Apostila do módulo b5 textual - corrigido e ampliado - 22032020 (1)

PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT
1
B5.1 AULA 1 – Radiciação
NO3 – Submódulo 5.1
Radiciação é um conteúdo que vai sendo avançado nas séries do ensino
fundamental. No 6º ano é introduzida e vai sendo aprofundada até o 9º ano.
Ao estudar essa aula você deve estar atento à cada propriedade e procurar
compreendê-las. Leia os enunciados com cuidado, estude, pois valerá muito
a pena.
Essa aula é continuidade ao MÓDULO 2.1.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
A serem disponibilizados na
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
Pré Requisitos:
POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE NATURAL E INTEIRO NEGATIVO
POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO
DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS
Caso você não domine esses conteúdos, é necessário estuda-los antes.
COMO PROCEDER?
 Assista vídeos da parte teórica dessa matéria. Procure no Youtube por:
o RADICIAÇÃO
o PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO
o SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS: EXTRAÇÃO DE FATORES DO RADICANDO
 Resolva todos os exercícios dessa apostila.
 Na dúvida procure ajuda de colegas, professores ou na Internet.
 Concluída a apostila vá até a Plataforma Moodle e resolva todos os exercícios até tirar 10,0 na
atividade.
EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS
Conceito
LEIA COM ATENÇÃO ESSE
QUADRO
Radiciação:
√𝒂
𝒏
= 𝒃 quando 𝒃𝒏
= 𝒂
Essa definição é sempre válida para:
 𝑛 ∈ ℕ; e
 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+.
Acontece que a restrição de usarmos apenas
números positivos é deixada de lado quando
trabalhamos com valor de n ímpar.
Tabela de Potências
QUADRO
𝟐𝟐
= 𝟒 𝟑𝟐
= 𝟗 𝟒𝟐
= 𝟏𝟔 𝟓𝟐
= 𝟐𝟓
𝟔𝟐
= 𝟑𝟔 𝟕𝟐
= 𝟒𝟗 𝟖𝟐
= 𝟔𝟒 𝟗𝟐
= 𝟖𝟏
𝟏𝟎𝟐
= 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟐
= 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟐𝟐
= 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟑𝟐
= 𝟏𝟔𝟗
𝟐𝟑
= 𝟖 𝟑𝟑
= 𝟐𝟕 𝟒𝟑
= 𝟔𝟒 𝟓𝟑
= 𝟏𝟐𝟓
𝟔𝟑
= 𝟐𝟏𝟔 𝟕𝟑
= 𝟑𝟒𝟑 𝟖𝟑
= 𝟓𝟏𝟐 𝟗𝟑
= 𝟕𝟐𝟗
𝟐𝟒
= 𝟏𝟔 𝟑𝟒
= 𝟖𝟏 𝟒𝟒
= 𝟐𝟓𝟔 𝟓𝟒
= 𝟔𝟐𝟓
𝟐𝟓
= 𝟑𝟐 𝟑𝟓
= 𝟐𝟒𝟑 𝟐𝟔
= 𝟔𝟒 𝟑𝟔
= 𝟕𝟐𝟗
𝟐𝟕
= 𝟏𝟐𝟖 𝟐𝟖
= 𝟐𝟓𝟔 𝟐𝟗
= 𝟓𝟏𝟐 𝟐𝟏𝟎
= 𝟏𝟎𝟐𝟒

2
QUADRO
Nome dos Termos
√𝒂
𝒏
= 𝒃
n – índice (n=2 não aparece no índice, não escrito)
a – radicando
b – raiz
√ - radical
Quando o índice é 2, a raiz é chamada de quadrada.
Quando o índice é 3, a raiz é chamada de cúbica.
Radiciação de Números Naturais
1) Calcule:
a)
3
27 b)
4
81 c)
3
64
d)
3
125 e)
4
16 f)
5
32
2) Ache:
a)
3
3
27
8 
b)
5
3
32
.
125
c)
4
3
16
216 
d) 9
81
4

3) Se 210
=1024, calcule
10
1024 .
4) Calcule
9
512.
5) Calcule:
a) 81 b)
4
81
c) 16 d)
4
16
e) 256 f)
4
256
Que conclusão que você tira? Registre.
6) Calcule:
a) 256 b)
8
256
7) Calcule
4
625
QUADRO
TABELA DE POTÊNCIAS DE DOIS
𝟐𝟎
= 𝟏 𝟐𝟏
= 𝟐 𝟐𝟐
= 𝟒 𝟐𝟑
= 𝟖
𝟐𝟒
= 𝟏𝟔 𝟐𝟓
= 𝟑𝟐 𝟐𝟔
= 𝟔𝟒 𝟐𝟕
= 𝟏𝟐𝟖
𝟐𝟖
= 𝟐𝟓𝟔 𝟐𝟗
= 𝟓𝟏𝟐 𝟐𝟏𝟎
= 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝟐𝟏𝟏
= 𝟐𝟎𝟒𝟖
𝟐𝟏𝟐
= 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟐𝟏𝟑
= 𝟖𝟏𝟗𝟐 𝟐𝟏𝟒
= 𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒 𝟐𝟏𝟓
= 𝟑𝟐𝟕𝟔𝟖
𝟐𝟏𝟔
= 𝟔𝟓𝟓𝟑𝟔 𝟐𝟏𝟕
= 𝟏𝟑𝟏𝟎𝟕𝟐 𝟐𝟏𝟖
= 𝟐𝟔𝟐𝟏𝟒𝟒 𝟐𝟏𝟗
= 𝟓𝟐𝟒𝟐𝟖𝟖
8) Use uma tabela de potências de 2 e responda:
a)
12
4096
b)
14
16384
c) 65536
d)
15
13
32768
8192 
9) Ache
3
3
27
8  .
Você se lembra que
2−1
=
1
2
? Estude o assunto!! Essencial!
10) Ache 2-1
+
3
8
11) Abaixo não é para usar cancelamento se você
já conhece a técnica. É para resolver a expressão:
a)  3
3
8 b)
3 3
8
c)  4
4
1 d)
4 4
1
e)  2
9 f)
2
9
12) Calcule 121
49
5 
13) Ache a metade da
3
3
3
125
27
8 
 .
14) Ache o valor de (se preciso, use uma
calculadora):
a)
4
3
8
b)
3 6
8
c)
4 8
10
15) Calcule (vá “chutando” até encontrar o valor)
a)
3
8000
b)
4
160000
Que conclusão que você tira? Registre e verifique, entendendo o porquê.
16) Ache o valor de
3
1000000000
17) Se a=
3
8000 e b=2+32
, ache o valor de
2
10

 b
a

3
18) Ache a metade da 3
64000000
Calculando Raízes por Fatoração
QUADRO
Uma das formas de calcular uma raíz é pela
fatoração. Vamos usar números pequenos, porém,
ela é mais útil para números grandes.
√144
24
32
√144
= √2432
= 22
3
= 12
Observe os
círculos
vermelhos,
multiplique os
fatores
2 ∙ 2 ∙ 3 = 12
√216
3
23
33
√216
3
= √23
33
3
= 2 ∙ 3
= 6
Observe que
como o índice
é 3,
circulamos 3
números
2 ∙ 3 = 6
Aqui estamos usando propriedades da radiciação
meio que intuitivamente. Veremos elas em detalhes!
Toda vez que aparecer a mãozinha LEIA
1) Utilizando-se da fatoração, descubra as raízes.
Você pode fazê-la apenas circulando os números
repetidos:
a)√2401
b) √5184
c)√1728
3
d)√3375
3
e) √104976
4
f) √759375
5
Regra Prática de Simplificação de
Raízes
QUADRO
O que faremos a seguir é apenas uma simplificação
bem útil, que nos permitirá escrever raízes de forma
mais simples. As propriedades que fundamentam as
regras aprenderemos nessa aula.
Os valores fora do círculo são multiplicados e se
mantém dentro da raiz. Os valores dentro do círculos
são multiplicados e ficam fora da raiz.
Raiz Quadrada
√12 = 2√3
√108
= 2 ∙ 3√3
= 6√3 √540
= 2 ∙ 3√3 ∙ 5
= 6√15
√72
= 2 ∙ 3√2
= 6√2
√360
= 2 ∙ 3√2 ∙ 5
= 6√10
√30, não
pode ser
simplificado
1) Simplifique, se possível, utilizando-se da
fatoração:
a) √12 b) √20
c) √18 d) √150
e) √192 f) √400
g) √140 h) √98

4
QUADRO
Raiz Cúbica
√81
3
= 3√3
3
√324
3
= 3√2 ∙ 2 ∙ 3
3
= 3√12
3
√648
3
= 2 ∙ 3√2
3
= 6√2
3
Analogamente, em grupos de quatro, vocês
simplificam raízes quarta.
fatoração:
a) √108
3
b)√360
3
c) √54
3
d) √72
3
h) √96
3
i) √625
3
j) √720
3
k) √729
3
(Faça as fatorações em um rascunho)
fatoração:
a) √32
4
b) √162
4
c) √80
4
d) √1280
4
3) Simplifique √160
5
.
Radiciação de Números Inteiros
QUADRO
Sabemos que:
52
= 25 e (−5)2
= 25
Não faz sentido dizermos que √25=5 e que √25=-5.
Não é possível uma única operação ter dois
resultados diferentes!
Definimos então, que a raiz quadrada de um número
positivo é positivo.
Aliás, se n for par
√𝒂
𝒏
= 𝒂
Sendo b>0.
Já para a>0 NÃO EXISTE raiz quadrada ou de índice
par de números negativos:
Ex:
 √−36 não existe
 √−1
4
não existe
Quanto ao índice ímpar, a definição
√𝒂
𝒏
= 𝒂
Sempre é válida:
Ex:
 √−8
3
= −2
 √−1
5
= −1
1) Calcule, se for possível:
a)
3
27
 b)
3
27 c)
4
16
d)
4
16
 e) 36
 f)
g) h)
5
32

2) Ache o valor de x:
a) x2
=16 b) x2
=49 c) x2
=-1
d) x3
=-27 e) x3
=8 f) x3
=-1
g) x4
=16 h) x4
=-16
Note que o exercício 2 não trata de raízes! Mas é fundamental para
compreendê-las.
3) Resolva
3 3
2
2
2
7
.
3
5 

4) Calcule:
a)
3
8000
 b)
4
160000

5) Calcule:
a)
5
100000 b)
3
27000

36
5
32

5
Radiciação de Números Racionais
Existe uma crise no ensino das frações e números decimais. Mas esse é
um dos assuntos mais básicos do Ensino Fundamental, séries iniciais. Procure
entender e aprender os exercícios.
1) Calcule:
a)
6
0 b) 3
27
8

2) Ache o valor de
9
1
3
25
4

3) Ache o valor de O valor de 0,000064
6
4) Calcule o valor de 3
3 001
,
0
27
8


Radiciação Aproximada
QUADRO
As raízes, em geral, são números irracionais:
√2 = 1,414213562 …
Esses números possuem infinitas casas decimais e
não são dízimas periódicas.
√2
3
= 1,25992105 …
1) Sendo 07
,
1
2
10
 , ache o valor aproximado de
7+10
2 .
2) Uma fórmula de calcular a raíz quarta é extrair
duas vezes a raiz quadrada de um número. E isso
pode ser feito com uma calculadora de bolso
simples apertando duas vezes a tecla de raiz
quadrada.
Usando dessa estratégia, determine os valores,
com pelo menos 8 dígitos, de:
a)√7
4
b) √13
4
c) √91
4
d) √105
4
e) √5
8
f) √11
8
g) √5
16
h) √2
32
3) (Colégio Elisa Andreoli) Determine o valor das
radicais abaixo na forma de número decimal use
41
,
1
2  , 73
,
1
3  e 23
,
2
5  .
a) 162
b) 20
c) 300
d) 125
1ª Propriedade da Radiciação
QUADRO
1ª Propriedade
√𝒙𝒏
𝒏
= 𝒙, com 𝒙 ∈ ℝ+, 𝒏 ∈ ℕ e 𝒏 > 𝟏
Exemplo de aplicação:
a)√73
3
= 7
b) √52 = 5 (quando não há índice ele é 2)
c) √(𝑥 − 4)4
4
= 𝑥 − 4 para 𝑥 ≠ 4
d) √(−4)2 não pode ser simplificado, pois o
radicando é negativo!
Veja que, apesar da propriedade não dar essa
abertura, temos que é possível cancelar
expoentes e índices quando eles são ímpares,
mesmo que o número seja negativo:
√(−1)3
3
= −1
1) Dê o valor das expressões:
a)√52 b) √182
c) √(
1
3
)
2
d) √𝑥2 (𝑥 ≥ 0)
e) √(4𝑎3)2 (𝑎 ≥ 0) f) √(𝑥 − 4)2 (𝑥 ≥ 4)

6
2) Dê o valor das expressões:
a) √53
3
b) √74
4
c) √(5𝑥)6
6
(𝑥 ≥ 0)
d) √(𝑎3𝑏2)9
9
(𝑎, 𝑏 ≥ 0)
3) Decomponha os números a seguir em fatores
primos e calcule usando essa propriedade:
a) √49 b) √729
6
c) √625
4
d) √343
3
Faça as fatoração num rascunho!
4) É possível simplificar?
a) √(−5)3
3
b) √(−5)4
4
5) Verifique quanto vale √(−4)2.
(Não use a propriedade, pois ela não funciona!)
QUADRO
2ª Propriedade
√𝒙𝒎
𝒏
= √𝒙𝒎:𝒑
𝒏:𝒑
, com 𝒙 ∈ ℝ+, 𝒎,𝒏, 𝒑 ∈ ℕ, 𝒏 > 𝟏
e 𝒎 ≠ 𝟎
Exemplos de aplicação:
a)√54
6
= √54:2
6:2
= √52
3
b) √35
15
= √35:1
15:5
= √35
3
c) √34
8
= √34:4
8:4
= √3. Note que índice 2 e
expoente 1 não precisam ser escritos!
d) √515
5
= √515:5
5:5
=√53
1
= 53
. Note que √
1
não
faz sentido, é o mesmo que nada escrever no
índice!
e) √(4𝑥3)6
4
= √(4𝑥3)6:2
4:2
= √(4𝑥3)3 para 𝑥 ≥ 0
1) Simplifique os radicais (considere no item ‘g’:
a>0 e no item ‘h’: a,b>0)
a) √310
15
b) √43
18
c) √79
18
d) √315
9
e) √106
9
f) √𝑥14
21
g) √𝑎12
20
h) √(𝑎𝑏)6
9
2) Determine o valor de x em cada igualdade
(basta raciocinar ou usar proporções):
√73
15
= √74
𝑥
⇒
15
3
=
𝑥
4
⇒ 3𝑥 = 60 ⇒ 𝑥 =
60
3
⇒ 𝑥
= 20
a) √38
14
= √34
𝑥
b) √54
8
= √5𝑥
c) √115
15
= √11𝑥
3
d) √8𝑥
10
= √8
5
Lembre-se que na ausência do índice, ele é 2 e na ausência do
expoente ele é 1.
3) Decomponha o radicando em fatores primos e
use a 2ª propriedade para simplificar os radicais:
a) √32
10
b) √27
9
c) √81
16
d) √16
6
e) √64
8
f) √1024
12
Faça as fatoração num rascunho!
QUADRO
3ª Propriedade
√√𝒙
𝒏
𝒎
= √𝒙
𝒎𝒏
, com 𝒙 ∈ ℝ+, 𝒎,𝒏 ∈ ℕ e 𝒎,𝒏 > 𝟏
a) √√7
3
5
= √7
5∙3
= √7
15
b) √√4
3
= √4
3∙2
= √4
6
c) √√5 = √5
2∙2
= √5
4
Lembre-se que na ausência do índice ele é 2.

