Aulas Cap 2

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Aulas Cap 2

  1. 1. 1 Distribuição de Pressão num Fluido Departamento de Engenharia Mecânica Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade de Coimbra Luis Adriano Oliveira
  2. 2. 18 Distribuição de Pressão num Fluido Supõe-se uma única incógnita: p=p(x,y,z,t) F = m.a Suporte matemático: 2.ª lei de Newton Fluido em repouso não resiste a tensões tangenciais, mas sim a normais Pressão p: tensão normal a um plano qq. que delimita um elemento de fluido em equilíbrio mecânico e térmico macroscópico (p/ Termodin.). Convenção: p>0 se compressão Escala microscópica: choques intermoleculares
  3. 3. 19 Lei de Pascal Ausência de forças de corte: orientação do plano influencia p? R: NÃO! p1 ⇒ F1 p 2 ⇒ F2 + Peso EQUILÍBRIO p3 ⇒ F3 Equilíbrio no plano yoz: p1.dx.dz = p3 .dx.dl.sin α p1 = p 2 = p3 (escalar) 1 p3 .dx.dl.cos α + [ρ.g. .dx.dy.dz] = p 2dx.dy 2 1 ( ) Se houver tensões de corte: p1 ≠ p 2 ≠ p3 ⇒ p = − σ xx + σ yy + σ zz 3
  4. 4. 20 Compressibilidade : Variação de ρ originada por variação de p Quantificação: δp k=− δv / v k : módulo de elasticidade Toda a matéria é compressível…No entanto... Fluidos: Líquidos: consideram-se incompressíveis Gases : - Incompressíveis, se variação de ρ pequena (isotérm, subsón.) - se massa de gás grande com p, T variáv. (Atmosf.) - Compressíveis - esc. supersónicos, … (fortes variações de p)
  5. 5. 21 Força de pressão sobre um elemento de fluido p p constante força total (líquida) nula p Força de pressão variação espacial de p p p Força líquida segundo xx: ∂p dz p p + dx ∂x ∂p  ∂p  pdydz −  p + dx  dydz = − dxdydz dy ∂x  ∂x  dx Segundo as três direcções:  ∂p ˆ ∂p ˆ ∂p ˆ  df p =  − i − j − k  dxdydz ⇒ f p = −grad p (unid. de vol.)  ∂x ∂y ∂z 
  6. 6. 22 Equações de Navier-stokes - de contacto (p, τ) Forças q/ actuam s/ elemento de fluido - de campo (externas, uniformem/ distrib.) - gravidade : df grav = ρ.g.dxdy.dz ⇒ f grav = ρ.g (unidade de volume) - viscosidade :  ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V  = µ∇ 2 V = µ  2 + 2 + 2  (unidade de volume) f visc  ∂x ∂z  ∂y   Navier-stokes (unidade de volume) : ρ c.te 2 ρ.a = −grad p + ρ.g + µ.∇ V µ c.te
  7. 7. 23 Incógnita : pressão grad p = ρ. ( g − a ) + µ.∇ 2 V Tópicos a desenvolver : 1 - Hidrostática [repouso ou mov. uniforme (aceleração nula)] 2 - Translação em bloco 3 - Rotação em bloco 4 - Escoamento irrotacional incompressível 5 - Caso geral - Absoluta (vazio) Pressão - Relativa ou efectiva
  8. 8. 24 Hidrostática (ou mov. uniforme, questão de sist. ref.) grad p = ρ. ( g − a ) + µ.∇ 2 V grad p = ρ.g Eq. Fundamental 1 - Sup. isobáricas perpendiculares, em cada ponto, a g 2 - Coord. Cartesianas, z : ˆ ⇒ ∂p = −ρg ⇒ p = p − z ρgdz 0 ∫z g = −g.k ∂z 0 - variação da pressão independente da forma dos limites do domínio - pressão só varia na vertical e aumenta com a profundidade - dois pontos ao mesmo nível, ligados pelo mesmo fluido, têm pressão =
  9. 9. 25 Líquidos e gases “incompressíveis” z p = p0 − ∫ ρgdz p = p 0 − ρg ( z − z 0 ) z0 ρ = c.te dh = −dz ⇒ p = p0 + ρ.g.h Gases compressíveis ∂p p p “gás perfeito” = −ρg = RT ⇒ ρ = Λ ρ ∂z RT dp p p 2 dp g z 2 dz p2 g z 2 dz g⇒∫ =− ∫ =− ∫ =− ⇒ ln p1 p R z1 T R z1 T dz RT p1 T=T(z)?
