Grelha com deslocamento prescrito usando a simetria

1. GRELHA HIPERESTÁTICA - Método dos Deslocamentos
Exercicio 10.22 - Sussekind , vol.3 pag. 178 - por Mário T.Sumoto
Resolver a grelha fig. I-328 que tem EI=10.000 tm2, (EI= 2 GJt), se os engaste A e D sofreram recalques
indicados, perpendicular ao plano da grelha. Empregar as simplificaçoes de anti-simetria.
deslocamento = 1 cm
A
B
C
D
L
=
8,00
m
L
= 4,00 m
S
DADOS: EI = 10.000 tm2
GJt= 5.000 m2
E I
GJt
L = 4,00m
L = 8,00m
= 2
CASO 0 (MEP) - Recalque =1cm
A
B
4,00
m
4,00 m
S
37,50
18,75
18,75
6 EI =
6 10.000 0,01
4,00 ²
= 37,50
R =
ba
ab
R =
2 37,50
= 18,75
-18,75
A
B
4,00
m
4,00 m
S
5.000
10.000
3.750
3.750
M
t.1=1.250
Mt.1=
G Jt = 5.000
4,00
= 1.250
M =
4 EI φ1
= 4 10.000 1
4,00
= 10.000
M =
2 EI φ1
=
2 10.000 1
4,00
= 5.000
ab
φ1
φ2
Δ3
CASO 1 φ1=1
ba
R =
ba
ab
R =
10.000+5.000
= 3.750
- 3.750
β 10 = 37,50
β 20 = 0,00
β 30 = 18,75
CASO 0
M
ba =
β 11 = 10.000+1.250= 11.250
β 21 = 0,00
β 31 = 3.750
CASO 1
L "= 0,50 L = 4,00m
REF.
3
1
2
M
t.1
4,00
z
x
y
REF.
4,00
• •
•
•
• •
• • • •
• •
• •
fig. I-328
M
ab =
ρ
ρ
ρ
deslocamento = 1 cm
ρ
L ²
1
L1
L1
L "
2
2
2
1
ρ = 1cm = 0,01m
•
2
1
Eixo
de
Sim
etria
L
= 4,00 m
1
OBS: vamos usar a metade da Estrutura, transformando o nó S em um apoio articulado
engastado. (engastado somente em relação ao Eixo Y devido ao momento Torçor)
2
1
37,50
B
ρ = 1cm = 0,01m
REF.
3
1
2
B

2. A
B
4,00
m
4,00 m
S
0,00
7.500
1.875
1.875
Mt.2
Mt.2 =
G Jt
=
M =
3 EI φ2
= 3 10.000 1
4,00
= 7.500
M = 0,00 (apoio S é articulado e engastado em Y)
sb
CASO 2 φ2 = 1
bs
R =
bs
sb
R =
7.500
= 1.875
- 1.875
β 12 = 0,00
β 22 = 7.500+1.250= 8.750
β 23 = 1.875
CASO 2
4,00
A
B
4,00
m
4,00 m
S
0,00
1.875
468,75
468,75
CASO 3 - RECALQUE Δ=1
β 13 = 3.750
β 23 = 1.875
β 33 = 1.875+468,75= 2.343,75
CASO 3
1.875
1.875
3.750
3.750
M =
6 EI Δ
L
= 6 10.000 1
(4,00)
=
1.875
ba
M =
3 EI Δ
L "
= 3 10.000 1 =
3.750
sb
² ²
M =
ab
² (4,00)²
M =
bs
11.250 0,00 3.750 φ1
0,00 8.750 1.875 φ2
3.750 1.875 2.343,75 Δ3
=
37,50
0,00
18,75
-
φ1 = - 0,000322581
φ2 = +0,001935484
Δ3 = - 0,009032258
3
2
REF.
3
2
MATRIZ DE RIGIDEZ
M V T
2,016
0,403
2,419
2,419
2,016
0,403
2,418
0,605
0,605
0,605
2,418
0,403
Mt.2=1.250
1
1
•
• • • •
• • • •
•
• • •
A A A
B
C
D
B B
D D
C C
1
2
L
L "
1
2
5.000
4,00
1.250
=
0,00 (apoio S é articulado e engastado em Y)
R =
bs
1.875
= 468,75
4,00
R =
ba
2 3.750
= 1.875
4,00
•
R =
sb
R =
ab
- 468,75
-1.875
1
Δ=1
B