ANPEC 2006 Estatística prova resolvida (40

EXAME NACIONAL DE SELEÇÃO 2006
PROVA DE ESTATÍSTICA
Resolvida pela equipe da
Central de Ensino para Graduados LTDA
Fone: 11 3063-4019
1o
Dia: 05/10/2005 - QUARTA FEIRA
HORÁRIO: 10h30 às 12h 45 (horário de Brasília)
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1o
Dia: 05/10 (Quarta-feira) – Manhã: 10:30h às 12h 45 -
ESTATÍSTICA
Instruções
1. Este CADERNO é constituído de quinze questões objetivas.
2. Caso o CADERNO esteja incompleto ou tenha qualquer defeito, o(a) candidato(a) deverá
solicitar ao fiscal de sala mais próximo que o substitua.
3. Nas questões do tipo A, recomenda-se não marcar ao acaso: cada item cuja resposta divirja
do gabarito oficial acarretará a perda de
n
1
ponto, em que n é o número de itens da questão a
que pertença o item, conforme consta no Manual do Candidato.
4. Durante as provas, o(a) candidato(a) não deverá levantar-se ou comunicar-se com outros(as)
candidatos(as).
5. A duração da prova é de duas horas e quinze minutos, já incluído o tempo destinado à
identificação – que será feita no decorrer das provas – e ao preenchimento da FOLHA DE
RESPOSTAS.
6. Durante a realização das provas não é permitida a utilização de calculadora ou qualquer
material de consulta.
7. A desobediência a qualquer uma das recomendações constantes nas presentes Instruções,
na FOLHA DE RASCUNHO e na FOLHA DE RESPOSTAS poderá implicar a anulação das
provas do(a) candidato(a).
8. A saída de candidatos com o Caderno de Provas, só será permitida, após haver
transcorrido 1 hora e 15 minutos do início da prova.
9. As folhas de rascunho não podem ser destacadas do caderno de prova.
AGENDA
• 13/10/2005 – A partir das 20h, divulgação dos gabaritos das provas objetivas, nos endereços:
http://www.unb.br/face/eco/anpec2006 e http://www.anpec.org.br
• 14 a 15/10/2005 – Recursos identificados pelo autor serão aceitos a partir do dia 14 até às 20h
do dia 15/10 do corrente ano. Não serão aceitos recursos fora do padrão apresentado no
manual do candidato.
• 17/11/2005 – Entrega do resultado da parte objetiva do Exame aos Centros.
• 18/11/2005 – Divulgação do resultado pela Internet, nos sites acima citados.
OBSERVAÇÕES:
• Em nenhuma hipótese a ANPEC informará resultado por telefone.
• É proibida a reprodução total ou parcial deste material, por qualquer meio ou processo, sem
autorização expressa da ANPEC.

Exame Nacional ANPEC 2006: 1° Dia ESTATÍSTICA 1/10
Central de Ensino para Graduados LTDA – http://www.centraldeensino.com.br
1o
Dia: 05/10 (Quarta-feira) – Manhã: 10:30h às 12h 45 -
ESTATÍSTICA
• Nas questões de 1 a 11, marque, de acordo com o comando de cada uma delas: itens
VERDADEIROS na coluna V; itens FALSOS na coluna F.
• Nas questões 12 a 15, marque, de acordo com o comando: o algarismo das DEZENAS na
coluna D; o algarismo das UNIDADES na coluna U. O algarismo das DEZENAS deve ser
obrigatoriamente marcado, mesmo que seja igual a ZERO.
• Use a FOLHA DE RASCUNHO para as devidas marcações e, posteriormente, a FOLHA DE
RESPOSTAS.
QUESTÃO 01
Com relação a números índices, são corretas as afirmativas:
Ⓞ O cálculo do índice de preços de Laspeyres requer que preços e quantidades para todos os
períodos sejam apurados conjuntamente.
Solução: Falsa, pois, o índice de preços de Laspeyres requer os preços em todos os períodos e
somente a quantidade do período base.
① O cálculo do índice de quantidades de Paasche requer que somente os preços ou as quantidades
sejam apurados em todos os períodos.
Solução: Falsa, pois, o índice de quantidades de Paasche requer as quantidades em todos os
períodos e somente o preço do período atual.
② O índice de preços de Paasche compara o custo de uma cesta de produtos do período atual,
avaliada a preços correntes, com o custo da mesma cesta avaliada a preços do período base.
Solução: Verdadeira, pois é a definição do índice de preços de Paasche.
③ O índice de preços de Fischer atende o critério de reversão no tempo.
Solução: Verdadeira, pois, o índice de Fischer é definido como:
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
⋅
⋅
×
⋅
⋅
= n
i
t
ii
n
i
t
i
t
i
n
i
ii
n
i
i
t
i
P
t
qp
qp
qp
qp
F
1
0
1
1
00
1
0
0|
o critério de reversão no tempo é 1|00| =× P
t
P
t FF , logo temos:
1
1
0
1
00
1
1
0
1
0
1
1
00
1
0
|00| =
⋅
⋅
×
⋅
⋅
×
⋅
⋅
×
⋅
⋅
=×
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
n
i
i
t
i
n
i
ii
n
i
t
i
t
i
n
i
t
ii
n
i
t
ii
n
i
t
i
t
i
n
i
ii
n
i
i
t
i
P
t
P
t
qp
qp
qp
qp
qp
qp
qp
qp
FF .
Portanto, o índice de preços de Fischer satisfaz o critério de reversão no tempo.