  10. 10. 26 p2 g z 2 dz =− ∫ ln R z1 T p1 g  − (z 2 − z1 )   RT p 2 = p1.e  1  a) - Estratosfera (z > 11 Km) : T = c.te = T1 b) - Troposfera g  bz  Rb (0 ≤ z ≤ 11 Km) : T = T0 − b.z p = p0 1 −   T0  z = 0 → p = p0 Ambos os casos são enquadráveis na “evolução politrópica”: n = 1 ⇒ Estrat. p = c.te (gás não necessariamente perfeito), n=c.te n − 1 Rb = ⇒ Tr. ρn n g Referência : Atmosfera Standard
  11. 11. 27 Forças Hidrostáticas em Superfícies Submersas Horizontal Plana Inclinada Superfície Curva Superf. submersa, fluido em repouso : Pressão Força à sup. C.P. : Centro de Pressões ( ponto de aplicação da força ) C.P. ≡ C.G. (C. Grav. do plano) Pressão unif. ao longo do plano
  12. 12. 28 Forças Hidrostáticas em Superfícies Submersas (cont.) Sup. plana inclinada: ( p0 + ρgh ) dA = F = ∫ dF = ∫ A A ( ξCG − y ) dA = = p0 A + ρg sin θ∫ ξdA = p0 A + ρg sin θ ∫ A A ( ) = p0 A + ρg sin θ ξCG A − ∫ ydA = ( p0 + ρgh CG ) A = pCG A A plano da superfície F F não depende direct. de θ nem da forma da superf. Localização de F (C.P.) : CP ≠ CG Distribuição de p não unif. ao longo de A
  13. 13. 29 Forças Hidrostáticas em Superfícies Submersas (cont.) Momentos em relação a xx : F.yCP = ∫ ydF = ∫ y ( p0 + ρg sin θ.ξ ) dA = A A = p0 ∫ ydA + ρg sin θ∫ y ( ξCG − y ) dA = A A I xx 2 = ρg sin θξCG ∫ ydA − ρg sin θ ∫ y dA = −ρg sin θ yCP pCG .A A A yCP < 0 Profund. yCP 0 Momentos em relação a yy : Simetria I xy x CP = −ρg sin θ F.x CP = ∫ x.dF = ........ pCG .A A xCP = 0
  14. 14. 30 F ≠ ∫ dF F = ∫ dF Superfícies Curvas A A Alternativa : F = duas componentes horizontais + uma comp. vertical Componente Horizontal ( ) P + − Fx = 0 ⇒ Fx = P Equilíbrio Igualdade vectorial (CP ao nível do CP da projecção vertical) Sup. inters. em + que um ponto por xx: AB : Fx > 0 ; BC : Fx < 0
  15. 15. 31 Superfícies Curvas (cont.) Corolários : - Corpo fechado -compte. horiz. é nula (projecções anulam-se) - Perímetro da sup. curva assenta sobre plano vertical: apenas existe comp.te horiz. ao plano. - Perímetro da sup. curva assenta sobre plano horiz.: não existe comp.te horizontal. Componente Vertical Equilíbrio: W − Fy = 0 ⇒ Fy = W - Igualdade vectorial (define linha de acção: CG de W) - Fluido de peso W real ou fictício AB BC
  16. 16. 32 Impulsão Arquimedes : Um corpo imerso num fluido sofre impulsão igual ao peso do volume de fluido deslocado. Corolários : - Um corpo flutuante desloca uma quantidade de fluido de peso igual ao seu. - Impulsão não tem componente horizontal. - Centro de Impulsão (C.I.) é o C.G. do fluido deslocado (não do corpo) - Impulsão pode exceder peso do fluido presente - Corpo imerso em fluidos estratificados: Im pulsao = ω1V1 + ω2 V2 ω1 ≠ ω2 ⇒ C.I.1 e C.I.2 de verticais dist int as
  17. 17. 33 Estabilidade de corpos no seio de fluidos Peso < Impulsão corpo sobe Estável Peso > Impulsão corpo desce Instável Equilíbrio Peso = Impulsão equilíbrio Indiferente Corpo completamente imerso: - Equil. Estável, se C.I. acima de C.G. - Equil. Indiferente, se C.I. ≡ C.G. Binário restaurador: Corpo flutuante: w.x (=P.x) Equil. estável possível, ainda que C.G. acima de C.I.: estável, se Metacentro (M) acima de C.G. indiferente, se M ≡ C.G.