7
1) Escreva sob a forma de uma única raiz (no item
‘e’ – x>0):
a)√√3
5
b) √√3
c) √√𝑥
7
5
d) √√7
3
3
e) √√𝑥
6
f) √√√5
g) √√√4
3
h) √√√5
5
i) √√ √5
11
3
6
j) √√√√7
2) Usando as propriedades aprendidas,
simplifique ao máximo possível os radicais a
seguir (lembre-se de fatorar o radicando):
a) √√64
4
3
b) √√243
5
3) Determine o valor de x nas igualdades:
a) √√𝑥
𝑥
5
= √𝑥
15
b) √√5
𝑥
7
= √5
14
c) √√3
𝑥
= √3
10
d) √√√7=√√7
𝑥
4
e) √√5
𝑥
𝑥
= √√5
4
9
f) √√10
𝑥
𝑥
= √√10
9
4
4) Explique como usar uma calculadora para
determinar √3
8
. Por qual motivo essa regra
funciona?
QUADRO
4ª Propriedade
√𝒙𝒚
𝒏
= √𝒙
𝒏
√𝒚
𝒏
, com 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ+, 𝒏 ∈ ℕ e 𝒏 > 𝟏
a) √5.7 = √5√7
b) √4.7
3
= √4
3
√7
3
c) √3𝑎𝑏
7
= √3
7
√𝑎
7
√𝑏
7
(com a,b>0)
1) Escreva como um produto de radicais (no item
“b” – a,b>0; no item “c” – x,y>0):
a) √3 ∙ 11 b) √𝑎𝑏
c) √5𝑥2𝑦 d) √4 ∙ 13
3
e) √5 ∙ 9 ∙ 3
7
f) √3𝑎𝑏5
5
2) Decomponha os radicandos em fatores primos
e escreva cada radical como produto de radicais:
a) √10 b) √21
6
c) √15
7
d) √30
3
e) √154
5
f) √12
3
3) Transforme as multiplicações em um único
radical:
a) √5
3
∙ √7
3
b) √7
4
∙ √13
4
c) √4
3
∙ √12
3
d) √5 ∙ √3
e) √8
3
∙ √4
3
∙ √3
3
f) √2 ∙ √5 ∙ √7
g) √𝑥2𝑦3
3
∙ √𝑥4𝑦
3
h) √𝑥5
3
∙ √2𝑥3
3
∙ √3𝑥11
3

8
4) Simplifique ao máximo (use mais propriedades):
√23
20
∙ √2
2
QUADRO
5ª Propriedade:
√
𝒙
𝒚
𝒏
=
√𝒙
𝒏
√𝒚
𝒏 , com 𝒙,𝒚 ∈ ℝ+, 𝒚 ≠ 𝟎, 𝒏 ∈ ℕ e 𝒏 > 𝟏
Exemplos de Aplicação:
a) √
5
3
=
√5
√3
b) √
1
5
5
=
√1
5
√5
5
1) Transforme em um quociente de radicais
(suponha que no item ‘b’ – y>0):
a) √
1
5
b) √
𝑥4
𝑦3
c) √
7
5
3
d) √
2
13
6
2) Transforme em produtos e quocientes de
radicais (suponha que no item ‘b’ - y≠0, no item ‘c’
– x>0):
a) √
3𝑥
5
3
b) √
4𝑥
5𝑦
5
c) √
1
5𝑥
d) √
3𝑥2
7𝑦4
QUADRO
6ª Propriedade
( √𝑥
𝑛
)
𝑝
= √𝑥𝑝
𝑛
, com 𝑥 ∈ ℝ+, 𝑝 ∈ ℝ , 𝑛 ∈ ℕ e 𝑛 >
1
Exemplos de Aplicação:
a) Para efetuarmos (√5
3
)
6
, podemos fazer
√56
3
e usar a 2ª propriedade e obtermos
√52
1
= 52
= 25
b) Podemos fazer o cancelamento (√3
5
)5
=
3
c) Para efetuar √85
3
eu posso usar essa
propriedade “ao contrário”: √85
3
=
(√8
3
)
5
= 25
= 32
1) Calcule os seguintes valores:
a) √272
3
b) √493
c) √163
4
d) √815
4
e) √1693 f) √255
g) √10247
10
h) √6253
4
2) Calcule combinando a 6ª e a 2ª propriedade:
a) (√3
4
)
8
b) (√5
3
)
9
3) Simplifique:
a) (√5
5
)
5
b) (√3
7
)
7
Propriedades da Radiciação
QUADRO
Propriedades
Sejam 𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑛, 𝑝𝜖ℝ, sendo x, y positivos.
R1 √𝑥𝑛
𝑛
= 𝑥
R2 √𝒙𝒚
𝒏
= √𝒙
𝒏
√𝒚
𝒏
R3 √
𝒙
𝒚
𝒏
=
√𝒙
𝒏
√𝒚
𝒏
R4 √𝒙𝒎
𝒏
= √𝒙𝒎𝒑
𝒏𝒑
R5 √𝒙𝒎
𝒏
= √𝒙𝒎:𝒑
𝒏:𝒑
R6 ( √𝒙
𝒏
)
𝒑
= √𝒙𝒑
𝒏
R7 √√𝒙
𝒏
𝒎
= √𝒙
𝒎𝒏
Note que mudamos os números das propriedades e
também acrescentamos as R4 e R5 para a 2ª
Propriedade, além de pequena alteração na R6.
Não há um padrão nessas propriedades. Isso varia
de autor para autor!

9
1) Simplificar os radicais (use as propriedades):
64
d)
5
c)
3
b)
2
a)
3
3 3
4 8
12 6
2) Reduza à uma só raiz
3 4
)
3 8
)
5 10
)
c
b
a
5 32
)
3 27
)
3 4 5
)
f
e
d
3 2
2
)
3 3 12
)
)
i
a
h
a
g
4 3 8
5
)
64
)
2
)
m
l
a
j
3) Simplificar os radicais:
160
c)
32
b)
320
a)
4
3
80
h)
625
g)
40
f)
18
e)
12
d)
4
3
3
Exemplo:
3
6
3
.
3
.
2
3
.
3
.
2
3
.
3
.
2
3
.
2
108
1
2
2
2
2
2
1
3
2





R
R
P
(existem modos mais rápidos que você pode
inventar)
0)
c
e
b
a,
(com
c
b
8a
c)
0)
(a
16a
b)
0)
(a
a
a)
9
6
3
3 5
5 13



a)√16
3
b) √32
10
c)√1024
5
d)√√64
3
e)(√32)
4
x
x
b)
3
a)
3 4
3 7
2
-
3
27
f)
50
2
e)
34
29
.
58
17
d)
8
c)
54
b)
48
a)
3 4
3
a

10
B5.2 AULA 2 – Fatoração de Polinômios I
CA2 – Submódulo 5.2
Fatoração é um assunto básico tradicionalmente ensinado no 2º ou 3º
bimestre do 8º ano. Escolas como o Sistema Etapa ensinam no início do 7º
ano.
Para você acompanhar as aulas é necessário que tenha mínimos
conhecimentos de polinômios, incluindo os produtos notáveis
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
Pré Requisitos:
POLINÔMIOS
PRODUTOS NOTÁVEIS
Caso você não domine esses conteúdos, é necessário estuda-los antes.
COMO PROCEDER?
o FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
o FATORAÇÃO PELO FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA
o FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO
atividade.
1º Caso – Fator Comum em Evidência
QUADRO
Como fatorar?
 𝟓𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟓 (𝒙 + 𝒚)
 𝒙𝟐
− 𝟑𝒙 = 𝒙(𝒙 − 𝟑)
 𝟗𝒙𝟓
− 𝟏𝟓𝒙𝟑
= 𝟑𝒙𝟑
(𝟑𝒙𝟐
− 𝟓)
Veja que se eu multiplicar 𝟓 (𝒙 + 𝒚) eu obtenho
𝟓𝒙 + 𝟓𝒚.
Fatorar é descobrir um produto (conta de vezes)
com polinômios que gera um resultado.
1) Fatore, colocando o fator comum em
evidência:
a) 3x+3y
b) x2
-5x
c) x3
+4x2
+2x
d) 12x3
-8x2
+20x
e) 36x6
y4
+ 24 x4
y6
Jamais desista! Caso você não consiga fazer pesquise! Estude! Se
esforce! E vença!

11
2)Fatore, colocando o fator comum em evidência:
a) ax+bx+cx
b) x2
+7x
c) x5
+4x3
d) ab+a/3
e)
𝑥𝑦𝑧
2
+
𝑥𝑧
4
+
𝑥
2
f) 80x5
+64x3
QUADRO
Dado:
 𝒂 + 𝒃 = 𝟏𝟎
 𝒂𝒃 = 𝟐𝟓
Quanto vale 𝑎2
𝑏 + 𝑎𝑏2
?
Ao fatorarmos 𝑎2
𝑏 + 𝑎𝑏2
obtemos 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏),
portanto só multiplicar 𝑎𝑏 = 25 por 𝑎 + 𝑏 = 10
3) Se ax2
=14 e a+x=9, quanto vale 3a2
x2
+3ax3
4) Fatore as expressões, colocando os fatores
comuns em evidência:
a) 2a+2b
b) a2
-6a
c) 2x3
-8x2
+6x
d) 18x3
y2
+27x2
y3
e) 10x3
-15x2
+20x
f) 14a2
b+21ab3
5) Se xy=10 e 2x-y=6, quanto vale 2x2
y-xy2
QUADRO
Vamos supor que o professor lhe proponha a
seguinte expressão numérica:
53 × 48 + 53 × 52
Note que 53 é um fator comum à duas multiplicações
solicitadas, portanto:
53 × (48 + 52) = 53 × 100 = 5300
6) Calcule, colocando o fator comum em
evidência:
a) 3x57+2x57+5x57
b) 2x57+4x57+6x57+8x57
c) 128x188+128x201+128x269+128x342
d) 4x96+3x96+2x96+96
QUADRO
 𝟑(𝒙 + 𝟏) + 𝒙(𝒙 + 𝟏) = (𝒙 + 𝟏)(𝟑 + 𝒙)
 𝒙(𝒂 + 𝒃) + 𝒚(𝒂 + 𝒃) = (𝒙 + 𝒚)(𝒂 + 𝒃)
Note que (3 + 𝑥) e (𝑎 + 𝑏) são fatores comuns.
7) Fatorar, colocando fator comum em evidência:
a) 3(x+2)-5x(x+2)
b) a(x+y)+b(x+y)
c) a(x-y)+b(x-y)
d) 5(x-y)-a(x-y)
8) Fatore, colocando o fator comum em
evidência:
a) a(x+2)+b(x+2)
b) a(x+2y)+b(x+2y)+3(x+2y)
𝑎+1
5
é o mesmo que
1
5
(𝑎 + 1)
c)
𝑎+1
5
− 3𝑥(𝑎 + 1)
d) x2
(a+b)-x(a+b)+y(a+b)

12
QUADRO
A simplificação de frações só existe se
cancelarmos um fator do numerador por um
fator do denominador.
Exemplos:
a)
5𝑥
10
=
⏞
5
𝑥
2
b)
5𝑎
6𝑎
=
⏞
𝑎
5
6
(impõe que a≠0)
c)
14𝑥
10𝑥
=
⏞
2𝑥
7
5
(impõe que x≠0)
d)
6𝑎𝑏
4𝑏
=
⏞
2𝑏
3𝑏
2
(impõe que b≠0)
e)
𝑥2
3𝑥
=
⏞
𝑥
𝑥
3
(impõe que b≠0)
f)
3𝑎𝑏
2𝑎𝑏
=
⏞
𝑎𝑏
3
2
(impõe que a,b≠0)
g)
5𝑥2𝑦
6𝑥𝑦2 =
⏞
𝑥𝑦
5𝑥
6𝑦
(impõe que x,y≠0)
Em geral registramos o cancelamento:
.
6𝑎𝑏
4𝑏
=
3𝑎
2
2𝑎𝑏
3𝑎𝑏
=
2
3
É um hábito de professores de matemática cortar o
x com o expoente 2:
Há no entanto frações com polinômios portanto,
para cancelarmos, a fração deve estar na forma
fatorada.
É incorreto fazer : (supondo x≠0)
𝑥2
+ 𝑥
2𝑥
=
𝑥
2
O correto é fatorar os polinômios:
𝑥2
+ 𝑥
2𝑥
=
𝑥(𝑥 + 1)
2𝑥
=
𝑥 + 1
2
Veja mais exemplos:

5𝑎+5𝑏
𝑎2+𝑎𝑏
=
5(𝑎+𝑏)
𝑎(𝑎+𝑏)
=
5
𝑎
(Considerando a≠0, a≠-b)

𝑥2+5𝑥
𝑥2+3𝑥
=
𝑥(𝑥+5)
𝑥(𝑥+3)
=
𝑥+5
𝑥+3
(Considerando x≠0, x≠-3)
9) Simplifique as frações (suponham satisfeitas as
condições de existência – o denominador):
5ab
3ab
c)
9b
6a
b)
6
4x
a)
6
2a
4am
f)
15
6a
e)
10x
8x
d)
2
2
4
2
2
3
a
c
ab
bx

5
15
5
)
3y
6
+
3x
h)
18
12
-
6x
g)
2
x
x
x
i

3
15
5y
l)
2
12
6x
j)
2
2




y
y
x
xy
y
QUADRO
Leia a história:
- Pense em um número. Não pode ser zero. Eleve ao
quadrado . Multiplique por 4.
- Pronto!
- Subtraia 8 vezes o número. Divida pelo quádruplo do
número.
- Deu 9.
- Você pensou em 11.
Como foi possível descobrir o número pensado?
Resolução:
Pensei um número 𝑥
Elevei ao quadrado 𝑥2
Multiplique por 4 4𝑥2
Subtraia 8 vezes o número 4𝑥2
− 8𝑥
Divida pelo quádruplo do nº
4𝑥2−8𝑥
4𝑥
Note que:
4𝑥2−8𝑥
4𝑥
=
4𝑥(𝑥−2)
4𝑥
= 𝑥 − 2
Como deu 9:
𝑥 − 2 = 9
𝑥 = 11
E por isso ele pensou em 11!
Vamos pensar:
Por que o professor pediu para o aluno pensar
em um número diferente de zero?

