PO- Dualidade

1. 59
4- Dualidade em Programação Linear
4.1- Introdução
Considere o problema clássico da dieta: (problema primal): Quer-se
consumir quantidades de determinados alimentos de tal forma a satisfazer as
necessidades mínimas de nutrientes exigidas a um custo mínimo dispendido,
problema este ilustrado pelo quadro seguinte.
alimentos necessidades mín. de
nutrientes
a1 a2 a3 a4 a5
proteínas (g) 3 4 5 3 6 42 (4.1)
sais minerais (g) 2 3 4 3 3 24
custo (R$) 25 35 50 33 36
Considerando-se:
aij : percentual do componente i presente no alimento j;
xj : quantidade do componente j presente na dieta a ser feita;
cj : preço por grama de cada ingrediente;
bi : quantidade mínima de cada ingrediente a ser consumida na dieta.
aj: coluna j da matriz do sistema;
Então, o Modelo Primal pode ser sistematizado da seguinte forma:
minimizar 25 x1 + 35 x2 + 50 x3 + 33 x4 + 36 x5
3 x1 + 4 x2 + 5 x3 + 3 x4 + 6 x5 ≥ 42
sujeito a : 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 + 3 x4 + 3 x5 ≥ 24
x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ≥ 0
4.2- Formulação do modelo dual
Suponha que um vendedor de pílulas e sais minerais propõe substituir a
dieta de alimentos expressa de acordo com o quadro (4.1), por uma dieta de
pílulas, com as seguintes condições:
1- a pílula de uma unidade (g) de proteína custará w1 ;
2- “ “ “ “ “ “ “ sais minerais “ w2 ;
3- os preços w1 e w2 serão fixados arbitrariamente;
4- o vendedor garante que as pílulas terão preços iguais ou mais baratos que
qualquer alimento;
5- o vendedor pretende , é claro, maximizar sua renda de modo a satisfazer a
necessidade da dieta;

2. 60
Para o problema posto, tem-se o modelo visto a seguir:
maximizar 42 w1 + 24 w2
3 w1 + 2 w2 ≤ 25
4 w1 + 3 w2 ≤ 35
sujeito a: 5 w1 + 4 w2 ≤ 50 (4.2)
3 w1 + 3 w2 ≤ 33
6 w1 + 3 w2 ≤ 36
w1 ; w2 ≥ 0
A cada modelo de Programação Linear, contendo coeficientes aij, bi e cj,
corresponde um outro modelo, formado por esses mesmos coeficientes, porém
dispostos de maneira diferente. Ao modelo original, visto em 4.1, dá-se o nome de
“ Modelo Primal”, enquanto qua ao outro modelo visto em (4.2),denomina-se de
“Modelo Dual”. Sobre estes dois modelos estão relacionadas propriedades que
estabelecem que:
a) se a função objetivo do primal é de minimização, então a função objetivo do
dual é de maximização;
b) os termos independentes das restrições do dual são coeficientes da função
objetivo do primal;
c) os coeficientes da função objetivo do dual são os termos independentes das
restrições do primal;
e) o número de variáveis do dual é igual ao número de restrições do primal;
f) o número de restrições do dual é igual ao número de variáveis do primal;
g) a matriz dos coeficientes do dual é a transposta da matriz dos coeficientes do
primal;
Definição 4.1:
Dado um Problema de Programação Linear
(PP): min ct
x ; c,x ∈ ℜn
s.a. Ax ≥ b; A∈ℜ
mxn
, b∈ℜ
m
x ≥0
O dual de (PP) é expresso por:
(PD): max b
t
w ; b,w ∈ ℜ
m
s.a. A
t
x ≤ b; A
t
∈ℜ
nxm
, c∈ℜ
n
w ≥0
4.3- Propriedades
Propriedade 4.3.1:
“O dual do dual é o primal”.
Demonstração:

