guias-retangular

1. UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO
EE754 – ONDAS GUIADAS
Guias de Onda:
Guias Metálicos Retangulares
Prof. Lucas Heitzmann Gabrielli

2. Geometria e condições de contorno
𝜀, 𝜇
𝑥
𝑦
𝑧
𝑎
𝑏
𝑎 ≥ 𝑏
O guia retangular é envolto por um só condutor,
portanto não apresenta modo TEM.
O condutor é considerado ideal para a solução modal
(mais tarde introduziremos uma resistência superficial
para o cálculo aproximado das perdas ôhmicas, como
visto anteriormente). Dessa maneira sabemos que o
campo elétrico tangencial às 4 paredes do guia deve ser
nulo:
𝐮 𝑛 × (𝐄cond − 𝐄) = 0 ⇔ 𝐮 𝑛 × 𝐄 = 0
𝑥 ∈ {0, 𝑎} ⇒ 𝐮 𝑥 × 𝐄 = 0 ⇔ 𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑧 = 0
𝑦 ∈ {0, 𝑏} ⇒ 𝐮 𝑦 × 𝐄 = 0 ⇔ 𝐸 𝑥 = 𝐸 𝑧 = 0

3. Modos TM
Conhecendo a solução para os modos TM, escrevemos:
𝐸 𝑧 = [𝐴 cos(𝑘 𝑥 𝑥) + 𝐵 sin(𝑘 𝑥 𝑥)] 󰙟𝐶 cos(𝑘 𝑦 𝑦) + 𝐷 sin(𝑘 𝑦 𝑦)󰙠
Utilizando a condição de contorno 𝐸 𝑧 = 0 para 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 obtemos: 𝐴 = 𝐶 = 0. Fazendo o
mesmo para 𝑥 = 𝑎 e 𝑦 = 𝑏:
𝑘 𝑥 =
𝑚𝜋
𝑎
𝑘 𝑦 =
𝑛𝜋
𝑏
{𝑚, 𝑛} ⊂ ℤ∗
Para cada par de índices 𝑚 e 𝑛 existe uma solução de campos para o guia de ondas, chamada
TMmn (observe que 𝐸 𝑥 e 𝐸 𝑦 também obedecem as respectivas condições de contorno):
𝐸 𝑧 = 𝐸0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) 𝐻 𝑧 = 0
𝐸 𝑥 = −
𝑗𝛽𝑘 𝑥
𝑘2
𝑡
𝐸0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) 𝐻 𝑥 =
𝑗𝑘𝑘 𝑦
𝑘2
𝑡
𝐸0
𝜂
sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦)
𝐸 𝑦 = −
𝑗𝛽𝑘 𝑦
𝑘2
𝑡
𝐸0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) 𝐻 𝑦 = −
𝑗𝑘𝑘 𝑥
𝑘2
𝑡
𝐸0
𝜂
cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦)

4. Frequências de corte
A constante de propagação do modo TMmn e o comprimento de onda guiado serão:
𝛽2
= 𝑘2
− 𝑘2
𝑡
= 𝑘2
− 𝑘2
𝑥
− 𝑘2
𝑦
𝜆 𝑔 =
2𝜋
𝛽
Assim, quando 𝑘 = 𝜔
√
𝜇𝜀 = 𝑘 𝑡 teremos 𝛽 = 0, caracterizando a situação de corte deste modo:
𝑘 𝑐𝑚𝑛 = 𝜋 󰞐 󰚅
𝑚
𝑎
󰚆
2
+ 󰚅
𝑛
𝑏
󰚆
2
𝜆 𝑐𝑚𝑛 =
2𝜋
𝑘 𝑐𝑚𝑛
=
2
󰞏 󰙃 𝑚
𝑎 󰙄
2
+ 󰙃 𝑛
𝑏 󰙄
2
𝜔 𝑐𝑚𝑛 =
𝑘 𝑐𝑚𝑛
√
𝜇𝜀
= 𝑐𝑘 𝑐𝑚𝑛 𝑓 𝑐𝑚𝑛 =
𝑐
2
󰞐 󰚅
𝑚
𝑎
󰚆
2
+ 󰚅
𝑛
𝑏
󰚆
2

