Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade<br />Conhecendo-se as relações trigonométricas de um arco de medida a, p...
Fórmulas de arco duplo
Fórmulas de arco duplo
Fórmulas de arco duplo
Fórmulas de arco duplo
Fórmulas de arco duplo
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Fórmulas de arco duplo

2.217 visualizações

Publicada em

0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
2.217
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
4
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
21
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Fórmulas de arco duplo

  1. 1. Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade<br />Conhecendo-se as relações trigonométricas de um arco de medida a, podemos obter estas relações trigonométriuca para arcos de medidas 2a, 3a e a/2, que são consequências imediatas das fórmulas de soma de arcos.<br />Fórmulas de arco duplo<br />Como<br />sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)<br />dividindo a primeira expressão pela segunda, obtemos:<br />tan(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)<br />Dividindo todos os 4 termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:<br />tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)<br />Tomando b=a, obtemos algumas fórmulas do arco duplo:<br />sen(2a)=sen(a)cos(a)+cos(a)sen(a)=2sen(a)cos(a)cos(2a)=cos(a)cos(a)-sen(a)sen(a)=cos²(a)-sin²(a)<br />de onde segue que<br />tan(2a)=tan(a)+tan(a)1-tan(a)tan(a)=2tan(a)1-tan²(a)<br />Substituindo sin²(a)=1-cos²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o cosseno do arco duplo com o cosseno do arco:<br />cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)<br /> = cos²(a) - (1-cos²(a)<br /> = 2 cos²(a) - 1<br />Substituindo cos²(a)=1-sin²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o seno do arco duplo com o seno do arco:<br />cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)<br /> = 1 - sin²(a) - sin²(a))<br /> = 1 - 2sin²(a)<br />Fórmulas de arco triplo<br />Se b=2a em sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b), então<br />sen(3a)= sen(a+2a)<br /> = sen(a)cos(2a) + cos(a)sen(2a)<br /> = sen(a)[1-2sin²(a)]+[2sen(a)cos(a)]cos(a)<br /> = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)cos²(a))<br /> = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)[1-sin²(a)]<br /> = sen(a)-2sin³(a))+2sen(a)-2sin²(a))<br /> = 3 sen(a) - 4 sin³(a)<br />Se b=2a em cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b), então<br />cos(3a)= cos(a+2a)<br /> = cos(a)cos(2a) - sen(a)sen(2a)<br /> = cos(a)[2cos²(a)-1]-sen(a)[2sen(a)cos(a)]<br /> = cos(a)[2cos²(a)-1]-2sen²(a)cos(a)<br /> = cos(a)[2cos²(a)-1-2(1-cos²(a))]<br /> = cos(a)[2cos²(a)-3+2cos²(a)]<br /> = cos(a)[4cos²(a)-3]<br /> = 4 cos³(a) - 3 cos(a)<br />As fórmulas do arco triplo são<br />sen(3a) = 3sen(a)-4sin³(a)cos(3a) = 4cos³(3a)-3cos(a)<br />Fórmulas de arco metade<br />Partindo das fórmulas do arco duplo<br />cos(2a) = 2cos²(a) - 1cos(2a) = 1 - 2sin²(a)<br />e substituindo 2a=c, obtemos:<br />cos(c) = 2cos²(c/2) - 1cos(c) = 1 - 2sin²(c/2)<br />Assim<br />sen²(c/2)=1-cos(c)2<br />cos²(c/2)=1+cos(c)2<br />Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos a tangente da metade do arco, dada por:<br />tan²(c/2)=1-cos(c)1+cos(c)<br />Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obtemos uma fórmula que expressa a tangente da metade do arco em função do cosseno do arco.<br />Construída por Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto,Sônia F.L.Toffoli e Ulysses SodréAtualizada em 14/out/2004. <br />Trigonometria: Arco Metade<br />por Natan » Ter 29 Jul, 2008 15:11 <br />Qual o valor de ?<br /> HYPERLINK "http://www.tutorbrasil.com.br/forum/memberlist.php?mode=viewprofile&u=936&sid=ea1d7e12bec253c17395db20ab5ff0cc" Natan <br />Moderador<br /> <br />Mensagens: 2621<br />Data de registro: Sex 22 Fev, 2008 19:41<br /> HYPERLINK "http://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=3&t=6259" l "wrap" o "Voltar ao topo" Voltar ao topo<br /> HYPERLINK "http://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=3&t=6259" l "p17384" Re: Trigonometria: Arco Metade<br />por HYPERLINK "http://www.tutorbrasil.com.br/forum/memberlist.php?mode=viewprofile&u=987&sid=ea1d7e12bec253c17395db20ab5ff0cc" Doug » Ter 29 Jul, 2008 16:13 <br />Opa, acho que seria assim,<br />Como podemos fazer,<br />Fórmulas do arco metade<br />No estudo da trigonometria, as fórmulas da soma de arcos e as fórmulas do arco duplo são fundamentais para o cálculo do seno, cosseno e tangente dos arcos e para a simplificação de expressões trigonométricas. Há também, nesse mesmo contexto, as fórmulas do arco metade. Para determinar as fórmulas do arco metade partiremos das fórmulas do arco duplo e da relação trigonométrica fundamental.<br />De forma análoga, determinamos o seno do arco metade. Sabemos que: <br />Para chegarmos à fórmula da tangente do arco metade, basta dividir a expressão do seno pela do cosseno.<br />Observação: Veja que nas fórmulas do arco metade o valor poderá ser negativo ou positivo. Isso irá depender do quadrante onde está localizado o arco x/2.<br />Por Marcelo RigonattoEspecialista em Estatística e Modelagem Matemática<br />ARTIGOS RECOMENDADOS<br /> HYPERLINK "http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/pressao-sanguinea.htm" PRESSãO SANGUíNEA <br /> HYPERLINK "http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/pressao-sanguinea.htm" Estudos matemáticos e físicos sobre a pressão sanguínea. <br />

×