UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE - UNESC
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
MAIKEL ECHAMENDI GRATHWOHL
CALCULO DE VIGAS PRÉ-TRACIONADAS
EM SISTEMAS PRÉ-MOLDADOS
CRICIÚMA DEZEMBRO DE 2009

MAIKEL ECHAMENDI GRATHWOHL
CALCULO DE VIGAS PRÉ-TRACIONADAS
EM SISTEMAS PRÉ-MOLDADOS
Trabalho de conclusão de curso, apresentado como
requisito para obtenção do grau de Engenheiro Civil,
no curso de Engenharia Civil, da Universidade do
Extremo Sul Catarinense, UNESC.
Orientador: Prof. Esp. Alexandre Vargas.
Co-orientador – Eng°Diogo Caprano.
CRICIÚMA, DEZEMBRO DE 2009

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MAIKEL ECHAMENDI GRATHWOHL
CALCULO DE VIGAS PRÉ-TRACIONADAS
EM SISTEMAS PRÉ-MOLDADOS
Trabalho de conclusão de curso aprovado pela
Banca Examinadora para obtenção do Grau de
Engenheiro Civil, no Curso de Engenharia Civil, da
Universidade do Extremo Sul Catarinense, UNESC.
Criciúma, dezembro de 2009.
BANCA EXAMINADORA
Prof. Alexandre Vargas – Engenheiro Especialista - (UNESC)
Diogo Caprano – Engenheiro Especialista
Enio Margarida – Engenheiro

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AGRADECIMENTOS
Agradeço a DEUS por estar sempre ao meu lado,
iluminando-me e dando forças para alcançar os
meus objetivos.
A minha esposa, Karina Flores grathwohl,
que sempre me incentivou, apoiou em todos os
momentos q u e p r e c i s e i e n a dedicação
aos estudos, aos meus pais e aos meus irmãos.
Ao professor e orientador eng°. Alexandre Vargas
e ao co-orientador eng°. Diogo Caprano que
contribuiram para a elaboração deste trabalho de
conclusão de curso.

4
Dedico à minha esposa Karina Flores Grathwohl,
pelo carinho e compreensão durante estes anos.

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RESUMO
As estruturas pré-moldadas estão sendo cada vez mais aplicadas no Brasil devido
ao rigoroso processo de qualidade e organização do canteiro da obra. Os projetos
cada vez mais arrojados necessitam peças mais esbeltas, sendo necessário ter um
cuidado especial no dimensionamento das peças pré-moldadas. No presente
trabalho de conclusão de curso, descrevem-se os processos de fabricação,
montagem e dimensionamento de vigas pré-moldadas protendidas. O trabalho faz a
abordagem de todos os processos de calculo, desde o estado limite de serviço, até o
estado limite ultimo dentro das recomendações da norma NBR 6118-2003. Tendo
como resultado final um exemplo de dimensionamento onde foram verificadas as
tensões fissurações, perdas de protensão e esforços internos de uma viga de
cobertura pré-moldada com o comprimento de 25 m.
Palavras-chave: Dimensionamento, protensão, estrutura

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LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Escolha de materiais para formas ......................................................... 20
Tabela 2 – Utilizações de formas de acordo com o material................................... 21
Tabela 3 – Carga por eixo........................................................................................ 23
Tabela 4 – Características dos equipamentos de montagem.................................. 25
Tabela 5 – Tabela com os níveis de protensão....................................................... 27
Tabela 6 – Características geométricas para fios e cordoalhas.............................. 29
Tabela 7 – Limitações das tensões do aço para protensão.................................... 29
Tabela 8 – Valores de ψ 1000 em %......................................................................... 30
Tabela 9 – Valores de coeficiente do concreto e aço.............................................. 37
Tabela 10 – Taxas mínimas para armadura de flexão em vigas............................. 46
Tabela 11 – Valores do coeficiente Yf = Yf1........................................................... 52
Tabela 12 – Valores do coeficiente Yf2.................................................................. 52
Tabela 13 – Classe de agressividade do concreto................................................. 55

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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
Letras minúsculas Romanas
b – Largura.
bw – Largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção.
d – Altura útil.
ep – Excentricidade da armadura resultante em relação ao baricentro da seção de
concreto.
fbpd - Resistência de aderência calculo da armadura ativa.
fcd - Resistência de calculo do concreto a compressão.
−fcj Resistência à compressão do concreto aos “x” dias.
fck - Resistência característica do concreto à compressão.
fckj - Resistência característica do concreto à compressão aos “x” dias.
fct - Resistência do concreto a tração direta.
spfct, - Resistência do concreto à tração indireta.
ffct, - Resistência do concreto à tração na flexão.
fctd - Valor de calculo da resistência à tração do concreto.
fctm - Resistência média do concreto à tração direta.
fpyk - Resistência característica de escoamento convencional do aço de protensão.
fptk - Resistência característica à tração do aço de protensão.
kfpo 1. - Resistência do aço de protensão correspondente a tensão que provoca
uma deformação especifica de 0,1%.
fyk - Resistência característica de escoamento do aço da armadura passiva.
fywd - Resistência ao escoamento da armadura transversal, valor de calculo.
g – carga permanente.
go – Peso próprio distribuído linear.

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h – Altura da viga.
hfic - Altura fictícia da viga.
i – Raio de giração.
l – Vão.
lbp – Comprimento de ancoragem básico.
lbpt – Comprimento de transferência.
lbpd – Comprimento de ancoragem necessária
lp – Comprimento de regularização das tensões.
q – Carga variável distribuída linear.
qi – Coeficiente correspondente a 1+0,82 da fluência do material de que é composto
o prisma i.
s – Espaçamento de estribos médio segundo o eixo longitudinal da peça.
t – Tempo contado a partir do termino das operações de protensão.
t0 – Instante de aplicação da carga.
Tfic - Idade fictícia.
u – Perímetro de uma barra.
uar – Perímetro externo de uma barra em contato com o ar.
x – Altura da linha neutra.
−infy Distancia do centro de gravidade da seção à fibra inferior.
−supy Distancia do centro de gravidade da seção à fibra superior.
−yt Distancia do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada.
z – Braço de alavanca.
zc – Distancia do ponto de aplicação da força resultante de compressão no concreto
a um determinado pólo escolhido.
zpi - – Distancia do ponto de aplicação da força da armadura ativa a um determinado
pólo escolhido.
zsi - – Distancia do ponto de aplicação da força da armadura passiva a um
determinado pólo escolhido.

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Letras maiúsculas Romanas
Ac – Área da seção transversal bruta do concreto.
Acri – Área da região de envolvimento, protegida pela cordoalha ou fio.
Ap – Área da seção transversal da armadura de protensão.
As - Área da seção transversal armadura longitudinal de tração.
Ast - Área da seção armadura transversal para controle das tensões de
fendilhamento.
Asw - Área da seção transversal dos estribos de força cortante.
Ec – Modulo de elasticidade inicial do concreto.
Ec28 - Modulo de elasticidade inicial do concreto aos 28 dias.
Ecs - – Modulo de elasticidade secante do concreto.
Ep - Modulo de elasticidade da armadura ativa.
(EI)eq - Rigidez equivalente.
Fd – Força de calculo das ações.
Fd,ser - Força de calculo das ações para combinações de serviço.
Fg – Ações permanentes.
Fgk – Valor característicos das ações permanentes diretas.
Fqk – Valor característico das ações diretas.
Fk – valor característico das ações.
Fq1ex – Valor representativo das ações variáveis excepcionais.
Io – Momento de inércia da seção bruta do concreto.
Ic – Momento de inércia da seção do concreto.
Ip - momento de inércia da seção da armadura protendida
Po - Força inicial na armadura de protensão considerando as perdas imediatas
Pi - Força da armadura de protensão na saída do aparelho de tração na ocasião
da aplicação da força de protensão
P∞ - Força na armadura de protensão considerando as perdas totais

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Rcc1 - Resultante da força de compressão do concreto pré-moldado
Rcc2 - Resultante da força de compressão do concreto moldado no local
Rct -Resultante da força de tração do concreto
Rpt - Resultante da força na armadura protendida
Rs - Resultante da força na armadura passiva
Vd - Força cortante de cálculo.
Letras gregas
α – Coeficiente.
αp - Relação entre Ep e Ec.
β - Coeficiente de rugosidade da superfície de contato.
β1 - Coeficiente correspondente à aderência da armadura.
β2 - Coeficiente correspondente à forma de carregamento.
βb - Coeficiente correspondente a multiplicação de β1 e β2.
δ - Coeficiente.
δ1 - Coeficiente.
δ2 - Coeficiente.
εc - Deformação genérica no concreto.
εcc - Deformação no concreto submetido à compressão.
εct - Deformação no concreto submetido à tração.
εp - Deformação genérica na armadura de protensão.
εpi - Pré-alongamento da armadura de protensão.
εs - Deformação genérica na armadura passiva.

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εsc - Deformação na armadura passiva submetida à compressão.
γf - Coeficiente de majoração das cargas.
σc - Tensão genérica na seção transversal de concreto.
σCML - Tensões na seção de concreto moldado no local.
σCPM - Tensões na seção de concreto pré-moldado da vigota.
σcp - Tensão no concreto ao nível do baricentro da armadura de protensão, devida a
força Pa.
σpa - Tensão na armadura de protensão devida a força Pa.
σp - Tensão genérica na armadura de protensão.
σpo - Tensão inicial na armadura de protensão considerando as perdas imediatas.
σpi - Tensão da armadura de protensão na saída do aparelho de tração na ocasiã da
aplicação da força de protensão.
σp∞ - Tensão na armadura de protensão considerando as perdas totais.
σs - Tensão genérica na armadura passiva.
Ψ1 - Fatores de utilização para combinação de ações freqüentes.
Ψ2 - Fatores de utilização para combinação de ações quase-permanentes.

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Sumário
RESUMO ....................................................................................................................5
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ......................................................................7
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................15
1.1 TEMA ..................................................................................................................15
1.2 PROBLEMA DE PESQUISA ...............................................................................15
1.3 JUSTIFICATIVA ..................................................................................................15
1.4 OBJETIVOS ........................................................................................................16
1.4.1 Objetivo Geral ..................................................................................................16
1.4.2 Objetivos Específicos.......................................................................................16
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.............................................................................17
2.1 Elementos pré-moldados ....................................................................................17
2.1.2 Vantagem e desvantagens...............................................................................17
2.1.2 Principais elementos pré-moldados .................................................................18
2.1.2.1 Vigas .............................................................................................................18
2.1.2.2 Pilares ...........................................................................................................18
2.1.3 Principais procedimentos para execução dos elementos pré-moldados..........19
2.1.3.1 - Detalhamento das peças.............................................................................19
2.1.3.2 – Produção....................................................................................................19
2.1.3.3 – Transporte..................................................................................................22
2.1.3.4 – Montagem da estrutura pré-moldada .........................................................23
2.2 Concreto protendido............................................................................................25
2.2.1 Aplicação da protenção....................................................................................26
2.2.2 Escolha do tipo de protensão...........................................................................27
2.2.3 Vantagens e desvantagens do concreto armado protendido ...........................27
2.2.3.1 Vantagens .....................................................................................................27
2.2.3.2 Desvantagens ...............................................................................................28
2.2.4 Aço para protenção.........................................................................................28
2.2.5 Perdas de protensão........................................................................................30
2.2.5.1 Perdas de protenção imediatas.....................................................................31
2.2.5.2 Perdas progressivas......................................................................................32

13
2.2.6 Pré-dimensionamento das cordoalhas.............................................................34
2.2.7 Dimensionamento das estruturas.....................................................................34
2.2.7.1 Metodos tensões admissiveis........................................................................35
2.2.7.2 Metodos dos estados limites .........................................................................35
2.2.7.3 Estado limite ultimo flexão simples (ELU) .....................................................36
2.2.7.4 Combinações ultima normal..........................................................................37
2.2.7.5 Combinações ultima especial e de construção .............................................38
2.2.7.6 Combinações ultima excepcional..................................................................38
2.2.8 Verificação no estado limite ultimo (ELU).........................................................39
2.2.8.1 Condições de estabilidade ............................................................................39
2.2.8.2 Momento de descompressão ........................................................................39
2.2.8.3 Deformação de pré-alongamento para armadura aderente ..........................41
2.2.8.4 Posição da linha neutra.................................................................................42
2.2.8.5 Momento resistente de calculo......................................................................45
2.2.9 Armadura mínima passiva................................................................................46
2.2.10 Classificação e verificação dos estados limites de fissuração das peças (ELS)
..................................................................................................................................47
2.2.10.1 Estado limite de formação de fissuras.........................................................47
2.2.10.2 Estado limite de abertura de fissuras ..........................................................48
2.2.10.3 Estado limite de descompressão.................................................................49
2.2.10.4 Estado limite de compressão excessiva......................................................49
2.2.10.5 verificações de estado limite de deformação...............................................49
2.2.11 Ações sobre as estruturas..............................................................................50
2.2.11.1 Coeficiente de ponderação das estruturas..................................................51
2.2.11.2 Combinações das ações .............................................................................53
2.2.11.3 Combinações de serviço .............................................................................53
2.2.11.4 Combinações quase permanente................................................................54
2.2.11.5 Combinações freqüentes de serviço ...........................................................54
2.2.11.6 Combinações raras de serviço....................................................................54
2.2.12 Qualidade das estruturas ...............................................................................55
2.2.13 Dimensionamento das vigas protendidas a esforço cortante .........................56
2.2.14 Definição das armaduras passivas.................................................................59
2.2.15 Definição da armadura de pele ......................................................................61
3 METODOLOGIA DO TRABALHO.........................................................................63