5. Modos TE
Conhecendo a solução para os modos TE, escrevemos:
𝐻 𝑧 = [𝐴 cos(𝑘 𝑥 𝑥) + 𝐵 sin(𝑘 𝑥 𝑥)] 󰙟𝐶 cos(𝑘 𝑦 𝑦) + 𝐷 sin(𝑘 𝑦 𝑦)󰙠
As condições de contorno devem ser aplicadas diretamente às componentes 𝐸 𝑥 e 𝐸 𝑦, obtidas da
expressão para 𝐻 𝑧:
𝐸 𝑥 ∝
∂𝐻 𝑧
∂𝑦
= 𝑘 𝑦 [𝐴 cos(𝑘 𝑥 𝑥) + 𝐵 sin(𝑘 𝑥 𝑥)] 󰙟−𝐶 sin(𝑘 𝑦 𝑦) + 𝐷 cos(𝑘 𝑦 𝑦)󰙠
𝐸 𝑦 ∝
∂𝐻 𝑧
∂𝑥
= 𝑘 𝑥 [−𝐴 sin(𝑘 𝑥 𝑥) + 𝐵 cos(𝑘 𝑥 𝑥)] 󰙟𝐶 cos(𝑘 𝑦 𝑦) + 𝐷 sin(𝑘 𝑦 𝑦)󰙠
Utilizando a condição de contorno 𝐸 𝑦 = 0 para 𝑥 = 0 e 𝑥 = 𝑎 e 𝐸 𝑥 = 0 para 𝑦 = 0 e 𝑦 = 𝑏
obtemos 𝐵 = 𝐷 = 0 e:
𝑘 𝑥 =
𝑚𝜋
𝑎
𝑘 𝑦 =
𝑛𝜋
𝑏
{𝑚, 𝑛} ⊂ ℤ, |𝑚| + |𝑛| > 0
Assim como para os modos TM, chamamos os modos definidos pelos índices 𝑚 e 𝑛 de TEmn.

6. Modos TE
𝐸 𝑧 = 0 𝐻 𝑧 = 𝐻0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦)
𝐸 𝑥 =
𝑗𝑘𝑘 𝑦
𝑘2
𝑡
𝜂𝐻0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) 𝐻 𝑥 =
𝑗𝛽𝑘 𝑥
𝑘2
𝑡
𝐻0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦)
𝐸 𝑦 = −
𝑗𝑘𝑘 𝑥
𝑘2
𝑡
𝜂𝐻0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) 𝐻 𝑦 =
𝑗𝛽𝑘 𝑦
𝑘2
𝑡
𝐻0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦)
As expressões para a situação de corte para os modos TEmn (𝑘 𝑐𝑚𝑛, 𝜆 𝑐𝑚𝑛, 𝜔 𝑐𝑚𝑛 e 𝑓 𝑐𝑚𝑛) são as
mesmas que para o modo TMmn, com a diferença que para os modos TE, 𝑚 ou 𝑛 podem ser
zero, mas não ambos.

7. Modos dominantes e degenerados
O modo de menor frequência de corte é chamado modo dominante
• modo dominante TM: TM11
• modo dominante TE: TE10
Modo fundamental (menor frequência de corte entre todos): TE10
Banda de operação monomodo: banda de frequência acima do corte do modo fundamental e
abaixo da próxima frequência de corte.
𝑓
𝑏 ≤ 𝑎
2
𝑓 𝑐10
𝑐
2𝑎
𝑓 𝑐20
𝑐
𝑎
𝑓 𝑐01
𝑐
2𝑏
𝑓
𝑎
2 ≤ 𝑏 ≤ 𝑎
𝑓 𝑐10
𝑐
2𝑎
𝑓 𝑐20
𝑐
𝑎
𝑓 𝑐01
𝑐
2𝑏
Modos degenerados (mesmas constantes de propagação): TEmn e TMmn (𝑚𝑛 ≠ 0)

