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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO
EE754 – ONDAS GUIADAS
Guias de Onda:
Gu...
Geometria e condições de contorno
𝜀, 𝜇
𝑥
𝑦
𝑧
𝑎
𝑏
𝑎 ≥ 𝑏
O guia retangular é envolto por um só condutor,
portanto não aprese...
Modos TM
Conhecendo a solução para os modos TM, escrevemos:
𝐸 𝑧 = [𝐴 cos(𝑘 𝑥 𝑥) + 𝐵 sin(𝑘 𝑥 𝑥)] 󰙟𝐶 cos(𝑘 𝑦 𝑦) + 𝐷 sin(𝑘 𝑦 ...
Frequências de corte
A constante de propagação do modo TMmn e o comprimento de onda guiado serão:
𝛽2
= 𝑘2
− 𝑘2
𝑡
= 𝑘2
− 𝑘2...
Modos TE
Conhecendo a solução para os modos TE, escrevemos:
𝐻 𝑧 = [𝐴 cos(𝑘 𝑥 𝑥) + 𝐵 sin(𝑘 𝑥 𝑥)] 󰙟𝐶 cos(𝑘 𝑦 𝑦) + 𝐷 sin(𝑘 𝑦 ...
Modos TE
𝐸 𝑧 = 0 𝐻 𝑧 = 𝐻0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦)
𝐸 𝑥 =
𝑗𝑘𝑘 𝑦
𝑘2
𝑡
𝜂𝐻0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) 𝐻 𝑥 =
𝑗𝛽𝑘 𝑥
𝑘2
𝑡
𝐻0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) ...
Modos dominantes e degenerados
O modo de menor frequência de corte é chamado modo dominante
• modo dominante TM: TM11
• mo...
Relação de dispersão
𝑘 = 𝜔
√
𝜇𝜀𝛽2
𝑚𝑛
> 0
𝛽2
𝑚𝑛
< 0
𝑘 𝑐11
𝑘 𝑐12
𝑘 𝑐21
𝑘 𝑐22
𝑘 𝑐31
𝑘 𝑐32
𝑘 𝑐41
𝑘 𝑐42
𝑘 𝑥 = 𝑚𝜋
𝑎
𝑘 𝑦 = 𝑛𝜋
𝑏
𝑘...
Modo TE10
𝐄 𝐇
Modo TE10
Podemos também calcular as correntes
superficiais, que mais tarde serão utilizadas
para determinar as perdas nos ...
Modo TE20
𝐄 𝐇
Modo TE01
𝐄 𝐇
Modo TE11
𝐄 𝐇
Modo TE21
𝐄 𝐇
Modo TM11
𝐄 𝐇
Velocidades de fase e grupo
𝜔 = 󰞏𝑐2 𝛽2 − 𝜔2
𝑐
(onda plana)
𝜔 = 𝑐𝛽
𝛽
𝜔
𝜔 𝑐 𝑣 𝑔 = d𝜔
d𝛽
𝑣 𝑝 = 𝜔
𝛽
𝑣 𝑝 = 𝑐
󰞐1−󰙯 𝑓 𝑐
𝑓 󰙰
2
𝑣 𝑔...
Impedâncias
Modos propagantes (𝑓 > 𝑓 𝑐):
𝜂TE =
𝜔𝜇
𝛽
=
𝜂
󰞏1 − 󰙯 𝑓 𝑐
𝑓 󰙰
2
𝜂TM =
𝛽
𝜔𝜀
= 𝜂 󰞑1 − 󰚛
𝑓 𝑐
𝑓
󰚜
2
Modos evanescente...
Potência e atenuação dielétrica
Consideramos agora apenas o modo fundamental TE10:
𝐄 = −
𝑗𝑘
𝑘 𝑥
𝜂𝐻0 sin 󰚅
𝜋𝑥
𝑎
󰚆 𝐮 𝑦 = 𝐸0 ...
Perdas nos condutores
O cálculo das perdas ôhmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magnético
aplicada so...
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claro
que para minimizar as perdas seria
desejável maximizar o valor de 𝑏...