14
3.1 Desenvolvimento do dimensionamento...............................................................63
3.2 Cálculos da Viga de cobertura Protendida Exemplo ...........................................64
3.3 Carregamentos Sobre a Viga..............................................................................65
3.4 Pré-dimensionamento das cordoalhas................................................................66
3.5 Cálculos da Força de Protenção .........................................................................66
3.6 Cálculos de Máxima Força Aplicada à Armadura Ativa pelo Equipamento de
Tração e a sua Excentricidade..................................................................................66
3.7 Cálculo das Perdas Imediatas.............................................................................67
3.8 Cálculos das Perdas Progressivas......................................................................68
3.9 Determinações do Coeficiente de Fluência.........................................................69
3.10 Valores de Coeficiente de Fluência...................................................................70
3.11 Determinações da deformação Especifica por Retração do Concreto..............70
3.12 Determinação da relaxação ψ (t,to) e Fluência x (t,to) do Aço de Protensão....71
3.13 Determinações do Valor Final das Perdas Progressivas ..................................72
3.14 Análises dos Estalos Limites de Serviço ...........................................................73
3.15 Determinações da Excentricidade resultante destas Forças após as Perdas
Progressivas..............................................................................................................73
3.16 Calculo das tensões atuantes no meio do vão..................................................74
3.17 Calculo para o estado limite ultimo....................................................................77
3.18 Calculo da abertura de fissuras.........................................................................79
3.19 ELU – Para Solicitações Tangenciais ...............................................................80
3.20 Determinação de Armaduras Passiva para combater o fendilhamento.............81
3.21 Definição da armadura de borda.......................................................................82
3.22 Definição da armadura de pele .........................................................................82
4.0 CONCLUSÃO......................................................................................................83
ANEXO – Detalhamento Viga Protendida.................................................................85

15
1 INTRODUÇÃO
1.1 TEMA
Calculo de vigas pré-tracionadas em sistemas pré-moldados.
1.2 PROBLEMA DE PESQUISA
As estruturas pré-moldadas estão cada vez mais arrojadas. Os arquitetos
estão cada vez mais optando por estas estruturas, devido ao seu processo de
fabricação e montagem, mais rápido do que as estruturas convencionais, e ainda por
não gerar gastos com formas e escoras de madeira, assim preservando o meio
ambiente e mantendo um canteiro de obra organizado, pois não gera desperdício de
aço, madeira, concreto e outros materiais para executar a obra.
É percebido que em obras de grande porte os vão entre pilares chegam à
faixa de 8 a 15 metros em média. A maior parte destas obras está localizada em
áreas de grande valor econômico e interesse comercial. Tendo isso em mãos os
projetos estão no limite de recuo e altura para cada terreno, posto no plano diretor
de cada cidade. Dependendo das dimensões das vigas o projeto deve ser revisto e
em casos extremos ser feita a retirada de andares do edifício ou aumento dos
recuos, gerando assim uma perda da área útil.
1.3 JUSTIFICATIVA
O emprego da protensão no Brasil está cada vez maior. Visto à necessidade
de se ampliar os conhecimentos nesta área, e repassar os fundamentos teóricos e
práticos de dimensionamento para futuras decisões de projeto, na hora da escolha
do dimensionamento das vigas pré-moldadas.

16
1.4 OBJETIVOS
1.4.1 Objetivo Geral
Avaliar o desempenho de vigas pré-moldadas, usando o método de cálculo de
vigas com armadura ativa (vigas protendidas).
1.4.2 Objetivos Específicos
Estudar e conhecer o método de cálculo específico para as vigas pré-moldada
protendidas;
• Calcular e avaliar a viga pré-moldada protendida;
• Avaliar as fissuras.
• Analisar a taxa de armadura e dimensões e detalhar.

17
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 Elementos pré-moldados
O nome pré-moldado corresponde aos elementos de concreto armado que
são produzidos fora do local de sua aplicação.
O procedimento de calculo das estruturas pré-moldadas são os mesmos
procedimentos das estruturas moldadas “in loco”, carregamentos e esforços
solicitantes. O dimensionamento pode ser elaborado pelos mesmos softwares, mas
com algumas particularidades, pois não são produzidos no local de sua aplicação
acarretando esforços não previstos em estruturas moldadas “in loco”, tais como
desforma, içamento, transportes e montagem.
A aplicação é bastante abrangente sendo aplicados em praticamente em
todos os campos da construção civil tais como, edifícios, indústrias, pontes e
viadutos, mas com grande destaque para as indústrias, pois a sua execução é mais
rápida e de fácil adaptação a arquitetura definida para esse tipo de segmento.
2.1.2 Vantagem e desvantagens
As principais vantagens são a rápida execução, padrão de qualidade,
facilidade para realizar o controle de qualidade, evita gastos com formas, canteiro de
obra organizado e evita improvisação na execução.
As principais desvantagens são custo, limitações a certos projetos
arquitetônicos, peças super dimensionadas para transporte, içamento e dificuldade
de adaptações depois de definido o projeto de fabricação.

18
2.1.2 Principais elementos pré-moldados
2.1.2.1 Vigas
De acordo com Botelho (2004, p.236) ‘’vigas são peças de concreto armado
que suportam as cargas provenientes de lajes e paredes, além do peso próprio da
estrutura. Vigas de maiores responsabilidades podem receber cargas das outras
vigas’’.
A largura mínima (bw) é de 12 cm, e a altura (h) está relacionada com o
comprimento do vão. Por via de regra geral, Botelho sugere que a altura pode ser
pré-definida empiricamente através de fórmulas práticas.
Vigas contínuas: h=1/12 do vão;
Vigas biapoiadas: h=1/10 do vão;
Vigas balanço: h=1/5 do vão.
2.1.2.2 Pilares
De acordo com a norma NBR 6118 (2003), item 14.4.1.2, pilares são
elementos lineares de eixo reto, usualmente disposto na vertical, em que as forças
normais de compressão são preponderantes.
Tem como finalidade sustentar a edificação transferindo os esforços
provindos das lajes e ou das vigas dos andares superiores, para os elementos
inferiores ou fundações.
A dimensão transversal de pilares, qualquer que seja a sua forma, não deve
apresentar dimensão menor que 19 cm (NBR 6118 (2003), item 13.2.3).

19
Neste mesmo item da norma, diz que em casos especiais permite-se a
consideração de dimensões entre 19 e 12 cm, desde que se multipliquem as
solicitações que sobre este atuam por um coeficiente adicional γn obtido através da
seguinte equação:
γn = 1,95 – 0,05. b
sendo b a menor dimensão do pilar.
Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior
a 360 cm2
.
2.1.3 Principais procedimentos para execução dos elementos pré-moldados
As etapas envolvidas na produção dos elementos pré-moldados dependem
de cada peça, mas no geral são: Dimensionamento, projeto, detalhamento das
peças, fabricação, transporte e montagem.
2.1.3.1 - Detalhamento das peças
Esta primeira etapa é das mais importantes, pois esta peça será
dimensionada de acordo com a sua utilização, levando em conta alguns aspectos
tais como região onde será montada a obra, disponibilidade de formas,
disponibilidade de equipamentos de transporte, montagem, (neste caso para peças
esbeltas), tipo de ferragem padrão para várias peças para não gerar desperdício e
facilitar a produção.
2.1.3.2 – Produção
Depois de recebido o projeto detalhado da se o inicio da programação e
fabricação, pois são de suma importância para que o processo de qualidade e
produtividade aconteça no prazo previsto.

20
Alguns requisitos para que as formas apresentem a qualidade desejada é a
estabilidade volumétrica para que não ocorram deformações, durabilidade e
reutilização, estanqueidade para que não ocorra vazamento do concreto, fácil
manuseio, facilidade na disforma e que sua superfície interna seja lisa para não
ocorrer aderência com o concreto. (El DEBS, 2000, p, 37).
Segundo El Debs (2000, p, 37) a escolha do material para as formas
deve seguir a tabela abaixo:
Tabela 1: Escolha de materiais para formas.
Caracteristicas Aço Madeira Concreto Plástico
Constância Volumétrica boa ruim boa boa
Aderência boa regular ruim boa
Manuseio boa boa ruim boa
Possibilidade de transformação boa boa ruim ruim
Facilidade de transporte boa boa ruim boa
Fonte: El Debs (2000, p. 38).
Segundo El Debs (2000, p. 39) para ter uma noção do número de
utilizações é apresentado uma estimativa de acordo com a tabela abaixo:

21
Tabela 2: Utilizações de formas de acordo com o material.
Tipos de material Numero de utilizações
Madeira não tratada
Sem tratamento térmico
Com tratamento térmico
40-80
20-30
Madeira tratada
Sem tratamento térmico
Com tratamento térmico
80-120
30-80
Madeira revestida de chapa
Sem tratamento térmico
Com tratamento térmico
80-150
30-80
Concreto 100-300
Plástico reforçado com fibra de vidro 80-400
Forma de aço desmontável 500-800
Forma de aço não desmontável 800-1200
Fonte: El Debs (2000, p. 39).
A segunda etapa é o corte, dobra e amarração da armadura. Basicamente é o
mesmo procedimento da armadura executada “in loco”, com algumas vantagens,
pois a produção geralmente é em série facilitando a verificação e qualidade. Outra
vantagem é que não ocorre desperdício da mesma proporção das estruturas
moldadas no local. (EL DEBS, 2000, p. 34).
A terceira etapa é adensamento do concreto. Esta etapa também é importante
no processo de fabricação do pré-moldado, pois ela tem forte implicação na
qualidade e produtividade do processo. O adensamento pode ser vibração,
centrifugação, prensagem e vácuo. Também há possibilidade de combinação destas
formas.
A quarta etapa do processo endurecimento e a cura do concreto. “No
processo de fabricação dos pré-moldados procura-se liberar as formas e elementos

22
moldados o mais rápido possível, ou seja, procura-se reduzir o chamado tempo
morto”. (EL DEBS, 2000, p. 44).
Uma das formas de acelerar o endurecimento do concreto é usar cimento de
alta resistência, aumentar a temperatura ou utilizar aditivos.
A cura pode ser por aspersão, na qual as superfícies expostas ficam em
constante umidade, cura por imersão, onde corresponde em colocar os elementos
pré-moldados em tanques cheios de água, cura térmica que consiste em aumentar a
temperatura do concreto e cura com película impermeabilizante, que consiste em
aplicar uma camada de impermeabilizante para impedir a saída de água pela
superfície exposta. (EL DEBS, 2000, p. 44).
A desmoldagem pode ser feita diretamente, com levantamento da peça por
dois pontos de içamento ou mais dependendo do comprimento da peça, mas
também por tombamento, nos casos de painéis em que o elemento é moldado na
posição horizontal e é colocado na posição vertical com o auxilio da mesa de
tombamento (EL DEBS, 2000, p. 45).
A resistência do concreto para a desmoldagem depende das solicitações as
quais o elemento possa ser submetido em seguida. Há a indicação pratica de
que seu valor deva ser a metade da resistência do projeto. No entanto, esse
valor pode ser reduzido, tendo em vista o que foi dito anteriormente e com
base em experiência anterior. De qualquer forma, não é recomendado
realizar a desmoldagem quando a resistência do concreto for inferior a 10
Mpa. (EL DEBS, 2000, p. 45).
2.1.3.3 – Transporte
Esta etapa deve ter um cuidado especial, necessariamente em dois aspectos,
o de logística de montagem da obra e carregamento das peças.
As peças de concreto pré-moldado serão transportadas por caminhões,
carretas ou carretas especiais. Recomenda-se uma cuidadosa fixação dos

23
elementos. Para a definição dos apoios aplicam-se os detalhamentos de projetos. As
limitações podem ocorrer de acordo com a distância até o local da obra,
comprimento e peso da peça. ”No transporte, principalmente rodoviário, podem
ocorrer ações dinâmicas de grande magnitude, que podem danificar os elementos”
(EL DEBS, 2000, p. 54).
O comprimento das peças pode variar em até no máximo 30 m, mas em
casos especiais pode chegar até 40 m. Tudo isso depende da distância a ser
percorrida até o local da montagem, isso porque se entrar em perímetro urbano
dificilmente uma carreta com mais de 20 m conseguirá manobrar. (El Debs, 2000, p.
54).
Segundo El Debs (2000, p. 54), o limite de peso deve satisfazer as limitações
de cargas por eixo, estabelecida pela lei da balança, mostradas pela tabela abaixo:
Tabela 3: Carga por eixo.
Situação Carga por eixo
Eixo Isolado com 2 pneus¹ 50 kN
Eixo isolado com 4 pneus¹ 100 kN
Conjunto de 2 ou 3 eixos com 4 pneus por eixo² 85 kN
1 – Eixo isolado – distância entre eixos superior a 2,0 m
2 – Conjunto de eixos – distância entre eixos de 1,2 a 2,0 m
Fonte: El Debs (2000, p. 55).
2.1.3.4 – Montagem da estrutura pré-moldada
A montagem dos elementos pré-moldados deve ser planejada muito antes da
data prevista. Isso ocorre na etapa de detalhamento das peças e produção, pois
naquela etapa o responsável pela montagem deverá saber as dimensões e pesos
das peças para saber qual o tipo de equipamento que irá usar. A logística dessa
etapa tem reflexos na velocidade e qualidade da estrutura pronta e a escolha
adequada dos equipamentos tem grande influência na eficácia do processo.