8. Relação de dispersão
𝑘 = 𝜔
√
𝜇𝜀𝛽2
𝑚𝑛
> 0
𝛽2
𝑚𝑛
< 0
𝑘 𝑐11
𝑘 𝑐12
𝑘 𝑐21
𝑘 𝑐22
𝑘 𝑐31
𝑘 𝑐32
𝑘 𝑐41
𝑘 𝑐42
𝑘 𝑥 = 𝑚𝜋
𝑎
𝑘 𝑦 = 𝑛𝜋
𝑏
𝑘 𝑐10 𝑘 𝑐20 𝑘 𝑐30 𝑘 𝑐40
𝑘 𝑐01
𝑘 𝑐02
0 𝜋
𝑎
2𝜋
𝑎
3𝜋
𝑎
4𝜋
𝑎
0
𝜋
𝑏
2𝜋
𝑏
Relação de dispersão:
𝛽2
𝑚𝑛
= 𝜔2
𝜇𝜀 − 𝑘2
𝑐𝑚𝑛
𝑘2
𝑐𝑚𝑛
= 𝑘2
𝑥
+ 𝑘2
𝑦
Modos propagantes (𝑘 > 𝑘 𝑐𝑚𝑛):
𝛽 𝑚𝑛 = 󰞏𝑘2 − 𝑘2
𝑐𝑚𝑛
Modos evanescentes (𝑘 < 𝑘 𝑐𝑚𝑛):
𝛽 𝑚𝑛 = −𝑗𝛼 𝑚𝑛
𝛼 𝑚𝑛 = 󰞏𝑘2
𝑐𝑚𝑛
− 𝑘2

9. Modo TE10
𝐄 𝐇

10. Modo TE10
Podemos também calcular as correntes
superficiais, que mais tarde serão utilizadas
para determinar as perdas nos condutores:
𝐉 𝑠 = 𝐮 𝑛 × 𝐇
Lembrando que 𝐮 𝑛 aponta para dentro do
guia (o metal é o meio de interesse).
𝐉 𝑠

11. Modo TE20
𝐄 𝐇

12. Modo TE01
𝐄 𝐇

13. Modo TE11
𝐄 𝐇

14. Modo TE21
𝐄 𝐇

15. Modo TM11
𝐄 𝐇

16. Velocidades de fase e grupo
𝜔 = 󰞏𝑐2 𝛽2 − 𝜔2
𝑐
(onda plana)
𝜔 = 𝑐𝛽
𝛽
𝜔
𝜔 𝑐 𝑣 𝑔 = d𝜔
d𝛽
𝑣 𝑝 = 𝜔
𝛽
𝑣 𝑝 = 𝑐
󰞐1−󰙯 𝑓 𝑐
𝑓 󰙰
2
𝑣 𝑔 = 𝑐 󰞏1 − 󰙯 𝑓 𝑐
𝑓 󰙰
2
𝑓
𝑣
𝑐
𝑓 𝑐
𝑣 𝑝 𝑣 𝑔 = 𝑐2

17. Impedâncias
Modos propagantes (𝑓 > 𝑓 𝑐):
𝜂TE =
𝜔𝜇
𝛽
=
𝜂
󰞏1 − 󰙯 𝑓 𝑐
𝑓 󰙰
2
𝜂TM =
𝛽
𝜔𝜀
= 𝜂 󰞑1 − 󰚛
𝑓 𝑐
𝑓
󰚜
2
Modos evanescentes (𝑓 < 𝑓 𝑐):
𝜂TE =
𝑗𝜔𝜇
𝛼
=
𝑗𝜂
󰞏 󰙯 𝑓 𝑐
𝑓 󰙰
2
− 1
𝜂TM = −
𝑗𝛼
𝜔𝜀
= −𝑗𝜂 󰞑 󰚛
𝑓 𝑐
𝑓
󰚜
2
− 1
TE
TM
𝑓
|𝜂 𝜁|
𝜂
𝑓 𝑐