WR WG Banda Dimensões
(EIA) (Europa) [GHz] [pol.]
2300 0,32 – 0,49 23,000 × 11,500
2100 0,35 – 0,53 21,000 × 10,500
1800 0...
Acoplamento
Acoplamento elétrico TE10
𝜆 𝑔
4
Acoplamento magnético TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular é fechado em uma
extremidade, o onda que se se propaga em direção
a ela é refl...
Modos TM
Tomamos como solução a superposição de campos com sentidos de propagação reversos:
𝐸 𝑧 = 𝐸+
0
sin(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 ...
Modos TE
Um procedimento análogo para os modos TE resulta na definição dos modos ressonantes TEmnp
com 𝛽 = 𝑝𝜋
ℓ , 𝑝 ∈ ℤ∗
.
...
Frequências de ressonância
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 𝑘 𝑥, 𝑘 𝑦, e 𝛽 assumem somente valores
dis...
Fator de qualidade
O fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequência é definido como a razão entre a
energia nel...
Exercícios
1 Projete um guia retangular com dimensões 𝑎 e 𝑏 (𝑎 ≥ 𝑏) que opere em condição monomodo
entre 9 GHz e 14 GHz. C...
4 Um guia para banda X com dimensões 2,286 cm por 1,016 cm é feito de cobre (𝜎 =
5,76 × 107
S⁄m) e é preenchido com polies...
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidade
de grupo de 0.8𝑐0. Quais são ...
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  1. 1. UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO EE754 – ONDAS GUIADAS Guias de Onda: Guias Metálicos Retangulares Prof. Lucas Heitzmann Gabrielli
  2. 2. Geometria e condições de contorno 𝜀, 𝜇 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑎 ≥ 𝑏 O guia retangular é envolto por um só condutor, portanto não apresenta modo TEM. O condutor é considerado ideal para a solução modal (mais tarde introduziremos uma resistência superficial para o cálculo aproximado das perdas ôhmicas, como visto anteriormente). Dessa maneira sabemos que o campo elétrico tangencial às 4 paredes do guia deve ser nulo: 𝐮 𝑛 × (𝐄cond − 𝐄) = 0 ⇔ 𝐮 𝑛 × 𝐄 = 0 𝑥 ∈ {0, 𝑎} ⇒ 𝐮 𝑥 × 𝐄 = 0 ⇔ 𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑧 = 0 𝑦 ∈ {0, 𝑏} ⇒ 𝐮 𝑦 × 𝐄 = 0 ⇔ 𝐸 𝑥 = 𝐸 𝑧 = 0
