Mechanical speed reducer Design Report _ Motoredutor de Engrenagens cilíndricas e cónicas

Motoredutor de Engrenagens Cilíndricas e Cônicas
Trabalho nº13
Filipe Amorim Gonçalves Giesteira: up201306293@fe.up.pt
5PCM08
Iniciação ao Projeto – B
Docente: Eng.º Altino Moreira da Silva
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
2017-12-15

Projeto de Motoredutor de Engrenagens Cilíndricas e Cónicas
Iniciação ao Projeto – B 2017/2018 i
Resumo
O presente relatório descreve o processo usado no dimensionamento de um motoredutor
constituido por dois trens de engrenagens cilíndricas helicoidais, e um terceiro trem de engrenagens
cónicas de modo a transmitir o movimento de saída em eixos concorrentes.
É de realçar que o critério de projeto base, adotado ao longo de todo o processo de
dimensionamento foi: “O redutor deverá ter o menor atravancamento possível, dentro das limitações de
projeto, construtivas e de montagem”. Apesar deste princípio se sobrepor a qualquer outro critério,
sempre que devidamente respeitado, procura-se introduzir outras preocupações de cariz prático (custo do
material de fabrico, seleção de séries normalizadas de 1ª escolha, etc...).
O relatório está estruturado da seguinte maneira: Em primeiro lugar, enumere-se todas as
especificações de projeto, como a velocidade de entrada e saída, a potência máxima a transmitir e as
características do seu acionamento.
De seguida, analisa-se a cadeia cinemática do sistema e itera-se as relações de transmissão mais
convenientes para cada trem.
O dimensionamento dos elementos transmissores de movimento é feito numa primeira fase de
modo aproximado com vista a determinação do tipo de ligação roda/veio – roda talhada no próprio veio
ou roda furada e montada à postriori no veio de transmissão. Numa segunda fase, é então definida toda a
geometria e potêncicas admissíveis para cada engrenagem.
Definida toda a cadeia cinemética e geometria do engrenamento, bem como depois de calculada
as potências admissíveis, é necessário dimensionar as chavetas e definir a orientação e disposição relativa
das árvores que minimize o atravancamente e simultaneamente seja compatível com a montagem do
redutor.
Após definir a disposição das árvores é então possível calcular os esforços transmitidos aos veios.
Estes permitem: dimensionar os rolamentos dos apoios; e realizar uma análise à flecha dos veios, de
modo a garantir a estabilidade do engrenamento.
No seu seguimento, realizou-se uma análise à fadiga dos veios, de modo que a solicitação
dinâmica cíclica não provoque a sua ruína. Em termos tribológiocs, foi ainda necessário realizar uma
análise de lubrificação
Por fim, é proposta uma sequência de montagem, tendo em conta a solução construtiva
selecionada.

Iniciação ao Projeto – B 2017/2018 ii
Conteúdos
Resumo ................................................................................................................................................... i
Conteúdos............................................................................................................................................... ii
Índice de Figuras ................................................................................................................................... vi
Índice de Tabelas...................................................................................................................................10
1 Análise Global do Projeto...............................................................................................................14
1.1 Nomenclatura usada ...............................................................................................................14
1.2 Especificações de Projeto .......................................................................................................17
2 Análise do Acionamento ................................................................................................................18
2.1 Especificações do Motor Elétrico............................................................................................18
2.2 Solução Construtiva................................................................................................................20
3 Análise da Cadeia Cinemática ........................................................................................................23
3.1 Iteração das Razões de Transmissão........................................................................................23
3.2 Definição do número de dentes das engrenagens e Velocidade de rotação do veios .................25
4 Definição Construtiva e Geométrica das Transmissões ...................................................................30
4.1 Estimativa do tipo de ligação roda-veio...................................................................................30
4.1.1 Engrenagens Cilíndricas – trem a e b.............................................................................33
4.1.2 Engrenagem Cónica – trem c.........................................................................................36
4.2 Definição da Geometria do dentado ........................................................................................39
4.2.1 Engrenagens Cilíndricas – trem a e b.............................................................................39
4.2.2 Engrenagens Cónicas – trem c.......................................................................................44
5 Determinação da Potência transmitida admissível...........................................................................48
5.1 Material de Construção...........................................................................................................49
5.2 Largura da Engrenagem..........................................................................................................50
5.3 Definição da Vida útil.............................................................................................................51
5.4 Critérios de Capacidade de Carga ...........................................................................................51

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5.4.1 Capacidade de Carga à rotura no pé do dente [4] .............................................................52
5.4.2 Capacidade de Carga à Pressão Superficial [8] , [4].........................................................63
6 Soluções construtivas e outros órgãos de máquinas.........................................................................69
6.1 Disposição espacial das árvores ..............................................................................................69
6.2 Cárter .....................................................................................................................................75
6.2.1 Material base e Processo de Fabrico................................................................................75
6.2.2 Espessura, Ângulos de Saída e Concordâncias não Especificadas ....................................76
6.2.3 Concordâncias ................................................................................................................79
6.2.4 Apoios............................................................................................................................81
6.2.5 Circuito de escoamento do lubrificante............................................................................84
6.2.6 Tampa Superior do Cárter ...............................................................................................85
6.2.7 Castanhas........................................................................................................................85
6.3 Tampas de fixação e posicionamento dos rolamentos..............................................................86
6.4 Mudanças de secção ...............................................................................................................87
6.5 Pontas de Veio........................................................................................................................87
6.6 Casquilhos..............................................................................................................................90
6.7 Seleção de acessórios..............................................................................................................91
6.7.1 Parafusos ........................................................................................................................91
6.7.2 Furos – Passantes e Roscados Cegos ...............................................................................94
6.7.3 Anilhas Planas ................................................................................................................97
6.7.4 Anilhas de Pressão..........................................................................................................98
6.7.5 Anel Elástico ................................................................................................................100
7 Cálculo Estrutural ........................................................................................................................101
7.1 Chavetas...............................................................................................................................101
7.2 Esforços de engrenamento ....................................................................................................107
7.2.1 Análise de esforços – Sentido 1.....................................................................................111

Iniciação ao Projeto – B 2017/2018 iv
7.2.2 Análise de esforços – Sentido 2.....................................................................................115
7.3 Seleção dos Rolamentos .......................................................................................................117
7.4 Parafusos..............................................................................................................................124
7.4.1 Fixação axial da roda b – veio 2 ....................................................................................124
7.4.2 Tampas de Fixação dos rolamentos ...............................................................................128
7.5 Análise da estabilidade do engrenamento – flecha dos veio...................................................131
7.5.1 Procedimento de cálculo – Analítico .............................................................................133
7.5.2 Procedimento de cálculo – MDSolids®.........................................................................134
7.6 Análise á Fadiga ...................................................................................................................139
7.6.1 Material de construção dos Veios..................................................................................139
7.6.2 Critério de Resistência à Fadiga ....................................................................................140
7.6.3 Análise de combinações biaxiais ...................................................................................141
7.6.4 Fator de Concentração de Tensões ................................................................................143
7.6.5 Tensão limite de Fadiga Corrigida.................................................................................148
7.6.6 Análise veio 2...............................................................................................................152
7.6.7 Análise veio 3...............................................................................................................154
7.6.8 Análise veio 4...............................................................................................................156
8 Solução de Lubrificação e Análise Tribológica.............................................................................158
8.1 Tipo de Lubrificante [15]......................................................................................................159
8.2 Tipo de Lubrificação [15] .....................................................................................................159
8.3 Seleção da Viscosidade do Lubrificante [15].........................................................................162
8.3.1 Viscosidade para lubrificação das Engrenagens .............................................................165
8.3.2 Viscosidade para lubrificação dos Rolamentos ..............................................................170
8.4 Quantidade de Fluido Lubrificante........................................................................................174
8.5 Componentes associados ......................................................................................................178
9 Sequência de Montagem...............................................................................................................182

Iniciação ao Projeto – B 2017/2018 v
9.1 Etapa 1.................................................................................................................................184
9.2 Etapa 2.................................................................................................................................185
9.3 Etapa 3.................................................................................................................................186
9.4 Etapa 4.................................................................................................................................187
9.5 Etapa 5.................................................................................................................................187
10 Conclusões...............................................................................................................................188
11 Referências Bibliográficas........................................................................................................189
12 Anexos.....................................................................................................................................191

Iniciação ao Projeto – B 2017/2018 vi
Índice de Figuras
Figura 1- Ilustração da designação atribuida às variáveis cinemáticas do projeto ....................................15
Figura 2- Ilustração da designação atribuída a cada uma das zonas do cárter que serão referidas na
sequência de montagem. ........................................................................................................................16
Figura 3- Curva genérica de evolução do binário de um motor elétrico AC [2]. .....................................19
Figura 4- Desenho técnico do motor da Universal Motors®, com ligação por flange do tipo B5. ............21
Figura 5- Esquematização das diferentes distribuições dos pontos de contacto de um dado dente do pinhão
para os casos discutidos anteriormente. Ilustração adaptada pelos autores a partir de [6].........................26
Figura 6- Definição geométrica de algumas dimensões características das engrenagens cónicas [3]. .......45
Figura 7- Esquema conceptual do procedimento adotado para o dimensionamento das engrenagens à
capacidade de carga. ..............................................................................................................................48
Figura 8- Ábaco de simples entrada que permite determinar a tensão limite de base a partir da tensão de
rotura do material [5]. ............................................................................................................................54
Figura 9- Evolução do fator de velocidade para diferentes velocidades tangenciais, bem como as
diferentes fórmulas para as diferentes qualidades de fabrico [8] , [4]. .....................................................57
Figura 10- Relação entre o fator corretivo 𝑲𝑴 e o rácio entre a largura da roda e o diâmetro primitivo do
pinhão 𝒃/𝒅𝒑𝟏 [8] , [4]...........................................................................................................................59
Figura 11- Ábaco de dupla entrada que permite a partir da correção de dentado e do número de dentes
virtuais, determinar o valor do fator de forma.........................................................................................61
Figura 12- Ábaco que permite a determinação da pressão limite de um qualquer aço a partir da sua dureza
e tratamento térmico [5]. ........................................................................................................................67
Figura 13- Ilustração de uma primeira abordagem ao problema da disposição das árvores. .....................69
Figura 14- Disposição 1 dos veios..........................................................................................................70
Figura 18- Espessura mínima de parede em função do seu comprimento [7]...........................................77

