1. Estatística Aplicada Prof. Neudo Ferreira de Aguilar
3. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
As medidas de tendência central são usadas para indicar um valor que tende a tipificar, ou a
representar melhor, um conjunto de números. As três medidas mais usadas são média, a mediana
e a moda.
3.1. A Média
A média aritmética é a idéia que ocorre à maioria das pessoas quando se fala em “média”. E como
ela possui certas propriedades matemáticas convenientes, é a mais importante das três medidas
que estudaremos. Calcula-se a média aritmética determinando-se a soma dos valores do conjunto
e dividindo-se esta soma pelo número de valores no conjunto.
A média tem certas propriedades interessantes e úteis, que explicam por que é ela a medida de
tendência central mais usada:
1. A média de um conjunto de números pode sempre ser calculada.
2. Para um dado conjunto de números, a média é única.
3. A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto. Assim, se um valor se
modifica a média também se modifica.
4. Somando-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada do valor
dessa constante. Assim, somando 4,5 a cada valor de um conjunto, a média ficará aumentada
de 4,5. Analogamente, subtraindo-se de cada valor do conjunto uma constante, ou
multiplicando-se ou dividindo-se por ela cada valor do conjunto, a média fica reduzida dessa
constante, ou multiplicada ou dividida por ela.
5. A soma dos desvios dos números de um conjunto a contar da média é zero.
∑ (xi - média) = 0
3.1.1 Dados não-agrupados
Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados, determinamos a média
aritmética simples.
−−
X =
∑ Xi
∑ fi
Exemplo:
Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15,
16, 18 e 12 litros, temos, para a produção média da semana:
10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 98
Média = ≡ ≡ 14
7 7
1

2. Estatística Aplicada Prof. Neudo Ferreira de Aguilar
Média = 14 litros / dia
3.1.2 Dados agrupados
Sem Intervalos de classe
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o
número de filhos do sexo masculino:
N° DE MENINOS FREQUÊNCIA Xifi
0 2 0
1 6 6
2 10 20
3 12 36
4 4 16
Σ 34 78
−−
x =
∑ X i fi = 78 = 2 ,3 Meninos
∑ fi 34
Com Intervalos de classe
Neste caso, com convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado
intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética
ponderada por meio da formular:
−−
x =
∑ X i fi
∑ fi
onde Xi é o ponto médio da classe.
ESTATURA
i fi xi xifi −−
(cm)
x =
∑ X i fi = 6440 = 161 cm
1 150 │---- 4 152 608
154 ∑ fi 40
2 154 │---- 9 156 1404
158
3 158 │---- 11 160 1760
162
4 162 │---- 8 164 1312
166
5 166 │---- 5 168 840
170
6 170 │---- 3 172 516
174
Σ ------------ 40 ----- 6440
3.2 A Moda ( Mo )
Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores.
2

3. Estatística Aplicada Prof. Neudo Ferreira de Aguilar
Desse modo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, isto é, o
salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria.
3.2.1 Dados não-agrupados
Quando lidamos com valores não-agrupados, a moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo
com a definição, procurar o valor que mais se repete.
A série de dados: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 tem moda igual a 10.
Podemos, entretanto, encontra séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum
valor apareça mais vezes que outros. É o caso da série: 3, 5, 8, 10, 12, 13 que não apresenta
moda (amodal).
Em outros casos, ao contrário, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então,
que a série tem dois ou mais modais. Na série: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 temos duas modas:
4 e 7 (bimodal).
3.2.2 Dados agrupados
Sem Intervalos de classe
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o
número de filhos do sexo masculino:
N° DE MENINOS FREQUÊNCIA
0 2
Mo = 3 meninos.
1 6
2 10
3 12
4 4
Σ 34
ESTATURA
i fi xi Com Intervalos de classe
(cm)
1 150 │---- 4 152 A classe que apresenta a maior frequência é denominada
154 classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda,
2 154 │---- 9 156
158 neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre
3 158 │---- 11 160 os limites da classe modal.
162
4 162 │---- 8 164
166
5 166 │---- 5 168
170
6 170 │---- + L*
l* 3 158 + 162
172
174 =
Mo = = 160
Σ 2
------------ 2
40 -----
Mo = 160 cm
3

4. Estatística Aplicada Prof. Neudo Ferreira de Aguilar
L* limite superior da classe modal;
l* limite inferior da classe modal.
3.3. A Mediana
Sua característica principal é dividir um conjunto de dados ordenados em dois grupos iguais; a
metade terá valores inferiores à mediana, a outra metade terá valores superiores a mediana. Para
calcular a mediana é necessário primeiro ordenar os valores (comumente) do mais baixo ao mais
alto. Em seguida, conta-se até a metade dos valores para achar a mediana.
3.3.1 Dados não-agrupados
Dada uma série de valores, como por exemplo:
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, de acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado
é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: 2, 5, 6, 9, 10,13, 15, 16, 18
Md = 10
Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição, qualquer
dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-se utilizar o
ponto médio.
2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 tem para a mediana a média aritmética entre 10 e 12.
10 + 12 22
Md = = = 11
2 2
3.3.2 Dados agrupados
Sem intervalos de classe
Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade da
soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal frequência
acumulada.
∑ fiN° DE MENINOS
=
34
= 17 FREQUÊNCIA Fi
2 2 0 2 2
1 6 8
A menor frequência acumulada que supera
2 10 18
3 12 30 esse valor é 18, que corresponde ao valor 2 da
4 4 34 variável, sendo este o valor mediano. Logo:
Σ 34 -----
Md = 2 meninos.
Com intervalos de classe
4

5. Estatística Aplicada Prof. Neudo Ferreira de Aguilar
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a
mediana.
Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a mediana — classe
mediana. Tal classe será, evidentemente, aquela correspondente à frequência acumulada
imediatamente ∑ fi superior a
2
ESTATURA
i fi xi Fi
(cm)
1 150 │---- 4 152 4
154
2 154 │---- 9 156 13
158
3 158 │---- 11 160 24
162
4 162 │---- 8 164 32
166
5 166 │---- 5 168 37
170
6 170 │---- 3 172 40
174
Σ ------------ 40 ----- --------
 ∑ fi  *
 2 − F ( ant ) h
Md = l * +  
f*
I* é o limite inferior da classe da mediana.
f* é a frequência simples da classe da mediana.
h* é a amplitude do intervalo da classe da mediana.
F(ant) é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana.
5