④ Sendo negativa a correlação entre preços relativos e quantidades relativas, o índice de preços de
Laspeyres é maior que o índice de preços de Paasche.
Solução: Verdadeiro, pois, a definições dos índices de preços de Laspeyres e Paasche:
∑
∑
=
=
⋅
⋅
n
i
ii
n
i
i
t
i
P
t
qp
qp
L
1
00
1
0
0| e
∑
∑
=
=
⋅
⋅
= n
i
t
ii
n
i
t
i
t
i
P
t
qp
qp
P
1
0
1
0| .
Seja [ ] ),cov(
1
0|0|0| YXLLP Q
t
P
t
P
t ×=−=
−
δ , onde a cov(X,Y) é a covariâncias dos preços relativos com
as quantidades relativas.
Onde, Q
tL 0| é o índice da quantidade de Laspeyres que é sempre positivo, logo δ depende somente
da covariâncias entre os preços relativos e as quantidades relativas. Como a covariância é
negativa temos que
[ ] P
t
P
t
Q
t
P
t
P
t PLYXLLP 0|0|
1
0|0|0| 0),cov( >⇒<×=−=
−
δ .
Referência para o exercício:
Estatística e Introdução à econometria, Alexandre Sartoris.
QUESTÃO 02
São corretas as afirmativas:
Ⓞ Seja Y uma variável aleatória com distribuição Binomial com parâmetros n e p, em que
10 ≤≤ p . Então, sendo n grande e p pequeno, a distribuição de Y aproxima-se de uma
Poisson cuja média é np.
Solução: Verdadeiro. Sejam ),(~ pnBinomialY e pn ⋅=λ . Então
i
ni
i
ini
ini
n
n
in
innn
nniin
n
pp
iin
n
iYP
)1(
)1(
!
)1()1(
1
!)!(
!
)1(
!)!(
!
)(
λ
λλλλ
−
−
××
+−⋅⋅−
=





−





−
=−
−
==
−
− L
Agora, para n grande e λ moderado (p pequeno) temos:
λ
λ −
≈− en n
)1( , 1
)1()1(
≈
+−⋅⋅−
i
n
innn L
e 1)1( ≈− i
nλ
assim,
!
)(
i
e
iYP
i
λλ−
≈= .Portanto, )(~ npPoissonY =λ .
① Se Y é uma variável aleatória Normal com média 0 e variância 1; se X segue uma Qui-quadrado
com r graus de liberdade; e se Y são X independentes, então r
XYZ = segue uma distribuição
t com r graus de liberdade.
Solução: Verdadeira, pois, r
XYZ = segue uma distribuição t com r graus de liberdade, ver a
demonstração no livro, Introduction to the Theory of Statistics, Alexandre M. Mood.
② Sejam X e Y variáveis aleatórias distribuídas segundo uma Normal bivariada. Suponha que
E(X) = µX, E(Y) = µY, 2
)( XXVar σ= , 2
)( YYVar σ= e que a correlação entre X e Y seja ρXY. Então,

Z = aX + bY, em que a e b são constantes diferentes de 0, segue uma distribuição Normal com
média aµX + bµY + abµX µY e variância a2
σX
2
+ b2
σY
2
+ 2abρXY
Solução: Falsa, pois, vamos calcular a media de Z:
Propried. e YX baYbEXaEbYaXEZE µµ +=+=+= )()()()( que é diferente da média dada no
exercício.
③ Sejam Y e X variáveis aleatórias com distribuições Qui-quadrado com p e q graus de liberdade,
respectivamente. Portanto, 










=
q
X
p
YZ segue uma distribuição F com p e q graus de
liberdade.
Solução: Verdadeira, 










