1. O documento apresenta um estudo sobre o comportamento de um sistema de pêndulo de torção, definindo suas componentes e modelo matemático. 2. O exercício proposto para análise envolve um pêndulo de torção com momento de inércia J, atrito B e elastância K, cujo comportamento é modelado por uma equação diferencial. 3. A memória de cálculo apresenta os passos para se obter a função de transferência do sistema e representá-lo no espaço de estados, analisando também características como frequ

1. 20
1 INTRODUÇÃO
O trabalho constitui-se da análise do comportamento do sistema de Pêndulo
de Torção. Antes do desenvolvimento do trabalho é preciso definir o que é um
sistema de controle e quais as componentes que fazem parte do sistema de Pêndulo
de Torção, para assim entendermos seu funcionamento. A definição de sistemas de
controle é muito ampla, apesar da presença constante destes em nossa vida muitas
vezes temos dificuldades de entender o processo de que estes são constituídos e
sua definição. O autor do livro Engenharia de sistemas de controle, Norman Nise
define este conceito no seguinte trecho do livro: “[...] Um sistema de controle
consiste em subsistemas e processos (‘ou plantas’) reunidos com o propósito de
controlar as saídas do processo.” (NISE, 2009, p. 2). Sistemas de segunda ordem
possuem características bem particulares, as quais serão aprofundadas durante o
desenvolvimento deste trabalho.
2 ENUNCIADO DO EXERCÍCIO
O enunciado do exercício escolhido como exemplo para o desenvolvimento
do trabalho foi retirado do livro de Sistemas de controle e realimentação, é o
seguinte: “[...] Considere o pêndulo de torção modelado na Figura 1. Uma aplicação
deste tipo de pêndulo são os relógios que normalmente são colocados dentro de
uma cúpula de vidro. O momento de inércia da esfera do pêndulo é representado
por J, B indica o atrito entre a esfera e o ar, e K representa a elastância da
suspensão metálica. Aqui assumimos que o torque é aplicado á esfera do pêndulo,
enquanto em um relógio o torque é aplicado por um complexo mecanismo de mola.
Somando os torques na esfera temos: 𝐽
𝑑2
𝜃(𝑡)
𝑑𝑡2 = 𝜏( 𝑡) − 𝐵
𝑑𝜃( 𝑡)
𝑑𝑡
− 𝐾𝜃(𝑡).”
(PHILLIPS,1997, p. 41). A figura 1 mostra a imagem retirada do livro Sistemas de
controle e realimentação que mostra o diagrama do Pêndulo de Torção.

2. 21
Figura 1 – Diagrama do pêndulo de torção
Fonte: Sistemas de controle e realimentação, 1997
3 MEMÓRIA DE CÁLCULO
Os cálculos do trabalho foram divididos em tópicos para facilitar a
compreensão do leitor e o desenvolvimento do trabalho, sendo que toda a memória
de cálculo esta em anexo ao final do trabalho com as contas realizadas de forma
manuscrita.
3.1 Função de transferência do sistema
1º passo: modelar matematicamente o sistema (equações):
𝜏( 𝑡) = 𝐽
𝑑2
𝜃(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 𝐵
𝑑𝜃(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝐾𝜃(𝑡)
2º passo: aplicar a transformada de Laplace:
𝜏( 𝑠) = 𝐽𝑠2
𝜃( 𝑠) + 𝐵𝑠𝜃( 𝑠) + 𝐾𝜃(𝑠)
𝜏( 𝑠) = [ 𝐽𝑠2
+ 𝐵𝑠 + 𝐾 ] 𝜃(𝑠)
3º passo : função de transferência:

3. 22
𝐹. 𝑇. =
𝜃(𝑠)
𝜏(𝑠)
=
𝜃(𝑠)
[ 𝐽𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐾 ] 𝜃(𝑠)
=
1
𝐽𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐾
Como o exemplo adotado nos forneceu apenas uma função de transferência
genérica, ou seja, para quaisquer valores de constantes, precisamos encontra-las
neste momento. Por termos mais familiaridade com circuitos elétricos, optamos por
encontrar um que seja análogo ao nosso sistema, a fim de, através de valores de
componentes elétricos, determinarmos os valores de nossas constantes, sendo que
este circuito deverá ter uma resposta subamortecida, já que foi recomendado que o
exemplo adotado para o trabalho tivesse esse tipo de resposta.
4º passo: isolar a derivada de mais alta ordem na equação:
𝐽
𝑑2
𝜃(𝑡)
𝑑𝑡2
= 𝜏( 𝑡) − 𝐵
𝑑𝜃( 𝑡)
𝑑𝑡
− 𝐾𝜃(𝑡)
5º passo: modelo matemático análogo (elétrico paralelo):
𝐶
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑖( 𝑡) −
1
𝑅
𝑣( 𝑡) −
1
𝐿
∫ 𝑣( 𝑡) 𝑑𝑡
6º passo: desenho do análogo elétrico paralelo:
Figura 2 – Circuito elétrico análogo paralelo
Fonte: Elaborado pelos autores
7º passo: encontrar as constantes através de um circuito elétrico com
subamortecido:

4. 23
Para uma resposta subamortecida, deveremos obter 𝛼 < 𝜔 𝑛 , onde:
𝛼 = frequência neperiana =
1
2𝑅𝐶
rad/s;
𝜔 𝑛 = frequência de ressonância =
1
√ 𝐿𝐶
rad/s.
Iremos testar a resposta para : R = 1KΩ, L = 256mH e C = 100nF:
𝛼 =
1
2 ∗ (1 ∗ 103) ∗ (100 ∗ 10−9)
= 5000 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝜔 𝑛 =
1
√(256∗ 10−3) ∗ (100 ∗ 10−9)
= 6253 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Como 𝛼 (5000) < 𝜔 𝑛 (6250), então este circuito é subamortecido.
8º passo: transformar as grandezas elétricas para as constantes do sistema:
𝐽 = 𝐶 = 100 ∗ 10−9
𝐵 =
1
𝑅
=
1
1000
= 1 ∗ 10−3
𝐾 =
1
𝐿
=
1
256 ∗ 10−3
= 3,91
9º passo: função de transferência com as constantes:
𝐹. 𝑇.=
𝜃(𝑠)
𝜏(𝑠)
=
1
(100 ∗ 10−9) 𝑠2 + (1 ∗ 10−3) 𝑠 + 3,91
3.2 Representação em espaço de estados
1º passo: isolar a derivada de mais alta ordem:
𝐽
𝑑2
𝜃(𝑡)
𝑑𝑡2
= 𝜏( 𝑡) − 𝐵
𝑑𝜃( 𝑡)
𝑑𝑡
− 𝐾𝜃(𝑡)

5. 24
2º passo: identificação dos parâmetros:
𝑥( 𝑡) = [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
]; 𝑥′( 𝑡) = [
𝑑𝑥1(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑥2(𝑡)
𝑑𝑡
]; 𝑢( 𝑡) = [ 𝜏(𝑡)]; 𝑦( 𝑡) = [ 𝜃(𝑡)]
3º passo: mudança de variáveis:
𝑥1( 𝑡) = 𝜃(𝑡); 𝑥2( 𝑡) =
𝑑𝜃(𝑡)
𝑑𝑡
; 𝑥1
′( 𝑡) =
𝑑𝜃(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑥2( 𝑡); 𝑥2
′( 𝑡) =
𝑑2
𝜃(𝑡)
𝑑𝑡2 ;
𝑥1
′( 𝑡) = 𝑥2(𝑡); 𝑥2
′( 𝑡) =
1
𝐽
𝜏( 𝑡) −
𝐵
𝐽
𝑥2( 𝑡) −
𝐾
𝐽
𝑥1(𝑡);
4º passo: colocar em espaço de estados:
𝑥′( 𝑡) = 𝐴𝑥( 𝑡) + 𝐵𝑢( 𝑡);
[
𝑥1
′
(𝑡)
𝑥2
′
(𝑡)
] = [
0 1
−39,1 ∗ 106
−10 ∗ 103] ∗ [
𝑥1( 𝑡)
𝑥2 ( 𝑡)
] + [
0
10 ∗ 106] ∗ [ 𝜏( 𝑡)];
𝑦( 𝑡) = 𝐶𝑥( 𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡);
𝜃( 𝑡) = [1 0] ∗ [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
];
3.3 Forma padrão dos sistemas de segunda ordem
Para expressarmos este sistema na forma padrão, teremos de calcular alguns
valores característicos destes sistemas de segunda ordem. Forma padrão do
sistema de segunda ordem:
𝜃(𝑠)
𝜏(𝑠)
=
𝜔 𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔 𝑛 𝑠 + 𝜔 𝑛
2
=
(39,1 ∗ 106
)
𝑠2 + (10 ∗ 103) 𝑠 + (39,1 ∗ 106)
A partir de uma analogia entre as duas equações da igualdade acima, vamos
encontrar os parâmetros do sistema em questão. Os parâmetros são a frequência
natural não amortecida e o coeficiente de amortecimento. Como o sistema é
subamortecido, temos 0 < 𝜉 < 1.

