Dimensionamento de pilares em concreto armado

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA APLICADA E ESTRUTURAS
CONCRETO ARMADO III
Prof. Sergio Hampshire de Carvalho Santos
sergiohampshire@poli.ufrj.br
- 2010 -

2
SUMÁRIO PÁGINA
1. CARACTERÍSTICAS DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 3
- Verificação da segurança. Definição dos estados limites.
- Coeficientes de ponderação.
- Características dos aços.
- Características do concreto.
- Hipóteses básicas no dimensionamento à flexão composta no estado limite último
2. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO COMPOSTA RETA 11
- Dimensionamento na flexão composta reta
- Planilhas de dimensionamento. Ábacos de interação
3. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 22
- Cálculo pela formulação aproximada da NBR 6118
- Cálculo exato
- Exemplos
4. CRITÉRIOS DE PROJETO DE PILARES 25
- Cargas atuantes nos pilares de edifícios.
- Classificação das estruturas relativamente a sua deformabilidade horizontal
- Métodos de análise dos efeitos de 2a
ordem
- Pilares-parede.
- Verificação ao cisalhamento.
5. DETALHAMENTO DOS PILARES E PILARES-PAREDE 37
6. EXEMPLO NUMÉRICO COMPLETO 43
7. TORÇÃO 62
ANEXOS – Ábacos adimensionais para dimensionamento na flexão composta reta 64

3
1. CARACTERÍSTICAS DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO
1.1. Verificação da segurança. Definição dos estados limites
1.1.1. Condições construtivas e analíticas de segurança
Na verificação da segurança das estruturas de concreto, devem ser atendidas as condições
construtivas e as condições analíticas de segurança (item 12.5, pg.65, da NBR 6118).
Do ponto de vista das condições construtivas, devem ser atendidos os requisitos definidos na
NBR 14931 (“Execução de estruturas de concreto – Procedimento”).
Do ponto de vista das condições analíticas, define-se que as resistências disponíveis não podem
ser menores que as solicitações atuantes, com relação a todos os estados limites e a todos os
carregamentos (os de Norma e os específicos para a construção considerada).
Simbolicamente, Rd ≥ Sd.
1.1.2. Estados limites últimos e de serviço
Define-se que uma estrutura ou parte dela atinge um estado limite quando, de modo efetivo ou
convencional, se torna inutilizável, ou deixa de satisfazer às condições previstas para a sua utilização.
Segundo a NBR 6118, em seus itens 3.2 (pg. 4) e 10.2 (pg. 50), devem ser considerados no
projeto estados limites últimos (ELU) e de serviço (ELS). Simbolicamente, Rd = Fd em um estado
limite.
Os estados limites últimos estão relacionados ao colapso, ou a outra forma de ruína estrutural
que determine a paralisação do uso das estruturas.
Os estados limites de utilização (de serviço), de abertura de fissuras, de deformações excessivas
e de vibrações excessivas devem ser atendidos em todas as estruturas de concreto armado.
1.2. Coeficientes de ponderação
A NBR 6118, em seus itens 11.6.1 (pg. 57) e 12.2 (pg. 63), define os valores característicos
para as grandezas envolvidas nas verificações dos estados limites (ou seja, as ações e as resistências).
1.2.1 Valores característicos para as resistências
Os valores característicos fk a serem considerados para as resistências de um material, são
definidos como os valores que têm uma probabilidade de apenas 5% de não serem atingidos em um
determinado lote do material. Admite-se uma distribuição normal para estas resistências.
fck = fcm - 1,65 sc
fk = fm - 1,65 s fyk = fym - 1,65 sy
1n
)ff(
s
n
1i
2
mi
−
−
=
∑=
A NBR 6118, em seu item 8.2.1 (pg. 22), define classes de resistência em MPa para o concreto.
Para superestruturas de concreto armado, o concreto deve ser no mínimo de classe C20 (fck = 20 MPa).
Para estruturas de fundações e em obras provisórias, o concreto pode ser de classe C15 (fck = 15 MPa).
A Norma é aplicável para concretos de classe até C50.
A resistência característica do aço à tração, fyk (ou à compressão, fyck) é definida em função da
tensão mínima de escoamento, real ou convencional, fixada como sendo a tensão correspondente à
deformação específica permanente de 0,2%, determinada de acordo com a NBR 6152. Os aços para

4
concreto armado são classificados pela NBR 7480, de acordo com o valor característico da sua
resistência de escoamento, nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60.
1.2.2 Valores de cálculo para as resistências
As resistências de cálculo são estabelecidas pela NBR 6118, no seu item 12.3 (pg. 63), a partir
dos respectivos valores característicos e dos coeficientes de ponderação das resistências.
Estes coeficientes levam em conta a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos, as
diferenças entre resistências medidas em corpos de provas e nas estruturas, desvios ocorridos na
construção das estruturas e aproximações feitas no projeto, do ponto de vista das resistências.
Para verificações estruturais realizadas com concreto de idade igual ou superior a 28 dias, as
expressões abaixo se aplicam.
fcd = fck /γc ftd = ftk /γ c fyd = fyk /γ s fycd = fyck / γ s
Os coeficientes de minoração (γc e γs) são definidos na NBR 6118, item 12.4.1 (pg. 64):
Concreto: γc = 1,4 em condições normais.
γc = 1,2 em condições de construção.
Aço: γs = 1,15 em condições normais ou em condições de construção.
1.2.3 Valores característicos e valores representativos para as ações e solicitações
Os valores característicos a serem considerados para as ações Fk são definidos nas diversas
Normas Brasileiras pertinentes, em função de uma probabilidade de estes valores serem ultrapassados
durante a vida útil da construção.
Para as cargas permanentes, a NBR 8681 define os valores característicos como os seus
próprios valores médios.
Para as cargas acidentais, os valores característicos são aqueles que têm de 25% a 35% de
probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável em 50 anos, o que corresponde a
períodos de recorrência de, respectivamente 171 e 116 anos. Não se dispondo de dados estatísticos
suficientes, como é o caso em geral para as ações variáveis, os valores característicos a serem
considerados são os valores nominais fixados pelas Normas Brasileiras específicas, para cada tipo de
carregamento.
Para vento e sismo, as probabilidades de ultrapassagem em 50 anos são fixadas nas Normas
NBR 6123 e NBR 15421 em 63% e 10%, respectivamente, o que corresponde a períodos de
recorrência de 50 e 475 anos.
1.2.4 Valores de cálculo para as ações e solicitações
A NBR 6118, no seu item 11.7 (pg. 58), define valores de cálculo para as ações, por meio de
coeficientes de majoração γf, que levam em conta a variabilidade das ações, a simultaneidade da
atuação das ações, desvios gerados na construção não explicitamente considerados no cálculo e as
aproximações feitas no projeto do ponto de vista das solicitações.
Os valores de cálculo das ações são genericamente, os valores das ações representativas vezes
os coeficientes de majoração:
Fd = γf .Fk
Nos casos em que os pilares e pilares-parede tenham sua menor dimensão entre 12 e 19 cm,
deverá ser considerado um coeficiente adicional de majoração de cargas γn = 1,95 – 0,05. b, sendo b a
menor dimensão da seção transversal do pilar em cm, de acordo com o item 13.2.3 da NBR 6118, pg.
66. Este coeficiente adicional é justificado pela maior probabilidade de falhas de construção em peças
esbeltas e da maior importância relativa dos desvios construtivos, por exemplo, nos cobrimentos. Um
pilar de 12x60 terá, por exemplo, γn = 1,35.

5
1.2.5 Ponderação das ações nos estados limites últimos (ações variáveis de só um tipo):
Fd = 1,4 Fgk + 1,4 F qk + 1,2 Fεk. (condições normais, quando as ações são desfavoráveis)
(ou 1,0 Fgk , 0,0 F qk , 0,0 Fεk.) (condições normais ou de construção, quando as ações são
favoráveis)
Fd = 1,3 Fgk + 1,2 F qk + 1,2 Fεk. (condições de construção, quando as ações são
desfavoráveis)
(Fgk - ação permanente característica, Fqk - ação variável característica, Fεk. - ação característica
devida a deformações próprias e impostas: recalques de apoio, retração, temperatura, etc.)
No caso dos efeitos da carga variável decorrerem da atuação simultânea de cargas acidentais e
de vento, considera-se a baixa probabilidade dos dois carregamentos atingirem simultaneamente o seu
valor máximo. Neste caso, se considera a soma dos efeitos máximos de um carregamento, com o outro
reduzido por um fator ψ0 (aplica-se uma redução também para os efeitos de temperatura):
qk0qqjkj0k1qqgkgd F..)F.F.(F.F εεε ψγ+ψ+γ+γ= ∑
As seguintes combinações devem ser verificadas (Tabela 11.3, pg. 61 da NBR 6118):
- Edifícios residenciais:
Combinação 1: carga acidental com ψ0 = 0,5, com vento total e temperatura com ψ0 = 0,6
- Edifícios comerciais, de escritórios, públicos e estações:
- Bibliotecas, arquivos, oficinas, estacionamentos:
- Para os três tipos de edifício:
Combinação 2: carga acidental total, com vento com ψ0 = 0,6 e temperatura com ψ0 = 0,6
Além disso, para o projeto de pilares e fundações de edifícios residenciais e comerciais (não
destinados a depósito), também se considera a baixa probabilidade das cargas acidentais atingirem seu
valor máximo simultaneamente em todos os pavimentos. Sendo assim, pode ser aplicado um
coeficiente de redução nas cargas acidentais nos pavimentos inferiores das edificações, conforme
tabela da NBR 6120.
1.2.5.1 Exemplo numérico 1:
Em um edifício residencial, definir as diversas combinações de momentos fletores para o
dimensionamento à flexão na seção extrema de uma viga em um edifício residencial. Os momentos
característicos atuantes são:
Cargas permanentes: Mgk = - 78,6 kN.m;
Cargas acidentais: Mqak = - 45,3 kN.m;
Cargas de vento: Mqvk = ± 69,7 kN.m (pode assumir sinal positivo ou negativo).
- Combinação 1a – momento de vento negativo com carga variável de vento dominante:
Md = - 78,6 . 1,4 – 45,3 . 0,5 . 1,4 – 69,7 . 1,4 = - 239,33 kN.m.
- Combinação 1b – momento de vento positivo com carga variável de vento dominante:
Md = - 78,6 . 1,0 – 45,3 . 0,0 + 69,7 . 1,4 = + 18,98 kN.m.

6
- Combinação 2 – momento de vento negativo com carga acidental dominante:
Md = - 78,6 . 1,4 – 45,3 . 1,4 – 69,7 . 1,4 . 0,6 = - 232,01 kN.m.
A combinação com momento de vento positivo não dominante não é crítica.
1.2.5.2 Exemplo numérico 2:
Em um edifício de oito pavimentos, a carga aplicada em um pilar tem uma parcela permanente
Ngk = - 238,6 kN e uma parcela acidental de Nqk = - 157,1 kN.
Avaliar a carga de cálculo para o dimensionamento do pilar, em cada pavimento.
(1-RP) é o percentual da carga acidental a ser considerada, conforme definido acima.
Pavimento (1-RP) Ngk
(total no piso)
Nqk. (1-RP)
(total no piso)
Nd
(total no piso)
8º 100% - 238,6 - 157,1 - 553,98
7º 100% - 477,2 - 314,2 - 1107,96
6º 100% - 715,8 - 471,3 - 1661,94
5º 80% - 954,4 - 502,72 - 2039,97
4º 60% - 1193,0 - 471,30 - 2330,02
3º 40% - 1431,6 - 377,04 - 2532,10
2º 40% - 1670,2 - 439,88 - 2954,11
1º 40% - 1908,8 - 502,72 - 3376,13
1.2.6 Ponderação das ações nos estados limites de serviço:
Pode ser sempre conservadoramente considerado:
Fd = Fgk + F qk + Fεk
Ou seja, nos estados limites de serviço, γf =1,0. Coeficientes de redução para cargas acidentais,
de vento e de temperatura podem ser considerados, conforme item 11.7.2, pg. 59, da NBR 6118.
1.3 Características dos aços
Para o cálculo nos estados limites últimos, considera-se o diagrama tensão-deformação bilinear
genérico para os aços, definido pela NBR 6118, em seu item 8.3.6 (pg. 27). O patamar de escoamento
é bem definido e sem acréscimo de tensões após a deformação de escoamento. A aplicação dos
critérios de dimensionamento que serão a seguir detalhados leva a este diagrama tensão-deformação de
projeto:

7
Considera-se, para todos os tipos de aço, Es = 210 000 MPa = 21 000 kN/cm2
= 21 . 107
kN/m2
.
No caso, por exemplo, do aço CA-50:
fyd = fycd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm2
εyd = fyd / Es = 43,48/21000 = 0,002070 = 2,070 0
/00
Os valores de fyd e εyd para os três tipos de aço são fornecidos ns tabela abaixo:
As bitolas da tabela a seguir são as das barras normalizadas pela NBR 7480 (“Barras e fios
destinados a armaduras para concreto armado”). É fornecida também a área em cm2
de cada bitola.