3. 61
Seja o problema primal:
(PP): min c
t
x ; c,x ∈ ℜ
n
s.a. Ax ≥ b; A∈ℜmxn
, b∈ℜm
x ≥0
Pela definição 4.1, o seu dual é:
(PD): max b
t
w ; b,w ∈ ℜ
m
s.a. At
x ≤ b; At
∈ℜnxm
, c∈ℜn
w ≥0
Vamos determinar o dual de PD. Para isso, vamos transformá-lo num
problema de minimização e vamos também mudar o tipo de desigualdade da
restrição para poder utilizar a definição 4.1. Então, temos:
(PD): -min -bt
w ; b,w ∈ ℜm
s.a. -At
w ≥- c; At
∈ℜnxm
, c∈ℜn
w ≥0
Logo, o dual de PD é:
(PD’): ): -max -c
t
u ; c,u ∈ ℜ
m
s.a. -Au ≤ -c; A∈ℜmxn
, b∈ℜm
w ≥0
que é equivalente a:
(PD’’): min ct
u ; c,u ∈ ℜn
s.a. Au ≥ b; A∈ℜ
mxn
, b∈ℜ
m
u ≥0
que é equivalente ao problema primal (PP).
Propriedade 4.3.2:
“Se a restrição k do primal é de igualdade, então a variável wk do dual é
irrestrita.
Demonstração:
Seja o problema primal:
(PP): min c
t
x ; c,x ∈ ℜ
n
s.a. Ax = b; A∈ℜ
mxn
, b∈ℜ
m
x ≥0
que pode ser transformado na forma:
min c
t
x ; c,x ∈ ℜ
n
s.a. Ax ≥ b; A∈ℜ
mxn
, b∈ℜ
m
Ax ≤ b
x ≥0
ou
min ct
x ; c,x ∈ ℜn

4. 62
s.a. Ax ≥ b; A∈ℜ
mxn
, b∈ℜ
m
-Ax ≥ -b
x ≥0
Sejam, então,
A = A , b = b e w = w
1
...
-A -b w2
O dual, por definição, será:
(PD): max b
t
w ; b , w ∈ ℜ
2m
s.a. A
t
x ≥ c; A
t
∈ℜ
nx2m
, c∈ℜ
n
w ≥0,
ou seja
(PD): max (b b ) w1
w2
‘
s.a. A w1
-A w
2
≥ c
w
1
, w
2
≥ 0
ou, ainda,
PD): max b
t
w
1
- b
t
w
2
s.a. At
w1
– At
w2
≥ 0; At
∈ℜnxm
, c∈ℜn
w
1
, w
2
≥ 0
ou
(PD): max b
t
(w
1
- w
2
)
s.a. At
(w1
– w2
) ≥ 0
w1
, w2
≥ 0
Substituindo w
1
– w
2
por u, teremos que u = w
1
– w
2
, u é livre de sinal, pois w
1
≥ 0
e w2
≥ 0 .
Portanto, a forma final do problema dual de (PP), será:
(PD): max b
t
u ; b,u ∈ ℜ
m
s.a. A
t
u ≤ b; A
t
∈ℜ
nxm
, c∈ℜ
n
u é irrestrito.
Nas propriedades que seguem, as demonstrações são análogas àquela
vista para a propriedade 4.3.2 e não serão vistas aqui.
Propriedade 4.3.3:
“Se a restrição k do primal é do tipo maior ou igual, então a variável wk do
dual é não positiva”.
Propriedade 4.3.4:

