O documento apresenta as fórmulas trigonométricas para arcos de medidas 2a, 3a e a/2, conhecidas como fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade. Deriva-se a fórmula do seno do arco duplo a partir da fórmula da soma de arcos, e similares para o cosseno e tangente do arco duplo. Da mesma forma, derivam-se as fórmulas do arco triplo. Por fim, partem-se das fórmulas do arco duplo para obter

1. Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade<br />Conhecendo-se as relações trigonométricas de um arco de medida a, podemos obter estas relações trigonométriuca para arcos de medidas 2a, 3a e a/2, que são consequências imediatas das fórmulas de soma de arcos.<br />Fórmulas de arco duplo<br />Como<br />sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)<br />dividindo a primeira expressão pela segunda, obtemos:<br />tan(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)<br />Dividindo todos os 4 termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:<br />tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)<br />Tomando b=a, obtemos algumas fórmulas do arco duplo:<br />sen(2a)=sen(a)cos(a)+cos(a)sen(a)=2sen(a)cos(a)cos(2a)=cos(a)cos(a)-sen(a)sen(a)=cos²(a)-sin²(a)<br />de onde segue que<br />tan(2a)=tan(a)+tan(a)1-tan(a)tan(a)=2tan(a)1-tan²(a)<br />Substituindo sin²(a)=1-cos²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o cosseno do arco duplo com o cosseno do arco:<br />cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)<br /> = cos²(a) - (1-cos²(a)<br /> = 2 cos²(a) - 1<br />Substituindo cos²(a)=1-sin²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o seno do arco duplo com o seno do arco:<br />cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)<br /> = 1 - sin²(a) - sin²(a))<br /> = 1 - 2sin²(a)<br />Fórmulas de arco triplo<br />Se b=2a em sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b), então<br />sen(3a)= sen(a+2a)<br /> = sen(a)cos(2a) + cos(a)sen(2a)<br /> = sen(a)[1-2sin²(a)]+[2sen(a)cos(a)]cos(a)<br /> = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)cos²(a))<br /> = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)[1-sin²(a)]<br /> = sen(a)-2sin³(a))+2sen(a)-2sin²(a))<br /> = 3 sen(a) - 4 sin³(a)<br />Se b=2a em cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b), então<br />cos(3a)= cos(a+2a)<br /> = cos(a)cos(2a) - sen(a)sen(2a)<br /> = cos(a)[2cos²(a)-1]-sen(a)[2sen(a)cos(a)]<br /> = cos(a)[2cos²(a)-1]-2sen²(a)cos(a)<br /> = cos(a)[2cos²(a)-1-2(1-cos²(a))]<br /> = cos(a)[2cos²(a)-3+2cos²(a)]<br /> = cos(a)[4cos²(a)-3]<br /> = 4 cos³(a) - 3 cos(a)<br />As fórmulas do arco triplo são<br />sen(3a) = 3sen(a)-4sin³(a)cos(3a) = 4cos³(3a)-3cos(a)<br />Fórmulas de arco metade<br />Partindo das fórmulas do arco duplo<br />cos(2a) = 2cos²(a) - 1cos(2a) = 1 - 2sin²(a)<br />e substituindo 2a=c, obtemos:<br />cos(c) = 2cos²(c/2) - 1cos(c) = 1 - 2sin²(c/2)<br />Assim<br />sen²(c/2)=1-cos(c)2<br />cos²(c/2)=1+cos(c)2<br />Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos a tangente da metade do arco, dada por:<br />tan²(c/2)=1-cos(c)1+cos(c)<br />Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obtemos uma fórmula que expressa a tangente da metade do arco em função do cosseno do arco.<br />Construída por Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto,Sônia F.L.Toffoli e Ulysses SodréAtualizada em 14/out/2004. <br />Trigonometria: Arco Metade<br />por Natan » Ter 29 Jul, 2008 15:11 <br />Qual o valor de ?<br /> HYPERLINK quot;
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Natan <br />Moderador<br /> <br />Mensagens: 2621<br />Data de registro: Sex 22 Fev, 2008 19:41<br /> HYPERLINK quot;
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Re: Trigonometria: Arco Metade<br />por HYPERLINK quot;
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Doug » Ter 29 Jul, 2008 16:13 <br />Opa, acho que seria assim,<br />Como podemos fazer,<br />Fórmulas do arco metade<br />No estudo da trigonometria, as fórmulas da soma de arcos e as fórmulas do arco duplo são fundamentais para o cálculo do seno, cosseno e tangente dos arcos e para a simplificação de expressões trigonométricas. Há também, nesse mesmo contexto, as fórmulas do arco metade. Para determinar as fórmulas do arco metade partiremos das fórmulas do arco duplo e da relação trigonométrica fundamental.<br />De forma análoga, determinamos o seno do arco metade. Sabemos que: <br />Para chegarmos à fórmula da tangente do arco metade, basta dividir a expressão do seno pela do cosseno.<br />Observação: Veja que nas fórmulas do arco metade o valor poderá ser negativo ou positivo. Isso irá depender do quadrante onde está localizado o arco x/2.<br />Por Marcelo RigonattoEspecialista em Estatística e Modelagem Matemática<br />ARTIGOS RECOMENDADOS<br /> HYPERLINK quot;
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