24
Podem-se dividir os equipamentos de montagem em dois grupos: de uso
comum e de uso restrito. No primeiro grupo tem-se as autogruas e a as gruas de
torre. No segundo grupo tem-se a grua de pórtico e o guindaste derrick. (EL DEBS,
2000, p. 54).
A escolha adequada dos equipamentos depende de determinados fatores.
Em relação a esses fatores merecem destaques: pesos, dimensões e raios de
içamento dos elementos estruturais mais pesados; número de içamentos à serem
executados e sua freqüência; espaço disponível e condições de campo;
necessidade de transportar e manter os elementos içados no ar por longos períodos;
condições topográficas de acesso; e, por fim, a disponibilidade e o custo do
equipamento.( EL DEBS,2000, p. 55).
O processo de montagem requer um planejamento prévio e cuidadoso,
atentando-se para situações inevitáveis que possam acarretar solicitações críticas.
Neste planejamento deve ficar definido o cronograma de montagem, obedecendo a
uma seqüência lógica. Antes do início da operação de montagem, faz-se necessário
verificar a precisão dimensional das fundações. (EL DEBS, 2000, p. 55).
Os procedimentos de montagem podem ser divididos em: montagem das
colunas, montagem das vigas, montagem dos painéis de parede e montagem das
lajes. Em função das especificidades de cada um desses elementos estruturais, as
colunas e painéis são os que requerem maior cuidado pelo simples fato de
chegarem na obra, em geral, em posição diversa da de serviço. Nesses casos, na
maioria das vezes, necessita-se fazer a rotação desses elementos à medida que vão
sendo içados. Para todos os elementos a serem montados, é imperativo buscar
pontos de icamento sempre acima dos seus centros de gravidade, de modo a
garantir um equilíbrio estável durante toda a operação até a fixação desses
elementos pré-moldados na sua posição definitiva. (EL DEBS, 2000, p. 59).

25
Tabela 4:Características dos equipamentos de montagem:
Equipamentos Características Favoráveis Características Desfavoráveis
Autogruas sobre pneus Grande mobilidade
Grande capacidade de carga
Pouca precisão
Necessidade de piso estável
Autogruas sobre esteiras Grande mobilidade
Grande capacidade de carga
Falta de estabilidade
Efeito prejudicial ao pavimento
Grua de torre Facilidade para repetições de movimentos É necessário montar e desmontar
Grua de pórtico Grande capacidade de carga
Precisão de montagem
Movimentação limitada
Lentidão de movimentos
Derricks Grande capacidade de cargas Limitação de movimentos
Transporte custoso
Guindaste acoplado ao caminhão Grande mobilidade
Baixo custo
Limitação de peso
Alcance limitado
Fonte: El Debs (2000, p. 59).
2.2 Concreto protendido
Segundo Pfeil (1988, p. 1), protensão pode ser definida como um artifício de
introduzir prévias tensões para melhorar sua resistência e deformações sobre
diversas solicitações. Protender o concreto decorre de que a sua resistência a tração
seja muito menor que sua resistência a compressão.
A operação de protensão consiste em estirar a armadura contra a própria
peça de concreto, a fim de comprimir a zona que será tracionada pela
carga. A armadura de protensão deve ser de alta resistência,
aproximadamente 2 a 4 vezes a resistência da armadura comum.Isso por
causa das perdas de protensão, principalmente daquelas que ocorrem ao
longo do tempo por fluência, retração do concreto e por fluência do aço de
protensão.(Buchaim, 2007, p. 3).

26
2.2.1 Aplicação da protensão
Segundo Pfeil (1988, p. 5), a protensão é feita por cabos de aço que são
presos nas extremidades. Existem três tipos de protensão, as de aderência inicial,
com aderência posterior, e sem aderência.
Segundo Buchaim (2007, p. 11), a protensão com aderência inicial é obtida
em pista de protensão, na fábrica de peças pré-moldadas. As armaduras de
pretensão são estiradas antes do lançamento do concreto na forma. Após o
endurecimento do concreto as armaduras são cortadas, desfazendo-se a ligação
com o macaco de protensão. A força de protensão é transmitida por aderência entre
o concreto e o aço, pois o concreto impede o encurtamento da armadura. A
aderência se manifesta nas extremidades da peça em um comprimento de
transferência de 50 Ø, a 100 Ø para cordoalhas e 100 Ø a 150 Ø para fios.
Nas peças com aderência posterior a protensão se dá depois do
endurecimento do concreto, é que são esticados os cabos de protensão.
Nas peças a serem concretadas, são dispostas bainhas metálicas e
corrugadas, dentro das quais são inseridos os cabos de protensão, antes ou
após a concretagem. A protensão se faz através de macacos hidráulicos,
apoiados na própria peça de concreto, os quais estiram a armadura até o
alongamento a força prevista.Terminado a protensão, o cabo é ancorado nos
dispositivos de ancoragem, após se faz a injeção de nata de cimento no
interior da bainha, para expulsar o ar no interior, e para obter a aderência
entre o concreto e a bainha.(Buchaim, 2007, p. 11).
Segundo Buchaim (2007, p. 11), a protensão sem aderência é idêntica ao da
pós-tencionada, a única diferença é que a injeção de nata de cimento é eliminada,
assim o cabo de protensão pode correr dentro da bainha engraxada.

27
2.2.2 Escolha do tipo de protensão
Segundo França; ishitani (2004, p. 29), Existem três tipos de protensão, que
são a limitada, parcial e total. A escolha do tipo de protensão deve ser de acordo
com o ambiente de agressividade e em função do tipo de construção:
protensão parcial – Classe de agressividade I;
Protensão limitada – Classe de agressividade II;
protensão Completa – Classe de agressividade III e IV.
Tabela 5 – Tabela com os níveis de protensão.
Nível
Combinação das ações
CQP CF CR
Parcial ELS-F ELS-W
Limitada ELS-D ELS-F
Total ELS-D ELS-F
Fonte: Couto Filho, (2002, p. 55).
2.2.3 Vantagens e desvantagens do concreto armado protendido
2.2.3.1 Vantagens
Segundo Buchaim (2007, p. 4), as peças de concreto protendidas, sobre
flexão, traz varias vantagens a estrutura, do fato de que a carga externa terá que
superar as tensões de compressão prévias, para iniciar as fissurações no concreto,
sendo:
• Maior esbeltez para as seções de concreto, por causa da
participação da zona comprimida na rigidez a flexão;
• Limitação de fissuras durante a vida útil;
• Minoração da corrosão da armadura;

28
• Maior resistência a fadiga do aço decorrente da oscilação
proporcionalmente de sua tensão;
• Melhor disposição da armadura na seção transversal;
• Estruturas mais leves, decorrente da diminuição das seções das
peças.
2.2.3.2 Desvantagens
Segundo Buchaim (2007, p. 5), existem algumas desvantagens, tais como:
• É maior o risco de vibração por cargas moveis, devido à esbeltez
das peças;
• O projeto estrutural exige uma maior compreensão, e deverá conter
todas as informações de estado-limite de utilização;
• Exige mão de obra especializada.
2.2.4 Aço para protensão
Os Aços para protensão utilizados são classificados em fios, cabos
constituídos por fios e barras. Os fios possuem resistência entre 1500 – 1700 Mpa, e
são fabricados de 4 a 8 mm. As cordoalhas podem ser disposta em 2, 3 e 7 fios, e
sua resistência é 1.900 Mpa, e são fabricados com diâmetro nominal de 6,4 mm a
15,2 mm (BUCHAIM, 2007, p. 26).

29
Tabela 6 – Características geométricas para fios e cordoalhas.
Diâmetro (mm) Área (mm²)
Fptk
(KN/mm²)
Fpyk/ Fptk (RN) Fpyk/ Fptk (RB) E10 ou Epuk (%)
Fios
(cf. NBR 7482)
4 12,6
1,6 0,85 0,90
E10 = 5 (%)
1,7 0,88 0,93
5 19,6
1,5 ou 1,6 0,85 0,90
E10 = 6 (%)
6 28,3
7 38,5
E10 = 5 (%)
9 50,3
Cordoalha 7 fios
Cp -175 (cf. NBR
7482)
6,4 24,5
1,75 0,85 0,90 E10 = 3,5 (%)
7,9 37,4
9,5 52,3
11 71
12,7 94,2
15,2 138,7
Cordoalha 7 fios
Cp -175 (cf. NBR
7482)
9,5 54,8
1,90 0,85 0,90 E10 = 3,5 (%)
11 74,2
12,7 98,7
15,2 140
Fonte Buchain, (2007, p. 26).
A força de protensão da armadura esta estabelecida pela NBR 6118, item
9.6.1.2, que limita as tensões do aço independentemente se for relaxação baixa ou
normal as valores da tabela
Tabela 7 – Limitações das tensões do aço para protensão:
Durante a operação da protensão Após o termino da protensão
Armadura pré-tracionada RN e RB
Armadura pós-tensionada
RN e RB
Armadura pré e pós-tracionada
σ ≤ 0,77 F ptk σ ≤ 0,74 F ptk σ po (x) ≤ 0,74 F ptk
Fonte Buchain, (2007, p. 28).

30
Fptk – resistência característica à tração do aço de protensão.
Fpyk – resistência característica de escoamento convencional do aço de protensão.
Epuk - Alongamento característico ultimo de protensão.
RB – relaxação baixa
RN – relaxação normal
σ - Tensão normal
σpo - Tensão da armadura ativa correspondente Po.
A NBR 6118:2003, fornece os valores médios da relaxação, medindos após
1000 horas para tensões iniciais básicas de 50% a 80% da resistência característica
fptk , a temperatura constante de 20°C.
Tabela 8 – Valores de ψ 1000 em %
Cordoalhas Fios Barras
poσ RN RB RN RB
0,5 fptk 0 0 0 0 0
0,6 fptk 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5
0,7 fptk 7 2,5 5 2 4
0,8 fptk 12 3,5 8,5 3 7
Fonte: Couto Filho, (2007, p. 40).
2.2.5 Perdas de protensão
Segundo Buchaim (2007, p, 87), As perdas de protensão são classificadas em
perdas imediatas e perdas progressivas.