Iniciação ao Projeto – B 2017/2018 vii
Figura 19- Esquema ilustrativo da necessidade de criar ângulos de saída que permitam o processo de
desmoldação do molde. Ilustração dos casos extremos de saída positiva e negativa. Imagem produzida
pelo autor...............................................................................................................................................78
Figura 20- Ilustração das dimensões características de uma secção em L com duplo raio interior e exterior
[7]..........................................................................................................................................................79
Figura 21- Dimensões características da chave de bocas, de acordo com a DIN 894. Imagem retirada e
adaptada pelo autor diretamente da norma DIN 894. ..............................................................................82
Figura 22- Tabela retirada de [1], definindo as principais dimensões normalizadas das pontas de roquetes,
segundo a DIN 3120. .............................................................................................................................83
Figura 23- Pormenor do desnível criado no fundo do cárter para o escoamento do óleo. .........................84
Figura 24- Pormenor do sistema de fixação axial dos rolamentos cónicos do veio 3................................86
Figura 25- Mudança de secção para facilitar a montagem (à esquerda) e mudança de secção para
funcionar como batente (à direita). .........................................................................................................87
Figura 26- Identificação das variáveis utilizadas para caracterizar as pontas de veio normalizadas
cilíndricas..............................................................................................................................................88
Figura 27- Definição das dimensões de parafusos e porcas de cabeça hexagonal normalizadas,
especificadas na.....................................................................................................................................93
Figura 28- Definição das dimensões características normalizadas dos furos cegos roscados. Imagem
retirada de [10], e adaptada pelo autor....................................................................................................94
Figura 29- Ilustração das dimensões características das anilhas planas....................................................97
Figura 30 Definição das designações atribuídas às dimensões características das anilhas elásticas de
espira, dá série corrente W. Imagem construída pelo autor e relativa à tabela anterior. ............................99
Figura 31- Tipos de Chavetas paralelas normais. Da esquerda para a direita, tipo A, B e C
respectivamente [10]............................................................................................................................101
Figura 32- Definição das dimensões características normalizadas na tabela anterior [10]. .....................102
Figura 33- Ilustração da convenção de hélice à direita e hélice à esquerda para rodas dentadas cilíndricas
de dentado helicoidal [13]. ...................................................................................................................108
Figura 34- Ilustração retirada de [4], justificando os comprimentos entre apoios considerados admitindo a
força aplicada no ponto médio da largura da engrenagem. ....................................................................108

Iniciação ao Projeto – B 2017/2018 viii
Figura 35- Ilustração retirada de [4], justificando os comprimentos entre apoios considerados admitindo a
força aplicada no ponto correspondente ao raio primitivo médio da engrenagem...................................109
Figura 36- Esquema ilustrativo das relações trigonométricas utilizadas na determinação do ponto onde se
considera a força de contacto aplicada nas engrenagens cónicas. Imagem construída pelo autor............110
Figura 37- Esquema ilustrativo das direções das componentes axiais, tangenciais e radiais da força de
contacto desenvolvida no engrenamento de engrenagens cilíndricas . Retirado, e adaptado pelo autor, do
manual técnico da KHK® [11].............................................................................................................112
Figura 38- Esquema ilustrativo das direções das componentes axiais, tangenciais e radiais da força de
contacto desenvolvida no engrenamento de engrenagens cilíndricas . Retirado, e adaptado pelo autor, do
manual técnico da KHK® [11].............................................................................................................114
Figura 39- Valores do coeficiente 𝒇𝟎 em função da série e índice do furo do rolamento de esferas......120
Figura 40- Ábaco de cálculo dos parâmetros X e Y que entrm para a determinação da potência dinâmica
equivalente. Válido para rolamentos de esferas, retirado de [6].............................................................120
Figura 41- Representação esquemática do critério de Soderberg...........................................................140
Figura 42- Ábaco que relaciona o fator de concentração de tensões teórico com o com o índice de
sensibilidade e o fator de concentração de tensões de fadiga.................................................................143
Figura 43-............................................................................................................................................144
Figura 44- Coeficiente de concentração de tensões teórico, na região de mudança de secção, para veio
circular sujeito a carga de flexão. Ábaco complementar ao anterior. .....................................................145
Figura 45- Coeficiente de concentração de tensões teórico, na região de mudança de secção, para veio
circular sujeito a carga de flexão. Ábaco complementar ao anterior (alteração dos parâmetros de input).
............................................................................................................................................................146
Figura 46- Fator de concentração de tensões, para veio circular com escatel aberto para chaveta paralela,
sujeito a esforços de flexão [14]. ..........................................................................................................147
Figura 47- Ábaco para determinação do coeficiente de tamanho, em função da dimensão característica da
secção [12]...........................................................................................................................................149
Figura 48- Ábaco para determinação do coeficiente de acabamento superficial em função da dureza do
material e acabamento superficial.........................................................................................................150
Figura 49- Variação do coeficiente de fricção com o regime de lubrificação, regime I (limite), regime II
(misto), regime III (filme completo).....................................................................................................158

Iniciação ao Projeto – B 2017/2018 ix
Figura 50- Ábaco que indica o método de lubrificação em função do diâmetro primitivo da roda e da sua
velocidade de rotação. Retirado de [15]................................................................................................160
Figura 51- Utilização do software de CFD Mesh twins para modelar o método de lubrificação por
chapinhagem .......................................................................................................................................161
Figura 52- Evolução da temperatura da superfície do dentado em evolvente de círculo de uma roda
dentada com z_1=15 à velocidade indicada. .........................................................................................163
Figura 53- Ábaco que indica o parâmetro do lubrificante (Lubricant Parameter) em função da temperatura
de serviço do lubrificante. ....................................................................................................................164
Figura 54- Espessura de filme específica (parâmetro λ) em função da velocidade periférica ou tangencial
no primitivo, para uma probabilidade de 5% de avaria..........................................................................166
Figura 55- Ábaco que permite a determinação da viscosidade de referência em função do rolamento e
velocidade de rotação. Ábaco retirado do catálogo do fabricante FAG®...............................................171
Figura 56- Ábaco que permite determinar a viscosidade de serviço à temperatura de serviço. Ábaco
retirado do catálogo do fabricante FAG®.............................................................................................172
Figura 57- Ilustrações da SKF® de sistemas de lubrificação por quantidade mínima de óleo. À esquerda
sistema designado por MQL, à direita sistema ar-óleo. .........................................................................175
Figura 58-Esquema utilizado para a determinação do nível mínimo de óleo a assegurar no cárter. ........176
Figura 59-............................................................................................................................................177
Figura 60- Pormenor das dimensões características do bujão de saida selecionado do catálogo da Elesa
[9]........................................................................................................................................................180
sequência de montagem. ......................................................................................................................183

Iniciação ao Projeto – B 2017/2018 10
Índice de Tabelas
Tabela 1- Sumário das especificações cinemáticas e geométricas iniciais................................................17
Tabela 2- Especificações de projeto relativas ao motor de acionamento..................................................18
Tabela 3- Informações relevantes relativas ao motor e ao seu veio extraídas do catálogo de motores
elétricos da Universal Motors ® para o modelo EMF30 160 L1 8...........................................................19
Tabela 4- Dimensões relevantes da carcaça do motor elétrico e da flange selecionada. ...........................20
Tabela 5- Intervalos de tolerância da dimensão linear do diâmetro do veio de saída do motor. ...............22
Tabela 6- Sumário do valor da razão de transmissão, para cada andar, obtido a partir das condições
mencionadas anterioremente e encerradas na equação (3.7)....................................................................24
Tabela 7- Quadro resumo da evolução do número de dentes proposto para o trem a, com os respectivos
parâmetros cinemáticos e justificação do redimensionamento.................................................................27
Tabela 8- Quadro resumo da evolução do número de dentes proposto para o trem b, com os respectivos
Tabela 9- Quadro resumo da evolução do número de dentes proposto para o trem c, com os respectivos
Tabela 10- Sumário do número de dentes das rodas dentadas de cada engrenagem e das razões de redução
para cada trem de engrenagens...............................................................................................................29
Tabela 11- Primeira estimativa para os diâmetros mínimos de cada um dos veios de transmissão, bem
como a sua fórmula de cálculo. ..............................................................................................................32
Tabela 12- Transcrição dos módulos normalizados da ISO 54 – 1996, aplicada para engrenagens de
mecânica geral e pesada, não incluindo a indústria automóvel. ...............................................................34
Tabela 13- Sumário dos parâmetros necessários para o cálculo dos diâmetros primitivos........................37
Tabela 14- Resumo Global das variáveis determinadas para as engrenagens dos três andares de redução.
..............................................................................................................................................................38
Tabela 15- Quadro resumo dos valores das variáveis necessárias para o cálculo da correção de dentada
para equilibragem do escorregamento específico. ...................................................................................39
Tabela 16- Sumário das características geométricas do dentado das engrenagens cilíndricas...................43
Tabela 17- Variáveis necessárias para o cálculo da correção de dentado de engrenagens cónicas de
dentado reto com ângulo de concorrência de 90º. ...................................................................................46

Tabela 18- Quadro resumo das dimensões características das rodas dentadas do trem c. .........................46
Tabela 19- Quadro resumo dos parâmetros intermédios necessários para o cálculo das correções de
dentado, para todas as engrenagens. .......................................................................................................47
Tabela 20- Transcrição das principais propriedades e características dos aços de construção ligadas, para
engrenagens do catálogo da Ramada®. ..................................................................................................49
Tabela 21- Sumário dos valores da largura de das engrenagens dos andares de redução (a) e (b).............50
Tabela 22- Indicação do fator de serviço a partir dos parâmetros de entrada: tipo de de órgão motor, e
grau de choque do órgão recetor [4]. ......................................................................................................55
Tabela 23- Caracterização do grau de choque presente em aplicações comuns de engenharia mecânica
geral [8] , [4]..........................................................................................................................................56
Tabela 24- Equivalência entre a classe de qualidade definida em [8] e [4] por Henriot, e a qualidade
normalizada pela ISO 1326-1.................................................................................................................58
Tabela 25- Caracterização dada por Henriot em [8] e [4] para cada classe de qualidade. .........................58
Tabela 26- Tabela de dupla entrada que permite determinar o fator de montagem a partir da indústria de
aplicação da engrenagem e do número de rodas dentadas em suspenso [8] , [4]. .....................................59
Tabela 27- Sumário dos parâmetros intermédios que interveêm no cálculo da potência máxima admissível
quanto à rotura no pé do dente................................................................................................................68
Tabela 28- Sumário dos parâmetros intermédios que interveêm no cálculo da potência máxima admissível
quanto ao desgaste no dente. ..................................................................................................................68
Tabela 29- Valores de referência para os ângulos de saída típicos de alguns processos de fundição. Tabela
baseada Design Guidelines da ESP International ®. ...............................................................................78
Tabela 30- Expressões aproximadas para os raios de concordância para secções de várias geometrias,
transcrição de [7]. ..................................................................................................................................80
Tabela 31- Dimensões normalizadas das chaves de bocas simples. Tabela construída a partir da norma
DIN 894.................................................................................................................................................82
Tabela 32- Dimensões características normalizadas de pontas de veio cilíndricas, retirada da ISO / R 775.
..............................................................................................................................................................89
Tabela 33- Comprimento normalizado de parafusos de cabeça hexagonal de passo grosso [16]. .............91
Tabela 34- Passos e dimensões dos parafusos e porcas de cabeça hexagonal normalizadas [16]. .............92