5. 63
“Se a variável xp do primal é sem restrição de sinal, então a restrição p do
dual é de igualdade”.
Propriedade 4.3.5:
“Se a variável xp do primal é não-positiva, então a restrição p do dual é do
tipo maior ou igual”.
O quadro visto a seguir estabelece a relação direta entre as propriedades
relativas aos problemas Primal e Dual:
Primal (Min.) →→→→ Dual (Max.)
restrição k é ≤ wk ≤ 0
restrição k é = wk é qualquer
restrição k é ≥ wk ≥ 0
xk ≥ restrição k é ≤
xk é qualquer restrição k é =
xk ≤ restrição k é ≥
Dual (min.) ← Primal (max.)
4.4- Teoremas Básicos da Dualidade
Os teoremas que serão vistos a seguir estarão baseados nos seguintes
pares de problemas:
Problema Primal (PP) Problema dual (PD)
minimizar z = c
T
x maximizar d = w
T
b
sujeito a
Ax b
x
=
≥ 0
⇔ sujeito a AT
w ≤ c;
onde A ∈∈∈∈ ℜℜℜℜmxn
; x, c ∈∈∈∈ ℜℜℜℜn
; b, w ∈∈∈∈ ℜℜℜℜm
, AT
∈∈∈∈ ℜℜℜℜnxm
e obviamente poderão ser estendidos para qualquer outra definição de pares
primal e dual diferentes destes.
Teorema 4.4.1:
Nas hipóteses dos problemas primal e dual serem factíveis é válido que a
função objetivo dual é um limitante inferior para a função objetivo primal, ou seja,
w
T
b ≤ c
T
x para x primal factível e w dual factível.
Prova:
Para uma solução primal factível x tem-se que o sistema de soluções está
satisfeito, isto é, Ax = b , enquanto que A
T
w ≤ c , para w dual factível. Assim:
w
T
b = w
T
Ax ≤ c
T
x . Portanto w
T
b ≤ c
T
x e o resultado segue.

6. 64
Assim, a função dual fornece um limitante inferior à função primal, que
deseja-se minimizar. Isto sugere que deve-se escolher w ∈ℜm
tal que forneça o
maior limitante inferior para a função objetivo primal, por isso, é interessante
tentar-se maximizar a função dual.
Teorema 4.4.2:
Se B é a base relacionada à solução ótima de (PP) então o vetor
multiplicador wT
= cB
T
B-1
é a solução ótima de (PD).
Prova:
Considerando-se a partição de A = [B,N] , foi visto que pode-se escrever:
Bx Nx b
c x c x z
B N
B
T
B N
T
N
+ =
+ =
B Bx B Nx B b
c x c x z
B N
B
T
B N
T
N
− − −
+ =
+ =
1 1 1
c B Bx c B Nx c B b I
c x c x z II
B
T
B B
T
N B
T
B
T
B N
T
N
− − −
+ =
+ =
1 1 1
( )
( )
Subtraindo-se (I) de (II) : ( c B
T
- wT
B) xB + (c N
T
- wT
N) xN = z - wT
b.
Se x é uma solução básica factível então:
xB = B-1
b; xN = 0; c B
T
- wT
B = 0 e existe alguma componente de custo relativo
não básico (c N
T
- wT
N)i < 0 . Assim (xN)i é uma variável não básica candidata a
entrar na base.
Se x é uma solução ótima para o problema (PP), então:
xB = B-1
b; xN = 0; c B
T
- wT
B = 0 e (c N
T
- wT
N) ≥ 0 (hipótese).
Assim , de c B
T
- wT
B = 0 e (c N
T
- wT
N) ≥ 0 pode-se concluir que:
wT
[B,N] ≤ [c B
T
, c N
T
] wT
A ≤ cT
AT
w ≤ c.
Portanto, wT
= cB
T
B-1
é uma solução básica factível Dual. Como B é a
base ótima de (PP), não é mais possível haver troca de base, então wT
= cB
T
B-1
é
a solução ótima de (PD), e a prova está completa.
Teorema 4.4.3: ( Teorema fundamental da dualidade em P.L.)
Considere os pares de problemas (PP) e (PD).
Se um dos problemas tiver solução ótima, então o outro também terá
solução ótima. Considerando-se x*
∈∈∈∈ ℜℜℜℜn
, a solução ótima do problema primal (PP)
e w* ∈∈∈∈ ℜℜℜℜm
, a solução ótima do problema dual (PD), então a seguinte igualdade é
válida: cT
x*
= (w*
)
T
b.
Prova:
A primeira parte do teorema está demonstrada no teorema 5.4.2.
Resta demonstrar que: cT
x*
= (w*
)
T
b. Mas cT
x*
= c B
T
xB = c B
T
B-1
b = (w*
)
T
b.
Como cT
x ≥ cT
x*
= (w*
)
T
b ≥ wT
b pelo teorema 5.4.1, então pode-se
concluir que x*
é a solução ótima de (PP) e w*
é a solução ótima de (PD).