31
2.2.5.1 Perdas de protensão imediatas
As perdas imediatas são no ato da protensão em decorrência do
encurtamento elástico da peça de concreto, por atrito e deslizamento da armadura
no dispositivo de ancoragem.
Segundo Couto filho (2002, p. 45), as perdas iniciais que merecem mais
atenção são pelo encurtamento do concreto, que consiste no ato da liberação das
cordoalhas tracionadas na cabeceira de protensão , que assim procuram voltar ao
seu estado inicial, sendo impedidas pelo concreto já endurecido, como
conseqüência transferindo as tensões aplicadas na cabeceira para a peça de
concreto e encurtando a armadura internamente, ocasionando uma perca da força
inicialmente aplicada no baricentro da armadura de protensão expressa através da
equação a seguir:
cc
ep
c
Popi
c
cp
toc
Ε
∗





Ι
+
Α
∗∆−−=
Ε
=Ε
1²1
)()(
σ
cpσ - Tensão inicial no concreto ao nível do baricentro da armadura de
protensão decorrente da protensão;
cΕ – modulo de elasticidade do concreto no instante da liberação da
armadura;
iΡ – força máxima aplicada à armadura pelo equipamento de protensão,
descontando s perdas iniciais antes da liberação da armadura;
po∆ – é a perda imediata de protensão por encurtamento elástico do concreto
e relaxação inicial, medida a partir de Pi, no tempo T = 0;
cΑ – é a área de seção transversal do concreto;
ep - excentricidade da armadura resultante em relação ao baricentro da
seção de concreto;
cΙ – momento de inércia da seção analisada.
Segundo Couto filho (2002, p. 46), o encurtamento da armadura pode ser
escrito pela equação:

32
pp
po
top
ΕΑ
∆
=Ε
*
)(
Onde:
pΑ - área da armadura de protensão;
pΕ – módulo de elasticidade da armadura de protensão.
Igualando a equação do concreto do nível do baricentro da armadura de
protensão com a deformação da armadura de protensão:
)()( toctop Ε=Ε
Substituindo as equações citadas acima, chegamos a equação que fornece o
valor da perda de protensão devido ao encurtamento imediato do concreto na
liberação da armadura:






Ι
+
Α
∗−
Α






Ι
+
Α
Ρ∗
−=∆
c
ep
c
p
p
c
ep
c
ip
po
211
21
α
α
Onde:
c
p
p
Ε
Ε
=α
2.2.5.2 Perdas progressivas
Segundo França; Hshitani (2002, p. 43), as perdas progressivas são
relacionadas à retração, fluência do concreto e relaxação da armadura de protensão.
Segundo Couto filho (2002, p, 47), as equações aplicáveis as vigas pré-
tracionadas que descrevem as deformações progressivas do concreto na posição da
cordoalha, ou fio, são descritas através da equação:

33
),(
28
121
),(
2
),(
1),(
28
,
totcs
cc
ep
c
totpp
tot
tot
c
pogc
ect Ε+





Ε
∗





Ι
+
Α
∗∆∗Α−∗





++∗
Ε
=∆ σ
ϕ
ϕ
σ
[ ]).(1
),(
),( totx
p
totp
totx
p
po
pt +∗
Ε
∆
+∗
Ε
=∆Ε
σσ
Em que:
pogc,σ – tensão do concreto adjacente á cordoalha, resultante, provocada
pela protensão e pela carga permanente, que inclui o peso da peça no instante to;
),( totσ∆ – variação da tensão no aço de protensão, no intervalo de tempo t,
to;
poσ – tensão na armadura ativa devida à protensão e à carga permanente
mobilizada pelo próprio peso da peça no instante t-to;
),( totscΕ – retração no intervalo t-to;
),( totx – coeficiente de fluência do aço da armadura ativa;
),( totϕ - Coeficiente de fluência do concreto para protensão e carga
permanentemente no intervalo de tempo t-to;
pΕ – modulo de elasticidade do aço de armadura ativa;
28cΕ – modulo de elasticidade do concreto inicial aos 28 dias;
pΑ – área da seção transversal do cabo resultante;
cΑ - área da seção transversal do concreto;
cΙ – momento central de inércia na seção do concreto;
ep – excentricidade da cordoalha, ou fio, resultante em relação ao baricentro
da seção do concreto.
Igualando as expressões acima em que ect = ect, obten0se a expressão
para determinar as perdas progressiva no intervalo de tempo t-to:
[ ] [ ]),(5,01
1
),(1
),(,),(),(
),(
tot
c
p
c
pptotx
totxpopogctotptotscp
totp
ϕα
σσϕα
σ
∗+∗





Ι
Ε
+
Α
∗Α∗++
∗−∗∗+Ε∗Ε
=∆

34
Em que:
28c
p
p
Ε
Ε
=α
),(5,01 totxc ϕ∗+=
),(1 totxxp +=
c
c
p
Ι
Α
∗Ε+= 21η
2.2.6 Pré-dimensionamento das cordoalhas
Segundo Pfeil (1988, p. 1), Utilizando a analise convencional de tensões
pode-se determinar o numero de cabos necessários para atender as condições do
problema. O caso mais desfavorável para esta verificação se dá após a
estabilização das perdas de protensão. Para o pré-dimensionamento da protensão,
admite-se que as perdas de protensão representem 25% do valor inicial P0.
)25,01.( −=∞ PoP
A equação que determina o números de cabos para as tensões na borda
inferior =igual a 0:
0
1
≥





+∞+
+
−
Wi
ep
Ac
xP
Wi
MqMg
2.2.7 Dimensionamento das estruturas
Segundo Carvalho e Figueiredo Filho, (2007, p. 41), o dimensionamento de
uma estrutura deve suportar sem deformações excessivas, todas as solicitações de
construção e uso sem levar a ruína.

35
O objetivo da analise estrutural é determinar os efeitos das ações em
uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações de estado-
limite último e de serviço. A análise estrutural permite estabelecer as
distribuições de esforços internos, tensões, deformações e
deslocamento em uma parte ou em toda a estrutura. (Carvalho;
Figueiredo Filho 2007, p. 41).
Alguns fatores podem não garantir totalmente a segurança do
dimensionamento tais como:
• Resistência dos materiais utilizados;
• Características geométricas das peças estruturais;
• Valores de solicitação calculados, que podem ser diferentes dos
reais.
Os métodos de dimensionamentos poder ser definidos em dois tipos, os de
tensões admissíveis e os de estado-limite. (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO,
2007, p. 41).
2.2.7.1 Método tensões admissíveis
Neste método são determinadas as solicitações de momento, força normal e
força cortante, correspondente as cargas de utilização. Este método considera fixos
os valores para cálculo, que raramente são atingidos em sua vida útil, levando ao
superdimensionamento da estrutura. Este método produz um não aproveitamento
dos materiais aplicados e o valor das tensões das cargas de serviço, são supostas
que durante a utilização a estrutura se comporte em regime elástico, não sendo
possível averiguar a margem de segurança. (CARVALHO, FILHO, 2007. 42).
2.2.7.2 Métodos dos estados limites
Neste método a segurança é garantida pela majoração das cargas, seja
menor que as solicitações de uso, sendo que estas levariam ao colapso da

36
estrutura, ou atingir o estado limite ultimo. (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2007.
p, 43).
O método do estados-limite é um processo simplificado de verificação
da segurança, visto que uma analise probalistica completa seria difícil
e complicada, até mesmo impossível, e por isso é chamado de
semiprobalistico. Admite-se que a estrutura seja segura quando as
solicitações de calculo forem, no máximo, iguais aos valores que
podem ser suportadas pela estrutura no estado-limite considerado.
(Carvalho; Figueiredo Filho 2007, p. 43).
2.2.7.3 Estado limite ultimo flexão simples (ELU)
Segundo França, Ishitani (2002, p. 51), a diferença entre o concreto armado e
o concreto protendido é a existência do pré-alongamento da armadura de protensão,
e no caso do estado limite ultimo o procedimento de calculo é o mesmo para o
concreto armado tradicional.
Segundo Couto Filho (2002, p. 57), o estado limite último é considerado a
ruína da obra, que quer dizer que a obra não posa ser usado, totalmente ou
parcialmente. A verificação do estado limite ultimo da estrutura consiste em
determinar o conjunto de esforços resistentes que consiste em Nrd e Mrd, que
constituem as envoltórias dos esforços solicitantes Nsd e Msd, que resumindo seja:
Rd ≥ Sd
Onde:
Rd – esforço resistente de calculo;
Sd – esforço solicitante de calculo.
Para os estados-limite último os valores para a verificação são
apresentados na tabela abaixo:

37
Tabela 9 – Valores de coeficiente do concreto e aço.
Combinações Concreto Aço
Normais 1,4 1,15
Especial ou de construção 1,2 1,15
Excepcionais 1,2 1,0
Fonte, CARVALHO, FIGUEIREDO FILHO, (2007, p. 51).
Para obras usuais e situações normais tem-se a minoração do concreto e aço
no estado limite último, com os valores de calculo:
Concreto
4,1
Fck
Fcd =
Aço
15,1
Fyk
Fyd =
A segurança das estruturas é regida pelo item da norma 3.2 da NBR
6118:2003, que engloba:
• Formação de fissuras;
• Abertura de fissuras;
• Deformação excessiva;
• Descompressão;
• Descompressão parcial;
• Descompressão excessiva;
• Vibração excessiva;
• Casos especiais.
2.2.7.4 Combinações ultima normal
Nas combinações ultima normal, uma das ações variável é considerada como
principal, e ela atua com seu valor característico Fk, e o restante como secundaria,

38
atuando com os seus valores reduzidos de Ψ0 x Fk, conforme a NBR 8681:2003. As
combinações normais são expressas pela equação:
Fd = Yg . Fgk + Yeg . Fegk + Yg . (Fq1k + ∑ Ψ0j . Fqij) + Yeq . Ψ0 . Feqk
Em que:
Fd – valor de calculo das ações para combinação ultima;
Fgk – representa as ações permanentes diretas;
Fek – representa as ações indiretas permanentes;
Fqk - representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida a principal;
Yg, Yeg, Yq, Ye – expressos na tabela 2;
Ψ0j, Ψ0e – expresso na tabela 3.
2.2.7.5 Combinações ultima especial e de construção
Nestas combinações são iguais as combinações normais ultimas, apenas
variando Ψ0, podendo ser substituído por Ψ2, quando a carga Fq1k, tiver duração
curta.
2.2.7.6 Combinações ultima excepcional
Nestas combinações também são substituídos Ψ0, por Ψ2, quando a carga
Fq1k, tiver duração curta.
Também deve ser figurado as ações de sismo, incêndio, e colapso
progressivo, neste caso a expressão é dada por:
Fd = Yg . Fgk + Yeg . Fegk + Fq1exc + Yg . + ∑ Ψ0j . Fqij + Yeq . Ψ0 . Feqk

39
Onde Fq1exc, é a ação excepcional.
2.2.8 Verificação no estado limite ultimo (ELU)
2.2.8.1 Condições de estabilidade
Segundo Ceccon (capitulo 7, p. 1) a estabilidade de uma seção está garantida
quando o momento resistente de calculo será maior ou igual ao momento solicitante
de calculo:
sdrd Μ≥Μ
Sendo que:
sksd Μ∗=Μ γ - momento solicitante de calculo proveniente do
carregamento;
rdΜ - momento resistente de calculo que produz a ruptura da seção
(representa a capacidade resistente da seção).
A verificação deverá ser feita para a situação mais desfavorável,
normalmente para a força ∞Ρ combinado com todas as cargas de projeto.desta
verificação resultará a armadura passiva As necessária.
2.2.8.2 Momento de descompressão
Segundo Ceccon (capitulo 7, p. 1) pode existir ou não tensão de tração em
uma peça, dependendo do ponto de aplicação da força estar dentro ou fora do
núcleo central da inércia da seção.
O fato de nessa situação se ter tensão de tração em parte da seção
não traz nenhum problema, uma vez que a força de protensão nunca
atua sozinha, portanto essa situação é hipotética. A medida que se
aplica a protensão na seção ela se deforma no sentido de se soltar da
pista de protensão e simultaneamente passa a atuar como um

40
carregamento, o peso próprio da estrutura. A parte do carregamento
que solicita a peça nesse instante é chamada carga mobilizada.
(Ceccon, cap, 6, p. 2)
Sendo considerada apenas a força de protensão as tensões no concreto são
calculadas por:
Wi
epP
Wi
P
i
∗
−
Μ
+
Α
−=σ
Wi
epP
Wi
P
s
∗
+
Μ
−
Α
−=σ
AS
Ap
G
y(+)
Po
Esu,P Tensão sup,P
Ecp,P Tensão cp,P
Einf,P
Tensão inf,P
Figura 1– deformação e tensão na seção, devidamente exclusiva à força de protensão ∞Ρ de tração
na armadura ativa e de compressão no concreto.
Nesta situação a armadura passiva está comprimida e a armadura de
protensão esta tracionada e a tensão na armadura de protensão é dadas por:
p
p
Α
Ρ
=σ
Onde P será a força de protensão no instante em que se pretende verificar o
estado limite ultimo. Sendo feita para o tempo t∞ , quando se tem a força de
protensão com o valor mínimo P∞ .