=
q
X
p
YZ segue uma distribuição F com p e q graus de libredade, ver
a demonstração no livro, Introduction to the Theory of Statistics, Alexandre M. Mood, pagina
246.
④ Sejam X e Y variáveis aleatórias conjuntamente distribuídas segundo uma Normal bivariada.
Suponha que E(X) = µX, E(Y) = µY, 2
)( XXVar σ= , 2
)( YYVar σ= e que a correlação entre X e Y seja
ρXY. Então, E(Y|X) = µY + ρXY (x – µX).
Solução: Falsa, pois,














−−−
−
−
−
=
2
222
| )(
)1(2
1
exp
12
1
)|( X
X
Y
Y
YY
XY xyxyf µ
σ
ρσ
µ
ρσρσπ
que é a função densidade de Y|X e tem distribuição Normal com )()|( X
X
Y
Y xXYE µ
σ
σ
ρµ −+= .
QUESTÃO 03
Julgue as afirmativas. Em uma função densidade de probabilidade conjunta f(x,y), para as variáveis
aleatórias contínuas X e Y:
Ⓞ A função densidade de probabilidade marginal de X é:
y
yxf
xf
∂
∂
=
),(
)( .
Solução: Falsa, pois, a definição de ∫
∞
∞−
= dyyxfXf ),()( (ver qualquer livro intermediário de
Probabilidade).
① Se F(y) é a função distribuição de probabilidade marginal de Y, então f(y) = dF(y)/dy, para F(y)
derivável em todo o y.
Solução: Verdadeira, pois, f(y) = dF(y)/dy é a definição da funcao de distribuição marginal de Y.
② X e Y serão independentes se f(x) = f(x | y).
Solução: Verdadeira, pois, a definição de independência nos diz que:
X é independente de Y )()|( xfyxf =⇔ ou )()(),( yfxfyxf = .

③ EX[E(Y | x ) ] = E[Y]
Solução:Verdadeira, pois,
)()(
),()(
)(
),(
)()|()()|()]|([
YEdyyfy
dxdyyxfydxdyxf
xf
yxf
ydxxfdyxyyfdxxfxYExYEEX
==
=⋅=





==
∫
∫ ∫∫∫∫ ∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
④ Se X e Y são independentes, VY[E(X | y ) ] = V[X],
Solução: Falsa, pois, 0)]([)]|([ == XEVyXEV YY .
QUESTÃO 04
Com relação a testes de hipóteses, julgue as afirmativas:
Ⓞ Em um teste de hipóteses, comete-se um erro do tipo I quando se rejeita uma hipótese nula
verdadeira.
Solução: Verdadeira, pois, o erro tipo I é definido como:
)|( verdadeiraHHrejeitarP oo=α .
① O poder de um teste de hipóteses é medido pela probabilidade de se cometer o erro tipo II.
Solução: Falsa, pois, o poder de um teste de hipóteses é definido como β−1 , onde β é a
probabilidade de cometer o erro tipo II.
② A soma das probabilidades dos erros tipo I e tipo II é igual a 1.
Solução: Falsa, pois, os erros tipo I e tipo II não são probabilidades complementares, logo a soma
dos dois pode dar diferente de 1.
③ Quanto maior for o nível de significância de um teste de hipóteses maior será o valor-p a ele
associado.
Solução: Falsa, pois, )|( verdadeiraHxXPpvalor oobs>=− , e não tem nenhuma relação com o
tamanho do nível de significância.
④ Se o valor-p de um teste de hipóteses for igual 0,015, a hipótese nula será rejeitada a 5%, mas
não a 1%.
Solução: Verdadeira, pois, para 5% o valor-p=0,015<0,05 e, portanto rejeita a hipótese nula, já para
1% o valor-p>0,01 e, portanto aceita a hipótese nula.
QUESTÃO 05
São corretas as afirmativas:
Ⓞ O teorema de Tchebychev é útil para se calcular o limite inferior para a probabilidade de uma
variável aleatória com distribuição desconhecida quando se tem apenas a variância da
população.
Solução: Falsa, pois, o teorema de Tchebychev nos diz que: Se X é uma variável aleatória com
média finita e variância 2
σ , então para qualquer valor 0>k

