𝑇 + 𝑇𝑔
CP-OFDM (Cyclic Prefix- Orthogonal Frequency division Multiplexing)
Inicio de cada simbolo
Extensão ciclica do simbolo
O receptor não considera os dados agregados
Final de cada símbolo
Preenchimento de Zeros
Os dados agregados são utilizados na DFT
ZP-OFDM (Zero Padding-Orthogonal Frecuency division Multiplexing )
22. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)
Sistema robusto em termos de seletividade da frequência (T=MTs)
Capacidade para eliminar a IBI, diminuir a ISI, mediante o intervalo de guarda.
Por utilizar transmissão paralela:
Planura na resposta de amplitude (Análises em frequência )
Linearidade na resposta em fase.
Equalização de menor complexidade.
Robustez ao ruído aditivo (Ts)
Vantagens
23. Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)
Desvantagens
Incompatibilidade do uso do esquema convencional de transmissão em
canais seletivos em frequência.
Interleaving no domínio do tempo, (Ts) → retardo na transmissão de
dados.
Picos de potência.
Desvios de frequência
Problemas de sincronização de frequência.
24.
25. Tx paralela de dados em
subportadoras ortogonais de
banda estreita
n-ésimo símbolo OFDM
formado por blocos de sub-símbolos
𝒅 𝑛 = 𝑑1 𝑛 𝑑2 𝑛 ⋯ 𝑑 𝑀 𝑛 𝑇
número de
subportadoras
de sistema
𝑑𝑖 𝑛 → sub-símbolos
mapeados na constelação na
modulação APSK
𝐸𝑠 = 1
i.i.d.
Signal
Mapper
(QPSK)
IDFT
Parallel-
to-Serial
Converter
Guard
Interval
Insertion
Serial-to-
Parallel
Converter
2d
Md
Serial
Data
Input
1s
2s
Ms
x bits
D/A
&
Lowpass
Filter
1x 1d
2x
Mx
H
MW
1
M
i i
d 1
M
i i
s
Transmissão
26. Transmissão
• A duração dos símbolos OFDM (T):
𝑇 = 𝑀𝑇𝑠
𝑇𝑠 = duração dos sub-símbolos em cada
subportadora.
• Em CP e ZP-OFDM, com a inserção do intervalo de
guarda, a duração de um símbolo OFDM (𝑇𝑜𝑓𝑑𝑚) é:
𝑇𝑜𝑓𝑑𝑚 = 𝑇 + 𝑇𝑔
29. 1
1
1
i
i
d
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ê ú
ê ú-ê úë û
M
0 10 20 30 40 50 60 70
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
[ ]-0.09, -0.003-0.096i, , 0.01+ 0.247i, -0.035-0.0472is = L
Signal
Mapper
(QPSK)
IDFT
Parallel-
to-Serial
Converter
Guard
Interval
Insertion
Serial-to-
Parallel
Converter
2d
Md
Serial
Data
Input
1s
2s
Ms
x bits
D/A
&
Lowpass
Filter
1x 1d
2x
Mx
H
MW
1
M
i i
d 1
M
i i
s
𝒔 = 𝑾 𝑴
𝐻
𝒅
Transmissão
30. Transmissão
Tx apenas um símbolo OFDM, onde se supôs n=0.