18. Potência e atenuação dielétrica
Consideramos agora apenas o modo fundamental TE10:
𝐄 = −
𝑗𝑘
𝑘 𝑥
𝜂𝐻0 sin 󰚅
𝜋𝑥
𝑎
󰚆 𝐮 𝑦 = 𝐸0 sin 󰚅
𝜋𝑥
𝑎
󰚆 𝐮 𝑦 𝐇 =
𝑗𝛽
𝑘 𝑥
𝐻0 sin 󰚅
𝜋𝑥
𝑎
󰚆 𝐮 𝑥+𝐻0 cos 󰚅
𝜋𝑥
𝑎
󰚆 𝐮 𝑧
A potência transmitida por esse modo pode ser calculado como:
𝓢 ⋅ 𝐮 𝑧 =
1
2
ℜ {𝐄 × 𝐇∗
} ⋅ 𝐮 𝑧 =
1
2
ℜ 󰙝𝜂−1
TE 󰙞 |𝐄 𝑡|2
=
𝑘𝛽
2𝑘2
𝑥
𝜂|𝐻0|2
sin2 𝜋𝑥
𝑎
𝑃 𝑇 =
𝑎
󰝾
0
𝑏
󰝾
0
𝓢 ⋅ 𝐮 𝑧 d𝑦 d𝑥 =
𝑎𝑏𝜂
4
|𝐻0|2 𝑓
𝑓 𝑐
󰞑 󰚱
𝑓
𝑓 𝑐
󰚲
2
− 1 =
𝑎𝑏
4𝜂
|𝐸0|2 󰞑1 − 󰚛
𝑓 𝑐
𝑓
󰚜
2
Como visto anteriormente, as perdas no dielétrico de condutividade efetiva 𝜎 𝑑 são dadas pela
constante de atenuação dielétrica:
𝛼 𝑑 =
𝜔𝜇𝜎 𝑑
2𝛽
=
𝜂𝜎 𝑑
2 󰞏1 − 󰙯 𝑓 𝑐
𝑓 󰙰
2

19. Perdas nos condutores
O cálculo das perdas ôhmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magnético
aplicada sobre a resistência superficial dos condutores do guia:
𝛼 𝑐 =
𝑝 𝑐
2𝑃 𝑇
𝑝 𝑐 = 󰝾
ℓ
1
2
𝑅 𝑠|𝐉 𝑠|2
dℓ 𝐉 𝑠 = 𝐮 𝑛 × 𝐇
O caminho ℓ da integral 𝑝 𝑐 é composto pelas quatro paredes do guia.
Além disso, como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos, 𝐇 deve
ser tangencial aos condutores, logo |𝐉 𝑠| = |𝐇|.
Efetuando-se os cálculos anteriores obtemos:
𝛼 𝑐 =
𝑅 𝑠
𝜂
󰚋1
𝑏 + 2
𝑎 󰙯 𝑓 𝑐
𝑓 󰙰
2
󰚌
󰞏1 − 󰙯 𝑓 𝑐
𝑓 󰙰
2
=
󰞍
󰞌󰞌
⎷
𝜋𝜀𝑓
𝜎 󰚋1 − 󰙯 𝑓 𝑐
𝑓 󰙰
2
󰚌
󰛕
1
𝑏
+
2
𝑎
󰚛
𝑓 𝑐
𝑓
󰚜
2
󰛖

20. Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claro
que para minimizar as perdas seria
desejável maximizar o valor de 𝑏 (uma
vez que o valor de 𝑎 é definido pela
frequência de trabalho).
Qual o impacto de aumentar-se o
valor de 𝑏?
𝑓 [GHz]
𝛼𝑐[Np/m]
𝑓 𝑐
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
10 20 30 40 500
WR90
𝜎 = 5,8 × 107
S⁄m