8
Os fios são fornecidos em rolos até a bitola de 9,5 mm e as barras a partir da bitola de 4,2 mm.
As barras são fornecidas em comprimentos de 11 m. O aço CA-60 é fornecido em fios e barras.
Diâmetros padronizados com bitolas inferiores a 5 mm não têm aplicação como armadura estrutural
em pilares.
O aço CA-50 é utilizado em todos os tipos de armadura estrutural. O aço CA-60 pode ser
empregado nas armaduras das lajes e nas armaduras de estribos de vigas e de pilares. O aço CA-25,
por ser o único que depois de dobrado, pode ser redobrado para sua conformação inicial, é usado em
detalhes construtivos especiais.
As barras podem ser também classificadas, conforme a NBR 6118, item 9.3.2.1, pg. 32, de
acordo com a conformação superficial (nervuras), em barras lisas (CA-25), barras entalhadas (CA-60)
e barras de alta aderência (CA-50 e CA-60), ver item 9.3.2.1 da Norma, pg. 32. As nervuras têm sua
configuração geométrica definida na NBR 7480.
O uso simultâneo de aços de diferentes categorias só é permitido no caso de armaduras
longitudinais e estribos, em vigas ou em pilares.
1.4 Características do concreto
A resistência característica do concreto à compressão é determinada a partir dos resultados de
ensaios em corpos de prova cilíndricos, de 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, moldados de acordo
com a NBR 5738, com a idade de 28 dias, com procedimento estatístico de acordo com a NBR 5739.
A resistência do concreto à tração pode ser determinada pelo ensaio de compressão diametral,
de acordo com a NBR 7222. Na ausência de ensaios, seus valores médio e característicos (inferior e
superior) podem ser estimados em função da resistência à compressão fck como:
fct,m = 0,3 fck
2/3
fctk,inf = 0,7 fct,m fctk,sup = 1,3 fct,m (MPa)
O diagrama tensão-deformação idealizado, a ser usado nas análises no estado limite último,
para o concreto à compressão, é definido a seguir, de acordo com a NBR 6118, item 8.2.10.1, pg.24.
fck
20
/00 3,50
/00
σc =0,85 fcd [1-(1-εc/0,002)2
]
σc
εc
0,85 fcd
Outras propriedades do concreto:
• Estimativa para o módulo de deformação longitudinal tangente inicial na origem (item 8.2.8, pg. 23,
da Norma):
ckci fE 5600= (MPa)
• Módulo de elasticidade secante, determinado para uma tensão igual a ckf,40 , a ser utilizado nas
análises estruturais elásticas para valeres de tensão de até ckf,50 , especialmente na determinação de
esforços solicitantes e verificações dos estados limites em serviço:
Ecs = 0,85 Eci

9
1.5 Hipóteses básicas no dimensionamento à flexão composta no estado limite último.
d
εc = 3,5 0
/00
20
/00
x
0,85 fcd
y=0,8x
0,85 ou 0,8 fcd
(Domínio 3)
εs
As hipóteses para o dimensionamento para solicitações normais (quando momentos fletores
podem atuar simultaneamente com forças normais), nas seções de concreto armado, no estado limite
último, segundo a NBR 6118, em seu item 17.2.2 (pg.107), são:
• as seções transversais permanecem planas após a deformação (hipóteses de Bernoulli e Navier).
• a deformação das barras de aço é admitida como igual à deformação do concreto em seu entorno.
• a resistência à tração do concreto é desprezada.
• a distribuição de tensões no concreto se faz com o diagrama parábola-retângulo, com a resistência
do concreto igual a 0,85 fcd. Este diagrama pode ser simplificado para um diagrama retangular com
profundidade igual a 0,8 x (sendo x igual à profundidade efetiva da linha neutra), e tensão igual a
0,80 fcd ou 0,85 fcd, caso a largura da seção diminua ou não a partir da linha neutra em direção à
borda mais comprimida.
• os estados limites últimos são caracterizados (situações limite), quando a distribuição de
deformações na seção transversal atingir uma das configurações definidas nos diversos domínios de
dimensionamento à compressão, tração e flexão simples ou composta, normal ou oblíqua,
estabelecidos pela NBR 6118 (de acordo com a figura a seguir).

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Deformação plástica excessiva:
Reta a: tração uniforme.
Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão.
Domínio 2: flexão simples ou composta, sem ruptura à compressão do concreto, aço a 100
/00.
Ruptura:
Domínio 3: flexão simples (seção sub-armada) ou composta, com ruptura à compressão do
concreto, e com escoamento do aço.
Domínio 4: flexão simples (seção super-armada) ou composta, com ruptura à compressão do
concreto, e com aço tracionado sem escoamento.
Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas.
Domínio 5: compressão não uniforme.
Reta b: compressão uniforme.

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2. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO COMPOSTA RETA
2.1 Dimensionamento na flexão composta reta
As diversas possibilidades de dimensionamento e verificação das seções de concreto armado na
flexão composta reta se realizam quando os diversos domínios de deformações específicas no estado
limite último são percorridos: tração simples, flexão composta com tração, flexão simples, flexão
composta com compressão e compressão simples. Durante este desenvolvimento, a profundidade da
linha neutra assume os valores:
Domínio 1: de - ∞ a 0
Domínio 2: de 0 a 0,259d
Domínios 3 e 4: de 0,259d a d
Domínio 4a: de d a h
Domínio 5: de h a + ∞
São inicialmente definidas as notações a serem seguidas, através das figuras abaixo:
d’’
As2
d h
Md Nd
Asi
h/2
As1 d’
Seção longitudinal
b
d’’
As2
t2 c d h
Asi
t i As1
t1
Seção transversal
d’

12
De acordo com a figura, as seguintes designações foram definidas, para uma seção retangular:
b, h - largura e altura total da seção de concreto.
As1 e As2 – armaduras mais próximas, respectivamente, da face inferior e superior da seção (em
uma viga em flexão simples seriam, respectivamente, as armaduras principais de tração e compressão).
d', d'' - distâncias dos centros de gravidade das armaduras As1 e As2 às faces do concreto mais
próximas.
d = h - d' - “altura útil” da seção.
c = d - d'' - distância entre centros de gravidade das armaduras As1 e As2.
Asi e ti – armadura genérica e sua respectiva distância à face inferior da seção.
Nd e Md – esforço normal e momento fletor de cálculo referidos ao centro de gravidade da seção
retangular.
As forças normais positivas são as de tração e os momentos fletores positivos tracionam a face
inferior da seção. Da mesma forma, na seção resistente, forças e tensões de tração são positivas e as de
compressão são negativas.
2.1.1 Equações para o Domínio 1
O Domínio 1 corresponde às situações de tração pura (reta a) e às de tração composta com
flexão em que as deformações no concreto são todas positivas, ou seja, as tensões no concreto são
nulas. Neste caso, o par de esforços Nd e Md é resistido pelas forças de tração nas armaduras. O estado
limite se caracteriza pelo esgotamento da capacidade de deformação específica do aço (εs = 100
/00).
O Domínio 1 é definido pelas seguintes condições de deformação específica:
εs1 = 100
/00; εc = 100
/00 a 00
/00
εs1 e εc - deformações específicas da seção, respectivamente aos níveis da armadura mais
inferior e da fibra correspondente à face superior do concreto.
d''
h d c
d'
b
As2
Asi
As1
εc
εs2 F s2
Md
Nd
εsi F si
εs1= 100
/00 F s1
As deformações específicas no nível da armadura genérica i são obtidas, por relações
geométricas, com o auxílio da figura a seguir:
εs1-εc εc
εs1-εsi εsi d
εs1 ti–d’
c1s
c
d
x
ε−ε
ε
=
−
x
c1s
c
.dx
ε−ε
ε−
=

13
∴
−
−
=
−
cs
sisi
d
'dt
εε
εε
1
1
∴
−−
−=
d
)'dt).(( ics
ssi
εε
εε 1
1
d
)'dt).(( ic
si
−−
−=
ε
ε
10
10
Já que no caso específico do Domínio 1, εs1 = 100
/00.
De acordo com o diagrama tensão-deformação definido no item 2.3, as tensões na armadura
serão:
ydsiyd
si
si
si f. εε
ε
ε
σ ≥= se ; ydsisissi .E εεεσ ≤= se , com E s = 21000 kN/cm2
A força Fsi (de tração) na armadura genérica i é dada por:
Fi = Asi . σsi
O equilíbrio entre forças externas aplicadas e forças internas leva aos esforços externos
equilibrantes:
∑= id FN ; ∑−= iidd t.F
h
.NM
2
Nas peças submetidas à tração pura ou composta com flexão é necessária a verificação à
fissuração, de acordo com o item 17.3.3, pg. 114, da NBR 6118.
A NBR 6118 (versão 2007), em seu item 17.3.3, fornece uma alternativa ao cálculo analítico da
abertura esperada de fissuras. Para os diversos diâmetros das barras, é definida uma tensão máxima nas
mesmas, em condições de serviço, e um espaçamento máximo das armaduras. Desta forma, esperam-
se aberturas máximas de fissuras da ordem de 0,3 mm. É atendido desta forma o estado limite de
fissuração. Estes valores são definidos na tabela a seguir.
Diâmetro da
armadura (Ф)
Tensão máxima em
serviço (σs), em MPa
Espaçamento máximo
(smax), em cm
Acréscimo da
armadura (CA-50)
8 400 - 1,00
10 360 5 1,00
12,5 320 10 1,00
16 280 15 1,11
20 240 20 1,29
25 200 25 1,55
32 160 30 1,94
O Domínio 2 corresponde a diversas condições de equilíbrio em que a parte superior da seção
está comprimida e as armaduras superiores encontram-se tracionadas ou comprimidas. O estado limite
se caracteriza pelo esgotamento da capacidade de deformação específica do aço (εs = 100
/00);
corresponde a diversas situações de flexão composta com tração, flexão simples e flexão composta
com compressão.

14
εs = 100
/00; εc = 00
/00 a -3,50
/00
Profundidade da linha neutra x:
1sc
c
.dx
ε+ε−
ε−
= ; no caso particular do Domínio 2, εs1 = 100
/00.
O limite para o Domínio 2 corresponderá a εc = -3,50
/00 ou 2593,0
d
x
k max
max,x ==
Para o cálculo das deformações específicas no nível da armadura genérica i, vale a expressão
apresentada para o Domínio 1, observando-se que, neste caso, εc tem sinal negativo. As tensões e
forças nas armaduras também são determinadas com as expressões do Domínio 1.
A força de compressão Fc, resultante das tensões de compressão atuantes no concreto, é
determinada com a expressão a seguir, devendo Fc ser tomado com o sinal negativo (compressão):
x.,.b.f.,F cdc 80850−=
Para o equilíbrio de momentos é necessário definir a distância do ponto de aplicação da força
Fc à face inferior da seção:
x.,htc 40−=
O equilíbrio entre forças externas aplicadas e forças internas leva aos esforços externos
equilibrantes:
∑+= icd FFN ; ∑−−= iiccdd t.Ft.F
h
.NM
2
está comprimida e as armaduras encontram-se tracionadas ou comprimidas. O estado limite se
caracteriza pelo esgotamento da capacidade de encurtamento do concreto, suposto com sua máxima
deformação específica (εc = - 3,50
/00); a deformação específica do aço na armadura mais inferior (As1) é
no mínimo igual à de escoamento (εyd). Este estado limite corresponde a diversas situações de flexão
simples e flexão composta com compressão.
εs = 100
/00 a εyd; εc = - 3,50
/00
O cálculo da profundidade de linha neutra é igual ao do Domínio 2, sendo que no Domínio 3,
deve-se considerar que εc = - 3,50
/00.
O limite do Domínio 3, para aço CA-50, com εyd = 2,070
/00 será 6284,0
d
x
k max
max,x ==
As expressões do Domínio 2 para o cálculo das deformações específicas no nível da armadura
genérica i, de tensões e forças nas armaduras, da força de compressão no concreto e de equilíbrio entre
forças externas aplicadas e forças internas permanecem válidas.
2.1.4 Equações para os Domínios 4 e 4a
está comprimida e as armaduras encontram-se tracionadas ou comprimidas. O estado limite se
caracteriza pelo esgotamento da capacidade de encurtamento do concreto, suposto com sua máxima
deformação específica (εc = -3,50
/00); a deformação específica do aço na armadura mais inferior (As1) é
inferior à de escoamento (εyd). Este estado limite corresponde a diversas situações de flexão composta
com compressão. Como o aço não atinge à sua tensão de escoamento, a seção romperá por ruptura
frágil (compressão do concreto). Por esta razão, a NBR 6118 não permite a utilização do domínio 4 na
flexão simples (seções super-armadas).

