1) O documento discute uma abordagem adequada para ensinar álgebra na educação básica. 2) A proposta enfatiza ensinar álgebra como linguagem para expressar generalizações e representar quantidades desconhecidas, ao invés de focar em habilidades de cálculo. 3) Isso é feito desenvolvendo conceitos de padrões, variáveis e funções de forma contextualizada desde os primeiros anos.

1. Editora Moderna
Encontro de professores
de Matemática
Prof. Luiz Márcio P. Imenes
imenes@uol.com.br

2. Álgebra
Fórmulas e equações:
o x é o mesmo?

3. 1. Por que ensinar álgebra?
• Esclarecimento: trata-se da álgebra
ensinada na educação básica. Na visão do
aluno, de modo ingênuo, ela pode ser
caracterizada como “cálculo com letras”.

4. Às vezes, em um jornal ou revista aparece uma
fórmula.

5. • Mas, são raras as situações da vida cotidiana
que utilizam linguagem algébrica. Nesse
sentido, a álgebra é pouco relevante.
• Entretanto, a álgebra permeia todos os
campos da Matemática sendo, portanto,
essencial para o avanço dos estudos.
• Além disso, é ferramenta indispensável e
poderosa em Física, Biologia, Química,
Astronomia, Geografia, Engenharia,
Economia, Arquitetura, Medicina,
Administração, Geologia etc.

6. • O mundo natural e o mundo social são
dinâmicos e interdependentes.
• As coisas variam e dependem umas das
outras.
• A Matemática desenvolveu um conceito
para se estudar variação e dependência.
É o conceito de função. Trata-se de noção
central, fundamental, essencial.

7. 2. Uma abordagem adequada para a
álgebra
• Para atribuir significado à álgebra, vamos
entendê-la essencialmente como linguagem.
• Em primeiro plano, linguagem para expressar
(exprimir, comunicar) generalizações. Isso leva
às funções e suas variáveis.
• Em segundo plano, letras são usadas na
resolução de problemas para representar
quantidades desconhecidas. Isso leva às
equações e suas incógnitas.

8. • A proposta será detalhada por meio de
exemplos.
• Como referência aproximada, serão
consideradas as seguintes fases de
trabalho:
1º ao 5º anos do ensino fundamental
6º ao 9º anos do ensino fundamental
1º ao 3º anos do ensino médio

9. 1º ao 5º anos
• Desde o início, buscam-se desenvolver no
aluno a percepção e a expressão de
padrões (regularidades). Exploram-se
padrões geométricos e numéricos em
mosaicos, em seqüências de figuras e em
seqüências numéricas, na escrita dos
números, no cálculo mental, na
multiplicação (por 10, 100, 1000, ...
usando calculadora).

12. Descobrindo
padrões com
a calculadora

13. 6º ao 9º anos
Prossegue o
trabalho com
observação e
expressão de
padrões em
diferentes
situações, como
no estudo de
múltiplos e
divisores.

14. A generalização das regularidades observadas
leva às fórmulas, nas quais letras representam
quantidades variáveis.

15. • Em situações contextualizadas, usam-se
as expressões “depende de”, “varia com”,
“é função de”. Exemplos: a área de um
quadrado depende da medida de seu
lado; o número de faces de uma pirâmide
depende do número de lados da base.
• A observação de regularidades é usada
para atribuir significado à multiplicação de
números negativos e às potências de
expoente inteiro menor que 2.

16. Inicia-se a construção
de um outro
significado para a
álgebra: na resolução
de problemas,
quantidades
desconhecidas são
representadas por
letras. Isso leva às
equações e suas
incógnitas. De início,
essas equações são
resolvidas com base
nas operações
inversas.

17. Em um segundo momento, faz-se analogia
com balança de dois pratos.

18. Em momento adequado, com intensidade conveniente,
são treinadas habilidades de cálculo escrito.

19. • Dando continuidade
à construção de
significados para a
álgebra, usam-se
fórmulas e equações
em situações
contextualizadas
(consumo de
energia elétrica,
índice de massa
corpórea, tempo de
queda de um corpo,
período do pêndulo
simples, divisão de
lucros etc.)