{ } 2
2
||
k
kXP
σ
µ ≤≥− ,
e não um limite inferior para a probabilidade.
① Um estimador não-tendencioso pode não ser consistente.
Solução:Verdadeiro, pois, para um estimador θˆ ser consistente ele etem que satisfazer
θθ =
∞→
)ˆ(lim E
n
e 0)ˆ(lim =
∞→
θVar
n
já um estimador não-tendencioso satisfaz θθ =)ˆ(E e não sabemos nada sobre a )ˆ(θVar . Logo o
estimador pode não ser consistente.
② Um estimador consistente pode não ser eficiente.
Solução: Verdadeiro, pois, seja X=1
ˆµ e ),,(ˆ 12 nXXmediana L=µ dois estimadores para a
média, que são consistente, mais 1
ˆµ é eficiente e 2
ˆµ não é eficiente. Logo temos que 2
ˆµ é
consistente e não é eficiente.
③ Sejam Y1,...,Yn variáveis aleatórias independentes com média µ e variância finita. Pela Lei dos
Grandes Números, E(m) = µ, em que m = ∑=
n
i
iY
n 1
1
.
Solução: Falsa, pois, a Lei dos grande numeros nos diz: Sejam K,, 21 XX uma seqüência de
variáveis aleatória independente e identicamente distribuída, tendo média finita. Então com
probabilidade 1, µ∑=
→=
++ n
i
i
n
X
nn
XX
1
1 1L
quando ∞→n .
Logo, o exercicio é falso, pois, faltou ∞→n .
④ Sejam Y1,...,Yn variáveis aleatórias independentes com média µ e variância finita. Pelo
Teorema do Limite Central, a distribuição da média amostral m converge para uma distribuição
Normal.
Solução:Verdadeiro, pois, o Teorema do Limite Central nos diz que: Dada uma variavel aleatoria
X, iid, (independente e identicamente distribuida) como média µ e variância 2
σ , a média
amostral m segue (desde que a amostra seja suficientemente grande) uma distribuição Normal.
QUESTÃO 06
Julgue as afirmativas. A respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em
um modelo de regressão linear múltipla:
Ⓞ Se a variância do erro não for constante, as estimativas dos parâmetros serão não-viesadas.
Solução: Verdadeiro, pois, para os parâmetros serem não viesados basta que 0)( =εE , ou seja não
depende da variância do erro.
① Se E(ε) ≠ 0, os estimadores de todos os parâmetros, com exceção do intercepto, serão viesados.
Solução: Falsa, pois, se 0)( ≠εE todos os estimadores de todos os parâmetros serão viesados sem
exceção do intercepto.

② Se o erro não seguir a distribuição Normal as estimativas por MQO são consistentes.
Solução: Falsa, pois, as estimativas por MQO são consistentes se, as propriedades dos erros são
satisfeitas e o QXX
nn
=
∞→
'
1
lim onde Q é uma matriz positiva definida.
③ Sob as hipóteses do modelo de regressão clássica, com erros na forma de ruído branco com
distribuição Normal, os estimadores de MQO serão os mais eficientes possíveis.
Solução: Verdadeira, pois, as hipóteses do modelo de regressão clássica estão satisfeitas e no livro
Econometrics models, techniques and applications, autor Bodkin, tem um resultado que nos
garante que os estimadores de MQO são os mais eficientes possíveis.
④ A presença de colinearidade imperfeita entre as variáveis explicativas gera estimadores
viesados.
Solução: Falsa, pois, colinearidade imperfeita entre as variáveis explicativas é uma das hipóteses
básica sobre o modelo de regressão linear múltipla, para gera estimadores não viesados.
Bibliografia: Econometrics models, techniques and applications, autor: Bodkin.
QUESTÃO 07
Considere o modelo:
Yt = αZt + βYt-1 + e1t (equação I)
Zt = λZt-1 + e2t (equação II)
em que α, β e λ são parâmetros e
.todopara,
0
0
)(
,
0
0
Normal~ 2
2212
12
2
11
2
1
tkE
e
e
kt
t
t
t
≠





=




























=
ee
e
σσ
σσ
Suponha também que |λ|<1 e |β|<1. São corretas as afirmativas:
Ⓞ A condição |λ|<1 garante a estacionariedade de segunda ordem de Zt.
Solução: verdadeira, pois, Zt é um modelo AR(1) e ele só será estacionário se |λ|<1.
Ver a demonstração no livro Estatística e introdução a econometria de Alexandre Sartoris.
① O estimador de mínimos quadrados ordinários de λ, na equação II, não é consistente.
Solução: Falsa, pois, como vemos o erro et satisfaz as condições do modelo de regressão e com isso
o estimador de mínimos quadrados de λ , na equação dois são consistentes.
② Os estimadores de mínimos quadrados ordinários de α e β, na equação I, só serão consistentes
se σ12 = 1.
Solução: Falsa, pois, os estimadores de mínimos quadrados ordinários de α e β, na equação I, só
serão consistentes, se QXX
nn
=
∞→
'
1
lim , onde Q é uma matriz positiva definida e










=
ii YZ
YZ
X MM
11
.

