Capitulo 2_Parte I_Introdução a Programação Linear UEM 2022.pdf

Investigação Operacional
Docente: Prof. Doutor Cachimo Assane
Capítulo 2: Tema 1 - Princípio de Programação Linear
Curso de Licenciatura em Informática - 2022/Sem II
Docente: Prof. Doutor Cachimo Assane (UEM) Investigação Operacional
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Princípio de Programação Linear
Programação Linear (PL):
■ É uma das técnicas de resolução de modelos matemáticos de IO;
■ É mais popular, devido à eficiência e facilidade de implementação dos seus
algoritmos de solução;
■ No modelo de PL, as funções matemáticas são necessariamente funções lineares;
■ Geralmente, a PL é destinada a problema de alocar da melhor maneira possível
(isto é, de maneira óptima) recursos limitados para actividades que competem
entre si;
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Formulação do Modelo de Programação Linear
Todo modelo de PL tem três componentes básicos:
■ Variáveis de Decisão: são decisões quantificáveis cujos valores o proprio modelo
deverá determinar;
■ Função Objectivo: é uma função matemática das variáveis de decisão que se
deseja optimizar (maximizar ou minimizar);
■ Restrições: são as limitações dos recursos, que podem ser expressas por meio
de equações ou inequações;
Definição: Problema de Programação Linear (PPL)
É um problema de optimização que consiste em achar os valores das variáveis
de decisão de forma a minimizar (ou maximizar) a função objectivo sujeita às
restrições especificadas.
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Formulação algébrica geral do PPL:
Optimizar : c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn
Sujeito a :







ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi , i = 1, . . . , p
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≤ bi , i = p + 1, . . . , q
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≥ bi , i = q + 1, . . . , m
xj ≥ 0, j = 1, . . . , n,
onde:
■ xj → nível de actividade da alternativa j a ser determinado pela solução do
PPL;
■ cj → custo unitário associado à alternativa j;
■ cj xj → custo total da quantidade xj do elemento j;
■ bi → valor limitante referente à restrição i;
■ aij → contribuição unitária da alternativa j à restrição i;
■ n → número de variáveis de decisão do PPL;
■ m → número de restrições do PPL.
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Pressupostos dos Problemas de Programação Linear
i) Proporcionalidade: A contribuição de uma actividade ao valor da função
objectivo e do lado esquerdo de cada restrição é proporcional ao nível dessa
actividade: cj xj ; aij xj ;
ii) Adictividade: Toda função em um modelo de PL é a soma das contribuições
individuais das respectivas actividades:
P
cj xj ;
P
aij xj ;
iii) Não-negatividade e Divisibilidade: As variáveis de decisão devem ser não-
negativas e podem assumir valores fraccionários;
iv) Certeza ou Determinismo: O valor atribuído a cada parâmetro de um modelo
de PL (cj , aij e bj ) é assumido como uma constante conhecida.
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Exemplos de Modelagem de Problemas de PL
Exemplo 1: A firma ChemLabs usa as matérias-primas I e II para produzir dois
produtos líquidos para limpeza doméstica, A e B. As disponibilidades diárias das
matérias-primas I e II são de 150 e 145 unidades, respectivamente. Uma unidade
do produto A consome 0, 5 unidade da matéria-prima I e 0, 6 unidade da matéria
prima II, e uma unidade do produto B usa 0, 5 unidade da matéria-prima I e 0, 4
unidade da matéria prima II. Os lucros por unidade dos produtos A e B são de $ 8
e $ 10, respectivamente. Formule o modelo que maximize o lucro da firma.
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Exemplo 1: A firma ChemLabs usa as matérias-primas I e II para produzir dois
produtos líquidos para limpeza doméstica, A e B. As disponibilidades diárias das
matérias-primas I e II são de 150 e 145 unidades, respectivamente. Uma unidade
do produto A consome 0, 5 unidade da matéria-prima I e 0, 6 unidade da matéria
prima II, e uma unidade do produto B usa 0, 5 unidade da matéria-prima I e 0, 4
unidade da matéria prima II. Os lucros por unidade dos produtos A e B são de $ 8
e $ 10, respectivamente. Formule o modelo que maximize o lucro da firma.
Resolução: Formulação do modelo do PPL da firma
Tabela: Consumo de matéria-prima e lucro de cada produto
Tipo de Qtdd. de MP/unid. de produto Disponibilidade
Matéria-prima (MP) Produto A Produto B da matéria-prima
I 0,5 0,5 150
II 0,6 0,4 145
Lucro ($) 8 10
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Formulação do modelo do PPL da firma
1) Variáveis de decisão:
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xi ≡ quantidade do produto de limpeza do tipo i a produzir,
i = (1→produto A, 2→Produto B).
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2) Função objectivo: Maximizar f (x) = 8x1 + 10x2, o lucro total (em $) da
firma.
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firma.
3) Restrições do problema
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firma.
i) Restrição associada à matéria-prima I:
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firma.
0, 5x1 + 0, 5x2 ≤ 150
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firma.