15
εs = εyd a 00
/00 ; εc = - 3,50
/00
As expressões do Domínio 3 para o cálculo da profundidade da linha neutra, das deformações
específicas no nível da armadura genérica i, de tensões e forças nas armaduras, da força de compressão
no concreto e de equilíbrio entre forças externas aplicadas e forças internas permanecem válidas.
O Domínio 4a corresponde a uma transição matemática entre os Domínios 4 e 5, quando surge
uma pequena compressão na armadura As1. Este caso pode ser tratado, conservadoramente, com as
expressões do Domínio 4.
O Domínio 5 corresponde a diversas condições de equilíbrio em que a seção está totalmente
comprimida, estando as armaduras também comprimidas. O Domínio 5 corresponde a diversas
situações de flexão composta com compressão e de compressão simples.
εc = -3,50
/00 a – 2,00
/00 e
3
414 c
inf,c
.ε
ε
−−
= o que corresponde a ε3/7h = -20
/00 a h
7
3
Sendo inf,cε a deformação específica na face inferior do concreto, devendo ser consideradas
ambas as deformações com seus respectivos valores negativos.
Profundidade da linha neutra x:
147
3
+
=
−
=
c
c
inf,cc
c
.
.
.h.hx
ε
ε
εε
ε
As deformações específicas no nível da armadura genérica i são obtidas, por relações
geométricas, com o auxílio da figura a seguir:





 −+
=∴
−+
=
x
hxt
.
hxt
x i
csi
isi
c
εε
ε
ε

16
Substituindo
147
3
+
=
c
c
.
.
.hx
ε
ε
, vem:
∴
−−++
=
c
ccici
csi
.h.
h..h..h.t..t.
.
ε
εεε
εε
3
1473147
h.
h..h.t..t. cici
si
3
144147 −−+
=
εε
ε
As expressões do Domínio 3 para tensões e forças nas armaduras, da força de compressão no
concreto e de equilíbrio entre forças externas aplicadas e forças internas permanecem válidas.
2.1.6 Método simplificado da NBR 6118
.circularesseçõesem4
;gularestanreseçõesem,6se6
;gularestanreseçõesem,61se,
;gularestanreseçõesem,1se,/1
s
ss
ss
−=α
≥α=α
≤α≤α=α
<αα−=α
A NBR 6118, pg. 110, item
17.2.5.1, permite a transformação da
flexão composta com compressão em
um problema de compressão simples
equivalente, desde que 7,0≥ν ,
considerando as seguintes fórmulas:






+=
h
e
.NN sdeq,Sd β1 , onde:
h/'d.8,0)01,039,0(
1
;
N.h
M
h
e
;7,0
f.bh
N
Sd
Sd
cd
Sd
−α+
=β
−
=≥
−
=ν
Os valores de α são dados por:

17
Sendo:
)n(
)n(
v
h
s
1
1
−
−
=α , nh e nv são definidos na figura acima.
O esforço normal resistente deve ser superior ao esforço normal equivalente solicitante:
eq,Sd,ydscdRd Nf.Af.,.h.bN ≥+= 00
02850 ; 00
02,yf é a tensão na armadura para a deformação
específica de 20
/00. No caso específico do aço CA-50, 00
02,ydf = Es . 20
/00 = 21000. 20
/00 = 42kN/cm2
.
• Exemplo resolvido 1
Pilar com b = 20, h= 80; fck = 15 MPa, As3 = As4 = 0 (somente barras nh) e d’=4cm
Esforços atuantes: Nk = -1050 kN, Mk = 100 kNm.
119,0
1050.4,1.80,0
100.4,1
N.h
M
h
e
);OK(7,086,0
4,1/15000.80,0.20,0
1050.4,1
Sd
Sd
===≥==ν
Considerando nh = 3, nv =2, 2
)1n(
)1n(
v
h
s =
−
−
=α=α
( ) kN1943119,0.702,21.1050.4,1
h
e
1.NN
;702,2
8,0/04,0.8,0)2.01,039,0(
1
h/'d.8,0)01,039,0(
1
sdeq,Sd =+=





β+=
=
−+
=
−α+
=β
kN194342.A4,1/15000.85,0.2,0.8,0f.Af.85,0.h.bN s2,ydscdRd 00
0 =+=+=
Então: As = 11,56cm2
(6 barras de 16 mm), o que é conservador, ver exemplo 2.2.4b.
• Exemplo resolvido 2
Pilar circular, com d = 0,60m; fck = 18 MPa; d’= 0,03cm
Esforços atuantes: Nd = -5082 kN, Md = 102 kNm.
4;0335,0
5082.6,0
102
N.h
M
h
e
);OK(7,04,1
4,1/18000).4/60,0.(
5082
Sd
Sd
2
−=α===≥=
π
=ν
( ) kN56310335,0.226,31.5082
h
e
1.NN
226,3
6,0/03,0.8,0])4.[01,039,0(
1
h/'d.8,0)01,039,0(
1
sdeq,Sd =+=





β+=
=
−−+
=
−α+
=β
kN563142.A4,1/18000.85,0.
4
6,0.
f.Af.85,0.
4
d.
N s
2
2,ydscd
2
Rd 00
0 =+
π
=+
π
=
Então: As = 60,5cm2
(14 barras de 25mm)
Comparando com o dimensionamento usual:
037,0
4,1/18000.6,0
102
f.d
M
;098,1
4,1/18000.6,0
5082
f.d
N
3
cb
3
d
2
cd
2
d
===µ−=
−
==η
Com este par de valores, encontra-se, por interpolação, no Ábaco Adimensional 12, ω = 0,584.
Como: 2
2
s
cd
2
yds
cm2,62
15,1/50
4,1/18000.6,0.584,0
A;
f.d
f.A
===ω ,
o que confirma que a armadura avaliada pelo método aproximado.

18
2.2 Planilhas de dimensionamento. Ábacos de interação
A formulação apresentada no item 2.1 é sistematizada através de planilhas EXCEL. Estas
planilhas têm um formato que permitem a verificação de uma seção retangular qualquer submetida à
flexão composta reta. Também com estas planilhas serão geradas tabelas adimensionais, que expressas
graficamente, permitirão o dimensionamento através de ábacos de interação.
2.2.1 Exemplo de dimensionamento. Duas camadas, armadura simétrica.
É apresentada, nas páginas seguintes, a planilha correspondente ao primeiro exemplo (arquivo
“FlexãoComposta-Dimensionamento ou FlexãoComposta-Dimensionamento-Bitolas”).
A planilha EXCEL da página seguinte fornece os seguintes dados e resultados, sendo cada
linha correspondente às diversas configurações deformadas, nos diversos Domínios da NBR 6118:
• x(m) – profundidade da linha neutra. No Domínio 5, foi limitada, para viabilizar o
cálculo automático da compressão no concreto, a h/0,8.
• εc (0
/00), εs1 (0
/00), εs2 (0
/00) – deformações específicas a nível da face superior do
concreto e das armaduras As1 e As2.
• σσσσs1 (kN/cm2
) e σσσσs1 (kN/cm2
) – tensões nas armaduras As1 e As2.
• pares de valores resistentes Nd, Md para a armadura fornecida e para As = 0 e valores
atuantes na seção.
Na figura em página posterior, estes valores de Nd e Md são plotados em curvas de interação.
Observar que, com a armadura adotada, os valores atuantes estão na região segura (interna) do ábaco.
É traçada uma linha reta, unindo dois pares de valores com a mesma posição de linha neutra, para a
armadura fornecida e para As = 0, passando próximo ao ponto correspondente ao par de esforços
atuante. Observar, que nesta reta, os acréscimos nos pares de esforços resistentes são proporcionais à
armadura adotada, permitindo assim uma interpolação (ou extrapolação). A adoção deste
procedimento no exemplo leva às armaduras As1 = As2 = 3cm2
, o que é uma excelente aproximação
para a solução exata.
Resolvendo pelos ábacos de interação adimensionais, a serem apresentados no item 2.2.2,
considerando o ábaco Adimensional 3:
117,0
4,1/20000.3,0.6,0
90
f.h.b
M
;233,0
4,1/20000.3,0.6,0
600
f.h.b
N
2
cb
2
d
cd
d
===µ−=
−
==η
Com este par de valores, encontra-se, por interpolação, no Ábaco, ω = 0,1.
Como: 2
s
cd
yds
cm9,5
15,1/50
4,1/20000.3,0.6,0.1,0
A;
f.h.b
f.A
===ω ,
o que confirma que a armadura acima avaliada.

19
Seção Transversal Concreto Aço CA50A
b (m) 0,6 d'(m) 0,05 fck (MPa) 20 fyk (kN/cm
2
) 50
h (m) 0,3 d''(m) 0,05 fcd (kN/m2
) 14286 Es (kN/cm
2
) 21000
d(m) 0,25 εyd (‰) 2,070
Disposição das Armaduras fyd (kN/cm2
) 43,48
Camadas Asi (cm
2
) ti (m) Nd(kN) = -600,0
1 5 0,05 Md(kN.m) = 91,00
2 5 0,25
3
4
5
6
7
SOMA = 10
As dado As = 0
Domínios x (m) εεεεc (‰) εεεεs1 (‰) εεεεs2 (‰) σσσσs1 (kN/cm
2
) σσσσs2 (kN/cm
2
) Nd (kN) Md (kN.m) Nd (kN) Md (kN.m)
Domínio 1 10,00 10,00 10,00 43,48 43,48 435 0 0 0
εεεεs1 = 10‰ 8,00 10,00 8,40 43,48 43,48 435 0 0 0
6,00 10,00 6,80 43,48 43,48 435 0 0 0
4,00 10,00 5,20 43,48 43,48 435 0 0 0
2,00 10,00 3,60 43,48 43,48 435 0 0 0
0,00 10,00 2,00 43,48 42,00 427 1 0 0
Domínio 2 0,012 -0,50 10,00 1,60 43,48 33,60 316 15 -69 10
εεεεs1 = 10‰ 0,023 -1,00 10,00 1,20 43,48 25,20 211 28 -132 19
0,033 -1,50 10,00 0,80 43,48 16,80 111 39 -190 26
0,042 -2,00 10,00 0,40 43,48 8,40 17 50 -243 32
0,050 -2,50 10,00 0,00 43,48 0,00 -74 60 -291 38
0,058 -3,00 10,00 -0,40 43,48 -8,40 -161 69 -336 43
0,065 -3,50 10,00 -0,80 43,48 -16,80 -244 77 -378 47
Domínio 3 0,065 -3,50 10,00 -0,80 43,48 -16,80 -244 77 -378 47
εεεεc = 3,5‰ 0,070 -3,50 9,00 -1,00 43,48 -21,00 -296 82 -408 50
0,076 -3,50 8,00 -1,20 43,48 -25,20 -352 87 -443 53
0,083 -3,50 7,00 -1,40 43,48 -29,40 -415 93 -486 57
0,092 -3,50 6,00 -1,60 43,48 -33,60 -487 99 -537 61
0,103 -3,50 5,00 -1,80 43,48 -37,80 -572 106 -600 65
0,117 -3,50 4,00 -2,00 43,48 -42,00 -673 113 -680 70
0,135 -3,50 3,00 -2,20 43,48 -43,48 -785 119 -785 75
0,157 -3,50 2,07 -2,39 43,48 -43,48 -916 123 -916 80
Domínio 4 0,157 -3,50 2,07 -2,39 43,48 -43,48 -916 123 -916 80
εεεεc = 3,5‰ 0,159 -3,50 2,00 -2,40 42,00 -43,48 -935 123 -927 80
0,175 -3,50 1,50 -2,50 31,50 -43,48 -1080 119 -1020 82
0,194 -3,50 1,00 -2,60 21,00 -43,48 -1246 114 -1133 82
0,219 -3,50 0,50 -2,70 10,50 -43,48 -1440 107 -1275 80
0,250 -3,50 0,00 -2,80 0,00 -43,48 -1675 95 -1457 73
Domínio 5 0,300 -3,50 -0,58 -2,92 -12,25 -43,48 -2027 68 -1749 52
0,343 -3,20 -0,87 -2,73 -18,20 -43,48 -2307 38 -1998 26
0,375 -2,90 -1,15 -2,55 -24,15 -43,48 -2524 10 -2186 0
0,375 -2,60 -1,43 -2,37 -30,10 -43,48 -2554 7 -2186 0
0,375 -2,30 -1,72 -2,18 -36,05 -43,48 -2583 4 -2186 0
0,375 -2,00 -2,00 -2,00 -42,00 -42,00 -2606 0 -2186 0
Curva de Interação (Nd x Md)
0
20
40
60
80
100
120
140
-3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500
Nd (kN)
Md(kN.m)
As=0
As dado
Nd,Md

20
2.2.2 Desenvolvimento de ábacos de interação adimensionais.
O dimensionamento com auxílio de ábacos adimensionais segue os mesmos procedimentos já
descritos, desenvolvendo-se as planilhas para uma seção retangular com b = h = 1,00m;
fcd =1,00 kN/m2
; fyd = 1 kN/cm2
; Es = 21000/fyd. Os parâmetros adimensionais para entrada nos ábacos
são o esforço normal adimensionalizado η e o momento adimensionalizado µ; os resultados são em
termos da percentagem mecânica de armadura ω, válidos para CA-50.
cd
yds
cd
d
cd
d
f.h.b
f.A
;
f.h.b
M
;
f.h.b
N
=== ωµη 2
Os ábacos são obtidos com o arquivo “FlexãoComposta-Ábaco”. Os ábacos adimensionais
definidos a seguir são apresentados no ANEXO (todos para aço CA-50):
• Seção TIPO 1 - Armadura simétrica com d’/h = 0,05 e As1 = As2 = 0,5 As (Ábaco
Adimensional 1)
Adimensional 2)
Adimensional 3)
Adimensional 4)
Adimensional 5)
• Seção TIPO 2 - Armadura simétrica com d’/h = 0,05 e armaduras divididas igualmente
nas quatro faces, As1 = As2 = As3 = As4 = 0,25As (Ábaco Adimensional 6)
• Seção TIPO 3 - Armadura simétrica com d’/h = 0,05, nas faces laterais, com As3 = As4
= 0,5As (Ábaco Adimensional 10)
• Seção TIPO 3 - Armadura simétrica com d’/h = 0,10, nas faces laterais, com As3 = As4
= 0,5As (Ábaco Adimensional 11)
• Seção TIPO 4 - d’/d = 0,05 – Seção Circular (Ábaco Adimensional 12)
• Seção TIPO 4 - d’/d = 0,10 – Seção Circular (Ábaco Adimensional 13)
2.2.3 Exemplo numérico resolvido
2100
41300006060
970
4670
41300006060
3600
22
,
,/.,.,f.h.b
M
;,
,/.,.,f.h.b
N
cb
d
cd
d
===−=
−
== µη
Seja verificar um pilar quadrado, conforme esquematizado na
figura ao lado, com dimensões de 60 cm x 60 cm, considerando o concreto
com fck = 30 MPa e aço CA-50. A armadura consiste em 24 barras de
diâmetro 20 mm, com d’= d’’= 6 cm.
Os esforços de cálculo são Nd = -3600 kN e Md = 970kN.m. A
aplicação direta da planilha de dimensionamento indica que este par de
esforços está na região segura do ábaco (ver abaixo).
Verificação, aplicando o Ábaco Adimensional 7:

21
Com este par de valores, encontra-se, por interpolação, no Ábaco, ω = 0,4.
Como: 2
71
15150
4130000606040
cm
,/
,/.,.,.,
A;
f.h.b
f.A
s
cd
yds
===ω ,
o que confirma que a armadura adotada (75,36 cm2
) é suficiente.
0
200
400
600
800
1000
1200
-10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000
Nd (kN)
Md(kN.m)
As=0
As dado
Nd,Md
2.2.4 Exemplos numéricos propostos
a) 20x60, d’=5cm, fck = 25 MPa, As3 = As4 = 0;
Ngk = -20 kN, Nqk = -30 kN, Mgk = 80 kNm, Mqk = 120 kNm. R: As = 24cm2
.
b) 20x80, d’=4cm, fck = 15 MPa, As3 = As4 = 0;
Nk = -1050 kN, Mk = 100 kNm. R: As = 10cm2
.
(Comparar com o resultado obtido no item 2.1.6, As = 11,56cm2
)
c) 25x60, d’=3cm, fck = 18 MPa, As3 = As4 = 0;
Ngk = -140 kN, Nqk = -217 kN, Mgk = 56 kNm, Mqk = 87 kNm. R: As = 7,6cm2
.
d) 25x60, d’=3cm, fck = 18 MPa, As3 = As4 = 0; Nd = -250 kN, Md = 175 kNm. R: As = 8,8cm2
.
e) 20x80, d’=3cm, fck = 22 MPa, As1 = As2 = 0;
Ngk = -500 kN, Nqk = -800 kN, Mgk = 80 kNm, Mqk = 115 kNm.
R: As = 17,3cm2
(16Ф12,5 mm)
f) 20x80, d’=5cm, fck = 20 MPa, As1 = As2 = 0;
Nk = 1000 kN, Mk = 200 kNm. R: As = 51,1cm2
.
Para atender à fissuração: As = 79,3cm2
(2 x 8 Ф25 mm c 10 = 80cm2
)
Tensão aproximada: MPacm/kN,
.,.,
,.
s 198819
8041151
15150 2
===σ (OK)
g) Seção circular, com d = 0,60m; fck = 25 MPa; d’= 0,06cm; Armadura = 8 Ф20 mm
Qual o Nd máximo para uma excentricidade e = 0,015 + 0,03.d= 0,033m
R: η−=η−=µ===ω .055,0).(
d
e
;169,0
4,125000.6,0
15,150.14,3.8
f.d
f.A
2
cd
2
yds
Pelo Ábaco 13: 036,0;648,0 =µ−=η ; =−=
4,1
25000
.6,0).648,0(N 2
d -4165 kN

22
3. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA
3.1. Cálculo pela formulação aproximada da NBR 6118
A figura abaixo define as notações empregadas para a verificação de uma seção retangular de
concreto, de dimensões b e h, submetida aos esforços de cálculo Nd, Mxd e Myd. A área total de aço é
igual a As = As1 + As2 + As3 + As4.
A NBR 6118, em seu item 17.2.5.2, pg.111, permite a verificação da flexão composta oblíqua
através da seguinte expressão de interação aproximada:
1=








+





αα
yy,Rd
y,Rd
xx,Rd
x,Rd
M
M
M
M
(no Estado Limite Último; ≤1 na verificação de segurança)
Onde:
MRd,x e MRd,y – componentes segundo os eixos x e y do momento admitido como resistente, para
o valor de esforço normal atuante NSd.
MRd,xx e MRd,yy – são os momentos resistentes segundo os eixos x e y, em flexão composta reta,
para o valor de esforço normal NSd .
α - fator que em geral pode ser tomado como α = 1,0 e no caso de seções retangulares, como
α = 1,2.
3.1.1. Exemplo numérico
Seja verificar um pilar retangular, dimensões de b = 40 cm,
h = 60 cm, considerando o concreto com fck = 25 MPa e aço CA-50. A
armadura consiste de 16 barras de diâmetro 20 mm, com d’= d’’= d’’’
= d’’’’ = 5 cm. Os esforços solicitantes de cálculo são Nd = -2400 kN;
Mxd = 300 kN.m e Myd = 220 kN.m.
A disposição das armaduras é indicada no esquema ao lado.
A verificação na flexão composta reta, com Nd = -2400 kN
fornece MRd,xx = 569 kN.m e MRd,yy = 388 kN.m.

23
A respectiva curva de interação, de acordo com o processo aproximado da NBR 6118, é
apresentada na figura a seguir. O par de esforços atuante se encontra na parte segura (interna) do
ábaco. A seguinte expressão deve ser empregada, em planilha EXCEL, para expressar MRd,y em
função de MRd,x:
( )
211
21
21
1
,/
,
xx,Rd
x,Rd,
yy,Rdy,Rd
M
M
.MM
























−=
Curva de Interação Aproximada na Flexão Oblíqua
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 100 200 300 400 500 600
M xd
Myd
Valores
admissíveis
Valores
dados
Analiticamente:
)OK(,,,
,,
970510460
388
220
569
300
2121
=+=



+



3.2. Cálculo exato.
A análise das curvas de interação encontradas na literatura indica que o critério proposto pela
NBR 6118 é adequado. O cálculo exato é possível através de programas de computador ou por um
processo iterativo bastante trabalhoso, em que vai se ajustando por tentativas a posição da linha neutra
e o ângulo por ela formado com os eixos X e Y. É possível também a aplicação dos ábacos de interação
encontrados na literatura (por exemplo, os conhecidos ábacos de Montoya).
O seguinte “site” da Universidade Federal do Paraná disponibiliza o programa OBLÍQUA, para
o traçado de curvas de interação na flexão composta oblíqua:
http://www.cesec.ufpr.br/etools/oe3/
(objetos educacionais, sistemas estruturais, concreto armado e protendido, “Oblíqua 1.0”)
O programa pode ser aplicado a seções de forma qualquer.
Como exemplo de comparação, analisa-se um pilar retangular, dimensões de b = 30 cm, h = 35
cm, considerando o concreto com fck = 25 MPa e aço CA-50. A armadura consiste de 4 barras de
diâmetro 20 mm nos cantos do pilar, com os d’ iguais a 5 cm. Os esforços solicitantes de cálculo são
Nd = -90,16 kN, MSxd = 48,5 kN.m e MSyd = 36,8 kN.m
388
366
324
272
APROXIMADO EXATO
202
109
569

24
A verificação na flexão composta reta, com Nd = -90,16 kN fornece MRd,xx = 85,0 kN.m e
MRd,yy = 70,0 kN.m.
Analiticamente, pela NBR 6118:
)OK(00,149,051,0
70
6,38
85
5,48
2,12,1
=+=



+



Com o programa OBLÍQUA se obtém a curva de interação exata, mostrada a seguir.
O par de esforços correspondente à formulação aproximada (Nd = -90,16 kN; MRd,xx = -48,5
kN.m e MRd,yy = 38,6 kN.m se encontra internamente à curva da formulação exata. A linha tracejada
representa a expressão aproximada de interação da NBR 6118. No caso analisado a formulação
aproximada forneceu valores bastante mais seguros do que a formulação exata.
3.3. Exemplos numéricos propostos
a) 30x50, d’= 3cm, fck = 20 MPa, As1 = As2 = As3 = As4 ; As = 37,68 cm2
(12 Ф 20 mm)
Nk = -1000 kN, Mxk = 80 kNm, Myk = 100 kNm.
R: )Ábaco(,);Ábaco(,;,;, xx 728206306076406530 ===−= µµωη
MRdxx = 328 kNm, MRdyy = 181 kNm; 0,28+0,73=1,01 (~OK, passa no método exato)
b) 60x20, d’= 3cm, fck = 22 MPa, As3 = As4 = 0 ; As =21,98 cm2
(28 Ф 10 mm)
Nk = -1000 kN, Mxk = 30 kNm, Myk = 100 kNm.
R: )10(172,0);3(202,0;507,0;742,0 ÁbacoÁbaco yx ===−= µµωη
MRdxx = 76,4 kNm, MRdyy = 195 kNm; 0,49+0,67=1,16 (Não OK, passa no método exato)

25
4. CRITÉRIOS DE PROJETO DE PILARES
4.1. Cargas atuantes nos pilares de edifícios.
4.1.1. Ações a considerar
A NBR 6118, em seu item 11.2.1 (pg. 51), define que deve ser considerada a influência de
todas as ações que possam produzir efeitos significativos para a segurança estrutural, levando-se em
conta todos os possíveis estados limites últimos e de serviço, de acordo com as normas e das condições
peculiares a cada edificação.
Simbolicamente, as ações em uma estrutura de concreto armado podem ser expressas como:
p = g + q + ε (carga total = carga permanente + carga variável + carga devida a deformações
próprias e impostas)
A NBR 6120 define as cargas gravitacionais para o cálculo de estruturas de edificações. Outras
normas brasileiras de cargas podem ser citadas, como a NBR 6123 para as ações de vento. No caso de
obras industriais, deve ser considerado o peso dos equipamentos a serem instalados na edificação e as
cargas variáveis que poderão ocorrer durante as diferentes fases de montagem, operação e manutenção
da instalação. Na avaliação das cargas variáveis, estas devem ser consideradas as suas posições mais
desfavoráveis.
Cargas durante as fases construtivas devem ser verificadas, inclusive os esforços decorrentes da
montagem de peças pré-moldadas e os que apareçam durante a fase de escoramento.
Cargas excepcionais são também previstas no item 11.5, pg. 57, da NBR 6118 (impacto,
tornados, etc.), devendo ser consideradas se exigências específicas de segurança forem definidas no
projeto de uma determinada estrutura ou quando definidas por Norma Brasileira específica. A Norma
Brasileira NBR 15421 define as cargas sísmicas a serem consideradas no projeto estrutural de
edifícios.
4.1.2. Engastamento das vigas em pilares extremos
De acordo com o item 14.6.7.1 da NBR 6118, pg.82, caso não for realizado o cálculo analítico
exato da influência da solidariedade das vigas com os pilares de extremidade, o momento negativo
mínimo a ser considerado na viga, é avaliado em função do momento de engastamento perfeito e das
relações entre a rigidez da viga, do pilar abaixo e do acima do apoio:
• Momento na viga:
supinfvig
supinf
engvig
rrr
rr
.MM
++
+
= ri = Ii / Li (inércia/comprimento)
• Nos pilares acima e abaixo do apoio aplicam-se os momentos correspondentes que
equilibram o nó:
supinfvig
sup
engsup
rrr
r
.MM
++
=
supinfvig
inf
enginf
rrr
r
.MM
++
=
Na avaliação da rigidez dos pilares, toma-se como comprimento efetivo a metade de seu
comprimento real, conforme Fig. 14.8, pg. 83, da Norma.

26
4.1.3 Imperfeições geométricas
As construções de concreto são intrinsecamente imperfeitas. No caso de estruturas reticuladas
existem, por exemplo, imperfeições geométricas na posição e na forma dos elementos estruturais, na
forma e dimensões das seções transversais e no posicionamento das armaduras. Muitas destas
imperfeições são cobertas pelos coeficientes de ponderação. Não é este o caso das imperfeições nos
eixos dos pilares, que devem ser explicitamente consideradas no cálculo.
De acordo com a NBR 6118, item 11.3.3.4, pg.54, as imperfeições geométricas, para efeito de
cálculo, podem ser divididas em imperfeições globais e locais.
4.1.3.1 Imperfeições geométricas globais
O desaprumo dos elementos verticais de um prédio deve ser considerado, conforme a figura:
Onde:
θ1 min= 1/400 em estruturas de nós fixos;
θ1 min= 1/300 em estruturas de nós móveis;
θ1 max= 1/200
Os efeitos do desaprumo correspondem, do ponto de vista numérico, a considerar, em cada
pavimento, uma carga horizontal igual ao somatório das cargas verticais aplicadas a cada piso,
vezes θa. Os efeitos do desaprumo não necessitam ser superpostos aos de vento, podendo ser
considerados os efeitos mais desfavoráveis entre os dois.
4.1.3.2 Imperfeições geométricas locais
A figura abaixo ilustra os momentos que são introduzidos em um trecho de pilar por uma
imperfeição geométrica localizada (ver item 15.4.3, pg. 91, da NBR 6118).