21. WR WG Banda Dimensões
(EIA) (Europa) [GHz] [pol.]
2300 0,32 – 0,49 23,000 × 11,500
2100 0,35 – 0,53 21,000 × 10,500
1800 0,41 – 0,62 18,000 × 9,000
1500 0,49 – 0,75 15,000 × 7,500
1150 0,64 – 0,96 11,500 × 5,750
975 0,75 – 1,12 9,750 × 4,875
770 0,96 – 1,46 7,700 × 3,850
650 6 1,12 – 1,70 6,500 × 3,250
510 1,45 – 2,20 5,100 × 2,550
430 8 1,70 – 2,60 4,300 × 2,150
340 9A 2,20 – 3,30 3,400 × 1,700
284 10 2,60 – 3,95 2,840 × 1,340
229 11A 3,30 – 4,90 2,290 × 1,145
187 12 3,95 – 5,85 1,872 × 0,872
159 13 4,90 – 7,05 1,590 × 0,795
137 14 5,85 – 8,20 1,372 × 0,622
112 15 7,05 – 10,00 1,122 × 0,497
102 7,00 – 11,00 1,020 × 0,510
WR WG Banda Dimensões
(EIA) (Europa) [GHz] [pol.]
90 16 8,20 – 12,40 0,900 × 0,400
75 17 10,00 – 15,00 0,750 × 0,375
62 18 12,40 – 18,00 0,622 × 0,311
51 19 15,00 – 22,00 0,510 × 0,255
42 20 18,00 – 26,50 0,420 × 0,170
34 21 22,00 – 33,00 0,340 × 0,170
28 22 26,50 – 40,00 0,280 × 0,140
22 23 33,00 – 50,00 0,224 × 0,112
19 24 40,00 – 60,00 0,188 × 0,094
15 25 50,00 – 75,00 0,148 × 0,074
12 26 60,00 – 90,00 0,122 × 0,061
10 27 75,00 – 110,00 0,100 × 0,050
8 28 90,00 – 140,00 0,0800 × 0,0400
7 (6) 29 110,00 – 170,00 0,0650 × 0,0325
5 30 140,00 – 220,00 0,0510 × 0,0255
4 31 172,00 – 260,00 0,0430 × 0,0215
3 32 220,00 – 330,00 0,0340 × 0,0170

22. Acoplamento
Acoplamento elétrico TE10
𝜆 𝑔
4
Acoplamento magnético TE10

23. Cavidade ressonante
Quando o guia retangular é fechado em uma
extremidade, o onda que se se propaga em direção
a ela é refletida de volta no sentido contrário. Se
fecharmos o guia formando uma caixa retangular,
as ondas propagando-se em ambas a direções irão
se interferir e gerar uma onda estacionária:
𝐄tot = 𝐄+
𝑒−𝑗𝛽𝑧
+ 𝐄−
𝑒+𝑗𝛽𝑧
𝐇tot = 𝐇+
𝑒−𝑗𝛽𝑧
+ 𝐇−
𝑒+𝑗𝛽𝑧
𝑧 ∈ {0, ℓ} ⇒ 𝐮 𝑧 × 𝐄 = 0 ⇔ 𝐸 𝑥 = 𝐸 𝑦 = 0
𝑥
𝑦
𝑧
𝑎
𝑏
ℓ
ℓ ≥ 𝑎 ≥ 𝑏