13
10) Efetue as seguintes operações com um
número x : eleve ao quadrado, some o quádruplo
do número e divida pelo número somado com 4.
Simplificando a expressão obtida, qual será o
resultado?
QUADRO
Escreva a área da seguinte figura na forma
fatorada:
3𝑥2
+ 5𝑥 = 𝑥 (3𝑥 + 5)
11) Dê a área da figura. Apresente o resultado na
forma fatorada:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1) Fatore:
a) x4
+3x3
+x2
b) a2
+a
c) x2
yz+xy2
z+xyz2
d) x3
y2
-x2
y3
e) 14xy-21xz
f) 33xy2
-44x2
y
g)4ax3
+6a2
x2
+4a3
x2
h) 45a5
y4
-75a4
y5
+105a3
y6
2) Fatore:
a)
3
4
𝑎5
−
5
8
𝑎4
+
7
6
𝑎6
b) 5𝑎3
(𝑥 + 3) − 7𝑎2
(𝑥 + 2) + 4𝑎4
(𝑥 + 2)
3) Efetue estes cálculos:
a) 13x43+27x43+16x26+84x26
b) 41x51+91x51+68x18+68x33
c)
17 79 79 3
7 79 2 79 79
x x
x x

 
4) Reduza os termos semelhantes e fatore:
a) ab+3b-2ab-b
b) a2
x2
y+3a5
xy-2a2
x2
y-a5
xy
c) 4(x-2)-6x+10
d) 4(a3
b2
-2a5
)-6a3
b2
+10a5
5) Simplifique as frações:
2
4x
2x
y
2xy
y
x
h)
6x
18x
27x
g)
6
5x
x
24
20x
4x
f)
20xy
10x
10xy
e)
14mn
21mn
d)
axy
y
ax
c)
10xy
2xy
b)
4x
8x
a)
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
5
2











14
6) Leia a história:
- Pense um número diferente de zero. Calcule o triplo de seu
quadrado.
- Feito!
- Some 6 vezes o número e divida pela soma do número com 2.
- Deu 21.
- Então você pensou no 7.
- Ele acerta todas.
Faça os cálculos pedidos pelo professor com um
número x. Explique como ele encontrou o número
pensado.
7) Simplifique as expressões e fatore:
a) (3ab-6a2
)+(a2
-4ab+2b2
)+(5a2
-3b2
)
b) (2x+7y)(2x-7y)+(x-7y)2
8) Dê a área da figura. Apresente o resultado na
forma fatorada:
2º Caso –Fatoração por Agrupamento
QUADRO
Fatorar por agrupamento é apenas fatorar
usando duas vezes o fator comum em
evidência
Exemplo 1
𝑚𝑥 + 𝑚𝑦
⏟
𝑚(𝑥+𝑦)
+ 𝑛𝑥 + 𝑛𝑦
⏟
𝑛(𝑥+𝑦)
= 𝑚(𝑥 + 𝑦) + 𝑛(𝑥 + 𝑦)
= (𝑥 + 𝑦)(𝑚 + 𝑛)
Veja que trata-se apenas de uma fatoração
combinada!
1) Fatore por agrupamento:
a) ax+bx+ay+by
b) 2x+2y+ax+ay
c) 3ax+3ay+5bx+5by
d) ax+ay+bx+by
Ao fatorar
−𝑦𝑎 − 𝑦𝑏 observe o jogo de sinais:
−𝑦(𝑎 + 𝑏). No b
fica o sinal de +, pois -y vezes +b é -yb.
e) xa+xb-ya-yb
QUADRO
Veja e entenda:
53 × 41 + 53 × 59
⏟
53×(41+59)
+ 47 × 39 + 47 × 61
⏟
47×(39+61)
53 × (41 + 59) + 47 × (39 + 61)
53 × 100 + 47 × 100
100 × (53 + 47)
100 × 100
10000
2)Efetue, usando a fatoração por agrupamento:
a) 7x21+3x21+6x23+4x23
b) 12x11+7x11-7x16-4x16
c) 102x71+102x29-24x52-52x76
3)Fatore por agrupamento:
a) am+na+bm+bn
b)2x+ay+2y+ax
c) y3
-3y2
+4y-12
d) ax2
-bx2
+3a-3b
a) abx+cx+2ab+2c
b)
3𝑥
5
+ 𝑎𝑥 +
3𝑦
5
+ 𝑎𝑦
c) x2
y2
z+2xy+3xyz+6
d) 𝑎2
𝑥 +
1
4
𝑥 + 3𝑎2
+
3
4

15
Ao fazermos ax+bx = x (a+b), e o restante da expressão contiver a+b, é
bem conveniente transformar a+b em 1(a+b), pois aí favorecemos uma
fatoração por agrupamento!!! É importante se esforçar para entender essa
explicação!
a) ax+bx+a+b
b) xy+x+y+1
c) x²y+5x²+y+5
d) x2
y-2x+xy-2
e)ax2
-bx2
+a-b
6)Fatore por agrupamento x3
-ax2
-3bx+3ab
QUADRO
OBSERVAÇÃO 1
O agrupamento também pode ser triplo ou
com membros com mais termos:
Exemplo 1:
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧
⏟ + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑏𝑧
⏟
𝑎(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑏(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑎 + 𝑏)
Exemplo 2:
𝑚𝑥 + 𝑚𝑦
⏟ + 𝑛𝑥 + 𝑛𝑦
⏟ + 𝑝𝑥 + 𝑝𝑧
⏟
𝑚(𝑥 + 𝑦) + 𝑛(𝑥 + 𝑦) + 𝑝(𝑥 + 𝑦)
(𝑥 + 𝑦)(𝑚 + 𝑛 + 𝑝)
Exemplo 3
𝑥5
− 4𝑥4
⏟ + 𝑥3
− 4𝑥2
⏟ −𝑥 + 4
⏟
𝑥4(𝑥 − 4) + 𝑥2(𝑥 − 4) − 1(𝑥 − 4)
(𝑥 − 4)(𝑥4
+ 𝑥2
− 1)
OBSERVAÇÃO 2
Eventualmente, precisamos reorganizar o
agrupamento para que ele faça sentido!:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦
⏟ + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦
⏟
𝑎(𝑥 + 𝑦) + 𝑏(𝑥 + 𝑦)
(𝑥 + 𝑦)(𝑎 + 𝑏)
𝑦3
+ 3 − 𝑦2
− 3𝑦
𝑦3
− 𝑦2
⏟ −3𝑦 + 3
⏟
𝑦2(𝑦 − 1) − 3(𝑦 − 1)
(𝑦 − 1)(𝑦2
− 3)
a)
𝑥
3
+
𝑏𝑦
3
+ 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 −
7𝑏𝑥
5
−
7𝑏𝑦
5
b)ax+bx+3ay+3by+5az+5bz
c)am-an-bm+bn+cm-cn
Nós já simplificamos frações! Você precisa fatorar o denominador e o
numerador.
Dica, reorganize 𝑎2
+ 5𝑏 + 5𝑎𝑏 + 𝑎 para colocar a+q em evidência
8)Simplifique as frações (considere satisfeitas as
condições de existência):
)
1
)(
1
(
4
4
x
b)
25
10
5
5
)
2
3
2
2
2










x
x
x
x
b
ab
a
a
ab
b
a
a
Já fizemos exercícios como o apresentado a seguir.
9) Se a+b=12 e x+y=4. Qual é o valor da
expressão ax+ay+bx+by?
REFORÇANDO
1) Fatore por agrupamento:
a) x2
+2xy+3x+6y
b) 3a-3b+am-bm
c) ax+2bx+ay+2by
d) x3
+3x2
-2x-6
e) x6
+x5
+x4
+x3
+x2
+x
2) Fatore por agrupamento
a) 10ax+14bx+15ab+21b2
b) x3
+5x2
+2x+10
c)x2
y-bxy+ax-ab
d) x3
-3x2
+ax-3a
e)6ax-3bx-4a+2b
f) mn-8am-10n+80a
g) 4ab-24a-5b+30
h) x2
-5xy-2x+10y

16
3)Fatore as expressões:
a) ax+ay-bx-by
b) y3
-y2
-3y+3
c) ay-by-a+b
d) x2
-bx-2ax+2ab
e) ax-4a-24+6x
f) a2
y-a3
+3ab-3by
g) 2ax-bx-10a+5b
h)ax-3x-ay+3y
4)Se a+b=10 e m+n=5, determine o valor de
am+bm+na+bn.
5) Simplifique a fração, sendo x≠-2
2
2
2
)
2
(
)
2
(
3
)
2
(
5




x
x
y
x
6) Calcule o valor numérico de
1
2
2
4
2





y
yx
y
x
y
x
para x=1 e y=-87/41
GABARITO
Será disponibilizado em PDF e/ou Vídeo na Plataforma PODEMOS e no Blog.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – FATOR COMUM EM
EVIDÊNCIA
1) Fatore, colocando o fator comum em evidência
a) 2a+2b b) 3x2
-3y2
c) 5a+ab
d) x2
+3x e) a2
+a f) x2
-x
g) 6x2
-9x h) 3a-9 i) 14a2
b+21ab3
j) 15x3
-10x2
k) 9x2
-12x l) 9x2
-12x
m) a3
-4a2
n) 9x2
y-12xy2
o) a3
+a2
+a
p) 6x2
-9x+12 q) 2x3
-8x2
+6x r) 18x3
y2
+27x2
y2
s) 3x+6x2
+9x3
t) 10x3
-15x2
+20x u) a(x+y)+b(x+y)
v) 2a(x-3)-b(x-3) w) x(a-b)+y(a-b) x) 5(x-y)-a(x-y)
2) Use a fatoração e efetue:
a) 572
+43x57 b) 37x321+14x321+49x321
c) 123
x3+122
x64
3) Simplifique as expressões usando fatoração:
a)
13
b)
41x71 - 41x21
5
c)
72x133 - 2x133
1132x7 + 22x63
2
x x
61 13 3
13
3

4) Se x2
y2
=2 e 2x+3=25, determine 18x3
y2
+27x2
y2
.
a)
6
8x
b)
15xy
20x
c)
6mn
9mp
d)
14a b
21a b
e)
2x 4
6
f)
x
x x
g)
5x 3x
2x 5x
h)
3x y
3xy 3x y
2
2 3
3
2
2
2
3
2
2 2



 
6) Leia a história:
- Pense num número, diferente de zero.
- Pensei!
- Eleve ao quadrado e multiplique por 2.
- Certo!
- Agora, some o quádruplo do número pensado.
- Termine dividindo a soma pelo dobro do número pensado.
- Deu 7.
- Então você pensou no número 5.
- Faça os cálculos, e explique como o professor descobriu o número
5!
7) Dê a área da figura. Apresente o resultado na forma fatorada:
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – FATORAÇÃO POR
AGRUPAMENTO
1- Fatore por agrupamento:
a) ax-ay+bx-by b) x2
+2xy+3x+6y c) ab+2b-3a-6
d) ax-2x+ay-2y e) 3a-6y+ab-2by f) 10x2
+15xy-4x-6y
g) am+bm+an+bn+ap+bp h) x3
+3x2
+2x+6
i) a3
-a2
+a-1 j) 10ab-2b+15a-3
2-Se a+2b=10 e x+y=12, determine ax+2bx+ay+2by.
3- Se 3a-b=10 e a+x=3, calcular o valor de 3a2
+3ax-ab-bc.
COMO PROCEDER?
Há vários vídeos sobre o assunto na Plataforma PODEMOS. Vá até a página correspondente.
Alguns vídeos que podem ser interessantes:
O Que é Fatorar? https://youtu.be/KY3IlGqmk08
Fatoração por Agrupamento. https://youtu.be/rxqEINfbbM0 e https://youtu.be/v2awPxFm78M
Uma visão mais avançada de Fatoração. https://youtu.be/m9lMvdX5Pfc
Fatoração - aula no PODEMOS B2 em 24/1 https://youtu.be/wV3SGwXBKOo
Playlist resolvendo exercícios de Fatoração https://goo.gl/WRHvqH
Outros links podem ser postados em http://matematicacomotavio.blogspot.com/p/podemos-b5.html

17
B5.3 AULA 3 – Conjuntos – Ideias Iniciais
CJ1 – Submódulo 5.3
Os conjuntos são a linguagem da Matemática. Esse é um conteúdo essencial
e infelizmente negligenciado no Ensino Fundamental.
Acontece que, nos anos 60, um movimento chamado “Matemática Moderna”
exagerou no ensino de Conjuntos, ensinando sobre os mesmos até na Pré-
Escola. Atualmente algumas escolas o ensinam apenas no Ensino Médio, o
que acaba sendo bastante incoerente.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o CONJUNTOS
o RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA – CONJUNTOS
o RELAÇÃO DE INCLUSÃO – CONJUNTOS
o CONJUNTO DAS PARTES
atividade.
Ideias Iniciais
QUADRO
Um conjunto é um grupo de coisas. Essas coisas
são chamadas de elementos do conjunto. Quando
algo é um elemento de um conjunto dizemos que
esse elemento pertence ao conjunto.
São conceitos primitivos, aceitos sem definição:
 Conjunto – representados em geral por
letras maiúsculas: A, B, C, D, etc..
 Elemento
 Pertinência – representados pelo símbolo ∈
O símbolo de pertence é um ∈ - Não faça ele em
outro formato! (como um E).
Sendo A={1,2,3,4} , dizemos que:
1 ∈ 𝐴 – 1 pertence a A
5 ∉ 𝐴 – 5 pertence a A
COMO REPRESENTAR UM CONJUNTO?
Ele pode ser representado:
 Listando os Elementos
 Por uma propriedade característica
 Por um diagrama de Venn.
Ex:
a) Listagem de Elementos
P={0,2,4,6,8}
V={a,e,i,o,u}
S={Rio Grande do Sul, Santa Catarina, Paraná}
C={0,1,2,3,4,...,99,100}
(os ... significa que há vários números nesse espaço)
b) Propriedade Característica
P={ x | x é algarismo par }
V={ x | x é vogal }
S={ x | x é estado da Região Sul}
C={ x | x é número de 0 até 100 }

18
Muita gente estranha a notação
P={ x | x é algarismo par }
Especialmente no “x | x”. Por qual motivo repeti o x?
Isso é pelo fato de que o conjunto é composto de
todo valor possível para x (antes da “|”), que torna a
sentença (após a “|”) verdadeiro
Considere a substituição de “x é algarismo par” por:
 x=0 | 0 é algarismo par – Verdadeiro. Então
0∈ 𝑃.
 x=1 | 1 é algarismo par – Falso. Então 1∉ 𝑃.
c) Diagrama de Venn
É uma região do plano, uma “bola” com pontos
dentro, que representa os elementos do diagrama.
Veremos muito sobre o Diagrama de Venn.
CONJUNTO VAZIO E UNITÁRIO
Por mais estranho que seja, um conjunto pode ter
apenas 1 elemento.
Ex: A={ x | x é número primo par } = { 2 }
Esse conjunto é chamado de unitário.
Também existe conjunto com 0 elementos:
Ex: B={ x | x é número ímpar terminado em 4} = { }
Esse conjunto é chamado de vazio.
O conjunto vazio pode ser representado pelo símbolo
∅ (que é uma letra do alfabeto norueguês)
É incorreto representar o conjunto vazio por { ∅ }
CONJUNTO INFINITO
Conjuntos podem ter infinitos elementos, como o
conjunto dos números naturais, o conjunto dos
números pares, etc.
Correção em vídeo 12:45
Ex. 1 a 9
https://youtu.be/W9-ppeiZiTA
1. Um time de futebol é um conjunto de 11
elementos. O que são estes elementos?
2. Represente o conjunto abaixo pela listagem dos
elementos e pela propriedade características
3. Vamos representar o conjunto V descrevendo
uma propriedade de seus elementos: “V é o
conjunto das vogais de nosso alfabeto”.
Represente V pela lista de seus elementos.
4. Reescreva os conjuntos dando um a um os seus
elementos:
a) A={x|x é número natural menor que 10}
____________________________
b) B={x|x é número primo menor que 20}
____________________________
c) C={x|x é mês com 30 dias}
____________________________
d) D={x|x é satélite natural da Terra}
____________________________
e) E={x|x é país da América do Norte}
____________________________
f) F={x|x é gato que voa}
____________________________
5. Liste os conjuntos:
A={x|x é estado da região Sul do Brasil}
___________________________
B={x|x é aluno de nossa classe começado com B}
____________________________
C={x|x é planeta do sistema solar}
____________________________
D={x|x é par positivo menor que 100}
____________________________
E={x|x é prefeito desta cidade}
____________________________
F={x|x é professor de Matemática desta classe}
____________________________
G={x|x é vogal da palavra PARANAPIACABA}
____________________________
Dois conjunto são iguais quando possuem exatamente os
mesmos elementos. Ex: {1,2,3}={2,1,3}={1,3,2}={1,1,1,3,2,3}. A
ordem e a repetição de elementos não torna o conjunto diferente do
outro. Veja mais sobre “Igualdade de Conjuntos” na Internet
6. Considere o conjunto A das letras utilizadas
para se escrever SAUDADE. Agora considere o
conjunto B das letras utilizadas para escrever
DEUSA. Neste caso o que ocorre: A=B ou AB?