41
p
p
Α
∞Ρ
=∞σ
E a deformação na armadura pode ser calculada por:
p
p
p
Ε
∞
=∞Ε
σ
Segundo Ceccon (capitulo 7, p. 3) a medida em passa a atuar o carregamento
na estrutura a seção apresenta uma rotação ocorrido ao momento fletor solicitante.
Ao valor do momento que anula a tensão de compressão introduzida pela força de
protensão dá-se o nome de momento de descompressão que pode ser calculado
por:
p
Jc
cpop
Ε
∗=Μ σ
Se o momento solicitante de calculo for inferior ao momento de
descompressão significa que não existirá tração na armadura passiva. Assim deverá
ser adotada uma armadura mínima solicitado por norma.
Mas se o momento de calculo for superior ao solicitante significa que a
armadura estará tracionada, e a parcela do momento excedente causará um
acréscimo de tensão pxσ e de deformação pxΕ na armadura ativa.
2.2.8.3 Deformação de pré-alongamento para armadura aderente
Como comentado anteriormente o momento de descompressão provoca uma
rotação da seção que produz um alongamento na armadura de protensão e esse
acréscimo de deformação é dado por:
c
cp
pcp
Ε
=∆Ε=Ε
σ

42
Onde cpσ é uma tensão de tração produzida pelo momento de
descompressão.
O acréscimo de tensão corresponde, na armadura passiva:
p
c
cp
p Ε∗
Ε
=∆
σ
σ
A tensão na armadura devido ao estiramento da protensão mais o acréscimo
devido ao momento de descompressão se chama tensão de pré-alongamento:
pp σσσ ∆+∞=
E a deformação de pré-alongamento será:
ppp ∆Ε+∞Ε=Ε
Ou se fpyp pσ
p
p
p
Ε
=Ε
σ
2.2.8.4 Posição da linha neutra
Segundo Ceccon (capitulo 7, p. 5) na verificação à ruptura considera-se o
diagrama de deformação correspondente ao estado limite ultimo (ELU), que se
caracteriza por:
Ec = 3,5% - ruptura por esmagamento do concreto;
Es = 10% - deformação plástica excessiva do aço.
A posição da linha neutra se dá pela equação de equilíbrio:

43
00 =−+→=Σ RcdRstRpdFx
Sendo:
cccrRcd σ∗Α=
csRsd σ∗Α=
ppRpd σ∗Α=
Figura 2 – Diagrama de deformação de tensão no concreto e forças internas resistentes
correspondentes ao momento de calculo Mrd.
A Equação de equilíbrio pode ser por:
0=∗Α−∗Α+∗Α cccrsspp σσσ
Onde:
fcdc ∗= 85,0σ ou fcd∗80,0 , para seção retangular e seção I,
respectivamente.
Segundo Ceccon (capitulo 7, p. 8), para a determinação do valor de Accr,
usamos a equação de equilíbrio e pela analise geométrica encontramos a altura Y e
a profundidade da linha neutra X=Y/0,8 ou X=Y/0,85. Assim determinado a posição
da linha neutra deve se verificar os valores arbitrados para sσ e pσ , para os
domínios 2 e 3.
Onde:
ds
x
Χ
=β

44
259,0pxβ - domínio 2
10=Εs %
10∗
Χ−
Χ
=Ε
ds
c %
10∗
Χ−
Χ−
=Ε
ds
dp
px %
Se 0,259 <
0
0
0
0
5,3
5,3
lim.
+Ε
=≤
yd
xx ββ - domínio 3
0
05,3=Εc
0
05,3∗
Χ
Χ−
=Ε
ds
s
0
05,3∗
Χ
Χ−
=Ε
dp
px
A deformação Ep é dada por:
pxpp Ε+Ε=Ε 0
Sendo:
=Ε 0
p Deformação de pré-alongamento;
=Εpx Acréscimo de deformação na armadura ativa devida à parcela de Mrd
que excede ao momento de descompressão.
A seguir apresenta-se o diagrama de tensão X deformação para aços Cp-175
e CP-190.

45
A
B
C
D
1000x E p
0,78
0,76
(C P -175)0.61
(C P -190)0.55
0,87
5,4
7,7
9,0 500
Figura 3 – Diagrama tensão deformação de calculo simplificado dos aços cp-175 e
cp-190.
Trecho AO: p
fptk
p
Ε∗= 111,0
σ
(CP-175)
p
fptk
p
Ε∗= 103,0
σ
(CP-190)
Trecho AB: 592,0328,00198,0 2
−Ε∗+Ε∗−= pp
fptk
pσ
(CP-175)
342,0218,000097, 2
−Ε∗=Ε∗−= pp
fptk
pσ
(CP-190)
Trecho BC: 642,0
65
1
+Ε∗= p
fptk
pσ
(CP-175/CP-190)
Trecho CD: 769,0
465
1
+Ε∗= p
fptk
pσ
(CP-175/CP-190)
2.2.8.5 Momento resistente de calculo
Segundo Ceccon (capitulo 7, pag 10), o momento resultante dos esforços no
estado limite ultimo é chamado de momento resistente de calculo (Mrd), e é
expresso pela equação:
ZpRpdZsRsdrd ∗+=Μ *
Sendo:

46
ssRsd σ∗Α=
ppRpd σ∗Α=
rccxdsZs '−=
rccxdpZp '−=
Portando a equação de momento resistente pode ser escrito como:
)'()'( rcdxdppprcdxdsssrd −∗∗Α+−∗∗Α=Μ σσ
2.2.9 Armadura mínima passiva
Tabela 10:Taxas mínimas para armadura de flexão em vigas.
Forma da tabela Wmin
Valores mininos de pmin (As,min/Ac)
Resistência característica do concreto (fck) em Mpa
20 25 30 35 40 45 50
Retangular 0,035 0,15 0,15 0,173 0,201 0,23 0,259 0,288
“T” mesa comprimida 0,024 0,15 0,15 0,15 0,15 0,158 0,177 0,197
“T” mesa tracionada 0,031 0,15 0,15 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255
Circular 0,070 0,23 0,288 0,345 0,403 0,46 0,518 0,575
Fonte Cecon, (2004, p. 60)
OBS: Os valores de pmin apresentados na tabela acima se refere para o aço CA-50
com Yc=1,4 Ys=1,15. Caso seja diferente destes valores, pmin, deve ser calculado
com base no valor dado de Wmin. Na seção “T”, a área da seção (Ac) a ser
considerada deve incluir a alma e a mesa colaborante.
AcpAsAs .min, =≥ para armadura aderente.
Capca min,5,05,0min, ρρρρ ≥−=

47
Ac
Ap
ponde =ρ,
2.2.10 Classificação e verificação dos estados limites de fissuração das peças
(ELS)
Segundo Carvalho e Figueiredo Filho, (2007, p. 163), a fissuração das peças
de concreto podem comprometer a sua durabilidade, embora que não seja a única
condição, mas em grande parte há um risco de degradação da armadura. “Os casos
de fissuração são tratados no estado limite de serviço, porque interessa saber a
fissuração que ocorrerá na peça quando ela estiver em utilização.
2.2.10.1 Estado limite de formação de fissuras
Segundo França, Ishitani (2002, p, 24), O estado limite de formação de
fissuras se dá a máxima tensão de tração, calculada no estádio I (concreto não
fissurado e comportamento linear dos materiais), não atinja a resistência a tração ftk.
A resistência a tração é dada por fct,inf = 1,2 fctk,inf para peças de seção T
e , igual a fct,fl = 1,5 fctk,inf, para peças de seção retangular, onde;
fctk,inf = 0,21 (fck)2/3
E o momento resistente deve atender Mr ≥ Ms, onde se dá pela formula:
ZtFctkctZppxppZsssMr ∗∗Α+∗+∗Α+∗∗Α= )0( σσσ
Onde:
( )xds
xh
fcykkr
s =∗





−
∗
=σ
( )xdp
xh
fcykkr
px =∗





−
∗
=σ
sΑ – armadura passiva;

48
pΑ – armadura ativa;
Zs – é a distancia da resultante de tração da armadura passiva e a
resultante da compressão do concreto;
Zp – é a distancia entre a resultante de tração na armadura ativa e a
resultante da compressão do concreto;
Zt – é a distancia entre a resultante da tração do concreto e a resultante
da compressão do concreto;
ctΑ – área do concreto tracionado
2.2.10.2 Estado limite de abertura de fissuras
Segundo Couto Filho (2002, p. 51), A NBR 6118: 2003 recomenda para vigas
com pré-tração o valor limite de 0,2 mm. O calculo da abertura de fissuras deve ser
obtido pelo menor valor das expressões:
fctm
sx
x
Es
s
x
ix
i
x
σσ
η
φ 3
75,0210
1
−






+
Ρ−
Φ
45
4
)5,72(10
1
ri
x
Es
s
x
pi
i
x
σ
η
Onde
iΦ – diâmetro da cordoalha ou fio que protege a região de envolvimento
a considerar;
siσ – acréscimo de tensão, no concreto de gravidade da armadura ativa,
entre o estado limite de descompressão e o carregamento calculado no
estádio II;
piη – coeficiente de conformação superficial da armadura considerado:
1,0 para fios;
1,2 para cordoalhas de 3 e 7 fios;
1,4 fios dentados.
piΕ – modulo de elasticidade da cordoalha, ou fio em que Øi considerada:

49
fctm – resistência média do concreto a tração;
cri
s
ri
Α
Α
=Ρ
criΑ – xbwxdAcri )5,7'( φ+= - área da região de envolvimento, protegida
pela cordoalha ou fio.
2.2.10.3 Estado limite de descompressão
Segundo França, Ishitani (2002, p. 24), é o estado em qual toda a seção
transversal a tensão será nula, sendo calculada no estádio I, que não apresente
tensões de tração, sendo em que a situação limite corresponde a tensão nula em
algum de seus pontos, “exceto junto a região de ancoragem no protendido com
aderência inicial onde se permite esforços de tração resistidos apenas pela
armadura passiva, respeitando as exigências referentes a fissuração.”
2.2.10.4 Estado limite de compressão excessiva
Segundo Couto Filho (2002, p. 52), é o estado em que as tensões de
compressão na seção transversal calculadas no regime elástico linear, na fase de
aplicação da protensão não ultrapasse o limite 0.7 fckj.
2.2.10.5 verificações de estado limite de deformação
Segundo a NBR 6118: 2003 para verificar os estados limites de deformação,
devem ser analisadas as combinações das ações, e também outros fatores que são
a geometria da peça, os efeitos de fissurações e fluência do concreto. As flechas
limite que estão ligadas diretamente à destinação de uso da estrutura.

50
Quadro I – limites para deslocamento – aceitabilidade sensorial
Razão da
limitação
Exemplo
Deslocabilidade a
considerar
Deslocamento
limite
Visual
Deslocamento
visível em
elementos
estruturais
Total –
combinação quase
permanente
L/250
Outros Vibrações sentidas no piso
Em razão das cargas
acidentais
L/350
Fonte, CARVALHO, FIGUEIREDO FILHO, (2007, p. 168).
Quadro II – limites para deslocamento – efeito estruturais em serviço
Razão da limitação Exemplo Deslocamento a considerar Deslocamento limite
Superfícies que devem
drenar água
Coberturas e varandas
Total – combinação quase
permanente
L/250 (1)
Pavimentos em que devem
permanecer plano
Ginásio e pista de boliche
Total L/350 + contraflecha (2)
Ocorrido após a construção
do piso
L/600
Elementos que suportem
equipamentos sensíveis
Laboratórios
Ocorrido após o nivelamento
do piso
Conforme definido pelo
fabricante
Fonte: CARVALHO, FIGUEIREDO FILHO, (2007, p. 168).
Notas
1 – As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto,
compensando por contra flecha, de modo a não acumular água.
2 – Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de
contra flecha; entretanto, a atuação isolada da contra flecha não pode ocasionar um
desvio do plano maior que L/350.
2.2.11 Ações sobre as estruturas
Os casos de ações são regidos pela NBR 6118:2003, no capitulo 11,
”Denomina-se ação qualquer influencia, ou conjunto de influencias, capaz de

51
produzir estados de tensão ou deformação de uma estrutura” (CARVALHO;
FIGUEIREDO FILHO, 2007, p. 48).
• As ações são consideradas como:
• Ações permanentes
• Diretas e indiretas;
• Ações variáveis
• Diretas e indiretas;
• Ações excepcionais.
2.2.11.1 Coeficiente de ponderação das estruturas
Segundo a NBR 6118 (2003), no item 11.7, cometa que as ações devem ser
majoradas pelos coeficientes de ponderação:
Yf = Yf1 x Yf2 x Yf3
Yf1 – considera a variabilidade das ações;
Yf2 – considera simultaneamente as ações de Yf2 = Ψ0, Ψ1 ou Ψ2; em que:
Ψ0 – fator de redução para o estado-limite último;
Ψ1 – fator de redução de combinações freqüentes para o estado-limite de
serviço;
Ψ2 – fator de redução de combinação quase permanente para o estado-
limite de serviço.
Yf3 – considera os possíveis erros de avaliação dos defeitos das ações, seja por
desvios gerados nas construções, seja por deficiência do método de calculo
empregado. (CARVALHO,; FIGUEIREDO FILHO, 2007, p. 53).