7. 65
Observação:
Viu-se que, se x é uma solução básica factível então:
xB = B-1
b; xN = 0; c B
T
- wT
B = 0 e se existe alguma componente de custo
relativo não básico (c N
T
- wT
N)i < 0 , (xN)i era candidata a entrar na base.
Isto quer dizer que, existe alguma componente wi infactível pois a
restrição (c N
T
- wT
N)i < 0 está sendo violada.
O método dual-Simplex a ser visto baseia-se nesta infactibilidade para
efetuar troca de soluções, ou seja, parte da infactibilidade das componentes wi e
vai efetuando trocas de base até acabar com todas estas infactibilidades. Quando
isto ocorrer é porque xB = B-1
b; xN = 0; c B
T
- wT
B = 0 e (c N
T
- wT
N) ≥ 0 e os
dois problemas (PP) e (PD) estarão resolvidos, com x sendo uma solução ótima
para o problema (PP) w uma solução ótima para o problema (PD).
Corolário 4.4.1:
Se um dos problemas tiver solução ótima finita o outro também terá.
Teorema 4.4.4:
Se um dos problemas é ilimitado o outro é infactível.
Este teorema pode ser ilustrado com o seguinte exemplo:
( PP )
minimizar z = -3x1 + 2x2
sujeito a
− + ≥ −
− ≥ −
≥
x x
x x
x x
1 2
1 2
1 2
2 4
3
0,
Determinando-se (PD) e resolvendo-se (PP) e (PD) geometricamente,
ilustra-se o resultado desejado.
Teorema 4.4.5:
Se um dos problemas é infactível o outro é ilimitado ou infactível.
O exemplo a seguir ilustra esse resultado:
(PP)
minimizar z = -x1 - x2
sujeito a:
− − ≥
− + ≥
≥
x x
x x
x x
1 2
1 2
1 2
1
1
0,
Determinando-se (PD) e resolvendo-se (PP) e (PD) geometricamente, tem-
se o resultado esperado.
4.4.1- Quadro resumo de Corolários e Teoremas Básicos da Dualidade

8. 66
Dual
Primal
Tem solução
factível
Não tem solução
factível
Tem solução
factível
Mín z = Máx d Min z = -
Não tem solução
factível
max d = Pode ocorrer
4.5- Folgas Complementares
A resolução de um Problema de Programação Pinear pode ser
obtida resolvendo-se o sistema conjunto:
cT
x - wT
b = 0;
Ax = b, x ≥0 ;
AT
w ≤ c ⇔ AT
w + wF = 0, wF ≥0.
A primeira equação cT
x - wT
b = 0, pode ser escrita por:
cT
x - wT
Ax = 0 ⇔ (cT
- wT
A) x = 0.
Esta equação relaciona as variáveis de folga do problema dual wF com as
variáveis primais x, onde wF = cT
- wT
A.
Para wF dual factível e x primal factível tem-se wF ≥ 0 e x ≥0.
Logo, (cT
- wT
A) x = 0 ⇔ (c i
T
- wT
ai) xi = 0 para i = 1,...,n;
qual é equivalente à seguinte relação de complementariedade:
(c i
T
- wT
ai) > 0 xi = 0;
(c i
T
- wT
ai) = 0 xi > 0.
Assim, para x e w soluções ótimas de (PP) e (PD), respectivamente, se a
i-ésima restrição do dual for inativa ((c i
T
- wT
ai) > 0 ) então a correspondente
variável primal será nula ( caso contrário cT
x ≤ wT
b ). Se a i-ésima variável primal
for positiva então a correspondente restrição dual será ativa ((c i
T
- wT
ai) = 0).
Esta propriedade é conhecida na literatura como “condições das folgas
complementares” , que são condições necessárias e suficientes que inter-
relacionam soluções factíveis e estabelecem um critério para atingir a otimalidade
do PPL. Estas podem ser enunciadas no seguinte teorema.
Teorema 4.5.1: ( Teorema das folgas complementares)
Considerando-se x*
e w*
soluções factíveis de (PP) e (PD)
respectivamente, então, se x*
e w*
são soluções ótimas para (PP) e (PD) tem-se:
• o valor ótimo da variável w*
i do dual é igual ao coeficiente na linha dos custos
relativos ótima, da variável de folga x*
n+i do primal, isto é, w*
i = r*
n+i (i=1,...,m);
• o valor da variável de folga w*
m+j do dual é igual ao coeficiente de custo relativo
ótimo, xj do primal, isto é, w*
m+j = r*
j (j=1,...,n).