  3. 3. Modos TM Conhecendo a solução para os modos TM, escrevemos: 𝐸 𝑧 = [𝐴 cos(𝑘 𝑥 𝑥) + 𝐵 sin(𝑘 𝑥 𝑥)] 󰙟𝐶 cos(𝑘 𝑦 𝑦) + 𝐷 sin(𝑘 𝑦 𝑦)󰙠 Utilizando a condição de contorno 𝐸 𝑧 = 0 para 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 obtemos: 𝐴 = 𝐶 = 0. Fazendo o mesmo para 𝑥 = 𝑎 e 𝑦 = 𝑏: 𝑘 𝑥 = 𝑚𝜋 𝑎 𝑘 𝑦 = 𝑛𝜋 𝑏 {𝑚, 𝑛} ⊂ ℤ∗ Para cada par de índices 𝑚 e 𝑛 existe uma solução de campos para o guia de ondas, chamada TMmn (observe que 𝐸 𝑥 e 𝐸 𝑦 também obedecem as respectivas condições de contorno): 𝐸 𝑧 = 𝐸0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) 𝐻 𝑧 = 0 𝐸 𝑥 = − 𝑗𝛽𝑘 𝑥 𝑘2 𝑡 𝐸0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) 𝐻 𝑥 = 𝑗𝑘𝑘 𝑦 𝑘2 𝑡 𝐸0 𝜂 sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) 𝐸 𝑦 = − 𝑗𝛽𝑘 𝑦 𝑘2 𝑡 𝐸0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) 𝐻 𝑦 = − 𝑗𝑘𝑘 𝑥 𝑘2 𝑡 𝐸0 𝜂 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦)
  4. 4. Frequências de corte A constante de propagação do modo TMmn e o comprimento de onda guiado serão: 𝛽2 = 𝑘2 − 𝑘2 𝑡 = 𝑘2 − 𝑘2 𝑥 − 𝑘2 𝑦 𝜆 𝑔 = 2𝜋 𝛽 Assim, quando 𝑘 = 𝜔 √ 𝜇𝜀 = 𝑘 𝑡 teremos 𝛽 = 0, caracterizando a situação de corte deste modo: 𝑘 𝑐𝑚𝑛 = 𝜋 󰞐 󰚅 𝑚 𝑎 󰚆 2 + 󰚅 𝑛 𝑏 󰚆 2 𝜆 𝑐𝑚𝑛 = 2𝜋 𝑘 𝑐𝑚𝑛 = 2 󰞏 󰙃 𝑚 𝑎 󰙄 2 + 󰙃 𝑛 𝑏 󰙄 2 𝜔 𝑐𝑚𝑛 = 𝑘 𝑐𝑚𝑛 √ 𝜇𝜀 = 𝑐𝑘 𝑐𝑚𝑛 𝑓 𝑐𝑚𝑛 = 𝑐 2 󰞐 󰚅 𝑚 𝑎 󰚆 2 + 󰚅 𝑛 𝑏 󰚆 2
  5. 5. Modos TE Conhecendo a solução para os modos TE, escrevemos: 𝐻 𝑧 = [𝐴 cos(𝑘 𝑥 𝑥) + 𝐵 sin(𝑘 𝑥 𝑥)] 󰙟𝐶 cos(𝑘 𝑦 𝑦) + 𝐷 sin(𝑘 𝑦 𝑦)󰙠 As condições de contorno devem ser aplicadas diretamente às componentes 𝐸 𝑥 e 𝐸 𝑦, obtidas da expressão para 𝐻 𝑧: 𝐸 𝑥 ∝ ∂𝐻 𝑧 ∂𝑦 = 𝑘 𝑦 [𝐴 cos(𝑘 𝑥 𝑥) + 𝐵 sin(𝑘 𝑥 𝑥)] 󰙟−𝐶 sin(𝑘 𝑦 𝑦) + 𝐷 cos(𝑘 𝑦 𝑦)󰙠 𝐸 𝑦 ∝ ∂𝐻 𝑧 ∂𝑥 = 𝑘 𝑥 [−𝐴 sin(𝑘 𝑥 𝑥) + 𝐵 cos(𝑘 𝑥 𝑥)] 󰙟𝐶 cos(𝑘 𝑦 𝑦) + 𝐷 sin(𝑘 𝑦 𝑦)󰙠 Utilizando a condição de contorno 𝐸 𝑦 = 0 para 𝑥 = 0 e 𝑥 = 𝑎 e 𝐸 𝑥 = 0 para 𝑦 = 0 e 𝑦 = 𝑏 obtemos 𝐵 = 𝐷 = 0 e: 𝑘 𝑥 = 𝑚𝜋 𝑎 𝑘 𝑦 = 𝑛𝜋 𝑏 {𝑚, 𝑛} ⊂ ℤ, |𝑚| + |𝑛| > 0 Assim como para os modos TM, chamamos os modos definidos pelos índices 𝑚 e 𝑛 de TEmn.
  6. 6. Modos TE 𝐸 𝑧 = 0 𝐻 𝑧 = 𝐻0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) 𝐸 𝑥 = 𝑗𝑘𝑘 𝑦 𝑘2 𝑡 𝜂𝐻0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) 𝐻 𝑥 = 𝑗𝛽𝑘 𝑥 𝑘2 𝑡 𝐻0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) 𝐸 𝑦 = − 𝑗𝑘𝑘 𝑥 𝑘2 𝑡 𝜂𝐻0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) 𝐻 𝑦 = 𝑗𝛽𝑘 𝑦 𝑘2 𝑡 𝐻0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) As expressões para a situação de corte para os modos TEmn (𝑘 𝑐𝑚𝑛, 𝜆 𝑐𝑚𝑛, 𝜔 𝑐𝑚𝑛 e 𝑓 𝑐𝑚𝑛) são as mesmas que para o modo TMmn, com a diferença que para os modos TE, 𝑚 ou 𝑛 podem ser zero, mas não ambos.