19
7. O conjunto dos algarismos de 2004 é {2,0,4}.
Escreva o conjunto dos algarismos de:
a) 5042
b) 2005
c) 1999
d) 7202
e) 555
8. Escreva o conjunto das letras de:
a) ARARA
b) CIRCUNFLEXO
c) PERNAMBUCO
d) NOILTO
e) MUZAMBINHO
f) IESDE
9. Escreva cinco palavras de cinco letras. Em cada
uma delas, o conjunto das letras deve ser sempre
{a, o, r, p, t}.
Palavras escritas as mesmas letras, com a mesma quantidade de
cada letra são chamados de ANAGRAMAS da palavra.
Ex. 10 a 16
https://youtu.be/siB1wH4HxYM
10. Represente os conjuntos
A={1,2,3,8,9},B={1,3,5,8} e C={0,1,3,7,9} no
diagrama:
11. Seja o conjunto A das letras da palavra
SERPENTE, o conjunto B das letras da palavra
MONTANHA e o conjunto C das letras da palavra
SAUDADE. Represente em diagramas os
conjuntos A, B e C utilizando um só desenho.
12. Com uma propriedade de seus elementos,
descreva o seguinte conjunto:
13. Com propriedades características escreva os
conjuntos:
a) A={Paraná, Rio Grande do Sul, Santa Catarina}
_________________________________
b) C={Brasil, Alemanha, Itália, Argentina, Uruguai,
Inglaterra, França, Espanha}
_______________________________________
c) E={Vênus, Mercúrio, Terra, Marte}
_______________________________________
d) F={Substantivo, Adjetivo, Artigo, Pronome,
Numeral, Verbo, Advérbio, Preposição,
Conjunção, Interjeição}
______________________________________
e) G={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
_______________________________________
14. Veja se é verdade:
a) a palavra IESDE tem 5 letras.
b) o conjunto das letras da palavra IESDE tem 5
elementos
c) 515 é um número de três algarismos.
d) o conjunto dos algarismos do número 515 tem
2 elementos.
15. Escreva seis números de 3 algarismos. Em
cada um deles, o conjunto dos algarismos
utilizados sempre deve ser {3,5, 6}
16. Escreva 2 palavras de 6 letras. Em cada uma
delas, o conjunto das letras utilizadas deve ser {a,
o, p, s, t}.
Ex. 17 a 19
https://youtu.be/tRen-w8bGpg
17. Considere o conjunto V das vogais de nosso
alfabeto. Complete os espaços com  ou :
a__V b__V c__V d__V
e__V f__V
18. Se A={x|x é verbo da primeira conjugação},
B={x|x é estado da região Sudeste do Brasil},
C={x|x é número primo}
Determine se ou:
Cantar ____ A Partir _____A
Minas Gerais ____ B
Amazonas ______B 12____C
.2
.3
.5
.7
.11
.13
.17
.19

20
21. Veja a figura:
Complete com  ou :
a) 5__A
b) 5__B
c) 7__A
d) 7__B
e) 3__A
f) 3__B
g) 15__A
h) 15__B
19. Identifique os conjuntos unitários e os vazios:
a) A={x|x é oceano que banha o Brasil}
b) B={x|x é mulher que já foi presidente do Brasil}
c) C={x|x é mês cujo nome começa com ‘a’}
d) D={x|x é mês com menos de 30 dias}
e) E={x|xIN e x+1=0}
f) F={x|1/x=0}
Ex. 20
https://youtu.be/A6YOeRs8Dbk
20. Considere P={2, 3, 7, 8, 9}. Determine:
a) A={xP|x é par}
_________________________________
b) B={xP|x é divisível por 5}
_________________________________
c) C={xP|x é número primo}
__________________________________
d) D={xP| x é divisor de 35}
__________________________________
e) E={xP|x é quadrado perfeito}
__________________________________
f) F={xP|x-1=0}.
__________________________________
QUADRO
PROBLEMA 1
Uma pessoa começou a trabalhar no dia 7 de abril
e trabalhou todos os dias até o dia 30 de abril.
Quantos dias essa pessoa trabalhou nesse mês?
A primeira impressão que se tem é que a resposta é
que a pessoa trabalhou 23 dias, afinal de contas 30-
7=23.
Mas se você contar a lista abaixo:
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17
18 19 20 21 22
23 24 25 26 27
Verificará que são 24 dias trabalhados.
Estranho não é?
PROBLEMA 2
Uma mãe mantém uma agenda para cada ano
diferente que sua filhinha nasceu. Ex: a filha
nasceu em 2012, ela tem uma agenda para 2013.
Sua filhinha completará 5 anos em outubro desse
ano. Quantas agendas sua mãe possui?
Aparentemente a sua mãe possui 5 agendas ou 6,
certo? Mas uma análise mais detalhada chegará no
número de 7 agendas!!!
Como assim? Verifique. Suponha que estejamos em
agosto de 2018 e a criança nasceu em outubro de
2012, portanto, a criança completará 6 anos em
outubro e hoje ela tem 5 anos.
Ela possui agendas de 2012, 13, 14, 15, 16, 17 e 18
– 7 agendas.
PROBLEMAS ANÁLOGOS
a) Uma festa de Rodeio que vai do dia 10 ao
dia 13 de maio possui 4 dias e não 3.
b) Um jornal cujo ano I foi em julho de 1991
ainda terá 26 anos no início de 2018 mas
em suas edições estará estampado ano
XXVIII (28).
Há outros problemas (a) cuja traça está no final do 1º
livro e vai até a primeira página do 3º livro e percorre
apenas UM livro; (b) e cuja pessoa que tem que
tomar 3 comprimidos a cada 30 min, e toma o
primeiro agora, conseguindo tomar os 3 em 1 hora
(e não em 3 x 30 min = 1h30).
Para entender isso basta perceber que ninguém
nasce com 1 ano, mas com zero anos, apesar da
lógica dos problemas serem invertidas a idéia é a
mesma, e, não há regras, é preciso pensar.
Porém

21
Para determinar o número de elementos de
conjuntos do tipo {14, 15, ...., 90} o que eu faço?
Pego o último elemento, subtraio o primeiro e somo
1:
90 – 14 + 1 = 77
São 77 elementos.
Ex. 21 a 26
https://youtu.be/t2-WQfMHZKs
21. Quantos elementos tem os conjuntos:
a) A={7,8,9,10,...,30}
b) A={25, 26, 27, ...., 100}
22. Uma pessoa foi admitida num emprego dia 5
de novembro e trabalhou até o último dia desse
mês. Quantos dias essa pessoa trabalhou.
(Novembro tem 30 dias).
23. Uma pessoa gasta 4 minutos para subir do 1º
ao 5º andar de elevador. Quanto tempo gastará
para subir do 1º ao 9º andar no mesmo elevador,
sabendo que esse tem sempre a mesma
velocidade?
Esse exercício é semelhante aos que demos nos exemplos.
24. Uma pessoa nasceu em maio de 2010. Em
fevereiro de 2018:
a) Qual será sua idade?
b) Quantos anos ela terá vivido?
QUADRO
Diagramas de Venn podem ser usados
para representar ideias
Suponha que S seja o conjunto dos
sofredores e C o conjunto dos corinthianos.
Vamos representa-los por diagramas de
Venn em situações hipotéticas, segundo a
opinião de três pessoas.
Nenhum corinthiano é sofredor
Alguns corinthianos são sofredores
Todo corinthiano é sofredor
Essa representação em diagramas foi
inicialmente feita pelo matemático Leonhard
Euler, e por isso há quem chame tais
diagramas de “Diagramas de Euler Venn”
25. Represente as idéias com diagramas de Venn:
a) Todo filatelista é propedeuta
b) Alguns filatelistas são propedeutas
c) Nenhum filatelista é propedeuta
26. Represente as idéias com diagramas de Venn:
a) Todo astronauta é poeta.
b) Alguns astronautas são poetas.
c) Nenhum astronauta é poeta.

22
QUADRO
Relação de Inclusão
Quando todos elementos de um conjunto
também são elementos de outro conjunto,
dizemos que ele é um SUBCONJUNTO.
Exemplo 1: o conjunto P dos paranaenses é um
subconjunto do conjunto B dos brasileiros.
Representamos com:
𝑃 ⊂ 𝐵
Eu leio “P está contido em B”
Exemplo 2: o conjunto F={1,2} e o conjunto
G={1,3} são subconjuntos do conjunto
H={1,2,3,4}, ou seja 𝐹 ⊂ 𝐻 e também 𝐺 ⊂ 𝐻
IMPORTANTE: Um conjunto X só está contido
() em um conjunto Y se todos os elementos
do X também forem elementos do Y. Caso
contrário, não está contido (⊄)
Ex: A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{0,1,2,3}A , pois 0, 1, 2 e 3 pertencem ao
conjunto A.
{1,2,4,8,16}⊄A , pois 1, 2, 4 e 8 pertencem ao
conjunto A, mas 16 não pertence
Não podemos usar ∈ ou ∉ para dizer que um
conjunto é subconjunto do outro. Esses
símbolos são de relação de pertinência, que
associam, elemento – conjunto.
Elemento – Conjunto
Relação de Pertinência ∈ ou ∉
Conjunto - Conjunto
Relação de Inclusão ⊂ ou ⊄
Ex. 27 ao 32
https://youtu.be/h8QDsuZtFHI
27. Considere A o conjunto dos números de 0 a 9.
Complete os espaços vazios com  ou ⊄:
a) {0,1,2)__A b) {8,9,10}__A
c) {1,3,5,7,9}__A d) {0,2,4,6,8}__A
e) {10,11}__A f f) {9,10}__A
g) {11,12,13)__A
28. Veja a figura:
A) Complete com  ou
:
a) 5__A
b) 5__B
c) 7__A
d) 7__B
e) 3__A
f) 3__B g) 15__A h) 15__B
B) Complete com com  ou ⊄:
a) {2,5}__A b) {2,7}__A c) {2,7)__B
d) {7,11)__B e) {7)__A f) {7}__B
g) {2,11}__A h) A__B i) B__A
29. Veja a figura:
a) Ela indica que CP ou
que PC?
b) Essa figura pode ser
usada quando C é o
conjunto dos curitibanos
e P é o conjunto dos
paranaenses?
c) Esta figura pode ser
usada quando C é o conjunto dos cariocas e P o
conjunto dos paulistas?
30. Noilto, Maíra, Maiara, Guilherme, Naiara e
Carlos são alunos de uma 1ª série. Noilto e
Guilherme são carecas. Desse pessoal, considere
os conjuntos: H dos homens, C dos carecas.
a) É verdade que Noilto C? ___ É verdade que
Noilto  H? ___
Lembre-se que  associa elemento e conjunto e  associa
conjunto e conjunto.
b) É verdade que CH? ___ É verdade que HC?
___
c) Agora as representações de C e H: A primeira
representação está correta? E a segunda?

23
31. a) Faça um diagrama de Euler-Venn
representando três conjuntos A, B e C, sendo AB
e BC.
b) O que se conclui a respeito de A e C?
O exercício 32 é importantíssimo. Lembre-se que {1,2} e {2,1}
são o mesmo conjunto.
32. Ache todos os conjuntos X tal que:
a) X{1,2,3}
b) X{1,2,3,4}
c) X{1,2}
d) X{1}
DESAFIO: Qualquer que seja o conjunto A, temos
que A. Explique.
QUADRO
Conjunto das Partes
Eu chamo de conjunto das partes ou conjunto
potência, o conjunto com todos os
subconjuntos de um determinado conjunto.
Vamos falar das partes de um conjunto.
a) Quais são as partes de {1,2,3}
Com um elemento
{1}, {2}, {3}
Com dois elementos
{1,2}, {1,3}, {2,3}
Com três elementos
{1,2,3} (um conjunto está contido nele mesmo)
Com zero elementos
 (o vazio está contido em qualquer conjunto)
Note que são 8 subconjuntos. O conjunto
de todos subconjuntos é chamado de
Conjunto das Partes ℘ (ou conjunto
potência):
℘({1,2,3}) =
{, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
b) Quais são as partes de {1,2,3,4}
Com 0 elementos: 
Com 1 elemento: {1}, {2}, {3}, {4}
Com 2 elementos: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4},
{3,4}
Com 3 elementos: {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4},
{2,3,4}
Com 4 elementos {1,2,3,4}
São 16 subconjuntos.
℘({1,2,3,4}) =
{, {1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},
{2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,2}, {2,3,4},
{1,2,3,4}}
c) Quais são as partes de {1,2}
Com 1 elemento: {1}, {2}
Com 2 elementos: {1,2}
São 4 subconjuntos
℘({1,2,3,4}) = {, {1}, {2}, {1,2}}
d) Quais são as partes de {1}
Com 1 elemento: {1}
São 2 subconjuntos
℘({1}) = {,{1}}
e) Quais são as partes de 
Só o  é parte do  (óbvio). É 1 subconjunto.
℘() = {}
NOTE QUE: {} é o conjunto das partes de 
{} é conjunto unitário e não vazio!
Ex. 33 e 34
https://youtu.be/4I9CxqAMQLg
33. Eu posso dizer que, se A={1,2,3}, que 1A ou
que {1}A Justifique.
Lembre-se que  relaciona subconjunto e conjunto, enquanto 
relaciona elemento e conjunto

24
34. Classificar como V ou F cada uma das
afirmações:
a) {3} {1,2,3} b) {2,3,1}{1,2,3}
c) 2{1,2} d) 2{1,2}
e) {2,3,4}{1,2,3,4} f) {1,2}
g) {1,2} h) {3,5,2}{3,5}
Ex. 35 a 37
https://youtu.be/SAyDQThnwsA
35. Dados os conjuntos A1={a,b,c} e A2={d,e}, de
quantas maneiras diferentes podemos escolher
um elemento de A1 e um de A2?
Para resolver use o Princípio Fundamental da Contagem! (Veja
aos vídeos para entender). Veja o módulo B4.3
36. Dados os conjuntos A1={a,b,c}, A2={d,e} e
A3={f,g,h,i}, de quantas maneiras diferentes
podemos escolher um elemento de A1, um de A2 e
um de A3?
37. Dados os conjuntos A1={a, b, c}, A2={d, e},
A3={f, g, h, i}, A4={j, k, l, m, n} e A5={o}, de quantas
maneiras diferentes podemos escolher um
elemento de A1, um de A2, um de A3, um de A4 e
um de A5?
Ex. 38 a 41
https://youtu.be/W4GXcE25AaE
38. Quantos subconjuntos o conjunto A={a,b,c}
possui?
39. Quantos subconjuntos possui o conjunto A={a,
b, c, d}?
40. Quantos subconjuntos possui o conjunto A={a,
b, c, d, e}? Faça sem listar todos os subconjuntos.
41. Um conjunto A tem 10 elementos. Quantos
subconjuntos tem o conjunto A?
QUADRO
Número de elementos do conjunto das
partes
Se você fez os exercícios 35 ao 41 e assistiu
aos vídeos, entendeu que se eu tenho um
conjunto {1,2,3,4,5}, há 2 hipóteses para cada
número – pertencer ou não pertencer ao
conjunto.
Usando o princípio fundamental da contagem,
temos que:
1 – pode pertencer ou não – 2 possibilidades
2– pode pertencer ou não – 2 possibilidades
Usando o Princípio Fundamental da Contagem,
o total de partes é
𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 = 𝟑𝟐
Podemos dizer que um conjunto de n elementos
possui 2𝑛
elementos, ou seja:
#℘(𝐴) = 2#𝐴
(#A é a cardinalidade, ou seja, o número de
elementos de um conjunto A)
Explicação Teórica 5:44
Conjunto das Partes
https://youtu.be/6RTIIzPUL_Y
QUADRO
Conjuntos e Geometria
Recordemos algumas notações e alguns conceitos
da geometria.
 Pontos são nomeados por letras latinas maiúsculas
e de fôrma (A, B, C, D, ...).
 Retas são nomeadas por letras latinas minúsculas
(a,b,c, ..., r,s,t, ...).
 Um segmento de reta de extremos A e B é indicado
por 𝐴𝐵
̅̅̅̅.
 Uma semi-reta de origem A que passa por B é
indicada por 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ .
 Uma reta é um conjunto de pontos; logo, cada um
de seus pontos é um elemento da reta.
 Uma semi-reta é um conjunto de pontos; logo, cada
um de seus pontos é elemento da semi-reta.
 Um segmento de reta é um conjunto de pontos;
logo, cada um de seus pontos é um elemento do
segmento de reta.