6. 25
3.3.1 Frequência natural não amortecida
A frequência natural não amortecida é representada pelo símbolo (𝜔 𝑛). Como
o sistema do trabalho é subamortecido temos a seguinte equação genérica para o
sistema: 𝑠2
+ 2𝜉𝜔 𝑛 𝑠 + 𝜔 𝑛
2
= 0 (1). Por analogia com a equação característica do
sistema estudado temos 𝑠2
+ (10𝑥103) 𝑠 + (39,1𝑥106) = 0 (2). Comparando as
equações (1) e (2). Chegamos as seguintes condições: 2𝜉𝜔 𝑛 = (10𝑥103) e 𝜔 𝑛
2
=
(39,1𝑥106). Desta forma temos:𝜔 𝑛= 6253 rad/s. Através de um algoritmo no
MATLAB este valor também foi calculado e o valor foi o mesmo. O algoritmo se
encontra no final do trabalho.
3.3.2 Coeficiente de amortecimento do sistema
O coeficiente de amortecimento do sistema é representado pelo símbolo (𝜉).
Utilizando a seguinte equação deduzida anteriormente e substituindo o valor de 𝜔 𝑛
encontrado temos: 2𝜉𝜔 𝑛 = (10𝑥103) => 2 ∗ 𝜉 ∗ 6253 = (10𝑥103) => 𝜉 = 0,8. O que
comprova que o sistema é subamortecido já que 0 < 𝜉 < 1. Através de um algoritmo
no MATLAB este valor também foi calculado e o valor foi o mesmo. O algoritmo se
encontra no final do trabalho.
3.4 Erro em regime permanente
Quando o sistema entra em regime estacionário, uma forma de analisar este
sistema é pelo erro em regime permanente que é calculado pelo “Teorema do valor
final”: 𝑒 𝑠𝑠 = lim
𝑡→∞
𝑒( 𝑡) = lim
𝑠‐›0
𝑠[ 𝐸(𝑠)].
No sistema do trabalho vamos analisar o erro para uma resposta ao degrau,
então utilizando e o terrorem anterior obtemos a seguinte expressão:
𝑒 𝑠𝑠 = lim
𝑠‐›0
𝑠[
1
(100 ∗ 10−9) 𝑠2 + (1 ∗ 10−3) 𝑠 + 3,91
] ∗
1
𝑠
Rescrevendo a equação anterior e simplificando os (s) da expressão,
obtemos:

7. 26
𝑒 𝑠𝑠 = lim
𝑠‐›0
[
1
(100 ∗ 10−9) 𝑠2 + (1 ∗ 10−3) 𝑠 + 3,91
]
𝑒 𝑠𝑠 = lim
𝑠‐›0
[
1
( 𝑠 + 5 − 𝑗3,75) ∗ (𝑠 + 5 + 𝑗3,75)
]
𝑒 𝑠𝑠 = 25,6𝑥10−3
𝑜𝑢 𝑒 𝑠𝑠 = 2,56%
Através de um algoritmo no MATLAB este valor também foi calculado e o
valor foi o mesmo. O algoritmo se encontra no final do trabalho.
3.5 Sobre sinal máximo
O sobre sinal máximo pode ser definido como o quanto a forma de onda, no
instante de pico, ultrapassa o valor estacionário e é expresso em porcentagem. É
encontrado através da seguinte equação:
𝑀 𝑝 = 𝑒
−(
𝜉
√(1−𝜉2)
) 𝜋
∗ 100% = 𝑒
−(
0,8
√(1−0,82)
) 𝜋
∗ 100% = 1,52%
Através de um algoritmo no MATLAB este valor também foi calculado e o
valor foi o mesmo. O algoritmo se encontra no final do trabalho.
3.6 Tempo de estabilização
O tempo de estabilização pode ser definido como o tempo necessário para
que as oscilações amortecidas atinjam um valor de cerca de
+
−
2% em torno do valor
de estado estacionário. Adotando o critério de 2%, então o tempo de estabilização 𝑡𝑠
é aproximadamente quatro vezes a constante de tempo do sistema, e é encontrado
através da equação:
𝑡𝑠 = 4𝜏 =
4
𝜉𝜔 𝑛
=
4
5000
= 800𝜇𝑠