③ Sem nenhuma restrição adicional sobre os parâmetros do modelo, a equação I não satisfaz a
condição de ordem para identificação.
Solução: Falsa, pois, na equação I o número de variáveis exógenas é igual ao número de variáveis
endógenas. Logo satisfaz a condição de ordem para identificação.
④ Para testar se há endogeneidade na equação I, pode-se usar o teste de Hausman.
Solução: Verdadeiro, pois, o teste de Hausman é para testar endogeneidade nas equações.
Referencia: Econometrics Analysis, William H. Greene.
QUESTÃO 08
Em um modelo de regressão múltipla, com erros que seguem uma distribuição Normal, identifique
se os itens são corretos:
Ⓞ Os testes de heterocedasticidade de Breush-Pagan e de White podem ser calculados mediante
regressões auxiliares com os quadrados dos resíduos.
Solução: Verdadeiro, pois, os testes de Breush-Pagan e de White utilizam regressões auxiliares nos
quadrados dos resíduos.
Referencia: Econometrics Analysis, William H. Greene, pagina 423.
① Caso a forma funcional da heterocedasticidade seja conhecida, mínimos quadrados ponderados,
estimados de modo interativo, serão menos eficientes que o estimador de Máxima
Verossimilhança.
Solução: Verdadeiro, no livro Econometrics Analysis, William H. Greene, ele comenta se a forma
funcional da heterocedasticidade for conhecida o estimador de Máxima Verossimilhança sera
mais eficiente que o de mínimos quadrados ponderados.
② Empiricamente não há como distinguir um modelo de expectativas adaptativas de primeira
ordem de um modelo de ajustamento parcial de primeira ordem.
Solução: Falsa.
③ Se houver uma variável dependente defasada entre as variáveis explicativas, o teste apropriado
para a autocorrelação de primeira ordem dos resíduos é o h de Durbin, e não o teste de Breush-
Godfrey.
Solução: Falso, pois, o teste de Breush-Godfrey é o apropiado para a autocorrelacao de primeira
ordem dos resíduos, ver no livro Econometrics Analysis, William H. Greene.
④ Os métodos de estimação do coeficiente de autocorrelação Cochrane-Orcutt e Durbin são
diferentes em pequenas amostras.
Solução: verdadeiro, pois, os métodos de estimação do coeficiente de autocorrelação Cochrane-
Orcutt e Durbin são iguais somente quando as amostras são grandes.
Referencia: Econometrics Analysis, William H. Greene.
QUESTÃO 09
O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão
abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos de uma amostra
aleatória:
ln(renda) = 0,362+ 0,094 educ + 0,014 exper – 0,178 sexo – 0,010 exper x sexo + u
(0,128) (0,008) (0,002) (0,058) (0,002)

R2
= 0,368 n = 526
em que sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for mulher e 0, caso contrário), educ é o número
de anos de escolaridade (0 ≤ educ ≤ 17), exper são anos de experiência profissional (0 ≤ exper ≤ 40)
e u é a estimativa do erro. Os números entre parênteses são os erros-padrão das estimativas,
robustos à heterocedasticidade. Com base nos resultados acima, é correto afirmar:
Ⓞ Ao nível de significância de 5%, o efeito de um ano a mais de experiência profissional para
indivíduos do sexo masculino é estatisticamente maior do que o efeito para mulheres.
Solução: Verdadeiro, pois, o efeito de um ano a mais de experiência profissional no ln(renda) nos
homens é de 0,014 com erro-padrao igual a 0,002 . Já para as mulheres é de 0,014 – 0,010 que
é igual à 0,004 com erro-padrao igual à 0,002.
Agora vamos testas as hipóteses,
0:
0:
1
0
>−=
=−=
MHD
MHD
H
H
µµµ
µµµ
onde ),(~ 2
DDND σµ , calculando o p-valor temos:
00002,0)5()
002,0
01,0
(
010,00
)|( ≈>=>=





>
−
=>=− ZPZP
SS
PverdHPvalorp D
oobsD
µ
µµ
onde =S 0,002.
Como o p-valor é menor que o nível de significância, então rejeitamos H0. Logo, o efeito um ano a
mais de experiência profissional para os homens é estatisticamente maior que para as mulheres.
① Para um indivíduo com 10 anos de escolaridade, 1 ano adicional de estudo acarreta um
aumento da renda de aproximadamente 9%.
Solução: Verdadeiro, pois, 10 anos de escolaridade acarreta um aumento no ln(renda) de 0,94, já 11
anos acarreta um aumento no ln(renda) de 1,034, sabemos que:
rendae renda
=)ln(
, logo, 09,194,0
034,1
≈
e
e
que nos indica que o aumento na renda é de aproximadamente
de 9%.
② O efeito na renda de um aumento de 1 ano na experiência profissional para as mulheres é 1%
menor do que para os homens.
Solução: Verdadeiro, pois, um aumento de 1 ano na experiência profissional gera um aumento no
ln(renda) de 0,014; já para as mulheres gera um aumento no ln(renda) de 0,004. Logo
99,0014,0
004,0
≈
e
e
que indica que o aumento na renda das mulheres é 1% menor do que para os homens.
③ Pela inspeção dos resultados da estimação fica claro que os erros do modelo são
heterocedásticos.
Solução: Falso,pois, precisaríamos do gráfico dos resíduos versus a renda para determinar se
oserros são heterocedásticos.
④ Se a um nível de significância de 5%, o valor crítico do teste F para a regressão for 2,37, os
coeficientes angulares serão conjuntamente diferentes de zero.