24. Modos TM
Tomamos como solução a superposição de campos com sentidos de propagação reversos:
𝐸 𝑧 = 𝐸+
0
sin(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦)𝑒−𝑗𝛽𝑧
+ 𝐸−
0
sin(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦)𝑒 𝑗𝛽𝑧
𝐸 𝑥 = −
𝑗𝛽𝑘 𝑥
𝑘2
𝑡
cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) 󰙙𝐸+
0
𝑒−𝑗𝛽𝑧
− 𝐸−
0
𝑒 𝑗𝛽𝑧
󰙚
𝐸 𝑦 = −
𝑗𝛽𝑘 𝑦
𝑘2
𝑡
sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) 󰙙𝐸+
0
𝑒−𝑗𝛽𝑧
− 𝐸−
0
𝑒 𝑗𝛽𝑧
󰙚
Aplicando as novas condições de contorno obtemos 𝐸+
0
= 𝐸−
0
= 𝐸0
2 e 𝛽 = 𝑝𝜋
ℓ , 𝑝 ∈ ℤ. Temos
assim a definição dos modos ressonantes TMmnp:
𝐸 𝑧 = 𝐸0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) cos(𝛽𝑧) 𝐻 𝑧 = 0
𝐸 𝑥 = −
𝛽𝑘 𝑥
𝑘2
𝑡
𝐸0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) sin(𝛽𝑧) 𝐻 𝑥 =
𝑗𝑘𝑘 𝑦
𝑘2
𝑡
𝐸0
𝜂
sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) cos(𝛽𝑧)
𝐸 𝑦 = −
𝛽𝑘 𝑦
𝑘2
𝑡
𝐸0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) sin(𝛽𝑧) 𝐻 𝑦 = −
𝑗𝑘𝑘 𝑥
𝑘2
𝑡
𝐸0
𝜂
cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) cos(𝛽𝑧)

25. Modos TE
Um procedimento análogo para os modos TE resulta na definição dos modos ressonantes TEmnp
com 𝛽 = 𝑝𝜋
ℓ , 𝑝 ∈ ℤ∗
.
𝐸 𝑧 = 0 𝐻 𝑧 = 𝐻0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) sin(𝛽𝑧)
𝐸 𝑥 =
𝑗𝑘𝑘 𝑦
𝑘2
𝑡
𝜂𝐻0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) sin(𝛽𝑧) 𝐻 𝑥 = −
𝛽𝑘 𝑥
𝑘2
𝑡
𝐻0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) cos(𝛽𝑧)
𝐸 𝑦 = −
𝑗𝑘𝑘 𝑥
𝑘2
𝑡
𝜂𝐻0 sin(𝑘 𝑥 𝑥) cos(𝑘 𝑦 𝑦) sin(𝛽𝑧) 𝐻 𝑦 = −
𝑗𝑘𝑘 𝑦
𝑘2
𝑡
𝐻0 cos(𝑘 𝑥 𝑥) sin(𝑘 𝑦 𝑦) cos(𝛽𝑧)

26. Frequências de ressonância
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 𝑘 𝑥, 𝑘 𝑦, e 𝛽 assumem somente valores
discretos, obrigando também a frequência a assumir valores discretos:
𝜔2
𝜇𝜀 = 𝑘2
𝑥
+ 𝑘2
𝑦
+ 𝛽2
⇒ 𝑓 𝑚𝑛𝑝 =
𝑐
2
󰞐 󰚅
𝑚
𝑎
󰚆
2
+ 󰚅
𝑛
𝑏
󰚆
2
+ 󰚅
𝑝
ℓ
󰚆
2
Da mesma forma que para os modos guiados, encontramos modos degenerados (com mesmas
frequências de ressonância) e um modo fundamental (de menor frequência de ressonância).
Sabendo que ℓ ≥ 𝑎 ≥ 𝑏, qual é o modo fundamental da cavidade ressonante?