Tabela 35- Sumário dos parâmetros intermédios calculados para determinar o comprimento normalizado
de cada parafuso de cabeça hexagonal, para a respectiva utilização. Todas as unidades em [mm]. ..........93
Tabela 36- Dimensões normalizadas dos furos roscados cegos, de acordo com a ISO 6410. Valores
retirados de [16].....................................................................................................................................95
Tabela 37- Sumário das dimensões características obtidas para os furos cegos roscados realizados no
cárter e no postiço..................................................................................................................................95
Tabela 38- Dimensão normalizada do diâmetro do furo passante para parafusos hexagonais. Tabela
extraída parcialmente de [16] (ver norma ISO 273 ou equivalente DIN 69). ...........................................96
Tabela 39- Dimensões normalizadas para anilhas planas normais, ISO 7089. .........................................98
Tabela 40- Dimensões normalizadas de Anilhas Elásticas de espira, segundo a NF E 25-515, da série
corrente W. Tabela retirada de [10]. .......................................................................................................99
Tabela 41-Dimensões normalizadas segundo a ISO/R 773, de chavetas planas correntes, retirada de [10].
............................................................................................................................................................102
Tabela 42- Comprimentos normalizados na ISO/R 773 de chavetas paralelas normais (A, B, C)...........104
Tabela 43- Propriedades mecânicas do aço C3 (DIN ck45 k) retirado de [27]. ......................................104
Tabela 44- Tensões admissíveis utilizadas no dimensionamento das chavetas.......................................105
Tabela 45- Sumário das dimensões normalizadas das chavetas paralelas, e dos comprimentos mínimos
obtidos, bem como do comprimento final normalizado.........................................................................106
Tabela 46- Resumo das forças absorvidas, por cada apoio, para ambos os sentidos de rotação do motor.
............................................................................................................................................................116
Tabela 47- Dados relativos à seleção de rolamentos esféricos, sentido 1 de rotação do motor. Todas as
forças e capacidades de carga em [kN]. ................................................................................................122
Tabela 48- Dados relativos à seleção de rolamentos esféricos, sentido 2 de rotação do motor. Todas as
forças e capacidades de carga em [kN]. ................................................................................................122
Tabela 49- Dados obtidos do dimensionamento dos rolamentos de rolos cónicos para os apoios C e D,
para as solicitações de ambos os sentidos de rotação do motor..............................................................123
Tabela 50- Diâmetros e áreas características dos parafusos do sistema ISO, compêndio retirado
parcialmente de [19]. ...........................................................................................................................125

Tabela 51- Classificação da Resistência para os parafusos de classe métrica, retirado de forma intergral de
[19]......................................................................................................................................................126
Tabela 52- Resultado do dimensionamento à tração dos parafusos da tampa, admitindo parafusos de
diferentes dimensões............................................................................................................................129
Tabela 53- Resultado do dimensionamento à tração dos parafusos das tampas dos diferentes veios,
variando a qualidade do material para um parafuso M6. .......................................................................129
Tabela 54- Propriedades de rigidez à flexão dos veios em análise. ........................................................132
Tabela 55- Propriedades mecânicas dos aços de construção designados pela Ramada® por C4 e RPM32,
relevantes para o estudo da fadiga. .......................................................................................................139
Tabela 56- Quadro resumo dos valores do coeficiente de carregamento de acordo com [29]. ................148
Tabela 57- Valores obtidos para a tensão limite de fadiga corrigida, para os diferentes veios. ...............151
Tabela 58- Resultados veio 2, grandezas função da geometria-.............................................................153
Tabela 59- Resultados veio 2, grandezas função do carregamento. .......................................................153
Tabela 60- Resultados veio 3, grandezas função da geometria. .............................................................155
Tabela 61- Resultados veio 3, grandezas função do carregamento. .......................................................155
Tabela 62- Grandezas Função da Geometria.........................................................................................157
Tabela 63- Grandezas Função do Carregamento - Sentido 1/ Sentido 2 (irrelevante).........................157
Tabela 64- Quadro resumo do método de lubrificação recomendável para cada elemento engrenante....161
Tabela 65- Valores típicos de Rugosidade Composta (RMS) [15].........................................................167
Tabela 66- Sumário dos parâmetros intermédios necessário segundo a teoria de lubrificação e contacto de
Cheng, para seleção do fluido lubrificante adequado. ...........................................................................169

1 Análise Global do Projeto
1.1 Nomenclatura usada
De modo a facilitar a compreensão do leitor, de seguida enumera-se a principal nomenclatura
utilizada e explica-se os respectivos índices quando necessário. Evita-se contudo realizar uma lista
extensiva de todas as designações dadas. Optando-se por definir algumas variáveis, mais específicas e
com menor presença ao longo do relatório, apenas aquando da sua utilização.
Variável Símbolo Designação
Cinemática 𝑖 𝑎 Razão de transmissão do 1º Trem
𝑖 𝑏 Razão de transmissão do 2º Trem
𝑖 𝑐 Razão de transmissão do 3º Trem
𝑖 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 Razão de transmissão global do redutor
𝑛 𝑘 Velocidade angular do veio k
𝑛 𝑠 Velocidade angular especificada de saída
𝑃 Potência especificada para a redução
𝑃𝑎𝑑𝑚 𝑖𝑗 Potência admissível pela roda dentada (i) do trem (j)
𝑣𝑗 Velocidade tangencial ou periférica no círculo primitivo do trem (j)
Geométrica 𝑧𝑖𝑗 Número de dentes da roda dentada (i) do trem (j)
𝑚 Módulo de corte normalizado da engrenagem
𝑏 Largura da roda dentada
𝛼 Ângulo de pressão de corte
𝛽 Ângulo da hélice primitiva
𝑎 Entre-eixo normal
𝑑 𝑝 𝑖𝑗 Diâmetro primitivo da roda dentada (i) do trem (j)
𝑑 𝑎 𝑖𝑗 Diâmetro de cabeça da roda dentada (i) do trem (j)
𝜀 𝛼 Relação de condução
𝜀 𝛽 Relação de Recobrimento
𝑑 𝑣𝑘 Diâmetro do veio k

De modo a não repetir informação desnecessariamente, deixa-se também alguns comentários
acerca da lógica por trás da nomenclatura utilizada:
- Todas as variáveis ou parâmetros afectados pelo superscript (variável)’ , referem-se a
parâmetros de funcionamento em oposição aos parâmetros de corte. Que apenas tomarão
valores distintos se o entre-eixo de funcionamento não coincidir com o normal;
- Os subscripts ij, em que i=1,2 e j=a,b,c referem-se respectivamente ao elemento engrenante -
pinhão (índice 1) e à roda (índice 2) da engrenagem – e ao trem (a,b,c);
- A referência aos veios do redutor, será feita por um subscript k=1,2,3,4;
- Os apoios são definidos por uma letra maiúscula (A, B, C, D, E, F) e encontram-se
representados na Figura 1;
- Quando se refere roda dentada, não se está a definir se se trata da roda com maior ou menor
número de dentes, mas sim a um elemento da engrenagem;
- Para se referir à roda dentada com menor número de dentes utilizar-se-á o substantivo pinhão,
e a roda dentada com maior número de dentes será designada apenas por roda.
Figura 1- Ilustração da designação atribuida às variáveis cinemáticas do projeto
Veio 1
Veio 2
Veio 3
Veio 4
A
B
C D
E
F
Trem a
Trem b
Trem c

sequência de montagem.
C3
C2
C1
W1
W2
W3
Q1
Q2
Q3
Q5
Q4
W4

1.2 Especificações de Projeto
O projeto proposto consiste no dimensionamento de um motoredutor, constituído por dois tens de
engrenagens cilíndricas helicoidais e um trem de engrenagens cónicas de dentado reto. Este último altera
o eixo de transmissão de movimento em 90º obrigatoriamente.
A entrada e saída do movimento rotativo estão ambas na horizontal, contudo o nível de cada uma
não é especificado (variável de projeto). A diferença de cota será selecionada com base na otimização do
atravancamento do cárter.
A sequência do tipo de engrenagens encontra-se já definida e não é por isso considerada como
variável de projeto. A sequência de engrenamento é a que se encontra definida na Figura 1 (dois trens de
engrenagens cilíndricas de dentado helicoidal, seguidos de um trem de engrenagens cónicas de dentado
reto). Contudo a disposição das árvores não é especificada, sendo admitida como variável de estudo.
As principais variáveis de projeto da cadeia cinemática são as velocidades de entrada e saída, e a
potência requerida. Notar apenas que a velocidade de entrada não é imposta directamente, mas antes
definida pelo tipo de motor especificado. Na Tabela 1 encontram-se resumidas as especificações de
projecto.
Tabela 1- Sumário das especificações cinemáticas e geométricas iniciais.
Variável cinemática Unidades
𝒏 𝒔𝒊𝒏𝒄
Velocidade de sincronismo do
motor eléctrico especificado
*
𝒏 𝒔 Velocidade de saída 48 [rpm]
P Potência especificada 5.5 [kW]
𝜹 Ângulo entre os eixos 90º
* Velocidade determinada no capítulo 2, mais especificamente no subcapítulo 2.1, dedicado à análise do
motor de acionamento.

2 Análise do Acionamento
2.1 Especificações do Motor Elétrico
Na Tabela 2 é feito um sumário das especificações do motor usado para acionamento do redutor.
Para além dos dados explicitamente fornecidos, é ainda necessário assumir alguns pressupostos de
funcionamento, enunciados de seguida:
• O motor elétrico é usado em países europeus, ou de forma mais genérica, países cuja rede elétrica
opera a uma frequência de 50 𝐻𝑧. Países como: os Estados Unidos da América, Brasil, Canadá,
México, Arábia Saudita, etc, - a rede pública de distribuição de energia trabalha com frequências
de 60 𝐻𝑧. A sua utilização adequada apenas seria possível com a introdução de um variador de
frequência. Aplicação que está fora do âmbito deste projeto;
• Assume-se que o motor elétrico foi dimensionado correctamente para a sua potência de saída,
assegurando que a velocidade efectiva de funcionamento estável é muito semelhante à velocidade
nominal.
Tabela 2- Especificações de projeto relativas ao motor de acionamento.
Tipo de Motor Motor Elétrico - Indução AC - Trifásico
Polos ( 𝑝 ) / pares de Polos 8 / 4
Potência nominal 5.5 [kW]
De acordo com [17] , a velocidade de sincronismo de um motor elétrico AC pode ser dada por:
𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑐 [𝑟𝑝𝑚] =
120
𝑝
⋅ 𝑓 [𝐻𝑧] ( 2.1 )
Em que o número de polos é dado por ( 𝑝 ), e a frequência de alimentação por ( 𝑓 ) em Hertz.
Introduzindo os respectivos dados, a equação seguinte indicava um valor para a velocidade de
sincronismo de:
𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑐 =
120
8
⋅ 50 = 750 [𝑟𝑝𝑚] ( 2.2 )

𝑇𝐿
Figura 3- Curva genérica de evolução do binário de um motor elétrico
AC [2].
𝑛 𝑁
𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑐
𝑛 𝑒
𝑇 𝑁
𝑇𝐴
𝑇𝐿
Com base nesta informação, tendo apenas como parâmetros de entrada a potência requerida e a
velocidade de sincronismo, é possível selecionar um motor standard em qualquer catálogo comercial. O
catálogo usado, apenas por condições de facilidade de acesso, foi o da Universal Motors ® [18], e as
características de funcionamento e geométricas foram extraídas e organizadas na Tabela 3.
Tabela 3- Informações relevantes relativas ao motor e ao seu veio extraídas do catálogo de motores elétricos
da Universal Motors ® para o modelo EMF30 160 L1 8.
Modelo EMF30 160 L1 8
𝑛 𝑛𝑜𝑚 - velocidade nominal 720 [rpm]
Tipo de Apoio Flange (B14 ou B5) ou patas
Anteriormente foi
admitido que a velocidade
nominal do motor seria muito
próxima da velocidade
efectiva em funcionamento
estável (também designada por
velocidade em plena carga). A
diferença entre estas duas
velocidades deve-se
essencialmente à diferença entre
o binário de carga e o binário
nominal [2]. Esta pequena
diferença é ilustrada na
Figura 3.
𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑐 Velocidade de sincronismo
𝑛 𝑁 Velocidade nominal
𝑛 𝑒 Velocidade efectiva (velocidade correspondente ao ponto de funcionamento)
𝑇 𝑁
Binário nominal
𝑇𝐿
Binário da carga