𝑝 𝑡 = pulso formatador para o sinal de transmissão OFDM
32. Recepção
No instante de amostragem 𝑡 = 𝑙𝑇𝑠
𝑟 𝑙𝑇𝑠 = 𝑧 𝑙𝑇𝑠 + 𝑛0(𝑙𝑇𝑠)
ℎ 𝑑(𝑡) casado
ao pulso
formatador
𝑝(𝑡)
ℎ 𝑑(𝑡) ∗ 𝑝(𝑡)
atende ao
primeiro
critéiro de
Nyquist
As mostras
𝑛0(𝑡) tomadas
a intervalos de
sub-símbolos 𝑇𝑠
são
descorrelatadas
As mostras
𝑛0(𝑡) são e.i.’s
𝑙 referencia a mostra obtida para o símbolo OFDM durante o intervalo 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑀
34. Recepção
Para um instante 𝑛 (um único símbolo OFDM) o sinal que chega ao receptor, é:
𝒛 𝑛 = 𝑯𝒔 𝑛 = 𝑯𝑾 𝑴
𝐻
𝒅 𝑛
𝑯 = matriz de convolução discreta para o canal 𝒉(𝑙)
𝑯 é matriz Toeplitz 𝑀 × 𝑀 (Matriz de diagonais contantes) cuja primeira coluna é:
[ℎ0 ⋯ ℎ 𝐿−1 01 0 𝑀−𝐿] 𝑇
O sinal de observação 𝒓 𝑛
𝒓 𝑛 = 𝒛 𝑛 + 𝒏(𝑛)
𝒏 𝑛 é vetor ruído gaussiano, média nula e matriz covariância 𝑲 𝒏 = 𝜎2 𝑰
35. DATA CP
CP
CP
CP
CP
1
1
1
i
i
d
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ê ú
ê ú-ê úë û
M
0 10 20 30 40 50 60 70
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
[ ]-0.09, -0.003-0.096i, , 0.01+ 0.247i, -0.035-0.0472is = L
0 10 20 30 40 50 60 70 80
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0 10 20 30 40 50 60 70 80
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Signal
Mapper
(QPSK)
IDFT
Parallel-
to-Serial
Converter
Guard
Interval
Insertion
Serial-to-
Parallel
Converter
2d
Md
Serial
Data
Input
1s
2s
Ms
x bits
D/A
&
Lowpass
Filter
1x 1d
2x
Mx
H
MW
1
M
i i
d 1
M
i i
s
Transmissão de Sinais CP-OFDM
36. Transmissão de Sinais CP-OFDM
Modelo discreto de
transmissão CP-OFDM
𝒔 𝒄𝒑 𝑛 = 𝑴 𝒄𝒑 𝒅(𝑛)
𝑴 𝒄𝒑 =
𝑾 𝒄𝒑
𝐻
𝑾 𝑴
𝐻
𝑾 𝒄𝒑
𝐻
matriz formada pelas últimas 𝐺 linhas da matriz IDFT 𝑾 𝑴
𝐻
O intervalo de guarda é formado por um conjunto de 𝐺 amostras da extensão cíclica
do s(𝑛), assim o número de amostras é igual 𝑃 = 𝑀 + 𝐺
37. Recepção de Sinais CP-OFDM
Considerando 𝒉 𝑳 = [ℎ0 ℎ1 ⋯ ℎ 𝐿−1] 𝑇
a
resposta impulsional do canal de
comprimento 𝐿 e 𝒏 𝒄𝒑 𝑛 um vetor de ruído
na recepção.
𝑀 > 𝐺 ≥ 𝐿 − 1
38. Recepcão de Sinais CP-OFDM
• A n-ésima observação de dimensão Px1, pode ser:
𝒓 𝒄𝒑 𝑛 = 𝑯𝑴 𝒄𝒑 𝒅 𝑛 + 𝑯𝒊𝒃𝒊 𝑴 𝒄𝒑 𝒅 𝑛 − 1 + 𝒏 𝒄𝒑(𝑛)
• 𝑯 = matriz Toeplitz 𝑃 × 𝑃 cuja primeira coluna é dada
por: [ℎ0 ⋯ ℎ 𝐿−1 01 0 𝑃−𝐿] 𝑇
• 𝑯𝒊𝒃𝒊 = matriz Troeplitz triangular superior 𝑃 × 𝑃 ,
representa a incidencia de IBI (interferencia inter blocos) e
sua primeira linha é dada por