25
Ex. 42
https://youtu.be/lfIl4z6OX0c
42. De acordo com a figura, classificar em V
ou F cada uma das afirmações:
a) Ar b) A r c) {A} r
d) 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ r e) 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗  r f) 𝐷𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗
g) AAC h) A𝐴𝐶
̅̅̅̅.
A superfície da lousa de sua classe é uma superfície plana. Por
isso dizemos que ela está contida num plano. Esse plano é infinito,
isto é, não se limita às margens da lousa. Um plano é constituído por
infinitos pontos; e toda reta que passa por dois de seus pontos
(distintos) está contida nesse plano. Em geometria, pode-se
representar um plano por um paralelogramo e usa-se uma letra grega
minúscula (, , , ...) para denominá-lo.
1) Escreva a lista dos elementos de:
𝐴 = {𝑥 𝑥
⁄ é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0 𝑒 5} = {___________________}
𝐵 = {𝑥 𝑥
⁄ é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑒 𝑥 ≤ 8} = {___________________}
𝐶 = {𝑥 𝑥
⁄ é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑥 > 50} = {_________________________}
2) Complete com = ou ≠:
a) {1,3,5} ___ {3, 5, 1}
b) {1,3,5,1,5} ___ {1, 1, 1, 3, 3, 5}
c) {1,1,1,1,1} ____ {1, 3}
d) {5,4,6,7} ___ {4,5,6,7,8}
3) Coloque os algarismos nos diagramas de Venn:
A={0,1,3,5,7}
B={1,2,3,4,8}
C={1,2,4,5,9}
4) Considere A={1,2,4,8,16,32,64}, B={10,11,12,....,30}.
Complete com  ou :
1___A 1___B 16___A 16___B
5___A 5___B 27___A 27___B
5) Quantos elementos possuem os conjuntos:
a) {16, 17, 18, 19, ..., 50}
b) {40, 41, 42, 43, ...., 99}
6) Você ingressou no início do ano de 2005 no emprego. No final do
ano de 2018 terá trabalhado quantos anos nesse emprego?
7) Um jornal foi fundado em 1991. Nesse ano indicava em sua capa
“ANO 1”. Em 1992 indicava “ANO 2”, em 1993, “ANO 3”. No ano de
2018, será “ANO ___”?
8) Represente em diagramas de Venn:
a) Todo florista é romântico.
b) Alguns floristas são românticos.
c) Nenhum florista é romântico.
9) Represente em diagramas de Venn o conjunto dos quadrados Q,
dos losangos L e dos retângulos R.
10) Complete com com  ou ⊄:
a) {5,6} ____ {1,2,3,...,10} b) {1,3,5,7} ___
{1,2,3,4,5,6,7}
c) {1,4}___ {1,3,4,5} d) {1,3,4,5}____
{1,3,4}
11) Faça um desenho com diagramas de Venn representando os
conjuntos B dos brasileiros, M dos mineiros e Z dos
muzambinhenses.
12) Considere o conjunto A dos estudantes do 1ºA e o conjunto S
dos estudantes da EE Prof. Salatiel de Almeida. Considere Tamires,
uma estudante do 1ºA e Paula, uma estudante da escola, mas não
matriculada no 1ºA. Complete com  ou ,  ou ⊄:
Tamires ___ A Tamires ___ S A ___ S
Paula ___ A Paula ___ S {Paula, Tamires} ___ A
13) Considere M o conjunto dos mamíferos, A o conjunto das aves e
V o conjunto dos vertebrados. Complete com  ou ,  ou ⊄:
Cachorro ___ M Cachorro ___ A Cachorro ___ V
Galinha ___ M Galinha ___ A Galinha ___ V
A ___ V M ___ V A ___ M
14) Ache todos os subconjuntos de:
a) {P, A, T, O}
b) {A, V, E}
c) {X, Y}
d) {F}
15) Qual é o conjunto F, de tal forma que F={ xℕ / 3x+1=10}?
16) Classifique os conjuntos em unitário e vazio:
a) X={x / x é número primo e par}
b) Y={x / x é número natural entre 5 e 6}
c) Z ={x / x é número que é solução da equação 5x-3=9}
d) W={x / x é número natural que é solução da equação 5x-3=9}
17) Represente em um diagrama os conjuntos M das mulheres, P dos
palmeirenses e C dos cariocas.
18) Por qual motivo A, sendo A qualquer conjunto?
Correção em vídeo
Ex 1 ao 18
https://youtu.be/ehzx5g62H1g

26
B5.1 AULA 4 – Simplificação de Radicais
NO3 – Submódulo 5.1
Esse módulo trata de simplificação de Radicais apenas utilizando as
propriedades já conhecidas.
Essas simplificações em geral são trabalhadas no 9º ano, no início do ano.
Mas são temas que podem ser facilmente aprendidos se você se dedicar e
estudar.
Matemática exige auto-estudo.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS
o INTRODUÇÃO DE FATORES EXTERNOS NO RADICANDO
o REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE
o COMPARAÇÃO DE RADICAIS
atividade.
Simplificação de Radicais
QUADRO
Vamos combinar as propriedades estudadas na Aula
1 para simplificarmos radicais.
O que faremos aqui explica bem a regra prática
apresentada na Aula 1.
Também já fizemos isso em um exercício anterior.
Mas aqui está mais formalizado!
Simplifique
a)√𝟔𝟑 =
⏞
𝑭𝒂𝒕𝒐𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐
𝒐 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐
√𝟑𝟐𝟕 =
⏞
𝑹𝟐
√𝟑𝟐
√𝟕 =
⏞
𝑹𝟏
𝟑√𝟕
b)√𝟏𝟎𝟖𝟎
𝟑
=
⏞
√𝟐𝟑𝟑𝟑𝟓
𝟑
=
⏞
𝑹𝟐
√𝟐𝟑
𝟑
√𝟑𝟑
𝟑
√𝟓
𝟑
=
⏞
𝑹𝟏
𝟐 ∙ 𝟑√𝟓
𝟑
= 𝟔√𝟓
𝟑
Em alguns casos é preciso usar a propriedade da
potenciação para conseguir aplicar a propriedade da
radiciação:
a)√𝟏𝟐𝟓 =
⏞
√𝟓𝟑 =
⏞
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒓𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅𝒆
𝑷𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂çã𝒐
√𝟓𝟐𝟓 =
⏞
𝑹𝟐
√𝟓𝟐√𝟓
=
⏞
𝑹𝟏
𝟓√𝟓
b)√𝟏𝟐𝟖
𝟑
=
⏞
√𝟐𝟕
𝟑
=
⏞
√𝟐𝟑𝟐𝟑𝟐
𝟑
=
⏞
𝑹𝟐
𝟐 ∙ 𝟐√𝟐
𝟑
=
⏞
𝑹𝟏
𝟒√𝟐
𝟑
c) √𝟔𝟒𝟖 =
⏞
√𝟐𝟑𝟑𝟒 =
⏞
√𝟐𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟐𝟑𝟐
=
⏞
𝑹𝟐
√𝟐𝟐√𝟐√𝟑𝟐√𝟑𝟐 =
⏞
𝑹𝟏
𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑√𝟐 = 𝟏𝟐√𝟐
1) Simplifique os radicais usando das
propriedades da radiciação. Tenha consciência
das operações utilizadas.
a)√32 ∙ 13
b) √3 ∙ 55
5

27
c) √24 ∙ 3 ∙ 5
4
d) √2 ∙ 35 ∙ 5
5
e) √2 ∙ 33 ∙ 53
3
f) √54
3
g) √37
h) √23 ∙ 32
i) √28 ∙ 39
4
j) √211
5
2) Considere os valores de x e y positivos:
a)√𝑥5
b)√𝑦4
3
c) √𝑥2𝑦3
d)√𝑥5𝑦7
5
e) √𝑥9
f)√𝑦12
5
g)√𝑦10
9
h) √𝑥13
10
3) Simplifique os radicais:
a)√45
b) √300
c) √500
d) √54
3
e) √128
6
f) √270
g) √192
5
h) √176
4
i) √1200
j) √375
3
4) Considere √2 = 1,41 e √3 = 1,73, que são
valores aproximados, e determine os valores
aproximados a seguir:
Primeiramente fatore e simplifique como você fez no exercício
anterior, e depois substitua os valores acima, dados.
a) √18
b) √48
c) √32
d) √200
e) √162
f) √75
QUADRO
Olha o tipo de cancelamento que você NÃO
PODE fazer:
2 + √8
2
= √8
Como falamos na Aula 2 (fatoração), você só
pode cancelar se numerador e denominador
estejam fatorados.
Sabemos que √8 = 2√2, então o correto é:
2 + √8
2
=
2 + 2√2
2
=
2(1 + √2)
2
= 1 + √2
Note que FATORAMOS o numerador.
4) Simplifique o radical e simplifique a expressão
colocando o fator comum em evidência:
a) 5 + √50
b) 3 − √18
c) 10 − √8
d) 10 + √200
Exemplo: 9 + √45 = 9 + 3√5 = 3(1 + √5)
5) Simplifique as frações. Veja que é fundamental,
nesse caso, fatorar os termos:
a)
2+√12
2
b)
10−√50
5
c)
2+√8
2
d)
7−√98
14

28
6) Simplifique as frações (necessário usar a
fatoração, colocando fatores comuns em
evidência0:
a)
4+√12
6+√27
b)
3+√27+√18
4+√32+√48
7) Se √12 = 3,46, determine um valor para √300.
Nessa questão, se você tentar fazer seguindo uma regra, não vai
conseguir. É necessário pensar e aplicar as propriedades!
8) Simplifique os radicais, usando várias
propriedades:
a)√√1536
b) √√√4096
3
Redução de Radicais para um
mesmo índice
QUADRO
Eu quero saber qual radical simplificado resulta em
3√2.
Basta fazer o processo inverso usando as
propriedades da operação:
3√2 = √32√2 = √322 = √18
Note que é pegar o número fora da raiz e “jogar para
dentro” elevando à potência correspondente ao
índice.
Outros exemplos:
a) 2√3
3
= √23
3
√3
3
= √233
3
= √24
3
b) 3√3
5
= √35
5
√3
5
= √36
5
= √729
5
c) √3√3
3
5
= √√33
3
√3
5
5
= √√333
3
5
= √34
15
= √81
15
d) 3√32
4
= √34
4
√32
4
= √3432
4
= √36
4
= √33
Note que você usou várias propriedades para efetuar
as expressões. Procure entender cada uma delas.
Refaça os exemplos do caderno, identificando as propriedades
utilizadas. Essa informação é IMPORTANTE.
1) Introduza os fatores externos no radicando:
a) 7√3
b) 2√5
c) 10√2
d) 5√7
e)5√2
3
f) 2√10
6
2) Considerando a e b números positivos,
introduza os fatores externos no radicando:
a) 6√𝑎
b) 2𝑎√𝑏
c) 5𝑎√𝑎
d) 2𝑎𝑏√𝑎𝑏
e) 𝑏√𝑎𝑏
3
f) 𝑎√2𝑎
5
g) 3𝑏 √𝑎𝑏
4
3) Transformem as expressões em um único
radical usando as propriedades da radiciação:
a) √𝑥√𝑥2
3
6
b) √𝑥√𝑥2𝑦3
5
4) Introduza os fatores externos no radicando:
a) 2√3
b) 7√5
3
c) 2√2
5
d) √𝑥√𝑥
3
5
5) Sendo a, b, c números reais positivos, mostrar
que a b c a b c
3 6 2
12
 .
Simplificação de Radicais
usando várias propriedades
1) Reduza a um só radical, aplicando as
propriedades dos radicais:
 
3 5
3
4 3
12
3
27 9
5
5
3
3
8
g)
125
1
f)
2
e)
2
d)
5
c)
4
8
b)
5
.
2
a)

29
2) Simplificar as expressões:
 
 8
4
5
15
3
3
3
3
3
3
3
5
5
5
5
5
5
3
j)
9
16
i)
2
h)
8
1
g)
3
1
f)
5
3
:
10
e)18
5
:
10
d)
3
.6
2
c)2
3
.
2
b)2
3
.
2
a)






3) Simplifique:
8 12
3 4
6 5
4
4
3
3
4
e)
2
d)
64
c)
2
.
32
b)
2
.
32
a)
4)Simplifique:
a) 3
2
.
2
b)
5
5
3
(Caso não caibam esses exercícios nesse
pequeno espaço, faça no caderno)
Redução de Raízes ao mesmo
índice
QUADRO
Vamos reduzir para o mesmo índice:
a)√3
3
e √3
4
Como os índices são 3 e 4, vamos transformar
ambos os índices em 12, pois 12=mmc(3,4) – é
múltiplo comum de 3 e 4.
Usando a propriedade R4 (2ª propriedade) temos
que:
√3
3
= √34
12
√3
4
= √33
12
Portanto, para reduzir √3
3
e √3
4
ao mesmo índice,
temos √34
12
e √33
12
.
b) √25
6
e √23
9
mmc(6,9)=18
Então: √25
6
= √215
18
e √23
9
= √26
18
Portanto, a redução ao mesmo índice é √215
18
e √26
18
Pesquise: “Redução de Raízes (Radicais)
ao mesmo índice” no Youtube.
1) Reduza ao mesmo índice:
a)√2
3
e √3
4
b) √5 e √5
4
c) √4, √2
3
e √3
4
d) √𝑥4
5
e √𝑦2
3
e) 5 e √4
3
Lembre-se que 5 = √5
1
2) Reduza os radicais ao mesmo índice:
√𝑥𝑦2
3
, √𝑥3
4
e √𝑦
3) Reduza ao mesmo índice:
4
3
3
3
5
3
7
4 5
3 2
5
,
2
,
3
e)
5
,
3
d)
4
,
7
c)
3
,
2
,
6
b)
2
,
3
,
5
a)
Exemplo: Para reduzir ao mesmo índice o item “a” reduzimos os
índices 2 (raiz quadrada o índice é 2, ou seja, quando não tiver índice,
índice 2), 3 e 4 à um mesmo número – sendo o melhor número para
isto, o mínimo múltiplo comum de 2, 3 e 4, ou seja, 12. Depois
aplicamos em cada item R4.
Veja: a)
12 6
6
2 6
1
5
5
5 
 x x
;
12 8
4
3 4
2
3 2
3
3
3 
 x x
;
12 15
3
4 3
5
4 5
2
2
2 
 x x
.
Comparação de Radicais
QUADRO
Para comparar dois radicais, o primeiro passo é
reduzir os radicais a um mesmo índice.