2.2 Solução Construtiva
Como foi referido no subcapítulo anterior, o motor apresentava dois tipos de tecnologias de
apoio: motor com patas ou fixação por flange. Dentro do apoio por flange apresentava ainda duas
soluções: uma flange mais compacta designada por B14 e uma flange de maior atravancamento designada
por B5 (designações da Universal Motors®).
Optou-se por adotar uma solução construtiva de apoio por flange e não recorrendo a patas. As
principais vantagens do apoio por flange são:
• Centragem facilitada do veio do motor no furo do cárter;
• Altura desejada para o cárter (não definida à priori pela necessidade de fixar o motor);
• Solução mais compata e mais de encontro ao conceito de motoredutor (solução combinada de
motor-redutor de fácil instalação, sem recorrer a estruturas adicionais).
A flange selecionada foi do tipo B5 tal como representado na Figura 4. A justificação pela sua
escolha prende-se com:
• Facilidade de montagem do motor no cárter – o aperto dos parafusos de ligação é feito pelo
exterior do cárter;
• Facilidade no projeto do cárter – não há necessidade de projetar zonas de acesso no cárter para
aperto dos parafusos de ligação da flange.
Tabela 4- Dimensões relevantes da carcaça do motor elétrico e da flange selecionada.
Dimensões Características
𝑨𝑪 330 [mm] P 350 [mm]
𝑨𝑫 255 [mm] S 4x19
𝑳 670 [mm] T 5 [mm]
M 300 [mm] 𝑮𝑨 45 [mm]
N 250 [mm] 𝑬 110 [mm]
𝑭 12 [mm] 𝑫
42 𝑘6 ∗
≡
42 ±
0.018
0.002
[mm]
𝑮 37 [mm]

Figura 4- Desenho técnico do motor da Universal Motors®, com ligação por flange do tipo B5.
GA
G
S
MP AD
L
N
T
F
D
E
AC
GA
G

A dimensão 𝐷 referente ao diâmetro do veio de saída do motor é dada em função da posição das
tolerâncias no sistema ISO de tolerâncias de dimensões lineares [16]. Como se refere em [16] é possível
obter a dimensão 𝐷 na forma de intervalo de tolerâncias por:
𝐼𝑇 = 𝑒𝑠 − 𝑒𝑖 ( 2.3 )
Em que por consulta das tabelas referentes ao toleranciamento ISO transcritas em [16] e atendendo à
equação anterior tem-se que:
Tabela 5- Intervalos de tolerância da dimensão linear do diâmetro do veio de saída do motor.
Dimensão nominal ]30, 50]
𝑰𝑻𝟔 0.016 [mm]
𝒆𝒊 0.002 [mm]
𝒆𝒔 0.018 [mm]

3 Análise da Cadeia Cinemática
3.1 Iteração das Razões de Transmissão
Numa primeira fase, o redutor é analisado do forma global, numa perspectiva de balanço. A razão
de transmissão, ou especificamente por se tratar de uma redução, a razão de redução global especificada
do redutor é dada segundo [8] por:
𝑖 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 =
𝑛1
𝑛 𝑠
=
720
48
= 15 ( 3.1 )
O objectivo da análise cinemática será precisamente determinar de que forma é que esta redução
será realizada ao longo dos três tens de engrenagens. Por outras palavras, em que proporções é que cada
andar irá reduzir a velocidade, de modo a equilibrar da melhor forma esforços de redução de cada andar.
A redução total será o resultado da multiplicação da redução em cada trem. Como o número de
dentes de uma roda dentada é uma grandeza obrigatoriamente inteira, a razão de redução global efectiva
muito dificilmente será exactamente idêntica à de projecto. Para limitar esta diferença, segundo a DIN
804 é tido como aceitável diferenças relativas entre a velocidade de saída especificada e a velocidade
efectiva compreendidas no intervalo:
𝐸𝑠𝑎í𝑑𝑎 =
𝑛4 − 𝑛 𝑠
𝑛 𝑠
⋅ 100 ∈ [ −3, 2 ] % ( 3.2 )
Outra forma de representar a mesma informação, seria dizer que a velocidade de saída efectiva 𝑛4 será
obrigatoriamente dada por:
𝑛4 = 𝑛 𝑠 ±
2%
3%
( 3.3 )
Para selecionar as razões de transmissão de cada andar de redução recorreu-se a quatro princípios
base empíricos, corroborados pela experiência e experimentação no campo do dimensionamento [8]:
• No âmbito dos redutores, é favorável do ponto de vista mecânico que a razão de transmissão seja
ligeiramente menor à medida que o andar de redução se aproxima da saída;
• Para engrenagens cilíndricas a razão de transmissão deve obedecer à condição: 𝑖 ≤ 4 ;
• Para engrenagens cónicas a razão de transmissão deve obedecer à condição: 𝑖 ≤ 3 ;

• O rendimento de uma engrenagem cilíndrica ou cónica é da ordem dos 98%, não sendo por isso
necessário ter em conta o rendimento no decorrer da análise cinemática. Isto é, admite-se que a
potência é essencialmente constante ao longo da transmissão.
A partir da informação exposta nos tópicos anteriores, e numa perspectiva de otimizar
rapidamente a solução, estabeleceu-se a seguintes condições:
𝑖 𝑎 = 4𝜓 + 0.1 ( 3.4 )
𝑖 𝑏 = 4𝜓 ( 3.5 )
𝑖 𝑐 = 3𝜓 ( 3.6 )
Em que a fracção da razão da transmissão máxima para cada andar é designada por 𝜓 . Assegura-
se assim que a razão de transmissão é decrescente no sentido entrada → saída e que as engrenagens serão
sempre sujeitas a esforços proporcionais aos seus limites. Garante-se ainda que para engrenagens do
mesmo tipo a razão de redução está a mais equilibrada possível. Por fim a equação a resolver resultaria
em:
𝑖 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 = (4𝜓 + 0.1)(4𝜓)(3𝜓) = 15 ( 3.7 )
Notar que o processo utilizado anteriormente não é fundamentado em nenhuma bibliografia da
especialidade, surgindo apenas como um acelerador de convergência definido pelo autor.
Os valores obtidos, teóricos , para as razões de transmissão para cada andar estão organizados na tabela
seguinte.
Tabela 6- Sumário do valor da razão de transmissão, para cada andar, obtido a partir das condições
mencionadas anterioremente e encerradas na equação (3.7).
Cadeia Cinemática
𝒊𝒕𝒆ó𝒓𝒊𝒄𝒂 - razão de Transmissão global especificada 15
𝝍 – fracção da razão máxima admissível 0.67
𝒊 𝒂 – razão de transmissão trem a 2.78
𝒊 𝒃 – razão de transmissão trem b 2.68
𝒊 𝒄 – razão de transmissão trem c 2.01

Notas:
• As razões de transmissões definidas anteriormente correspondem a valores teóricos e muito
provavelmente não serão materializáveis;
• Para além disso poderá haver necessidade de redimensionamento das rodas dentadas por questões
variadas (montagem, capacidade de carga, incompatibilidade com os apoios, etc...);
• A solução obtida, diz apenas respeito às condições anteriormente mencionadas. Qualquer
redimensionamento das engrenagens tentará ir de encontro às razões de transmissão definidas
neste tópico.
De seguida define-se o número dentes de cada engrenagem, a partir desse valor é que se obterá o valor
efectivo e materializável da razão de redução de cada andar.
3.2 Definição do número de dentes das engrenagens e Velocidade de rotação
do veios
Segundo [8], a razão de transmissão de uma engrenagem exterior com qualquer dentado é dada
por:
𝑖 =
𝑧2
𝑧1
( 3.8 )
Verifica-se assim que há uma infinidade de pares roda-pinhão, que satisfazem uma dada razão de
transmissão. Os critérios adotados para definir o número de dentes das engrenagens foram:
• A engrenagem deverá ter o menor atravancamento possível. O que implica a seleção do menor
número de dentes do pinhão, que respeite todas as condições mencionadas de seguida e nos
capítulos seguintes;
• É assumido que as rodas dentadas são produzidas pelo processo de geração MAAG (processo
criado por FLSmidth MAAG Gear®) com dentes em evolvente de círculo;
• Henriot em [8] prova que 𝑧1 ≥ 17 caso haja correção de dentado para equilibragem dos
escorregamentos específicos, válido para engrenagens talhadas por geração MAAG;

Z=10
Z=20
Z=15
Figura 5- Esquematização das diferentes distribuições dos pontos
de contacto de um dado dente do pinhão para os casos discutidos
anteriormente. Ilustração adaptada pelos autores a partir de [6].
• Segundo [8], para que não haja variação do entre-eixo aquando da correção de dentado para
equilibragem dos escorregamentos específicos, é ainda necessário verificar a condição:
𝑧1 + 𝑧2 ≥ 60 ;
• Em engrenagens em que o número de dentes da roda é múltiplo do número de dentes do pinhão, é
conveniente alterar ligeiramente (sem comprometer os pressupostos mencionados) o número de
dentes no pinhão, da roda ou de ambos de modo a que o número de dentes da roda não seja
múltiplo do número de dentes do pinhão.
Caso o número de dentes da roda seja múltiplo do número de dentes do pinhão, um dado dente do
pinhão irá engrenar em cada rotação sempre no mesmo par de dentes da roda.
Caso o número de dentes da roda não seja múltiplo do número de dentes do pinhão, apenas ao fim
de um número finito de rotações é que um dado dente do pinhão engrena com o mesmo dente da
roda.
Surgindo defeitos e imperfeições de fabrico e montagem inevitáveis, o efeito de desgaste do dente
da roda será agravado na situação de razão de redução par. Daí que seja vantajoso do ponto de vista de
vida mecânica do redutor evitar razões de transmissão pares.
Na figura seguinte procura-se ilustrar precisamente a diferença entre o contacto com uma roda em
que o número de dentes não é (engrenamento à esquerda) e é múltiplo (engrenamento à direita) do
número de dentes do pinhão .