𝑯𝒊𝒃𝒊 = [01 ⋯ 0 𝑃−𝐿+1 ℎ 𝐿−1 ⋯ ℎ1]
39. Recepcão de Sinais CP-OFDM
• Após a remoção da extensão cíclica no receptor e, desde que 𝐺 ≥ 𝐿 −
1, a n-ésima observação 𝑀 × 1 é:
𝒓 𝑛 = 0 𝑀×𝐺 𝐼 𝑀×𝑀 𝒓 𝒄𝒑 𝑛 = 𝑪𝒊𝒓𝒄 𝒉 𝑾 𝑴
𝐻
𝒅 𝑛 + 𝒏(𝑛)
• 𝒏(𝑛) é um vetor ruído (Mx1) com média nula e matriz covariância:
𝑲 𝒏 = 0 𝑀×𝐺 𝐼 𝑀×𝑀 𝑲 𝒏𝒄𝒑 0 𝑀×𝐺 𝐼 𝑀×𝑀
𝑇
= 𝜎2
𝑰
Assim a adição e remoção do prefixo cíclico, por meio de matrizes pré
definidas, não altera as estatísticas do vetor de ruído
40. Recepcão de Sinais CP-OFDM
• O termo 𝑪𝒊𝒓𝒄 𝒉 representa a matriz circulante, cuja primeira coluna é
ℎ = [ℎ0 ⋯ ℎ 𝐿−1 01 0 𝑀−𝐿] 𝑇
Intervalo de guarda com CP permite tratar a operação de convolução
linear entre a resposta al impulso do canal e o sinal de tx CP-OFDM
como uma convolução circular
41. Recepcão de Sinais CP-OFDM
• Após a demodulação com a matriz DFT representada por 𝑾 𝑴, o
sinal recebido no domínio da freqüência é dado por:
𝒙 𝒄𝒑 𝑛 = 𝑾 𝑴 𝑪𝒊𝒓𝒄 𝒉 𝑾 𝑴
𝐻
𝒅 𝑛 + 𝑾 𝑴 𝒏(𝑛)
𝒙 𝒄𝒑 𝑛 = 𝑫 𝒒 𝒅 𝑛 + 𝒏′(𝑛)
• 𝑪𝒊𝒓𝒄 𝒉 foi diagonalizada pela pré/pós multiplicação das
matrizes IDFT e DFT.
• A matriz 𝑫 𝒒 são formadas pelas componentes da resposta em
freqüência do canal 𝑞 = 𝑀𝑾 𝑴 𝒉
• As estatísticas vetor gaussiano branco não se alteram com uma
aplicação de uma transformação ortogonal 𝑾 𝑴
42. Recepcão de Sinais CP-OFDM
• Para canais seletivos em freqüência invariantes no tempo
a matriz circulante 𝑪𝒊𝒓𝒄 𝒉 pode ser gerada após da
operação DFT (h são constantes durante o bloco M).
• Na observação do 𝒓 𝑛 , a multiplicação pela matriz DFT
resulta uma matriz diagonal 𝑫 𝒒
• Assim para canais fixos o processo de equalização pós-
DFT é simplificado pois cada sub-símbolo necessita de um
equalizador de apenas 1 tap visando eliminar as
distorções multiplicativas provocadas pelo canal na
seqüência 𝒙 𝒄𝒑 𝑛
43. Recepcão de Sinais CP-OFDM
• Os equalizadores ZP (Zero Forzing) e MMSE
(Minimum Mean Squared Error) supõem o
conhecimento ideal do canal e são
representadas por:
𝑮 𝒛𝒇
𝒄𝒑
= 𝑫(𝒒)−1
𝑮 𝒎𝒎𝒔𝒆
𝒄𝒑
= 𝑫(𝒒) 𝑯 𝑫 𝒒 𝑫(𝒒) 𝑯 + 𝜎2 𝑰 −𝟏
45. Transmissão de Sinais ZP-OFDM
• No instante n, o sinal de transmissão ZP-
OFDM 𝒔 𝒛𝒑(𝑛) é obtido ao se adicionar um
intervalo de guarda, composto por uma
seqüência de G zeros, ao sinal de transmissão
original 𝑠 𝑛 = 𝑾 𝑴
𝐻
𝒅(𝑛) de dimensão Mx1.
• Assim o número de amostras transmitidas por
símbolo OFDM é igual a 𝑃 = 𝑀 + 𝐺.