30
a) Compare √2 e √3
3
Reduza à um índice comum (que você já notou ser
idêntico ao reduzir à um denominador comum):
mmc(2,3)=6
√2 = √23
6
= √8
6
√3
3
= √32
6
= √9
6
Como 8<9, temos que:
√2 < √3
3
b) Coloque em ordem crescente √2 , √5
3
e √7
4
.
Reduza à um índice comum:
mmc (2,3,4)=12
√2 , √5
3
e √7
4
√26
12
, √54
12
e √73
12
√64
12
, √625
12
e √343
12
Colocando em ordem crescente:
√64
12
< √343
12
< √625
12
E portanto a resposta é:
√2 < √7
4
< √5
3
Pesquise: “Comparação de raízes
(radicais)”
Fonte: http://matemagicaa.blogspot.com/2012/03/reducao-dos-
radicais-ao-mesmo-indice.html
1) Comparar os radicais:
a) 5 2
3 3
e
b) 3
6
e 2
4
Atenção: Para comparar radicais é fundamental reduzi-los ao
mesmo índice.
2) Escrever em ordem crescente os números
5 2 9
3 3 3
, , .
3) Escrever em ordem decrescente os números
5 2 3
4 3
, , .
4) Coloque em ordem √7
3
, √3 e √52
4
.

31
B5.2 AULA 5–Fatoração de Polinômios II
CA2 – Submódulo 5.2
Vamos continuar a aula 2 com mais dois tipos de fatoração: Fatoração da
Diferença entre Dois Quadrados e Fatoração do Trinômio Quadrado Perfeito.
Também apresentaremos casos combinados de fatoração e para
aprofundamento três outros casos de fatoração que não são os mais
importantes, mas vale a pena você – bom aluno – conhecer. Caso você não
faça o aprofundamento deve ignorar vários outros exercícios com *
assinalado.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o FATORAÇÃO DA DIFERENÇA ENTRE DOIS QUADRADOS
o FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO (TQP)
o CASOS COMBINADOS DE FATORAÇÃO
atividade.
 Os casos a seguir não são essenciais para a alfabetização matemática, mas, se você é um aluno
talentoso, com facilidade ou que gosta de estudar, TAMBÉM VALE A PENA saber:
o FATORAÇÃO DA SOMA DE DOIS CUBOS
o FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS CUBOS
o FATORAÇÃO DO POLINÔMIO CUBO PERFEITO
o FATORAÇÃO DO TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU
3º Caso – Diferença entre Dois
Quadrados
QUADRO
Você se lembra que?
(𝒙 − 𝒚)(𝒙 + 𝒚) = 𝒙𝟐
− 𝒚𝟐
Esse produto notável (produto da soma pela
diferença) precisa ser conhecido para você
entender essa aula! Se não conhece, PESQUISE!
De um modo geral, qualquer produto de soma (𝒙 + 𝒚)
por diferença (𝒙 − 𝒚) é uma diferença entre dois
quadrados 𝒙𝟐
− 𝒚𝟐
.
Lembre-se que:
 (𝑥 + 3)(𝑥 − 3) = 𝑥2
− 9
 (𝑥 − 4)(𝑥 + 4) = 𝑥2
− 16
 (2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) = 4𝑥2
− 1
 (3𝑥 + 4𝑦)(3𝑥 − 4𝑦) = 9𝑥2
− 16𝑦2
Portanto toda vez que houver dois quadrados e uma
diferença entre eles, eu posso fatorá-los usando o
inverso do Produto Notável
𝑥2
− 16𝑦2
São dois quadrados 𝑥2
é o quadrado de 𝑥 e 16𝑦2
é o
quadrado de 4𝑦, portanto:
𝑥2
− 16𝑦2
= (𝑥 + 4𝑦)(𝑥 − 4𝑦)
Exemplo:
 𝑥2
− 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
 4𝑦2
− 𝑚2
= (4𝑦 + 𝑚)(4𝑦 − 𝑚)
 𝑥2
𝑦2
− 1 = (𝑥𝑦 + 1)(𝑥𝑦 − 1)
 𝑥4
− 9 = (𝑥2
+ 3)(𝑥2
− 3)

16
25
𝑦6
−
1
9
= (
4
5
𝑦3
+
1
3
) (
4
5
𝑦3
−
1
3
)

32
1)Fatore as seguintes diferenças entre dois
quadrados:
a) m2
-n2
b) x2
-4
c) m2
-100
d)
4
9
m2
–
25
49
n2
e) x2
-c2
2)a) Calcule (x-4)(x+5)
b) Qual é a forma fatorada de x2
+x-20?
Esse exercício 2, bem como o 3, são auto-
explicativos, óbvios. Se vocês tiverem dificuldades é
pelo fato de não terem entendido O QUE é a fatoração!
(Ou dúvidas com pré-requisitos). Nesse caso pense: o
que é fatorar?
3) a) Calcule (x2
-1)(x2
+1)
b) Qual é a forma fatorada de x4
-1?
4)Fatore as diferenças entre dois quadrados:
a) x2
-4
b) y2
-36
c) 9x2
-16
d) 81x2
-64
e) y2
-25x2
f) 4x2
-25a2
5) Fatore as diferenças entre dois quadrados:
a) p4
-16q6
b) x4
-y4
c)
1
9
x2
-64
d) 4
9
m2
- 25
49
n2
e) 9a6
b4
-169
f)
𝑎2
9
−
25𝑏4
16
6) Observe o exemplo a4
-1=(a2
+1)(a2
-1), mas
como a2
-1=(a+1)(a-1), a4
-1=(a2
+1)(a+1)(a-1).
Fatore desta maneira os seguintes polinômios:
a) x4
-1
b) 81a4
-1
c) x20
-81
d) 625-x4
7) Parece difícil fazer mentalmente 31x29, mas
não é. Nesse caso, a álgebra
ajuda.31x29=(30+1)x(30-1)=302
-12
=900-1=899.
Use o mesmo método e calcule:
a) 21x19
b) 22x18
c) 91x89
d) 102x98
QUADRO
Como calcular facilmente
20192
− 20182
?
Como se trata de uma diferença entre dois
quadrados:
20192
− 20182
= (2019 + 2018)(2019 − 2018)
= 4037 ∙ 1 = 4037
8) a) Calcule 19982
-19972
.
b) Que número somado a 19882
resulta em
19892
?
QUADRO
A expressão
𝑥3
− 𝑥
Pode ser fatorada usando o fator comum em
evidência:
𝑥3
− 𝑥 = 𝑥(𝑥2
− 1)
Note que o fator 𝑥2
− 1é uma diferença entre dois
quadrados que também pode ser fatorado:
𝑥3
− 𝑥 = 𝑥(𝑥2
− 1) = 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

33
Outro exemplo:
5𝑥2
𝑦 − 45𝑦 = 5𝑦(𝑥2
− 9) = 5𝑦(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
Falamos aqui que fatoramos completamente.
9) Fatore completamente:
a) x3
-a2
x
b) 16y-a2
y
c) x2
(a+b)-4(a+b)
d) x3
-x
e) 12x3
-3xy2
f) a3
-9a
10- Fatore as expressões:
(𝑎 + 𝑏)2
− 𝑐2
eu tenho uma diferença entre dois
quadrados: de a+b e de c, portanto temos que
((𝑎 + 𝑏) + 𝑐)((𝑎 + 𝑏) − 𝑐) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 − 𝑐).
a) (a+b)2
-c2
b) (a+3)2
-b2
c) a2
-(b+c)2
11- Efetue
123456 12345
123456 12345
2 2


12- (38ª OBM - Nível 1) Qual é o valor da
expressão
2
2016 1
2015

?
REFORÇANDO
a) m2
-100
b) x2
-y2
c) y2
-1
d) a4
-9
e) 4x2
-49
f) 9a2
-25b2
g) x2
-4
h) a2
-36
a) x2
-36
b) 4x2
-36
c) x2
-4y2
d) 25x4
-36a6
e)
25
144
x2
-121
f) x2
-1444
3)Calcule mentalmente usando que aprendemos:
a) 108x92
b) 42x38
4)Calcule:
a) 2562
-2552
b) 1442
-1432
a) (a+3)2
-9
b) (x+5)2
-9
c) 16-(a-3)2
6)Fatore as expressões completamente:
a) a3
-ab2
b) 2x2
-18
c) x4
-y4
d) a2
-b+a2
+ab
e) 3x-6y
7)Simplifique as frações:
a)
𝑥2+3𝑥
𝑥2−9
b)
3𝑥+6
𝑥2−4
c)
4𝑥2−25
2𝑥+5
d)
3𝑥3+𝑥2+3𝑥+1
𝑥4−1

34
4º Caso – Trinômio Quadrado Perfeito
QUADRO
Você se lembra que?
(𝒙 + 𝒚)𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐
(𝒙 − 𝒚)𝟐
= 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐
Esse produto notável (quadrado da soma,
quadrado da diferença) precisa ser conhecido
para você entender essa aula! Se não conhece,
PESQUISE!
Note que apenas um dos termos será negativo no
quadrado da diferença.
Lembre-se que:
 (𝑥 + 3)2
= 𝑥2
+ 6𝑥 − 9
 (𝑥 − 4)2
= 𝑥2
− 8𝑥 + 16
 (2𝑥 − 1)2
= 4𝑥2
− 4𝑥 + 1
 (3𝑥 + 4𝑦)2
= 9𝑥2
+ 24𝑥𝑦 + 16𝑦2
Esse trinômio (3 termos) que é resultado do produto
notável é chamado de TRINÔMIO QUADRADO
PERFEITO - TQP.
Portanto toda vez que houver um TQP, eu posso
fatorá-los usando o inverso do Produto Notável
𝑥2
+ 8𝑥𝑦 + 16𝑦2
São dois quadrados 𝑥2
é o quadrado de 𝑥 e 16𝑦2
é o
quadrado de 4𝑦, e o termo do meio é o dobro do
produto de 𝑥 e 4𝑦 portanto:
𝑥2
+ 8𝑥𝑦 + 16𝑦2
= (𝑥 + 4𝑦)2
Exemplo:
 𝑥2
− 4𝑥 + 4 = (𝑥 − 2)2
 4𝑥2
+ 4𝑥 + 1 = (2𝑥 + 1)2
Você deverá ENTENDER o que está fazendo e não
apenas repetir regras e procedimentos. Isso é
possível, e, como tudo na Matemática e na vida exige
certo esforço.
Um TQP só é TQP se for o quadrado de um número,
mais/menos duas vezes um número vezes outro
número, mais o quadrado do outro número.
Como eu verifico se um TQP?
𝑥2
⏟
𝑥
− 6𝑥 + 9
⏟
3
Primeiramente vejo se dois dos termos são
quadrados perfeitos. (abaixo da chave tem o número
que foi elevado ao quadado)
Depois eu verifico se o produto dessed quadrados e
2 é o outro termo
2 ∙ 𝑥 ∙ 3 = 6𝑥
Portanto é um TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO.
Exemplos:
1) 4𝑥2
+ 4𝑥 + 1
4𝑥2
é o quadrado de 2𝑥
1 é o quadrado de 1
O produto 2 ∙ 2𝑥 ∙ 1 é igual a 4x
Portanto: é TQP
2) 16𝑥2
+ 24𝑥𝑦 + 9𝑦2
16𝑥2
é o quadrado de 4𝑥
9𝑦2
é o quadrado de 3𝑦
O produto 2 ∙ 4𝑥 ∙ 3𝑦 é igual a 24xy
Portanto: é TQP
3) 𝑥2
− 9𝑥 + 9
𝑥2
é o quadrado de 𝑥
9 é o quadrado de 3
O produto 2 ∙ 𝑥 ∙ 3 é igual a 6x e não 3x
Portanto: não é TQP
1) 4𝑥2
+ 4𝑥 − 1
Não é TQP por ter sinal de negativo no 1
1) Verifique se os trinômios são quadrados
perfeitos (ou seja, podem ser fatorados na forma
(a+b)2
)
a) x2
+10x+25
b) a2
-4a+4
c) x2
-12x+9
d) 16a2
+36ab+9b2
Perceba que o polinômio está fora de ordem nos
itens “e” e “f”
e) m2
+n2
+2mn
f) 25x2
+9y2
-30xy
2)Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a) x2
+8x+16
b) x2
-8x+16
c) 4x2
-20x+25
d) 9x2
-12x+4
e) x2
-2x+1
f) 121x2
+22x+1
3)Fatore:
Nesse exercício estão misturados casos diversos de
fatoração de polinômios
a) 16y6
-x4
b) 25 m2
+20m+4

35
c)25x2
-10x/3+1/9
4)Complete os trinômios de modo que eles sejam
quadrados perfeitos:
Para x²+...+49 ser um TQP, note que x² é quadrado
de x e 49 é quadrado de 7. (...) precisa ser 2 ∙ 𝑥 ∙ 7=14x
a) x2
+...+100
b) x2
+...+25
c) x4
+...+25
5)Complete os trinômios de modo que eles sejam
quadrados perfeitos:
x²-8x+... só é um TQP se eu pensar que o número
que ao quadrado da x², que é x vezes 2 vezes um certo
número é 8x. Esse certo número é 4. Portanto ... = 4²
a) x2
-4x+...
b) 4x2
-40x+...
c) x4
-12x2
y2
+...
6)Simplifique as frações:
Para simplificar as frações fatore numerador e
denominador se necessário e faça os cancelamentos.
a) x x
x
2
14 49
7
 

b) x
x
2
16
4


7)Calcule usando a fatoração do TQP:
Para fazer esse exercício fatore as expressões como
se ao invés de números fossem variáveis quaisquer
a) 32
+2.3.6+62
b) 172
+2.17.13+132
8)Multiplique um número natural pelo sucessor de
seu sucessor. Some 1 ao resultado. Aí, extraia a
raiz quadrada. Surpresa! Essa raiz quadrada é
sempre um número inteiro. Usando álgebra,
explique por que isso acontece.
Você deve fazer de forma análoga ao que fizemos
na Aula de Fatoração pelo Fator Comum em Evidência
9)Fatore completamente:
Você deve usar um ou mais casos de fatoração e
fazer fatorações sucessivas até cada termo ser não
fatorável. Na dúvida fale com o professor.
a) x3
-6x2
y+9y2
x
b) 7x7
-14x6
+7x5
c) x4
+3x3
+x2
10)Fatore completamente:
a) x3
-8x2
+16x
b) x3
+6x2
+9x
c) 3x2
+30xy+75y2
11)Simplifique:
4
4
)
2
(
3
)
2
(
5
)
4
4
4
)
2
2
2
2
2
3









x
x
x
y
x
b
x
x
x
x
a
12)Sabendo que x2
+y2
=74 e xy=35, calcule o valor
de (x-y)2
Já fizemos exercícios semelhantes com esse. Fatore
e depois substitua os valores!
13)Sendo (a+b)2
=64 e ab=12, calcule o valor de
a2
+b2
.
14) Calcule as raízes quadradas, supondo que o
radicando é positivo:
Note que √𝑥2 + 12𝑥 + 36 = √(𝑥 + 6)2 = 𝑥 + 6.
Temos que supor que x+6 é positivo
1
4
4
)
25
10
)
9
6
)
2
2
2






x
x
c
x
x
b
x
x
a

36
REFORÇANDO
1) Fatore os trinômios quadrados perfeitos, não
esqueça de verificar se realmente são trinômios
a) a2
-2ax+x2
b) x2
-10x+25
c) ¼+x+x2
d) y2
+14ya+49a2
e) 25a2
+10az+z2
f)4x2
+16xy+16y2
g) y4
-12y2
+36
h) a4
+2a2
+1
i) 81+90a+25a2
2) Complete os trinômios de modo que eles sejam
quadrados perfeitos
a) x2
-...+4
b) 16x6
+...+49
c) x4
-...+9y2
3) Complete os trinômios de modo que eles sejam
quadrados perfeitos
a) x2
+5x+...
b) x2
/4+3x+...
c) x2
-x+...
4) Calcule:
a) 272
-2.27.7+72
b) 542
-2.54+1
3
9
6
)
)
1
5
(
1
10
25
)
2
2
2






x
x
x
b
x
x
x
a
6) Simplifique a expressão:
Não fique na dúvida! Faça a simplificação separada
de cada fração e depois some. Será fácil!
x
x
x x
x
2 2
4
2
6 9
3