  7. 7. Modos dominantes e degenerados O modo de menor frequência de corte é chamado modo dominante • modo dominante TM: TM11 • modo dominante TE: TE10 Modo fundamental (menor frequência de corte entre todos): TE10 Banda de operação monomodo: banda de frequência acima do corte do modo fundamental e abaixo da próxima frequência de corte. 𝑓 𝑏 ≤ 𝑎 2 𝑓 𝑐10 𝑐 2𝑎 𝑓 𝑐20 𝑐 𝑎 𝑓 𝑐01 𝑐 2𝑏 𝑓 𝑎 2 ≤ 𝑏 ≤ 𝑎 𝑓 𝑐10 𝑐 2𝑎 𝑓 𝑐20 𝑐 𝑎 𝑓 𝑐01 𝑐 2𝑏 Modos degenerados (mesmas constantes de propagação): TEmn e TMmn (𝑚𝑛 ≠ 0)
  8. 8. Relação de dispersão 𝑘 = 𝜔 √ 𝜇𝜀𝛽2 𝑚𝑛 > 0 𝛽2 𝑚𝑛 < 0 𝑘 𝑐11 𝑘 𝑐12 𝑘 𝑐21 𝑘 𝑐22 𝑘 𝑐31 𝑘 𝑐32 𝑘 𝑐41 𝑘 𝑐42 𝑘 𝑥 = 𝑚𝜋 𝑎 𝑘 𝑦 = 𝑛𝜋 𝑏 𝑘 𝑐10 𝑘 𝑐20 𝑘 𝑐30 𝑘 𝑐40 𝑘 𝑐01 𝑘 𝑐02 0 𝜋 𝑎 2𝜋 𝑎 3𝜋 𝑎 4𝜋 𝑎 0 𝜋 𝑏 2𝜋 𝑏 Relação de dispersão: 𝛽2 𝑚𝑛 = 𝜔2 𝜇𝜀 − 𝑘2 𝑐𝑚𝑛 𝑘2 𝑐𝑚𝑛 = 𝑘2 𝑥 + 𝑘2 𝑦 Modos propagantes (𝑘 > 𝑘 𝑐𝑚𝑛): 𝛽 𝑚𝑛 = 󰞏𝑘2 − 𝑘2 𝑐𝑚𝑛 Modos evanescentes (𝑘 < 𝑘 𝑐𝑚𝑛): 𝛽 𝑚𝑛 = −𝑗𝛼 𝑚𝑛 𝛼 𝑚𝑛 = 󰞏𝑘2 𝑐𝑚𝑛 − 𝑘2
  9. 9. Modo TE10 𝐄 𝐇
  10. 10. Modo TE10 Podemos também calcular as correntes superficiais, que mais tarde serão utilizadas para determinar as perdas nos condutores: 𝐉 𝑠 = 𝐮 𝑛 × 𝐇 Lembrando que 𝐮 𝑛 aponta para dentro do guia (o metal é o meio de interesse). 𝐉 𝑠
  11. 11. Modo TE20 𝐄 𝐇
  12. 12. Modo TE01 𝐄 𝐇
  13. 13. Modo TE11 𝐄 𝐇
  14. 14. Modo TE21 𝐄 𝐇
  15. 15. Modo TM11 𝐄 𝐇
  16. 16. Velocidades de fase e grupo 𝜔 = 󰞏𝑐2 𝛽2 − 𝜔2 𝑐 (onda plana) 𝜔 = 𝑐𝛽 𝛽 𝜔 𝜔 𝑐 𝑣 𝑔 = d𝜔 d𝛽 𝑣 𝑝 = 𝜔 𝛽 𝑣 𝑝 = 𝑐 󰞐1−󰙯 𝑓 𝑐 𝑓 󰙰 2 𝑣 𝑔 = 𝑐 󰞏1 − 󰙯 𝑓 𝑐 𝑓 󰙰 2 𝑓 𝑣 𝑐 𝑓 𝑐 𝑣 𝑝 𝑣 𝑔 = 𝑐2
  17. 17. Impedâncias Modos propagantes (𝑓 > 𝑓 𝑐): 𝜂TE = 𝜔𝜇 𝛽 = 𝜂 󰞏1 − 󰙯 𝑓 𝑐 𝑓 󰙰 2 𝜂TM = 𝛽 𝜔𝜀 = 𝜂 󰞑1 − 󰚛 𝑓 𝑐 𝑓 󰚜 2 Modos evanescentes (𝑓 < 𝑓 𝑐): 𝜂TE = 𝑗𝜔𝜇 𝛼 = 𝑗𝜂 󰞏 󰙯 𝑓 𝑐 𝑓 󰙰 2 − 1 𝜂TM = − 𝑗𝛼 𝜔𝜀 = −𝑗𝜂 󰞑 󰚛 𝑓 𝑐 𝑓 󰚜 2 − 1 TE TM 𝑓 |𝜂 𝜁| 𝜂 𝑓 𝑐