8. 27
Através de um algoritmo no MATLAB este valor também foi calculado e o
valor foi o mesmo. O algoritmo se encontra no final do trabalho.
3.7 Mapeamento dos polos e zeros
Para fazermos o mapeamento dos polos e zeros primeiro precisamos
determinas eles. Sabendo-se que polos são os valores de s que tornam o
denominador igual a zero e zeros os valores de s que tornam o numerador igual à
zero, vamos identificar eles encontrado as raízes do numerador e denominador.
Como não existe nenhum valor que possa tornar o numerador igual à zero o nosso
sistema não possui zeros. Mas o sistema possui dois polos, sendo que temos um
numerador de grau dois. As raízes do denominador vão ser encontradas através do
método de Bhaskara. Assim, o denominador da F. T. pode ser escrito da seguinte
forma: 𝐴𝑠2
+ 𝐵𝑠 + 𝐶 = 0 => 𝑠2
+ (10 ∗ 103) 𝑠 + (39,1 ∗ 106
) => A=1; B=(10 ∗ 103);
C=(39,1 ∗ 106
). Substituindo estes valores na Fórmula de Bhaskara temos:
𝑠 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑠 =
−(10 ∗ 103) ± √(10 ∗ 103)2 − 4 ∗ 1 ∗ (39,1 ∗ 106)
2 ∗ 1
Desta forma obtemos as seguintes raízes complexas para o denominador da
F.T. s1= (-5+j3,75)*103 e s2= (-5-j3,75)*103. Através de um algoritmo no MATLAB
estes valores também foram calculados e os valores foram os mesmos. O algoritmo
se encontra no final do trabalho. Como essas raízes são os polos, podemos fazer o
mapeamento dos polos e zeros. Podemos reescreve a F.T. colocando em função de
sus raízes:
1
( 𝑠 + 5 ∗ 103 − 𝑗3,75 ∗ 10³) ∗ (𝑠 + 5 ∗ 103 + 𝑗3,75 ∗ 10³)

9. 28
Figura 3 – Mapeamento de polos e zeros
X
X -j3,75
j3,75
-5
Im
Re
Obs.: Os elementos estão multiplicados por 10³.
Fonte: Elaborado pelos autores
3.8 Resposta em regime transitório e permanente
A resposta do sistema será dada pela seguinte expressão:
𝑐( 𝑡) = 1 −
1
√(1 − 𝜉2 )
∗ 𝑒−( 𝜉𝜔 𝑛) 𝑡
∗ 𝑐𝑜𝑠 (𝜔 𝑛√(1 − 𝜉2 )𝑡 − 𝜙)
Onde 𝜙 = 𝑡𝑎𝑛−1
(
𝜉
√(1−𝜉2
)
) = 𝑡𝑎𝑛−1
(
0,8
√(1−0,82) = 53,13 𝑜
𝑐( 𝑡) = 1 − 1,67 ∗ 𝑒−5000𝑡
∗ cos(3750𝑡 − 53,13 𝑜)
Observando a equação, enquanto a exponencial não for nula, esta irá
amortecer a resposta com o decorrer do tempo, caracterizando o regime transitório.
Após o decorrer do tempo, o valor da exponencial tenderá a 1, e a resposta então irá
variar somente com a função cosseno, caracterizando o regime permanente ou sem
amortecimento.

10. 29
4 SIMULAÇÃO DOS RESULTADOS
4.1 Diagrama de blocos e gráfico do MATLAB e SIMULINK para degrau unitário
Gráfico 1 – Resposta ao degrau unitário (MATLAB)
Fonte: Elaborado pelos autores
Gráfico 2 – Resposta ao degrau unitário (SIMULINK)
Fonte: Elaborado pelos autores

11. 30
Figura 4 – Diagrama de blocos do SIMULINK para degrau unitário
Fonte: Elaborado pelos autores
4.2 Diagrama de blocos e gráfico do MATLAB e SIMULINK para a rampa
unitária
Gráfico 3 – Resposta a rampa unitária (MATLAB)
Fonte: Elaborado pelos autores
Gráfico 4 – Resposta a rampa unitária (SIMULINK)
Fonte: Elaborado pelos autores