27
O elemento de travamento pode ser a laje de piso funcionando como diafragma.
O efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas
pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem igual a:
)h.,,(NM dmin,d 03001501 +=
Onde h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. A este
momento devem ser acrescentados os momentos de 2ª ordem, quando for o caso.
4.2 Classificação das estruturas relativamente a sua deformabilidade horizontal
4.2.1 Contraventamento
Em todo edifício deve ser definido um sistema estrutural que resistirá às solicitações
horizontais como as de vento. Estes sistemas são chamados de sistema de contraventamento, e são
compostos pelos elementos da estrutura com maior rigidez relativamente às forças horizontais. Em
edifícios de concreto armado, estes sistemas são compostos por pórticos (compostos por pilares e
vigas) e/ou por pilares-parede (presentes, por exemplo, em caixas de elevadores e escadas). A
distribuição das forças horizontais entre os diversos elementos de um sistema de contraventamento é
feita proporcionalmente à rigidez de cada um destes elementos relativamente às forças horizontais,
usualmente através de um modelo analisado com um programa de análise estrutural.
Os pilares não pertencentes aos sistemas de contraventamento, são chamados de pilares
contraventados. Estes pilares devem estar adequadamente fixados aos sistemas de contraventamento.
As estruturas de contraventamento podem ser classificadas como de nós fixos e de nós móveis
conforme definido no item 15.4.2 da NBR 6118, pg. 91.
4.2.2 Estruturas de nós fixos e de nós móveis
As estruturas podem ser classificadas como de nós fixos quando os deslocamentos horizontais
dos nós são relativamente pequenos. Neste caso, os efeitos globais de 2ª ordem podem ser desprezados
(devendo ser inferiores a 10% dos esforços de 1ª ordem). Nestas estruturas devem, no entanto, ser
considerados os efeitos locais de 2ª ordem.
As estruturas que não atenderem à condição definida acima são classificadas como de nós
móveis, devendo ser projetadas considerando-se esforços globais e locais de 2ª ordem.
A NBR 6118, em seu item 15.5, pg. 92, apresenta dois critérios para a avaliação se uma
determinada estrutura pode ser classificada como de nós fixos.
4.2.2.1 Critério do parâmetro de instabilidade
Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como de nós fixos, se α ≤ α1, sendo:
)I.E/(N.H Ccsktot=α
n,, 10201 +=α se n ≤ 3;
7060501 ,;,;,=α se n ≥ 4, para estruturas de contraventamento em edifícios compostas,
respectivamente, somente por pórticos; associações de pórticos e pilares-parede; e somente pilares-
parede.
n – número de andares acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo;
Htot – altura total da estrutura em metros, medida a partir do mesmo nível de referência;
Nk – valor característico da soma de todas as cargas verticais atuantes na estrutura, também
computadas acima do mesmo nível de referência;
Ic – inércia de um pilar equivalente, com seção constante, engastado na base e livre no topo,
com comprimento igual a Htot, que quando submetido à combinação de cargas preponderante para o
projeto da estrutura, forneça o mesmo deslocamento horizontal no topo.
Ecs – módulo de elasticidade secante do concreto, conforme definido no item 1.4;

28
4.2.2.2 Critério do coeficiente γz
É definido um coeficiente γz de importância dos esforços de segunda ordem globais, a ser
aplicado para estruturas reticuladas de no mínimo quatro pavimentos. Para uma determinada
combinação de cargas:
d,tot
d,tot
z
M
M∆
γ
−
=
1
1
Mtot, d – momento de tombamento, soma dos momentos provocados por todas as forças
horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura;
∆Mtot, d – acréscimo de segunda ordem no momento de tombamento, soma dos momentos
correspondentes aos produtos das forças verticais da combinação considerada, com seus valores de
cálculo, vezes os deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos em uma
análise de 1ª ordem.
Nesta avaliação, os seguintes valores de rigidez para os elementos estruturais devem ser
tomados:
- Vigas: (EI)sec = 0,4 . Eci . Ic (caso usual em que as armaduras das vigas não são simétricas);
- Pilares: (EI)sec = 0,8 . Eci . Ic
Nestas definições, Eci é módulo de elasticidade tangente do concreto, definido no item 1.4. e Ic
é o momento de inércia da seção bruta do concreto. Se a estrutura de contraventamento for composta
exclusivamente por pilares e vigas e γz ≤ 1,3, permite-se calcular a rigidez de vigas e pilares com:
- (EI)sec = 0,7 . Eci . Ic
Se γz ≤ 1,1 , a estrutura é considerada como de nós fixos. Deve ser evitada uma situação em que
γz > 1,3 , o que indica uma deformabilidade excessiva da estrutura. Neste caso, análises muito
complexas, envolvendo análises não-lineares física e geométrica devem ser aplicadas, tendo em vista
que os métodos simplificados aceitos pela Norma não poderão ser aplicados.
4.2.2.3 Exemplo: análise dos efeitos globais de segunda ordem em um prédio
- Critério do parâmetro de instabilidade
q = 1 kN/m2
. 30 m = 30 kN/m
30m 20x3m= Nk = 10 kN/m2
. 20 pav. 10m . 30m = 60000kN
H=60m Supondo na cobertura o deslocamento δ= 0,06m
ccs
4
I.E.8
H.q
=δ ; fck = 25 MPa ; Ecs = 23800MPa
10m 1kN/m2
Ic = 34 m4
( ≈2x0,20mx10m); Ecs.Ic = 8,1.108
kN.m2
PLANTA VISTA )4n(5,0516,0
10.1,8
60000
.60 18
≥=α>==α - Não OK!
- Critério do coeficiente γz
m.kN5143
490.2
60.60000.4,1
.NM;
490
1
2
311
.
400
1
;
400
1
;
774
1
60100
1
globaissgeométricaperfeiçõesIm
fixosnós1,1042,1
7560030621
1
;m.kN75600
2
60.30
.4,1
2
H.q
.M
m.kN306220729,0.60000.4,1.N.4,1M
m0729,0
8235,0
06,0
I.E.8235,0I.7,0.
85,0
E
EI
medddAmin,11
z
22
fd,tot
medkd
ccsc
cs
sec
==δ==
+
=θ=θ==θ
−
−≤=
−
=γ==γ=
=≅δ≅∆
==δ∴==

29
4.3 Métodos de análise dos efeitos de 2a
ordem
4.3.2 Flambagem elástica
Considere-se uma barra bi-rotulada de comprimento l, submetida a uma força de compressão P,
com excentricidade e. A barra tem liberdade para se deslocar horizontalmente. O sistema de eixos XY
está posicionado na posição final deformada da barra. δ é o deslocamento máximo, na posição final
deformada, do ponto do centro do eixo.
Em x =l /2 deve-se ter δ=)/l(y 2 , o que leva a:
2
2
1
kl
cos
)
kl
cos(e −
=δ e
2
1
kl
cos
)kxcos(e
y
−
=
Verifica-se então que, mesmo para valores infinitesimais de excentricidade e, a deformada fica
instável (o que se chama de flambagem elástica) para valores de 0
2
=
kl
cos , ou seja,
2
12
2
π
)n(
kl
+= .
Na prática, só há interesse no valor n = 0, o que leva a π=kl .
Como
EI
P
k =2
, 2
2
l
EI
Pcrit
π
= , sendo Pcrit o valor da força normal que leva à instabilidade.
Pode também ser definida uma tensão de instabilidade:
2
2
2
2
λ
ππ
σ
E
)i/l(
E
A
Pcrit
crit === , sendo i o raio de giração na direção considerada,
A
I
i = e λ o
índice de esbeltez
i
l
=λ .
Os índices de esbeltez λ, no caso particular de seções retangulares, nas duas direções, são
definidos como:
Nas seções circulares:
d
l
.4
i
l
;
d.
4
.
64
d.
i ee
x2
4
==λ
π
π
=
A relação momento-curvatura da Resistência dos
Materiais pode ser escrita na forma abaixo, sendo o sinal do
momento definido de forma a ter compatibilidade com o
sinal da curvatura:
)ye.(PM
dx
yd
EI −+=−= δ2
2
ou:
).(22
2
2
δ+=+ ekyk
dx
yd
com
EI
P
k =2
A solução é da forma abaixo, que pode ser verificada
por substituição:
)kxcos).(e(y −+= 1δ

30
A flambagem no concreto armado não é somente geométrica, envolve também a não
linearidade física.
4.3.3 Índice de esbeltez
Para efeito da aplicação da NBR 6118, os trechos de pilar são considerados como bi-rotulados:
Na definição do comprimento equivalente le é considerada a situação geométrica abaixo:
4.3.4 Análise de estruturas de nós fixos e de nós móveis.
Nas estruturas de nós fixos, todos os elementos podem ser analisados como isolados, ou seja,
como vinculados aos elementos estruturais que concorrem em suas extremidades. Aos efeitos de 1ª
ordem determinados em uma análise estrutural convencional, devem ser somados os efeitos locais de
2ª ordem, conforme explicitado a seguir. Os efeitos localizados de 2ª ordem surgirão em pilares
parede.
Nas estruturas de nós móveis, aos efeitos de efeitos de 1ª ordem devem ser somados os efeitos
globais e locais de 2ª ordem. Nos casos em que γz ≤ 1,3 , os efeitos globais de 2ª ordem podem ser
avaliados através da multiplicação dos efeitos de 1ª ordem por 0,95.γz. A estes efeitos majorados
devem ser somados os efeitos locais de 2ª ordem, da mesma forma que é feito para as estruturas de nós
fixos.

31
4.3.5 Análise dos pilares em função de sua esbeltez
Os métodos de cálculo aplicáveis aos pilares, dependem de seu índice de esbeltez em cada uma
das duas direções. Os métodos simplificados prescritos pela NBR 6118 pressupõem pilares de seção
constante e armadura constante ao longo do eixo.
4.3.5.1 Pilares curtos: λ ≤ λ1
O parâmetro λ1 depende do valor dos momentos presentes nas extremidades do pilar, variando
entre os limites de 9035 1 ≤≤ λ .
Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice
de esbeltez em uma direção for inferior ao valor limite λ1:
b
h/e.,
α
λ 1
1
51225+
= , onde: 9035 1 ≤≤ λ e e1 é a excentricidade de 1ª ordem:
N
M
e A
=1
Os valores de bα são avaliados como:
a) Para pilares biapoiados sem cargas transversais:
400400600001 ,
M
M
.,,,
A
B
b ≥+=≥α
Onde MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, na direção considerada.
Considerar que MA é o momento de maior valor absoluto e que os dois momentos têm o mesmo sinal
quando tracionarem o mesmo lado do pilar.
Definição do parâmetro αb
0
0,5
1
-1 -0,5 0 0,5 1
β=MB/MA
αb
NB-1
Teórico
AbCBA M.MMM α=≥
b) Para pilares bi-apoiados com cargas transversais significativas ao longo de seu
comprimento:
001,b =α
c) Para pilares em balanço:
850200800001 ,
M
M
.,,,
A
B
b ≥+=≥ α
d) Para pilares em que os momentos de 1ª ordem são menores que o momento mínimo
definido no item 5.1.3.2:
001,b =α

32
Neste último caso, a verificação à flexão oblíqua pode ser substituída por duas verificações de
flexão composta reta, considerando-se o momento máximo em uma direção simultaneamente com o
momento nulo na outra, e vice-versa. Considerar, neste caso, que a excentricidade adicional não
ocorrerá com seu valor máximo simultaneamente nas duas direções.
4.3.5.2 Pilares medianamente esbeltos: λ1 ≤ λ ≤ 90
Para estes pilares, considerando que tenham seção constante e armadura simétrica constante ao
longo de seu eixo, dois métodos aproximados baseados no pilar-padrão podem ser empregados, ver
NBR 6118, item 15.8.3.3, pg.96.
4.3.5.2.1 O Pilar-Padrão
Seja o pilar representado na figura a seguir. No pilar padrão, a linha deformada real á
substituída pela senóide definida como:






=
e
max
l
x.
sen.y)x(y
π
Da Geometria Diferencial, para pequenas deformações, a curvatura do pilar deformado é dada
aproximadamente por:






=
∂
∂
=
e
max
e
l
x.
sen.y
lx
y
r
ππ
2
2
2
2
1
, ou max
emax
y
lr 2
2
1 π
= , ou
max
e
max
r
.
l
y
1
2
2
π
=
r

33
4.3.5.2.2 Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada
A NBR 6118 considera, neste método, um momento de segunda ordem igual a Nd.ymax.
Arredondando-se π2
para 10, o momento total máximo no pilar pode ser calculado pela expressão:
{ }MIN,dA,d
e
dA,dbtot,d MeM
r
.
l
.NM.M 11
2
1
1
10
≥+= α
O valor da curvatura 1/r na seção crítica é avaliado pela expressão aproximada:
h
,
),.(h
,
r
0050
50
00501
≤
+
=
ν
(estas duas condições prevalecem quando, 50,≥ν e 50,≤ν )
Nestas expressões, h é a altura da seção na direção considerada e )f.A/(N cdcSd=ν .
4.3.5.2.3 Método do Pilar-Padrão com rigidez κ aproximada
Este método busca uma avaliação mais precisa para a curvatura.
De acordo com o item 15.3.1 da NBR 6118, pg. 89, a rigidez secante (EI)sec é definida como a
relação entre momento e curvatura, para um certo nível de força normal:
r/
M
)EI( Rd
sec
1
=
A Norma define a rigidez secante adimensionalκ como:
cd
Rd
cdc
sec
f.h.b).r/(
M
fhA
)EI(
32
1
==κ , já que Ac é a área de concreto (válido para pilares retangulares)
O momento total máximo no pilar, incluindo os efeitos de 2ª ordem pode ser calculado a partir
da majoração do momento de 1ª ordem pela expressão:
{ }MIN,d1A,d12
A,d1b
tot,d MeM
/120
1
M.
M ≥
νκ
λ
−
α
=
O valor da rigidez adimensional aproximada κ é dado pela expressão:
νκ .
N.h
M
..
d
tot,d






+= 5132 , sendo )f.A/(N cdcSd=ν .
As grandezas têm o mesmo significado definido acima. Nd entra com sinal positivo na
compressão.
A substituição de segunda equação na primeira conduz a uma equação de segundo grau tendo
como incógnita Md, tot:
A (Md, tot)2
+ B (Md, tot) + C = 0
dbddb
ed
d MhNCMh
lN
NhBhA 1
2
1
2
2
..;..5
320
.
.;.5 αα −=−−==
Com isso, é evitado o cálculo interativo citado pela NBR 6118.
No caso de pilares submetidos à flexão composta oblíqua, a aplicação do Método do Pilar-
Padrão com curvatura aproximada não é permitida. O Método do Pilar-Padrão com rigidez κ
aproximada pode ser aplicado simultaneamente nas duas direções, quando λ≤ 90.