9. 67
Este teorema tem o seu nome devido ao fato das variáveis de folga do dual
e as variáveis de folga do primal estarem ligadas entre si. Porisso é que se diz
que as soluções do primal e do dual são “complementares” entre si.
Corolário 4.5.1:
• (wF
*
)i = 0 quando xn i+
*
> 0 (i = 1, 2,…, m) isto é, se na solução ótima do primal, a
variável de folga xn+i* for básica, então a variável do dual (wF
*
)i é não básica.
• (wF
*
)m+j = 0 quando xj* > 0 (j = 1, 2,…,n), isto é, se na solução ótima do
primal, a variável xj* for básica, então a variável de folga do dual (wF
*
)m+i é não
básica.
Na próxima seção será visto em detalhes o método Dual-Simplex.
4.6- O Método Dual - Simplex
O método Dual-Simplex é aplicado na situação em que a solução inicial do
primal é infactível, porém os elementos da função objetivo são todos não-
negativos. O método procura alcançar a factibilidade primal, transfornando as
variáveis xj negativas em não negativas, mas preservando a factibilidade dual, ou
seja, mantendo os coeficientes de custo relativo não negativos.
4.6.1- Resumo do método

10. 68
Suponha que em uma iteração corrente o quadro do método apresente as
seguintes características:
a) Todos os elementos do vetor custo relativo são não-negativos, ou seja,
(rN)j ≥ 0, j = 1, 2,…, n. Esta condição é denominada de otimalidade primal ou
solução dual factível.
b) Exista pelo menos um elemento (xB)i < 0 , ou seja, a condição de não
negatividade das variáveis primais não é atendida. Diz-se que a solução é primal
infactível.
Antes de definir-se completamente os passos do método dual-simplex,
ilustremo-lo com o seguinte exemplo.
Exemplo 4.6.1:
Seja o problema de programação linear primal:
Min = 3 w1 + 4 w2 + 9 w3
s.a w1 + w3 ≥ 5
w2 + 2 w3 ≥ 2
w1, w2, w3 ≥ 0
Problema dual:
Max z = 5 x1 + 2 x2
x1 ≤ 3
x2 ≤ 4
x1 + 2 x2 ≤ 9
x1 e x2 ≥ 0
Resolvendo o primal pelo método dual-simplex:
Forma padrão: Min = 3 w1 + 4 w2 + 9 w3
s.a w1 + w3 - w4 = 5
w2 + 2 w3 - w5 = 2
w1,…, w5 ≥ 0
Para iniciarmos o método devemos ter-se bi < 0 então multiplicando-se por (-1),
as equações do sistema, tem-se::
Min = 3 w1 + 4 w2 + 9 w3
s.a - w1 - w3 + w4 = -5
- w2 - 2 w3 + w5 = -2
w1,…, w5 ≥ 0
Quadro 1:
w1 w2 w3 w4 w5
w1 -1 0 -1 1 0 -5
w5 0 -1 -2 0 1 -2
3 4 9 0 0 0
1) Variável que sai da base:

11. 69
b4 = ε= min { -5, -2} = -5 w4 sai da base (a linha pivô é a linha 1).
2) Variável que entra na base:
Min =
−
−
− −
−
3
1
4
0
9
1
0
1
0
0
, , , , =3 w1 entra na base e o elemento pivô da
eliminação gaussiana e a11 = -1.
3) Pivoteamento em torno de a11:
Quadro 2:
w1 w2 w3 w4 w5
w1 1 0 1 -1 0 5
w5 0 -1 -2 0 1 -2
0 4 6 3 0 -15
1) Variável que sai na base:
w5 = -2 sai da base (linha pivô 2).
2) Variável que entra na base:
Min =
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
1
0
,
0
3
,
2
6
,
1
4
,
0
0
= 3 w3 entra na base (elemento pivô: a23 = -2).
3) Pivoteamento em torno de a22:
Quadro 3:
w1 w2 w3 w4 w5
w1 1 -1/2 0 -1 1/2 4
w3 0 1/2 1 0 -1/2 1
0 1 0 3 3 -21
Portanto, como não há nenhum bi < 0, o quadro é ótimo, com w* = (4,
0,1,0,0) e z* = 21.
Vamos resolver o Problema dual e comparar sua solução com o Problema
primal.
Forma padrão: Max z = 5 x1 + 2 x2 z - 5 x1 - 2 x2 = 0
x1 + x3 = 3
x2 + x4 = 4
x1 + 2 x2 + x5 = 9
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
Quadro 1:
x1 x2 x3 x4 x5 b
x3 1 0 1 0 0 3
x4 0 1 0 1 0 4
x5 1 2 0 0 1 9
-z -5 -2 0 0 0 0
1) Variável que entra na base:
x1 entra pois o seu coeficiente na função objetivo é mais negativo.
2) Variável que sai da base:

12. 70
ε = mínimo { 3/1, 4/0, 9/1} = 3.
Portanto x3 sai da base. O elemento pivô é a11 = 1.
3) Pivoteamento em torno de a11, obtendo o quadro 2:
x1 x2 x3 x4 x5 b
x1 1 0 1 0 0 3
x4 0 1 0 1 0 4
x5 0 2 -1 0 1 6
-z 0 -2 5 0 0 15
1) Variável que entra na base:
x2 entra pois o seu coeficiente de custo relativo é negativo.
2) Variável que sai da base:
ε = mínimo { 3/0, 4/1, 6/2} = 3.
Portanto x5 sai da base. O elemento pivô é a31 = 2.
3) Pivoteamento em torno de a31, obtendo o quadro 3:
x1 x2 x3 x
4
x5 b
x1 1 0 1 0 0 3
x4 0 0 1/2 1 -1/2 1
x5 0 1 -1/2 0 1/2 3
-z 0 0 4 0 1 21
4.6.2- Definição dos passos do método Dual-Simplex
Considere D = { w ∈ℜm
tal que AT
w ≤ c }.
Considere também uma partição da matriz A = [B,N] e uma solução
corrente w .
Teorema 4.6.2.1:
w é um vértice de D se e somente se existirem m restrições ativas em w ,
com os gradientes linearmente independentes, isto é, com uma base B ∈ℜmxm
,
associada a estas m restrições ativas, isto é, w é dual factível.
Definição 4.6.2.1:
Se alguma restrição dual associada a uma coluna não-básica for ativa, istp
é, a Nj
T
w = c Nj
, dizemos que w é dual degenerada ou a partição A = [B,N] é dual
degenerada.