Solução: Verdadeiro, pois, testando as hipóteses temos:
0:
0:
543211
543210
≠≠≠≠≠
=====
βββββ
βββββ
H
H
Calculando o valor 84,75
521
368,01(
4
368,0
)1(
1
2
2
=
−
=
−
−
−=
kn
R
k
R
Fobs
E como obsF >2,37, rejeitamos a H0 . Logo, os coeficientes angulares serão conjuntamente
diferentes de zero.
QUESTÃO 10
Julgue as afirmativas:
Ⓞ Se a variável aleatória Y segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro p, então E(Y) = p.
Solução: Verdadeiro, pois, pppYE =⋅+−⋅= 1)1(0)(
① Uma soma de variáveis aleatórias Binomiais segue uma distribuição Bernoulli.
Solução: Falso, pois, a soma de variáveis aleatórias Bernoulli tem distribuica Binomial e não ao
contrario com esta no item.
② A distribuição Geométrica é um caso especial da distribuição Binomial.
Solução: Falso, pois, a distribuição conta o número de ensaio ate obter um sucesso, já a Binomial
conta o número de sucesso em n ensaios. A distribuição Geométrica é um caso especial da
Binomial negativa.
③ Uma distribuição Lognormal é assimétrica à direita.
Solução: Verdadeira, pois, pelo gráfico da Lognormal, percebemos que ela é assimétrica à direita.
④ A variância de uma distribuição uniforme entre 0 e 2 é igual a 0,5.
Solução: Falso, pois, a variância de uma distribuição Uniforme entre a e b é dado por:
12
)(
)(
2
ab
YVar
−
=
Logo, 5,0
3
1
12
4
12
)02(
)(
2
≠==
−
=YVar .

QUESTÃO 11
Dois economistas usam os modelos abaixo para analisar a relação entre demanda de moeda (m) e
renda nacional (y). As variáveis estão todas em logaritmos e a periodicidade é mensal.
Economista A:
ttt uym ˆ099.1
)0086.0(
+= (Equação 1)
Economista B:
ttt eym ˆ14.1
)145.0(
+∆=∆ (Equação 2)
Os valores entre parênteses são os erros-padrão.
Testes Dickey-Fuller Aumentado (ADF), com número apropriado de defasagens maior que zero em
todos os casos, para as variáveis e para os resíduos dos dois modelos geram os seguintes resultados:
Variável mt yt ût ∆mt ∆yt êt
Estatística-ADF -2.191 -1,952 -2.993 -5.578 -6.312 -8.456
O valor crítico da tabela Dickey-Fuller a 5% é igual a –2,886. São corretas as afirmativas:
Ⓞ Tanto a série de demanda de moeda quanto a de renda nacional são integradas de primeira
ordem.
Solução: Verdadeiro, pois, como o valor critico da tabela Dickey-Fuller a 5% é igual a –2,886 que é
maior que ∆mt=-5,578 e maior que ∆yt=-6,312. Assim as séries de demanda de moeda e renda
nacional são integradas de primeira ordem.
① As séries de demanda de moeda e de renda nacional não são cointegradas ao nível de
significância de 5%.
Solução: Falsa, pois, como as estatísticas-ADF de ût e êt são –2,993 e –8,456, respectivamente, e
são menores que o valor critico da tabela Dickey-Fuller a 5%, temos que as series são
cointegradas.
② Se a série de demanda de moeda for estacionária na diferença (difference stationarity) ela não
pode ser estacionária na tendência (trend stationary).
Solução: Verdadeiro, pois, a diferença serve pra retirar tendência da seria. Logo se a serie é
estacionaria na diferença não pode ser estacionaria na tendência.
③ Se as séries de demanda de moeda e de renda nacional forem cointegradas, o Economista B
deve incluir o erro defasado ût-1 em seu modelo.
Solução: Verdadeiro, pois, se as séries forem cointegradas temos um resultado que nos garante que
tt cym = , assim fazendo a primeira diferença temos:
)ˆˆ()(099,1)ˆ099,1()ˆ099,1()ˆ099,1( 1111 −−−− −+−=+−+=+∆=∆ ttttttttttt uuyyuyuyuym
Portanto, o Economista B deve incluir o erro defasado 1
ˆ −tu em seu modelo.
④ A série de renda nacional é um passeio aleatório puro.
Solução: Falsa, pois, se Y fosse um passeio aleatório puro, Y seria igual a tY ε= onde
),0(~ 2
εσε Nt . O que não ocorre no exercício.