34
4.3.5.3 Pilares esbeltos (90 ≤λ≤ 140)
Para estes pilares é obrigatória a consideração da fluência, de acordo com o item 15.8.4, pg. 98,
da NBR 6118. É permitido o uso do pilar padrão melhorado, conforme o item 15.8.3.3.4 da Norma.
O roteiro de cálculo abaixo deve ser seguido, de acordo com o item 15.3.1 da NBR 6118. É
reproduzida a seguir a Figura 15.1 da NBR 6118, que ilustra o procedimento recomendado.
As relações entre momento e curvatura são obtidas, por exemplo, pelo programa M-K-UFRJ,
desenvolvido pelo Engº Fábio Orsini, com base nos diagramas tensão-deformação do concreto e do
aço definidos na NBR 6118, conhecidas as resistências de cálculo do concreto e do aço, as armaduras e
as dimensões da seção transversal.
A curva tracejada, obtida com os valores de cálculo usuais das resistências do concreto e do
aço, é utilizada para definir o momento fletor resistente MRd em função de NSd. A curva cheia é obtida
substituindo-se a resistência do concreto 0,85 fcd por 1,1 fcd, para a força normal de cálculo igual a
NSd/1,1. A rigidez secante é obtida na segunda curva para o momento de cálculo igual a MRd/1,1. A
curva cheia AB, a favor da segurança é linearizada pela reta AB.
A rigidez secante adimensional κ e o momento total no pilar são, conforme já definido:
r/
M
)EI( Rd
sec
1
= ;
cd
2
c
sec
fhA
)EI(
=κ ; { }MIN,d1A,d12
A,d1b
tot,d MeM
/120
1
M.
M ≥
νκ
λ
−
α
=
A fluência é considerada através de uma excentricidade adicional ecc, a ser adicionada à
excentricidade de primeira ordem e1 , conforme definido a seguir:
2
e
cci
e
I10E
N
l
= ; a
Sg
Sg
1
NN
N
1cc eou
N
M
e;1718,2.ee Sge
Sg
=








−=
−
ϕ
, conforme o caso analisado;
ea é excentricidade devida a imperfeições locais, conforme Figura 11.2 da NBR 6118
(excentricidade que define o momento mínimo);
Msg e Nsg são os esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente, ver Tabela 11.4,
pg.62 da NBR 6118;
ϕ é o coeficiente de fluência; tem sido correntemente tomado igual a 2,00.
Ic é a inércia da seção na direção considerada.
A consideração do efeito de 2a
ordem deve ser feita conforme os procedimentos já descritos,
sendo a excentricidade de primeira ordem e1 previamente acrescida de ecc.
4.3.5.4 Pilares muito esbeltos (140 ≤ λ ≤ 200)
Para estes pilares é também obrigatória a consideração da fluência, de acordo com o item
15.8.4 da NBR 6118. O método geral, descrito no item 15.8.3.2 da Norma deve ser seguido. A análise
dos pilares muito esbeltos transcende os objetivos deste curso.

35
4.4 Pilares-parede.
Os pilares-parede são aqueles em que a maior dimensão excede cinco vezes a menor.
4.4.2 Dispensa de análise dos efeitos de 2ª ordem.
De acordo com o item 15.9.2 da NBR 6118, pg. 99, em cada trecho do pilar parede pode ser
verificada a dispensa para a verificação dos efeitos de 2ª ordem se:
- a base e o topo de cada trecho estiverem convenientemente fixados às lajes do edifício e se
estas conferirem ao conjunto o efeito de diafragma horizontal;
- a esbeltez λi de cada trecho, avaliada de acordo com a expressão a seguir, for inferior a 35:
i
ei
i
h
l
.,463=λ , sendo:
hi a espessura da peça e lei o comprimento equivalente, avaliado conforme definido nas figuras
abaixo:
Se o topo e a base puderem ser considerados como engastados e 1≤bl , os valores de λi podem
ser multiplicados por 0,85.
4.4.3 Processo aproximado para avaliação dos efeitos de 2ª ordem.
Os trechos de pilares-parede em que 90≤iλ pode ser aplicado o procedimento aproximado
aqui descrito.
Os efeitos de 2ª ordem podem ser considerados decompondo-se os pilares-parede em faixas
verticais de comprimento ai, que serão analisadas como pilares isolados, submetidos aos esforços Ni e
Myid, sendo:
ai ≤ 3h ≤ 100 cm
yidN é a resultante das forças verticais na faixa i, determinada a partir da força linear )x(nd , que
é avaliada em função de Nd e M1xd. Os valores extremos de )x(nd são avaliados como:
max,dn , min,dn = 2
16
b
M
b
N xdd
±

36
min,diydyid Ma.mM 11 ≥= é o momento fletor atuante na faixa i; b/Mm ydyd 11 = é o momento por
metro atuando na direção yy.
min,dM1 é o momento mínimo, já para a faixa considerada como pilar isolado.
4.5 Verificação ao cisalhamento.
É apresentado o Modelo de Cálculo I, de acordo com a NBR 6118, item 17.4.2.2, pg. 122:
Os estribos dos pilares são horizontais (α = 900
).
A força cortante de cálculo máxima para efeito de compressão na biela (30°≤ θ ≤ 45°) é:
VRd2 = 0,27 (1- fck /250) fcd bw d
Armadura transversal na flexão simples:
CSdywd
sw
VVf.d.9,0.
s
A
−=
VC = 0 em elementos tracionados quando a linha neutra está fora da seção
VC = VC0 na flexão simples e flexo-tração, quando a linha neutra está na seção.
VC = VC0 (1 + M0 / Msd max) ≤ 2 VC0 na flexo-compressão.
VC0 = 0,6 fctd bw d
Msd,max é o valor do momento fletor de cálculo máximo no trecho analisado
M0 é o valor do momento que anula a compressão na borda da seção tracionada por Msd, max,
calculada com γf = 1,0 :
6
0
h.N
M k
=
fctd = fctk,inf / γ c ; fctk,inf = 0,7 fct,m ; fct,m = 0,3 fck
2/3
(MPa)
Um exemplo de verificação a cisalhamento é apresentado no item 6.8. Utilizando este mesmo
exemplo, de forma que resulte em uma armadura menor que a mínima, considere-se VSd = 95 kN.
Para um estribo de 8 mm, têm-se Asw = 2.0,503 = 1,006 cm2
(duas pernas).
CSdywd
sw
VVf.d.9,0.
s
A
−=
m082,0
3,4295
15,150.11,0.9,0.006,1
s =
−
=
Estribo de 8 mm cada 7,5 cm.

37
5. DETALHAMENTO DOS PILARES E PILARES-PAREDE
5.1. Cobrimentos
As armaduras devem ser protegidas contra a corrosão durante a vida útil de uma estrutura. A
proteção das armaduras é função da qualidade do concreto (compacidade e impermeabilidade) e da
espessura dos cobrimentos. Observar que na definição da espessura do cobrimento devem-se
considerar as barras efetivamente mais externas da armadura, incluindo a eventual presença de
estribos, armaduras secundárias ou construtivas.
A compacidade do concreto depende da trabalhabilidade do concreto por ocasião de seu
lançamento e dos cuidados tomados no lançamento e na vibração. A impermeabilidade depende da
definição do fator água-cimento, adequado a cada construção e da dosagem do concreto, incluindo a
eventual utilização de aditivos e do adequado processo de cura.
As armaduras são protegidas da corrosão causada pela agressão de agentes externos nocivos,
mecanicamente, pela espessura do cobrimento e quimicamente, pelo fenômeno da passivação do aço.
Esta decorre da grande alcalinidade do concreto. Neste ambiente, é formada na superfície das barras de
aço, uma película passivadora, formada por uma camada microscópica de óxido de ferro, que impede a
corrosão. Existem dois mecanismos principais iniciadores da corrosão das armaduras:
- Despassivação do concreto por carbonatação, que é a despassivação da armadura pela ação do
gás carbônico da atmosfera sobre a armadura. O hidróxido de cálcio e outros reagem com o CO2
precipitando carbonato de cálcio. Aumenta com a relação água-cimento.
- Despassivação por ação de cloretos, que consiste na ruptura local da camada de passivação
por elevado teor de íon cloro.
A expectativa da despassivação do concreto a partir do cobrimento é de 2 cm em 50 anos e de
2,5 cm em 100 anos. Medidas preventivas consistem em dificultar o ingresso dos agentes agressivos ao
interior do concreto. O adequado cobrimento das armaduras e o controle da fissuração minimizam este
efeito.
A definição dos cobrimentos adequados a cada construção deverá, portando considerar
características específicas da obra e a agressividade do meio ambiente. Segundo a NBR 6118, item
7.4.7 (pg. 18), os cobrimentos a serem considerados na construção são os cobrimentos nominais
(cnom), sendo esta grandeza definida como:
cnom = ∆c + cmin
∆c é a tolerância de execução, igual a 10mm nas obras correntes.
cmin é o cobrimento mínimo a ser aceito na construção, definido pela Norma, em suas Tabelas
6.1 e 7.2, em função da classe de agressividade ambiental a que a estrutura está exposta. A Norma
define os seguintes valores para cnom (com cnom ≥ ø barra):
cnom = 20 mm (lajes) ou cnom = 25 mm (vigas ou pilares) - (Classe I – Peças submersas; peças
em zona rural; peças em zona urbana com ambientes internos secos: salas, dormitórios, banheiros,
cozinhas e áreas de serviço em edificações residenciais e comerciais ou em ambientes com concreto
revestido com argamassa e pintura; peças em zonas urbanas em regiões de clima particularmente seco,
conforme definição da Norma: umidade relativa média anual inferior a 65% e ambiente protegido da
ação direta da chuva).
cnom = 25 mm (lajes) ou cnom = 30 mm (vigas ou pilares) - (Classe II – Peças em zona urbana
não enquadradas na Classe I, como em ambientes internos úmidos ou com ciclos de molhagem e
secagem: vestiários, banheiros, cozinhas e lavanderias industriais e garagens; peças em zona marinha
ou industrial com ambientes internos secos: salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço
em edificações residenciais e comerciais; peças em zonas industriais em regiões de clima
particularmente seco).

38
cnom = 35 mm (lajes) ou cnom = 40 mm (vigas ou pilares) - (Classe III - Peças em zona marinha
ou industrial com ambientes internos úmidos ou com ciclos de molhagem e secagem: vestiários,
banheiros, cozinhas e lavanderias industriais e garagens).
cnom = 45 mm (lajes) ou cnom = 50 mm (vigas ou pilares) - (Classe IV – Peças em zona
industrial em ambientes quimicamente agressivos; peças sujeitas a respingos de maré).
As definições das diversas Classes encontram-se resumidas na tabela a seguir.
Outras condições climáticas
Clima
particularmente
seco
Ambientes internos secos ou
internos com revestimento
de argamassa e pintura
Ambientes
externos ou
internos úmidos
Peças submersas I I I
Zona rural I I I
Zona urbana I I II
Zona industrial II II III
Zona marinha III II III
Zona industrial com ambiente
particularmente agressivo.
IV III IV
Zona com respingos de maré IV IV IV
5.2. Fenômeno da aderência.
A viabilidade do concreto armado é assegurada pela aderência entre o concreto e o aço, que
impede o escorregamento da armadura com relação ao concreto que a envolve, assim como garante a
transferência de forças e tensões entre os dois materiais. A aderência tem basicamente três parcelas:
adesão, por atrito e mecânica.
A aderência entre o aço e o concreto é medida experimentalmente, em ensaios de arrancamento
de barras de aço de um bloco de concreto.
Considera-se, por simplicidade, que ocorra uma distribuição simplificada uniforme, de tensões
de aderência fbd, entre o concreto e o aço. Supondo que o comprimento de ancoragem é lb, e que haja
ruptura simultânea por escoamento da barra e por aderência da barra no concreto, pode-se escrever a
expressão:
bdbyd
2
f).l..(f.
4
.
φπ=
φπ
ou
bd
yd
b
f.4
f.
l
φ
=
Os valores a serem tomados para fbd são definidos no item 9.3.2.1 (pg. 32) da NBR 6118:
fbd = η1 η2 η3 fctd

39
Os valores a serem tomados para η1 são de 1,0 , 2,25 e 1,4 , respectivamente para os aços CA-
25, CA-50 e CA-60; os valores a serem tomados para η2 são de 1,0 e 0,7 , respectivamente para
situações de boa e má aderência; os valores a serem tomados para η3 são de 1,0 para bitolas até 32 mm
e de η3 = (132 - φ)/ 100 para bitolas φ superiores a 32 mm. Pode-se definir fctd pelas expressões do item
8.2.5, pg. 22, da Norma:
fctd = fctk,inf / γ c fctk,inf = 0,7 fct,m fct,m = 0,3 fck
2/3
(MPa)
5.3. Zonas de boa e má aderência
Todas as barras devem ser ancoradas no concreto para garantir que possam resistir, com
segurança, aos esforços para as quais foram calculadas. Além das características das barras, a
qualidade do concreto na zona de ancoragem é também importante para se garantir uma boa aderência.
A NBR 6118 identifica duas situações distintas (zonas de boa e de má aderência), para a consideração
da aderência entre o aço e o concreto. Estas duas situações estão associadas a condições mais ou
menos favoráveis para a vibração e o adensamento do concreto, reconhecendo-se que, no caso de
peças concretadas horizontalmente, a perda de água durante a pega (exudação) é mais intensa nas
regiões superiores das peças (ver NBR 6118, item 9.3.1, pg. 31).
São consideradas como pertencentes às zonas de boa aderência as barras com inclinação não
inferior a 450
com a horizontal e as barras com inclinação inferior a 450
com a horizontal, localizadas a
não mais de 30 cm da face inferior da peça ou junta de concretagem (peças com menos de 60 cm) ou a
mais de 30 cm da face superior (peças com mais de 60 cm). As demais são consideradas como
pertencentes às zonas de má aderência. As barras verticais dos pilares e pilares-parede podem,
portanto, ser sempre consideradas como pertencentes a zonas de boa aderência.
5.4. Ancoragem
Todas as barras devem ser ancoradas no concreto para garantir que possam resistir, com
segurança, às forças que as solicitam. O mecanismo de transmissão de forças do aço para o concreto
introduz tensões de tração transversais no concreto é esquematizado na figura abaixo:
Estes esforços transversais tendem a destruir a ligação existente entre os dois materiais,
prejudicando a eficiência da ancoragem. Esta pode ser então melhorada, com a redução da fissuração
transversal, pela presença de compressão transversal (por exemplo, nas zonas de apoio das bielas
inclinadas de compressão do concreto), por um cintamento helicoidal ou por uma armadura transversal
de costura.
O comprimento de ancoragem é de (NBR 6118, item 9.4.2.5, pg. 35):
lb,nec = α1 lb As calc /As,ef ≥ lb,min onde:
bd
yd
b
f.4
f.
l
φ
=
O comprimento de ancoragem básico lb pode, então, ser reduzido na relação entre a área de
armadura calculada As calc e a área existente As,ef . O comprimento de ancoragem adotado lb,nec não
pode ser, no entanto, inferior a lb,min que é o maior entre os valores: 0,3 lb, 10φ e 10cm.
A presença de ganchos padronizados permite a aplicação do coeficiente α1, no comprimento de
ancoragem, igual a (1,0 ou 0,7) nos casos respectivamente da ausência de ganchos, ou na sua presença
com cobrimento mínimo no plano normal ao do gancho, de 3φ.
Nos casos das barras de alta aderência, age basicamente a ancoragem mecânica nas nervuras,
que não é destruída pelo incipiente escorregamento longitudinal, impedido pela ação dos ganchos.
Nestes casos, os ganchos são menos importantes. As ancoragens nos estribos são garantidas através de
seus ganchos.