0, 5x1 + 0, 5x2 ≤ 150
ii) Restrição associada à matéria-prima II:
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firma.
0, 5x1 + 0, 5x2 ≤ 150
0, 6x1 + 0, 4x2 ≤ 145
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firma.
0, 5x1 + 0, 5x2 ≤ 150
0, 6x1 + 0, 4x2 ≤ 145
iii) Restrições de não-negatividade: x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
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firma.
0, 5x1 + 0, 5x2 ≤ 150
0, 6x1 + 0, 4x2 ≤ 145
iii) Restrições de não-negatividade: x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
O PPL da firma é então formulado como:
Maximizar Z = 8x1 + 10x2
Sujeito a :
0, 5x1 + 0, 5x2 ≤ 150
0, 6x1 + 0, 4x2 ≤ 145
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
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Problema da Dieta: Suponha que, por motivos justificáveis, uma certa dieta
alimentar esteja restrita a leite desnatado, carne magra de boi, carne de peixe e
uma salada de composição bem conhecida. Sabendo-se ainda que os requisitos
nutricionais serão expressos em termos de vitaminas A, C e D e controlados por
suas quantidades mínimas (em miligramas), uma vez que são indispensáveis à
preservação da saúde da pessoa que estará se submetendo à dieta. A Tabela
abaixo resume a quantidade de cada vitamina em disponibilidade nos alimentos e
a sua necessidade diária para a boa saúde de uma pessoa.
Vitamina Leite (l) Carne (kg) Peixe (kg)
Requisito
Salada Nutricional
(100g) Mínimo
A 2 mg 2 mg 10 mg 20 mg 11 mg
C 50 mg 20 mg 10 mg 30 mg 70 mg
D 80 mg 70 mg 10 mg 80 mg 250 mg
Custo (u.m.) 2 4 1,5 1
Deseja-se determinar as quantidades dos alimentos, de modelo que os requisitos
nutricionais sejam satisfeitos a custo mínimo.
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Formulação do modelo do PPL da Dieta
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xi ≡ quantidade do alimento do tipo i que entra na dieta,
i = (l-leite, c-carne, p-peixe, s-salada).
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2) Função objectivo: Minimizar f (x) = 2xl + 4xc + 1, 5xp + xs
Número total de unidades monetárias gastas com a dieta.
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i) Restrição associada à demanda de vitamina A:
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2xl + 2xc + 10xp + 20xs ≥ 11
9 / 1

2xl + 2xc + 10xp + 20xs ≥ 11
ii) Restrição associada à demanda de vitamina C:
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2xl + 2xc + 10xp + 20xs ≥ 11
50xl + 20xc + 10xp + 30xs ≥ 70
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2xl + 2xc + 10xp + 20xs ≥ 11
50xl + 20xc + 10xp + 30xs ≥ 70
iii) Restrição associada à demanda de vitamina D:
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2xl + 2xc + 10xp + 20xs ≥ 11
50xl + 20xc + 10xp + 30xs ≥ 70
80xl + 70xc + 10xp + 80xs ≥ 250
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2xl + 2xc + 10xp + 20xs ≥ 11
50xl + 20xc + 10xp + 30xs ≥ 70
80xl + 70xc + 10xp + 80xs ≥ 250
iv) Restrições de não-negatividade: xi ≥ 0, ∀i = l, c, p, s
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O PPL de Dieta é então formulado como:
Minimizar 2xl + 4xc + 1, 5xp + xs
Sujeito a :
2xl + 2xc + 10xp + 20xs ≥ 11
50xl + 20xc + 10xp + 30xs ≥ 70
80xl + 70xc + 10xp + 80xs ≥ 250
xl ≥ 0; xc ≥ 0; xp ≥ 0; xs ≥ 0
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Problema da machamba:
Um agricultor dispõe de 400 hectares cultiváveis com milho, trigo ou arroz. Cada
hectare de milho exige $ 2.000 para preparação do terreno, 20 homens-dia de
trabalho e gera um lucro de $600. Um hectare de trigo envolve custos de $ 2.400
para preparação do terreno, 30 homens-dia de trabalho e dá um lucro de $ 800.
Analogamente, um hectare de arroz exige $ 1.400, 24 homens-dia e dá um lucro
de $ 400. O agricultor dispõe de $ 800.000 para cobrir os custos de trabalho e
7.200 homens-dia de mão de obra. Elabore um modelo de PPL forma a calcular
a alocação de terra para os vários tipos de cultura, com o objetivo de maximizar
o lucro total.
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Problema da machamba:
Um agricultor dispõe de 400 hectares cultiváveis com milho, trigo ou arroz. Cada
hectare de milho exige $ 2.000 para preparação do terreno, 20 homens-dia de
trabalho e gera um lucro de $600. Um hectare de trigo envolve custos de $ 2.400
para preparação do terreno, 30 homens-dia de trabalho e dá um lucro de $ 800.