A partir do exposto anteriormente, e arredondando os valores do número de dentes pela regra
comum do arredondamento numérico obtém-se os valores designados por 1ª iteração. As questões que
foram surgindo ao longo do relatório e que resultaram num redimensionamento das rodas dentadas foram
devidamente registadas e estão referenciadas nas iterações seguintes.
Tabela 7- Quadro resumo da evolução do número de dentes proposto para o trem a, com os respectivos
parâmetros cinemáticos e justificação do redimensionamento.
Trem a
1ª Iteração 2ª Iteração
𝒛 𝟏 17 24
𝒛 𝟐 47 66
𝒊 𝒂 2.76 2.75
𝝍 0.69 0.69
𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐 64 ✓ 90 ✓
Justificação Respeitar as condições referidas no
subcapítulo 3.1 e 3.2
Possibilidade do pinhão ser montado no veio
do motor
Tabela 8- Quadro resumo da evolução do número de dentes proposto para o trem b, com os respectivos
Trem b
1ª Iteração
𝒛 𝟏 17
𝒛 𝟐 46
𝒊 𝒃 2.71
𝝍 0.67
𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐 63 ✓
Justificação Respeitar as condições referidas no subcapítulo 3.1 e 3.2

Tabela 9- Quadro resumo da evolução do número de dentes proposto para o trem c, com os respectivos
Trem c
1ª Iteração 2ª Iteração 3ª Iteração 4ª Iteração
𝒛 𝟏 17 20 24 24
𝒛 𝟐 34 40 48 49
𝒊 𝒄 2 2 2 2.04
𝝍 0.67 0.67 0.67 0.68
𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐 51 60 ✓ 72 ✓ 73 ✓
Justificação
Condições referidas
no subcapítulo 3.1
e 𝑧1 ≥ 17
𝑧1 + 𝑧2 ≥ 60
Aumentar
capacidade de Carga
ao Desgaste do
pinhão
Evitar que a
roda tenha um
um 𝑧2 múltiplo
do 𝑧1 do pinhão
Falta ainda verificar se a velocidade de saída efectiva, conseguida com a solução final, encontra-
se dentro do intervalo de variação aceitável, equação (0.2).
𝑖 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 =
𝑧2𝑎
𝑧1𝑎
⋅
𝑧2𝑎
𝑧1𝑎
⋅
𝑧2𝑎
𝑧1𝑎
=
66
24
⋅
46
17
⋅
49
24
( 3.9 )
𝑖 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 =
𝑛1
𝑛4
⇔ 𝑛4 =
𝑛1
𝑖 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙
= 47.39 [𝑟𝑝𝑚] ( 3.10 )
𝐸𝑠𝑎í𝑑𝑎 =
𝑛4 − 𝑛 𝑠
𝑛 𝑠
= −1.27 % ∈ [−3 , 2 ] ( 3.11 )
Como é possível verificar, a velocidade angular de saída encontra-se dentro da tolerância
imposta. Apenas neste momento é que é possível afirmar que os dentes da engrenagem estão definidos.
Na tabela seguinte sumaria-se essa informação, bem como a velocidade de rotação de cada veio
de transmissão.

Tabela 10- Sumário do número de dentes das rodas dentadas de cada engrenagem e das razões de redução
para cada trem de engrenagens.
Andar /
Trem
Número de
Dentes
Razão de
Transmissão 𝒊
Velocidade de rotação
[rpm]
Identificaçã
o do veio
a
𝑧1𝑎 = 26
𝑧2𝑎 = 71
2.75
𝑛1 = 𝑛 𝑛𝑜𝑚 = 720.00 1
𝑛2 =
𝑧1𝑎
𝑧2𝑎
⋅ 𝑛1 = 261.82 2
b
𝑧1𝑏 = 17
𝑧2𝑏 = 46
2.71
𝑛3 =
𝑧1𝑏
𝑧2𝑏
⋅ 𝑛2 = 96.76 3
c
𝑧1𝑐 = 24
𝑧2𝑐 = 49
2.04
𝑛4 =
𝑧1𝑐
𝑧2𝑐
⋅ 𝑛3 = 47.39 4
Redutor na sua
Globalidade
15.19 𝐸𝑠𝑎í𝑑𝑎 =
𝑛4 − 𝑛 𝑠
𝑛 𝑠
= −1.27 % ∈ [−3 , 2 ]

4 Definição Construtiva e Geométrica das Transmissões
O dimensionamento das transmissões de movimento por rodas dentadas envolve três etapas, cuja
ordem de enumeração deverá ser seguida:
• Determinação da solução construtiva mais adequada para efectuar a ligação roda-veio;
• Definição geométrica do dentado.
4.1 Estimativa do tipo de ligação roda-veio
Antes de se definir a geometria do dentado das rodas é necessário tentar prever, ainda que de forma
grosseira, qual o tipo de ligação roda-veio recomendado. Este tópico diz respeito essencialmente às rodas
dentadas que por razões de projeto não podem ser maquinadas e talhadas no próprio veio. Levantando
obrigatoriamente considerações de resistência dos materiais na transmissão de potência, nomeadamente
nas seguintes situações:
• O corpo da roda dentada furada tem de resistir aos esforços envolvidos, cuja resistência depende
diretamente da existência de uma secção resistente mínima;
• É ainda necessário assegurar que o veio suporta o momento torsor resultante da transmissão.
Atendendo a relação entre o diâmetro primitivo de corte da roda rentada (𝑑 𝑝) e o diâmetro do veio (𝑑 𝑣)
há uma solução de ligação ótima. Que pode ser justifica por critérios de resistência mecânica ou por
questões económicas no processo de fabrico. Empiricamente é possível afirmar que, consoante a relação
𝑑 𝑝 ∞ 𝑑 𝑣 é aconselhável que:
a) A roda dentada seja montada no veio (ligação chaveta-escatel) – assegura uma secção resistente
mínima compatível com a montagem por chaveta-escatel. Solução mais económica do ponto de vista
do processo de fabrico (menor desperdício de material);
𝑑 𝑝 ≥ 1.5 𝑑 𝑣 ( 4.1 )
b) A roda dentada seja talhada no próprio veio – assegura que não há problemas de rotura do corpo
dentado por colapso mecânico;
1.2 𝑑 𝑣 ≤ 𝑑 𝑝 < 1.5 𝑑 𝑣 ( 4.2 )

c) A roda dentada seja redimensionada – o pé dos dentes apresentaria um diâmetro inferior ao do
próprio veio, aumentando a complexidade e custo da maquinagem.
1.2 𝑑 𝑣 < 𝑑 𝑝 ( 4.3 )
A condições anteriores procuram reduzir o número de iterações envolvidas na reformulação do
projecto por incapacidade da roda e/ou veio suportarem os esforços gerados. As solicitações mecânicas
que actuam na engrenagem ao longo do engrenamento, apenas poderão ser definidas de forma exacta nos
subcapítulos seguintes. Isto é, após definição geométrica da engrenagem.
De modo a verificar as condições anteriormente mencionadas é preciso determinar, ainda que de
forma aproximada:
a) Diâmetro do veio 𝑑 𝑣 ;
b) Diâmetro do primitivo 𝑑 𝑝 da roda dentada (no caso das rodas dentadas cónicas será usado o
diâmetro primitivo interior de corte).
Comecemos por determinar o diâmetro dos veio, já que o procedimento adotado será independente do
tipo de engrenagens utilizado no andar de redução a considerar.
Para determinar de forma aproximada o diâmetro do veio pode-se abordar o problema de duas
perspectivas distintas, segundo:
I. Critério de Rigidez (adequado para veios longos)
𝑑 𝑣 [𝑚𝑚] = 129.6 √
𝑃 [𝑘𝑊]
𝑛 [ 𝑟𝑝𝑚]
4
( 4.4 )
II. Critério da Tensão máxima (adequado para veios curtos)
𝑑 𝑣 [𝑚𝑚] = 17.2 √
𝑇 [𝑁 ⋅ 𝑚]
𝜏 [𝑀𝑃𝑎]
3
( 4.5 )
* Critérios válidos para veios de secção recta circular cheia.
Uma rule of thumbs, obtida de forma empírica, muito utilizada na especialidade, admite que na maioria
dos casos de projecto:
• O critério I leva a um sobredimensionamento dos veios e rodas dentadas;
• O critério II leva a um subdimensionamento dos veios e rodas dentadas;

Por recomendação do orientador deste relatório, e apoiando esta decisão na sua vasta experiência
no ramo, optou-se por selecionar o primeiro critério, afectando-o de uma redução de 10%, de modo a
reduzir o sobredimensionamento.
O diâmetro dos veios é então determinados como evidenciado na tabela seguinte.
Tabela 11- Primeira estimativa para os diâmetros mínimos de cada um dos veios de transmissão, bem como
a sua fórmula de cálculo.
Identificação
do veio
Fórmula de Cálculo Diâmetro do
veio [mm]
1 𝑑 𝑣1 = 𝐷 42.0
2
𝑑 𝑣2 = 0.9 ⋅ 129.6 √
𝑃 [𝑘𝑊]
𝑛2 [ 𝑟𝑝𝑚]
4
44.4
3
𝑑 𝑣3 = 0.9 ⋅ 129.6 √
𝑃 [𝑘𝑊]
4
57.0
4
𝑑 𝑣4 = 0.9 ⋅ 129.6 √
𝑃 [𝑘𝑊]
4
68.0
Como a determinação do diâmetro primitivo depende do tipo de engrenagem, cilíndrica ou
cónica, nos subcapítulos seguintes o cálculo do diâmetro primitivo é realizado em primeiro lugar para o
trem 𝑎 e 𝑏 (engrenagens cilíndricas) e posteriormente para o trem 𝑐 (engrenagem cónica).

4.1.1 Engrenagens Cilíndricas – trem a e b
As engrenagens cilíndricas podem apresentar geralmente dentado reto ou dentado inclinado ou
helicoidal. O dentado helicoidal apresenta uma série de vantagens, das quais se destaca [19]:
• Funcionamento mais suave e silencioso;
• Diminuição do esforço de engrenamento no dente (possibilidade de ter simultaneamente mais do
que um dente engrenado);
• Diminuição dos efeitos dinâmicos (permite a utilização de velocidades de rotação superiores).
Pelo que foi anteriormente enunciado, foi selecionado o dentado helicoidal para as engrenagens
cilíndricas dos andares de conversão 𝑎 e 𝑏.
De acordo com [8], o diâmetro primitivo de uma roda dentada cilíndrica, de dentado helicoidal
em evolvente de círculo, pode ser determinado por:
𝑑 𝑝 𝑖𝑗
= 𝑧𝑖𝑗 ⋅
𝑚
cos( 𝛽) ( 4.6 )
Que é função do número de dentes, do ângulo de hélice de primitiva e do módulo de corte.
O ângulo de hélice (ou ângulo de inclinação primitiva) é o ângulo agudo formado pela tangente a
uma hélice e a geratriz do cilindro sobre o qual esta se desenvolve [10].
O seu valor varia entre 0 ≤ 𝛽 ≤ 45° , como recomendado na norma DIN 3978-1979 [10]. Para
engrenagens dc dentado helicoidal de mecânica geral o ângulo 𝛽 = 20° é frequentemente utilizado, razão
pela qual o seu valor será o adotado. Ângulos superiores a 20° apenas justificam-se para engrenagens de
duplo dentado helicoidal (dente em espinha). Este tipo de dentado apresenta inúmeras vantagens:
• Redução do nível sonoro;
• Aumento da capacidade de carga (aumento da resistência do dentado);
• Redução da componente axial da força de contacto (relevante para o dimensionamento dos
apoios).
Contudo, o seu custo e complexidade de fabrico (dificuldade de garantir boa precisão de fabrico),
bem como dificuldade de montagem associada, torna esta solução adequada apenas quando se trata de
rodas dentadas para transmissão de elevadas potências (maquinaria pesada, turbinas a vapor para
propulsão de veículos aquáticos, redução de turbinas de centrais hidroelétricas, etc...) [10]. Valores de
𝛽 ≥ 45º não são desejáveis pois trazem efeitos negativos no rendimento e esforços axiais [19].
O dentado adotado será um dentado helicoidal simples com ângulo de hélice primitiva de 20°.