40
As barras comprimidas serão ancoradas com barras sem ganchos, prejudiciais nestes casos,
pelas concentrações de tensões que introduzem nas extremidades das barras. O comprimento de
ancoragem é o mesmo das barras tracionadas. Esta definição de norma é conservadora, já que na
ancoragem de barras comprimidas, existe maior integridade do concreto, em virtude da compressão no
sentido longitudinal da ancoragem e pela resistência na ponta das barras. Esta pode ser significativa,
pois a resistência do concreto carregado em áreas parciais pequenas atinge valores elevados.
As trações transversais presentes ao longo do comprimento de ancoragem devem ser
consideradas, exceto quando houver compressão suficiente no concreto na zona de ancoragem, o que é
o caso de ancoragens comprimidas transversalmente por reações de apoio. Podem-se considerar estas
trações como resistidas pelo próprio concreto, desde que haja um cobrimento mínimo da barra
ancorada de 3φ e que a distância entre as barras ancoradas seja pelo menos igual a 3φ (NBR 6118, item
9.4.1.1, pg. 33). Caso contrário, para barras de diâmetro inferior a 32 mm, deve ser disposta armadura,
ao longo do comprimento de ancoragem, capaz de resistir a 25% do esforço ancorado em uma das
barras. Todas as barras transversais à região de ancoragem, como os estribos, podem ser computadas
nesta armadura. Para barras de diâmetro igual ou superior a 32 mm, o item 9.4.2.6.2 da Norma (pg. 35)
deve ser consultado.
5.5. Emendas por traspasse
Da mesma forma que para as ancoragens, as emendas por traspasse introduzem tensões de
tração transversais no concreto:
Estas tensões são maiores nas barras de maior diâmetro. Não são permitidas emendas por
traspasse para bitolas maiores que 32 mm nem em tirantes ou pendurais. Os comprimentos de emenda
são determinados com as mesmas hipóteses e tem os mesmos valores numéricos dos comprimentos de
ancoragem. No entanto, devido ao efeito prejudicial das tensões transversais, mais ou menos críticas
em função do arranjo das emendas, ou seja, da distância entre elas e da percentagem das barras
emendadas em uma única seção, é introduzido um fator α0t, definido na Tabela 9.4 da Norma, abaixo
parcialmente reproduzida, que majora os comprimentos de ancoragem.
O comprimento de traspasse de barras tracionadas é de (NBR 6118, item 9.5.2.2.1, pg. 40):
l0t = α0t lb,nec ≥ l0t min onde lb,nec tem a mesma definição dada para as ancoragens
O comprimento de traspasse adotado l0t não pode ser inferior a l0t min , que é o maior entre os
valores: 0,3 α0t lb, 15φ e 20cm. No caso das barras terem diâmetro diferente, o comprimento de
traspasse deve ser calculado pela barra de maior diâmetro. Nos casos usuais em que o carregamento é
predominantemente estático, a porcentagem máxima de barras emendadas em uma única seção é
definida na Tabela abaixo:

41
As barras comprimidas podem ser todas emendadas em uma única seção. O comprimento de
traspasse de barras comprimidas é de (NBR 6118, item 9.5.2.3, pg. 40):
l0C = lb,nec ≥ l0C min
O comprimento de traspasse adotado l0C não pode ser inferior a l0C min, que é o maior entre os
valores: 0,6 lb, 15φ e 20 cm.
Deverá sempre haver armadura transversal às emendas por traspasse. No caso usual em que a
percentagem de barras emendadas em uma mesma seção for maior ou igual que 25%, esta armadura
deverá ser capaz de resistir a uma força igual à de uma barra emendada. Esta armadura deverá ser
distribuída nos terços extremos das emendas, com espaçamento máximo de 15 cm.
A armadura deverá ser fechada, se a distância livre entre as duas barras mais próximas de duas
emendas em uma mesma seção for menor ou igual que 10φ. Adicionalmente, nas emendas de barras
comprimidas, uma das barras transversais, em cada lado da emenda, deverá estar posicionada 4φ além
de cada extremidade da emenda (ver NBR 6118, itens 9.5.2.4.1 e 9.5.2.4.2, pg. 41).
5.6. Detalhamento dos pilares
• NBR 6118, item 18.4.1, pg. 136 - Nos pilares, a maior dimensão não excederá cinco vezes a
menor.
• Item 13.2.3, pg.66 - a menor dimensão dos pilares e pilares-parede não será inferior a 19 cm.
Excepcionalmente, dimensões entre 12 cm e 19 cm podem ser utilizadas, devendo ser aplicado
o coeficiente adicional de cargas γn. Em nenhum caso o pilar poderá ter seção transversal
inferior a 360 cm2
.
• Item 17.3.5.3, pg. 119 - A percentagem mínima de armadura dos pilares é de:
As, min = (0,15 Nd /fyd) ≥ 0,004 Ac
• A percentagem máxima de armadura é de 8% da seção real de concreto, inclusive no trecho das
emendas, o que na prática limita esta percentagem a 4%.
• Item 18.4.2, pg. 136 - a armadura longitudinal deve ter bitola de pelo menos 10 mm, não
superior a 1/8 da menor dimensão da seção transversal. No contorno dos pilares, a armadura
vertical deverá ter espaçamento máximo de 40 cm e de duas vezes a menor dimensão no trecho
considerado; o espaçamento mínimo livre entre as faces das barras, inclusive na região das
emendas, será o maior valor entre 2 cm, o diâmetro da barra e 1,2 vezes o diâmetro do
agregado graúdo. Os estribos cobrirão toda a altura do pilar, inclusive a região de cruzamento
com as vigas. Seus diâmetros deverão ser de pelo menos 5 mm e de 1/4 do diâmetro da
armadura principal. Seu espaçamento não excederá nenhum dos valores: 20 cm, menor
dimensão da seção, 24φ para CA-25 e 12φ para CA-50 (φ - diâmetro da armadura principal).
• Item 18.2.4, pg. 131 - os estribos retangulares usuais protegerão contra a flambagem da
armadura longitudinal, além das barras dos cantos, mais duas barras em cada face do pilar,
desde que a mais distante delas esteja no máximo a 20φ t (φ t – diâmetro do estribo) do canto do
estribo. Para as barras não cobertas, deverão ser colocados estribos ou grampos suplementares,
aos quais se aplicará a mesma regra enunciada.

42
5.7. Detalhamento dos Pilares-parede
• Item 18.5, pg. 137 - os pilares-parede devem atender aos requisitos de detalhamento definidos
para os pilares. Se houver flexão transversal, os requisitos definidos para lajes se aplicam. A
armadura secundária, perpendicular às cargas, deve ter seção transversal de pelo menos 25% da
principal.
5.8. Exemplo de armadura mínima em pilar (Pilar de 40 x 100).

43
6. EXEMPLO NUMÉRICO COMPLETO
Serão dimensionados os pilares do 1º pavimento do edifício esquematizado abaixo.
6.1. Planta e elevação do edifício

44
6.2. Cargas e reações
6.2.1. Cargas consideradas nas vigas:
V1, V3, V4, V6 – p = 12 kN/m
V2, V5 – p = 36 kN/m
Os pilares são considerados como contraventados, sendo os momentos atuantes decorrentes do
engastamento das vigas nos pilares.
6.2.2. Análise das vigas:
Considerando inicialmente as vigas como engastadas nos extremos:
12
2
L.p
MMM cba −===
V1 = V3: L = 4,995 m; m.kN,MMM cba 9524−=== ;
V2: L = 4,92 m; m.kN,MMM cba 6172−===
V4 = V6: L = 5,045 m; m.kN,MMM cba 4525−=== ;
V5: L = 5,02 m; m.kN,MMM cba 6075−===
6.2.3. Momentos mínimos nos pilares extremos:
Considerando-se que os pilares têm a mesma seção, ao longo da altura do prédio, teremos a
avaliação aproximada dos momentos:
supinf
sup
infsup .
rrr
r
MMM
vig
eng
++
== ; ri = Ii / Li (inércia/comprimento, sendo que para os pilares é
considerado a metade do comprimento)
Cálculos de Msup = Minf (conservadoramente, as vigas não são consideradas como “T”).
V1, V3: 3
33
00031280
9954
1250015012
m,
,
/,.,
L
/h.b
r
i
vig ===
3
33
00013470
451
1225015012
m,
,
/,.,
L
/h.b
rr
i
infsup ====
mkNMmkNMM vig .55,11;.77,5
0001347,0.20003128,0
0001347,0
.95,24infsup −=−=
+
−==
Com este momento na viga, as reações são:
kN,,.,.,.R.l.p.R
kN,
,
),,(,.,
l
)MM(pl
RR
ab
ab
ca
36562729954012222
327
9954
55119524
2
9954012
2
=−=−=
=
+−−
−=
−−
−==

45
Diagrama final de momentos no vão a e nos pilares:
V2: 3
33
0007320
924
1260020012
m,
,
/,.,
L
/h.b
r
i
vig ===
3
33
0007360
451
1240020012
m,
,
/,.,
L
/h.b
rr
i
infsup ====
m.kN,M;m.kN,
,.,
,
.,MM viginfsup 49482524
000736020007320
0007360
6172 −=−=
+
−==
Reações: kN,R;kN,RR bca 9186783 ===
V4, V6: 3
33
00030970
0455
1250015012
m,
,
/,.,
L
/h.b
r
i
vig ===
3
33
00004850
451
1225015012
m,
,
/,.,
L
/h.b
rr
i
infsup ====
m.kN,M;m.kN,
,.,
,
00004850200030970
00004850
4525 −=−=
+
−==
V5: 3
33
0007170
025
1260020012
m,
,
/,.,
L
/h.b
r
i
vig === ;
3
33
0001840
451
1240020012
m,
,
/,.,
L
/h.b
rr
i
infsup ====
m.kN,M;m.kN,
,.,
,
000184020007170
0001840
675 −=−=
+
−==
6.2.4. Cargas nos pilares, incluindo o peso próprio:
Em um pavimento:
P1=P3=P7=P9 – N = - (25.2,90. 0,15. 0,25+27,3+26,4) = - 56,4 kN
P2=P8 – N = - (25.2,90. 0,20. 0,40+65,3+80,4) = - 151,5 kN
P4=P6 – N = - (25.2,90. 0,20. 0,40+83,7+68,2) = - 157,7 kN
P5 – N = - (25.2,90. 0,30. 0,50+186,9+200,6) = - 398,4 kN

46
Em cinco pavimentos:
P1=P3=P7=P9 – N = - 282,0 kN; Nd = 1,4 . 1,2 (-282,0) = - 473,8 kN
(considerado o fator adicional γn = 1,95-0.05 b = 1,95 – 0,05. 15 = 1,20)
P2=P8 – N = - 757,5 kN; Nd = 1,4 . (-757,5) = - 1060,5 kN
P4=P6 – N = - 788,5 kN; Nd = 1,4 . (-788,5) = - 1103,9 kN
P5 – N = - 1992 kN; Nd = 1,4 . (-1992) = - 2788,8 kN
6.3. Dimensionamento de P1 = P3 = P7 = P9
6.3.1. Comprimento equivalente do pilar:
O comprimento equivalente le do pilar, em cada direção, é o menor entre os dois valores:
le = l0 + hpilar ou le = l0 + hviga
Para a direção XX:
le = 2,40 + 0,15 ou le = 2,40 + 0,50, então (le)x = 2,55m
Para a direção YY:
le = 2,40 + 0,25 ou le = 2,40 + 0,50, então (le)y = 2,65m
6.3.2. Cálculo dos índices de esbeltez:
( )
===
150
552
1212
,
,
.
h
l xe
xλ 58,89
( )
7236
250
652
1212 ,
,
,
.
b
l ye
y ===λ
6.3.3. Momentos mínimos de primeira ordem:
)b.03,0015,0(NM);h.03,0015,0(NM dYYmin,,d1dXXmin,,d1 +=+=
Na direção xx (em torno de X): m.kN,),.,,.(,M min,dx 239150030015084731 =+=
Na direção yy (em torno de Y): m.kN,),.,,.(,M min,dy 6610250030015084731 =+=
6.3.4. Momentos de cálculo advindos do engastamento das vigas (considerado o fator
adicional γn = 1,20):
m.kN,,.,.,M dx 09503321411 ==
m.kN,,.,.,M dy 69977521411 ==
6.3.5. Dimensionamento para os momentos mínimos:
35626
001
150019505122551225
1
1
1 =∴=
+
=
+
= x
bx
x
x ,
,
,/,.,h/e.,
λ
α
λ (considerar efeitos de 2ª ordem)
351,26
00,1
25,0/0225,0.5,1225b/e.5,1225
y1
by
y1
y1 =λ∴=
+
=
α
+
=λ (considerar efeitos de 2ª ordem)
• Cálculo dos efeitos de 2ª ordem para a direção xx pelo Método do Pilar-Padrão com curvatura
aproximada:
Avaliação do valor da curvatura 1/r na seção crítica pela expressão:
h
,
),.(h
,
r
0050
50
00501
≤
+
=
ν
ou
150
0050
507070150
00501
,
,
),,.(,
,
r
≤
+
= 02760
1
,
r
=∴