  18. 18. Potência e atenuação dielétrica Consideramos agora apenas o modo fundamental TE10: 𝐄 = − 𝑗𝑘 𝑘 𝑥 𝜂𝐻0 sin 󰚅 𝜋𝑥 𝑎 󰚆 𝐮 𝑦 = 𝐸0 sin 󰚅 𝜋𝑥 𝑎 󰚆 𝐮 𝑦 𝐇 = 𝑗𝛽 𝑘 𝑥 𝐻0 sin 󰚅 𝜋𝑥 𝑎 󰚆 𝐮 𝑥+𝐻0 cos 󰚅 𝜋𝑥 𝑎 󰚆 𝐮 𝑧 A potência transmitida por esse modo pode ser calculado como: 𝓢 ⋅ 𝐮 𝑧 = 1 2 ℜ {𝐄 × 𝐇∗ } ⋅ 𝐮 𝑧 = 1 2 ℜ 󰙝𝜂−1 TE 󰙞 |𝐄 𝑡|2 = 𝑘𝛽 2𝑘2 𝑥 𝜂|𝐻0|2 sin2 𝜋𝑥 𝑎 𝑃 𝑇 = 𝑎 󰝾 0 𝑏 󰝾 0 𝓢 ⋅ 𝐮 𝑧 d𝑦 d𝑥 = 𝑎𝑏𝜂 4 |𝐻0|2 𝑓 𝑓 𝑐 󰞑 󰚱 𝑓 𝑓 𝑐 󰚲 2 − 1 = 𝑎𝑏 4𝜂 |𝐸0|2 󰞑1 − 󰚛 𝑓 𝑐 𝑓 󰚜 2 Como visto anteriormente, as perdas no dielétrico de condutividade efetiva 𝜎 𝑑 são dadas pela constante de atenuação dielétrica: 𝛼 𝑑 = 𝜔𝜇𝜎 𝑑 2𝛽 = 𝜂𝜎 𝑑 2 󰞏1 − 󰙯 𝑓 𝑐 𝑓 󰙰 2
  19. 19. Perdas nos condutores O cálculo das perdas ôhmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magnético aplicada sobre a resistência superficial dos condutores do guia: 𝛼 𝑐 = 𝑝 𝑐 2𝑃 𝑇 𝑝 𝑐 = 󰝾 ℓ 1 2 𝑅 𝑠|𝐉 𝑠|2 dℓ 𝐉 𝑠 = 𝐮 𝑛 × 𝐇 O caminho ℓ da integral 𝑝 𝑐 é composto pelas quatro paredes do guia. Além disso, como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos, 𝐇 deve ser tangencial aos condutores, logo |𝐉 𝑠| = |𝐇|. Efetuando-se os cálculos anteriores obtemos: 𝛼 𝑐 = 𝑅 𝑠 𝜂 󰚋1 𝑏 + 2 𝑎 󰙯 𝑓 𝑐 𝑓 󰙰 2 󰚌 󰞏1 − 󰙯 𝑓 𝑐 𝑓 󰙰 2 = 󰞍 󰞌󰞌 ⎷ 𝜋𝜀𝑓 𝜎 󰚋1 − 󰙯 𝑓 𝑐 𝑓 󰙰 2 󰚌 󰛕 1 𝑏 + 2 𝑎 󰚛 𝑓 𝑐 𝑓 󰚜 2 󰛖
  20. 20. Baixas perdas A partir do resultado anterior fica claro que para minimizar as perdas seria desejável maximizar o valor de 𝑏 (uma vez que o valor de 𝑎 é definido pela frequência de trabalho). Qual o impacto de aumentar-se o valor de 𝑏? 𝑓 [GHz] 𝛼𝑐[Np/m] 𝑓 𝑐 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 10 20 30 40 500 WR90 𝜎 = 5,8 × 107 S⁄m
  21. 21. WR WG Banda Dimensões (EIA) (Europa) [GHz] [pol.] 2300 0,32 – 0,49 23,000 × 11,500 2100 0,35 – 0,53 21,000 × 10,500 1800 0,41 – 0,62 18,000 × 9,000 1500 0,49 – 0,75 15,000 × 7,500 1150 0,64 – 0,96 11,500 × 5,750 975 0,75 – 1,12 9,750 × 4,875 770 0,96 – 1,46 7,700 × 3,850 650 6 1,12 – 1,70 6,500 × 3,250 510 1,45 – 2,20 