Analogamente, um hectare de arroz exige $ 1.400, 24 homens-dia e dá um lucro
de $ 400. O agricultor dispõe de $ 800.000 para cobrir os custos de trabalho e
7.200 homens-dia de mão de obra. Elabore um modelo de PPL forma a calcular
a alocação de terra para os vários tipos de cultura, com o objetivo de maximizar
o lucro total.
Resolução:Síntese das informações-chave do PPL da machamba:
Tipo de Qtdd. de recurso/hectare Disponibilidade
recurso milho trigo arroz de recurso
área (ha) 1 1 1 400
custo terreno ($) 2.000 2.400 1400 800.000
mão de obra (h-d) 20 30 24 7.200
Lucro ($) 600 800 400
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Formulação do modelo do PPL da machamba
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xi ≡ área em ha a ser plantada da cultura do tipo i = (M-milho, T-trigo,
A-arroz).
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A-arroz).
2) Função objectivo:
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A-arroz).
Maximizar f (x) = 600xM + 8006xT + 400xA, o lucro total da produção.
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A-arroz).
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A-arroz).
i) Restrições associadas à área cultivável disponível (em hectare):
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A-arroz).
xM + xT + xA ≤ 400
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A-arroz).
xM + xT + xA ≤ 400
ii) Restrição associada a custos de preparação do terreno:
12 / 1

A-arroz).
xM + xT + xA ≤ 400
2.000xM + 2.400xT + 1.400xA ≤ 800.000
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A-arroz).
xM + xT + xA ≤ 400
2.000xM + 2.400xT + 1.400xA ≤ 800.000
iii) Restrição associada à mão de obra disponível (homens-dia):
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A-arroz).
xM + xT + xA ≤ 400
2.000xM + 2.400xT + 1.400xA ≤ 800.000
20xM + 30xT + 24xA ≤ 7.200
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A-arroz).
xM + xT + xA ≤ 400
2.000xM + 2.400xT + 1.400xA ≤ 800.000
20xM + 30xT + 24xA ≤ 7.200
iv) Restrições de não-negatividade: xM ≥ 0; xT ≥ 0; xA ≥ 0
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O PPL da machamba é então formulado como:
Maximizar 600xM + 8006xT + 400xA
Sujeito a :
2xM + xT + xA ≤ 400 (área cultivável disponível)
2.000xM + 2.400xT + 1.400xA ≤ 800.000 (terreno)
20xM + 30xT + 24xA ≤ 7.200 (mão de obra disponível)
xM ≥ 0; xT ≥ 0; xA ≥ 0
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Mais um exemplo de Formulação de um modelo de PL
Uma indústria metalúrgica pretende fabricar um novo produto para seu cliente do
sector de automóveis e, para isso, precisa contratar operadores de máquina. Sabe-
se que os operadores de máquina se dividem em 3 categorias: especializado, não
especializado e estagiário. Um operador especializado tem 10 anos de experiência
e deve ser capaz de produzir 20 peças por dia das requeridas pela indústria. Um
operador não especializado tem 6 anos de experiência e deverá produzir 16 peças
por dia. Um operador estagiário tem 1 ano de experiência e deverá produzir 12
peças por dia. Devido a exigências legais, sabe-se ainda que, do total dos operários
a ser contratado, pelo menos 30% devem de ser especializados. Os salários, por
dia, destes 3 tipos de operadores são, respectivamente, $ 800, $ 500 e $ 200.
Há no máximo 4 operadores especializados, 7 não especializados e 9 estagiários
disponíveis para contratar. Estão orçamentados $ 80.000 por dia para os salários
dos operadores. Uma restrição importante para a indústria refere-se ao número
de horas laborais disponíveis para os operários a serem contratados, limitado em
125 horas por dia. A lei trabalhista obriga que um estagiário trabalhe apenas
4 horas por dia; 8 horas diárias para operário não especializado e 6 horas para
o especializado. Por outro lado, a empresa pretende conseguir um nível mínimo
total de 60 anos de experiência dos operadores contratados. Formule um modelo
de PL para o problema que maximiza a produção diária da empresa.
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Mais um exemplo de Formulação de um modelo de PL
Formulação do PPL da indústria metalúrgica:
Sejam as variáveis de decisão:
xi: “Número de operários de categoria i a contratar”; i = 1(Especializado);
2(não Especializado); 3(Estagiário)
O modelo de programação linear:
Maximizar Z = 20x1 + 16x2 + 12x3
s.a: 10x1 + 6x2 + 1x3 ≥ 60 (mínimo de anos de experiência necessários)
x1 ≥ 0, 3 ∗ (x1 + x2 + x3) (número de especializados por contratar)
800x1 + 500x2 + 200x3 ≤ 80.000 (orçamento disponível por dia)
6x1 + 8x2 + 4x3 ≤ 125 (horas de trabalho disponíveis por dia)
x1 ≤ 4 (Especializados disponíveis para contratar)
x2 ≤ 7 (Não especializados disponíveis para contratar)
x3 ≤ 9 (Estagiários disponíveis para contratar)
x1, x2, x3 ≥ 0
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