47
Já que 7070
4125000250150
8473
,
,/.,.,
,
f.A
N
cdc
Sd
===ν
O momento total máximo é calculado pela expressão:
m.kN,,.
,
.,,.,
r
.
l
.NM.M e
dA,dbtot,d 731702760
10
552
8473239001
1
10
22
1 =+=+= α
• Cálculo dos efeitos de 2ª ordem para a direção xx pelo Método do Pilar-Padrão com rigidez κ
aproximada:
Usando a formulação direta:
A (Md, tot)2
+ B (Md, tot) + C = 0
40982391508473
8952390011505
320
5528473
84731505
320
75015055
2
1
2
2
2
1
2
2
,,.,.,M..h.NC
,,.,.,.
,.,
,.,M..h.
l.N
N.hB
,,.h.A
dbd
db
ed
d
−=−=−=
−=−−=−−=
===
α
α
Md, tot = 16,03 kN.m
Será utilizado, somente nesta verificação, o momento obtido com o Método do Pilar-Padrão
com rigidez κ aproximada, que é a princípio é o mais preciso.
• Cálculo dos efeitos de 2ª ordem para a direção yy pelo Método do Pilar-Padrão com curvatura
aproximada:
Avaliação do valor da curvatura 1/r na seção crítica:
b
,
),.(b
,
r
0050
50
00501
≤
+
=
ν
ou
250
0050
507070250
00501
,
,
),,.(,
,
r
≤
+
= 01660
1
,
r
=∴
Já que 7070,=ν .
m.kN18,160166,0.
10
65,2
.8,47366,10.00,1
r
1
.
10
l
.NM.M
22
e
dA,d1btot,d =+=+α=
• Verificações para a armadura selecionada:
A armadura selecionada (8 Φ 12,5 mm =
9,84 cm2
) é verificada, considerando-se flexão
composta reta nas duas direções:
a) Nd = - 473,8 kN; Mxx = 16,03 kN.m;
b) Nd = - 473,8 kN; Myy = 16,18 kN.m.
As respectivas curvas de interação são
mostradas abaixo, nos sentidos X e Y,
respectivamente.

48
0
5
10
15
20
25
-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400
Nd (kN)
Md(kN.m)
As=0
As dado
Nd,Md
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400
Nd (kN)
Md(kN.m)
As=0
As dado
Nd,Md
6.3.6. Dimensionamento para os momentos de engastamento das vigas:
== bybx αα 400400600 ,
M
M
.,,
A
A
≥
−
+ ; 40,bybx ==αα
764
40
15084730955122551225 1
1 ,
,
,/),/,.(,h/e.,
bx
x
x =
+
=
+
=
α
λ (não considerar efeitos de 2ªordem)
165
40
25084736995122551225 1
1 ,
,
,/),/,.(,h/e.,
bx
x
x =
+
=
+
=
α
λ (não considerar efeitos de 2ª ordem)
A verificação da flexão composta oblíqua é realizada com a expressão aproximada:

49
14420
731
699
419
095
21212121
≤=





+





=








+





,
,
,
,
,
M
M
M
M
,,,
y,Rd
y,d
,
x,Rd
x,d
Já que os momentos atuantes são: Md,x = 5,09 kN.m e Md,y = 9,69 kN.m e os momentos
resistentes em flexão composta reta com o esforço normal Nd = -473,8 kN são:
MRd,x = 19,4 kN.m e MRd,y = 31,7 kN.m .
6.3.7. Verificação pelo Método do Pilar Padrão Melhorado
Apesar de não ser obrigatória para este pilar, já que o pilar é medianamente esbelto nas duas
direções, será apresentada, a título de exemplificação, a verificação pelo Método do Pilar Padrão
Melhorado para a situação crítica, que é Momento Mínimo, direção xx.
É processado o programa M-K-UFRJ com os seguintes parâmetros:
kN7,430
1,1
8,473
N;MPa435
15,1
500
f;MPa214,23
4,1
25
.3,1f Sdydcd ====== (positivo no programa)
Para: 1
Rd m02071,0
r
1
;kNm63,17
1,1
4,19
M −
===
50,56
4,125000.15,0.25,0
3,851
fb.h
)EI(
;m.kN3,851
02071,0
63,17
)EI( 3
cd
3
sec2
sec ===κ==
m.kN45,14
707,0
50,56
.120
89,58
1
23,9.00,1
.120
1
M.
M 22
x
A,d1b
tot,d =
−
=
ν
κ
λ
−
α
=
Consideração da fluência:
kPa10.8,2MPa25.5600E;m0195,015,0.03,0015,0e;1718,2.ee 7
ci1
NN
N
1cc
Sge
Sg
===+=








−=
−
ϕ
=====ϕ==
−
−
2
57
2
e
cci
ee
45
3
c
55,2
10.03,7.10.8,2.10I.E.10
N;m55,2;2;m10.03,7
12
15,0.25,0
I
l
l 3027kN
m.kN35,11)00445,00195,0.(8,473M
;m00445,0)1e.(0195,0e;kN0,282
2,1.4,1
8,473
N
min
0,2823027
0,282.2
ccSg
=+=
=−=== −
m.kN78,17
707,0
50,56
.120
89,58
1
35,11.00,1
M 2tot,d =
−
=
Este momento é resistido pela seção, conforme pode ser verificado no ábaco da página anterior
(OK).
A saída gráfica e um trecho da listagem do programa M-K-UFRJ são apresentados na página
seguinte.

50
==================================================================
* * * ANALISE NAO-LINEAR FISICA DE SECOES DE CONCRETO ARMADO * * *
==================================================================
SECAO TRANSVERSAL:
bw [cm] = 25.00
h [cm] = 15.00
fcd [MPa] = 23.21
fyd [MPa] = 435.00
DISPOSICAO DAS ARMADURAS:
CAMADA | As [cm2] | d [cm]
1 4.92 4.00
2 4.92 11.00
RESULTADOS DA ANALISE:
FORCA NORMAL [kN] | MOMENTO FLETOR [kN.m] | CURVATURA [1/1000.m] | kx (x/h) | EPS CONC [1/1000] | EPS ACO [1/1000]
-430.72 17.67 20.71828 0.66 -2.047 0.232
17,63kN.m
20,71‰

51
6.4. Dimensionamento de P2 = P8
O comprimento equivalente le do pilar, em cada direção, é o menor entre os dois valores:
le = l0 + hpilar ou le = l0 + hviga
( )
===
200
502
1212
,
,
.
h
l xe
xλ 43,30
( )
2524
400
802
1212 ,
,
,
.
b
l ye
y ===λ (não considerar efeitos de 2ª ordem)
6.4.4. Momento de cálculo advindos do engastamento das vigas:
m.kN,,.,M dx 95178212411 ==
35326
001
20002105122551225
1
1
1 =∴=
+
=
+
= x
bx
x
x ,
,
,/,.,h/e.,
λ
α
• Cálculo dos efeitos de 2ª ordem para a direção xx:
Será utilizado o Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada:
h
,
),.(h
,
r
0050
50
00501
≤
+
=
ν
ou
200
0050
507420200
00501
,
,
),,.(,
,
r
≤
+
= 02010
1
,
r
=∴
Já que 7420
4125000400200
51060
,
,/.,.,
,
f.A
N
cdc
Sd
===ν
m.kN,,.
,
.,,.,
r
.
l
.NM.M e
10
502
610602722001
1
10
22
1 =+=+= α
A armadura selecionada (8 Φ 12,5 mm =
9,84 cm2
a) Nd = - 1060,6 kN; Mxx = 35,59 kN.m;
b) Nd = - 1060,6 kN; Mxx = 28,63 kN.m.
mostradas abaixo, nos sentidos X e Y.

52
0
10
20
30
40
50
60
-1750 -1500 -1250 -1000 -750 -500 -250 0 250 500
Nd (kN)
Md(kN.m)
As=0
As dado
Nd,Md
0
25
50
75
100
-1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400
Nd (kN)
Md(kN.m)
As=0
As dado
Nd,Md
6.4.6. Dimensionamento para o momento de engastamento das vigas:
=bxα 400400600 ,
M
M
.,,
A
A
≥
−
+ ; 40,bx =α
165
40
2006106095175122551225 1
1 ,
,
,/),/,.(,h/e.,
bx
x
x =
+
=
+
=
α
λ (não considerar efeitos de 2ªordem)
Não há necessidade de se verificar a flexão composta, já que o momento de engastamento é
inferior ao momento mínimo total.

53
6.5. Dimensionamento de P4 = P6
( )
===
200
602
1212
,
,
.
h
l xe
xλ 45,03
( )
3823
400
702
1212 ,
,
,
.
b
l ye
6.5.4. Momento de cálculo advindos do engastamento das vigas:
m.kN,,.,M dy 95332524411 ==
35326
001
20002105122551225
1
1
1 =∴=
+
=
+
= x
bx
x
x ,
,
,/,.,h/e.,
λ
α
• Cálculo dos efeitos de 2ª ordem para a direção xx:
Será utilizado o Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada:
h
,
),.(h
,
r
0050
50
00501
≤
+
=
ν
ou
200
0050
507730200
00501
,
,
),,.(,
,
r
≤
+
= 01960
1
,
r
=∴
Já que 7730
4125000400200
91103
,
,/.,.,
,
f.A
N
cdc
Sd
===ν
m.kN,,.
,
.,,.,
r
.
l
.NM.M e
10
602
911031823001
1
10
22
1 =+=+= α
A armadura selecionada (10 Φ 12,5mm = 12,3
cm2
) é verificada, considerando-se flexão composta
reta nas duas direções:
a) Nd = - 1103,9 kN; Mxx = 37,81 kN.m;
b) Nd = - 1103,9 kN; Mxx = 29,81 kN.m.
As curvas de interação são mostradas abaixo,
nos sentidos X e Y, respectivamente.

54
0
10
20
30
40
50
60
70
-1750 -1500 -1250 -1000 -750 -500 -250 0 250 500 750
Nd (kN)
Md(kN.m)
As=0
As dado
Nd,Md
0
25
50
75
100
125
-1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600
Nd (kN)
Md(kN.m)
As=0
As dado
Nd,Md
6.5.6. Dimensionamento para o momento de engastamento das vigas:
Não há necessidade de se considerar efeitos de 2ª ordem na direção YY (ver 6.5.2).
A verificação pode ser feita com a curva mostrada acima, usada para os momentos mínimos,
para os esforços: Nd = - 1103,9 kN; Myy = 33,95 kN.m (OK).
6.6. Dimensionamento de P5

55
( )
===
300
602
1212
,
,
.
h
l xe
xλ 30,02 (não considerar efeitos de 2ª ordem)
( )
4019
500
802
1212 ,
,
,
.
b
l ye
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
-3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000
Nd (kN)
Md(kN.m)
As=0
As dado
Nd,Md
A armadura selecionada (8 Φ 20 mm =
25,12 cm2
a) Nd = - 2788,8 kN; Mxx = 66,93 kN.m;
b) Nd = - 2788,8 kN; Mxx = 83,66 kN.m.
mostradas abaixo, nos sentidos X e Y.

56
0
50
100
150
200
250
300
-3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000
Nd (kN)
Md(kN.m)
As=0
As dado
Nd,Md

57
6.7. Dimensionamento de P1 como pilar-parede
De forma a apresentarmos um exemplo de dimensionamento de pilar-parede, suporemos que o
pilar P1 tenha dimensões h = 12 cm e b = 75 cm. O pilar é então dividido no número mínimo possível
de faixas, no caso, três faixas com b = 25 cm.
6.7.1. Verificação da dispensa de consideração de efeitos de 2ª ordem:
84
120
902
463463 ===
,
,
.,
h
l
.,
i
ei
iλ , maior que 35, obrigando à consideração de efeitos de 2ª ordem.
6.7.2. Reavaliação da carga vertical no pilar:
Em um pavimento: N = - (25.2,90. 0,12. 0,75+27,3+26,4) = - 60,2 kN
Em cinco pavimentos: N = - 301 kN; Nd = 1,4 . 1,35 (-301) = - 568,1 kN
(considerado o fator adicional γn = 1,95-0.05 b = 1,95 – 0,05. 12 = 1,35)
6.7.3. Momentos de cálculo advindos do engastamento das vigas (considerado γn = 1,35):
m.kN,,.,.,M dx 735033351411 ==
m.kN,,.,.,M dy 9110775351411 ==
O momento dxM1 é considerado como aplicado somente na faixa de pilar mais à esquerda; o
momento dyM1 é considerado com sinais positivo ou negativo, considerando que podemos dimensionar
a seção mais superior ou mais inferior de cada trecho de pilar.
6.7.4. Carga linear equivalente ao longo do pilar:
Valores extremos da carga linear e carga vertical em cada faixa:
max,dn , min,dn = 2
16
b
M
b
N ydd
± = 2
750
91106
750
1568
,
,.
,
,
± ; Ni=
32
1 b
.
nn ii ++
6.7.5. Dimensionamento para normal máximo, com momentos mínimos de primeira ordem:
Utilizando o Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada:
h
,
),.(h
,
r
0050
50
00501
≤
+
=
ν
ou
120
0050
503890120
00501
,
,
),,.(,
,
r
≤
+
= 04170
1
,
r
=∴
Já que 3890
4125000250120
8208
,
,/.,.,
,
f.A
N
cdc
Sd
===ν

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