13. 71
Teorema 4.6.2.2:
Se o problema primal tiver solução ótima então existirá pelo menos um
vértice ótimo.
As provas dos teoremas vistos são deixadas como exercício pois são
análogas às demonstrações feitas para o problema primal.
4.6.3- Direções duais factíveis
Suponha conhecida uma partição dual factível, isto é, ∃ B-1
tal que
( w )=c B
T
B-1
e que esta seja uma partição não degenerada.
Se quiser-se determinar uma nova solução w = w + ε d com ε ≥ 0, então
deve-se satisfazer: AT
( w + ε d) ≤ c ⇔ BT
( w + ε d) ≤ cB.
Desde que , BT
( w ) = cB BT
d ≤ 0.
Isto é equivalente a, a Bi
T
d ≤ 0 , para i = 1,...,m.
Note que, há duas possibilidades:
i) a Bi
T
d = 0 a Bi
T
( w + ε d) = cB i
; (sempre estará satisfeita)
ii) a Bi
T
d ≤ 0 a Bi
T
( w + ε d) ≤ cB i
;
Assim, a nova solução deixará de ser ativa apenas para as restrições em
que ii) ocorra.
A estratégia dual-simplex consiste em definir a direção d de tal forma que
apenas uma restrição deixe de ser ativa, para se obter a nova solução. Para isto,
a direção é definida da seguinte maneira:
BT
dj
= - ej
;
assim, a j-ésima restrição deixará de ser ativa na nova solução.
Para esta escolha tem-se que: dj
= - (BT
)j
-1
, onde (BT
)j
-1
é a j-ésima linha
de B-1
.
Teorema 4.6.3.1:
Para j =1,...,m; as direções dj
são linearmente independentes e definem
uma base para o conjunto de direções factíveis de D.
4.6.4- Definição do tamanho do passo εεεε.
Como a solução é não degenerada, segue que ∃ε > 0 tal que:
a Nj
T
( w + εd) ≤ cN j
; para i = 1,...,n-m
e esta equação será sempre satisfeita desde que:

14. 72
ε ≤
−c a w
a d
Nj Nj
T
Nj
T
com aNj
T
d > 0.
Assim, se escolher-se:
ε =
−
=
−
>
c a w
a d
min
c a w
a d
a d
Nr Nr
T
Nr
T r
Nj Nj
T
Nj
T j Nj
T j
{ / }0 ;
a r-ésima restrição não básica torna-se ativa enquanto que uma das restrições
básicas deixa de ser ativa. Por exemplo, se j = k, então a k-ésima restrição não
básica torna-se inativa.
4.6.5- Acréscimo da função objetivo dual.
Da forma que foi definida d tem-se que esta direção é uma direção de
subida, isto é, de acréscimo da função o bjetivo dual.
Para a solução corrente tem-se : d = bT
w .
Para a nova solução terá-se: d = bT
( w + ε dk
) = d + ε bT
dk
.
Note que, à solução básica primal associada à partição básica vale:
xB = B-1
b;
e k-ésima componente de xB é:
xBk = (B-1
)k
b = - ( dk
)T
b;
Então,
d = d - ε xBk .
Assim, se xBk < 0, a função dual tem um acréscimo linear com a taxa -
xBk .
Desta forma, a infactibilidade da solução básica primal produz uma direção
de subida para a função objetivo dual.
4.6.6- Os passos do método Dual-Simplex.
Passo 1:
Determine uma solução básica dual ( w )= c B
T
B-1
e calcule a solução
básica primal B xB = b.
Passo 2:
Se xB ≥ 0, pare, pois não é mais possível obter acréscimos para a função
objetivo dual. Caso contrário:
Seleção da variável a deixar a base:
Escolha uma das variáveis negativas, de preferência a mais negativa:
(xB)k = min { (xB)i tal que (xB)i < 0}.
Assim, a variável básica corresponde à linha k sai da base e a linha k é a
linha pivô.