QUESTÃO 12
Em uma região, 25% da população são pobres. As mulheres são sobre-representadas neste grupo,
pois constituem 75% dos pobres, mas 50% da população. Calcule a proporção de pobres entre as
mulheres. Multiplique o resultado por 100 e omita os valores após a vírgula.
Solução: Probabilidades dadas no exercício, 25,0)( =pobresP , 75,0)|( =pobresmulheresP e
5,0)( =mulheresP
Pelo teorema de Bayes temos:
375,0
5,0
75,025,0
)(
)|()(
)(
)(
)|( =
×
=
⋅
=
∩
=
mulheresP
pobresmulheresPpobresP
mulheresP
mulherespobresP
mulherespobresP
Multiplicando o resultado por 100 e omitindo os valores após a virgula temos a resposta de 37.
QUESTÃO 13
Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade




≤≤+
=
contrário.caso0
,30se
6
1
)(
xkx
xf X
Calcule Prob(1 ≤ X ≤ 2). Multiplique o resultado por 100 e desconsidere os valores após a
vírgula.
Solução: Para )(xfX ser uma função densidade temos que:
1)( =∫
∞
∞−
dxxfX , logo vamos determinar a constante k, assim
kkx
x
dxkxdxxfX 3
12
9
126
1
)(
3
0
23
0
+=





+=+= ∫∫
∞
∞−
igualando a 1 a equação acima temos:
12
1
13
12
9
=⇒=+ kk
Logo




≤≤+
=
contrário.caso0
,30se
12
1
6
1
)(
xx
xfX
Agora vamos determinar a )21( ≤≤ XP ,
3
1
12
1
12
1
12
2
12
4
12
1
1212
1
6
1
)21(
2
1
22
1
=





+−





+=





+=+=≤≤ ∫ x
x
dxxXP
Agora multiplicando por 100 temos:
...333,33
3
1
100)21(100 =×=≤≤× XP
logo a solução é 33.

QUESTÃO 14
O tempo de utilização de um telefone celular durante um dia qualquer é uma variável aleatória
normal com média desconhecida e desvio padrão de 10 minutos. Por quantos dias se deve anotar os
tempos de utilização do celular para que o intervalo de confiança de 95% para a média tenha
amplitude de 2 minutos? Transcreva para a folha de respostas apenas a parte inteira do resultado.
Solução: Como o intervalo de confiança tem amplitude igual a 2 minutos temos que
12 =⇒= εε amplitude , logo 16,38410)96,1( 222
2
=×=





= σ
ε
z
n .
Portanto a solução é 384.
QUESTÃO 15
Uma série temporal Yt, t = 1,...T, foi gerada por um processo da classe ARIMA(p,d,q) e apresenta os
seguintes formatos para a Função de Autocorrelação (FAC) e Função de Autocorrelação Parcial
(FACP):
Supondo que a média da série seja 100 e que YT-3 = 35, YT-2 = 28, YT-1 = 38 e YT = 30, calcule a
previsão para YT+1 feita no instante T , isto é E(YT+1|YT,YT-1,YT-2,YT-3,...).
Solução: Analisando o gráfico da FACP ele nos sugere que o modelo é um AR(p), já o gráfico da
FAC nos dar o tamanho do p. Como temos no gráfico da FAC somente 3 valores acima de 0,2 que
são significantes, temos que o modelo então sugerido é um AR(3). Então
TTTTT YYYY εµφµφµφµ +−+−+−=− −−− )()()( 332211
onde, 100)( == µTYE , logo
TTTTT YYYY εφφφφ ++++= −−− 3322110 e
321
0
1
)(
φφφ
φ
−−−
=TYE .
A FACV é
0332211 >++= −−− τγφγφγφγ ττττ
A FAC é
332211 −−− ++= ττττ ρφρφρφρ