47. Recepcão de Sinais ZP-OFDM
• Dado a condição de 𝐺 ≥ 𝐿 − 1, a matriz de
zeros de dimensão 𝐺 × 𝑀 contida na parte
inferior de 𝑴 𝒛𝒑, elimina a interferência entre
símbolos ZP-OFDM no vetor de observação
𝒓 𝒛𝒑(𝑛). Então:
𝐫𝐳𝐩 𝑛 = 𝑯𝑴 𝒛𝒑 𝒅 𝑛 + 𝒏 𝒛𝒑(𝑛)
48. Recepcão de Sinais ZP-OFDM
• Para a extração do vetor 𝒅, aplica-se a matriz 𝑾 𝑷:
𝒙 𝐳𝐩 𝑛 = 𝑾 𝑷 𝑯𝑴 𝒛𝒑 𝒅 𝑛 + 𝑾 𝑷 𝒏 𝒛𝒑(𝑛)
Note que 𝑯 não é circulante e que dada a naturaza da
matriz 𝑴 𝒛𝒑 neste caso, o produto 𝑯𝑴 𝒛𝒑 é insensível as L
últimas colunas de 𝑯. Assim 𝑯 pode ser substituída por
uma matriz circulante 𝑯 𝒄 cujas M primeiras colunas são
idênticas as correspondentes de 𝑯
𝒙 𝐳𝐩 𝑛 = 𝑾 𝑷 𝑯 𝒄 𝑴 𝒛𝒑 𝒅 𝑛 + 𝑾 𝑷 𝒏 𝒛𝒑(𝑛)
49. Recepcão de Sinais ZP-OFDM
𝒙 𝐳𝐩 𝑛 = 𝑾 𝑷 𝑯 𝒄 𝑾 𝑷
𝐻
𝑾 𝑷 𝑴 𝒛𝒑 𝒅 𝑛 + 𝑾 𝑷 𝒏 𝒛𝒑(𝑛)
𝒙 𝐳𝐩 𝑛 = 𝑫 𝒒 𝑽𝒅 𝑛 + 𝒏(𝑛)
Onde:
𝒒 = 𝑃𝑾 𝑷 𝒉
Cuja componentes são a resposta em freqüência do canal para uma das P
subportadoras
𝑫 𝒒 é matriz diagonal de dimensão 𝑃 × 𝑃 cuja diagonal é formada por os
elementos 𝒒
𝑽 é matriz estruturada PxM, obtida do produto matricial 𝑾 𝑷 𝑴 𝒛𝒑
50. Recepcão de Sinais ZP-OFDM
Considerando que:
• Subsímbolos CP-OFDM possuem energía unitária,
pertenecientes a uma constelação APSK balanceada
• O vetor de ruído 𝒏(𝑛) possui matriz covariância
𝑲 𝒏 = 𝜎2
𝑰 as matrizes do equalizadores são:
𝑮 𝒛𝒇
𝒛𝒑
= (𝑫 𝒒 𝑉)†
𝑮 𝒎𝒎𝒔𝒆
𝒄𝒑
= 𝑽 𝑯 𝑫(𝒒) 𝑯 𝑫 𝒒 𝑽𝑽 𝑯 𝑫(𝒒) 𝑯 + 𝜎2 𝑰 −𝟏
Onde a operação ⋅ †
indica a matriz pseudoinversa.
Notas do Editor
A técnica OFDM efetua a transmissão paralela de dados em subportadoras ortogonais de banda estreita.
O n-ésimo símbolo OFDM é formado por blocos de sub-símbolos da forma:
CP = prefixo ciclico
ZP = zero padding
Proceso discreto de geração do sinal de transmissão de apenas um símbolo OFDM, onde se supôs n=0.
A sinal de tx ofdm s(t), e obtido por meio da aplicação do vetor s na entrada do conversor D/A
Considerando que cada amostra z(l) é resultado da convolução discreta da sequencia sl com a sequencia hl, o modelo discreto para a recepção do sinal OFDM é representado por…
No instante n, o sinal de transmissão CP-OFDM 𝒔 𝒄𝒑 𝑛 é obtido ao se adicionar um intervalo de guarda ao sinal de transmissão original s(𝑛)
O intervalo de guarda é formado por um conjunto de 𝐺 amostras da extensão cíclica do s(𝑛), assim o número de amostras é igual 𝑃=𝑀+𝐺