 

a) x2
yz+xy2
z+xyz2
b) 45a5
y4
-75a4
y5
+105a3
y6
c) 4ax3
+6a2
x2
+4a3
x2
a) x3
+4x2
+4x
b) 27a2
-18a+3
c) 2a3
+4a2
+2a
9) Se (a+b)2
=81 e a2
+b2
=53, calcule o valor de ab.
10) Calcule o valor numérico de m n mn m
m mn n
2
2 2
5 5
10 25
  
 
,
quando m=-1 e n=1989/1990
Simplifique a fração antes!
11) Calcule:
2
2
2
2
16
8
)
1
2
x
)
25
10
)
y
xy
x
c
x
b
x
x
a






Fatoração: Generalização
QUADRO
Qual é o significado da fatoração? Quando
usamos a fatoração?
Resposta: Fatorar é transformar um polinômio
num produto. Usamos a fatoração quando é
necessária a transformação de um polinômio
em produto.
1)Fatore os polinômios, indicando o caso de
fatoração que foi utilizado:
a) x2
-4
𝑥2
− 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) Diferença de 2 quadrados
b) 2x2
-x
𝑥(2𝑥 − 1) Fatoração por agrupamento

37
c) x2
-10x+25
𝑥2
− 10𝑥 + 25 = (𝑥 − 5)2
TQP
d) ax+ay+bx+by
e) 9x2
-144
f) x2
-24x+144
2)Fatore completamente, usando sucessivamente
os casos de fatoração:
a) m3
-m
𝑚3
− 𝑚 = 𝑚(𝑚2
− 1) = 𝑚(𝑚 + 1)(𝑚 − 1)
b) x3
-4x2
+4x
𝑥3
− 4𝑥2
+ 4𝑥 = 𝑥(𝑥2
− 4𝑥 + 4) = 𝑥(𝑥 − 2)2
c) x2
-1+xy-y
d) m4
-n4
e) 2a2
-18
f) x4
-8x3
+16x2
g) x2
+2xy+y2
-z2
h) 27a2
-18a+3
3)Quantos fatores tem a fatoração completa de
m8
-1?
4)Fatore os polinômios, usando os casos de
fatoração estudados:
a) x2
+5x
b) x3
-2x2
+4x-8
c) 4x2
-9
d) ax-a+bx-b
e)a3
b2
+a2
b3
f) m6
-1
g) 4a2
x2
-4abx+b2
h) (x+1)2
-9
i) a2
bc+ab2
c+abc2
j) 25x2
+70x+49
k) 1-(a+b)2
l) x6
+x4
+x2
+1
QUADRO
Fatore:
𝑥2
− 9 + 4𝑥𝑦 + 12𝑦
Podemos usar a fatoração por agrupamento
combinada com diferença entre dois quadrados
𝑥2
− 9
⏟ + 4𝑥𝑦 + 12𝑦
⏟
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) + 4𝑦(𝑥 + 3)
Como (𝑥 + 3) é fator comum:
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3 + 4𝑦)
Veja outro exemplo:
𝑥2
− 6𝑥 + 9
⏟ + 𝑎𝑥2
− 9𝑎
⏟
(𝑥 − 3)2
+ 𝑎(𝑥2
− 9)
(𝑥 − 3)2
+ 𝑎(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
(𝑥 − 3)(𝑥 − 3 + 𝑎(𝑥 + 3))
(𝑥 − 3)(𝑥 − 3 + 𝑎𝑥 + 3𝑎)
a) x²-a²-2ab-b²
b) x²-9+3ay+9y
d) x²-6x+9+ax-3a
e) x²-y²-6y-9
REVISANDO
1)Fatore os polinômios, indicando o caso de
fatoração que foi utilizado:
a) 3x2
-9x
b) 5x3
y4
-3x2
y6
c) ax+bx+ay+by
d) x2
-49
e) 4x2
-9y2
f) x2
-22x+121
g) x3
+3x2
+2x
h) x2
-1225

38
2)Fatore completamente, usando sucessivamente
a) x4
-2x2
+1
b) x3
-xy2
c) x4
-1
d) 9x2
+15x+25
e) ¼+x+x2
f) 2a2
-98
g) a4
-8a3
+16a2
h) 5a2
-10ab+5b2
i) 6x2
-4y2
3)Fatore os polinômios, usando sucessivamente
a) a2
-x2
+2xy-y2
b) b2
-a2
-10a-25
c) x2
-6x+9
d) x3
-6x2
+15x
e) x2
-8x+16-25
f) (m2
+n2
)2
-(-m2
-2n2
)2
1- Fatore as diferenças entre dois quadrados:
a) x2
-4 b) a2
-36 c)m2
-n2
d) p4
-16q6
e) a4
-9 f) 4x2
-49
g) 9a2
-25b2
h) x4
-y4
i) 9-1
x2
-64
j) 4/9 m2
-25/49 n2
k) (a+b)2
-c2
l) (a+3)2
-b2
m) a2
-(b+c)2
n) x2
-(y-z)2
o) 16-(a-3)2
2- Fatore os trinômios quadrados perfeitos
a) x2
-10x+25 b) y2
+2y+1 c) x2
-8xy+16y2
d) 9x2
+12x+4 e) 81+90a+25a2
f) a2
+4ax+4x2
g) a2
-2ax+x2
h) y4
-12y2
+36 i) ¼+x+x2
j) y2
+14ya+49a2
k) 9x2
-12xy+16y2
l) 25a2
+10ax+z2
m) 4x2
+16xy+16y2
3- Qual a forma mais simples de se escrever o polinômio
(a-b)2
+(a+b)(a-b)-(a+b)2
?
4- Fatorar (x-1)(x-2)2
-(x-1)3
.
5- a) Fatorar a expressão x3
-3x2
-4x+12.
b) Para quais valores se tem x3
-3x2
-4x+12=0?
6- Calcule:
a x xy y
b x x
c x x
d
x
xa a
)
)
)
)
2 2
2
2
2
2
2
10 25
1
4
4
 
 
 
 
7- Qual é a forma mais simples da expressão:
(a-b)3
-(a3
-b3
)+4ab(a-b)2
?
8- Sabendo que x-y=6, determine o valor numérico do polinômio:
5x2
-10xy+5y2
.
9-Sem usar a calculadora o valor de A=132412
-132402
.
10-Ache o número real positivo x, tal que o quadrado de seu triplo
seja igual ao seu dobro.
11- Calcule:
a) 32
+2.3.6+62
b) 172
+2.17.13+132
c) 272
-2.27.7+72
d) 542
-2.54+1
e) 2.57+4.57+6.57+8.57 f) 128.188+128.201+128.269+128.342
g) 4.96+3.96+2.96+96
12 - Sabendo que x2
+y2
=74 e xy=35, calcule o valor de (x-y)2
.
13 - Sendo (a+b)2
=64 e ab=12, calcule o valor de a2
+b2
.
14 - Complete os trinômios quadrados perfeitos:
a) x2
+8x+... b) x2
+...+25
15- Se xy=16 e x2
+y2
=68, determine x+y
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (OPCIONAIS)
1) Fatore completamente os polinômios:
a) a2
b-bc2
b) x3
-xy2
c) 4x2
+8x+4
d) m4
-n4
e) ax2
+6axy+9ay2
f) a4
-256
g) 10a2
-10 h) 2m2
-8 i) x3
-10x2
+25x
j) ay2
+4ay+4a k) h4
-m4
l) x2
y-36y
m) ab2
-a+b2
c-c n) x4
+2x3
+x2
o) 81-k4
p) x3
y-8x2
y2
+16xy3
q) a2
-b2
+ax+bx r) x3
+1+3x+1
a
x
b
a
b
c
ab
ab
d
x
x
e
x
x
f
xy
xy
g
ax y
axy
h
mn
mn
i
abc
abc
j
a bc
ab c
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
4
6
6
9
3
5
8
10
8
4
2
10
21
14
9
18
6
15
3
2
2
5
3
2
2
2
2
4 2
l
am
a a
m
x
n
x
y
o
xy
x xy
p
x
x
q
x
x
r
x xy y
x y
s
x
x x
t
a b
a b
u
a a
a
)
)
)
)
)
( )
)
)
)
)
)
4
2 6
6 12
18
3 6
3
10
10 20
1
1
3 6
4
2
3 3
9
6 9
3 6
2
10 25
2 10
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2








 


 


 

3)Qual é a forma mais simples da expressão:
(a-b)3
-(a3
-b3
)+4ab(a-b)2
?

39
4)Sabendo que x-y=6, determine o valor numérico do polinômio 5x2
-
10xy+5y2
.
5)Sem usar a calculadora calcule o valor de A=132412
-132402
.
6)Ache o número real positivo x, tal que o quadrado de seu triplo seja
igual ao seu dobro
7)Que número somado a 19882
resulta 19892
8)Qual a forma mais simples de se escrever o polinômio
(a-b)2
+(a+b)(a-b)-(a+b)2
?
9)Fatorar (x-1)(x-2)2
-(x-1)3
.
APROFUNDAMENTO INTERESSANTE – Para quem gosta de estudar
Fatoração de Trinômios - Estratégia
QUADRO
Vamos efetuar o produto:
(𝑥 + 3)(𝑥 + 4) = 𝑥2
+ 7𝑥 + 12
Então para fatorar 𝑥2
+ 7𝑥 + 12 nós vamos fazer o
que? Sabemos que o resultado é (𝑥 + 3)(𝑥 + 4)mas
como chegar nele?
Existem algumas estratégias que iremos aprender.
1) Sabendo que x2
+7x+10 é favorável na forma
(x+a)(x+b), descubra esta forma fatorada por
tentativas.
2) Observe a fatoração de x2
+8x+12:
x2
+8x+12=
=x2
+8x+16+12-16= (somamos e subtraímos 16)
=(x+4)2
-4= (fatoramos o TQP)
=(x+4-2)(x+4+2)= (fatoramos a diferença entre
quadrados)
=(x+2)(x+6).
Usando esta técnica, fatore:
a) x2
+11x+30
b) x2
+12x+20
c) x2
+13x+12
d) x2
-7x+10
5º Caso - Fatoração do Trinômio do 2º
Grau por Soma e Produto
QUADRO
Se eu efetuar
(𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞) = 𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑝𝑞
= 𝑥2
+ (𝑝 + 𝑞)𝑥 + 𝑝𝑞
Chamando a soma S=p+q e o produto P=pq
Aí temos que:
(𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞) = 𝑥2
+ 𝑆𝑥 + 𝑃
Ex 1: Como fatorar, por exemplo 𝑥2
+ 5𝑥 + 6 ?
S= 5 e P= 6
Quais números somados dão 5 e multiplicados 6?
Sabemos que são 2 e 3, portanto:
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)
Ex 2: Fatore 𝑥2
− 9𝑥 + 20.
Soma = - 9 e Produto = 20
Os números são -4 e -5, e você acha na tentativa e
erro (chute). Portanto:
𝑥2
− 9𝑥 + 20 = (𝑥 − 4)(𝑥 − 5)
É óbvio, mas não custa falar que:
NEM TODO POLINÔMO PODE SER FATORADO
ASSIM!
No B6 vamos aprender a resolver equações do 2º
grau para auxiliar na fatoração desse trinômio.
Uma equação do 2º grau
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Tem raízes
𝑥1 =
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Veremos que
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
Por exemplo
𝑥2
− 5𝑥 + 6 = 0
Tem 𝑥1 = 2 e 𝑥2 = 3, então
𝑥2
− 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
1) Fatore:
a) x²+7x+10
b) x²-6x+8
c) x²-9x+14
d) x²+x-12
e) x²-9x+18
f) x²-x-12
g) x²+7x-8

40
h) x²-2x-15
i) x²-11x-12
j) m²-13m+12
k) t²+8t+12
l) k²-2k-8
2) Fatore 4x²-28x-32
6º Caso – Soma e Diferença de Cubos
QUADRO
Os polinômios x3
-y3
e x3
+y3
podem ser fatorados da
seguinte maneira:
x3
-y3
=(x-y)(x2
+xy+y2
)
x3
+y3
=(x+y)(x2
-xy+y2
)
Isso pode ser verificado efetuando os produtos.
A fatoração é como se você substituísse em uma
fórmula:
 𝑥3
− 8 = (𝑥 − 2)(𝑥2
+ 2𝑥 + 4)
 64𝑥3
− 27 = (4𝑥 − 3)(16𝑥2
+ 12𝑥 + 9)
 𝑥3
+ 1 = (𝑥 + 1)(𝑥2
− 𝑥 + 1)
1)Fatore os seguintes polinômios:
a) a3
-1
b) m3
-n3
c) x3
-27
d) 8a3
-1
e) 1-x3
f) a3
+1
g) m3
+n3
h) x3
+27
i) 8a3
+1
j) x3
+64
2) Fatore ao máximo possível:
Use casos combinados de fatoração
a) x4
-y4
b) x6
-y6
c) x8
-y8
d) x9
-y9
e) x12
-y12
3) Se x3
-y3
=216, e x2
+xy+y2
=72, quanto vale x-y?
4)Se x+y=12 e x-y=9, determine o valor de x2
-y2
,
usando:
a) um sistema de duas equações
b) a fatoração do polinômio x2
-y2
.
7º Caso – Polinômio Cubo Perfeito
QUADRO
Você deve estar lembrado do seguinte produto
notável:
(𝑥 + 𝑦)3
= 𝑥3
+ 3𝑥2
𝑦 + 3𝑥𝑦2
+ 𝑦3
(𝑥 − 𝑦)3
= 𝑥3
− 3𝑥2
𝑦 + 3𝑥𝑦2
− 𝑦3
Pesquise sobre CUBO DA SOMA e CUBO DA
DIFERENÇA e fique atento nos sinais.
Baseando nisso eu posso facilmente fatorar
8𝑎3
+ 36𝑎2
𝑏 + 54𝑎𝑏2
+ 27𝑏3
Note que:
√8𝑎3
3
= 2𝑎
√27𝑏3
3
= 3𝑏
E que
3 ∙ (2𝑎)2
∙ 3𝑏 = 36𝑎2
𝑏
3 ∙ 2𝑎 ∙ (3𝑏)2
= 54𝑎𝑏2
Portanto:
8𝑎3
+ 36𝑎2
𝑏 + 54𝑎𝑏2
+ 27𝑏3
= (2𝑎 + 3𝑏)3
Nessa esteira
𝑥3
− 6𝑥2
+ 12𝑥 − 8
Pode ser fatorado como (𝑥 − 2)3
1) Fatore:
a) 1+6x+12x²+8x³
b) 1-6x+12x²-8x³
c) 27m³+27m²+9m+1
d) b6
-9b4
+27b²-27