O módulo normal (também designado por módulo de corte ou talhagem), é definido geralmente
por critérios simplificados de resistência à flexão do dente, baseados no método ISO 6336-3 [10]. A
fórmula de cálculo simplificada utilizada para determinação do seu valor mínimo admissível é
precisamente baseada em considerações sobre a capacidade de carga à rotura da engrenagem. Esta é
baseada no procedimento conservador de Lewis que não tem em conta o fator de forma de Lewis e toma a
seguinte forma [10]:
𝑚𝑗 ≥ √
40736
𝑧𝑖𝑗
⋅
𝑃 [𝑘𝑊]
𝑛 𝑘 [ 𝑟𝑝𝑚]
3
( 4.7 )
Uma vez determinado o valor mínimo admissível para o módulo normal, é ainda necessário
selecionar um valor normalizado que o respeite (valor normalizado imediatamente superior). Para facilitar
essa tarefa é transcrita de [10] para a Tabela 12 os valores normalizados para o módulo de engrenagens
de mecânica geral recomendada pela ISO 54 - 1996.
Tabela 12- Transcrição dos módulos normalizados da ISO 54 – 1996, aplicada para engrenagens de mecânica
geral e pesada, não incluindo a indústria automóvel.
Módulos de corte normalizados - 𝒎 𝒏 [mm]
Série 1 Série 2 Série 1 Série 2 Série 1 Série 2
1 (1.125) 4 (4.5) 16 (14)
1.25 (1.375) 5 (5.5) 20 (18)
1.5 (1.75) 6 (( 6.5 )) 25 (22)
2 (2.25) 8 (7) 32 (28)
2.5 (2.75) 10 (9) 40 (36)
3 (3.5) 12 (11) 50 (45)
A escolha do módulo normalizado será feita dando preferência aos valroes da Série1, valores de
primeria escolha que em princípio irão garantir o acesso a fresas de talhagem com maior oferta e
provavelmente a menor custo. Refira-se que o princípio de otimização para o menor atravancamento
possível é aqui sobreposto a aspectos de cariz prático-económico.

Atendendo à determinação do tipo de ligação veio-roda adequado, é necessário realçar um
aspecto importante. O pinhão com número de dentes 𝑧1𝑎 tem forçosamente de ser montado no veio. Isto
porque o veio de entrada corrresponde ao veio de saída do motor, sendo impossível por isso na prática de
talhar o pinhão no próprio veio. O motor é adquirido como uma unidade externa independente. Os valores
iniciais obtidos para o número de dentes das rodas dentadas do trem 𝑎 (𝑧1𝑎 = 17, 𝑧2𝑎 = 47), não
permitiam que o pinhão fosse furado. Isto é, a condição imposta pela equação (4.1) não era verificada. Foi
então necessário redimensionar o trem de engrenagens 𝑎 obtendo-se (𝑧1𝑎 = 24 ; 𝑧2𝑎 = 66)
Na Tabela 14 sumaria-se os valores obtidos para os diâmetros primitivos e relações 𝑑 𝑝 ∞ 𝑑 𝑣 , quer para
as engrenagens cilíndricas (trem a e b), quer para as engrenagens cónicas (trem c).

4.1.2 Engrenagem Cónica – trem c
De modo a poder estimar o tipo de ligação roda dentada-veio, falta apenas calcular os diâmetros
primitivos das rodas dentadas do trem 𝑐. O procedimento adotado para as engrenagens cilíndricas será em
tudo semelhante.
Introduz-se no âmbito das engrenagens cónicas o conceito de diâmetro primitivo interior e de
geratriz primitiva (R), cujas fórmulas são apresentadas de seguida. Ao contrário das engrenagens
cilíndricas, que apresentam um diâmetro constante ao longo da largura da engrenagem, o diâmetro
primitivo varia. Como é expectável, apenas tem sentido comparar o diâmetro do veio com o diâmetro
primitivo menor da engrenagem. Ora o diâmetro interno da engrenagem cónica é o que apresenta menores
dimensões.
Pinhão Roda
𝑑 𝑝 𝑖𝑛𝑡 1
= 𝑧1 ⋅ m ⋅
𝑅 − 𝑏
𝑅
= 𝑧2 ⋅ m ⋅
𝑅 − 𝑏
𝑅
( 4.8 )
𝑅 =
𝑚 ⋅ z1
2 sin( 𝛿1)
=
𝑚 ⋅ z2
2 sin( 𝛿2) ( 4.9 )
𝑏 ≅
𝑅
3
( 4.10 )
tan( 𝛿1) =
𝑧1
𝑧2
tan( 𝛿2) =
𝑧2
𝑧1
( 4.11 )
Em que as variáveis mencionadas anteriormente representam respectivamente:
/ 𝑑 𝑝 𝑖𝑛𝑡 2
Diâmetro primitivo interior do pinhão / roda
𝑅 Geratriz Primitiva
𝑏 Largura da engrenagem
𝛿1 / 𝛿2 Ângulo de cone primitivo do pinhão / roda

Notar que estas fórmulas foram desenvolvidas especificamente para engrenagens cónicas, de
dentado reto, e com ângulo de concorrência de 90º.
O dentado adotando para as engrenagens cónicas será um dentado reto por questões de
simplificação do processo de cálculo. Para além disso [20] refere que para velocidades até 5m/s, em
aplicações em que o ruído não seja uma forte preocupação o custo-benefício das engrenagens cónicas de
dentado reto é superior. Isto porque o seu custo e complexidade de fabrico é naturalmente inferior ao
fabrico de engrenagens cónicas com outro dentado.
Não deixa de ser importante notar que existem outras geometrias para o dentado das engrenagens
cónicas, referindo-se a título de exemplo: dentado helicoidal tipo espiral cónico Geason, Oerlikon e
Klingelnberg [19].
Uma engrenagem cónica de dentado reto pode ser analisada pelo método da engrenagem
complementar ou equivalente. Também designado por traçado aproximado de Tredgold. Que consiste na
projeção da roda dentada no cone de “trás” [19].
As considerações relativas ao módulo de corte foram já tecidas no âmbito das engrenagens
cilíndricas. Para o cálculo do diâmetro primitivo interno de corte não é necessário acrescentar nada ao que
foi dito no capítulo 4.1.1.
A determinação da largura da engrenagem é feita recorrendo à equação (4.10). Uma vez que a
sua fórmula de cálculo consiste numa aproximação, será utilizado um arredondamento para o inteiro mais
próximo. O seu valor será também utilizado como parâmetro de entrada no cálculo da potência admissível
para este trem de engrenagens.
Os parâmetros intermédios necessários para o cálculo dos diâmetros primitivos interiores foram
sumariados e agrupados na tabela seguinte.
Tabela 13- Sumário dos parâmetros necessários para o cálculo dos diâmetros primitivos.
𝜹 𝑹 𝒃
Pinhão 0.455
136.40 46
Roda 1.115
Tal como referido no subcapítulo anterior, na tabela seguinte apresenta-se um quadro resumo dos valores
gerados para todos os andares de engrenamento.

Tabela 14- Resumo Global das variáveis determinadas para as engrenagens dos três andares de redução.
𝒛
𝒅 𝒑 [mm]
𝒅 𝒑 𝒊𝒏𝒕 [mm]
𝒅 𝒑 / 𝒅 𝒗
Ligação
veio-roda
𝒊 𝒏 [rpm] 𝒅 𝒗 [mm]
Andar
𝑎
Pinhão 24 63.9 1.5 Montagem
2.75
720.00 42.0 1
Veio
Roda 66 175.6 4.0 Montagem
261.82 44.4 2
𝑏
Pinhão 17 72.36 1.6 Montagem
2.71
Roda 46 195.8 3.4 Montagem
96.76
57.0
3
𝑐
Pinhão 24 80 1.4 Talhada
2.04
Roda 49 163.3 2.4 Montagem 47.39 68.0 4
-1.27% ∈ [−𝟑, 𝟐]% Erro relativo

4.2 Definição da Geometria do dentado
4.2.1 Engrenagens Cilíndricas – trem a e b
Uma vez determinado o número de dentes e feita uma primeira verificação se estes asseguram
ligações roda-veio compatíveis com as condições de projeto, pode-se então determinar com maior
pormenor e certeza todas as características geométricas do dentado das engrenagens.
Como o procedimento a adotar para as engrenagens cilíndricas difere ligeiramente das engrenagens
cónicas, neste subcapítulo apenas serão abordados os dois primeiros andares de redução. Deixando para o
subcapítulo seguinte a definição geométrica do dentado da engrenagem cónica.
Antes de definir a geometria do dentado, é necessário determinar a correção do dentado a aplicar.
O critério de correção será a equilibragem do escorregamento específico nos pontos críticos do dente do
pinhão e roda, o final e início do engrenamento respectivamente. Como outros motivos para correção de
dentado poderíamos referir a melhoria de performance da engrenagem e eliminar interferência de
funcionamento [19]. A maioria dos parâmetros de input para realizar a correção de dentado foram
calculados nos capítulos anteriores e estão indicados na tabela seguinte.
Tabela 15- Quadro resumo dos valores das variáveis necessárias para o cálculo da correção de dentada para
equilibragem do escorregamento específico.
Variáveis de Input
Andar 𝑧 𝑚 𝛼 20
a
24
2.5
𝛽 20
66 𝑎′ 𝑎
b
17
4
46
A variável de projeto que não foi mencionada até ao momento foi o ângulo de pressão de corte,
designado por 𝛼. O ângulo de pressão consiste no ângulo formado pela horizontal e os dentes da
cremalheira geradora. Como referido em [10], a ISO 53 – 1998 define valores preferenciais para os seus
valores bem como as respectivas aplicações, enunciando-os de seguida:

• 𝛼 = 15° : Adequado para quipamentos de indústria gráfica e transmissões que requerem elevada
precisão cinemática;
• 𝛼 = 17.5° : Utiizado para engrenagens da indústria naval (“High contact ratio gears”, HCRG) que
requerem funcionamento silencioso.;
• 𝛼 = 𝛼 𝑝 = 20° : Perfil de referência utilizado na generalidade das aplicações de mecânica corrente;
• 𝛼 = 22.5° 𝑎 25° : Adequado para dentado submetido a elevados esforços de contacto e em
aplicações em que a suavidade do engrenamento não seja um requisito fundamental.
De forma simplista, quanto maior o ângulo de pressão, mais reforçada vem a base do dente e menor
será a tensão superficial no flanco do dente. Contudo, este ganho em capacidade mecânica vem à custa de
um aumento da componente radial da força de contacto (aumento da solicitação dos apoios) e de uma
diminuição da razão de condução (engrenamento mais ruidoso) [10].
Atendendo ao que foi mencionado optou-se por selecionar um ângulo de pressão 𝛼 = 20°. Decisão
baseada na sua utilização generalizada (pelo menos na europa) para mecânica corrente, e no facto de
permitir um equilíbrio entre a resistência do dentado e a suavidade de engrenamento.
As expressões utilizadas para o cálculo da correção de dentado foram retiradas de [8], e encontram-
se enumeradas de seguida.
Pinhão Roda
𝑎 =
𝑧2 + 𝑧1
2 cos( 𝛽)
⋅ 𝑚 ( 4.12 )
tan( 𝛼 𝑡) ⋅ cos( 𝛽) = tan( 𝛼) ⇒ 𝛼 𝑡 = tan−1
(
tan( 𝛼)
cos( 𝛽)
) ( 4.13 )
cos( 𝛼 𝑡′) = cos( 𝛼 𝑡) ∙
𝑎
𝑎′
⇒ 𝛼 𝑡
′
= cos−1 ( cos( 𝛼 𝑡) ∙
𝑎
𝑎′
) ( 4.14 )
𝑖𝑛𝑣 ( 𝛼 𝑡′) = 𝑖𝑛𝑣( 𝛼 𝑡) + 2 tan( 𝛼) ∙
𝑥1 + 𝑥2
𝑧1 + 𝑧2
⇒ 𝑥1 + 𝑥2 =
𝑧1 + 𝑧2
2 tan( 𝛼)
[ 𝑖𝑛𝑣 ( 𝛼 𝑡′) − 𝑖𝑛𝑣( 𝛼 𝑡) ]
( 4.15 )

𝑖𝑛𝑣( 𝛼 𝑡′) = tan( 𝛼 𝑡′) + 𝛼 𝑡′ ( 4.16 )
𝑖𝑛𝑣( 𝛼 𝑡) = tan( 𝛼 𝑡) + 𝛼 𝑡 ( 4.17 )
𝐵𝑣 =
cos( 𝛼 𝑡)
cos( 𝛼 𝑡′)
− 1 ( 4.18 )
𝐵 = 2 ∙
𝑥1 + 𝑥2
𝑧1 + 𝑧2
( 4.19 )
𝐾 =
𝑧1 + 𝑧2
2
(𝐵 −
𝐵𝑣
cos( 𝛽)
) ( 4.20 )
sin( 𝛽 𝑏) = sin( 𝛽) ∙ cos( 𝛼) ⇒ 𝛽 𝑏 = sin−1( sin( 𝛽) ∙ cos( 𝛼) ) ( 4.21 )
𝑟𝑎 1
= 𝑚 (
𝑧1
2cos( 𝛽)
+ 1 + 𝑥1 − 𝐾) 𝑟𝑎 2
= 𝑚 (
𝑧2
2cos( 𝛽)
+ 1 + 𝑥2 − 𝐾) ( 4.22 )
𝑟𝑏 1
=
𝑧1
2
∙ 𝑚 ∙
cos( 𝛼)
cos( 𝛽 𝑏)
𝑟𝑏 2
=
𝑧2
2
∙ 𝑚 ∙
cos( 𝛼)
cos( 𝛽 𝑏)
( 4.23 )
cos(𝛼 𝑎 1
) =
𝑟𝑏 1
𝑟𝑎 1
⇒ 𝛼 𝑎 1
= cos−1
(
𝑟𝑏 1
𝑟𝑎 1
) cos(𝛼 𝑎 2
) =
𝑟𝑏 2
𝑟𝑎 2
⇒ 𝛼 𝑎 2
= cos−1
(
𝑟𝑏 2
𝑟𝑎 2
) ( 4.24 )
𝑢1 = (
𝑧1 + 𝑧2
𝑧2
) (1 −
tan( 𝛼 𝑡′)
tan(𝛼 𝑎 1
)
) 𝑢2 = (
𝑧1 + 𝑧2
𝑧1
)(1 −
tan( 𝛼 𝑡′)
tan(𝛼 𝑎 2
)
) ( 4.25 )
𝛾1 =
𝑢1
1 − 𝑢1
𝛾2 =
𝑢2
1 − 𝑢2
( 4.26 )
Em que:
𝛼 𝑡 Ângulo de pressão aparente de corte
𝛼 𝑡
′ Ângulo de pressão aparente de funcionamento
𝐾 Quantidade envolvida na redução da altura do dente de modo a manter a folga normalizada
entre a cabeça e o pé do dente
𝐵𝑣 , 𝐵 Coeficientes intermédios criados para determinar simplificarem a expressão de K

𝛽 𝑏 Ângulo da hélice de base
𝑟𝑎 1
Raio de cabeça
𝑟𝑏 1
Raio de base
𝛾 Escorregamento específico
Como é possível observar, o escorregamento específico é função implicitamente da variável soma
das correções de dentado 𝑥1 + 𝑥2 . E o que se pretende é precisamente minimizar o seu valor obedecendo à
condição de correção positiva para o pinhão e negativa para a roda. Em termos matemáticos a função
objetivo e as restrições viriam dadas por:
Trata-se pois de um problema de otimização ou programação não linear. E pode ser resolvido
recorrendo a qualquer ferramenta de cálculo matemático que apresente metodologias de cálculo como o
método Simplex não linear ou outro qualquer.
Para a sua resolução iterativa, recorreu-se à ferramenta Solver do software Microsoft Excel®, e os
seus resultados são apresentados no final do capítulo.
Após o cálculo da correção de dentado que minimiza os escorregamentos específicos, é possível
então definir as dimensões geométricas relevantes da engrenagem.
A sua fórmula de cálculo e respectivo significado são enumerados de seguida.
Pinhão Roda
𝑟𝑝1
′
=
𝑧1
𝑧1 + 𝑧2
∙ 𝑎′ 𝑟𝑝2
′
=
𝑧2
𝑧1 + 𝑧2
∙ 𝑎′ ( 4.29 )
ℎ1 = (2.25 − 𝑘) ∙ 𝑚 ℎ2 = (2.25 − 𝑘) ∙ 𝑚 ( 4.30 )
ℎ 𝑎 1
′
= 𝑟𝑎 1
− 𝑟𝑝 1
′
ℎ 𝑎 2
′
= 𝑟𝑎 2
− 𝑟𝑝 2
′
( 4.31 )
ℎ 𝑓1
= ℎ1 − ℎ 𝑎 1
′
ℎ 𝑓2
= ℎ2 − ℎ 𝑎 2
′
( 4.32 )
𝑟 𝑓1
= 𝑟𝑎 1
− ℎ1 𝑟 𝑓 2
= 𝑟𝑎 2
− ℎ2 ( 4.33 )
min( | 𝛾1 − 𝛾2| ) ( 4.27 )
𝑥1 ≥ 𝑥2 ( 4.28 )

Em que:
𝑟𝑝
′
Raio primitivo de funcionamento
𝑟𝑎 1 Raio de cabeça ou raio de adendum
ℎ Altura do dente
ℎ 𝑎
′ Altura de cabeça (ou saída)
ℎ 𝑓 Altura de pé (ou coroa)
Na Tabela 16 são condensados os valores das características geométricas cujas fórmulas de cálculo foram
anteriormente referidas e das dimensões geométricas calculadas simultaneamente no processo de cálculo da
correção de dentado.
Tabela 16- Sumário das características geométricas do dentado das engrenagens cilíndricas.
Andar 𝒓 𝒑
′
[mm] 𝒓 𝒇 [mm] 𝒓 𝒂 [mm] 𝒉 [mm] 𝒉 𝒂
′
[mm] 𝒉 𝒇 [mm]
a
31.925 29.4 35.0 5.6 3.1 2.5
87.795 84.1 89.7 5.6 1.9 3.7
b
36.182 32.4 41.4 9.0 5.2 3.8
97.904 91.7 100.7 9.0 2.8 6.2

4.2.2 Engrenagens Cónicas – trem c
Tal como foi feito para as engrenagens cilíndricas, falta agora definir a geometria do dentado de
forma rigorosa e precisa. À semelhança do que foi realizado para as engrenagens cilíndricas, optou-se por
fazer correção de dentado para equilibragem dos escorregamentos específicos. Procurando-se assim
aumentar a longevidade do dentado do pinhão.
De modo a poder fazer uma analogia entre as engrenagens cilíndricas e as engrenagens cónicas, é
necessário introduzir o conceito de módulo médio ou módulo equivalente e geratriz média. Como se
depreende facilmente, o diâmetro das rodas dentadas cónicas não é sempre constante. Para contabilizar esse
aspeto geométrico admite-se um módulo médio entre o diâmetro primitivo exterior e interior. Atendendo a
este pressuposto, para obter a correção de dentado basta substituir o módulo normal pelo módulo médio e
aplicar a mesma metodologia de cálculo da correção de dentado. A definição matemática de módulo médio
é acompanhada pela de geratriz média e estas são dadas por:
mm = 𝑚 ⋅
𝑅 𝑚
𝑅
( 4.34 )
𝑅 𝑚 = 𝑅 −
𝑏
2
( 4.35 )
mm Módulo no diâmetro primitivo médio
𝑅 𝑚 Geratriz Média
Notar que é imposto no processo de cálculo da correção de dentado a condição: 𝑎 = 𝑎’. No caso
das engrenagens cilíndricas o entre-eixo de funcionamento poderia ser diferente do entre-eixo normal.
Os parâmetros calculados simultaneamente com a correção de dentado, no caso das engrenagens
cónicas, não são válidos do ponto de vista de definição geométrica. Podemos encarar esses parâmetros
como parâmetros virtuais que apenas permitem realizar uma analogia entre as engrenagens cónicas e
cilíndricas.

As características geométricas que definem a engrenagem cónica são determinadas pelas fórmulas
seguintes:
Pinhão Roda
ℎ1 = 2.25 ∙ 𝑚 ℎ2 = 2.25 ∙ 𝑚 ( 4.36 )
ℎ 𝑎1
= (1 + 𝑥1) ⋅ 𝑚 ℎ 𝑎 2
= (1 + 𝑥2) ⋅ 𝑚 ( 4.37 )
ℎ 𝑓 1
= (1.25 − 𝑥1) ⋅ 𝑚 ℎ 𝑓 2
= (1.25 − 𝑥2) ⋅ 𝑚 ( 4.38 )
𝑑 𝑝 1
= 𝑚𝑧1 𝒅 𝒑 𝑑 𝑝 2
= 𝑚𝑧2 ( 4.39 )
𝑑 𝑎 1
= 𝑚𝑧1 + 2ℎ 𝑎 1
cos( 𝛿1) 𝑑 𝑎 2
= 𝑚𝑧2 + 2ℎ 𝑎 2
cos( 𝛿2) ( 4.40 )
𝑑 𝑓1
= 𝑚𝑧1 − 2ℎ 𝑓1
cos( 𝛿1) 𝑑 𝑓2
= 𝑚𝑧2 − 2ℎ 𝑓2
cos( 𝛿2) ( 4.41 )
Figura 6- Definição geométrica de algumas dimensões características das engrenagens cónicas [3].