27. Fator de qualidade
O fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequência é definido como a razão entre a
energia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um período de oscilação, multiplicado
por um fator 2𝜋:
𝑄 = 2𝜋
𝑊
𝑃 𝐿 𝑇
= 2𝜋𝑓
𝑊
𝑃 𝐿
= 𝜔
𝑊 𝑒 + 𝑊 𝑚
𝑃 𝐿
A potência ôhmica dissipada é calculada como nos guias—através da corrente superficial—com a
diferença de que a integração é efetuada nas paredes da cavidade, não apenas em uma seção. As
energias elétrica em magnética são calculadas como visto no teorema de Poynting:
𝑊 𝑒 = 󰝾
𝑉
1
4
𝜀|𝐄|2
d𝑉 𝑊 𝑚 = 󰝾
𝑉
1
4
𝜇|𝐇|2
d𝑉
𝑄 [1] : fator de qualidade
𝑃 𝐿 [W] : potência média dissipada em um período (incluindo perdas ôhmicas, dielétricas, etc.)
𝑊 𝑒 [J] : energia média armazenada no campo elétrico
𝑊 𝑚 [J] : energia média armazenada no campo magnético

28. Exercícios
1 Projete um guia retangular com dimensões 𝑎 e 𝑏 (𝑎 ≥ 𝑏) que opere em condição monomodo
entre 9 GHz e 14 GHz. Considerando espaço livre no interior do guia determine as dimensões que
garantirão operação monomodo nesta banda.
2 Um guia retangular de dimensões 2,25 cm por 1,125 cm é operado no modo dominante.
a. Considere que o meio interno do guia é espaço livre e calcule a frequência de corte para o
modo dominante.
b. Considere que se deseja reduzir a frequência de corte do modo dominante por um fator 3 sem
alterar as dimensões do guia. Determine a constante dielétrica relativa do meio que deve ser
utilizado para preencher o guia.
3 Uma seção de guia retangular para banda X (8,2 GHz a 12,4 GHz) preenchida por ar e com
comprimento ℓ é usada como uma linha de atraso. Considere que as dimensões internas do guia
são 2,286 cm por 1,016 cm e ele opera no modo fundamental. Determine o comprimento da
seção para que o atraso a 10 GHz seja de 2 µs.

29. 4 Um guia para banda X com dimensões 2,286 cm por 1,016 cm é feito de cobre (𝜎 =
5,76 × 107
S⁄m) e é preenchido com poliestireno (𝜀 𝑟 = 2,56, tan 𝛿 = 4 × 10−4
). Considere
que a frequência de operação seja 6,15 GHz e determine o coeficiente de atenuação devido à
condutividade finita das paredes e às perdas dielétricas.
5 Calcule o comprimento ℓ > 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionará uma
ressonância em 10 GHz. Considere a excitação no modo fundamental e as dimensões restantes
da cavidade 2 cm e 1 cm.
6 Um guia retangular preenchido com ar é utilizado para transmitir potência para uma antena
radar. O guia deve seguir as seguintes especificações: os dois modos de mais baixa ordem são
TE10 e TE20; a frequência de operação é 3 GHz e deve cair exatamente na metade da banda
entre as frequências de corte desses modos; o campo elétrico máximo dentro do guia não deve
exceder a tensão de ruptura do ar (3 MV/m) com um fator 3 de margem de segurança.
a. Determine as menores dimensões possíveis para tal guia caso a potência transmitida
requerida seja de 1 MW.
b. Quais as dimensões do guia para obter-se a máxima potência transmitida possível? Qual é o
valor dessa potência em MW?

30. 7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidade
de grupo de 0.8𝑐0. Quais são as dimensões do guia caso ele também deva transmitir a máxima
potência e apresentar a máxima banda de operação? Qual é a frequência de corte do guia e sua
largura de banda de operação?
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e em
um WR90. Calcule as frequências (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte desses
modos.
9 Projete um guia retangular para a frequência de 3 GHz com paredes de cobre e dielétrico
ar de maneira que o modo TE10 se propague com 30% de margem de segurança (frequência de
operação 30% acima da frequência de corte) e que o modo seguinte esteja 20% abaixo da sua
frequência de corte. Calcule a atenuação devido ao cobre em dB/m. Para os 3 modos seguintes
ao TE10 calcule as constantes de atenuação em dB/m ignorando as perdas ôhmicas.