41
e) 27a³-54a²+36a-8
f) 8x³-36x²y+54y²x-27y³
g) a3
x6
+3a²x4
y²+3ax²y4
+y6
h) 27x6
+108x4
y³+144x2
y6
+64y9
Revisão Fatoração
1) Fatore, identificando o caso de fatoração
utilizado.
a) 2x+2
b) x²-1
c) ax³+bx²+ax+b
d) 3a+6ab
e) xyz+7z
f) xyz+abc
g) 3a+9
h) x²-25
i) 2x³+3x²+4x+6
j) x²+6x+9
k) 4x²-4x+1
l) 7x+14x²
m) 2x²-5x
n) 3x²ay+2ax+3xyb+2b
o) a²+ab-a
p) x²-2x+1
q) a³-3a²-4a+12
r) 12xyz+14xyde+6yz
s) 9x²+12x+4
t) a²+ab
u) x²-6x+9
v) x³+3x²y+3xy²+y³
2) Fatore completamente.
a) a2
b-bc2
b) x3
-xy2
c) 4x2
+8x+4
d) m4
-n4
e) ax2
+6axy+9ay2
f) a4
-256
g) 10a2
-10
h) 2m2
-8
i) x3
-10x2
+25x
j) ay2
+4ay+4a
k) h4
-m4
l) x2
y-36y
m) ab2
-a+b2
c-c
n) x4
+2x3
+x2
o) 81-k4
p) x3
y-8x2
y2
+16xy3
q) a2
-b2
+ax+bx
r) x3
+1+3x+1
s) a²b²-6ab²+8b²
t) x³+3x²t+3xt²+t³
3) Calcule as expressões numéricas usando a
fatoração para fazê-las de forma mais prática.
a) 2017²-2016²
b) 52x56+48x56
c) 33x77+33x23
d) 52+45x52+54x52
e) (FGV) 375²-374²
f) (UNISUL) 934287²-934286²
g) (FATEC) 579865²-579863²

42
h) (UFES) 20022
∙ 2000 − 2000 ∙ 19982
i) (ESPM) 𝑝 =
97831343∙97831347
97831344∙97831346−3
j) (IFBA) (1 −
1
3
) (1 +
1
3
) (1 +
1
9
) (1 +
1
81
)(1 +
1
6561
) Escreva
na forma 1 − (
1
3
)
𝑛
k) (UNEB)
220∙317+617∙3
215∙317+615∙2
4) Simplifique as frações algébricas.
a
x
b
a
b
c
ab
ab
d
x
x
e
x
x
f
xy
xy
g
ax y
axy
h
mn
mn
i
abc
abc
j
a bc
ab c
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
4
6
6
9
3
5
8
10
8
4
2
10
21
14
9
18
6
15
3
2
2
5
3
2
2
2
2
4 2
l
am
a a
m
x
n
x
y
o
xy
x xy
p
x
x
q
x
x
r
x xy y
x y
s
x
x x
t
a b
a b
u
a a
a
)
)
)
)
)
( )
)
)
)
)
)
4
2 6
6 12
18
3 6
3
10
10 20
1
1
3 6
4
2
3 3
9
6 9
3 6
2
10 25
2 10
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2








 


 


 

5) Observe a fatoração de x2
+8x+12:
x2
+8x+12=
=x2
+8x+16+12-16= (somamos e subtraímos 16)
=(x+4)2
-4= (fatoramos o TQP)
=(x+4-2)(x+4+2)= (fatoramos a diferença entre
quadrados)
=(x+2)(x+6).
Usando esta técnica, fatore:
a) x2
+11x+30
b) x2
+12x+20
c) x2
+13x+12
d) x2
-7x+10
6) (VUNESP). Dado que a + b = 5 e ab = 2, qual é
o valor numérico de a² + b²?
APROFUNDAMENTO OLÍMPICO OU MILITAR
8º Caso – Completar Quadrados
QUADRO
Identidade de Sophie Germain
𝑎4
+ 4𝑏4
= 𝑎4
+ 4𝑎2
𝑏2
+ 4𝑏4
− 4𝑎2
𝑏2
=
= (𝑎2
+ 2𝑏2)2
− (2𝑎𝑏)2
=
= (𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 2𝑏2)(𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 2𝑏2)
Identidade de Argand
𝑥4
+ 𝑥2
+ 1 = 𝑥4
+ 2𝑥2
+ 1 − 𝑥2
=
= (𝑥2
+ 1)2
− 𝑥2
=
= (𝑥2
+ 𝑥 + 1)(𝑥2
− 𝑥 + 1)
a)𝑥4
+ 4
b)𝑛5
+ 𝑛4
+ 1
c)𝑎4
− 𝑎2
+ 16
d)𝑥4
+ 4𝑦4

43
Identidade de Gauss
QUADRO
𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
− 3𝑎𝑏𝑐
É um comum desafio em olimpíadas e cursos
preparatórios militares, e o raciocínio émuito semelhante
ao do 8º caso, ainda que não seja completar quadrados.
𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
− 3𝑎𝑏𝑐 =
Primeiramente usamos a soma de cubos:
= (𝑎 + 𝑏)3
+ 𝑐3
− 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) − 3𝑎𝑏 =
Vamos fazer mais algumas manipulações e chegaremos
em:
= ((𝑎 + 𝑏) + 𝑐)((𝑎 + 𝑏)2
− (𝑎 + 𝑏)𝑐 + 𝑐2) − 3𝑎𝑏(𝑎
+ 𝑏 + 𝑐)
Colocando𝑎 + 𝑏 + 𝑐 em evidência:
= (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )((𝑎 + 𝑏)2
− (𝑎 + 𝑏)𝑐 + 𝑐2
− 3𝑎𝑏) =
= (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
− 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐
9º Caso – Soma ou Diferença de
Potências
QUADRO
Para 𝑛 inteiro positivo qualquer, vale:
𝑥𝑛
− 𝑎𝑛
= (𝑥 − 𝑎)(𝑥𝑛−1
+ 𝑥𝑛−2
𝑎 + ⋯ + 𝑥𝑎𝑛−2
+ 𝑎𝑛−1
)
Para n inteiro positivo ÍMPAR, vale:
𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛
= (𝑥 + 𝑎)(𝑥𝑛−1
− 𝑥𝑛−2
𝑎 + ⋯ − 𝑥𝑎𝑛−2
+ 𝑎𝑛−1
)
Exemplos:
𝑥5
− 32 = (𝑥 − 2)(𝑥4
+ 2𝑥3
+ 4𝑥2
+ 8𝑥 + 16)
𝑥5
+ 32 = (𝑥 + 2)(𝑥4
− 2𝑥3
+ 4𝑥2
− 8𝑥 + 16)
1) Fatore:
a)𝑥4
− 1
b)𝑥5
+ 243
c)𝑥6
− 1
d)𝑥5
+ 𝑦5
− 𝑥𝑦4
− 𝑥4
𝑦
10º Caso – Completar Retângulos
(Simon’s Favorite Factoring Trick –
SFFT)
QUADRO
Trata-se de um truque para resolver problemas ou
equações diofantinas (com coeficientes inteiros)
𝑥𝑦 − 𝑥 − 𝑦 = 119
Para favorecer um “retângulo” (fatoração por
agrupamento) eu faço o seguinte
𝑥𝑦 − 𝑥 − 𝑦 + 1 = 119 + 1
Isso favorece fatoração por agrupamento:
(𝑥 − 1)(𝑦 − 1) = 120
No caso geral
𝑥𝑦 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Podemos forçar:
(𝑥 + 𝑏)(𝑦 + 𝑎) = 𝑐 + 𝑎𝑏
Isso é muito comum nas competições AMC.
1) Usando o Truque de Fatoração Favorito do Simon’s
(SFFT), determine as soluções inteiras positivas de
𝑎𝑏 − 2𝑎 − 2𝑏 = 0
2)(AoPS - Youtube) Ache pares de inteiros positivos
que resolvem a equação:
𝑚𝑛 + 3𝑚 − 8𝑛 = 59
Resolvido no canal da AoPS:
https://youtu.be/0nN3H7w2LnI
11º Caso – Fórmulas de Vieta
QUADRO
Não vamos aprofundar, porém, as fórmulas podem
ajudar eventuais fatorações:
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
= 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
+ 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3
= 𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
+ 3(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎)
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)5
= 𝑎5
+ 𝑏5
+ 𝑐5
+ 5(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎)(𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)7
= 𝑎7
+ 𝑏7
+ 𝑐7
+ 7(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎)(𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)
+ 𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)

44
COMO PROCEDER?
Há vários vídeos sobre o assunto na Plataforma PODEMOS. Vá até a página correspondente. Sempre adicionaremos vídeos novos e correções.
Alguns vídeos que podem ser interessantes:
Explicação sobre a Diferença entre Dois Quadrados - https://youtu.be/xcjt4hOpkxk
Explicação sobre o TQP - https://youtu.be/8iU6TSzVTEw, https://youtu.be/kRhMG-cF360
Questões DDQ – vídeos do PODEMOS B2 - https://youtu.be/-letr0tu0bY, https://youtu.be/lsf1kQrVF3E, https://youtu.be/brk4T05YmrQ
Questão TQP - vídeos do PODEMOS B2 - https://youtu.be/1sjwNr5g2Os

45
B5.3 AULA 6–Operações com Conjuntos
CJ1 – Submódulo 5.3
Operações com conjuntos é algo bastante simples, lógico, objetivo e exige
apenas raciocínio. É um conteúdo fundamental para compreensão de
algumas idéias futuras na Matemática.
Além disso, união e intersecção precisam ser incorporados ao repertório do
vocabulário matemático de um aluno a partir do 6º ano. Esse conteúdo era
ensinado no ensino primário até os anos 80.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o UNIÃO DE CONJUNTOS
o INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
o DIFERENÇA DE CONJUNTOS
atividade.
União e Intersecção de Conjuntos
QUADRO
1)Chamamos de UNIÃO ou REUNIÃO entre dois
conjuntos A e B, o conjunto dos elementos que estão
em A ou em B, tanto faz se está em um deles
(qualquer um) ou nos dois.
A={1,2,3,4} e B={1,3,5,7}
O conjunto 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5,7}.
Cada elemento de 𝐴 ∪ 𝐵 está em A ou em B. Eu leio
𝐴 ∪ 𝐵 como “A união B”
2)Chamamos de INTERSECÇÃO entre dois
conjuntos A e B, o conjunto dos elementos que estão
em A e em B simultaneamente.
A={1,2,3,4} e B={1,3,5,7}
O conjunto 𝐴 ∩ 𝐵 = {1,3}.
Cada elemento de 𝐴 ∩ 𝐵 está em A e em B ao
mesmo tempo – necessariamente nos dois. Eu leio
𝐴 ∩ 𝐵 como “A inter B” ou “A intersecção B”
NOTE QUE:
As definições de união e intersecção estão
relacionadas com os conectivos e e ou:
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 𝒐𝒖 𝑥 ∈ 𝐵}
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 𝒆 𝑥 ∈ 𝐵}
Ex. 1 ao 11
https://youtu.be/GHM382jd8_0
1. Se A={1,2,3,5}, B={1,2,6,7}, C={6,7},
determine:
a) AB
b) AB

46
c) AC
d) AC
e) BC
f) BC
g) ABC
h) ABC
2. Ache AB e AB, dados os seguintes
conjuntos:
a) A={1,2,3,4,5} e B={6,7,8}
b) A={1,2,3,4} e B={3,4,5}
c) A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5}
3. Dados A={2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9,
12, 15} e C={0, 5, 10, 15, 20}, determine:
a) AB
b) AB
c) AC
d) AC
e) BC
f) BC
g) ABC
h) ABC
i) (AB)(AC)
Faça primeiramente as operações dos parênteses (que já estão
prontas nos itens anteriores). Depois efetue as operações entre elas,
conforme indicado. Se permanecer a dúvida, assista aos vídeos!
j) A(BC)
l) (AB)(AC)
m) (AB)(AC)
n) AU
o) ABC{1,2,3}
4. Dados os conjuntos A={1, 2, 3, 4, 5}; B={3,
4, 5, 6, 7}; C={2, 3, 4, 5, 8, 9}; D={10, 11}.
a) ABCD
b) ABC
c) ABCD
d) (AB)(CD)
5. Dados os conjuntos, com a lista dos
elementos representa A, B, AB e AB
6. Veja:
Diga quantos elementos tem o conjunto:
a) AB
b) AB
c) BC
d) BC
e) AC
f) AC
7.Considere A={2,5,6,7}. Lembrando que IN é
o conjunto dos números naturais, faça AIN e
AIN.

47
8. B é o conjunto dos brasileiros e P é o
conjunto dos paranaenses. Represente esses
conjuntos numa só figura e indique o conjunto
BP.
9. Efetue a) {2,3,5} Ø
b) {2,3,5} Ø
10. Efetue: a)  b) 
c) IN d) IN
11. Seja P o conjunto dos números pares e I o
conjunto dos números ímpares. Faça:
a) PI b) PI c) INP
d) INP e) INI
Ex. 12-A
https://youtu.be/kEr4abEoCXo
QUADRO
Em uma excursão o diretor decidiu que para
viajar precisava ser homem e maior de 12 anos.
Nesse caso era permitido que viajasse quem
fosse ao mesmo tempo homem e maior de 12
anos (as duas coisas ao mesmo tempo). Se
fosse uma mulher ou um homem com 11 anos
não poderia viajar.
Se o diretor falasse que era para ser homem ou
maior de 12 anos, poderia ser uma mulher com
mais de 12 anos, um homem com 11 anos. Pois
o ou inclui as categorias.
Posso até usar diagramas de Venn para
representar essa idéia:
Considere o conjunto H dos homens e o
conjunto D dos maiores que 12 anos.
O conjunto dos homens e maiores que 12 anos
é o conjunto 𝐻 ∩ 𝐷 e o conjunto dos homens ou
maiores que 12 anos é o conjunto 𝐻 ∪ 𝐷.
O diagrama dos homens e maiores que 12 anos
está pintado abaixo:
Já o diagrama dos homens ou maiores que 12
anos é o seguinte:
12. Uma turma possui 14 alunos que torcem
para os times mais importantes do
campeonato paulista, e os selecionou para
uma excursão. (Imagem adaptada de
www.ecampusnew.com)
Item A
Quem são os alunos que são:
a) Homens E Corinthianos?
b) Homens OU Corinthianos?
c) Mulheres E Santistas?
d) Mulheres OU Santistas?

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