52
Tabela 11 – Valores do coeficiente Yf = Yf2.
Ações
Combinações
de ações
Permanentemente Variável Protensão
Recalque de apoio e
retração
Desfav. Favorav. Geral Temperatura Desfav. Favorav. Desfav. Favorav.
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0
Especiais ou de
construção
1,3 1,0 1.2 1,0 1,2 0,9 1.2 0
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0
Fonte: CARVALHO, FILHO, (2007, p. 53).
Tabela 12 – Valores do coeficiente Yf2.
Ações
Yf2
Ψ0 Ψ1 Ψ2
Carga acidental de edifícios
Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos
por longo tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas, como é o caso de edifícios
residenciais.
0,5 0,4 0,3
Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por
longos períodos de tempo ou de elevada concentração de pessoas, como é o caso de
edifícios comerciais escritórios, estações e edifícios públicos.
0,7 0,6 0,4
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens. 0,8 0,7 0,6
Vento
Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral. 0,6 0,3 0
Temperatura
Variação uniforme de temperatura em relação à média anual local. 0,6 0,5 0,3
Fonte, CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, (2007, p. 53).
Segundo Carvalho e Figueiredo Filho, (2007, p. 54), o coeficiente de
ponderação das ações, para os estados limite de serviço é Yf2, ( Yf = Yf2 ), em que
Yf2 tem valor variável conforme a verificação da tabela acima, variando os fatores de
redução Ψ1 e Ψ2, conforme as combinações de serviço em que:

53
Yf2 = 1 para combinações raras;
Yf2 = Ψ1 para combinações freqüentes;
Yf2 = Ψ2 para combinações quase permanentes.
2.2.11.2 Combinações das ações
O carregamento é definido a partir das combinações das ações que podem
acontecer simultaneamente em um determinado tempo.
A combinação das ações deve prever o estado mais desfavorável em que a
estrutura posa ser submetida. Em todas as combinações, as ações permanentes
dever ser em sua totalidade. As ações variáveis de ver ser tomada apenas a parcela
em que produzem o efeito mais desfavorável. (CARVALHO,; FIGUEIREDO FILHO,
2007, p. 55).
A combinação das ações de estado limite ultima e estado limite de serviço,
são definidas pela NBR 6118:2003, no item 11.8, para diversas possibilidades. E a
NBR 8681:2003, no item 4.3.3, para os critérios gerais.
Segundo Carvalho e Figueiredo Filho (2007, p. 55), o edifico é definido por
combinações de ações em que possam atuar simultaneamente que são
relacionadas em:
Combinações últimas;
• Normais
• Especiais
• De construção
• Excepcionais
2.2.11.3 Combinações de serviço
As combinações de serviço são classificadas em:

54
• Quase permanente
• Freqüente
• Raras.
2.2.11.4 Combinações quase permanente
Admite-se que as ações permanentes atuem durante quase toda a vida útil e
suas verificações podem ser determinadas as deformações excessivas, e todas as
suas ações são consideradas com seus valores quase permanentes Ψ2 . Fqk, sendo:
Fdser = ∑ Fgi,k + ∑ Ψ2j . Fqj,k
Em que Fdser, é o valor de calculo para as ações de serviço.
2.2.11.5 Combinações freqüentes de serviço
Nas combinações freqüentes de serviço as ações se repetem varias vezes
durante o período de vida útil da estrutura, e é necessária sua verificação para o
estado limite de deformação e abertura de fissuras. A variação variável principal Fq1
é do valor freqüente Ψ1 . Fq1k, e as demais são com seus valores quase permanente
Ψ2 . Fqk. sendo:
Fdser = ∑ Fgi,k + Ψ1 . Fg1,k + ∑ Ψ2j . Fqj,k
Onde Fg1,k é o valor característico das ações variáveis principais
2.2.11.6 Combinações raras de serviço
Essas ações são demominado quando ocorrem algumas vezes na vida útil da
estrutura e sua consideração é importante para o estado limite de formação de
fissuras. A ação Fq1 é o valor característico Fq1k, e todas as demais são valores
freqüentes Ψ1 . Fqk, sendo:

55
Fdser = ∑ Fgi,k + Fg1,k + ∑ Ψ1j . Fqj,k
2.2.12 Qualidade das estruturas
Segundo Carvalho e Figueiredo Filho, (2007, p, 58) uma das principais
responsáveis pela perda de qualidade e durabilidade de uma edificação é a
agressividade do meio ambiente em que a obra se localiza. Nos projetos estruturais
o ambiente de agressividade é regido pela NRB 6118:2003, demonstrado na tabela
abaixo:
Tabela 13 – Classe de agressividade do concreto.
Classe de agressividade
ambiental
Agressividade
Classificação geral do
ambiente para efeito de
projeto
Risco de deterioração da
estrutura
I Fraca
Rural
Insignificante
Submerso
II Moderada Urbano1- 2
Pequeno
III Forte
Marinho1
Grande
Industrial1- 2
IV Muito forte
Industrial1- 3
Elevado
Respingos de maré
Fonte: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, (2007, p. 54).
Notas:
1 – Pode-se admitir um micro clima com uma classe de atividade mais branda (um
nível acima) para ambientes internos secos: salas, dormitórios, banheiros, cozinhas,
áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes
com concreto revestido com argamassa e pintura.
2 - Pode-se admitir uma classe de agressividade de atividade mais branda (um nível
acima) em: obras em região de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou
igual a 65%, partes da estrutura protegida de chuva em ambientes predominantes
secos ou regiões onde chove raramente.

56
3 – Ambiente quimicamente agressivo: tanques industrial, galvanoplastia,
branqueamento em indústria de celulose e papel, armazéns de fertilizantes,
indústrias químicas.
2.2.13 Dimensionamento das vigas protendidas a esforço cortante
Segundo Couto filho (2002, p. 69), para as vigas no esforço cortante, deverá
ser analisado no estado limite ultimo da mesma forma que as vigas com armadura
passiva, sendo que após a fissuração generalizada a viga apresenta um
comportamento resistente análogo ao de uma treliça.
Segundo Couto filho (2002, p. 69), a protensão atua de forma favorável no
dimensionamento. Os mesmos valores de tensão máxima na armadura transversal
0=pλ , para a viga em concreto armado, e valores mínimos quando 1=pλ para
armaduras protendidas, onde:
fyksfpykp
fpykp
p
∗Α+∗Α
∗Α
=λ
=Αp Soma das armaduras ativas;
=Αs Soma das armaduras passivas;
=fpyk Resistência característica de escoamento do aço de armadura ativa.
Segundo Couto filho (2002, p. 70), a NBR 6118 propõe para o
dimensionamento de elementos lineares no ELU, dois modelos de calculo
sobrepondo a treliça de Morsch, onde a resistência é assegurada pelo calculo da
armadura transversal e pela verificação da compressão diagonal do concreto, assim
deve atender simultaneamente as seguintes condições:
2VrdVsd p
3VrdVsd p
Vsd = força cortante solicitante de calculo, na seção;

57
2Vrd = força cortante resistente de calculo, relativa à ruína das diagonais
comprimidas de concreto, calculadas por um dos dois modelos citados acima;
VswVcVrd +=3 - força cortante resistente de calculo, relativa à ruína por tração
diagonal, calculadas por um dos modelos acima.
Vc =é a parcela de força cortante resistida por mecanismos complementares ao
da treliça;
Vsw= a parcela absorvida pela armadura transversal.
Segundo Couto filho (2002, p. 71), O primeiro modelo de calculo pressupõe que
as diagonais de compressão estão inclinadas de 45°em relação ao eixo longitudinal
da viga e Vc é suposto de valor constante. Para o calculo da força cortante, relativo
a ruína das diagonais comprimidas, é expresso pela expressão:
dBwfcdvVr ∗∗∗∗= α27,02
Onde:
250
1
fck
v −=α
E para a obtenção da armadura transversal pode utilizar a equação:
)cos(9,0 αα +∗∗∗
−
=
Α
senfywdd
VcVsd
S
sw
Onde:
=Αsw Área da seção transversal dos estribos de força cortante;
=S Espaçamento entre estribos segundo o eixo longitudinal da viga;
=fywd Resistência ao escoamento da armadura transversal, valor de calculo;
=α Ângulo de inclinação ao eixo transversal da viga.
E para o calculo de Vc, no caso de vigas protendidas que são submetidas a
flexo-compressão, utiliza-se a expressão:
Vco
d
o
VcoVc ∗≤
Μ
Μ
+∗= 2)1(
Onde:
dBwfctdVco ∗∗∗= 6,0 em que cfctkfctk γmin/,= ;

58
Md = maior momento de calculo onde se verifica o valor da força cortante Vd;
Mo = valor de momento fletor que anula a tensão normal de compressão na
borda da tensão tracionada por Md, Max, pela força normal de diversas origens com
Vd.
Segundo Couto filho (2002, p. 71), no caso de vigas pré-fabricadas, que são
isostáticas, Md é o momento fletor máxino de calculo no tramo estudado e Mo é o
momento fletor máximo que anula a tensão de compressão, devido a protenção,
calculado com 9,0=pγ :




Α
∗∞=∗Ν+∞=∗Μ−=Μ
c
Wc
tpdtpdo
inf,
)()(
Onde:
=∞=Μ )(tpd Momento fletor de calculo atuante, na seção transversal da viga,
devido à força de protensão após as perdas;
=∞=Ν )(tpd Força normal de compressão de calculo atuante, na seção
transversal da viga, devido a força de protensão após as perdas;
=inf,Wc Modulo de resistência da seção transversal da viga relativo à fibra
inferior;
=Αc Área da seção transversal da viga.
Segundo Couto filho (2002, p. 71), o segundo modelo pressupõe que as
diagonais de compressão tenham inclinação diferentes de 45° desde que
30° ≤≤ φ 45° em relação ao eixo longitudinal da viga e Vc com valores reduzidos.
Para calculo da força cortante resistente relativa a ruína das diagonais comprimidas
é dado pela expressão:
)cot(cot54,02 2
φαφα ggsendbwfcdvVr +∗∗∗∗∗∗=
E para a armadura transversal, da-se a expressão:

59
αφα senggfywdd
VcVsd
S
sw
∗+∗∗∗
−
=
Α
)cot(cot9,0
Para o calculo de Vc, no caso de vigas protendidas que são submetidas a
flexo-compressão, utiliza-se a expressão:
12
)
1(1 Vc
Md
Mo
VcVc ∗≤+∗=
Onde Vc1é obtido através das expressões:
Se VcoVsd ≤ então VcoVc =1
Se VcoVsd f então
VcoVr
VcoVsdVco
VcoVc
−
−∗
−=
2
)(
1
Independente do modelo usado sempre deve ser verificado a armadura
transversal mínima através da expressão:
fywk
fctm
senbw
S
sw
∗∗∗≥
Α
α2,0
2.2.14 Definição das armaduras passivas
Segundo Couto filho (2002, p. 73), a definição da armadura passiva nas vigas
pré-fabricadas costuma ser um complicador em seu ciclo de produção, desta forma
podemos minimizar o seu uso. Para as vigas submetidas a esforços usuais este tipo
de armadura é usado para a absorção das tensões de içamento e transporte, na
região de implantação da protensão. Para garantir a resistência ao ELU, esta
armadura deve ser calculado no estádio II, admitindo-se que a força absorvida por
ela seja igual a resultante das tensões de tração no concreto adotando-se com
tensão limite no aço de 150 Mpa, para fios e 250 Mpa, para barras nervuradas.

60
Ainda conforme o autor, na região de implantação da protensão o estado de
tensões é menos severo que nas vigas pós-tensionada, devido a transferência
gradual das força de protensão. Nesta região deve ser dimensionar o estribo num
trecho de 0,7 lpbt, sendo o comprimento necessário de transferência por aderência
para o concreto da total força de protensão, envolvendo as cordoalhas para o
controle das tensões de fendilhamento, sendo dimensionada pela expressão:
fyd
barrafif
st
,25,0 ∗∗
=Α
γ
Onde:
=barrafi, Força inicial de protensão aplicada a uma cordoalha.
Segundo Couto filho (2002, p. 74), nas bordas da viga, junto a extremidade,
na direção transversal e longitudinal deve ser adotar uma armadura calculada
conforme a expressão:
fyd
h
ep
fi
bordas
1
2
1
0165,0, ∗
−
∗=Α
Onde:
=fi Força de protensão;
=ep Excentricidade da força de protensão;
=h Altura da peça.
O Ibpt é dado pela expressão:
fpyd
pi
IbpIbpt
σ
∗∗= 7,0 para fios dentados e lisos;
fpyd
pi
IbpIbpt
σ
∗∗= 5,0 para cordoalhas de 3 e 7 fios.
Onde:
=piσ tensão na armadura ativa imediatamente após a aplicação da
protensão.
E para calculo de Ibp é dado pelas expressões:

61
fbpd
fpydp
Ibp ∗=
4
φ
para fios dentados e lisos isolados;
fbpd
fpydp
Ibp ∗=
36
7φ
para cordoalhas de 3 e 7 fios;
Onde:
fctdppfbpd ∗∗= 21 ηη
Em que:
=1pη 1,0 para fios lisos;
1,2 para cordoalhas de 3 e 7 fios;
1,4 para fios dentados;
=2pη 1,0 para situações de boa aderência;
0,7 para situações de má aderência;
c
fctk
fctd
γ
= - valor de calculo da resistência á tração do concreto na idade
de aplicação da protensão para calculo do comprimento da transferência.
2.2.15 Definição da armadura de pele
Segundo Carvalho, fiqueiredo filho, (2007, p.159), a a armadura de pele tem a
função de minimizar os problemas decorrentes das fissurações, retração e variação
de temperatura, e serve também para diminuir a aberturas de fissuras de flexão na
alma da viga.
A armadura de pele deve ser colocada em cada face da alma da viga, que é
dada pela expressão a seguir:
deAcpeleAs %10,0, =

62
Esta armadura deve ser disposta de modo que o afastamento entre barras
não ultrapasse 20 cm, e também 3/d, e ainda que na zona tracionada não seja
menor que 15 Ø.
Em vigas com altura inferior a 60 cm, não a necessidade a colocação da
armadura de pele.