5,100 × 2,550 430 8 1,70 – 2,60 4,300 × 2,150 340 9A 2,20 – 3,30 3,400 × 1,700 284 10 2,60 – 3,95 2,840 × 1,340 229 11A 3,30 – 4,90 2,290 × 1,145 187 12 3,95 – 5,85 1,872 × 0,872 159 13 4,90 – 7,05 1,590 × 0,795 137 14 5,85 – 8,20 1,372 × 0,622 112 15 7,05 – 10,00 1,122 × 0,497 102 7,00 – 11,00 1,020 × 0,510 WR WG Banda Dimensões (EIA) (Europa) [GHz] [pol.] 90 16 8,20 – 12,40 0,900 × 0,400 75 17 10,00 – 15,00 0,750 × 0,375 62 18 12,40 – 18,00 0,622 × 0,311 51 19 15,00 – 22,00 0,510 × 0,255 42 20 18,00 – 26,50 0,420 × 0,170 34 21 22,00 – 33,00 0,340 × 0,170 28 22 26,50 – 40,00 0,280 × 0,140 22 23 33,00 – 50,00 0,224 × 0,112 19 24 40,00 – 60,00 0,188 × 0,094 15 25 50,00 – 75,00 0,148 × 0,074 12 26 60,00 – 90,00 0,122 × 0,061 10 27 75,00 – 110,00 0,100 × 0,050 8 28 90,00 – 140,00 0,0800 × 0,0400 7 (6) 29 110,00 – 170,00 0,0650 × 0,0325 5 30 140,00 – 220,00 0,0510 × 0,0255 4 31 172,00 – 260,00 0,0430 × 0,0215 3 32 220,00 – 330,00 0,0340 × 0,0170
  22. 22. Acoplamento Acoplamento elétrico TE10 𝜆 𝑔 4 Acoplamento magnético TE10
  23. 23. Cavidade ressonante Quando o guia retangular é fechado em uma extremidade, o onda que se se propaga em direção a ela é refletida de volta no sentido contrário. Se fecharmos o guia formando uma caixa retangular, as ondas propagando-se em ambas a direções irão se interferir e gerar uma onda estacionária: 𝐄tot = 𝐄+ 𝑒−𝑗𝛽𝑧 + 𝐄− 𝑒+𝑗𝛽𝑧 𝐇tot = 𝐇+ 𝑒−𝑗𝛽𝑧 + 𝐇− 𝑒+𝑗𝛽𝑧 𝑧 ∈ {0, ℓ} ⇒ 𝐮 𝑧 × 𝐄 = 0 ⇔ 𝐸 𝑥 = 𝐸 𝑦 = 0 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 ℓ ℓ ≥ 𝑎 ≥ 𝑏
  24. 24. Modos TM Tomamos como solução a superposição de campos com sentidos de propagação reversos: 𝐸 𝑧 = 𝐸+ 0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦)𝑒−𝑗𝛽𝑧 + 𝐸− 0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦)𝑒 𝑗𝛽𝑧 𝐸 𝑥 = − 𝑗𝛽𝑘 𝑥 𝑘2 𝑡 