As variáveis necessárias para o cálculo da correção de dentado foram devidamente organizadas na
tabela seguinte.
Tabela 17- Variáveis necessárias para o cálculo da correção de dentado de engrenagens cónicas de dentado
reto com ângulo de concorrência de 90º.
Variáveis de Input
Andar 𝑧 𝛿 𝑚 𝑚 𝑚 𝛼 20
c
24 0.455
5 4.17
𝑎′ 𝑎
49 1.115
Tal como foi elaborado um quadro resumo do valor dimensões características para as engrenagens
cilíndricas, encontra-se abaixo o quadro homólogo para as engrenagens cónicas.
Tabela 18- Quadro resumo das dimensões características das rodas dentadas do trem c.
Por fim, é apresentado de seguida um quadro que sumaria todos os parâmetros intermédios
necessários para o cálculo da correção de dentado das engrenagens cilíndricas e cónicas.
Andar 𝒉 𝒂 𝒉 𝒇 𝒅 𝒂 𝒅 𝒇
c
6.1 5.2 130.9 110.7
3.9 7.3 248.4 238.5

Tabela 19- Quadro resumo dos parâmetros intermédios necessários para o cálculo das correções de dentado, para todas as engrenagens.
Andar 𝒛𝒊 𝒂 𝜶 𝒕 𝜶 𝒕
′
𝑩 𝒗 𝑩 𝑲 𝜷 𝒃 𝒓 𝒂 𝒓 𝒃 𝜶 𝒂 𝒖 𝜸 𝒙
a
Pinhão 26
119.720 0.370 0.370 0.000 0.000 0.000 0.327
35.004 29.770 0.554 0.510 1.039 0.231
Roda 71 89.716 81.868 0.421 0.510 1.039 -0.231
b
Pinhão 17
134.086 0.370 0.370 0.000 0.000 0.000 0.327
41.383 33.740 0.618 0.623 1.650 0.300
Roda 46 100.704 91.295 0.436 0.623 1.650 -0.300
c
Pinhão 24
152.083 0.349 0.349 0.000 0.000 0.000 0.000
55.069 46.985 0.549 0.603 1.518 0.217
Roda 49 105.348 95.927 0.426 0.603 1.518 -0.217

5 Determinação da Potência transmitida admissível
Terminado o cálculo das correções de dentado, é necessário verificar se o dentado tem capacidade
para transmitir a potência pretendida. Caso a potência não seja a requerida, é necessário alterar alguns
parâmetros como a largura dos dentes, o módulo, o número de dentes ou o material da roda dentada para
conseguir obter o valor exigido.
A metodologia adotada nesta etapa do projeto está representa no esquema seguinte.
Seleção do material adequado
(Ex: Ligas Ferrosas, Ligas não
Ferrosas, polímeros, etc..)
Seleção Iterativa, dentro da família
selecionada, começando pela liga com
menores propriedades mecânicas,
Cálculo da Potência máxima
admissível (pelos dois critérios).
𝑃 < 𝑃𝑎𝑑𝑚 𝑃 > 𝑃𝑎𝑑𝑚
Seleção de novo
material com melhores
propriedades mecânicas
Até esgotar a oferta de
qualidades de material
Redimensionamento da
engrenagem
Fim do
processo
Figura 7- Esquema conceptual do
procedimento adotado para o
dimensionamento das
engrenagens à capacidade de
carga.
Aumento da Largura da
Engrenagem
Até igualar a largura
máxima aconselhada em [8]

5.1 Material de Construção
A generalidade das engrenagens de contrução mecânica geral, é maquinada a partir de uma disco
(blank) que é constituido por [19]:
• Aço de construção ligado – adequado para engrenagens de baixas a médias velocidades de rotação
(< 4000 [𝑟𝑝𝑚] );
• Aço ao carbono cementado e temperado e posteriormente retificado – custo elevado associado ao
processo de retificação, utilizado em engrenagens para aplicações de elevada precisão cinemática
e/ou elevada velocidade de rotação ( > 4000 [𝑟𝑝𝑚] );
Com base no que foi mencionado, para a aplicação em causa selecionou-se um aço de construção
ligado (entrada por Aciers allies no ábaco da tensão limite de base) como material base das engrenagens. Por
uma questão de facilidade de acesso, optou-se por consultar o catálogo da Ramada®. Usando como
parâmetros de filtro (aço de construção ligado, aplicação-engrenagem) obtém-se os resultados traduzidos
na Tabela 20. Todas as ligas são assumidas como produzidas por forjamento (entrada por Aciers allies forges
no ábaco das pressões limite de base).
Atendendo ao que foi indicado, a verificação da capacidade de carga foi iniciada com o aço com
características mecânicas inferiores- RPM32 (DIN 42CrMo4).
Tabela 20- Transcrição das principais propriedades e características dos aços de construção ligadas, para
engrenagens do catálogo da Ramada®.
Designação
Dureza máx.
Brinell [HB]
𝝈 𝒄𝒆𝒅 [𝒌𝒈/𝒎𝒎 𝟐
] 𝝈 𝒓𝒐𝒕 [𝒌𝒈/𝒎𝒎 𝟐
]
Estado
Fornecimento
RPM 32 225-380 51 77 Tratado
G12 240-405 61 82 Tratado
FR 3 260-415 71 92 Tratado

5.2 Largura da Engrenagem
Antes de iniciar o dimensionamento à rotura, é ainda necessário definir um último parâmetro
geométrico da engrenagem, a sua largura 𝒃.
Para engrenagens cilíndricas os valores para esta dimensão consideram-se de acordo com [8]
geralmente balizados por :
8 ∙ 𝑚 ≤ 𝑏 ≤ 10 ∙ 𝑚 ( 5.1 )
De acordo com [10] o valor extremo superior é geralmente utilizado em engrenagens de construção
mecânica geral, especificamente em máquinas ferramenta. E é limitado essencialmente devido à
acumulação de imprecisões de fabrico com o aumento da largura do dentado. O limite inferior da largura de
dentado está relacionado com as condições de estabilidade do engrenamento.
De modo a evitar algum sobredimensionamento, e atendendo a que é possível variar a dureza do
material dentro de um intervalo considerável, adotou-se o fator multiplicativo de 8. Caso a largura não seja
compatível com a potência especificada, e após esgotar a oferta do material base da roda, procede-se então
ao aumento da largura da roda. Apenas quando o fator multiplicativo igualar o fator multiplicativo máximo
10 é que se irá redimensionar a roda.
Para engrenagens cónicas, a largura do dentado é função da geratriz primitiva, e obtém-se por
arredondamento inteiro da expressão seguinte:
𝑏 ≅
𝑅
3
( 5.2 )
Na tabela seguinte indica-se a largura do dentado para cada trem de engrenagens:
Tabela 21- Sumário dos valores da largura de das engrenagens dos andares de redução (a) e (b).
Andar Módulo de corte 𝒎 [mm] Largura 𝒃 [mm]
a 2.5 20
b 4 32
Andar Geratriz Primitiva Largura 𝒃 [mm]
c
136.40
46

5.3 Definição da Vida útil
Qualquer dispositivo mecânico, é dimensionado para uma determinada vida em serviço. É
necessário definir o número de horas em serviço durante a sua vida útil para determinar a potência máxima
quer para evitar a rotura no dente, quer para evitar o aparecimento de fenómenos de pitting.
Uma vez que o tempo de vida não é especificado como condição de projeto, estimaram-se os
seguintes pressupostos:
• O motoredutor vai ser provavelmente utilizado para acionamento de uma máquina industrial, com
tempo estimado de depreciação de 8 anos. Para simplificação do problema considere-se um ano
formado por 52 semanas;
• Utilização média em dias úteis 5 dias por semana;
• Estima-se um período de encerramento para férias de 2 semanas (motoredutor fora de serviço)
• Admita-se que se trata de uma área industrial com apenas 1 turno de 10 horas por dia útil;
O tempo de vida útil para o qual o motoredutor vai ser dimensionado pode ser facilmente obtido
pela expressão seguinte.
𝐿 = 8 ∙ (52 − 2) ∙ 5 ∙ 10 = 20 000 [ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠] ( 5.3 )
5.4 Critérios de Capacidade de Carga
A ruína em condições normais de funcionamento de engrenagens pode-se verificar devido
essencialmente a duas razões:
• Rotura mecânica do dente por excesso de tensão na secção crítica inferior do pé do dente;
• Surgimento de fenómenos de pitting na superfície do dentado - as picadas que vão sendo geradas
no decurso do engrenamento resultam de valores excessivos das pressões de contacto;
Ao longo deste subcapítulo procura-se realizar o dimensionamento das engrenagens tanto à rotura
como ao desgaste ou pressão superficial. Os critérios utilizados baseiam-se na metodologia proposta por
Henriot em [8]. É importante reconhecer que a ISO 6336 apenas aplicam-se a engrenagens de mecânica
geral (dentado reto, helicoidal ou em espinha sujeito a velocidades tangenciais até 50m/s).

Ambas as metodologias têm limitações quanto à modelação de outros modos de ruína. Caso se
pretendesse considerar por exemplo: cedência plástica, fluência, griparem, etc, seria necessário consultar
outras metodologias de dimensionamento.
5.4.1 Capacidade de Carga à rotura no pé do dente [4]
A potência admissível é limitada pela capacidade de carga na zona crítica do pé do dente. Henriot
sugere que a potência máxima seja dada para cada elemento cilíndrico engrenante por:
𝑃𝑎𝑑𝑚 1
=
10−6
1.96
∙ 𝜎 𝑏.𝑙𝑖𝑚 1
∙ 𝑏 ∙
𝑚2
∙ 𝑧1 ∙ 𝑛1
cos( 𝛽)
∙
𝐾𝐴 ∙ 𝐾𝑉 ∙ 𝐾 𝑀 ∙ 𝐾𝑏𝐿 1
𝑌𝐹 1
∙ 𝑌𝜀 ∙ 𝑌𝛽
( 5.4 )
𝑃𝑎𝑑𝑚 2
=
10−6
1.96
∙ 𝑏 ∙
𝑚2
∙ 𝑧2 ∙ 𝑛2
cos( 𝛽)
∙
𝑌𝐹 2
∙ 𝑌𝜀 ∙ 𝑌𝛽
( 5.5 )
Para engrenagens cónicas a potência máxima admissível de dada de forma semelhante por:
𝑃𝑎𝑑𝑚 1
=
10−6
1.96
∙ 𝑏 ∙ 𝑚2
∙ 𝑧1 ∙ 𝑛1 ∙
𝑌𝐹 1
∙ 𝑌𝜀
∙
𝑅 − 𝑏
𝑅
( 5.6 )
𝑃𝑎𝑑𝑚 2
=
10−6
1.96
∙ 𝑏 ∙ 𝑚2
∙ 𝑧2 ∙ 𝑛2 ∙
𝑌𝐹 2
∙ 𝑌𝜀
∙
𝑅 − 𝑏
𝑅
( 5.7 )
A designação dos parâmetros ainda não mencionados é exposta de seguida:
𝜎 𝑏.𝑙𝑖𝑚 𝑖 Tensão limite de base
Fatores corretivos da tensão admissível na base
𝐾𝐴 Fator de serviço ou fator de aplicação
𝐾𝑉 Fator de velocidade ou fator dinâmico
𝐾𝑏𝐿 𝑖
Fator de duração
𝐾 𝑀 Fator de montagem

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