12. 31
Figura 5 – Diagrama de blocos do SIMULINK para rampa unitária
Fonte: Elaborado pelos autores
4.3 Diagrama de blocos e gráfico do MATLAB e SIMULINK para espaço de
estados
Gráfico 5 – Resposta ao degrau unitário em espaço de estados (MATLAB)
Fonte: Elaborado pelos autores
Gráfico 6 – Resposta a rampa unitária em espaço de estados (MATLAB)
Fonte: Elaborado pelos autores

13. 32
Gráfico 7 – Resposta final - regime transitório e permanente para espaço de
estados (SIMULINK)
Fonte: Elaborado pelos autores
Figura 6 – Diagrama de blocos para o degrau unitário do SIMULINK para
espaço de estados
Fonte: Elaborado pelos autores
Figura 7 – Diagrama de blocos para a rampa unitária do SIMULINK para espaço
de estados
Fonte: Elaborado pelos autores
4.4 Diagrama de blocos e gráfico do MATLAB e SIMULINK para a resposta final

14. 33
Gráfico 8 – Resposta final - regime transitório e permanente (MATLAB)
Fonte: Elaborado pelos autores
Gráfico 9 – Resposta final - regime transitório e permanente (SIMULINK)
Fonte: Elaborado pelos autores
Figura 8 – Diagrama de blocos do SIMULINK para resposta final
Fonte: Elaborado pelos autores
4.5 Respostas de segunda ordem subamortecidas com os valores dos
coeficientes de amortecimentos

15. 34
Figura 9 – Diagrama de respostas
Fonte: Engenharia de sistemas de controle, 2005
Observando-se a figura 8, entende-se que quanto mais próximo de 1 for o
valor do coeficiente de amortecimento do sistema, menos amortecido será o sinal.
4.6 Mapeamento dos polos e zeros
Gráfico 10 – Mapeamento dos polos e zeros (MATLAB)
Fonte: Elaborado pelos autores

16. 35
4.7 Resultados pelo MATLAB
Figura 10 – Resultados pelo MATLAB
Fonte: Elaborado pelos autores

17. 36
4.8 Algoritmos do MATLAB
Figura 11 – Algoritmo geral (parte 1)
Fonte: Elaborado pelos autores

18. 37
Figura 12 – Algoritmo geral (parte 2)
Fonte: Elaborado pelos autores

19. 38
Figura 13 – Algoritmo geral (parte 3)
Fonte: Elaborado pelos autores

20. 39
Figura 14 – Algoritmo geral (parte 4)
Fonte: Elaborado pelos autores

21. 40
5 CONCLUSÃO
Constatou-se, pelo presente trabalho, o dinamismo dos sistemas físicos
mecânicos de translação, os quais são modelados através de equações íntegro-
diferenciais de segunda ordem, que possuem um comportamento inicial e outro após
um dado tempo. Este comportamento inicial, definido como transitório, é uma
pequena faixa de tempo onde o sinal sofre um amortecimento e o outro, definido
como regime permanente, é a fase em que não há mais amortecimento na resposta
final. Analisando todos os cálculos realizados e comparando-os com as simulações
no MATLAB e SIMULINK, observou-se que houve certa coerência entre ambos, já
que em sistemas desta natureza, onde há uma precisão considerável devido as
constantes de tempo bem pequenas, pequenos desvios entre cálculos feitos à mão
e resultados computacionais são perfeitamente aceitáveis.

22. 41
REFERÊNCIAS
BARCZAK, Czeslau L. Controle digital de sistemas dinâmicos: projeto e
análise. São Paulo: E. Blücher, c1995. 295p.
DORF, Richard C.; BISHOP, Robert H. Sistemas de controle modernos. 11. ed.
Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2009. xx, 724 p.
NILSSON, James William; RIEDEL, Susan A. Circuitos elétricos. 8. ed. São Paulo:
Pearson Prentice Hall, c2009. xiii, 574 p.
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. Rio de Janeiro: LTC -
Livros Técnicos e Científicos, c2009. xix, 682 p.
NORMAS DA ABNT. Citações e Referências Bibliográficas. Disponível em: <
http://www.leffa.pro.br/textos/abnt.htm >. Acesso em: 10 de mar. 2013.
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2003. x, 788 p.
PADRÃO PUC MINAS DE NORMALIZAÇÃO. Trabalhos Acadêmicos. Disponível
em: < http://pucminas.br/biblioteca/index_padrao.php >. Acesso em: 10 de mar.
2013.
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e
realimentação. São Paulo: Makron Books do Brasil, c1997. 558 p.

23. 42
ANEXOS A

24. 43
ANEXOS B