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) 󰙙𝐸+ 0 𝑒−𝑗𝛽𝑧 − 𝐸− 0 𝑒 𝑗𝛽𝑧 󰙚 𝐸 𝑦 = − 𝑗𝛽𝑘 𝑦 𝑘2 𝑡 sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) 󰙙𝐸+ 0 𝑒−𝑗𝛽𝑧 − 𝐸− 0 𝑒 𝑗𝛽𝑧 󰙚 Aplicando as novas condições de contorno obtemos 𝐸+ 0 = 𝐸− 0 = 𝐸0 2 e 𝛽 = 𝑝𝜋 ℓ , 𝑝 ∈ ℤ. Temos assim a definição dos modos ressonantes TMmnp: 𝐸 𝑧 = 𝐸0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) cos(𝛽𝑧) 𝐻 𝑧 = 0 𝐸 𝑥 = − 𝛽𝑘 𝑥 𝑘2 𝑡 𝐸0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) sin(𝛽𝑧) 𝐻 𝑥 = 𝑗𝑘𝑘 𝑦 𝑘2 𝑡 𝐸0 𝜂 sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) cos(𝛽𝑧) 𝐸 𝑦 = − 𝛽𝑘 𝑦 𝑘2 𝑡 𝐸0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) sin(𝛽𝑧) 𝐻 𝑦 = − 𝑗𝑘𝑘 𝑥 𝑘2 𝑡 𝐸0 𝜂 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) cos(𝛽𝑧)
  25. 25. Modos TE Um procedimento análogo para os modos TE resulta na definição dos modos ressonantes TEmnp com 𝛽 = 𝑝𝜋 ℓ , 𝑝 ∈ ℤ∗ . 𝐸 𝑧 = 0 𝐻 𝑧 = 𝐻0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) sin(𝛽𝑧) 𝐸 𝑥 = 𝑗𝑘𝑘 𝑦 𝑘2 𝑡 𝜂𝐻0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) sin(𝛽𝑧) 𝐻 𝑥 = − 𝛽𝑘 𝑥 𝑘2 𝑡 𝐻0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) cos(𝛽𝑧) 𝐸 𝑦 = − 𝑗𝑘𝑘 𝑥 𝑘2 𝑡 𝜂𝐻0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) sin(𝛽𝑧) 𝐻 𝑦 = − 𝑗𝑘𝑘 𝑦 𝑘2 𝑡 𝐻0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) cos(𝛽𝑧)
  26. 26. Frequências de ressonância Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 𝑘 𝑥, 𝑘 𝑦, e 𝛽 assumem somente valores discretos, obrigando também a frequência a assumir valores discretos: 𝜔2 𝜇𝜀 = 𝑘2 𝑥 + 𝑘2 𝑦 + 𝛽2 ⇒ 𝑓 𝑚𝑛𝑝 = 𝑐 2 󰞐 󰚅 𝑚 𝑎 󰚆 2 + 󰚅 𝑛 𝑏 󰚆 2 + 󰚅 𝑝 ℓ 󰚆 2 Da mesma forma que para os modos guiados, encontramos modos degenerados (com mesmas frequências de ressonância) e um modo fundamental (de menor frequência de ressonância). Sabendo que ℓ ≥ 𝑎 ≥ 𝑏, qual é o modo fundamental da cavidade ressonante?