20. • Resultados gerais da geometria, das
potências e dos radicais são expressos
por meio de fórmulas.
• Exemplos:
s = 180º(n – 2)
am × an = am+ n
n(n − 3)
d=
2

22. • A álgebra é empregada na dedução de
fórmulas como no cálculo de áreas, no teorema
de Pitágoras, nas relações métricas no
triângulo retângulo.
• Sistematizam-se a resolução de equações e a
dos sistemas de primeiro grau.
• Iniciam-se o estudo das equações e o dos
sistemas de segundo grau.
• Explicita-se o conceito “físico” de função como
variação e interdependência.
• Exploram-se os gráficos das funções
polinomiais de 1º e 2º graus.

25. • Nesta proposta, o cálculo algébrico perde o
posto de ator principal (que possui na
abordagem tradicional) e passa a ser
desenvolvido na medida em que é
necessário à dedução de fórmulas e à
resolução de problemas.
Assim, produtos notáveis e casos de fatoração
vão aparecendo aos poucos.
Equações biquadradas e irracionais são
apresentadas apenas como exemplificação de
equações que não são de primeiro ou de
segundo grau.
A divisão de polinômios, nessa fase, sequer
precisa mencionada.

26. 1º ao 3º anos do ensino médio
• Aprofundam-se os estudos das funções
polinomiais de 1º e 2º graus.
• Novas funções são apresentadas aos alunos:
função exponencial;
função logarítmica;
funções periódicas.
• Progressões aritméticas e geométricas são
estudadas como funções.
• Formaliza-se o conceito e classificam-se as
funções.
• Intensificam-se as aplicações do conceito de
função em outras disciplinas.

27. 3. O tratamento tradicional da álgebra
O contato com a álgebra inicia-se por volta do 7º
ano, intensificando-se nos dois anos seguintes. O
foco é o desenvolvimento de habilidades de
cálculo escrito mecânico. A resolução de
problemas é secundária. Costumam ser ensinados
os seguintes tópicos:
• Expressões algébricas
• Equações de 1º grau
• Inequações de 1º grau
• Sistemas de equações de 1º grau
• Adição, subtração, multiplicação e divisão de
polinômios

28. • Produtos notáveis: (a + b)2, (a – b)2, (a + b)(a – b),
(a + b)3 e (a – b)3
• Fatoração: fator comum, agrupamento, diferença de
quadrados, trinômio quadrado perfeito, trinômio de
2º grau (caso particular), soma de cubos, diferença
de cubos
• MDC e MMC de polinômios
• Simplificação e operações com frações algébricas
• Equações de 2º grau: fórmula e relações entre
coeficientes e raízes
• Fatoração do trinômio de 2º grau
• Equações fracionárias
• Equações biquadradas
• Equações irracionais

29. • Sistemas de equações de 2º grau
• Funções: plano cartesiano, domínio e imagem,
gráfico
• Função afim
• Função quadrática
• Inequações de 2º grau
• No ensino médio, costuma-se dedicar um
semestre do 1º ano ao estudos de funções:
definição (como relação entre conjuntos);
diagrama de flechas; domínio, contra domínio,
conjunto imagem; classificação (injetora,
sobrejetora, bijetora); função inversa; função
produto; inequação produto, inequação
quociente.

30. • Após esses três anos, tais conteúdos
passam a ser considerados pré-requisitos
para o estudo de funções, logaritmos,
progressões, matrizes, determinantes,
sistemas lineares, números complexos,
equações polinomiais, análise
combinatória, estatística, probabilidade,
matemática comercial e financeira,
geometria métrica, geometria analítica,
trigonometria, derivadas, ...

31. 4. Críticas ao tratamento tradicional
• A experiência vivida nas escolas tem
mostrado que os alunos aprendem pouco
dessa álgebra que lhes ensinamos. A
maioria fracassa.
• Há depoimentos interessantes, como o de
C. G. Jung e o do matemático brasileiro L.
Nachbin, que sinalizam uma das causas
desse fracasso.