63
3 METODOLOGIA DO TRABALHO
3.1 Desenvolvimento do dimensionamento
Na elaboração deste presente trabalho, será analisado e dimensionado uma
viga pré-moldada protendida.
Para a determinação dos resultados, será analisada uma viga de cobertura,
com 25 metros de comprimento, que suportará as terças de cobertura em concreto
com 10 metros de comprimento, as telhas de aluzinc de 6 mm de espessura e mais
estabelecido por norma sobrecarga.
Será carregada a viga com as cargas das peças citadas acima, com terças
espaçadas a cada 1,90 metros com peso de 55 kgf/m, telha de aluzinc com 5 Kg/m²
e sobrecarga de 25 Kg/m². A modulação entre vigas será de 10 metros entre eixos.
Será dimensionado de acordo com a norma NBR 6118, 2003, levando em
consideração a interpretações dos engenheiros Ricardo Leopoldo e Silva frança,
Hideki Ishitani, Francisco Graziano, João Couto filho e Roberto Buchaim.
Assim resumindo para calculo das vigas protendidas deverá ser seguido a
seqüência abaixo:
• Características geométricas;
• Características dos materiais;
• Carregamentos;
• Pré-dimensionamento das cordoalhas;
• Calculo dos esforços internos solicitantes momentos e cortantes
máximos;
• Calculo da força de protensão inicial;
• Calculo das perdas imediatas;
• Calculo das perdas progressivas;

64
• Analise dos estados limite de serviço;
• Analise dos estados limite ultimo;
• Analise dos esforços tangenciais
• Definição da armadura passiva
• Definição da armadura de pele
• Detalhamento da armadura na seção tranversal e longitudinal da
peça.
3.2 Cálculos da Viga de cobertura Protendida Exemplo
Vc = 25 m
Dimensões = 30 x 110 cm
Modulação entre vigas = 10 m
Sc = 250 Kgf/ m²
Telha = 5 Kgf/ m²
Terça de concreto = 30 Kgf/ m²
Ix = 1.0782 e-3 cm4
Iy = 2.6919 e- 002 cm4
Área = 1950 cm²
Volume = 4.8 m³
Iz = 8.6715 e- 4
Ax = 1,95 e-1
I = 2691900 cm 4
WS = 48943,6 cm³
WI = 48943,6 cm³
Vão da Viga
25 m
Fck = 50 MPA
Fcj = 30 MPA
Ec = 5600 x 50 = 39 598 Mpa

65
Ecs = 0,85 x 39 597 = 33 658 Mpa
fctm = 0.30 x 50 2/3 =
4,07 Mpa
mifctm, = 0,7 x 4,07 = 2,85 Mpa
• Armadura Ativa
Cordoalha de 7 fios Cp 190 RB – 12.7 mm
fptk = 1900 Mpa
fpyk = 1727 Mpa
Ap = 0,987 cm2
por cordoalha
Ep = 200000 Mpa
Acp = 5,05 relação ente Ep e Eci
• Armadura Passiva
fyk = 500 Mpa
Es = 210 000 Mpa
3.3 Carregamentos Sobre a Viga
• Peso próprio da viga =
PP 480 Kg/m → Mo = 37500 Kg/m
Cortante = 6000 Kg
• Carga Permanente =
CP = 350 Kg/m Mo = 27344 Kgf . m
Cortante = 4375 Kgf
• SobreCarga =
SC 250 Kg/m Momento 19531 Kgf . m
Cortante 3125 Kgf

66
3.4 Pré-dimensionamento das cordoalhas
tfP 93,122
04894,0
34,0
195,0
1
04894,0
65.72
=
+
=∞
80,10)25,01(4,14, =−=∞ xmedioP
1238,11
80,10
93,122
===°cabosN
3.5 Cálculos da Força de Protenção
Teremos uma viga, com 2 cordoalhos superiores e 10 cordoalhos inferiores.
0,77 x 1900 x 0,0987 1444 Kn
987,0
1444
=piσ = 1463 Mpa
3.6 Cálculos de Máxima Força Aplicada à Armadura Ativa pelo Equipamento de
Tração e a sua Excentricidade
84,11987,012 == xPa cm2
172814412 == xPi Kn
34,0
12
2*06,11004,0
55,0 =
+
−=
x
Epi m

67
3.7 Cálculo das Perdas Imediatas
•••• Perda inicial por relaxação do aço das cordoalhas.
Esta perda se dá pela fixação da cordoalha na cabeceira de ancoragem e
com o corte da cordoalha ocorre uma diminuição da intensidade da força Pi,
provocada pela relaxação do aço, adotado para um período de 24 horas.
Primeiramente adota-se o coeficiente de relaxação para 1 000 horas.
77,0
1900
1463
==
fptk
piσ
W1000 = 3,5 %
e para 24 horas,
W (24) = 02,0
67,41
1
035,0
15,0
=





Assim a perda inicial é calculada pela expressão:
prσ∆ (24) = 1463 x 0,02 = 29,26 Mpa
•••• Perda para encurtamento inicial do concreto.
Para a perda do concreto, devem-se calcular separadamente as cordoalhas
superiores e inferiores, pois estas terão comportamento diferenciado.
Inicialmente determina-se a perda na cordoalha resultante que passa pelo
ponto de aplicação da força resultante.
prPi σ∆− (24h) x Ap = 1728 – (29,26 x 1,97) = 1670,35 Mpa

68
65,36
026919,0
²34,0
195,0
1
05,56,844
026919,0
²34,0
195,0
1
35,169305,5
)26,2997.1( =


















+−






+
+=∆
x
xx
xpo Kn
Po = 1728 – 36,65 = 1691,35 Kn
Depois de calculado Po, calculam-se as tensões no concreto devido à
protensão.






±−=
026919,0
51,034,0
195,0
1
35,1691
x
xcpoσ
70,2218sup, =cpoσ Kn/m²
90,19565inf, −=cpoσ Kn/m²
Depois de calculados as sup,cpoσ e inf,cpoσ pi e cp, deverá ser calculado a
deformação unitária das fibras adjacentes às cordoalhas e conseqüente as perdas
de força de protensão nas cordoalhas.
∆Po,sup = 2218,70 x 2 x 5,05 x 9.87.10-5
= 2,21 Kn
∆Po,inf = 19565,90 x 10 x 5,05 x 9.87 . 10-5
= - 97,52 Kn
Agora se pode calcular as forças de protensão nas cordoalhas superiores e
inferiores após as perdas imediatas.
Po cordoalhas 144
12
1728
= kn
Po,sup = 144 x 2 + 2,21 = 290,21 Kn
Po,inf = 144 x 10 – 97,52 = 1342,48 kn
3.8 Cálculos das Perdas Progressivas
Perímetro da viga = 2,71 m
Idade fictícia

69
to, fic = 217
30
1020
3 =
+
xx dias
Supondo que em um ano:
3 meses à 15º c
6 meses à 20º c
3 meses à 30º c
tfic = 342202737
30
1030
5475
30
1020
2737
30
1015
3 =




 +
+
+
+
+
xxxx dias
Espessura Fictícia
hfic = ( 1 + e (-7,8+0,1+70) ) x 71,2
195,02x
= 0,208 m
3.9 Determinações do Coeficiente de Fluência
• Determinação do coeficiente de fluência rápida
63,0
612140219
4221219
)(
)(
=
++
+
=
∞ xx
xx
tfc
tofc
Qa = 0,8 x (1 – 0,63) = 0,30
• Determinação do coeficiente de deformação lenta irreversível Qf
A = 42 x (0,21)3
– 350 x (0,21)2
+ 588 x (0,21) + 113 = 221,43
B = 768 x (0,21)3
– 3060 x (0,21)2
+ 3234 x (0,21) – 23 = 528,31
C = -200 x (0,21)3
+ 13 x (0,21)2
+ 1090 x (0,21) + 183 = 410,62
D = 7579 x (0,21)3
– 31916 x (021)2
+ 35343 x (0,21) + 1931 = 8015,72
βto = 329,0
72,80153422062,410212
31,52821221212
=
++
++
x
x

70
βf (t) = 995,0
72,80153422062,41021
31,5283422043,22134220
2
2
=
++
+++
x
Q1c = 4,45 – 0,035 x 70 = 2,00
Q2c = 54,1
2120
2142
=
+
+
Qf = (1,54 x 2,00 x (0,995 – 0,329) = 2,05
• Determinação do Coeficiente de Deformação Lenta Reversível
βd =
399,0
702110950
102110950
=
+−
+−
Qd = 0,40 x 0,999 = 0,399
3.10 Valores de Coeficiente de Fluência
Q (t,to) = 0,30 + 2,05 + 0,4 = 2,75
3.11 Determinações da deformação Especifica por Retração do Concreto
44
2
1088,210
2138,20
21233
1590484
7070
16,6 −
=
+
+






+
+
−−=∞ xx
x
x
xEcs
A = 40
B = 116 x (0,21)3
– 282 x (0,21)2
+ 220 x (0,21) – 48 = 30,04
C = 2,5 x (0,21)3
– 8,8 x (0,21) + 40,7 = 38,38
D = -7,5 x (0,21)3
+ 585 x (0,21)2
+ 496 x (0,21) – 6,8 = 122,49
E = -169 x (0,21)4
+ 88 x (0,21)3
+ 584 x (0,21)2
– 39 x (0,21) + 80 = 18,85

71
βs(to)= 17,0
85,1821,046,12221,088,3821,0
21,004,3021,04021,0
23
2
=
+++
++
xx
xx
βs(T) = 00,1
85,182,34246,1222,34288,382,342
2,34204,302,3424023,342
22
2
=
+++
++
xx
xx
),( totEcs = - 2,88 x 10-4
x (1 – 0,17) = 2,39 x 10-4
3.12 Determinação da relaxação ψ (t,to) e Fluência x (t,to) do Aço de Protensão
• Cordoalha superior
60,1465
1974,0
31,289
sup, ==poσ Mpa
77,0
1900
60,1465sup,
==
fptk
poσ
Mpa ψ = 3,5%
0807,0
67,41
110950
035,0),sup(
15,0
=




 −
=∞ xtoψ
0841,00807,01ln(sup =−−=X
• Cordoalha inferior
16,1360
987,0
48,1342
inf, ==poσ Mpa
71,0
1900
16,1360sup,
==
fptk
poσ
ψ = 2,5%
0577,0)110950(025,0),inf( 15,0
=−=∞ xtoψ
0594,0)0577,01ln(inf =−=X

72
3.13 Determinações do Valor Final das Perdas Progressivas
22,0
80,1631
04,048,134206,131,289
=
+
=
xx
Ypo m
Epo = 0,55 – 0,22 = 0,33 m
• Cordoalha superior
10380
026919,0
51,044,648
026919,0
33,0
195,0
1
80,1631.
2
−=−





−−=
x
xpogcσ Kn/m2
46,291
2
75,2
1
026919,0
51,033,0
195,0
1
0001968,005,5)0841,01(
0841,060,146575,238,1005,52000001039,2
),(
4
−=






+





−++
−−−
=∆
−
x
x
xx
xxxxx
totpσ Mpa
Pt, sup = 290,21 – 291,46x 0,1974 = 232,67 Mpa
• Cordoalha Inferior
2690
026919,0
51,044,648
026919,0
33,0
195,0
1
80,1631.
2
−=+





+−=
x
xpogcσ Kn/m2
40,136
2
75,2
1
026919,0
51,033,0
195,0
1
000987,005,5)0577,01(
0577,080,134275,269,205,52000001039,2
),(
4
−=






+





+++
−−−
=∆
−
x
x
xx
xxxxx
totpσ Mpa
PT,inf = 1342,48 – 136,40 x 0,987 = 1207,90 MPA

73
Resumo total das perdas
Cordoalhas Pi Po Pt TOTAL %
Superior 288,8 290,21 232,67 19,43%
Inferior 1444 1342,48 1207,90 16,35%
3.14 Análises dos Estalos Limites de Serviço
Combinação quase permanente Ψ2 = 0,4
Combinação freqüente Ψ1 = 0,6
Combinação rara = 1,0
• Combinação quase permanente
Md = 648,44 + 0,4 x 195,31 = 726,56 Kn x m
• Combinação freqüente
Mdf = 648,44 + 0,6 x 195,3 = 765,45 Kn x m
• Combinação rara
Md = 648,44 x 195,3 = 843,74 Kn x m
3.15 Determinações da Excentricidade resultante destas Forças após as
Perdas Progressivas
3060,0
57,1440
04,090,120706,167,232
51,0 =