  27. 27. Fator de qualidade O fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequência é definido como a razão entre a energia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um período de oscilação, multiplicado por um fator 2𝜋: 𝑄 = 2𝜋 𝑊 𝑃 𝐿 𝑇 = 2𝜋𝑓 𝑊 𝑃 𝐿 = 𝜔 𝑊 𝑒 + 𝑊 𝑚 𝑃 𝐿 A potência ôhmica dissipada é calculada como nos guias—através da corrente superficial—com a diferença de que a integração é efetuada nas paredes da cavidade, não apenas em uma seção. As energias elétrica em magnética são calculadas como visto no teorema de Poynting: 𝑊 𝑒 = 󰝾 𝑉 1 4 𝜀|𝐄|2 d𝑉 𝑊 𝑚 = 󰝾 𝑉 1 4 𝜇|𝐇|2 d𝑉 𝑄 [1] : fator de qualidade 𝑃 𝐿 [W] : potência média dissipada em um período (incluindo perdas ôhmicas, dielétricas, etc.) 𝑊 𝑒 [J] : energia média armazenada no campo elétrico 𝑊 𝑚 [J] : energia média armazenada no campo magnético
  28. 28. Exercícios 1 Projete um guia retangular com dimensões 𝑎 e 𝑏 (𝑎 ≥ 𝑏) que opere em condição monomodo entre 9 GHz e 14 GHz. Considerando espaço livre no interior do guia determine as dimensões que garantirão operação monomodo nesta banda. 2 Um guia retangular de dimensões 2,25 cm por 1,125 cm é operado no modo dominante. a. Considere que o meio interno do guia é espaço livre e calcule a frequência de corte para o modo dominante. b. Considere que se deseja reduzir a frequência de corte do modo dominante por um fator 3 sem alterar as dimensões do guia. Determine a constante dielétrica relativa do meio que deve ser utilizado para preencher o guia. 3 Uma seção de guia retangular para banda X (8,2 GHz a 12,4 GHz) preenchida por ar e com comprimento ℓ é usada como uma linha de atraso. Considere que as dimensões internas do guia são 2,286 cm por 1,016 cm e ele opera no modo fundamental. Determine o comprimento da seção para que o atraso a 10 GHz seja de 2 µs.
  29. 29. 4 Um guia para banda X com dimensões 2,286 cm por 1,016 cm é feito de cobre (𝜎 = 5,76 × 107 S⁄m) e é preenchido com poliestireno (𝜀 𝑟 = 2,56, tan 𝛿 = 4 × 10−4 ). Considere que a frequência de operação seja 6,15 GHz e determine o coeficiente de atenuação devido à condutividade finita das paredes e às perdas dielétricas. 5 Calcule o comprimento ℓ > 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionará uma ressonância em 10 GHz. Considere a excitação no modo fundamental e as dimensões restantes da cavidade 2 cm e 1 cm. 6 Um guia retangular preenchido com ar é utilizado para transmitir potência para uma antena radar. O guia deve seguir as seguintes especificações: os dois modos de mais baixa ordem são TE10 e TE20; a frequência de operação é 3 GHz e deve cair exatamente na metade da banda entre as frequências de corte desses modos; o campo elétrico máximo dentro do guia não deve exceder a tensão de ruptura do ar (3 MV/m) com um fator 3 de margem de segurança. a. Determine as menores dimensões possíveis para tal guia caso a potência transmitida requerida seja de 1 MW. b. Quais as dimensões do guia para obter-se a máxima potência transmitida possível? Qual é o valor dessa potência em MW?
  30. 30. 7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidade de grupo de 0.8𝑐0. Quais são as dimensões do guia caso ele também deva transmitir a máxima potência e apresentar a máxima banda de operação? Qual é a frequência de corte do guia e sua largura de banda de operação? 8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e em um WR90. Calcule as frequências (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte desses modos. 9 Projete um guia retangular para a frequência de 3 GHz com paredes de cobre e dielétrico ar de maneira que o modo TE10 se propague com 30% de margem de segurança (frequência de operação 30% acima da frequência de corte) e que o modo seguinte esteja 20% abaixo da sua frequência de corte. Calcule a atenuação devido ao cobre em dB/m. Para os 3 modos seguintes ao TE10 calcule as constantes de atenuação em dB/m ignorando as perdas ôhmicas.

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