32. • C. G. Jung assim se expressou sobre suas
relações com a matemática escolar:
O colégio me aborrecia. (...) A álgebra parecia
tão óbvia para o professor, enquanto que para
mim os próprios números nada significavam (...)
A minha grande confusão era saber que as
quantidades podiam ser substituídas por letras,
que são sons (...) Com grande espanto descobri
que ninguém entendia a minha dificuldade. (...)
Reconheço que o professor se esforçava
consideravelmente no sentido de me explicar a
finalidade de singular operação que consiste em
transpor em sons quantidades compreensíveis
(...)

33. O que mais me irritava era o princípio: “se
a = b e se b = c, então a = c”. Tendo sido
dado, por definição, que a é diferente de b,
por conseguinte não pode ser igual a b, e
ainda menos de c. Quando se trata de
uma igualdade, diz-se que a = a, b = b etc.
Mas dizer que a = b me parecia uma
fraude evidente, uma mentira. Minha
honestidade intelectual revoltava-se contra
esses jogos inconseqüentes que me
barravam o caminho à compreensão das
matemáticas. (...)

34. Foi penosamente, portanto, que me
equilibrei nessa matéria, copiando as
fórmulas algébricas cujo conteúdo
permanecia misterioso para mim (...)
As aulas de Matemática tornaram-se o
meu horror e o meu tormento. (...)
JUNG, C.G. Memórias, sonhos e reflexões.
Rio de Janeiro, Editora Nova Fronteira, 1983.

35. • Leopold Nachbin, reconhecido matemático
brasileiro, assim registrou uma dificuldade sua
com a álgebra:
(...) Foi nesse estado psicológico de ser
considerado um bom aluno, acima da média, que
me tornei estudante do Ginásio Pernambucano,
um dos melhores estabelecimentos de ensino
secundário de Recife, na época. Ainda assim,
logo no primeiro ano de Ginásio, tive um sério
tropeço no estudo da Matemática, saindo-me mal
em uma prova. Uma de minhas dificuldades de
então consistia em não compreender o raciocínio
de “por uma problema em equação”. (...)
NACHBIN, L. Talento, criatividade e expressão. Anais
do 5º Congresso Interamericano de Educação
Matemática, 1979.

36. • Estudos e práticas em Educação
Matemática confirmam que, nesse
tratamento tradicional, a álgebra carece
de significado para os alunos. Um dos
principais obstáculos à sua aprendizagem
reside na total ausência de sentido dos
cálculos algébricos.

38. 5. Bibliografia
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
curriculares Nacionais: matemática. Brasília: SEF/MEC, 1998.
DINIZ, M. I. de S. V.; SOUZA, E. R. de. Álgebra: das variáveis às
equações e funções. São Paulo: CAEM/IME-USP, 1996.
IMENES L. M.; LELLIS, M.; MILANI E. Coleção Conviver -
Matemática: 1º ao 5º anos. São Paulo: Moderna, 2009.
IMENES L. M.; LELLIS, M. Matemática 6º ao 9º anos. São Paulo:
Moderna , 2010.
JAKUBOVIC, J.; IMENES L. M.; LELLIS, M. Álgebra. Coleção Pra
que serve Matemática? São Paulo: Atual, 1992.
______. Equação do 2º grau. Coleção Pra que serve Matemática?
São Paulo: Atual, 1992.
LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectivas em aritmética e álgebra
para o século XXI. Campinas: Papirus, 1997.

39. MASON, J.; GRAHAM, A.; PIMM, D.; GOWAR, N. Routes to/Roots
of Algebra. London: The Open University, 1985
NCTM. Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática
Escolar. Lisboa: APM, 1991.
TINOCO L. A. A. (coord.) Construindo o conceito de função no
ensino fundamental. Rio de Janeiro: Projeto Fundão/IM-UFRJ,
1996.