  18. 18. 34 Movimento em Bloco Bloco: ausência de mov. relativo ausência de tensões tangenciais grad p = ρ. ( g − a ) + µ.∇ 2 V ⇒ grad p = ρ. ( g − a ) Em cada ponto, linhas isobáricas perpendiculares a ( g − a ) Dr (X,Y,Z): referencial de inércia V = V0 + 0 Dt (x,y,z): referencial não-inercial Mov. do corpo: translação+rotação em torno de O V0 : veloc. de O em relação ao refer. de inércia Dr0 y ( ) Dr0x Dr Dr0 D ˆ + 0z k + ˆ+r ˆ+r k =ˆ ˆ+ ˆ = r0x i 0 y j 0z i j Dt Dt Dt Dt Dt ˆ ˆ ˆ ( ) di dj dk = ΩΛ r0x ˆ + r0 y ˆ + r0k k = ΩΛ r0 ˆ + r0x + r0 y + r0z i j dt dt dt
  19. 19. 35 Movimento em Bloco (conclusão) Dr0 dΩ dΩ DV DV0 DV0 ( ) a= = + ΩΛ + Λ r0 = + ΩΛ ΩΛ r0 + Λ r0 Dt Dt Dt dt Dt dt translação centrípeta linear Translação em Bloco com Aceleração Uniforme ax grad p = ρ. ( g − a ) θ = arctg g + az gradp = −ρa x ˆ − ρ ( a z + g ) k ˆ i ∂p ∂p = −ρ ( a z + g ) p = p0 − ρ.a x .x − ρ. ( a z + g ) z = −ρa x ⇒ ∂x ∂z dp ( g + a z )2 + a x 2 dp = gradp.ds = gradp ds = ρ ( g − a ) ds ⇒ =ρ ds
  20. 20. ( ) 36 Rotação em Bloco com Velocidade Angular Constante ˆˆˆ r, θ, z dΩ DV0 ( ) a= + ΩΛ ΩΛ r0 + Λ r0 Dt dt a = −Ω 2 r.r ˆ ΩΛ r0 = Ω . r0 sin ϕ = Ωr ( ) 1 grad p = ρ. ( g − a ) = ρ Ω 2 r.r − ρgk ⇒ p = p0 + ρΩ 2 r 2 − ρgz ˆ ˆ 2 p0 − p1 Ω 2 r 2 Isobáricas : p=p1=c.te z= + (da forma a+br2) ρg 2g Ω2r 2 Ω2R 2 Sup. Livre (p1=p0) : z = h= 2g 2g
  21. 21. 37 Esc. Irrotacional Incompressível - Eq. de BERNOULLI V2 ( ) ( ) ( ) ∇ 2 V ≡ grad divV − rot rotV V.grad V ≡ grad − VΛ rotV 2 ∂ =0 2 ρ.a = −grad p + ρ.g + µ.∇ V ∂t  ρV 2  V2 ρV 2 ˆ ⇒ grad  ρ.grad = grad = −grad p − ρgk + p + ρgz  = 0 2  2 2    ρV 2  + p + ρgz  = c.te Bernoulli  2    Três formas de energia / volume : cinética, pressão, potencial p. estática (p)+p. dinâmica (ρV2/2)=p. de estagnação (p0)
  22. 22. 38 Caso Geral  ∂V  ( ) + V.grad V  = −grad p + ρ.g + µ.∇ 2 V ρ  ∂t  1) - p única incógnita : sistema linear do 1.º grau  ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u   ∂u  ∂u ∂u   ∂p ∂u = −ρ  +  u + v + w   + ρ.g x + µ  2 + 2 + 2   ∂z  ∂x  ∂t  ∂x ∂y ∂z    ∂x ∂y   ∂v  ∂v ∂v   ∂p ∂v = −ρ  +  u + v + w   + ρ.g y + ... ∂y  ∂t  ∂x ∂y ∂z   ∂p = −ρ [...] + ... ∂z 2) - p não única incógnita : sistema não-linear integração numérica
  23. 23. 39 Manómetros Classificação quanto a : 1) - Tipo de pressão medida : - de pressão absoluta (Ex. : barómetro) - de pressão efectiva (maioria dos manómetros industriais) - diferenciais (dif. de pressão . Medição de velocidades, caudais, …) 2) - Princípio de funcionamento : - de líquido deformações elásticas - metálicos : forças de pressão pressão calibração - eléctricos : pressão var. caract. eléctr. sinal calib. ampl. regist.
  24. 24. 40 Manómetros de líquido p0 Duas referências fundamentais : h1 * p1 h2 ∆h * p2 1) : p1 = p0 + ρgh1 p 2 − p1 = ρg ( h 2 − h1 ) ⇒ ∆p = ρg.∆h p 2 = p0 + ρgh 2 2) : Dois pontos, ao mesmo nível, ligados pelo mesmo fluido, têm, no equilíbrio, a mesma pressão
  25. 25. 41 Manómetros de líquido (cont.) Piezómetro - Altura piezométrica: p/(ρg)+z - Manómetro e conduta: o mesmo líquido - Se z=0 em 1, a altura piezométrica é dada directamente por h Manómetro em U ωB = ρBg > ωA a p1 = patm. + ωB x a e p 2 = p1 p3 = patm. + ωB x − ωA y ⇒ p3 = ωB x − ωA y p3 = pa − ωA y a e ωA ωB ⇒ p3 ≅ ωB x 2
  26. 26. 42 Manómetros (cont.) Manómetros em U podem medir pressões diferenciais: p1 = p A + ω2 ( a + h ) p 2 = p1 = p B + ω2a + ω1h = p A + ω2a + ω2 h p A − p B = ( ω1 − ω2 ) h Manómetros metálicos Manómetro de Bourdon
  27. 27. 43 Manómetros (concl.) Manómetros eléctricos Medição da pressão estática
  28. 28. 44 Tubo de Pitot com tomadas de pressão estática 2 ( p 0 − ps ) 1 p s + ρV 2 ≅ p 0 ⇒ V ≅ Bernoulli: ρ 2 V 0 s ps p0

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