15. 73
Passo 3:
Determine dk
tal que: BT
dk
= - ek
;
Passo 4:
Seleção da variável a entrar na base:
Determine r tal que:
ε =
−
=
−
>
c a w
a d
min
c a w
a d
a d
Nr Nr
T
Nr
T r
Nj Nj
T
Nj
T j Nj
T j
{ / }0
Se a Nj
T
dk
≤ 0, par j = 1,...,n-m; então o problema dual é ilimitado e então
o problema dual é infactível. Pare. Caso contrário vá para o passo seguinte.
Passo 5:
Atualize a partição básica trocando-se a k-ésima coluna de B pela r-ésima
coluna de N , efetuando pivoteamento em ark e volte ao passo 1.
Observação:
Se o problema dual for de minimização, há duas formas de tratá-lo. A
primeira é aquela que consiste na conversão do problema para maximização. A
outra, consite em inverter o critério de escolha da variável a entrar na base
4.7- Exercícios propostos
4.7.1) Dado o PPL primal:
minimizar z = x1 - x2 + x3
sujeito a
x
x x x
x x x
1
1 2 3
1 2 3
9
2
0
≤
+ + ≤
≥, ,
;
Pede-se:
a) resolva o PPL primal pelo método simplex, identifique a solução dual;

16. 74
b) determine o PPL dual, resolva-o pelo método dual-simplex e identifique a
solução primal;
c) Verifique que as soluções dos dois problemas satisfazem as condições do
teorema das folgas complementares.
4.7.2) Resolva o seguinte PPL primal :
maximizar z = 5x1 + 6x2
sujeito a:
x x
x x
x x
1 2
1 2
1 2
3 5
4 9 12
0
+ ≤
+ ≤
≥,
;
Suponha que façamos a seguinte mudança na função objetivo:
maximizar (5-3u)x1 + (6-4u)x2 ; u ≥ 0. Determine a solução ótima do modelo em
função de u.
4.7.3) Dado o PPL primal em função de f :
maximizar z = 2 x1 + 3 x2 + 3x3
sujeito a
x x x
x x x f
x x x f
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 12
2 4
0
+ + ≤
+ + ≤
≥, , ,
;
Pede-se:
a) determine o valor máximo de f para que a base ótima não se altere.
b) Para valores de f maiores que aquele obtido em 2.1) resolva o problema pelo
método dual-simplex até que não se consiga mais melhorar a função objetivo
primal.
4.7.4) Utilize o método dual-simplex para resolver o PPL abaixo em função de λ :
maximizar z = 2x1 + 3x2
sujeito a:
x x
x x
x x
1 2
1 2
1 2
2 13
5 2
0 2
+ ≤
+ ≤ +
≥ ≤
λ
λ, ;
;
BIBLIOGRAFIA
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McGraw – Hill, 1994.
[2] CALLIOLI, Carlos A., DOMINGUES, Hygino H., COSTA, Roberto C. F. Álgebra
Linear e Aplicações. Atual Editora, 1993.
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Linear, Editora Atlas, 1980.

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[4] LUENBERGER, David G., Linear and Nonlinear Programming, Second
Edition, 1989.
[5] BAZARAA, Mokhtar S., JARVIS, John J. Linear Programming and Network
Flows, John Wiley & Sons, 1977.
[6] PUCCINI, Abelardo de Lima, PIZZOLATO, Nelio Domingues, Programação
Linear, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1987.
[7] RAMALHETE, Manuel, GUERREIRO, Jorge, MAGALHÃES, Alípio,
Programação Linear, Volume 1. McGraw - Hill, 1984.
[8] YOSHIDA, Luzia Kazuko, Programação Linear. Métodos Quantitativos,
Atual Editora, 1987.
[9] BALBO, Antonio Roberto; BAPTISTA, Edméa Cássia. Tópicos de Otimização
e Programação Matemática I – Curso de Especialização em Matemática
Aplicada e Computacional. Depto de Matemática – Fac. de Ciências – UNESP de
Bauru, 1996.