Para 1=τ temos:
)1(3,06,06,035,06,06,0
35,06,01
321321
321231212312011
φφφφφφ
φφφρφρφφρφρφρφρ
+−=⇒⋅+⋅+=
⋅+⋅+=++=++= −−
Para 2=τ temos:
)2(6,06,035,0 3121302112 φφφρφρφρφρ −−=⇒++= −
Para 3=τ temos:
)3(6,035,02,0 2130312213 φφφρφρφρφρ −−=⇒++=
Substituindo (1) e (2) temos:
64,0
39,001,0 3
2
φ
φ
−−
=
Substituindo 21 ,φφ em três temos:
033,0
11859375,0
00390625,0
3 −≈
−
=φ
Agora, substituindo 3φ em 2φ temos:
0045,0
64,0
)033,0(39,001,0
2 ≈
−−−
=φ
Agora, substituindo 2φ , 3φ em (1) temos:
062356,06,06,0 1321 ≈⇒−−= φφφφ
Agora, vamos substituir 1φ , 2φ , 3φ em
321
0
1
)(
φφφ
φ
−−−
=TYE assim temos:
85,40
1
100
1
)( 0
321
0
321
0
=⇒
−−−
=⇒
−−−
= φ
φφφ
φ
φφφ
φ
TYE
Portanto, TTTTT YYYY ε+−++= −−− 321 033,00045,062,085,40 .
Assim, 1211 033,00045,062,085,40 +−−+ +−++= TTTTT YYYY ε
Logo, 697,58028033,0380045,03062,085,40),,,|( 211 ≅+⋅−⋅+⋅+=−−+ KTTTT YYYYE .
Portanto, a solução é 58.

Distribuição Normal Padrão
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 .5000 .4960 .4920 .4880 .4840 .4801 .4761 .4721 .4681 .4641
0.1 .4602 .4562 .4522 .4483 .4443 .4404 .4364 .4325 .4286 .4247
0.2 .4207 .4168 .4129 .4090 .4052 .4013 .3974 .3936 .3897 .3859
0.3 .3821 .3783 .3745 .3707 .3669 .3632 .3594 .3557 .3520 .3483
0.4 .3446 .3409 .3372 .3336 .3300 .3264 .3228 .3192 .3156 .3121
0.5 .3085 .3050 .3015 .2981 .2946 .2912 .2877 .2843 .2810 .2776
0.6 .2743 .2709 .2676 .2643 .2611 .2578 .2546 .2514 .2483 .2451
0.7 .2420 .2389 .2358 .2327 .2296 .2266 .2236 .2206 .2177 .2l48
0.8 .2119 .2090 .2061 .2033 .2005 .1977 .1949 .1922 .1894 .1867
0.9 .1841 .1814 .1788 .1762 .1736 .1711 .1685 .1660 .1635 .1611
1.0 .1587 .1562 .1539 .1515 .1492 .1469 .1446 .1423 .1401 .1379
1.1 .1357 .1335 .1314 .1292 .1271 .1251 .1230 .1210 .1190 .1170
1.2 .1151 .1131 .1112 .1093 .1075 .1056 .1038 .1020 .1003 .0985
1.3 .0968 .0951 .0934 .0918 .0901 .0885 .0869 .0853 .0838 .0823
1.4 .0808 .0793 .0778 .0764 .0749 .0735 .0722 .0708 .0694 .0681
1.5 .0668 .0655 .0643 .0630 .0618 .0606 .0594 .0582 .0571 .0559
1.6 .0548 .0537 .0526 .0516 .0505 .0495 .0485 .0475 .0465 .0455
1.7 .0446 .0436 .0427 .0418 .0409 .0401 .0392 .0384 .0375 .0367
1.8 .0359 .0352 .0344 .0336 .0329 .0322 .0314 .0307 .0301 .0294
1.9 .0287 .0281 .0274 .0268 .0262 .0256 .0250 .0244 .0239 .0233
2.0 .0228 .0222 .0217 .0212 .0207 .0202 .0197 .0192 .0188 .0183
2.1 .0179 .0174 .0170 .0166 .0162 .0158 .0154 .0150 .0146 .0143
2.2 .0139 .0136 .0132 .0129 .0125 .0122 .0119 .0116 .0113 .0110
2.3 .0107 .0104 .0102 .0099 .0096 .0094 .0091 .0089 .0087 .0084
2.4 .0082 .0080 .0078 .0075 .0073 .0071 .0069 .0068 .0066 .0064
2.5 .0062 .0060 .0059 .0057 .0055 .0054 .0052 .0051 .0049 .0048
2.6 .0047 .0045 .0044 .0043 .0041 .0040 .0039 .0038 .0037 .0036
2.7 .0035 .0034 .0033 .0032 .0031 .0030 .0029 .0028 .0027 .0026
2.8 .0026 .0025 .0024 .0023 .0023 .0022 .0021 .0021 .0020 .0019
2.9 .0019 .0018 .0017 .0017 .0016 .0016 .0015 .0015 .0014 .0014
3.0 .00135
3.5 .000233
4.0 .0000317
4.5 .00000340
5.0 .000000287

RASCUNHO

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