 +
−=∞
xx
Ep m

74
3.16 Calculo das tensões atuantes no meio do vão.
Para os cálculos das tensões atuantes para as verificações foram levados em
conta só o momento máximo atuante na viga
• Tensões referentes às combinações quase permanentes
Wi
epP
Wi
P
i
∗
−
Μ
+
Α
−σ
²/00,0²/38,15
6,48943
60,30143967
6,48943
7266000
1950
144057
cmKgfcmKgf
x
i ≤−=−+−σ
Wi
epP
Wi
P
s
∗
+
Μ
−
Α
−σ
²/300²/28,132
6,48943
60,30143967
6,48943
7266000
1950
144057
cmKgfcmKgf
x
s −≤−=+−−σ
Gráfico 01 – Tensões quase permanente.
13,1 kgf/cm2
- 32,2 kgf/cm2
- 69,4 kgf/cm2
- 98,3 kgf/cm2
- 118,9 kgf/cm2
- 131,3 kgf/cm2- 135,4 kgf/cm2- 131,3 kgf/cm2
- 118,9 kgf/cm2
- 98,3 kgf/cm2
- 69,4 kgf/cm2
- 32,2 kgf/cm2
13,1 kgf/cm2
Max. Tração 0 ,00kgf/m2
Max.Compressão
-300 kgf/cm2
- 162,2 kgf/cm2
- 116,9 kgf/cm2
- 79,7 kgf/cm2
- 50,9 kgf/cm2
- 30,3 kgf/cm2
- 17,9 kgf/cm2
- 13,8 kgf/cm2
- 17,9 kgf/cm2
- 30,3 kgf/cm2
- 50,9 kgf/cm2
- 79,7 kgf/cm2
- 116,9 kgf/cm2
- 162,2 kgf/cm2
0,0 m 2,0 m 4,0 m 6,0 m 8,0 m 10,0 m 12,0 m 14,0 m 16,0 m 18,0 m 20,0 m 22,0 m 24,0 m
Legenda
Tensão superior
Tensão inferior

75
• Tensões referentes às combinações freqüentes.
²/80,60²/41,7
6,48943
60,30143967
6,48943
7656000
1950
144057
cmKgfcmKgf
x
i ≤−=−+−σ
²/300²/24,140
6,48943
60,30143967
6,48943
7656000
1950
144057
cmKgfcmKgf
x
s −≤−=+−−σ
Gráfico 02 – Tensões Frequentes.
13,1 kgf/cm2
- 34,7 kgf/cm2
- 73,9 kgf/cm2
- 104,2 kgf/cm2
- 125,9 kgf/cm2
- 139,0 kgf/cm2- 143,3 kgf/cm2- 139,0 kgf/cm2
- 125,9 kgf/cm2
- 104,2 kgf/cm2
- 73,9 kgf/cm2
- 34,7 kgf/cm2
13,1 kgf/cm2
Max.Tração 60.8 kgf/cm2
Max.Compressão
-300 kgf/cm2
- 162,2 kgf/cm2
- 114,5 kgf/cm2
- 75,3 kgf/cm2
- 44,9 kgf/cm2
- 23,2 kgf/cm2
- 10,1 kgf/cm2
- 5,8 kgf/cm2
- 10,1 kgf/cm2
- 23,2 kgf/cm2
- 44,9 kgf/cm2
- 75,3 kgf/cm2
- 114,5 kgf/cm2
- 162,2 kgf/cm2
0,0m 2,0m 4,0m 6,0m 8,0m 10,0m 12,0m 14,0m 16,0m 18,0m 20,0m 22,0m 24,0m
Legenda
Tensão superior
Tensão inferior

76
• Tensões referentes às combinações raras.
²/8,60²/56,8
6,48943
60,30143967
6,48943
8438000
1950
144057
cmKgfcmKgf
x
i ≤=−+−σ
²/300²/22,156
6,48943
60,30163180
6,48943
8437500
1950
144057
cmKgfcmKgf
x
s −≤−=+−−σ
Gráfico 03 – Tensões Raras.
13,1 kgf/cm2
- 39,5 kgf/cm2
- 82,7 kgf/cm2
- 116,2 kgf/cm2
- 140,1 kgf/cm2
- 154,5 kgf/cm2- 159,3 kgf/cm2- 154,5 kgf/cm2
- 140,1 kgf/cm2
- 116,2 kgf/cm2
- 82,7 kgf/cm2
- 39,5 kgf/cm2
13,1 kgf/cm2
Max.Tração 60.8 kgf/cm2
Max.Compressão
-300 kgf/cm2
- 162,2 kgf/cm2
- 109,6 kgf/cm2
- 66,4 kgf/cm2
- 32,9 kgf/cm2
- 9,0 kgf/cm2
5,4 kgf/cm2
10,2 kgf/cm2
5,4 kgf/cm2
- 9,0 kgf/cm2
- 32,9 kgf/cm2
- 66,4 kgf/cm2
- 109,6 kgf/cm2
- 162,2 kgf/cm2
0,0 m 2,0 m 4,0 m 6,0 m 8,0 m 10,0 m 12,0 m 14,0 m 16,0 m 18,0 m 20,0 m 22,0 m 24,0 m
Legenda
Tensão superior
Tensão inferior
• Tensões referentes no ato da desprotensão.
²/210²/21,117
6,48943
33163150
6,48943
3750000
1950
163180
cmKgfcmKgf
x
i −≤−=−+−σ
²/35²/15,48
6,48943
33163180
6,48943
3750000
1950
163180
cmKgfcmKgf
x
s ≤−=+−−σ
Gráfico 04 – Tensões no ato da desprotensão.

77
3,0 kgf/cm2
- 16,3 kgf/cm2
- 31,1 kgf/cm2
- 41,8 kgf/cm2
- 48,2 kgf/cm2 - 50,3 kgf/cm2 - 48,2 kgf/cm2
- 41,8 kgf/cm2
- 31,1 kgf/cm2
- 16,3 kgf/cm2
3,0 kgf/cm2
26,3 kgf/cm2
Max.Tração 35 kgf/cm2
Max.Compressão
-210 kgf/cm2
- 170,3 kgf/cm2
- 151,1 kgf/cm2 - 136,3 kgf/cm2
- 125,6 kgf/cm2
- 119,2 kgf/cm2
- 117,1 kgf/cm2
- 119,2 kgf/cm2
- 125,6 kgf/cm2
- 136,3 kgf/cm2
- 151,1 kgf/cm2
- 170,3 kgf/cm2
- 193,7 kgf/cm2
1,0 m 3,0 m 5,0 m 7,0 m 9,0 m 11,0 m 13,0 m 15,0 m 17,0 m 19,0 m 21,0 m 23,0 m 25,0 m
Legenda
Tensão superior
Tensão inferior
3.17 Calculo para o estado limite ultimo
• Calculo do pré-alongamento da armadura
20,1=pγ - cordoalha superior
90,0=pγ - cordoalha inferior
• Cordoalha superior
93,1408
0987,02
77,23120,1
sup, ==
x
x
peσ Mpa
0071,0
200000
93,1408
sup, ==peε
• Cordoalha inferior

78
71,1081
0987,010
90,120790,0
inf, ==
x
x
peσ Mpa
0054,0
200000
71,1081
inf, ==peε
Para iniciar o calculo do momento resistente deve-se escolher o domínio de
deformação que caracteriza o ELU, onde será adotado o domínio 2, e a
profundidade da linha neutra situada na mísula superior.
Posição da linha neutra
• Calculo da força resistente máxima nas cordoalhas superiores:
sup),.sup,.(.sup, ppeApEpRp εε=
0016,001,0
18,006,1
04,018,0
sup, =





−
−
−= xpε
Kn
60,163405,030,32692 == xRcd Kn
80,143301,114,21701,160,1634 =−= xxMrs Kn.m
14,2170016,00071,0)0987,02(200000sup, =−= xxxRp

79
64,11804,131,1954,1648 =+= xxMsd Kn.m
Msd<Mrd
64,1180 < 80,1433 , portanto verifica-se a segurança e não é necessária armadura
passiva, mas a norma recomenda que seja usada armadura passiva mínima dada
por:
197,0min =ρ
%6,0100
1950
84.11
== xpρ
100
197,0
5,0006,05,0
100
197,0
xx ≤−=ρ
²92,11950
2
%197,0
min cmxAs == > ²78,3
100
1950
1950
84,11
5,0197,0 cmxx =











−
Adotado 3,78 cm²
3.18 Calculo da abertura de fissuras
50,38230)25,174( =+= xxAcr
005,0
50,382
95,1
==Pcr
41,16001,0
10,1
18,0
10,1
04,1
21000 =





−= xxsiσ Kn/cm²
mm
x
xx
x
x 07,0
407,0
41,163
21000
41,16
75,02,12
5,12
10
1
=





−

80
mmxx
x
x 5,045
005,0
4
21000
41,16
75,02,12
5,12
10
1
=





+





−
Logo W= 0,07 mm<0,2 mm.
3.19 ELU – Para Solicitações Tangenciais
Modelo de cálculo NBR 6118-2003
Verificação da compressão diagonal do concreto
8,0
250
50
1 =−=dv
75,105606,112,0500008,027,02 == xxxxvrd Kn
19025,314,178,1034,1 =+= xxVsd Kn
Vrd2 > Vsd
Cálculo de Armadura Transversal
Determinação Vc
Npd(T = ∞) = 0,9 x – 1454,22 = - 1308,80 Kn
Mpd(T = ∞) = 0,9 x – 1454,22 x 0,217 = -284 Kn x m
45,612
195,0
048936,0
80,1308284 =−−= xMo Kn x m
Md = 1,4 x 843,75 x 1184,25 Kn x m

81
fcd = 0,7 x 0,3 x 50 2/3
x 1/3 x 0,95 MPA
Vco = 0,6 x 0,95 x 0,12 x 1,06 = 72,50 Kn
14599,109
25,1184
45,612
150,72 ≤=





+= xVc
Armadura Transversal
ASW= 92,1
47,4306,19,0
99,109190
=
−
xx
cm2
3.20 Determinação de Armaduras Passiva para combater o fendilhamento
Fi,barra = Kn65,144
2
31,289
AST= 17,1
47,43
65,1444,125,0
=
xx
cm²
Esta armadura deverá ser distribuída em um trecho de comprimento de
0,7 lptb.
Fctd = 85,1
3,1
1
393,07,0 3/2
=xxx Mpa
Fbpb = 22.285,112,1 =xx
Fbpp = 98,133
22,2
09,1610
36
95,07
=x
x
Lpbt = 97,60
09,1610
55,1465
98,1335,0 =xx cm

82
0,7 lpbt = 0,7 x 60,97 = 42,70 cm.
3.21 Definição da armadura de borda
Asborda =
2
76,1
47,43
1
10,1
217,02
1
1728
0165,0 cmx
x
x =
−
3.22 Definição da armadura de pele
²84,0840
100
10,0
, cmxpeleAc ==

83
4.0 CONCLUSÃO
Devido ao crescimento das obras em pré-fabricados, há necessidade das
empresas investirem em novas soluções estruturais. Uma destas soluções são as
vigas em concreto protendido. Através desta solução podem-se executar vigas com
maiores vão, onde no processo convencional (armadura frouxa), ficaria
ante-econômico.
Para executar peças protendidas pré-moldadas necessitam de um
conhecimento mais aprofundado, pois englobam o processo de fabricação, içamento
e montagem, que em alguns casos os esforços são maiores que os de uso.
A protensão de curto a médio prazo será um dos procedimentos de calculo
mais usado no Brasil, devido ao processo de aplicação de tensões prévias na viga,
onde reduz os custos e dimensões de peças se forem comparadas a de uma viga
com armadura frouxa com as mesmas cargas e mesmos vãos.

84
REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6118 – Projeto
de estruturas de concreto: Procedimentos. Rio de Janeiro, 2003.
CARVALHO, Roberto Chust.; Filho, Jasson Rodrigues de Figueiredo. Calculo e
detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118:
2003. São Carlos, Edufscar, 2007.
BUCHAIM, Roberto. Concreto protendido: Tração axial, flexão simples e força
cortante. Londrina, Eduel, 2007.
PFEIL, Walter. Concreto protendido: introdução, Rio de Janeiro, Livros técnicos e
científicos editora Ltda, 1988.
El DEBS, Mounir Khalil. Concreto pré-moldado, fundamentos e aplicações. São
Carlos – EESC-USP 2000.
BOTELHO, Manoel Henrique Campos; MARCHETTI, Osvaldemar. Concreto
armado, eu te amo. São Paulo: Edgard Blücher, 2004. v.2.
FRANÇA, Ricardo Leopoldo e silva, Hideki ishitani, Francisco Graciano. Concreto
protendido conceitos fundamentais. Escola politécnica – USP:. São Paulo 2004.
COUTO João do Couto Filho. Pré-Tração em vigas Pré-tracionadas. Dissertação
de mestrado. Escola politécnica – USP:. São Paulo 2002.

85
ANEXO – Detalhamento Viga Protendida